Või rangelt öeldes on see vormi lõplik formaalne summa
∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle \sum _(I)c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\ cdots x_(n)^(i_(n))), KusTäpsemalt, polünoom ühes muutujas on vormi lõplik formaalne summa
c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x m (\displaystyle c_(0)+c_(1)x^(1)+\dots +c_(m)x^(m)), KusPolünoomi abil tuletatakse mõisted “algebraline võrrand” ja “algebraline funktsioon”.
Uuring ja rakendamine[ | ]
Polünoomvõrrandite ja nende lahenduste uurimine oli võib-olla "klassikalise algebra" peamine eesmärk.
Polünoomide uurimisega on seotud terve rida teisendusi matemaatikas: null-, negatiivsete ja seejärel kompleksarvude arvestamine, samuti rühmateooria kui matemaatika haru esilekerkimine ja eriklasside tuvastamine. funktsioonid analüüsis.
Polünoomidega seotud arvutuste tehniline lihtsus võrreldes keerukamate funktsiooniklassidega, samuti asjaolu, et polünoomide hulk on Eukleidilise ruumi kompaktsete alamhulkade pidevate funktsioonide ruumis tihe (vt Weierstrassi lähendusteoreemi), aitas kaasa ridade laiendamise ja polünoomi laiendamise meetodite väljatöötamine.interpolatsioon matemaatilises analüüsis.
Polünoomid mängivad võtmerolli ka algebralises geomeetrias, mille objektiks on hulk, mis on määratletud polünoomisüsteemide lahendustena.
Teisenduskoefitsientide eriomadusi polünoomide korrutamisel kasutatakse algebralises geomeetrias, algebras, sõlmeteoorias ja teistes matemaatika harudes, et kodeerida või väljendada polünoomides erinevate objektide omadusi.
Seotud määratlused[ | ]
- Vormi polünoom c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n))) helistas monomiaalne või monomiaalne mitme indeksiga I = (i 1 , … , i n) (\displaystyle I=(i_(1),\dots ,\,i_(n))).
- Mitmeindeksile vastav monoom I = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\dots ,\,0)) helistas vaba liige.
- Täielik kraad(mitte-null) monoom c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (n))) nimetatakse täisarvuks | I | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\dots +i_(n)).
- Paljud mitmeindeksid I, mille koefitsiendid c I (\displaystyle c_(I)) nullist erinev, nn polünoomi kandja, ja selle kumer kere on Newtoni hulktahukas.
- Polünoomiaste nimetatakse selle monomiaalide võimsuste maksimumiks. Ühesuguse nulli aste määratakse täiendavalt väärtusega − ∞ (\displaystyle -\infty).
- Polünoomi, mis on kahe monoomi summa, nimetatakse binoom või binoom,
- Nimetatakse polünoomi, mis on kolme monoomi summa kolmik.
- Polünoomi koefitsiendid võetakse tavaliselt konkreetsest kommutatiivsest ringist R (\displaystyle R)(enamasti väljad, näiteks reaal- või kompleksarvude väljad). Sel juhul moodustavad polünoomid liitmise ja korrutamise operatsioonide puhul rõnga (pealegi assotsiatiiv-kommutatiivne algebra ringi kohal R (\displaystyle R) ilma nulljagajateta), mida tähistatakse R [ x 1 , x 2 , … , x n ]. (\displaystyle R.)
- Polünoomi jaoks p (x) (\displaystyle p(x))üks muutuja, lahendades võrrandi p (x) = 0 (\displaystyle p(x)=0) nimetatakse selle juureks.
Polünoomfunktsioonid[ | ]
Lase A (\displaystyle A) rõnga kohal on algebra R (\displaystyle R). Suvaline polünoom p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\displaystyle p(x)\in R) defineerib polünoomfunktsiooni
p R: A → A (\displaystyle p_(R):A\ kuni A).Kõige sagedamini käsitletav juhtum on A = R (\displaystyle A=R).
Kui R (\displaystyle R) on reaal- või kompleksarvude väli (nagu ka mis tahes muu lõpmatu arvu elementidega väli), funktsioon f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\to R) defineerib täielikult polünoomi p. Kuid üldiselt ei vasta see tõele, näiteks: polünoomid p 1 (x) ≡ x (\displaystyle p_(1) (x)\ekviv x) Ja p 2 (x) ≡ x 2 (\displaystyle p_(2)(x)\equiv x^(2)) alates Z 2 [ x ] (\displaystyle \mathbb (Z)_(2) [x]) defineerida identselt võrdsed funktsioonid Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\ to \mathbb (Z) _(2)).
Ühe reaalmuutuja polünoomfunktsiooni nimetatakse terveks ratsionaalfunktsiooniks.
Polünoomide tüübid[ | ]
Omadused [ | ]
Jagatavus [ | ]
Redutseerimata polünoomide roll polünoomiringis on sarnane algarvude rolliga täisarvude ringis. Näiteks on tõene teoreem: kui polünoomide korrutis p q (\displaystyle pq) jagub taandamatu polünoomiga, siis lk või q jagatuna λ (\displaystyle \lambda). Iga nullist suurema astme polünoomi saab antud väljal unikaalsel viisil (kuni nullkraadi teguriteni) lagundada taandamatute tegurite korrutiseks.
Näiteks polünoom x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2), ratsionaalarvude valdkonnas taandamatu, laguneb reaalarvude valdkonnas kolmeks ja kompleksarvude valdkonnas neljaks teguriks.
Üldiselt iga polünoom ühes muutujas x (\displaystyle x) laguneb reaalarvude väljal esimese ja teise astme teguriteks, kompleksarvude vallas esimese astme teguriteks (algebra põhiteoreem).
Kahe või enama muutuja kohta ei saa seda enam öelda. Eespool mis tahes valdkonda kellelegi n > 2 (\displaystyle n>2) on polünoomid alates n (\displaystyle n) muutujad, mis on selle välja mis tahes laiendis taandamatud. Selliseid polünoome nimetatakse absoluutselt taandamatuteks.
Polünoomi mõiste
Polünoomi definitsioon: polünoom on monomialide summa. Polünoomi näide:
siin näeme kahe monoomi summat ja see on polünoom, st. monomiaalide summa.
Polünoomi moodustavaid termineid nimetatakse polünoomi terminiteks.
Kas monomialide erinevus on polünoom? Jah, on, sest vahe taandatakse lihtsalt summaks, näiteks: 5a – 2b = 5a + (-2b).
Monoome loetakse ka polünoomideks. Kuid monoomial pole summat, siis miks peetakse seda polünoomiks? Ja saate sellele lisada nulli ja saada selle summa nullmonoomiga. Niisiis, monoom on polünoomi erijuht, see koosneb ühest liikmest.
Arv null on nullpolünoom.
Polünoomi standardvorm
Mis on standardkuju polünoom? Polünoom on monomialide summa ja kui kõik need polünoomi moodustavad monooomid on kirjutatud standardkujul ja nende hulgas ei tohiks sarnaseid olla, siis kirjutatakse polünoom standardkujul.
Näide polünoomist standardkujul:
siin koosneb polünoom 2 monomiinist, millest igaühel on standardvorm; monomialide hulgas pole sarnaseid.
Nüüd näide polünoomist, millel pole standardvormi:
siin on kaks monoomi: 2a ja 4a sarnased. Peate need kokku liitma, siis saab polünoom standardkuju:
Veel üks näide:
Kas see polünoom on taandatud standardkujule? Ei, tema teine ametiaeg ei ole standardvormis kirjutatud. Kirjutades selle standardkujul, saame standardvormi polünoomi:
Polünoomiaste
Mis on polünoomi aste?
Polünoomi kraadi määratlus:
Polünoomi aste on kõrgeim aste, mis on antud standardkujulise polünoomi moodustavatel monoomidel.
Näide. Mis on polünoomi 5h aste? Polünoomi 5h aste on võrdne ühega, kuna see polünoom sisaldab ainult ühte monoomi ja selle aste on võrdne ühega.
Veel üks näide. Kui suur on polünoomi 5a 2 h 3 s 4 +1 aste? Polünoomi 5a 2 h 3 s 4 + 1 aste on võrdne üheksaga, kuna see polünoomi sisaldab kahte monoomi, esimene monoom 5a 2 h 3 s 4 on kõrgeima astmega ja selle aste on 9.
Veel üks näide. Mis on polünoomi 5 aste? Polünoomi 5 aste on null. Niisiis, ainult arvust koosneva polünoomi aste, st. ilma tähtedeta võrdub nulliga.
Viimane näide. Mis on nullpolünoomi aste, s.o. null? Nullpolünoomi aste ei ole määratletud.
polünoom, vormi avaldis
Axkyl┘..wm + Bxnyp┘..wq + ┘┘ + Dxrts┘..wt,
kus x, y, ..., w ≈ muutujad ja A, B, ..., D (M koefitsient) ja k, l, ..., t (eksponendid ≈ mittenegatiivsed täisarvud) ≈ konstandid. Üksikuid termineid kujul Ахkyl┘..wm nimetatakse terminiteks M. Terminite järjekorda, nagu ka tegurite järjekorda igas liikmes, saab suvaliselt muuta; samamoodi saate sisestada või välja jätta nullkoefitsiendiga termineid ja igas üksikus liikmes ≈ nullkoefitsientidega astmeid. Kui struktuuril on üks, kaks või kolm liiget, nimetatakse seda mono-, binoom- või trinoomiks. Võrrandi kahte liiget nimetatakse sarnasteks, kui nende identsete muutujate eksponendid on paarikaupa võrdsed. Sarnased liikmed
A"хkyl┘..wm, B"xkyl┘..wm, ┘.., D"xkyl┘..wm
saab asendada ühega (tuues sarnased terminid). Kahte mudelit nimetatakse võrdseks, kui pärast sarnaste taandamist osutuvad kõik nullist erineva koefitsiendiga liikmed paarikaupa identseteks (kuid võib-olla on kirjutatud erinevas järjekorras) ja ka siis, kui kõik nende mudelite koefitsiendid osutuvad võrdseks null. Viimasel juhul nimetatakse suurust identseks nulliks ja tähistatakse märgiga 0. Ühe muutuja x suuruse saab alati kirjutada kujul
P(x) = a0xn+ a1xn-1 + ... + an-1x+ an,
kus a0, a1,..., an ≈ koefitsiendid.
Mudeli mis tahes liikme eksponentide summat nimetatakse selle liikme astmeks. Kui M ei ole identselt null, siis nullist erineva koefitsiendiga liikmete hulgas (eeldatakse, et kõik sellised liikmed on antud) on üks või mitu kõrgeima astmega liiget; seda suurimat kraadi nimetatakse M astmeks. Ühel nullil pole kraadi. M. null kraadi taandatakse üheks liikmeks A (konstant, ei võrdu nulliga). Näited: xyz + x + y + z on kolmanda astme polünoom, 2x + y ≈ z + 1 on esimese astme polünoom (lineaarne M), 5x2 ≈ 2x2 ≈ 3x2 ei oma astet, kuna see on identne null . Mudelit, mille kõik liikmed on sama astmega, nimetatakse homogeenseks mudeliks ehk vormiks; esimese, teise ja kolmanda astme vorme nimetatakse lineaarseteks, ruut-, kuup- ja vastavalt muutujate arvule (kaks, kolm) binaarseteks (binaarseteks), kolmiknärvideks (kolmik) (näiteks x2 + y2 + z2 ≈ xy ≈ yz ≈ xz on kolmiknärvi ruutvorm ).
Matemaatika kordajate puhul eeldatakse, et need kuuluvad teatud valdkonda (vt Algebraväli), näiteks ratsionaal-, reaal- või kompleksarvude valdkonda. Tehes liitmise, lahutamise ja korrutamise tehteid mudelil, mis põhineb kommutatsiooni-, kombinatsiooni- ja jaotusseadustel, saadakse taas mudel, seega moodustab kõigi antud välja koefitsientidega mudelite hulk rõnga (vt algebra ring) ≈ polünoomide ring antud välja kohal; sellel ringil pole nulljagajaid, see tähendab, et arvude korrutis, mis ei võrdu 0-ga, ei saa anda 0.
Kui kahe polünoomi P(x) ja Q(x) jaoks on võimalik leida polünoomi R(x) nii, et P = QR, siis öeldakse, et P jagub Q-ga; Q nimetatakse jagajaks ja R ≈ jagatiseks. Kui P ei jagu Q-ga, siis võib leida polünoomid P(x) ja S(x) nii, et P = QR + S ja S(x) aste on väiksem kui Q(x) aste.
Seda tehet korduvalt rakendades võib leida P ja Q suurima ühisjagaja, st P ja Q jagaja, mis jagub nende polünoomide mis tahes ühise jagajaga (vt Eukleidiline algoritm). Maatriksit, mida saab esitada antud välja koefitsientidega madalama astme maatriksi korrutisena, nimetatakse taandatavaks (antud väljas), vastasel juhul nimetatakse seda taandamatuks. Taandumatud arvud mängivad arvude ringis rolli, mis sarnaneb täisarvude teooria algarvudega. Nii näiteks on tõene teoreem: kui korrutis PQ jagub taandamatu polünoomiga R, kuid P ei jagu R-ga, siis peab Q olema jaguv R-ga. Iga nullist suurema astme M võib laguneda antud väli kordumatul viisil taandamatute tegurite korrutiseks (kuni null kraaditegurini). Näiteks ratsionaalarvude väljas taandamatu polünoom x4 + 1 faktoriseeritakse
reaalarvude valdkonnas ja nelja teguriga ═kompleksarvude valdkonnas. Üldiselt laguneb iga ühe muutuja x mudel reaalarvude väljal esimese ja teise astme teguriteks ning kompleksarvude valdkonnas esimese astme teguriteks (algebra põhiteoreem). Kahe või enama muutuja puhul ei saa seda enam öelda; näiteks polünoom x3 + yz2 + z3 on taandamatu mis tahes arvuväljal.
Kui muutujatele x, y, ..., w antakse teatud arvväärtused (näiteks reaal- või kompleksväärtused), saab M ka teatud arvväärtuse. Sellest järeldub, et iga mudelit võib vaadelda vastavate muutujate funktsioonina. See funktsioon on pidev ja diferentseeruv muutujate mis tahes väärtuste jaoks; seda saab iseloomustada kui tervet ratsionaalset funktsiooni, st funktsiooni, mis saadakse muutujatest ja teatud konstantidest (koefitsientidest) kindlas järjekorras sooritatud liitmise, lahutamise ja korrutamise teel. Terved ratsionaalsed funktsioonid kuuluvad laiemasse ratsionaalfunktsioonide klassi, kus loetletud tegevustele on lisatud jaotus: iga ratsionaalfunktsiooni saab esitada kahe M jagatisena. Lõpuks sisalduvad ratsionaalfunktsioonid algebraliste funktsioonide klassis.
Matemaatika üks olulisemaid omadusi on see, et suvalise pideva funktsiooni saab matemaatika abil asendada suvaliselt väikese veaga (Weierstrassi teoreem; selle täpne formuleerimine eeldab, et antud funktsioon oleks pidev mingil piiratud, suletud punktide hulgal, näiteks reaaltelje segment). See matemaatilise analüüsi abil tõestatud fakt võimaldab ligikaudselt väljendada matemaatiliselt mis tahes seost uuritud suuruste vahel mis tahes loodusteaduse ja -tehnoloogia küsimuses. Sellise avaldise meetodeid uuritakse matemaatika eriosades (vt Funktsioonide lähendamine ja interpoleerimine, Vähimruutude meetod).
Elementaaralgebras nimetatakse polünoomi mõnikord algebraliseks avaldiseks, mille viimaseks toiminguks on liitmine või lahutamine, näiteks
Valgus : Kurosh A.G., Course of Higher Algebra, 9. väljaanne, M., 1968; Mishina A.P., Proskuryakov I.V., Kõrgem algebra, 2. väljaanne, M., 1965.
Pärast monomialide uurimist liigume edasi polünoomide juurde. See artikkel räägib teile kogu vajaliku teabe kohta, mis on vajalik nende toimingute tegemiseks. Defineerime polünoomi koos kaasnevate polünoomitermini definitsioonidega, st vaba ja sarnase, vaatleme standardkuju polünoomi, tutvustame kraadi ja õpime seda leidma ning töötama selle kordajatega.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Polünoom ja selle mõisted – definitsioonid ja näited
Polünoomi määratlus oli vajalik juba tagasi 7 klassi pärast monomialide õppimist. Vaatame selle täielikku määratlust.
Definitsioon 1
Polünoom Arvutatakse monomialide summa ja monoom ise on polünoomi erijuht.
Definitsioonist järeldub, et polünoomide näited võivad olla erinevad: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 · 0, 6 · x · (− 2) · y 12, - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z ja nii edasi. Definitsioonist on meil see 1+x, a 2 + b 2 ja avaldis x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x on polünoomid.
Vaatame veel mõnda määratlust.
2. definitsioon
Polünoomi liikmed nimetatakse seda moodustavateks monoomideks.
Vaatleme näidet, kus meil on polünoom 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, mis koosneb 4 liikmest: 3 x 4, − 2 x y, 3 ja – y 3. Sellist monoomi võib pidada polünoomiks, mis koosneb ühest liikmest.
3. definitsioon
Polünoomidel, mis sisaldavad 2, 3 trinoomi, on vastav nimi - binoom Ja kolmik.
Sellest järeldub, et vormi väljendus x+y– on binoom ja avaldis 2 x 3 q − q x x x + 7 b on trinoom.
Töötasime kooli õppekava järgi lineaarse binoomiga kujul a · x + b, kus a ja b on mingid arvud ning x on muutuja. Vaatleme näiteid lineaarsete binoomide kohta kujul: x + 1, x · 7, 2 − 4 koos ruudukujuliste trinoomide x 2 + 3 · x − 5 ja 2 5 · x 2 - 3 x + 11 näidetega.
Teisendamiseks ja lahendamiseks on vaja leida ja tuua sarnaseid termineid. Näiteks polünoomil kujul 1 + 5 x − 3 + y + 2 x on sarnased liikmed 1 ja - 3, 5 x ja 2 x. Need jagunevad spetsiaalsesse rühma, mida nimetatakse polünoomi sarnasteks liikmeteks.
4. definitsioon
Sarnased polünoomi terminid on polünoomides leiduvad sarnased terminid.
Ülaltoodud näites on 1 ja - 3, 5 x ja 2 x polünoomi sarnased liikmed või sarnased terminid. Väljendi lihtsustamiseks leidke ja vähendage sarnaseid termineid.
Standardkuju polünoom
Kõigil mono- ja polünoomidel on oma spetsiifilised nimed.
Definitsioon 5
Standardkuju polünoom on polünoom, milles igal selles sisalduval terminil on standardkujuline monoom ja see ei sisalda sarnaseid termineid.
Definitsioonist on selge, et on võimalik taandada standardkuju polünoome, näiteks 3 x 2 − x y + 1 ja __valem__ ning kirje on standardvormis. Avaldised 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z ja 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z ei ole standardkujulised polünoomid, kuna esimeses neist on sarnased terminid vorm 3 · x 2 ja − x 2, ja teine sisaldab monoomi kujul x · y 3 · x · z 2, mis erineb standardpolünoomist.
Kui asjaolud seda nõuavad, taandatakse polünoom mõnikord standardvormiks. Polünoomi vabaliikme mõistet peetakse ka tüüpkuju polünoomiks.
Definitsioon 6
Polünoomi vaba liige on standardkuju polünoom, millel ei ole literaalset osa.
Teisisõnu, kui standardkujul polünoomil on arv, nimetatakse seda vabaliikmeks. Siis on arv 5 polünoomi x 2 z + 5 vaba liige ja polünoomil 7 a + 4 a b + b 3 vaba liiget ei ole.
Polünoomi aste – kuidas seda leida?
Polünoomi enda astme määratlus põhineb standardvormi polünoomi määratlusel ja selle komponentideks olevate monomialide astmetel.
Definitsioon 7
Tüüpkujulise polünoomi aste nimetatakse suurimaks selle tähistuses sisalduvatest kraadidest.
Vaatame näidet. Polünoomi 5 x 3 − 4 aste on võrdne 3-ga, kuna selle koostisesse kuuluvatel monoomidel on astmed 3 ja 0 ning neist suurem on vastavalt 3. Polünoomi 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x astme määratlus on võrdne suurimaga arvudest, st 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 ja 1, mis tähendab 5 .
Tuleb välja selgitada, kuidas kraad ise leitakse.
Definitsioon 8
Suvalise arvu polünoomi aste on vastava polünoomi aste standardkujul.
Kui polünoom ei ole kirjutatud standardkujul, kuid peate leidma selle astme, peate selle taandada standardvormile ja seejärel leidma vajaliku astme.
Näide 1
Leia polünoomi aste 3 a 12 - 2 a b c c a c b + y 2 z 2 - 2 a 12 - a 12.
Lahendus
Esiteks esitame polünoomi standardkujul. Saame vormi avaldise:
3 a 12 - 2 a b c c a c b + y 2 z 2 - 2 a 12 - a 12 = = (3 a 12 - 2 a 12 - a 12) - 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2
Standardkujulise polünoomi saamisel leiame, et kaks neist paistavad selgelt silma - 2 · a 2 · b 2 · c 2 ja y 2 · z 2 . Kraadide leidmiseks loeme ja leiame, et 2 + 2 + 2 = 6 ja 2 + 2 = 4. Näha on, et suurim neist on 6. Definitsioonist järeldub, et 6 on polünoomi − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 aste ja seega ka algväärtus.
Vastus: 6 .
Polünoomliikmete koefitsiendid
Definitsioon 9Kui polünoomi kõik liikmed on standardkuju monoomid, siis sel juhul on neil nimi polünoomliikmete koefitsiendid. Teisisõnu võib neid nimetada polünoomi kordajateks.
Näidet vaadeldes on selge, et polünoom kujul 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 sisaldab 4 polünoomi: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x ja 7 koos nende vastavate kordajatega 2, − 0, 5, 3 ja 7. See tähendab, et 2, − 0, 5, 3 ja 7 loetakse antud polünoomi kujul 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 liigeste kordajateks. Teisendamisel on oluline pöörata tähelepanu muutujate ees olevatele koefitsientidele.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Definitsiooni järgi on polünoom algebraline avaldis, mis esindab monomialide summat.
Näiteks: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 on polünoomid ja avaldis z/(x - x*y^2 + 4) ei ole polünoom, kuna see ei ole monomialide summa. Polünoomi nimetatakse mõnikord ka polünoomiks ja polünoomi osaks olevad monomiaalid on polünoomi või monomialide liikmed.
Polünoomi keerukas mõiste
Kui polünoom koosneb kahest liikmest, siis nimetatakse seda binoomiks, kui see koosneb kolmest, siis trinoomiks. Nimetusi nelinoom, viienoom ja teised ei kasutata ning sellistel juhtudel öeldakse lihtsalt polünoom. Sellised nimed panevad olenevalt terminite arvust kõik oma kohale.
Ja termin monomial muutub intuitiivseks. Matemaatilisest vaatenurgast on monoom polünoomi erijuht. Monoom on polünoom, mis koosneb ühest liikmest.
Nii nagu monomial, on ka polünoomil oma standardvorm. Polünoomi tüüpvorm on selline polünoomi tähistus, kus kõik temasse terminitena kuuluvad monoomid on kirjutatud standardkujul ja sarnased terminid on antud.
Polünoomi standardvorm
Protseduur polünoomi standardvormile redutseerimiseks on taandada iga monoom standardkujule ja seejärel lisada kõik sarnased monoomid kokku. Polünoomi sarnaste liikmete liitmist nimetatakse sarnase vähendamiseks.
Näiteks esitame sarnased terminid polünoomides 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.
Terminid 4*a*b^2*c^3 ja 6*a*b^2*c^3 on siin sarnased. Nende liikmete summa on monoom 10*a*b^2*c^3. Seetõttu saab algse polünoomi 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b ümber kirjutada kujule 10*a*b^2*c^3 - a* b . See kirje on polünoomi standardvorm.
Sellest, et iga monoomi saab taandada standardvormiks, järeldub ka see, et iga polünoomi saab taandada standardvormiks.
Kui polünoomi taandada standardvormiks, saame rääkida sellisest mõistest nagu polünoomi aste. Polünoomi aste on antud polünoomi kaasatud monomi kõrgeim aste.
Näiteks 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 on viienda astme polünoom, kuna polünoomi (5*x^3*y^) sisalduva monoomi maksimaalne aste 2) on viies.