Probleem 1.2
Antud on kaks täisarvu X ja T. Kui neil on erinevad märgid, siis määra X-le nende arvude korrutise väärtus ja T-le nende absoluutse erinevuse väärtus. Kui arvudel on samad märgid, siis määra X-le algarvude erinevuse väärtus ja T-le nende arvude korrutise väärtus. Kuvage ekraanil uued X- ja T-väärtused.
Ülesanne pole ka raske. “Arusaamatused” võivad tekkida ainult siis, kui olete unustanud, mis on moodulite erinevus (loodan, et mäletate veel, mis on kahe täisarvu korrutis))).
Kahe arvu mooduli erinevus
Kahe täisarvu moodulite erinevus (kuigi mitte tingimata täisarvud - see pole oluline, lihtsalt meie ülesandes on arvud täisarvud) - see on lihtsalt öeldes, kui arvutuse tulemuseks on kahe erinevuse moodul numbrid.
See tähendab, et kõigepealt tehakse ühe arvu teisest lahutamise toiming. Ja siis arvutatakse selle toimingu tulemuse moodul.
Matemaatiliselt saab selle kirjutada nii:
Kui keegi on unustanud, mis on moodul või kuidas seda Pascalis arvutada, siis vaata.
Algoritm kahe arvu märkide määramiseks
Probleemi lahendus tervikuna on üsna lihtne. Ainus, mis algajatele raskusi võib tekitada, on kahe numbri märkide tuvastamine. See tähendab, et peame vastama küsimusele: kuidas teada saada, kas numbritel on samad või erinevad märgid.
Esiteks soovitab see arvude ükshaaval võrdlust nulliga. See on vastuvõetav. Kuid lähtekood on üsna suur. Seetõttu on õigem kasutada seda algoritmi:
- Korrutage arvud üksteisega
- Kui tulemus on väiksem kui null, siis on numbritel erinevad märgid
- Kui tulemus on null või suurem kui null, siis on arvudel samad märgid
Rakendasin selle algoritmi eraldi . Ja programm ise osutus selliseks, nagu on näidatud allolevates Pascali ja C++ näidetes.
Ülesande 1.2 lahendamine Pascalis programmi kontrollnumbrid; var A, X, T: täisarv; //**************************************************** **************** // Kontrollib, kas numbritel N1 ja N2 on samad märgid. Kui jah, siis // tagastab väärtuse TRUE, vastasel juhul - FALSE //*********************************** * *************************** funktsioon ZnakNumbers(N1, N2: täisarv) : tõeväärtus; alustada := (N1 * N2) >= 0; lõpp; //**************************************************** **************** // PÕHIPROGRAMM //******************************** *************************************** begin Write("X = "); ReadLn(X); Write("T = "); ReadLn(T); if ZnakNumbers(X, T) then //Kui arvudel on samad märgid, algab A:= (X - T); //Saame erinevuse mooduli algarvud T:= X * T; end else //Kui numbritel on erinevad märgid, algab A:= X * T; T:= Abs(X - T); lõpp; X:=A; //Kirjutage A väärtus X-ks WriteLn("X = ", X); //Väljund X WriteLn("T = ", T); //Väljund T WriteLn("Lõpp. Vajuta ENTER..."); ReadLn; lõpp.
Ülesande 1.2 lahendamine C++ keeles#include #include kasutades nimeruumi std; int A, X, T; //**************************************************** **************** // Kontrollib, kas numbritel N1 ja N2 on samad märgid. Kui jah, siis // tagastab väärtuse TRUE, muidu - FALSE //*********************************** * *************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) (tagasi ((N1 * N2) >= 0); ) //**************************************************** ****** ***************** // PÕHIPROGRAMM //************************ ****** ********************************************* int main( int argc, char *argv) ( cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Kui arvudel on samad märgid ( A = abs(X - T); //Hangi erinevuse moodul algsed arvud T = X * T; ) else // Kui numbritel on erinevad märgid ( A = X * T; T = abs(X - T); ) X = A; //Kirjutage A väärtus X cout
Optimeerimine
Seda lihtsat programmi saab veel veidi lihtsustada, kui te seda funktsiooni ei kasuta ja programmi lähtekoodi veidi ümber töötate. See vähendab veidi lähtekoodi ridade koguarvu. Kuidas seda teha - mõelge ise.
Vaatame korrutamise kontseptsiooni näite abil:
Turistid olid teel kolm päeva. Iga päev kõndisid nad sama rada 4200 m. Kui suure vahemaa läbisid nad kolme päevaga? Lahendage probleem kahel viisil.
Lahendus:
Vaatleme probleemi üksikasjalikult.
Esimesel päeval kõndisid turistid 4200m. Teisel päeval läbisid turistid sama rada 4200m ja kolmandal päeval – 4200m. Kirjutame selle matemaatilises keeles:
4200+4200+4200=12600m.
Näeme, et arvu 4200 muster kordub kolm korda, seetõttu saab summa asendada korrutamisega:
4200⋅3=12600m.
Vastus: turistid kõndisid kolme päevaga 12 600 meetrit.
Vaatame näidet:
Pika kirje kirjutamise vältimiseks võime selle kirjutada korrutamise kujul. Arvu 2 korratakse 11 korda, nii et korrutamise näide näeks välja järgmine:
2⋅11=22
Tehke kokkuvõte. Mis on korrutamine?
Korrutamine– see on toiming, mis asendab termini kordamist m n korda.
Nimetatakse tähistust m⋅n ja selle avaldise tulemust arvude korrutis, ning kutsutakse numbreid m ja n kordajad.
Vaatame seda näitega:
7⋅12=84
Nimetatakse avaldis 7⋅12 ja tulemus 84 arvude korrutis.
Kutsutakse numbreid 7 ja 12 kordajad.
Matemaatikas on mitu korrutamisseadust. Vaatame neid:
Korrutamise kommutatiivne seadus.
Mõelgem probleemile:
Andsime 5 oma sõbrale kaks õuna. Matemaatiliselt näeb kirje välja selline: 2⋅5.
Või kinkisime kahele sõbrale 5 õuna. Matemaatiliselt näeb kirje välja selline: 5⋅2.
Esimesel ja teisel juhul jagame sama arvu õunu 10 tükiga.
Kui korrutada 2⋅5=10 ja 5⋅2=10, siis tulemus ei muutu.
Kommutatiivse korrutamise seaduse omadus:
Faktorite kohtade muutmine ei muuda toodet.
m⋅
n=n⋅m
Korrutamise kombineeritud seadus.
Vaatame näidet:
(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 või 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 saame,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a⋅
b) ⋅
c=
a⋅(b⋅
c)
Assotsiatiivse korrutamise seaduse omadus:
Arvu korrutamiseks kahe arvu korrutisega saate selle esmalt korrutada esimese teguriga ja seejärel korrutada saadud korrutise teisega.
Kui vahetada mitu tegurit ja panna need sulgudesse, ei muutu tulemus ega toode.
Need seadused kehtivad kõigi naturaalarvude puhul.
Suvalise naturaalarvu korrutamine ühega.
Vaatame näidet:
7⋅1=7 või 1⋅7=7
a⋅1=a või 1⋅a=
a
Kui naturaalarv korrutatakse ühega, on korrutis alati sama arv.
Suvalise naturaalarvu korrutamine nulliga.
6⋅0=0 või 0⋅6=0
a⋅0=0 või 0⋅a=0
Kui mis tahes naturaalarv korrutatakse nulliga, võrdub korrutis nulliga.
Küsimused teemale “Korrutamine”:
Mis on arvude korrutis?
Vastus: arvude või arvude korrutis on avaldis m⋅n, kus m on liige ja n on selle liikme korduste arv.
Milleks korrutamist kasutatakse?
Vastus: selleks, et mitte kirjutada pikka numbrite liitmist, vaid kirjutada lühendatult. Näiteks 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18
Mis on korrutamise tulemus?
Vastus: töö mõte.
Mida tähendab korrutamine 3⋅5?
Vastus: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15
Kui korrutada miljon nulliga, siis millega korrutis võrdub?
Vastus: 0
Näide nr 1:
Asenda summa tootega: a) 12+12+12+12+12 b)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Vastus: a) 12⋅5=60 b) 3⋅9=27
Näide nr 2:
Kirjutage see tootena üles: a) a+a+a+a b) c+c+c+c+c+c+c
Lahendus:
a)a+a+a+a=4⋅a
b) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s
Ülesanne nr 1:
Ema ostis 3 karpi šokolaadi. Igas karbis on 8 kommi. Mitu kommi ema ostis?
Lahendus:
Ühes karbis on 8 kommi ja meil on 3 sellist karpi.
8+8+8=8⋅3=24 kommi
Vastus: 24 kommi.
Ülesanne nr 2:
Kunstiõpetaja käskis oma kaheksal õpilasel igaks tunniks ette valmistada seitse pliiatsit. Mitu pliiatsit oli lastel kokku?
Lahendus:
Saate arvutada ülesande summa. Esimesel õpilasel oli 7 pliiatsit, teisel 7 pliiatsit jne.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Salvestus osutus ebamugavaks ja pikaks, asendame summa tootega.
7⋅8=56
Vastus on 56 pliiatsit.
Selles artiklis selgitame välja, kuidas seda teha täisarvude korrutamine. Esiteks tutvustame termineid ja tähistusi ning selgitame välja ka kahe täisarvu korrutamise tähenduse. Pärast seda saame reeglid kahe positiivse täisarvu, negatiivsete täisarvude ja erinevate märkidega täisarvude korrutamiseks. Samas toome näiteid koos lahendusprotsessi üksikasjaliku selgitusega. Samuti käsitleme täisarvude korrutamise juhtumeid, kui üks teguritest on võrdne ühe või nulliga. Järgmisena õpime, kuidas kontrollida saadud korrutamistulemust. Ja lõpuks, räägime kolme, nelja ja enama täisarvu korrutamisest.
Leheküljel navigeerimine.
Tingimused ja sümbolid
Täisarvude korrutamise kirjeldamiseks kasutame samu termineid, millega kirjeldasime naturaalarvude korrutamist. Tuletame neile meelde.
Korrutatud täisarvud nimetatakse kordajad. Korrutamise tulemust nimetatakse tööd. Korrutamistoimingut tähistab vormi "·" korrutamismärk. Mõnes allikas võib leida korrutamist, mis on tähistatud märkidega “*” või “×”.
Korrutatud täisarvud a, b ja nende korrutamise tulemuse c on mugav kirjutada kasutades võrdsust kujul a·b=c. Selles tähistuses on täisarv a esimene tegur, täisarv b on teine tegur ja täisarv c on korrutis. kujul a·b nimetatakse ka korrutiseks, nagu ka selle avaldise väärtust c .
Tulevikku vaadates märgime, et kahe täisarvu korrutis tähistab täisarvu.
Täisarvude korrutamise tähendus
Positiivsete täisarvude korrutamine
Positiivsed täisarvud on naturaalarvud, seega positiivsete täisarvude korrutamine viiakse läbi vastavalt kõikidele naturaalarvude korrutamise reeglitele. On selge, et kahe positiivse täisarvu korrutamisel saadakse positiivne täisarv (loomulik arv). Vaatame paari näidet.
Näide.
Mis on positiivsete täisarvude 127 ja 5 korrutis?
Lahendus.
Esitame esimese teguri 107 bitiliikmete summana ehk kujul 100+20+7. Pärast seda kasutame reeglit arvude summa korrutamiseks etteantud arvuga: 127·5=(100+20+7)·5=100·5+20·5+7,5. Jääb vaid arvutus lõpule viia: 100·5+20·5+7·5= 500+100+35=600+35=635.
Seega on antud positiivsete täisarvude 127 ja 5 korrutis 635.
Vastus:
127·5=635.
Mitmekohaliste positiivsete täisarvude korrutamiseks on mugav kasutada veergude korrutamise meetodit.
Näide.
Korrutage kolmekohaline positiivne täisarv 712 kahekohalise positiivse täisarvuga 92.
Lahendus.
Korrutame need positiivsed täisarvud veergu: 
Vastus:
712·92=65 504.
Täisarvude erinevate märkidega korrutamise reegel, näited
Järgmine näide aitab meil sõnastada reeglit täisarvude erinevate märkidega korrutamiseks.
Arvutame korrutamise tähenduse põhjal negatiivse täisarvu −5 ja positiivse täisarvu 3 korrutise. Niisiis (−5)·3=(−5)+(−5)+(−5)=−15. Selleks, et korrutamise kommutatiivne omadus jääks kehtima, peab olema täidetud võrdus (−5)·3=3·(−5). See tähendab, et korrutis 3·(−5) on samuti võrdne −15. On hästi näha, et −15 on võrdne algtegurite moodulite korrutisega, mis tähendab, et erinevate märkidega algsete täisarvude korrutis on võrdne miinusmärgiga võetud algtegurite moodulite korrutisega .
Nii et saime reegel erinevate märkidega täisarvude korrutamiseks: kahe erineva märgiga täisarvu korrutamiseks peate korrutama nende arvude moodulid ja panema saadud arvu ette miinusmärgi.
Toodud reeglist saame järeldada, et erinevate märkidega täisarvude korrutis on alati negatiivne täisarv. Tõepoolest, tegurite moodulite korrutamise tulemusena saame positiivse täisarvu ja kui paneme selle arvu ette miinusmärgi, muutub see negatiivseks täisarvuks.
Vaatame näiteid erinevate märkidega täisarvude korrutise arvutamisest saadud reegli abil.
Näide.
Korrutage positiivne täisarv 7 negatiivse täisarvuga −14.
Lahendus.
Kasutame reeglit erinevate märkidega täisarvude korrutamiseks. Kordajate moodulid on vastavalt 7 ja 14. Arvutame moodulite korrutise: 7·14=98. Jääb üle vaid panna saadud arvu ette miinusmärk: −98. Niisiis, 7·(−14)=−98.
Vastus:
7·(−14)=−98 .
Näide.
Arvutage korrutis (−36)·29.
Lahendus.
Peame arvutama erinevate märkidega täisarvude korrutise. Selleks arvutame tegurite absoluutväärtuste korrutise: 36·29 = 1,044 (parem on korrutada veerus). Nüüd paneme numbri 1044 ette miinusmärgi, saame −1044.
Vastus:
(−36)·29=−1,044 .
Selle lõigu lõpetuseks tõestame võrdsuse a·(−b)=−(a·b) kehtivust, kus a ja −b on suvalised täisarvud. Selle võrdsuse erijuhtumiks on sätestatud reegel erinevate märkidega täisarvude korrutamiseks.
Teisisõnu peame tõestama, et avaldiste a·(−b) ja a·b väärtused on vastandarvud. Selle tõestamiseks leiame summa a·(−b)+a·b ja veendume, et see on võrdne nulliga. Täisarvude korrutamise jaotusomaduse tõttu liitmise suhtes on võrdus a·(−b)+a·b=a·((−b)+b) tõene. Summa (−b)+b võrdub nulliga kui vastandlike täisarvude summa, siis a·((-b)+b)=a·0. Viimane korrutis võrdub nulliga täisarvu nulliga korrutamise omaduse järgi. Seega a·(−b)+a·b=0, järelikult on a·(−b) ja a·b vastandarvud, mis tähendab võrdsust a·(−b)=−(a·b) . Samamoodi saame näidata, et (−a) b=−(a b) .
Negatiivsete täisarvude korrutamise reegel, näited
Võrdsus (−a)·(−b)=a·b, mida me nüüd tõestame, aitab meil saada kahe negatiivse täisarvu korrutamise reeglit.
Eelmise lõigu lõpus näitasime, et a·(−b)=−(a·b) ja (−a)·b=−(a·b) , seega saame kirjutada järgmise võrduste ahela (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b)). Ja tulemuseks olev avaldis −(−(a·b)) pole midagi muud kui a·b tänu vastandarvude definitsioonile. Niisiis, (−a)·(−b)=a·b.
Tõestatud võrdsus (−a)·(−b)=a·b võimaldab sõnastada negatiivsete täisarvude korrutamise reegel: Kahe negatiivse täisarvu korrutis on võrdne nende arvude moodulite korrutisega.
Nimetatud reeglist järeldub, et kahe negatiivse täisarvu korrutamise tulemus on positiivne täisarv.
Vaatleme selle reegli rakendamist negatiivsete täisarvude korrutamisel.
Näide.
Arvutage korrutis (−34)·(−2) .
Lahendus.
Peame korrutama kaks negatiivset täisarvu −34 ja −2. Kasutame vastavat reeglit. Selleks leiame kordajate moodulid: ja . Jääb üle arvutada arvude 34 ja 2 korrutis, mida me teame. Lühidalt võib kogu lahenduse kirjutada kujul (−34)·(−2)=34·2=68.
Vastus:
(−34)·(−2)=68 .
Näide.
Korrutage negatiivne täisarv −1041 negatiivse täisarvuga −538.
Lahendus.
Negatiivsete täisarvude korrutamise reegli järgi on soovitud korrutis võrdne tegurite moodulite korrutisega. Kordajate moodulid on vastavalt 1041 ja 538. Teeme veeru korrutamise: 
Vastus:
(−1041)·(−538)=560058 .
Täisarvu korrutamine ühega
Iga täisarvu a korrutamine ühega annab tulemuseks arvu a. Me mainisime seda juba siis, kui arutasime kahe täisarvu korrutamise tähendust. Seega a·1=a . Korrutamise kommutatiivse omaduse tõttu peab võrdus a·1=1·a olema tõene. Seega 1·a=a.
Ülaltoodud arutluskäik viib meid kahe täisarvu korrutamise reeglini, millest üks on võrdne ühega. Kahe täisarvu korrutis, milles üks teguritest on üks, on võrdne teise teguriga.
Näiteks 56·1=56, 1·0=0 ja 1·(−601)=−601. Toome veel paar näidet. Täisarvude −53 ja 1 korrutis on −53 ning ühe ja negatiivse täisarvu −989 981 korrutis −989 981.
Täisarvu korrutamine nulliga
Leppisime kokku, et iga täisarvu a ja nulli korrutis on võrdne nulliga, st a·0=0. Korrutamise kommutatiivne omadus sunnib meid aktsepteerima võrdsust 0·a=0. Seega kahe täisarvu korrutis, milles vähemalt üks teguritest on null, on võrdne nulliga. Täpsemalt on nulli nulliga korrutamise tulemus null: 0·0=0.
Toome paar näidet. Positiivse täisarvu 803 ja nulli korrutis on võrdne nulliga; nulli negatiivse täisarvuga −51 korrutamise tulemus on null; samuti (−90 733)·0=0 .
Pange tähele ka seda, et kahe täisarvu korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga.
Täisarvude korrutamise tulemuse kontrollimine
Kahe täisarvu korrutamise tulemuse kontrollimine viiakse läbi jaotuse abil. Saadud korrutis tuleb jagada ühe teguriga; kui selle tulemuseks on teise teguriga võrdne arv, siis korrutamine tehti õigesti. Kui tulemus on teisest liikmest erinev arv, siis on kuskil viga tehtud.
Vaatame näiteid, milles kontrollitakse täisarvude korrutamise tulemust.
Näide.
Kahe täisarvu −5 ja 21 korrutamise tulemusena saadi arv −115. Kas korrutis on õigesti arvutatud?
Lahendus.
Kontrollime. Selleks jagage arvutatud korrutis −115 ühe teguriga, näiteks −5., kontrollige tulemust. (−17)·(−67)=1 139 .
Kolme või enama täisarvu korrutamine
Täisarvude korrutamise kombineeriv omadus võimaldab meil üheselt määrata kolme, nelja või enama täisarvu korrutise. Samal ajal võimaldavad ülejäänud täisarvude korrutamise omadused väita, et kolme või enama täisarvu korrutis ei sõltu sulgude paigutamise viisist ja tegurite järjekorrast korrutis. Põhjendasime sarnaseid väiteid, kui rääkisime kolme või enama naturaalarvu korrutamisest. Täisarvuliste tegurite puhul on põhjendus täiesti sama.
Vaatame näidislahendust.
Näide.
Arvutage viie täisarvu 5, -12, 1, -2 ja 15 korrutis.
Lahendus.
Saame järjestikku vasakult paremale asendada kaks külgnevat tegurit nende korrutisega: 5·(−12)·1·(−2)·15= (−60)·1·(−2)·15= (−60)· (−2 )·15= 120·15=1800. See toote arvutamise valik vastab järgmisele sulgude paigutamise meetodile: (((5·(−12))·1)·(−2))·15.
Võiksime ka mõned tegurid ümber paigutada ja sulud teisiti paigutada, kui see võimaldab antud viie täisarvu korrutist tõhusamalt arvutada. Näiteks oli võimalik tegurid ümber paigutada järgmises järjekorras 1·5·(−12)·(−2)·15 ja seejärel paigutada sulud nii ((1 · 5) · (−12)) · ((−2) · 15). Sel juhul on arvutused järgmised: ((1·5)·(−12))·((−2)·15)=(5·(−12))·((−2)·15)= (−60)·(−30)=1 800 .
Nagu näete, viisid erinevad sulgude paigutamise võimalused ja tegurite erinevad järjestused meid sama tulemuseni.
Vastus:
5·(−12)·1·(−2)·15=1 800.
Eraldi märgime, et kui tootes on kolm, neli jne. täisarvude puhul on vähemalt üks teguritest võrdne nulliga, siis on korrutis võrdne nulliga. Näiteks nelja täisarvu 5, −90321, 0 ja 111 korrutis on võrdne nulliga; Kolme täisarvu 0, 0 ja −1983 korrutamise tulemus on samuti null. Tõsi on ka vastupidi: kui korrutis on võrdne nulliga, siis on vähemalt üks teguritest võrdne nulliga.
Paljude probleemide lahendamiseks “maksimaalselt ja minimaalselt”, s.t. Muutuja suurima ja väikseima väärtuse leidmiseks saate edukalt kasutada mõnda algebralist väidet, millega me nüüd tutvume.
x y
Kaaluge järgmist probleemi:
Milliseks kaheks osaks tuleks see arv jagada, et nende toode oleks suurim?
Olgu antud numberA. Seejärel osad, milleks arv on jagatudA, võib tähistada
a/2 + x Ja a/2 - x;
number X näitab, kui palju need osad erinevad poolest arvust A. Mõlema poole korrutis on võrdne
(a/2 + x) · ( a/2 - x) = a 2/4 - x 2.
On selge, et võetud osade korrutis suureneb X, st. kuna nende osade vahe väheneb. Suurim toode saab olema x = 0, st. juhul, kui mõlemad pooled on võrdsed a/2.
Niisiis,
kahe konstantse summaga arvu korrutis on suurim, kui need arvud on üksteisega võrdsed.
x y z
Vaatleme sama küsimust kolme numbri puhul.
Milliseks kolmeks osaks tuleks see arv jagada, et nende toode oleks suurim?
Selle probleemi lahendamisel tugineme eelmisele.
Lase numbril A jagatud kolmeks osaks. Oletame esmalt, et kumbki osa pole võrdne a/3.Siis tuleb nende sekka osa, suur a/3(kõik kolm ei saa olla vähem a/3); tähistame seda
a/3+x.
Samamoodi jääb nende hulka ka väiksem osa a/3; tähistame seda
a/3 - a.
Numbrid X Ja juures on positiivsed. Kolmas osa on ilmselt võrdne
a/3 + y - x.
Numbrid a/3 Ja a/3 + x - y on sama summa kui kahe esimese numbri osa A, ja nende erinevus, s.o. x - y, väiksem kui kahe esimese osa vahe, mis oli võrdne x + y. Nagu me teame eelmise probleemi lahendusest, järeldub sellest, et toode
a/3 · ( a/3 + x - y)
suurem kui arvu kahe esimese osa korrutis A.
Seega, kui arvu kaks esimest osa A asendada numbritega
a/3 Ja a/3 + x - y,
ja jätke kolmas muutmata, siis toode suureneb.
Olgu nüüd üks osadest juba võrdne a/3. Siis on kahel teisel kujul vorm
a/3+z Ja a/3 - z.
Kui muudame need kaks viimast osa võrdseks a/3 (sellepärast nende summa ei muutu), siis korrutis suureneb uuesti ja muutub võrdseks
a/3 a/3 a/3 = a 3/27 .
Niisiis,
kui arv a on jagatud 3 osaks, mis ei ole üksteisega võrdsed, siis on nende osade korrutis väiksem kui 3/27, s.o. kui kolme võrdse teguri korrutis, mis annavad kokku a.
Sarnasel viisil saate seda teoreemi tõestada nelja teguri, viie jne jaoks.
x p · y q
Vaatleme nüüd üldisemat juhtumit.
Milliste x ja y väärtuste korral on avaldis x p y q suurim, kui x + y = a?
Peame leidma, millise x väärtuse juures on avaldis
x p ·(a - x) q
saavutab oma suurima väärtuse.
Korrutame selle avaldise arvuga 1/р p q q. Võtame uue väljendi
x p / p p · (a-x ) q / q q,
mis saavutab oma suurima väärtuse ilmselgelt algse väärtusega samal ajal.
Esitame nüüd saadud avaldise kujul
(a-x) /q (a-x) /q · ... · (a-x) /q ,
kus esimest tüüpi tegurid korduvad lküks ja kaks korda - qüks kord.
Selle avaldise kõigi tegurite summa on võrdne
x / p + x / p + ... + x / p + (a-x) /q+ (a-x) /q + ... + (a-x) /q =
= px / p + q (a-x) / q = x + a - x = a ,
need. püsiv väärtus.
Varem tõestatu põhjal järeldame, et toode
x/p · x/p · ... · x/p · (a-x) /q (a-x) /q · ... · (a-x) /q
saavutab maksimumi siis, kui kõik selle üksikud tegurid on võrdsed, s.t. Millal
x/p= (a-x) /q.
Teades seda a - x = y, saame termineid ümber paigutades proportsiooni
x / y = p / q.
Niisiis,
korrutis x p y q, mille summa x + y on konstantne, saavutab suurima väärtuse siis, kui
x: y = p: q .
Samamoodi saab seda tõestada
töötab
x p y q z r , x p y q z r t u jne.
püsivate summadega x + y + z, x + y + z + t jne. saavutavad oma suurima väärtuse
x: y: z = p: q: r,x: y: z: t = p: q: r: u jne.
Identsed terminid. Näiteks märge 5*3 tähendab “5 lisatakse endale 3 korda”, see tähendab, et see on lihtsalt 5+5+5 lühike märge. Korrutamise tulemust nimetatakse tööd, ja korrutatavad numbrid on kordajad või tegurid. Samuti on olemas korrutustabelid.
Salvestus
Korrutamist tähistab tärn *, rist või punkt. Postitused
tähendavad sama asja. Korrutamismärk jäetakse sageli välja, kui see ei tekita segadust. Näiteks kirjutavad nad tavaliselt .
Kui tegureid on palju, saab osa neist asendada ellipsiga. Näiteks täisarvude 1 kuni 100 korrutist saab kirjutada järgmiselt
Tähestikulises märgistuses kasutatakse ka toote sümbolit: 
Vaata ka
Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.
Vaadake, mis on "toode (matemaatika)" teistes sõnaraamatutes:
- (matemaatika) korrutamise tulemus. Kunstiteos. Muusikaline kompositsioon. Audiovisuaalne töö. Teenindustööd... Vikipeedia
Kahe või enama objekti korrutis on kategooriateoorias selliste mõistete üldistus nagu hulkade Descartes'i korrutis, rühmade otsekorrutis ja topoloogiliste ruumide korrutis. Objektide perekonna toode on... ... Wikipedias
Kroneckeri korrutis on kahendtehte suvalise suurusega maatriksitel, mida tähistatakse . Tulemuseks on plokkmaatriks. Kroneckeri korrutist ei tohiks segi ajada tavalise maatrikskorrutisega. Operatsioon on oma nime saanud saksakeelse... ... Wikipedia järgi
Teadusajalugu Teemade kaupa Matemaatika Loodusteadused ... Vikipeedia
I. Matemaatika aine definitsioon, seos teiste teaduste ja tehnikaga. Matemaatika (kreeka mathematike, sõnast máthema teadmised, teadus), reaalse maailma kvantitatiivsete suhete ja ruumivormide teadus. "Puhas... Suur Nõukogude entsüklopeedia
Kategooriateooria on matemaatika haru, mis uurib matemaatiliste objektide vaheliste suhete omadusi, mis ei sõltu objektide sisemisest struktuurist. Mõned matemaatikud [kes?] peavad kategooriateooriat liiga abstraktseks ja sobimatuks... ... Wikipedia jaoks
Vektor Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Vektor ... Wikipedia
Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt funktsiooni. Taotlus "Kuva" suunatakse siia; vaata ka teisi tähendusi... Vikipeedia
Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Kasutamine. Vastandamistoiming, mis määrab ühe või mitu komplekti elementi (argumente) teisele elemendile (väärtusele). Mõistet “operatsioon” kasutatakse tavaliselt... ... Vikipeedia kohta
Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Rootor. Rootor ehk keeris on vektori diferentsiaaloperaator vektorvälja kohal. Tähistatakse (venekeelses kirjanduses) või (ingliskeelses kirjanduses) ja ka vektorkorrutis ... Wikipedia
Raamatud
- Tabelite komplekt. Matemaatika. 4. klass. 8 tabelit + metoodika,. Õppealbum 8 lehest (formaat 68 x 98 cm): - Aktsiad. - Arvu korrutisega jagamine. - Koguste liitmine ja lahutamine. - Koguste korrutamine ja jagamine. - Kirjalik korrutis...
- Kirik Novgorodets – 12. sajandi vene teadlane vene raamatukultuuris, Simonov R.A.. Raamat on pühendatud esimese nimeliselt tuntud vene matemaatiku ja kalendrispetsialisti, Novgorodi munga Kiriku (1110 – pärast 1156) elule ja loomingule, kes kirjutas 1136. aastal teadusliku traktaadi, ...