Mis on kujundite sarnasus? Sarnaste kujundite omadused

Geomeetria

Figuuride sarnasus

Sarnaste kujundite omadused

Teoreem. Kui kujund on kujundiga sarnane ja kujund on figuuriga sarnane, siis kujundid ja sarnased.
Sarnasuse teisenduse omadustest järeldub, et sarnaste kujundite korral on vastavad nurgad võrdsed ja vastavad segmendid võrdelised. Näiteks sarnastes kolmnurkades ABC Ja:
; ; ;
.

Kolmnurkade sarnasuse märgid

Teoreem 1. Kui ühe kolmnurga kaks nurka on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe nurgaga, siis on sellised kolmnurgad sarnased.
Teoreem 2. Kui ühe kolmnurga kaks külge on võrdelised teise kolmnurga kahe küljega ja nende külgede moodustatud nurgad on võrdsed, siis on kolmnurgad sarnased.
Teoreem 3. Kui ühe kolmnurga küljed on võrdelised teise kolmnurga külgedega, siis on sellised kolmnurgad sarnased.
Nendest teoreemidest tulenevad faktid, mis on kasulikud probleemide lahendamiseks.
1. Kolmnurga ühe küljega paralleelne sirgjoon, mis lõikub selle kahe teise küljega, lõikab sellest kolmnurga ära, mis sarnaneb selle kolmnurgaga.
Pildi peal.

2. Sarnaste kolmnurkade puhul on vastavad elemendid (kõrgused, mediaanid, poolitajad jne) seotud vastavate külgedena.
3. Sarnaste kolmnurkade puhul on perimeetrid seotud vastavate külgedena.
4. Kui KOHTA- trapetsi diagonaalide lõikepunkt ABCD, See.
Joonisel trapetsikujuliselt ABCD:.

5. Kui trapetsi külgede jätk ABCD ristuvad punktis K, siis (vt joonist) .
.

Täisnurksete kolmnurkade sarnasus

Teoreem 1. Kui täisnurksetel kolmnurkadel on võrdsed teravnurgad, siis on need sarnased.
Teoreem 2. Kui ühe täisnurkse kolmnurga kaks haru on võrdelised teise täisnurkse kolmnurga kahe haruga, siis on need kolmnurgad sarnased.
Teoreem 3. Kui ühe täisnurkse kolmnurga jalg ja hüpotenuus on võrdelised teise täisnurkse kolmnurga jala ja hüpotenuusiga, siis on sellised kolmnurgad sarnased.
Teoreem 4. Täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus merepinnast jagab kolmnurga kaheks selle kolmnurgaga sarnaseks täisnurkseks kolmnurgaks.
Pildi peal .

Täisnurksete kolmnurkade sarnasusest tuleneb järgmine.
1. Täisnurkse kolmnurga jalg on hüpotenuusi ja selle jala hüpotenuusile projektsiooni vaheline keskmine:
; ,
või
; .
2. Täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus on keskmine võrdeline jalgade projektsioonide vahel hüpotenuusile:
, või .
3. Kolmnurga poolitaja omadus:
kolmnurga poolitaja (suvaline) jagab kolmnurga vastaskülje lõikudeks, mis on võrdelised ülejäänud kahe küljega.
Pildil sisse B.P.- poolitaja.
või .

Võrdkülgsete ja võrdhaarsete kolmnurkade sarnasused

1. Kõik võrdkülgsed kolmnurgad on sarnased.
2. Kui võrdkülgsete kolmnurkade külgede vahel on võrdsed nurgad, siis on need sarnased.
3. Kui võrdkülgsetel kolmnurkadel on võrdeline alus ja külg, siis on need sarnased.

ABSTRAKTNE

Teemal: “Figuuride sarnasus”

Esitatud:

õpilane

Kontrollitud:

1. Sarnasuse teisendus

2. Sarnasuse teisenduse omadused

3. Jooniste sarnasus

4. Kolmnurkade sarnasuse märk kahe nurga all

5. Kolmnurkade kahe külje ja nendevahelise nurga sarnasuse märk

6. Kolmnurkade kolme külje sarnasuse märk

7. Täisnurksete kolmnurkade sarnasus

8. Ringjoone sisse kirjutatud nurgad

9. Ringjoone akordide ja sekantide lõikude proportsionaalsus

10. Ülesanded teemal “Figuuride sarnasus”

1. SARNASUSE MUUNDUMINE

Kujundi F teisendamist kujundiks F" nimetatakse sarnasusteisenduseks, kui selle teisenduse käigus muutuvad punktide vahelised kaugused sama palju kordi (joonis 1). See tähendab, et kui suvalised punktid X, Y joonis F muutub sarnasuse teisenduse käigus punktideks X", Y"joonis F", siis X"Y" = k-XY ja arv k on kõigi punktide X, Y jaoks sama. Arvu k nimetatakse sarnasuse koefitsient. Kui k = l, on sarnasuse teisendus ilmselgelt liikumine.

Olgu F etteantud kujund ja O fikseeritud punkt (joonis 2). Joonestame kiir OX läbi joonise F suvalise punkti X ja joonistame sellele lõigu OX", mis võrdub k·OX, kus k on positiivne arv. Joonise F teisendus, milles iga selle punkt X läheb punkti X", mis on konstrueeritud näidatud viisil, nimetatakse homoteetsuseks keskpunkti O suhtes. Arvu k nimetatakse homoteetsuse koefitsiendiks, arve F ja F" nimetatakse homoteetsuseks.

Teoreem 1. Homoteetsus on sarnasuse teisendus

Tõestus. Olgu O homoteetsuskeskus, k homoteetsuskoefitsient, X ja Y on joonise kaks suvalist punkti (joonis 3)

Joon.3 Joon.4

Homoteetsuse korral lähevad punktid X ja Y punktidesse X" ja Y" vastavalt kiirtel OX ja OY ning OX" = k·OX, OY" = k · OY. See eeldab vektorvõrdusi OX" = kOX, OY" = kOY.

Lahutades need võrdsused termini haaval, saame: OY"-OX" = k (OY-OX).

Kuna OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, siis X"Y" = kХY. See tähendab /X"Y"/=k /XY/, st. X"Y" = kXY. Järelikult on homoteetsus sarnasuse transformatsioon. Teoreem on tõestatud.

Sarnasusteisendust kasutatakse praktikas laialdaselt masinaosade, konstruktsioonide, asendiplaanide jms jooniste tegemisel. Need kujutised on täissuuruses kujuteldavate piltide sarnased teisendused. Sarnasuskoefitsienti nimetatakse skaalaks. Näiteks kui maastikulõik on kujutatud mõõtkavas 1:100, tähendab see, et üks sentimeeter plaanil vastab 1 meetrile maapinnal.

Ülesanne. Joonisel 4 on mõisa plaan mõõtkavas 1:1000. Määrake kinnistu mõõtmed (pikkus ja laius).

Lahendus. Kinnistu pikkus ja laius plaanil on 4 cm ja 2,7 cm Kuna plaan on tehtud mõõtkavas 1:1000, siis on kinnistu mõõtmed vastavalt 2,7 x 1000 cm = 27 m, 4 x 100 cm =. 40 m.

2. SARNASUSE MUUNDUSE OMADUSED

Nii nagu liikumise puhul, on tõestatud, et sarnasuse teisenduse käigus muunduvad kolm samal sirgel asuvat punkti A, B, C kolmeks punktiks A 1, B 1, C 1, mis asuvad samuti samal sirgel. Veelgi enam, kui punkt B asub punktide A ja C vahel, siis punkt B 1 asub punktide A 1 ja C 1 vahel. Sellest järeldub, et sarnasuse teisendus muudab jooned sirgjoonteks, pooljooned pooljoonteks ja segmendid segmentideks.

Tõestame, et sarnasuse teisendus säilitab poolsirgete vahelised nurgad.

Tõepoolest, olgu nurk ABC teisendatud koefitsiendiga k sarnasuse teisendusega nurgaks A 1 B 1 C 1 (joonis 5). Alistame nurga ABC homoteetsuse teisenduse selle tipu B suhtes homoteetsusteguriga k. Sel juhul liiguvad punktid A ja C punktidesse A 2 ja C 2. Kolmnurgad A 2 BC 2 ja A 1 B 1 C 1 on kolmanda kriteeriumi järgi võrdsed. Kolmnurkade võrdsusest järeldub, et nurgad A 2 BC 2 ja A 1 B 1 C 1 on võrdsed. See tähendab, et nurgad ABC ja A 1 B 1 C 1 on võrdsed, mida oli vaja tõestada.

3. JOONISTE SARASUS

Kahte kujundit nimetatakse sarnasteks, kui need teisendatakse üksteiseks sarnasuse teisendusega. Jooniste sarnasuse tähistamiseks kasutatakse spetsiaalset ikooni: ∞. Märkus F∞F" on järgmine: "Joonis F on sarnane joonisega F"."

Tõestame, et kui joonis F 1 on sarnane joonisega F 2 ja joonis F 2 on sarnane joonisega F 3, siis on joonised F 1 ja F 3 sarnased.

Olgu X 1 ja Y 1 kaks suvalist punkti joonisel F 1. Sarnasuse teisendus, mis muudab kujundi F 1 kujundiks F 2, muudab need punktid punktideks X 2, Y 2, mille puhul X 2 Y 2 = k 1 X 1 Y 1.

Sarnasuse teisendus, mis muudab kujundi F 2 kujundiks F 3, teisendab punktid X 2, Y 2 punktideks X 3, Y 3, mille puhul X 3 Y 3 = - k 2 X 2 Y 2.

Võrdsustest

X 2 Y 2 = kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2

sellest järeldub, et X 3 Y 3 - k 1 k 2 X 1 Y 1 . See tähendab, et kahe sarnasuse teisenduse järjestikusel sooritamisel saadud kujundi F 1 teisendamine F 3-ks on sarnasus. Järelikult on joonised F 1 ja F 3 sarnased, mida oli vaja tõestada.

Kolmnurkade sarnasuse tähistuses: ΔABC∞ΔA 1 B 1 C 1 - eeldatakse, et sarnasuse teisendusega kombineeritud tipud on vastavates kohtades, st A läheb A 1-sse, B B 1-sse ja C C-sse. 1.

Sarnasuse teisenduse omadustest järeldub, et sarnaste kujundite korral on vastavad nurgad võrdsed ja vastavad segmendid võrdelised. Eelkõige sarnaste kolmnurkade ABC ja A 1 B 1 C 1 puhul

A = A 1, B = B 1, C = C 1

4. KOLMNURKATE SARNASTAMISE TÄHENDUS KAHE NURGA JÄRGI

Teoreem 2. Kui ühe kolmnurga kaks nurka on võrdsed teise kolmnurga kahe nurgaga, siis on sellised kolmnurgad sarnased.

Tõestus. Olgu kolmnurgad ABC ja A 1 B 1 C 1 A=A 1, B=B 1. Tõestame, et ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1.

Laske . Alistame kolmnurga A 1 B 1 C 1 sarnasuse teisenduse sarnasusteguriga k, näiteks homoteetsus (joonis 6). Sel juhul saame kindla kolmnurga A 2 B 2 C 2, mis on võrdne kolmnurgaga ABC. Tõepoolest, kuna sarnasuse teisendus säilitab nurgad, siis A 2 = A 1, B 2 = B 1. See tähendab, et kolmnurkadel ABC ja A on 2 B 2 C 2 A = A 2, B = B 2 . Järgmisena A 2 B 2 = kA 1 B 1 =AB. Järelikult on kolmnurgad ABC ja A 2 B 2 C 2 teise kriteeriumi järgi võrdsed (kõrval- ja külgnevad nurgad).

Kuna kolmnurgad A 1 B 1 C 1 ja A 2 B 2 C 2 on homoteetsed ja seetõttu sarnased ning kolmnurgad A 2 B 2 C 2 ja ABC on võrdsed ja seega ka sarnased, siis kolmnurgad A 1 B 1 C 1 ja ABC on sarnased . Teoreem on tõestatud.

Ülesanne. Kolmnurga ABC küljega AB paralleelne sirgjoon lõikab selle külge AC punktis A 1 ja külge BC punktis B 1. Tõesta, et Δ ABC ~ ΔA 1 B 1 C.

Lahendus (joonis 7). Kolmnurkadel ABC ja A 1 B 1 C on tipus C ühine nurk ning nurgad CA 1 B 1 ja CAB on võrdsed paralleelsete nurkade AB ja A 1 B 1 vastavate nurkadega, millel on sekant AC. Seetõttu on ΔАВС~ΔА 1 В 1 С kahe nurga all.

5. KAHEL KÜLJEL OLEVATE KOLMNURKKUTE SARRANGUSE TÄHENDUS JA NENDE VAHELISE NURGA

Teoreem 3. Kui ühe kolmnurga kaks külge on võrdelised teise kolmnurga kahe küljega ja nende külgede moodustatud nurgad on võrdsed, siis on kolmnurgad sarnased.

Tõestus (sarnaselt teoreemi 2 tõestusega). Olgu kolmnurgad ABC ja A 1 B 1 C 1 C=C 1 ja AC=kA 1 C 1, BC=kB 1 C 1. Tõestame, et ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1.

Alistame kolmnurga A 1 B 1 C 1 sarnasuse teisenduse sarnasusteguriga k, näiteks homoteetsus (joonis 8).

Sel juhul saame kindla kolmnurga A 2 B 2 C 2, mis on võrdne kolmnurgaga ABC. Tõepoolest, kuna sarnasuse teisendus säilitab nurgad, siis C 2 = = C 1 . See tähendab, et kolmnurkadel ABC ja A on 2 B 2 C 2 C=C 2. Järgmisena A 2 C 2 = kA 1 C 1 = AC, B 2 C 2 = kB 1 C 1 = BC. Järelikult on kolmnurgad ABC ja A 2 B 2 C 2 esimese kriteeriumi järgi võrdsed (kaks külge ja nendevaheline nurk).

Ülesanne. Kolmnurgas ABC teravnurgaga C on joonestatud kõrgused AE ja BD (joonis 9). Tõesta, et ΔABC~ΔEDC.

Lahendus. Kolmnurkadel ABC ja EDC on ühine tipunurk C. Tõestame selle nurgaga külgnevate kolmnurkade külgede proportsionaalsust. Meil on EC = AC cos γ, DC = BC cos γ. See tähendab, et nurgaga C külgnevad küljed on kolmnurkade puhul võrdelised. See tähendab ΔABC~ΔEDC kahel küljel ja nende vahelist nurka.

6. KOLME KÜLJE KOLMNURKATE SARNASUSUSE TÄHENDUS

Teoreem 4. Kui ühe kolmnurga küljed on võrdelised teise kolmnurga külgedega, siis on sellised kolmnurgad sarnased.

Tõestus (sarnaselt teoreemi 2 tõestusega). Olgu kolmnurgad ABC ja A 1 B 1 C 1 AB = kA 1 B 1, AC = kA 1 C 1, BC = kB 1 C 1. Tõestame, et ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1.

Alistame kolmnurga A 1 B 1 C 1 sarnasuse teisenduse sarnasusteguriga k, näiteks homoteetsus (joonis 10). Sel juhul saame kindla kolmnurga A 2 B 2 C 2, mis on võrdne kolmnurgaga ABC. Tõepoolest, kolmnurkade vastavad küljed on võrdsed:

A 2 B 2 = kA 1 B 1 = AB, A 2 C 2 = kA 1 C 1 = AC, B 2 C 2 = kB 1 C 1 = BC.

Järelikult on kolmnurgad kolmanda kriteeriumi järgi võrdsed (kolmel küljel).

Ülesanne. Tõesta, et sarnaste kolmnurkade ümbermõõdud on omavahel seotud kui vastavad küljed.

Lahendus. Olgu ABC ja A 1 B 1 C 1 sarnased kolmnurgad. Siis on kolmnurga A 1 B 1 C 1 küljed võrdelised kolmnurga ABC külgedega, st A 1 B 1 =kAB, B 1 C 1 = kBC, A 1 C 1 =kAC. Lisades need võrdsused termini kaupa, saame:

A 1 B 1 + B 1 C 1 + A 1 C 1 =k(AB+BC+AC).

ehk kolmnurkade ümbermõõdud on omavahel seotud kui vastavad küljed.

7. RIISTKUULKULKOLMNURKIDE SARASUS

Täisnurksel kolmnurgal on üks täisnurk. Seetõttu, vastavalt teoreemile 2, piisab kahe täisnurkse kolmnurga sarnaseks, kui mõlemal on võrdne teravnurk.

Kasutades seda täisnurksete kolmnurkade sarnasuse testi, tõestame mõningaid seoseid kolmnurkades.

Olgu ABC täisnurkne kolmnurk täisnurgaga C. Joonestame kõrguse CD täisnurga tipust (joonis 11).

Kolmnurkadel ABC ja CBD on tipus B ühine nurk. Seetõttu on nad sarnased: ΔABC~ΔCBD. Kolmnurkade sarnasusest järeldub, et vastavad küljed on võrdelised:

See seos on tavaliselt sõnastatud järgmiselt: täisnurkse kolmnurga jalg on proportsionaalne keskmine hüpotenuusi ja selle jala hüpotenuusile projektsiooni vahel.

Sarnased on ka täisnurksed kolmnurgad ACD ja CBD. Nendel on tippudes A ja C võrdsed teravnurgad. Nende kolmnurkade sarnasusest tuleneb nende külgede proportsionaalsus:

See seos on tavaliselt sõnastatud järgmiselt: täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus on võrdeline jalgade I projektsioonide vahel hüpotenuusile.

Tõestame kolmnurga poolitaja järgmist omadust: kolmnurga poolitaja jagab vastaskülje kahe teise küljega võrdelisteks lõikudeks.

Olgu CD kolmnurga ABC poolitaja (joonis 12). Kui kolmnurk ABC on võrdhaarne alusega AB, siis on poolitaja näidatud omadus ilmne, kuna sel juhul on poolitaja CD ka mediaan.

Vaatleme üldist juhtumit, kui AC≠BC. Tõstame tippude A ja B ristid AF ja BE sirgele CD.

Täisnurksed kolmnurgad ACF ja VSE on sarnased, kuna neil on tipus C võrdsed teravnurgad. Kolmnurkade sarnasusest tuleneb külgede proportsionaalsus:

Sarnased on ka täisnurksed kolmnurgad ADF ja BDE. Nende nurgad tipus D on võrdsed vertikaalsete nurkadega. Kolmnurkade sarnasusest tuleneb külgede proportsionaalsus:

Võrreldes seda võrdsust eelmisega, saame:

see tähendab, et lõigud AD ja BD on võrdelised külgedega AC ja BC, mida oli vaja tõestada.

8. RINGISSE KAASUD NURGAD

Nurk jagab tasapinna kaheks osaks. Iga osa nimetatakse tasapinnaliseks nurgaks. Joonisel 13 on üks tasapinna nurkadest külgedega a ja b varjutatud. Ühiste külgedega tasapinnalisi nurki nimetatakse täiendavateks.

Kui tasapinna nurk on pooltasapinna osa, nimetatakse selle kraadimõõtu samade külgedega tavalise nurga astmeks. Kui tasapinnaline nurk sisaldab pooltasapinda, siis selle astmemõõduks võetakse 360° - α, kus α on täiendava tasapinna nurga aste (joonis 14).

Riis. 13 Joon.14

Ringjoone kesknurk on tasapinnaline nurk, mille keskmes on tipp. Tasanurga sees asuvat ringi osa nimetatakse sellele kesknurgale vastavaks ringikaareks (joon. 15). Ringjoone kaare kraadimõõt on vastava kesknurga aste.

Riis. 15 Joon. 16

Nurka, mille tipp asub ringjoonel ja mille küljed selle ringiga lõikuvad, nimetatakse ringi sisse kirjutatud. Nurk BAC joonisel 16 on kirjutatud ringi. Selle tipp A asub ringil ja selle küljed lõikavad ringi punktides B ja C. Samuti öeldakse, et nurk A toetub kõõlule BC. Sirgjoon BC jagab ringi kaheks kaareks. Nende kaare kesknurka, mis ei sisalda punkti A, nimetatakse kesknurgaks, mis vastab antud sissekirjutatud nurgale.

Teoreem 5. Ringjoone sisse kirjutatud nurk võrdub poolega vastavast kesknurgast.

Tõestus. Vaatleme esmalt erijuhtumit, kui üks nurga külgedest läbib ringi keskpunkti (joon. 17, a). Kolmnurk AOB on võrdhaarne, kuna selle küljed OA ja OB on raadiuses võrdsed. Seetõttu on kolmnurga nurgad A ja B võrdsed. Ja kuna nende summa on võrdne kolmnurga välisnurgaga tipus O, siis kolmnurga nurk B on võrdne poolega nurgast AOC, mida oli vaja tõestada.

Üldjuhu taandatakse vaadeldavaks erijuhuks, joonistades abiläbimõõdu BD (joon. 17, b, c). Joonisel 17 b esitatud juhul ABC = CBD + ABD = ½ COD + ½ AOD = ½ AOC.

Joonisel 17 toodud juhul c,

ABC = CBD - ABD = ½ COD - ½ AOD = ½ AOC.

Teoreem on täielikult tõestatud.

9. Akordide ja ringringi SEKANTIDE SEGMENTIDE PROPORTSIONAALSUS

Kui ringjoone akordid AB ja CD lõikuvad punktis S

ToAS·BS=CS·DS.

Esmalt tõestame, et kolmnurgad ASD ja CSB on sarnased (joonis 19). Nurgad DCB ja DAB on 5. teoreemi järelduvad võrdsed. Nurgad ASD ja BSC on vertikaalnurkadena võrdsed. Näidatud nurkade võrdsusest järeldub, et kolmnurgad ASZ ja CSB on sarnased.

Kolmnurkade sarnasusest tuleneb proportsioon

AS BS = CS DS, mida me pidime tõestama

Joon.19 Joon.20

Kui punktist P tõmmatakse ringile kaks sekanti, mis lõikuvad ringjoone punktides A, B ja C, D, siis

Olgu punktid A ja C lõikepunktide lõikepunktid punktile P lähima ringiga (joonis 20). Kolmnurgad PAD ja PCB on sarnased. Neil on ühine nurk tipus P ning nurgad tippudes B ja D on võrdsed vastavalt ringi sisse kirjutatud nurkade omadusele. Kolmnurkade sarnasusest tuleneb proportsioon

Seega PA·PB=PC·PD, mida oli vaja tõestada.

10. Ülesanded teemal “Figuuride sarnasus”

Teemal: “Figuuride sarnasus”

Esitatud:

Kontrollitud:

1. Sarnasuse teisendus

2. Sarnasuse teisenduse omadused

3. Jooniste sarnasus

4. Kolmnurkade sarnasuse märk kahe nurga all

5. Kolmnurkade kahe külje ja nendevahelise nurga sarnasuse märk

6. Kolmnurkade kolme külje sarnasuse märk

7. Täisnurksete kolmnurkade sarnasus

8. Ringjoone sisse kirjutatud nurgad

9. Ringjoone akordide ja sekantide lõikude proportsionaalsus

10. Ülesanded teemal “Figuuride sarnasus”

1. SARNASUSE MUUNDUMINE

Kujundi F teisendamist kujundiks F" nimetatakse sarnasusteisenduseks, kui selle teisenduse käigus muutuvad punktide vahelised kaugused sama palju kordi (joonis 1). See tähendab, et kui a suvalised punktid X, Y joonis F teisendab joonise F punktideks X", Y", siis X"Y" = k-XY ja arv k on kõigi punktide X, Y jaoks sama. Arvu k nimetatakse sarnasuskoefitsiendiks. Kui k = l, on sarnasuse teisendus ilmselgelt liikumine.

Teoreem 1. Homoteetsus on sarnasuse teisendus

Tõestus. Olgu O homoteetsuskeskus, k homoteetsuskoefitsient, X ja Y on joonise kaks suvalist punkti (joonis 3)

Joon.3 Joon.4

Homoteetsuse korral lähevad punktid X ja Y punktidesse X" ja Y" vastavalt kiirtel OX ja OY ning OX" = k·OX, OY" = k · OY. See eeldab vektorvõrdusi OX" = kOX, OY" = kOY.

Lahutades need võrdsused termini haaval, saame: OY"-OX" = k (OY-OX).

Kuna OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, siis X"Y" = kХY. See tähendab /X"Y"/=k /XY/, st. X"Y" = kXY. Järelikult on homoteetsus sarnasuse transformatsioon. Teoreem on tõestatud.

Ülesanne. Joonisel 4 on mõisa plaan mõõtkavas 1:1000. Määrake kinnistu mõõtmed (pikkus ja laius).

Lahendus. Kinnistu pikkus ja laius plaanil on 4 cm ja 2,7 cm Kuna plaan on tehtud mõõtkavas 1:1000, siis on kinnistu mõõtmed vastavalt 2,7 x 1000 cm = 27 m, 4 x 100 cm =. 40 m.

2. SARNASUSE MUUNDUSE OMADUSED

Tõestame, et sarnasuse teisendus säilitab poolsirgete vahelised nurgad.

Kolmnurkade mediaanid; 4. , kus BH ja B1H1 on kolmnurkade kõrgused. §5. Katsetöö Eksperimentaaltöö eesmärk: selgitada välja gümnaasiumis teema “Sarnased kolmnurgad” õppimise metoodilised iseärasused. Idee: metoodiliste tunnuste väljaselgitamiseks on vaja läbi viia mitu õppetundi, kasutades väljatöötatud metoodikat, koolituse lõpus viia läbi test, mille analüüsimisel saab hinnata...

Positivism. Positivistide jaoks on tõene ja testitud ainult see, mis on saadud kvantitatiivsete meetoditega. Teadusena tunnustatakse ainult matemaatikat ja loodusteadusi ning sotsiaalteadus on taandatud mütoloogia valdkonda. Neopositivism, neopositivistid näevad pedagoogika nõrkust selles, et selles domineerivad pigem kasutud ideed ja abstraktsioonid, mitte tegelikud faktid. Hele...

Me juba teame, mis on võrdsed kujundid: need on kujundid, mida saab kattudes kombineerida. Kuid elus kohtume sagedamini mitte võrdsete, vaid sarnaste kujudega. Näiteks on nii münt kui ka Päike ringikujulised. Nad on sarnased, kuid mitte võrdsed. Selliseid kujundeid nimetatakse sarnasteks. Selles õppetükis õpime, milliseid kujundeid nimetatakse sarnasteks ja millised omadused neil on.

Kui sul on raskusi teemast arusaamisega, siis soovitame vaadata õppetundi ja

Thalese teoreem

Nurga küljed lõigatakse paralleelsete sirgjoontega proportsionaalseteks osadeks (vt joonis 5). See on:

Sarnase seose saab kirjutada segmentide pikkuste summa kohta:

Riis. 5. Illustratsioon Thalese teoreemile

Vaatleme kahte kolmnurka ja , mille vastavad nurgad on võrdsed (vt joonis 6):

Riis. 6. Võrdsete nurkadega kolmnurgad

Nimetatakse külgi, mis asuvad kolmnurga võrdsete nurkade vastas sarnased.

Loetleme sarnased küljed: ja (aseb võrdsete nurkade vastas) ja (aseb võrdsete nurkade vastas) ja (aseb võrdsete nurkade vastas).

Definitsioon

Nimetatakse kahte kolmnurka sarnased, kui vastavad nurgad on võrdsed ja sarnased küljed on võrdelised:

enamgi veel , kus see on kolmnurga sarnasuse koefitsient.

Näited

Iga homoteetsus on sarnasus.
Iga liigutust (ka identseid) võib pidada ka koefitsiendiga sarnasuse teisenduseks k = 1 .

Sarnased kujundid pildil on samade värvidega.

Seotud määratlused

Omadused

Meetilistes ruumides sama mis sisse n-mõõtmelised Riemanni, pseudo-Riemanni ja Finsleri ruumid, sarnasust defineeritakse kui teisendust, mis võtab ruumi meetrika endasse kuni konstantse tegurini.

Kõigi n-mõõtmelise eukleidilise, pseudoeukleidilise, riemanni, pseudo-Riemanni või Finsleri ruumi sarnasuste hulk on r-Liige teisenduste rühm, mida nimetatakse vastava ruumi sarnaste (homoteetiliste) teisenduste rühmaks. Igas määratud tüüpi lahtris r-sarnaste Lie teisenduste liikmerühm sisaldab ( r− 1) -liikumiste normaalse alarühma liige.

Vaata ka

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

Vaadake, millised on "sarnased joonised" teistes sõnaraamatutes:

SARNASED ARVANDMED- kujundid, milles vastavad lineaarsed elemendid on võrdelised ja nendevahelised nurgad on võrdsed, st ühesuguse kujuga on erineva suurusega... Suur polütehniline entsüklopeedia

Kahte homoloogilist kujundit nimetatakse rühmaks, kui vastavate punktide kaugused keskpunktist on võrdelised. Sellest on selge, et G. figuurid on sarnased ja sarnaselt paiknevad kujundid või sarnased ja pöördvõrdelised. Homoloogia keskpunkt selles...... Entsüklopeediline sõnaraamat F.A. Brockhaus ja I.A. Efron

Pythagorase teoreem on üks Eukleidilise geomeetria põhiteoreemidest, mis loob seose täisnurkse kolmnurga külgede vahel. Sisu 1 Väited 2 Tõendid ... Wikipedia

Shield of Tinkture Shield holder Kilbihoidja (moto) ... Wikipedia

Kuulus Sheela na Gig Inglismaalt Kilpecki kirikust Sheela na Gig (inglise: Sheela na Gig) alasti naiste skulptuurikujutised, mida tavaliselt suurendatakse ... Wikipedia

- ... Vikipeedia

Juba teist korda plaanisin minna mustanahaliste riiki, pööramata tähelepanu sellele, et sealne põrgulik kliima tappis mind juba esimesel reisil. Võtsin selle teekonna ette väga segaste tunnetega ja ei saanud lahti erinevatest... ...loomadest

Suhteliselt selge sisuga ja suhteliselt selgelt piiritletud ulatusega üldnimetus. P. on näiteks “keemiline element”, “seadus”, “gravitatsioonijõud”, “astronoomia”, “luule” jne. Nende nimede vahel, mida võib nimetada P... Filosoofiline entsüklopeedia

Siia on koondatud planimeetria mõistete definitsioonid. Viited terminitele selles sõnastikus (sellel lehel) on kaldkirjas. # A B C D E E E F G H I J K L M N O P R S ... Vikipeedia

Siia on koondatud planimeetria mõistete definitsioonid. Viited terminitele selles sõnastikus (sellel lehel) on kaldkirjas. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Raamatud

Prohvetid ja imetegijad. Visandid müstikast, V. E. Rožnov. Moskva, 1977. Politizdat. Omaniku köide. Seisukord on hea. Spiritism ja astroloogia, teosoofia ja okultism – neid sõnu võib pidevalt leida ajakirjade ja ajalehtede lehekülgedelt...
Arv, kuju, suurus. Klasside jaoks, kus osalevad lapsed vanuses 4 kuni 5 aastat. Mängu ja kleebistega raamat, Dorofeeva A.. Album “Konto. Vorm. Magnitude" sarjast Seitsme pöialpoissi kool, viies õppeaasta, on arendav juhend, kus iga tund viiakse läbi mänguliselt ja annab lastele jätkuvalt…