Ex tre muma funktsioonid. Kuidas leida funktsiooni äärmuspunkte

Nende ebavõrdsuste üleminek piirini Δ x→ 0 ja võttes arvesse, et tuletis f "(x 0) on olemas ja seetõttu ei sõltu vasakpoolne piirang sellest, kuidas Δ x→ 0, saame: juures Δ x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 a juures Δ x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Alates f" (x 0) defineerib arvu, siis on need kaks võrratust ühilduvad ainult siis, kui f" (x 0) = 0.

Tõestatud teoreem väidab, et maksimum- ja miinimumpunktid võivad olla ainult nende argumendi väärtuste hulgas, mille korral tuletis muutub nulliks.

Vaatlesime juhtumit, kui funktsioonil on tuletis teatud segmendi kõigis punktides. Milline on olukord juhtudel, kui tuletist ei eksisteeri? Vaatame näiteid.

y =|x |.

Funktsioonil ei ole punktis tuletist x=0 (sellel hetkel ei ole funktsiooni graafikul defineeritud puutujat), kuid sellel hetkel on funktsioonil miinimum, kuna y(0)=0 ja kõigi jaoks x ≠ 0y > 0.

Seega on toodud näidete ja sõnastatud teoreemi põhjal selge, et funktsioonil saab ekstreemum olla ainult kahel juhul: 1) punktides, kus tuletis eksisteerib ja on võrdne nulliga; 2) kohas, kus tuletist ei eksisteeri.

Kui aga ühel hetkel x 0 me teame seda f "(x 0 ) =0, siis ei saa sellest järeldada, et punktis x 0 funktsioonil on äärmus.

Näiteks.

Aga periood x=0 ei ole äärmuspunkt, kuna sellest punktist vasakul asuvad funktsiooni väärtused telje all Ox ja ülal paremal.

Argumendi väärtusi funktsiooni domeenist, mille juures funktsiooni tuletis kaob või ei eksisteeri, nimetatakse kriitilised punktid .

Kõigest eelnevast järeldub, et funktsiooni äärmuspunktid kuuluvad kriitiliste punktide hulka, kuid mitte iga kriitiline punkt ei ole äärmuspunkt. Seetõttu peate funktsiooni ekstreemumi leidmiseks leidma kõik funktsiooni kriitilised punktid ja seejärel uurima iga punkti eraldi maksimumi ja miinimumi jaoks. Seda täidab järgmine teoreem.

Teoreem 2. (Piisav tingimus ekstreemumi olemasoluks.) Olgu funktsioon pidev mingil kriitilist punkti sisaldaval intervallil x 0 ja on diferentseeritav selle intervalli kõigis punktides (välja arvatud võib-olla punkt ise x 0). Kui selle punkti kaudu vasakult paremale liikudes muudab tuletis märgi plussist miinusesse, siis punktis x = x Funktsioonil 0 on maksimum. Kui läbimisel x 0 vasakult paremale, tuletis muudab märgi miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis miinimum.

Seega, kui

f "(x)> 0 juures x <x 0 ja f "(x)< 0 kl x> x 0, siis x 0 – maksimumpunkt;

Tõestus. Oletame esmalt, et läbisõidul x 0 tuletis muudab märgi plussist miinusesse, st. kõigi ees x, punkti lähedal x 0 f "(x)> 0 eest x< x 0 , f "(x)< 0 eest x> x 0 . Rakendame erinevusele Lagrange'i teoreemi f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x-x 0), kus c jääb vahele x Ja x 0 .

Lase x< x 0 . Siis c< x 0 ja f "(c)> 0. Sellepärast f "(c)(x-x 0)< 0 ja seetõttu

f(x) - f(x 0 )< 0, st. f(x)< f(x 0 ).

Lase x > x 0 . Siis c>x 0 ja f "(c)< 0. Tähendab f "(c)(x-x 0)< 0. Sellepärast f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Seega kõigi väärtuste puhul x piisavalt lähedal x 0 f(x) < f(x 0 ) . Ja see tähendab, et hetkel x Funktsioonil 0 on maksimum.

Samamoodi on tõestatud ka miinimumteoreemi teine ​​osa.

Illustreerime selle teoreemi tähendust joonisel. Lase f "(x 1 ) =0 ja mis tahes x, piisavalt lähedal x 1, on ebavõrdsused täidetud

f "(x)< 0 kl x< x 1 , f "(x)> 0 kl x> x 1 .

Seejärel punktist vasakule x 1 funktsioon suureneb ja väheneb paremal, seega millal x = x 1 funktsioon läheb suurenevalt kahanemisele, see tähendab, et sellel on maksimum.

Samamoodi võime kaaluda punkte x 2 ja x 3 .

Kõik ülaltoodud on skemaatiliselt kujutatud pildil:

Ekstreemumi funktsiooni y=f(x) uurimise reegel

Leia funktsiooni domeen f(x).

Leia funktsiooni esimene tuletis f "(x) .

Määrake selle jaoks kriitilised punktid:

leida võrrandi tegelikud juured f "(x) =0;

leida kõik väärtused x mille puhul tuletis f "(x) ei eksisteeri.

Määrake kriitilisest punktist vasakul ja paremal asuva tuletise märk. Kuna tuletise märk jääb kahe kriitilise punkti vahel konstantseks, siis piisab tuletise märgi määramisest kriitilisest punktist ühes punktis vasakul ja ühes punktis paremal.

Arvutage funktsiooni väärtus äärmuspunktides.

Mis on funktsiooni ekstreemum ja mis on ekstreemumi vajalik tingimus?

Funktsiooni ekstreemum on funktsiooni maksimum ja miinimum.

Funktsiooni maksimumi ja miinimumi (ekstreemumi) vajalik tingimus on järgmine: kui funktsioonil f(x) on ekstreemum punktis x = a, siis selles punktis on tuletis kas null või lõpmatu või ei ei eksisteeri.

See tingimus on vajalik, kuid mitte piisav. Tuletis punktis x = a võib minna nulli, lõpmatusse või mitte eksisteerida, ilma et funktsioonil oleks selles punktis ekstreemum.

Mis on funktsiooni ekstreemumi (maksimum või miinimum) piisav tingimus?

Esimene tingimus:

Kui punkti x = a piisavas läheduses on tuletis f?(x) positiivne a-st vasakul ja negatiivne a-st paremal, siis punktis x = a on funktsioonil f(x) maksimaalselt

Kui punktile x = a piisavalt lähedal on tuletis f?(x) a-st vasakul negatiivne ja a-st paremal positiivne, siis punktis x = a on funktsioonil f(x) miinimum eeldusel, et funktsioon f(x) on siin pidev.

Selle asemel võite kasutada funktsiooni ekstreemumi jaoks teist piisavat tingimust:

Olgu punktis x = a esimene tuletis f?(x) kaob; kui teine ​​tuletis f??(a) on negatiivne, siis on funktsioonil f(x) maksimum punktis x = a, kui positiivne, siis miinimum.

Mis on funktsiooni kriitiline punkt ja kuidas seda leida?

See on funktsiooni argumendi väärtus, mille juures funktsioonil on ekstreemum (st maksimum või miinimum). Selle leidmiseks vajate leia tuletis funktsioon f?(x) ja võrdsustades selle nulliga, lahendage võrrand f?(x) = 0. Selle võrrandi juured, aga ka punktid, kus selle funktsiooni tuletist ei eksisteeri, on kriitilised punktid, st argumendi väärtused, mille juures võib esineda ekstreemum. Neid saab hõlpsalt tuvastada vaadates tuletisgraafik: meid huvitavad need argumendi väärtused, mille juures funktsiooni graafik lõikub abstsisstelljega (Ox-telg) ja need, mille juures graafikul esineb katkestusi.

Näiteks leiame parabooli äärmus.

Funktsioon y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funktsiooni tuletis: y?(x) = 6x + 2

Lahendage võrrand: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Sel juhul on kriitiline punkt x0=-1/3. Funktsioonil on selle argumendi väärtusega äärmus. Talle leida, asendage "x" asemel funktsiooni avaldises leitud arv:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kuidas määrata funktsiooni maksimumi ja miinimumi, s.t. selle suurimad ja väikseimad väärtused?

Kui tuletise märk kriitilise punkti x0 läbimisel muutub plussist miinusseks, siis on x0 maksimaalne punkt; kui tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on x0 miinimumpunkt; kui märk ei muutu, siis punktis x0 pole ei maksimumi ega miinimumi.

Vaadeldava näite puhul:

Võtame kriitilisest punktist vasakul oleva argumendi suvalise väärtuse: x = -1

Kui x = -1, on tuletise väärtus y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (st märk on "miinus").

Nüüd võtame kriitilisest punktist paremal oleva argumendi suvalise väärtuse: x = 1

Kui x = 1, on tuletise väärtus y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (st märk on "pluss").

Nagu näete, muutis tuletis kriitilise punkti läbimisel märgi miinusest plussiks. See tähendab, et kriitilise väärtuse x0 juures on meil minimaalne punkt.

Funktsiooni suurim ja väikseim väärtus intervallil(segmendil) leitakse sama protseduuri abil, võttes arvesse ainult asjaolu, et võib-olla ei asu kõik kriitilised punktid määratud intervalli sees. Need kriitilised punktid, mis jäävad väljaspoole intervalli, tuleb vaatlusest välja jätta. Kui intervallis on ainult üks kriitiline punkt, on sellel kas maksimum või miinimum. Sel juhul võtame funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse määramiseks arvesse ka funktsiooni väärtusi intervalli lõpus.

Näiteks leiame funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

intervallidega:

Niisiis, funktsiooni tuletis on

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Lahendame võrrandi 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Leiame kriitilised punktid intervallilt [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (ei sisaldu intervallis)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (ei sisaldu intervallis)

Leiame funktsiooni väärtused argumendi kriitiliste väärtuste juures:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

On näha, et intervallil [-9; 9] funktsioonil on suurim väärtus x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

ja väikseim - x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Intervallil [-6; -3] meil on ainult üks kriitiline punkt: x = -4,88. Funktsiooni väärtus x = -4,88 võrdub y = 5,398.

Leidke funktsiooni väärtus intervalli lõpus:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Intervallil [-6; -3] meil on funktsiooni suurim väärtus

y = 5,398 x = -4,88 juures

väikseim väärtus -

y = 1,077 x = -3 juures

Kuidas leida funktsioonigraafiku käändepunkte ning määrata kumer ja nõgus pool?

Kõikide sirge y = f(x) käändepunktide leidmiseks peate leidma teise tuletise, võrdsustama selle nulliga (lahendama võrrandi) ja testima kõiki neid x väärtusi, mille puhul teine ​​tuletis on null, lõpmatu või seda pole olemas. Kui ühe neist väärtustest läbides muutub teine ​​tuletis märki, siis funktsiooni graafikul on selles punktis kääne. Kui see ei muutu, siis pole kurvi.

Võrrandi f juured? (x) = 0, samuti funktsiooni ja teise tuletise võimalikud katkestuspunktid jagavad funktsiooni definitsioonipiirkonna mitmeks intervalliks. Iga nende intervalli kumerus määratakse teise tuletise märgiga. Kui teine ​​tuletis uuritava intervalli punktis on positiivne, siis sirge y = f(x) on nõgus ülespoole ja kui negatiivne, siis allapoole.

Kuidas leida kahe muutuja funktsiooni äärmusi?

Funktsiooni f(x,y) ekstreemi leidmiseks, mis on selle spetsifikatsiooni domeenis diferentseeruv, on vaja:

1) leidke kriitilised punktid ja lahendage selleks võrrandisüsteem

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) iga kriitilise punkti P0(a;b) puhul uuri, kas erinevuse märk jääb muutumatuks

kõigi punktide (x;y) jaoks, mis on piisavalt lähedal P0-le. Kui erinevus jääb positiivseks, siis punktis P0 on meil miinimum, kui negatiivne, siis maksimum. Kui erinevus ei säilita oma märki, siis punktis P0 ekstreemumit pole.

Funktsiooni äärmused määratakse sarnaselt suurema arvu argumentide korral.

Millal tähistatakse novembris ülemaailmset televisioonipäeva?
17. detsembril 1996 kuulutas Peaassamblee 21. novembri "maailma televisioonipäevaks", et tähistada ÜROs toimunud esimest ülemaailmset televisioonifoorumit. Riikidel paluti seda päeva tähistada, vahetades telesaateid sellistel teemadel nagu rahu ja julgeolek

Mis on linnukirss
Linnukirss on kirsiliik, mis kuulub Rosaceae perekonda ja on pärit Põhja-Euroopast ja Põhja-Aasiast. See on üsna kõrge põõsas, mis ulatub kuni 16 meetri kõrgusele. Tavaliselt on linnukirsi kõrgus umbes 9 meetrit. Seda iseloomustab lillede lõhnav aroom. Kasvab vähemalt 800 meetri kõrgusel merepinnast. Eelistab happelisi tammemuldasid

Milliseid kahte etappi hõlmab rakkude jagunemise periood (faas M)?
Rakutsükkel on raku eksisteerimise periood alates selle moodustumise hetkest emaraku jagunemise teel kuni tema enda jagunemiseni või surmani. Rakutsükli pikkus on erinevates rakkudes erinev. Täiskasvanud organismide kiiresti prolifereeruvad rakud, nagu epidermise ja peensoole vereloome- või basaalrakud, võivad siseneda rakutsüklisse

Miks Opera brauser ei kuva peamenüüd?
Opera brauseris ekraaniruumi säästmiseks on alates versioonist 10.5 peamenüü vaikimisi välja lülitatud. Arendajad tegid selle otsuse seoses väikeste ekraanide ja laiformaadiliste LCD-kuvaritega netbookide levikuga, mille ekraani kõrgus on oluliselt väiksem selle laiusest. Juurdepääs kõigile funktsioonidele, mis olid peamenüüs

Kus asub Bratski linn?
Bratsk on linn Venemaal Irkutski oblastis. Bratski geograafiline asukoht määras selle muutumise põhja "väravaks". Linn asub Venemaa Ida-Siberi piirkonna keskuses Angara harja keskosas Bratski veehoidla kaldal Angara jõe ääres. Kaugus piirkonna keskusest - Irkutski linnast:

Mis on allegooria
Allegooria (kreeka keelest allegooria - allegooria) on allegooria üks vorme, abstraktse mõiste või hinnangu tingimuslik edasiandmine konkreetse kujundi kaudu. Kujutavas kunstis esineb enim allegooriat (naine, kellel on silmside ja kaalud käes – õiglus, ankur – lootus jne). Kirjanduses palju allegoorilisi kujundeid

Kuidas helichrysumi eest hoolitseda
Helichrysum (Immortelle, Tsmin) Ladinakeelne nimetus: Helichrysum Kategooriad: üheaastased taimed, kiviktaimlataimed Perekond: Asteraceae (Compositae). Kodumaa: Helichrysum kasvab Euroopa, Aasia, Aafrika ja Austraalia parasvöötme piirkondades. Milfordi tsmina kodumaa on Kaplinna agul Vorm: rohttaim

Kes kirjutas romaani "Valge ja must"
Romaan “Valge ja must” räägib malest ja maletajatest. Romaani keskseks kujuks on suur maletaja, maailmameister Aleksandr Aljohhin. Romaani "Valge ja must" autor on väljapaistev nõukogude maletaja, rahvusvaheline suurmeister, kirjanik, kirjanike liidu liige

Mis on Daniel Defoe Robinson Crusoe triloogia teise raamatu täispealkiri?
Daniel Defoe (inglise Daniel Defoe; sündinud Daniel Foe nime all; u 1660 - 1731) – inglise kirjanik ja publitsist, tänapäeval tuntud peamiselt romaani "Robinson Crusoe" autorina (nagu teaduslikus kirjanduskriitikas ja kirjastamises tavaks

Mida pätid söövad?
Hermeliin ( Mustela erminea ) on väärtuslik karusloom sibliliste sugukonda. Välimus. Kõik tuhkrute perekonna esindajad on painduva, pikliku kehaga loomad, väga graatsilised ja väledad ning erinevad martenist valge värvuse poolest koonu otsas. Kõrvad on väikesed, ümarad.Hermeliina kehapikkus on 16-3

Milliseid haigusi armeesse ei võeta?
Ajateenistuseks sobivuse kategooriad (“A”, “B”, “C”, “D”, “D”) määrab ajateenija tervisekontrolli käigus sõjaväearstlik komisjon. A - sobib ajateenistuseks. B&nd

Sellest artiklist saab lugeja teada, mis on funktsionaalse väärtuse ekstreemum, samuti selle praktilises tegevuses kasutamise tunnused. Sellise kontseptsiooni uurimine on ülimalt oluline kõrgema matemaatika aluste mõistmiseks. See teema on kursuse põhjalikumaks uurimiseks ülioluline.

Kokkupuutel

Mis on ekstreemum?

Koolikursuses antakse mõistele “äärmus” palju definitsioone. Selle artikli eesmärk on anda kõige sügavam ja selgeim arusaam sellest terminist neile, kes seda teemat ei tunne. Seega mõistetakse mõistet, mil määral omandab funktsionaalne intervall konkreetses komplektis minimaalse või maksimaalse väärtuse.

Ekstreemum on korraga nii funktsiooni minimaalne väärtus kui ka maksimumväärtus. Seal on miinimumpunkt ja maksimumpunkt, see tähendab argumendi äärmuslikud väärtused graafikul. Peamised teadused, mis seda mõistet kasutavad, on järgmised:

• statistika;
• masina juhtimine;
• ökonomeetria.

Ekstreemumipunktid mängivad olulist rolli antud funktsiooni järjestuse määramisel. Graafikul olev koordinaatsüsteem näitab parimal juhul äärmuspositsiooni muutust sõltuvalt funktsionaalsuse muutusest.

Tuletisfunktsiooni äärmus

On olemas ka selline nähtus nagu "tuletis". On vaja määrata äärmuspunkt. Oluline on mitte segi ajada miinimum- või maksimumpunkte kõrgeima ja madalaima väärtusega. Need on erinevad mõisted, kuigi võivad tunduda sarnased.

Funktsiooni väärtus on peamine tegur maksimumpunkti leidmise määramisel. Tuletis ei moodustu väärtustest, vaid eranditult selle äärmisest positsioonist ühes või teises järjekorras.

Tuletis ise määratakse nende ekstreemumipunktide, mitte suurima või väikseima väärtuse järgi. Vene koolides pole nende kahe mõiste vahel selgelt piiritletud, mis mõjutab selle teema mõistmist üldiselt.

Vaatleme nüüd sellist mõistet nagu "äge ekstreemum". Tänapäeval on olemas äge miinimumväärtus ja äge maksimumväärtus. Määratlus on antud vastavalt funktsiooni kriitiliste punktide venekeelsele klassifikatsioonile. Ekstreemumipunkti mõiste on aluseks graafikul kriitiliste punktide leidmisel.

Sellise mõiste määratlemiseks kasutavad nad Fermat' teoreemi. See on äärmuslike punktide uurimisel kõige olulisem ja annab selge ettekujutuse nende olemasolust ühel või teisel kujul. Ekstreemsuse tagamiseks on oluline luua graafikul teatud tingimused vähenemiseks või suurendamiseks.

Küsimusele "kuidas maksimumpunkti leida" täpselt vastamiseks peate järgima neid juhiseid:

1. Täpse definitsioonipiirkonna leidmine graafikult.
2. Otsige funktsiooni ja ekstreemumipunkti tuletist.
3. Lahendage argumendi leitud domeeni standardvõrratused.
4. Oskab tõestada, millistes funktsioonides on graafik punkt defineeritud ja pidev.

Tähelepanu! Funktsiooni kriitilise punkti otsimine on võimalik ainult siis, kui on olemas vähemalt teist järku tuletis, mille tagab äärmuspunkti esinemise suur osakaal.

Funktsiooni ekstreemumi vajalik tingimus

Ekstreemumi olemasoluks on oluline, et oleks olemas nii miinimum- kui ka maksimumpunktid. Kui seda reeglit järgitakse vaid osaliselt, siis rikutakse ekstreemumi olemasolu tingimust.

Iga funktsiooni mis tahes asendis tuleb eristada, et tuvastada selle uusi tähendusi. Oluline on mõista, et nullpunkti mineku juhtum ei ole eristatava punkti leidmise põhiprintsiip.

Äge ekstreemum, nagu ka funktsiooni miinimum, on ülimalt oluline aspekt äärmuslikke väärtusi kasutades matemaatilise ülesande lahendamisel. Selle komponendi paremaks mõistmiseks on oluline funktsionaalsuse täpsustamiseks viidata tabeliväärtustele.

Vaatleme pideva funktsiooni graafikut y=f(x) näidatud joonisel.

Funktsiooni väärtus punktis x 1 on suurem kui funktsiooni väärtused kõigis naaberpunktides nii vasakul kui ka paremal x 1 . Sel juhul ütleme, et funktsioonil on punkt x 1 maksimum. Punktis x Funktsioonil 3 on ilmselgelt ka maksimum. Kui me mõtleme asjale x 2, siis on funktsiooni väärtus selles väiksem kui kõik naaberväärtused. Sel juhul ütleme, et funktsioonil on punkt x 2 miinimum. Sama ka punkti kohta x 4 .

Funktsioon y=f(x) punktis x 0 on maksimaalselt, kui funktsiooni väärtus selles punktis on suurem kui selle väärtused mõne punkti sisaldava intervalli kõigis punktides x 0, st. kui on selline punkti naabruskond x 0, mis sobib kõigile x≠x 0 , kuuludes sellesse naabruskonda, kehtib ebavõrdsus f(x)<f(x 0 ) .

Funktsioon y=f(x) Sellel on miinimum punktis x 0 , kui on selline punkti naabruskond x 0 , see on kõigile x≠x 0, mis kuulub sellesse naabruskonda, kehtib ebavõrdsus f(x)>f(x 0.

Punkte, kus funktsioon saavutab maksimumi ja miinimumi, nimetatakse äärmuspunktideks ja funktsiooni väärtusi nendes punktides nimetatakse funktsiooni ekstreemumideks.

Pöörame tähelepanu asjaolule, et lõigul defineeritud funktsioon võib saavutada maksimumi ja miinimumi ainult vaadeldava lõigu punktides.

Pange tähele, et kui funktsioonil on mingis punktis maksimum, ei tähenda see, et sellel hetkel on funktsioonil suurim väärtus kogu definitsioonipiirkonnas. Eespool käsitletud joonisel funktsioon punktis x 1 on maksimum, kuigi on punkte, kus funktsiooni väärtused on suuremad kui punktis x 1 . Eriti, f(x 1) < f(x 4) st. funktsiooni miinimum on suurem kui maksimum. Maksimumi definitsioonist järeldub vaid, et see on funktsiooni suurim väärtus maksimumpunktile piisavalt lähedal asuvates punktides.

Teoreem 1. (Vajalik tingimus ekstreemumi olemasoluks.) Kui diferentseeritav funktsioon y=f(x) on punktis x=x 0 ekstreemum, siis muutub selle tuletis selles punktis nulliks.

Tõestus. Olgu kindluse mõttes punktis x Funktsioonil 0 on maksimum. Seejärel piisavalt väikeste sammude korral Δ x meil on f(x 0 + Δ x) 0 ) , st. Kuid siis