Mis on järjestuse määratlus. Järjestus järjestikune

Definitsioon .
Numbriline jada (xn) on seadus (reegel), mille kohaselt iga naturaalarvu n = 1, 2, 3, . . . määratakse teatud arv x n.
Elementi x n nimetatakse jada n-ndaks liikmeks või elemendiks.

Jada on tähistatud n-nda terminina, mis on suletud sulgudes: . Võimalikud on ka järgmised tähistused: . Need näitavad selgesõnaliselt, et indeks n kuulub naturaalarvude hulka ja jadas endas on lõpmatu arv liikmeid. Siin on mõned näited jadadest:
, , .

Teisisõnu on arvujada funktsioon, mille määratluspiirkond on naturaalarvude hulk. Jada elementide arv on lõpmatu. Elementide hulgas võib olla ka liikmeid, millel on sama tähendus. Samuti võib jada käsitleda kui nummerdatud arvude kogumit, mis koosneb lõpmatust arvust liikmetest.

Peamiselt huvitab meid küsimus, kuidas jadad käituvad, kui n kaldub lõpmatuseni: . See materjal on esitatud jaotises Jada piir - põhiteoreemid ja omadused. Siin vaatleme mõningaid järjestuste näiteid.

Järjestuste näited

Näited lõpmatult kasvavatest jadadest

Mõelge järjestusele. Selle jada ühine liige on . Paneme kirja paar esimest terminit:
.
On näha, et arvu n kasvades suurenevad elemendid määramatult positiivsete väärtuste suunas. Võime öelda, et see jada kipub: for .

Nüüd kaaluge jada ühise terminiga. Siin on selle paar esimest liiget:
.
Arvu n kasvades suurenevad selle jada elemendid absoluutväärtuses piiramatult, kuid neil puudub konstantne märk. See tähendab, et see jada kipub: juures .

Näited jadadest, mis koonduvad lõplikule arvule

Mõelge järjestusele. Tema ühine liige. Esimestel terminitel on järgmine vorm:
.
On näha, et arvu n kasvades lähenevad selle jada elemendid oma piirväärtusele a = 0 : kell . = 0 veaga. Selge on see, et n kasvades kipub see viga nulli, ehk n valides saab vea teha nii väikeseks kui soovitakse. Veelgi enam, mis tahes antud vea korral ε > 0 saab määrata arvu N nii, et kõigi elementide puhul, mille numbrid on suuremad kui N:, ei ületa arvu kõrvalekalle piirväärtusest a viga ε:.

Järgmisena kaaluge järjestust. Tema ühine liige. Siin on mõned selle esimesed liikmed:
.
Selles jadas on paarisarvuga terminid võrdsed nulliga. Paaritu n-ga liikmed on võrdsed. Seega, kui n suureneb, lähenevad nende väärtused piirväärtusele a = 0 . See tuleneb ka sellest, et
.
Nii nagu eelmises näites, saame määrata suvaliselt väikese vea ε > 0 , mille puhul on võimalik leida arv N nii, et elemendid, mille arvud on suuremad kui N, kalduvad kõrvale piirväärtusest a = 0 summaga, mis ei ületa määratud viga. Seetõttu läheneb see jada väärtusele a = 0 : kell .

Erinevate järjestuste näited

Mõelge järgmise üldterminiga jadale:

Siin on selle esimesed liikmed:

.
On näha, et paarisarvudega terminid:
,
koonduda väärtusele a 1 = 0 . Paaritu arvuga liikmed:
,
koonduda väärtusele a 2 = 2 . Jada ise, kui n kasvab, ei koondu ühelegi väärtusele.

Jada terminitega, mis on jaotatud intervallis (0;1)

Vaatame nüüd huvitavamat jada. Võtame arvujoonel lõigu. Jagame selle pooleks. Saame kaks segmenti. Lase
.
Jagame kõik segmendid uuesti pooleks. Saame neli segmenti. Lase
.
Jagame iga segmendi uuesti pooleks. Võtame

.
Ja nii edasi.

Selle tulemusena saame jada, mille elemendid on jaotatud avatud intervalliga (0; 1) . Ükskõik millise punkti me suletud intervallist võtame , saame alati leida jada liikmeid, mis on sellele punktile meelevaldselt lähedal või langevad sellega kokku.

Seejärel saab algsest jadast valida alamjada, mis koondub intervalli suvalise punktini . See tähendab, et arvu n kasvades jõuavad alamjada liikmed eelvalitud punktile järjest lähemale.

Näiteks punkti a jaoks = 0 saate valida järgmise alamjärjestuse:
.
= 0 .

Punkti a jaoks = 1 Valime järgmise alamjada:
.
Selle alamjada tingimused lähenevad väärtusele a = 1 .

Kuna on alamjadasid, mis koonduvad erinevatele väärtustele, siis algne jada ise ei koondu ühelegi arvule.

Jada, mis sisaldab kõiki ratsionaalarve

Nüüd koostame jada, mis sisaldab kõiki ratsionaalseid arve. Pealegi ilmub iga ratsionaalne arv sellises järjestuses lõpmatu arv kordi.

Ratsionaalarvu r võib esitada järgmiselt:
,
kus on täisarv; - loomulik.
Peame iga naturaalarvu n seostama arvude p ja q paariga, nii et meie jada kaasatakse mis tahes paar p ja q.

Selleks tõmmake tasapinnale p- ja q-telg. Joonistame võrgujooned läbi p ja q täisarvu väärtuste. Siis vastab selle võrgu iga sõlm c ratsionaalarvule. Kogu ratsionaalarvude komplekti esindab sõlmede komplekt. Peame leidma viisi kõigi sõlmede nummerdamiseks, et ükski sõlm ei jääks kahe silma vahele. Seda on lihtne teha, kui nummerdate sõlmed ruutude kaupa, mille keskpunktid asuvad punktis (0; 0) (vt pilti). Sel juhul q-ga ruutude alumised osad < 1 meil pole seda vaja. Seetõttu pole neid joonisel näidatud.

Esimese ruudu ülemise külje jaoks on meil:
.
Järgmisena nummerdame järgmise ruudu ülemise osa:

.
Nummerdame järgmise ruudu ülemise osa:

.
Ja nii edasi.

Sel viisil saame jada, mis sisaldab kõiki ratsionaalarvusid. Võite märgata, et mis tahes ratsionaalne arv esineb selles jadas lõpmatu arv kordi. Tõepoolest, koos sõlmega sisaldab see jada ka sõlmi , kus on naturaalarv. Kuid kõik need sõlmed vastavad samale ratsionaalsele arvule.

Seejärel saame meie koostatud jadast valida alamjada (milles on lõpmatu arv elemente), mille kõik elemendid on võrdsed etteantud ratsionaalarvuga. Kuna meie konstrueeritud jada sisaldab alamjadasid, mis koonduvad erinevatele arvudele, ei koondu see jada ühelegi arvule.

Järeldus

Siin oleme andnud numbrijada täpse definitsiooni. Tõstatasime ka intuitiivsete ideede põhjal selle lähenemise küsimuse. Konvergentsi täpset määratlust käsitletakse lehel Jada piiri määratlemine. Seotud omadused ja teoreemid on toodud lehel

Järjekord

Järjekord- See komplekt mõne komplekti elemendid:

iga naturaalarvu jaoks saab määrata antud hulga elemendi;
see number on elemendi number ja näitab selle elemendi asukohta jadas;
Jada mis tahes elemendi (liikme) jaoks saate määrata jada järgmise elemendi.

Nii et jada osutub tulemuseks järjekindel antud komplekti elementide valik. Ja kui mis tahes elementide hulk on lõplik ja me räägime lõpliku ruumala valimitest, siis osutub jada lõpmatu ruumala valimiks.

Jada on oma olemuselt kaardistus, seega ei tohiks seda segi ajada hulgaga, mis jada "läbi jookseb".

Matemaatikas vaadeldakse paljusid erinevaid jadasid:

nii arvulise kui ka mittenumbrilise iseloomuga aegread;
meetrilise ruumi elementide jadad
funktsionaalsete ruumielementide jadad
juhtimissüsteemide ja masinate olekute järjestused.

Kõikide võimalike järjestuste uurimise eesmärk on otsida mustreid, ennustada tuleviku olekuid ja genereerida järjestusi.

Definitsioon

Olgu antud teatud hulk suvalise iseloomuga elemente. | Kutsutakse välja igasugune vastendamine naturaalarvude hulgast antud hulgale järjestus(komplekti elemendid).

Naturaalarvu, nimelt elemendi kujutist nimetatakse - th liige või jada element, ja jada liikme järgarv on selle indeks.

Seotud määratlused

Kui võtta naturaalarvude kasvav jada, siis võib seda käsitleda mingi jada indeksite jadana: kui võtta algse jada elemendid vastavate (naturaalarvude kasvavast jadast võetud) indeksiga, siis me saab jälle jada kutsutud järeljada antud järjestus.

Kommentaarid

Matemaatilises analüüsis on oluliseks mõisteks arvujada piir.

Nimetused

Vormi jadad

Tavaline on kirjutada kompaktselt sulgude abil:

või

Mõnikord kasutatakse lokkis trakse:

Teatavat sõnavabadust võimaldades võime käsitleda ka vormi lõplikke jadasid

mis kujutavad endast naturaalarvude jada alglõigu kujutist.

Vaata ka

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

Sünonüümid:

Vaadake, mis on "järjestus" teistes sõnaraamatutes:

JÄRGMINE. I. V. Kirejevski artiklis “Üheksateistkümnes sajand” (1830) loeme: “Alates Rooma impeeriumi langemisest kuni meie ajani ilmub Euroopa valgustus järk-järgult ja katkematus järjestuses” (1. kd, lk. ... ... Sõnaajalugu

SEQUENCE, järjestused, mitmus. ei, naine (raamat). hajameelne nimisõna järjestikusele. Sündmuste jada. Järjepidevus muutuvates loodetes. Järjekindlus arutluses. Ušakovi seletav sõnaraamat...... Ušakovi seletav sõnaraamat

Püsivus, järjepidevus, loogika; rida, edenemine, järeldus, seeria, pael, pööre, kett, kett, kaskaad, teatejooks; püsivus, kehtivus, komplekt, metoodilisus, paigutus, harmoonia, visadus, alljärgnevus, ühendus, järjekord,... ... Sünonüümide sõnastik

JÄRJESTUS, numbrid või organiseeritud elemendid. Jadad võivad olla lõplikud (millel on piiratud arv elemente) või lõpmatud, näiteks naturaalarvude 1, 2, 3, 4 täielik jada .... ... Teaduslik ja tehniline entsüklopeediline sõnastik

SEQUENCE, arvude kogum (matemaatilised avaldised jne; öeldakse: mis tahes laadi elemendid), nummerdatud naturaalarvudega. Jada kirjutatakse x1, x2,..., xn,... või lühidalt (xi) ... Kaasaegne entsüklopeedia

Üks matemaatika põhimõisteid. Jada moodustavad mis tahes olemusega elemendid, mis on nummerdatud naturaalarvudega 1, 2, ..., n, ... ja kirjutatud kujul x1, x2, ..., xn, ... või lühidalt (xn) . .. Suur entsüklopeediline sõnaraamat

Järjekord- SEQUENCE, arvude kogum (matemaatilised avaldised jne; nad ütlevad: mis tahes laadi elemendid), nummerdatud naturaalarvudega. Jada kirjutatakse x1, x2, ..., xn, ... või lühidalt (xi). ... Illustreeritud entsüklopeediline sõnaraamat

SEQUENCE ja, naine. 1. Vt järjestikku. 2. Matemaatikas: lõpmatu järjestatud arvude hulk. Ožegovi seletav sõnaraamat. S.I. Ožegov, N. Yu. Švedova. 1949 1992… Ožegovi seletav sõnaraamat

Inglise järgnevus/järjestus; saksa keel Konsequenz. 1. Järjestus üksteise järel. 2. Üks matemaatika põhimõisteid. 3. Õige loogilise mõtlemise kvaliteet, mille puhul arutlus on vaba sisemistest vastuoludest ühes ja teises... ... Sotsioloogia entsüklopeedia

Järjekord- "naturaalarvude hulgal määratletud funktsioon, mille väärtuste kogum võib koosneda mis tahes laadi elementidest: arvud, punktid, funktsioonid, vektorid, hulgad, juhuslikud muutujad jne, mis on nummerdatud naturaalarvudega. . Majandus- ja matemaatikasõnastik

Raamatud

Me koostame jada. Kassipojad. 2-3 aastat. Mäng "Kassipojad". Me koostame jada. 1. tase. Sari "Koolieelne haridus". Rõõmsad kassipojad otsustasid rannas päevitada! Kuid nad ei saa kohti jagada. Aita neid...

Järjepidevus kui isiksuse kvaliteet on kalduvus midagi järeleandmatult järgida, midagi järjekindlalt ellu viia, teha tegevusi, mis pidevalt järgivad üksteist.

Üks üllas kaupmees, kuulnud vaga vanamehe hämmastavatest võimetest, tuli tema koopasse palvega: “Oh, auväärne õiglane mees! Kirjutage oma perele mõned head soovid. Armastan väga oma lapsi ja lapselapsi. Ja ma tahan, et nad oleksid õnnelikud. Anna meile oma leping." Vaga vanem võttis paberi ja pastaka – ja kaupmees sai kohe, mida palus. Soov oli väga lühike: "Vanaisa suri, poeg suri, lapselaps suri." - Mida sa siia kirjutasid, hull?! – vehkis vihane kaupmees kätega. - Kas ma tulin sinu juurde needuste pärast? "Sa ei saa millestki aru," vastas õige mees. – Me kõik naaseme kunagi oma Taevase Isa juurde. Aga see oleks needus, kui ma kirjutaksin: "Lapslaps suri, poeg suri, vanaisa suri." Ja see järjestus on õige. Kui lahkute sellises järjekorras, on see õnn.

Järjekindel inimene on meie aja kangelane, milles praktilis-analüütiline mõttelaad, eluterve pragmaatilisus ja realism on kõrgemalt hinnatud kui kunagi varem. Tööandjad, kes esindavad ambitsioonikate eesmärkide ja eesmärkidega suuri organisatsioone, eelistavad inimesi, kelle puhul järjekindlus on saanud tugevaks isiksuseomaduseks. Kandidaatides köidavad neid usaldusväärsus, prognoositavus, ettevaatlikkus, sihikindlus ja veendumus. Iga juht hindab enesekindlat inimest, kes täidab järjekindlalt talle pandud ülesannet kalibreeritud, lihvitud ja vankumatute tegudega võimalikult lühikesel viisil.

Järjepidevus on sihikindluse õde - võime otsustavalt, visalt ja visalt pingutada oma eesmärgi saavutamise nimel. Järjekindel inimene ei kaota oma eesmärki silmist, ta teab oma teed ega pöördu sellelt kuhugi. Tee kõrge eesmärgini võib olla käänuline ja pikk. Välisvaatlejale võivad mõned üksikud tegevused järjestuses tunduda absurdsed. Ja "karp lihtsalt avaneb" - ta näeb selgelt oma tegevuse lõpptulemust. Üksikud tegevused moodustavad loogilise ahela, mis viib jada kavandatud eesmärgini.

Järjepidevus on eesmärgi lemmik, see on oma olemuselt püsivus ja keskendumine teatud tüüpi tööle, ilma milleta on võimatu saavutada ühtegi väärt eesmärki. Järjekindel inimene täidab pidevalt, laskmata end käsilolevast ülesandest kõrvale juhtida, ühe ülesande lõpuni ja alles siis liigub teise juurde. Ta jaotab aja täpselt ja õigesti etappidesse ja perioodidesse, mõeldes samal ajal pidevalt, kust ja kuidas aega kokku hoida.

Tihti flirdivad inimesed järjekindlusega ja, olles selle tegelik omanik, saavad elult kohe illusiooni eest õpetliku õppetunni. Olles eile mõtlematult ja kiirustades mõne otsuse langetanud, ei leia nad endale hommikul kohta – ebajärjekindel olla on häbiväärne ja sellel puudub autoriteet. Seetõttu tuleb eilne otsus, ükskõik kui rumal see ka polnud, vastumeelselt täide viia, et mitte "mundri aust kaotada". Kuid järsku saab selgeks, et see on vastuoluline ja ettevõttele kahjulik. Kaasa arvatud kangekaelsus? Tee endale veelgi rohkem kahju. Taganema? Nad ütlevad, et tal on nädalas seitse reedet. Ja segadus saab alguse mõtetest, tegudest ja tegudest. Inimene on palavikus karistushirmust, kuid ülemustel on kahjutu paljastada tema olemuse killustatust. Selle tulemusena maksab illusioon isiklikust puutumatusest valele järjepidevuse väitjale kalliks maksma.

Järjepidevust on avalik arvamus alati kõrgelt hinnanud ja seda on peetud üheks õigluse atribuudiks, mistõttu on inimesed oma kaugetelt esivanematelt pärinud soovi näida oma sõnades ja tegudes järjekindel. Seda on alati seostatud intelligentsuse, jõu, loogika, ratsionaalsuse, stabiilsuse ja aususega. Nagu ütles suurepärane inglise füüsik Michael Faraday, eelistatakse mõnikord järjekindlust rohkem kui õiget olemist. Kui Faraday käest pärast loengut küsiti, kas ta usub, et tema vihatud teaduslik rivaal eksib alati, vaatas Faraday küsijale vihaselt otsa ja vastas: "Ta pole nii järjekindel." Ebajärjekindel inimene on ebasoodne sotsiaalne staatus kergemeelsuse, muutlikkuse ja ebausaldusväärsuse sümbolina. Keegi ei taha temaga tegemist teha. On täiesti arusaadav, miks inimesed kardavad end ebajärjekindlaks tembeldada – see on otsene oht sattuda sotsiaalsele marginaalile.

Hirm olla ebajärjekindel on üllatavalt huvitav ja atraktiivne objekt inimestega manipuleerimiseks. Järjepidevusest kui suurest inimväärikust, kui suurepärasest isiksuseomadusest saab konks, millest manipulaatorid inimeste külge klammerduvad, et saavutada oma isekaid eesmärke. Fakt on see, et järjepidevuse atribuut on automatism, teatud mehaanilisus oma toimingute tegemisel. Üldiselt on automatiseerimine ratsionaalne ja kasulik, võimaldades inimesel mitte mõelda iga kord oma tegevusele ja säästa seeläbi palju aega.

Robert B. Cialdini märkis: „Kuna me üldiselt leiame, et järjekindel olla on kasulik, tunneme kiusatust seda automaatselt teha isegi olukordades, kus seda pole mõistlik teha. Kui järjepidevus avaldub mõtlematult, võib see olla hukatuslik... Automaatne järjepidevuse soov on omamoodi kilp, mille püstitab mõtlemine. Pole üllatav, et seda mehhanismi kasutavad laialdaselt need, kes eelistavad, et vastame nende nõudmistele mõtlemata. Seda tüüpi ekspluataatorite jaoks on meie automaatne järjepidevuse soov kullaauk. Nad on nii nutikad, et panna meid mängima nende "kassettide jadasid", kui see neile sobib, et me isegi ei saa aru, et oleme vahele jäänud. Suurepäraselt lihvitud jiu-jitsu stiilis loovad need inimesed meiega suhteid nii, et meie enda soov olla järjekindel tuleb neile otseselt kasuks.

Mõelgem manipulaatoritehnikale "Alusta väikeselt". Kord "Jah" öelnud, oma nõusolekut kinnitades, muutub inimene edaspidi leplikumaks ja leplikumaks. Olles pisiasjades möönnud, täidab inimene järgmise palve, kui see on esimese palve loogiline jätk, alustades ainult järjepidevuse põhimõttest. "Läheme puhkusele," ütleb naaber, "meil on teile suur palve: kasta korteris lilli. Siin on võtmed." Olete nõus ja tunnete end omakasupüüdmatu inimesena, peaaegu altruistina. Kuus kuud hiljem pöördub ta uuesti teie poole: „Lendame abikaasaga kaheks nädalaks Taisse. Jällegi on meil suur palve, et kastaksite lilli ja hoolitseksite meie koera eest. Peate temaga hommikul ja õhtul jalutama ning me jätame toidu teile. Teil on juba ebamugav olla ebajärjekindel, võite muidugi keelduda, kuid saate juba aru, kui ebameeldiv see teie hinges hiljem on, kuna olete altruist, peate selle sõna kõrge tähenduse järgi elama.

Inimeste järjepidevuse sooviga manipuleerimise meetodid võivad hõlmata ka kirjalikku nõusolekut. Enamik inimesi, olles allkirjastanud mis tahes avalduse või küsimustiku, hakkab hiljem automaatselt kaitsma seal kirjutatut, isegi kui allkiri pandi mehaaniliselt või asjaolude mõjul "autopiloodile".

Tehnika „asjade hea seisu avalik avaldus” on end „heaks” tõestanud. Kui tahetakse inimestelt heategevuseks raha välja tõmmata, alustatakse kaugelt: näiteks küsimustega ettevõtte või inimese enda majandusliku seisu kohta. “Kuidas teie ettevõte end turul tunneb? Kas pead end edukaks ja aktiivseks inimeseks? Kui inimesed lõdvestuvad, tuleb rünnak: "Kas olete nõus abivajajaid aitama?" Inimestel, kes väidavad, et neil läheb hästi, on raske olla ebajärjekindlad. Manipulaatorid hõõruvad rahulolevalt käsi ja rõõmustavad, et inimestele on antud selline isiksuseomadus nagu "sina oled meie õde, järjekindlus!"

Peeter Kovaljov

Matemaatika on teadus, mis ehitab maailma. Nii teadlane kui ka tavaline inimene – ilma selleta ei saa keegi hakkama. Esmalt õpetatakse väikelapsi lugema, seejärel liitma, lahutama, korrutama ja jagama keskkooli järgi, mängu tulevad tähesümbolid ja keskkoolis ei saa neid enam vältida.

Kuid täna räägime sellest, millel põhineb kogu teadaolev matemaatika. Numbrikogukonna kohta, mida nimetatakse järjestuspiiranguteks.

Mis on jadad ja kus on nende piir?

Sõna "järjestus" tähendust pole raske tõlgendada. See on asjade paigutus, kus keegi või miski asub kindlas järjekorras või järjekorras. Näiteks loomaaia piletite järjekord on jada. Ja neid saab olla ainult üks! Kui vaadata näiteks poe järjekorda, on see üks jada. Ja kui üks inimene sellest järjekorrast äkki lahkub, siis on see teine järjekord, teine järjekord.

Sõna "piir" on ka kergesti tõlgendatav - see on millegi lõpp. Kuid matemaatikas on jadade piirid need arvurida olevad väärtused, millele arvujada kaldub. Miks see pingutab ja ei lõpe? See on lihtne, arvureal pole lõppu ja enamikul jadadel, nagu kiirtel, on ainult algus ja need näevad välja järgmised:

x 1, x 2, x 3,...x n...

Järelikult on jada määratlus loomuliku argumendi funktsioon. Lihtsamalt öeldes on see teatud komplekti liikmete jada.

Kuidas arvujada konstrueeritakse?

Lihtne näide numbrijadast võib välja näha selline: 1, 2, 3, 4, …n…

Enamasti ehitatakse praktilistel eesmärkidel jadad arvudest ja igal järgmisel seeria liikmel, tähistagem seda X-ga, on oma nimi. Näiteks:

x 1 on jada esimene liige;

x 2 on jada teine liige;

x 3 on kolmas liige;

x n on n-s liige.

Praktilistes meetodites antakse jada üldvalemiga, milles on teatud muutuja. Näiteks:

X n =3n, siis näeb arvude jada ise välja selline:

Tasub meeles pidada, et jadade kirjutamisel üldiselt võib kasutada mis tahes ladina tähti, mitte ainult X. Näiteks: y, z, k jne.

Aritmeetiline progressioon jadade osana

Enne jadade piiride otsimist on soovitatav sukelduda sügavamale sellise arvuseeria kontseptsiooni, millega kõik kokku puutusid, kui nad olid keskkoolis. Aritmeetiline progressioon on arvude jada, milles külgnevate liikmete erinevus on konstantne.

Ülesanne: Olgu a 1 = 15 ja arvujada d = 4. Koostage selle seeria esimesed 4 terminit"

Lahendus: a 1 = 15 (tingimuse järgi) on progressiooni (arvuseeria) esimene liige.

ja 2 = 15+4=19 on progressiooni teine liige.

ja 3 =19+4=23 on kolmas liige.

ja 4 =23+4=27 on neljas liige.

Seda meetodit kasutades on aga raske saavutada suuri väärtusi, näiteks kuni 125. . Eriti sellistel juhtudel tuletati praktika jaoks mugav valem: a n =a 1 +d(n-1). Sel juhul on 125 = 15 + 4 (125-1) = 511.

Järjestuste tüübid

Enamik jadasid on lõputud, seda tasub elu lõpuni meeles pidada. Numbriseeriaid on kahte huvitavat tüüpi. Esimene on antud valemiga a n =(-1) n. Matemaatikud nimetavad seda järjestust sageli vilkuriks. Miks? Kontrollime selle numbriseeriat.

1, 1, -1, 1, -1, 1 jne. Sellise näite abil saab selgeks, et jadades olevaid numbreid saab hõlpsasti korrata.

Faktoriaalne järjestus. Seda on lihtne ära arvata – jada defineeriv valem sisaldab faktoriaali. Näiteks: a n = (n+1)!

Siis näeb järjestus välja selline:

a 2 = 1x2x3 = 6;

ja 3 = 1x2x3x4 = 24 jne.

Aritmeetilise progressiooniga määratletud jada nimetatakse lõpmatult kahanevaks, kui ebavõrdsus -1 on täidetud kõigi selle liikmetega

ja 3 = - 1/8 jne.

On isegi jada, mis koosneb samast numbrist. Niisiis, n =6 koosneb lõpmatust arvust kuutest.

Järjestuse piirangu määramine

Jadade piirid on matemaatikas juba ammu olemas olnud. Loomulikult väärivad nad oma kompetentset disaini. Niisiis, aeg õppida järjestuse piiride määratlust. Esiteks vaatame üksikasjalikult lineaarse funktsiooni piirangut:

Kõik piirid on lühendatud kui lim.
Piirmäära tähistus koosneb lühendist lim, mis tahes muutujast, mis kaldub teatud arvu, nulli või lõpmatuseni, samuti funktsioonist endast.

On lihtne mõista, et jada piiri definitsiooni saab sõnastada järgmiselt: see on teatud arv, millele kõik jada liikmed lõpmatult lähenevad. Lihtne näide: a x = 4x+1. Siis näeb jada ise välja selline.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Seega suureneb see jada lõputult, mis tähendab, et selle piir on võrdne lõpmatusega x→∞ ja see tuleks kirjutada järgmiselt:

Kui võtame sarnase jada, kuid x kipub olema 1, saame:

Ja numbrite jada on järgmine: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 jne. Iga kord, kui peate asendama ühele lähedasema numbri (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Sellest seeriast on selgelt näha, et funktsiooni piir on viis.

Sellest osast tasub meenutada, mis on arvjada piir, lihtsate ülesannete definitsioon ja lahendamise meetod.

Jadade piiri üldtähistus

Olles uurinud arvujada piiri, selle definitsiooni ja näiteid, saate liikuda keerukama teema juurde. Absoluutselt kõik järjestuste piirid saab sõnastada ühe valemiga, mida tavaliselt analüüsitakse esimesel semestril.

Niisiis, mida see tähtede, moodulite ja ebavõrdsusmärkide komplekt tähendab?

∀ on universaalne kvantor, mis asendab fraase "kõigi jaoks", "kõige jaoks" jne.

∃ on eksistentsiaalne kvantor, antud juhul tähendab see, et naturaalarvude hulka kuulub mingi väärtus N.

N-le järgnev pikk vertikaalne pulk tähendab, et antud hulk N on "selline". Praktikas võib see tähendada "sellist", "sellist" jne.

Materjali tugevdamiseks lugege valem ette.

Määramatus ja piiri kindlus

Eespool käsitletud järjestuste piiri leidmise meetod, kuigi lihtne kasutada, ei ole praktikas nii ratsionaalne. Proovige leida selle funktsiooni piirang:

Kui asendame “x” erinevad väärtused (suurendades iga kord: 10, 100, 1000 jne), saame lugejas ∞, aga nimetajas ka ∞. Tulemuseks on üsna kummaline murdosa:

Aga kas see on tõesti nii? Arvujada piiri arvutamine tundub sel juhul üsna lihtne. Võiks jätta kõik nii nagu on, sest vastus on valmis ja see saadi mõistlikel tingimustel, aga spetsiaalselt sellisteks puhkudeks on ka teine võimalus.

Esiteks leiame murdosa lugejas kõrgeima astme - see on 1, kuna x-i saab esitada kui x 1.

Nüüd leiame nimetaja kõrgeima astme. Samuti 1.

Jagame nii lugeja kui ka nimetaja suurima astmeni muutujaga. Sel juhul jagage murd x 1-ga.

Järgmisena leiame, millise väärtuseni kaldub iga muutujat sisaldav termin. Sel juhul võetakse arvesse murde. Kui x→∞, kipub iga murru väärtus nulli. Oma tööd kirjalikult esitades tuleks teha järgmised joonealused märkused:

Selle tulemuseks on järgmine väljend:

Muidugi ei saanud x-i sisaldavatest murdudest nullid! Kuid nende väärtus on nii väike, et on täiesti lubatud seda arvutustes mitte arvestada. Tegelikult ei võrdu x sel juhul kunagi 0-ga, sest nulliga jagada ei saa.

Mis on naabruskond?

Oletame, et professori käsutuses on keeruline jada, mis on ilmselgelt sama keerulise valemiga antud. Professor on vastuse leidnud, aga kas see on õige? Lõppude lõpuks teevad kõik inimesed vigu.

Auguste Cauchy pakkus kord välja suurepärase viisi järjestuste piiride tõestamiseks. Tema meetodit nimetati naabruskonna manipuleerimiseks.

Oletame, et on olemas teatud punkt a, mille naabrus arvjoonel on mõlemas suunas võrdne ε-ga (“epsilon”). Kuna viimane muutuja on kaugus, on selle väärtus alati positiivne.

Nüüd defineerime mingi jada x n ja eeldame, et jada kümnes liige (x 10) sisaldub a naabruses. Kuidas me saame selle fakti matemaatilises keeles kirjutada?

Oletame, et x 10 on punktist a paremal, siis kaugus x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Nüüd on aeg ülaltoodud valemit praktikas selgitada. On õiglane nimetada teatud arvu a jada lõpp-punktiks, kui selle mõne piiri korral on ebavõrdsus ε>0 täidetud ja kogu naabruskonnal on oma naturaalarv N, nii et kõik jada suuremate arvudega liikmed on jada |x n - a| sees< ε.

Selliste teadmistega on lihtne lahendada järjestuse piire ja tõestada või ümber lükata valmis vastust.

Teoreemid

Jadade piiride teoreemid on teooria oluline komponent, ilma milleta praktika on võimatu. On ainult neli põhiteoreemi, mille meelespidamine võib muuta lahendamise või tõestamise protsessi palju lihtsamaks:

Jada piiri ainulaadsus. Igal järjestusel võib olla ainult üks piir või üldse mitte olla. Sama näide järjekorraga, millel võib olla ainult üks ots.
Kui numbrite jada on piiratud, siis on nende arvude jada piiratud.
Jadade summa (erinevus, korrutis) piir on võrdne nende piiride summaga (erinevus, korrutis).
Kahe jada jagamise jagatise piir on võrdne piirväärtuste jagatisega siis ja ainult siis, kui nimetaja ei kao.

Jadade tõestus

Mõnikord on vaja lahendada pöördülesanne, et tõestada numbrilise jada antud piir. Vaatame näidet.

Tõesta, et valemiga antud jada piirväärtus on null.

Ülalkirjeldatud reegli kohaselt on mis tahes jada jaoks ebavõrdsus |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Avaldame n läbi “epsiloni”, et näidata teatud arvu olemasolu ja tõestada jada piiri olemasolu.

Siinkohal on oluline meeles pidada, et "epsilon" ja "en" on positiivsed arvud ega ole võrdsed nulliga. Nüüd on võimalik edasisi transformatsioone jätkata, kasutades keskkoolis omandatud teadmisi ebavõrdsuse kohta.

Kuidas selgub, et n > -3 + 1/ε. Kuna tasub meeles pidada, et jutt käib naturaalarvudest, saab tulemuse ümardada, pannes selle nurksulgudesse. Seega tõestati, et punkti a = 0 “epsiloni” naabruskonna mis tahes väärtuse korral leiti selline väärtus, et algne ebavõrdsus on täidetud. Siit võib julgelt väita, et arv a on antud jada piir. Q.E.D.

Seda mugavat meetodit saab kasutada numbrilise jada piiri tõestamiseks, olenemata sellest, kui keeruline see esmapilgul on. Peaasi, et ülesannet nähes ei satu paanikasse.

Või äkki teda polegi?

Järjepidevuse piiri olemasolu ei ole praktikas vajalik. Võid kergesti kohata arvuseeriaid, millel tegelikult pole lõppu. Näiteks sama "vilkuv tuli" x n = (-1) n. on ilmne, et ainult kahest tsükliliselt korduvast numbrist koosneval jadal ei saa olla piirangut.

Sama lugu kordub jadadega, mis koosnevad ühest arvust, murdosast, millel on arvutuste ajal mis tahes järgu määramatus (0/0, ∞/∞, ∞/0 jne). Siiski tuleb meeles pidada, et tuleb ette ka valesid arvutusi. Mõnikord aitab oma lahenduse topeltkontroll leida järjestuse piirangu.

Monotoonne jada

Eespool käsitleti mitmeid näiteid järjestuste ja nende lahendamise meetodite kohta ning proovime nüüd võtta konkreetsema juhtumi ja nimetada seda "monotoonseks jadaks".

Definitsioon: iga jada võib õigustatult nimetada monotoonselt kasvavaks, kui selle jaoks kehtib range ebavõrdsus x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Nende kahe tingimuse kõrval on ka sarnased mitteranged ebavõrdsused. Vastavalt sellele x n ≤ x n +1 (mittekahanev jada) ja x n ≥ x n +1 (mitte kasvav jada).

Kuid seda on näidete abil lihtsam mõista.

Valemiga x n = 2+n antud jada moodustab järgmise arvude jada: 4, 5, 6 jne. See on monotoonselt kasvav jada.

Ja kui me võtame x n =1/n, saame jada: 1/3, ¼, 1/5 jne. See on monotoonselt kahanev jada.

Konvergentse ja piiratud jada piir

Piiratud jada on jada, millel on piir. Konvergentne jada on arvude jada, millel on lõpmata väike piir.

Seega on piiratud jada piiriks mis tahes reaal- või kompleksarv. Pidage meeles, et piirang saab olla ainult üks.

Konvergentse jada piiriks on lõpmata väike (reaalne või kompleksne) suurus. Kui joonistada jadadiagrammi, siis teatud hetkel see justkui koondub, kipub muutuma teatud väärtuseks. Sellest ka nimi – koonduv jada.

Monotoonse jada piirang

Sellisel järjestusel võib piir olla, aga ei pruugi. Esiteks on kasulik mõista, millal see on olemas, siit saate alustada piirangu puudumise tõestamist.

Monotoonsete järjestuste hulgas eristatakse koonduvaid ja lahknevaid. Konvergentne on jada, mille moodustab hulk x ja millel on selles hulgas reaal- või komplekspiir. Divergent on jada, mille komplektis pole piiranguid (ei reaalne ega kompleksne).

Veelgi enam, jada läheneb, kui geomeetrilises esituses selle ülemine ja alumine piir lähenevad.

Konvergentse jada piirväärtus võib paljudel juhtudel olla null, kuna igal lõpmata väikesel jadal on teadaolev piir (null).

Olenemata sellest, millise koonduva jada te võtate, on need kõik piiratud, kuid mitte kõik piiratud jadad lähenevad.

Kahe koonduva jada summa, vahe, korrutis on samuti koonduv jada. Samas võib jagatis olla ka konvergentne, kui see on defineeritud!

Erinevad tegevused piirangutega

Järjestuse piirangud on sama olulised (enamasti) kui numbrid ja numbrid: 1, 2, 15, 24, 362 jne. Selgub, et mõningaid tehteid saab teha piirangutega.

Esiteks, nagu numbreid ja numbreid, saab iga jada piire liita ja lahutada. Jadade piiride kolmanda teoreemi põhjal kehtib järgmine võrdsus: jadade summa piir on võrdne nende piiride summaga.

Teiseks, tuginedes neljandale jadade piiride teoreemile, on tõene järgmine võrdsus: n-nda jadate arvu korrutise piir on võrdne nende piiride korrutisega. Sama kehtib ka jagamise kohta: kahe jada jagatise piir on võrdne nende piiride jagatisega, eeldusel, et piirväärtus ei ole null. Lõppude lõpuks, kui jadade piir on võrdne nulliga, on tulemuseks nulliga jagamine, mis on võimatu.

Jada suuruste omadused

Näib, et numbrilise jada piirist on juba üsna üksikasjalikult räägitud, kuid selliseid fraase nagu "lõpmatult väikesed" ja "lõpmatult suured" on mainitud rohkem kui üks kord. Ilmselgelt, kui on jada 1/x, kus x→∞, siis selline murd on lõpmatult väike ja kui sama jada, kuid piirväärtus kipub nulli (x→0), siis muutub murd lõpmatult suureks väärtuseks. Ja sellistel kogustel on oma omadused. Väikeste või suurte väärtustega jada piiri omadused on järgmised:

Suvalise arvu väikeste koguste summa on samuti väike kogus.
Suvalise arvu suurte koguste summa on lõpmatult suur kogus.
Suvaliselt väikeste koguste korrutis on lõpmata väike.
Mis tahes suure arvu korrutis on lõpmatult suur.
Kui algne jada kaldub lõpmatult suurele arvule, on selle pöördvõrdeline arv lõpmatult väike ja kipub olema null.

Tegelikult pole jada piiri arvutamine nii keeruline ülesanne, kui tead lihtsat algoritmi. Kuid järjepidevuse piirid on teema, mis nõuab maksimaalset tähelepanu ja pealehakkamist. Loomulikult piisab selliste väljendite lahenduse olemuse lihtsalt hoomatamisest. Alustades väikesest, võite aja jooksul saavutada suuri kõrgusi.

Sissejuhatus………………………………………………………………………………3

1. Teoreetiline osa………………………………………………………………….4

Põhimõisted ja terminid…………………………………………………………………………………………………………………………………

1.1 Jadade tüübid…………………………………………………………………6

1.1.1.Piiratud ja piiramata arvujadad…6

1.1.2. Jadade monotoonsus……………………………………6

1.1.3. Lõpmatult suured ja lõpmatult väikesed jadad…….7

1.1.4.Lõpmatute jadade omadused…………………8

1.1.5.Konvergentsed ja divergentsed jadad ning nende omadused.....9

1.2 Järjestuse piirang…………………………………………………….11

1.2.1. Jadade piiride teoreemid………………………………15

1.3 Aritmeetiline progressioon…………………………………………17

1.3.1. Aritmeetilise progressiooni omadused……………………………………..17

1.4 Geomeetriline progressioon………………………………………………………………..19

1.4.1. Geomeetrilise progressiooni omadused……………………………………….19

1.5. Fibonacci numbrid…………………………………………………………………..21

1.5.1 Fibonacci arvude seos teiste teadmiste valdkondadega…………………….22

1.5.2. Fibonacci arvuseeria kasutamine elusa ja eluta looduse kirjeldamiseks…………………………………………………………………………………………………….23

2. Enda uurimus……………………………………………………….28

Järeldus…………………………………………………………………………………….30

Viidete loetelu……………………………………………………………………..31

Sissejuhatus.

Numbrite järjestused on väga huvitav ja hariv teema. Seda teemat leidub kõrgendatud keerukusega ülesannetes, mida õppuritele pakuvad didaktiliste materjalide autorid, matemaatikaolümpiaadide, kõrgkoolide sisseastumiseksamite ja ühtse riigieksami ülesannetes. Olen huvitatud sellest, kuidas matemaatilised jadad on seotud teiste teadmiste valdkondadega.

Uurimistöö eesmärk: Laiendada teadmisi numbrijada kohta.

1. Mõtle järjestusele;

2. Kaaluge selle omadusi;

3. Kaaluge jada analüüsiülesannet;

4. Näidake oma rolli teiste teadmiste valdkondade arendamisel.

5. Näidake Fibonacci arvurea kasutamist elava ja eluta looduse kirjeldamisel.

1. Teoreetiline osa.

Põhimõisted ja terminid.

Definitsioon. Arvjada on funktsioon kujul y = f(x), x О N, kus N on naturaalarvude hulk (või naturaalargumendi funktsioon), mida tähistatakse y = f(n) või y1, y2, …, yn,…. Väärtusi y1, y2, y3,... nimetatakse vastavalt jada esimeseks, teiseks, kolmandaks,... liikmeks.

Arvu a nimetatakse jada x = (x n ) piiriks, kui suvalise ettemääratud suvaliselt väikese positiivse arvu ε korral on naturaalarv N nii, et kõigi n>N korral on võrratus |x n - a|< ε.

Kui arv a on jada x = (x n ) piir, siis öeldakse, et x n kaldub a-le ja kirjutatakse

Jada (yn) kasvab, kui iga liige (välja arvatud esimene) on suurem kui eelmine:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Jada (yn) nimetatakse kahanevaks, kui iga liige (välja arvatud esimene) on väiksem kui eelmine:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Suurenevad ja kahanevad jadad on kombineeritud ühise termini alla - monotoonsed jadad.

Perioodiliseks nimetatakse jada, kui on olemas naturaalarv T, mille puhul mõnest n-st alates kehtib võrdus yn = yn+T. Arvu T nimetatakse perioodi pikkuseks.

Aritmeetiline progressioon on jada (an), mille iga liige, alates teisest, on võrdne eelmise liikme ja sama arvu d summaga, nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks ja arvuks d on vahe aritmeetiline progressioon.

Seega on aritmeetiline progressioon numbriline jada (an), mida defineerivad korduvalt seosed

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Geomeetriline progressioon on jada, milles kõik liikmed erinevad nullist ja mille iga liige, alates teisest, saadakse eelmisest liikmest, korrutades sama arvuga q.

Seega on geomeetriline progressioon numbriline jada (bn), mis on suhetega korduvalt määratletud

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Jadade tüübid.

1.1.1 Piiratud ja piiramata jadad.

Jada (bn) on ülalpool piiritletud, kui on olemas arv M, mille korral mis tahes arvu n korral kehtib ebavõrdsus bn≤ M;

Jada (bn) nimetatakse allpool piiritletuks, kui on olemas arv M, mille korral mis tahes arvu n korral kehtib ebavõrdsus bn≥ M;

Näiteks:

1.1.2 Jadade monotoonsus.

Jada (bn) nimetatakse mittekasvavaks (mittekahanevaks), kui mis tahes arvu n korral on ebavõrdsus bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) tõene;

Jada (bn) nimetatakse kahanevaks (kasvavaks), kui mis tahes arvu n korral on ebavõrdsus bn> bn+1 (bn

Kahanevaid ja kasvavaid jadasid nimetatakse rangelt monotoonilisteks, mittesuurenevaid järjestusi nimetatakse monotoonseteks laiemas tähenduses.

Jadasid, mis on piiratud nii ülalt kui ka altpoolt, nimetatakse piiritletuks.

Kõigi nende tüüpide järjestust nimetatakse monotoonseks.

1.1.3 Lõpmatult suured ja väikesed jadad.

Lõpmatu väike jada on numbriline funktsioon või jada, mis kaldub nulli.

Jada an on lõpmatult väike, kui

Funktsiooni nimetatakse punkti x0 naabruses lõpmatu väikeseks, kui ℓimx→x0 f(x)=0.

Funktsiooni nimetatakse lõpmatuses infinitesimaalseks, kui ℓimx→.+∞ f(x)=0 või ℓimx→-∞ f(x)=0

Ka lõpmata väike on funktsioon, mis on funktsiooni ja selle piiri erinevus, st kui ℓimx→.+∞ f(x)=a, siis f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0.

Lõpmatult suur jada on arvuline funktsioon või jada, mis kaldub lõpmatusse.

Jada an nimetatakse lõpmatult suureks, kui

ℓimn→0 an=∞.

Funktsiooni nimetatakse punkti x0 läheduses lõpmatult suureks, kui ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Funktsiooni kohta öeldakse, et see on lõpmatult suur, kui

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ või ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Lõpmatute jadade omadused.

Kahe lõpmatult väikese jada summa on ise samuti lõpmatult väike jada.

Kahe lõpmatu väikese jada erinevus on ise samuti lõpmata väike jada.

Lõpliku arvu lõpmatute jadade algebraline summa on ise samuti lõpmata väike jada.

Piiratud jada ja lõpmatult väikese jada korrutis on lõpmata väike jada.

Lõpliku arvu lõpmatute jadade korrutis on lõpmata väike jada.

Iga lõpmata väike jada on piiratud.

Kui statsionaarne jada on lõpmata väike, on kõik selle elemendid, alates teatud punktist, võrdsed nulliga.

Kui kogu lõpmata väike jada koosneb identsetest elementidest, on need elemendid nullid.

Kui (xn) on lõpmata suur jada, mis ei sisalda nullliikmeid, siis on jada (1/xn), mis on lõpmata väike. Kui aga (xn) sisaldab null elementi, saab jada (1/xn) ikkagi defineerida, alustades mõnest arvust n ja see on ikkagi lõpmata väike.

Kui (an) on lõpmata väike jada, mis ei sisalda nullliikmeid, siis on olemas jada (1/an), mis on lõpmatult suur. Kui (an) sellegipoolest sisaldab null elementi, saab jada (1/an) ikkagi defineerida alates mõnest arvust n ja see on ikkagi lõpmatult suur.

1.1.5 Konvergentsed ja divergentsed jadad ning nende omadused.

Konvergentne jada on hulga X elementide jada, millel on selles hulgas piirang.

Divergentne jada on jada, mis ei ole konvergentne.

Iga lõpmata väike jada on konvergentne. Selle piirmäär on null.

Lõpmatu arvu elementide eemaldamine lõpmatust jadast ei mõjuta selle jada lähenemist ega piiri.

Iga koonduv jada on piiratud. Kuid mitte iga piiratud jada ei koondu.

Kui jada (xn) koondub, kuid ei ole lõpmatult väike, siis alates teatud arvust defineeritakse jada (1/xn), mis on piiratud.

Konvergentsete jadade summa on samuti koonduv jada.

Konvergentsete jadade erinevus on ka koonduv jada.

Konvergentsete jadate korrutis on samuti koonduv jada.

Kahe koonduva jada jagatis määratletakse, alustades mõnest elemendist, välja arvatud juhul, kui teine jada on lõpmatult väike. Kui kahe koonduva jada jagatis on defineeritud, siis on tegemist koonduva jadaga.

Kui konvergentne jada on allpool piiratud, siis ükski selle infimums ei ületa oma piiri.

Kui konvergentne jada on ülalpool piiritletud, siis ei ületa selle piir ühtegi ülemist piiri.

Kui ühegi arvu puhul ei ületa ühe koonduva jada liikmed teise koonduva jada liikmeid, siis ei ületa esimese jada piir ka teise piirmäära.