1. loeng
VÕNKED. LAINED. OPTIKA
Esimesed teadlased, kes võnkumisi uurisid, olid Galileo Galilei ja Christiaan Huygens. Galileo tegi kindlaks võnkeperioodi sõltumatuse amplituudist. Huygens leiutas pendelkella.
Kõiki süsteeme, mis oma tasakaaluasendist pisut häirituna avaldavad stabiilseid võnkumisi, nimetatakse harmoonilisteks ostsillaatoriteks. Klassikalises füüsikas on sellisteks süsteemideks matemaatiline pendel väikeste läbipaindenurkadega, koormus väikese võnkeamplituudiga, elektriahel, mis koosneb mahtuvuse ja induktiivsuse lineaarsetest elementidest.
(1.1.1)
Kus X A
Võnkuva materjalipunkti kiirus
A
.
Kui perioodiliselt korduvat protsessi kirjeldatakse võrranditega, mis ei lange kokku (1.1.1), nimetatakse seda anharmoonseks. Süsteemi, mis teostab anharmoonseid võnkumisi, nimetatakse anharmoonilisteks ostsillaatoriteks.
1.1.2 . Süsteemide vabad vibratsioonid ühe vabadusastmega. Harmooniliste vibratsioonide kujutamise kompleksvorm
Looduses on väikesed võnkumised, mida süsteem oma tasakaaluasendi lähedal tekitab, väga levinud. Kui tasakaaluasendist eemaldatud süsteem jäetakse iseendale, st sellele ei mõju välised jõud, siis teostab selline süsteem vabu, summutamata võnkumisi. Vaatleme ühe vabadusastmega süsteemi.
q
,
Kus 
, (1.1.4)
Avaldis (1.1.5) langeb kokku vabade harmooniliste võnkumiste võrrandiga (1.1.3), eeldusel, et
,
, Kus A = Xe-iα
1.1.3 . Näiteid erineva füüsilise olemusega võnkuvatest liikumistest
Harmooniline ostsillaator. Kevad, füüsikalised ja matemaatilised pendlid
Harmooniline ostsillaator nimetatakse süsteemiks, mis võngub, mida kirjeldab võrrand kujul (140.6);
Harmoonilise ostsillaatori võnkumised on perioodilise liikumise oluline näide ja toimivad täpse või ligikaudse mudelina paljudes klassikalise ja kvantfüüsika probleemides. Harmoonilise ostsillaatori näideteks on vedru-, füüsikalised ja matemaatilised pendlid ning võnkeahel (nii väikeste voolude ja pingete puhul, et ahela elemente võiks pidada lineaarseteks).
1. Vedrupendel- on massikoormus T, riputatud ideaalselt elastsele vedrule ja teostab harmoonilisi võnkumisi elastse jõu toimel F = - kx, Kus k- vedru jäikus. Pendli liikumisvõrrand
Avaldistest (142.1) ja (140.1) järeldub, et vedrupendel teostab harmoonilisi võnkumisi vastavalt seadusele x=A s-ga (w 0 t + j) tsüklilise sagedusega
Valem (142.3) kehtib elastsete võngete puhul piirides, milles on täidetud Hooke’i seadus (vt (21.3)), st kui vedru mass on keha massiga võrreldes väike. Vedrupendli potentsiaalne energia vastavalt (141.5) ja (142.2) on võrdne
2. Füüsiline pendel- see on jäik keha, mis gravitatsiooni mõjul võngub ümber punkti läbiva fikseeritud horisontaaltelje KOHTA, mis ei lange kokku massikeskmega KOOS kehad (joon. 201).
Kui pendel on tasakaaluasendist teatud nurga võrra kallutatud a, siis vastavalt jäiga keha pöörlemisliikumise dünaamika võrrandile (18.3) hetk M taastava jõu saab kirjutada kui
Kus J- pendli inertsimoment vedrustuspunkti läbiva telje suhtes Oh mina- kaugus selle ja pendli massikeskme vahel, F t = – mg sin a » – mga. - jõu taastamine (miinusmärk on tingitud asjaolust, et juhised Ft Ja a alati vastand; patt a » a vastab pendli väikestele võngetele, st. pendli väikesed kõrvalekalded tasakaaluasendist). Võrrandi (142.4) saab kirjutada kujul
identne (142.1), mille (140.1) lahendus on teada:
Avaldisest (142.6) järeldub, et väikeste võnkumiste korral teostab füüsikaline pendel harmoonilisi võnkumisi tsüklilise sagedusega w 0 (vt (142.5)) ja perioodiga
Kus L=J/(ml) - füüsilise pendli vähendatud pikkus.
Punkt ABOUT' sirge jätkamisel OS, punktist kaugel KOHTA pendli riputus etteantud pikkuse kaugusel L, helistas kiigekeskus füüsiline pendel (joon. 201). Rakendades Steineri teoreemi (16.1), saame
st. OO' alati rohkem OS. Peatuspunkt KOHTA pendel ja kiigekeskus ABOUT' on vahetatavuse omadus: kui vedrustuspunkt on nihutatud õõtsumise keskpunkti, siis eelmine punkt KOHTA peatamine
saab uueks kiigekeskuseks ja füüsilise pendli võnkeperiood ei muutu.
3. Matemaatiline pendel- See idealiseeritud süsteem, mis koosneb massiga materiaalsest punktist T, riputatud pikendamatul kaaluta niidil ja võnkuma gravitatsiooni mõjul. Matemaatilise pendli hea ligikaudne väärtus on väike, raske kuul, mis on riputatud õhukesele pikale niidile. Matemaatilise pendli inertsimoment
Kus l- pendli pikkus.
Kuna matemaatilist pendlit saab kujutada kui füüsilise pendli erijuhtum, eeldades, et kogu selle mass on koondunud ühte punkti - massikeskmesse, siis, asendades avaldise (142,8) valemiga (1417), saame avaldise matemaatilise pendli väikeste võnkumiste perioodi kohta
Võrreldes valemeid (142,7) ja (142,9), näeme, et kui vähendatud pikkus L füüsiline pendel on võrdne pikkusega l matemaatilist pendlit, siis on nende pendlite võnkeperioodid samad. Seega füüsilise pendli vähendatud pikkus- see on sellise matemaatilise pendli pikkus, mille võnkeperiood langeb kokku antud füüsikalise pendli võnkeperioodiga.
Ideaalne harmooniline ostsillaator. Ideaalne ostsillaatori võrrand ja selle lahendus. Võnkumiste amplituud, sagedus ja faas
VÕNKED
HARMOONILISED VIBRATSIOONID
Ideaalne harmooniline ostsillaator. Ideaalne ostsillaatori võrrand ja selle lahendus. Võnkumiste amplituud, sagedus ja faas
Võnkumine on looduses ja tehnikas üks levinumaid protsesse. Võnkumised on protsessid, mis aja jooksul korduvad. Kõrghooned ja kõrgepingejuhtmed võnguvad tuule mõjul, haavakella ja auto pendel vedrudel sõidu ajal, jõetase aastaringselt ja inimkeha temperatuur haigestumisel. Heli on õhurõhu kõikumine, raadiolained on perioodilised muutused elektri- ja magnetvälja tugevuses, valgus on samuti elektromagnetilised kõikumised. Maavärinad - pinnase vibratsioonid, mõõnad ja hoovused - Kuu külgetõmbejõust tingitud muutused merede ja ookeanide tasemetes jne.
Võnkumised võivad olla mehaanilised, elektromagnetilised, keemilised, termodünaamilised jne. Vaatamata sellisele mitmekesisusele kirjeldatakse kõiki võnkumisi samade diferentsiaalvõrranditega.
Harmoonilise ostsillaatori võib lugeda lineaarseks, kui nihe tasakaaluasendist on otseselt võrdeline häiriva jõuga. Harmoonilise ostsillaatori võnkesagedus ei sõltu amplituudist. Ostsillaatori puhul on superpositsiooni printsiip täidetud - kui mõjuvad mitmed häirivad jõud, siis saab nende kogumõju efekti üksikute mõjuvate jõudude mõjude liitmise tulemusena.
Harmoonilised võnkumised kirjeldatakse võrrandiga (joonis 1.1.1)
(1.1.1)
Kus X- võnkuva suuruse nihkumine tasakaaluasendist, A– võnkumiste amplituud, mis on võrdne maksimaalse nihke väärtusega, – võnkumiste faas, mis määrab nihke ajahetkel, – algfaas, mis määrab nihke väärtuse nihke alghetkel. aeg – võnkumiste tsükliline sagedus.
Ühe täieliku võnkumise aega nimetatakse perioodiks, kus on aja jooksul sooritatud võnkumiste arv.
Võnkesagedus määrab ajaühikus sooritatud võnkumiste arvu, see on seotud tsüklilise sagedusega suhtega , seejärel perioodiga.
Seega muutuvad harmoonilise ostsillaatori kiirus ja kiirendus ka harmoonilise seaduse järgi amplituudidega ja vastavalt. Sel juhul on kiirus faasis nihkest ees ja kiirendus võrra suurem (joonis 1.1.2).
Harmoonilise ostsillaatori (1.1.1) ja (1.1.2) liikumisvõrrandite võrdlusest järeldub, et või
Seda teist järku diferentsiaalvõrrandit nimetatakse harmoonilise ostsillaatori võrrandiks. Selle lahendus sisaldab kahte konstanti A ja , mis määratakse kindlaks algtingimuste seadmisega
.
Stabiilne tasakaal vastab süsteemi positsioonile, milles selle potentsiaalne energia on minimaalne ( q– süsteemi üldistatud koordinaat). Süsteemi kõrvalekaldumine tasakaaluasendist toob kaasa jõu tekkimise, mis kipub süsteemi tagasi viima. Tasakaaluasendile vastava üldistatud koordinaadi väärtust tähistatakse , siis tasakaaluasendist kõrvalekallet
Loendame potentsiaalset energiat minimaalsest väärtusest. Aktsepteerime saadud funktsiooni ja laiendame seda Maclaurini seeriaks ning jätkem laienduse esimene liige, meil on: o
,
Kus 
. Seejärel, võttes arvesse kasutusele võetud märke:
, (1.1.4)
Võttes arvesse süsteemile mõjuva jõu avaldist (1.1.4), saame:
Newtoni teise seaduse kohaselt on süsteemi liikumisvõrrand järgmine:
ja sellel on kaks sõltumatut lahendust: ja , seega on üldine lahendus:
,
Valemist (1.1.6) järeldub, et sageduse määravad ainult mehaanilise süsteemi olemuslikud omadused ja see ei sõltu liikumise amplituudist ja algtingimustest.
Võnkesüsteemi koordinaatide sõltuvust ajast saab määrata kompleksavaldise reaalosa kujul 
, Kus A = Xe-iα– kompleksamplituud, selle moodul langeb kokku tavalise amplituudiga ja argument kattub algfaasiga.
Keemiku käsiraamat 21
Keemia ja keemiatehnoloogia
Harmooniline liikumisseadus
Mehaaniline, mille puhul pöörlev liikumine muudetakse võnkuvaks liikumiseks (peamiselt ekstsentrilised ja nukkmehhanismid). Käitava lüli liikumisseadus võib olla harmoonilisele lähedane. Neid erguteid kasutatakse teatud tüüpi ekraanides, vibreerivates tsentrifuugides ja ussmikserites.
Klassikalises mehaanikas on punktisüsteemi liikumisseaduse (koordinaadid qi kui aja funktsioonid) leidmiseks vaja lahendada Newtoni võrrandite süsteem. Suvaliselt valitud koordinaatsüsteemi korral ei vii nende potentsiaaliga (VII, 7) võrrandite üldlahendus q (t) harmoonilisele kujule. Küll aga on lihtne näidata, et koordinaatide q, lineaarsete kombinatsioonide abil on võimalik konstrueerida uusi koordinaate, millest igaüks muutub harmoonilise seaduse järgi teatud sagedusega (c. Sellised koordinaadid
Tõepoolest, kahe sidemega ühendatud aatomi vibratsioonid on sarnased vedruga koos hoitud kerapaari vibratsioonidega. Väikeste nihete korral on taastav jõud võrdeline nihkega ja kui selline süsteem on liikuma pandud, kirjeldatakse võnkumisi lihtsa harmoonilise liikumise seadusega.
Parimad töötingimused regeneraatorile tekiks siis, kui kolb ei teeks harmoonilist liikumist, vaid peatuks iga käigu lõpus. Küllalt kõrge kasuteguri saab aga selle lihtsuse tõttu kasutades kolvi liikumise harmoonilist seadust.
Kui töökeskkond võngub torustikus või mõnes muus survekanalis, erineb voolukiiruste jaotus voolu ristlõikes seadusest, mis seda jaotust keskkonna ühtlase liikumise korral kirjeldab. Seega, kui vedeliku laminaarne vool võngub ümmarguses silindrilises torus, katkeb kiiruste paraboolne jaotus, mis, nagu hüdraulikast on teada, on iseloomulik vedeliku laminaarsele ühtlasele liikumisele torus. Rõhugradiendi harmoonilise muutumise korral piki toru saab kiiruse jaotuse leida valemi (9.42) abil. Selleks tuleks (s) asemel valemis asendada rõhugradiendi harmoonilise muutumise seaduse Laplace'i kujutis ja seejärel sooritada pöördteisendus. Sel viisil saadud funktsioon (t, r) on töös antud.
On selge, et tööstusmasinate konstruktsioonides ei ole vaja rakendada kolbide katkendliku liikumisega tsüklit. Mis tahes kolvi liikumise seaduse, eriti harmoonilise (vändaajami) korral on ideaalse Stirlingi masina termodünaamiline efektiivsus võrdne ühtsusega.
Nendes paigaldistes võeti kasutusele lihtsustatud, harmoonilisele lähedane varraste liikumisseadus - pumpamismasina liigendatud neljavardaline ühendus asendati väntmehhanismidega. See eeldus on üldtunnustatud ja, nagu katsed on näidanud, on katsete tingimuste jaoks täiesti õigustatud.
Kaheaatomilise molekuli sisemine olek määratakse siis, kui on täpsustatud selle elektronkihi olek, samuti molekuli kui terviku pöörlemisliikumise ja tuumade vibratsioonilise liikumise omadused. Pöörlemist ja vibratsiooni peetakse esimeseks lähenduseks molekuli elektroonilisest olekust sõltumatuks. Lihtsaim mudel kaheaatomilise molekuli pöörlemis- ja vibratsiooniliikumiste kirjeldamiseks on jäik rotaator - harmooniline ostsillaator, mille järgi vaadeldakse molekuli pöörlemist jäiga pöörlejana ja tuumade vibratsiooni harmoonilise seaduse järgi iseseisvalt. Selle mudeli klassikalist kirjeldust leiate peatükist. IV., 5. Kirjutame samas lähenduses kaheaatomilise molekuli energia avaldise, kasutades kvantmehaanilisi valemeid (VII.19), (VII.20) ja (UP.22)
Vibratsiooni amplituudi muutus ja üleminek vibratsiooni harmooniliselt šokirežiimile saavutatakse vahetatavate ekstsentrikate paigaldamisega, mille profiili määrab tõukuri liikumisseadus töölaua ja plokiga. sellele paigaldatud koaksiaalsilindrid.
Jaotises e märgiti, et kui molekulide energiat väljendatakse teatud arvu liikmete summana, mis on ruutkesksed kas ruumikoordinaatide () või momentide (/z) suhtes, siis on jaotuse vorm. seadus ei sõltu täpselt sellest, kui palju termineid sisaldub kineetilise ja kui palju - potentsiaalse energia avaldises. Seaduse tuletamine on aga lihtsustatud, kui arvestada sama palju potentsiaalset kineetilist energiat väljendavaid termineid. Füüsiliselt vastab see eeldusele, et molekulide koguliikumist esindab 5 sõltumatu harmoonilise ostsillaatori arv. Molekuli energia saab sel juhul kirjutada järgmiselt:
Konstantse kiirendusega spektromeetrites muutub allika ja neelduja suhteline kiirus perioodiliselt vastavalt lineaarsele või harmoonilisele seadusele, mis võimaldab registreerida uuritavat spektrit antud kiirusvahemikus. Tavaliselt salvestatakse sellistes spektromeetrites informatsioon ajarežiimis töötava mitmekanalilise analüsaatori mällu, kui mälukanalid avatakse sünkroonselt kiirustsükliga.
Üks kvantseaduste väljendusi on perioodilisi liigutusi sooritava keha energiatasemete diskreetsus. Vaatleme näiteks ostsillaatori harmoonilist võnkumist. Klassikalise harmoonilise ostsillaatori energia võib pidevalt muutuda. See energia on võrdne yA 2 (potentsiaalse energia kõrgeim väärtus x = A korral). Elastne konstant
Sunnitud vibratsioonid. Vaatleme ühe vabadusastmega lineaarse elastse süsteemi pikivõnkumisi liikuva jõu Pif) toimel, mis muutuvad harmoonilise seaduse järgi. Esialgu nõustume eeldusega, et mitteelastseid takistusjõude pole. Liikumisvõrrand on sel juhul (joonis 3.7, a) kujul tx = -Py + P (/), mis pärast asendusi P = cx, dm = sotsiaalne ja P (/) = Po sin (oi) annab
Kui tegu oleks klassikalise süsteemiga, siis teatud algtingimustel oleks põhimõtteliselt võimalik ergutada liikumist, mille puhul muutuks ainult üks normaalkoordinaat.Siis selle normaalkoordinaadi muutumisel muutuvad kõik sideme pikkused , jälgitaks sidenurki vms , võrdeline selle koordinaadiga koefitsientidega Kui normaalkoordinaadid muutuksid harmoonilise seaduse järgi, siis muutuksid harmoonilise seaduse järgi ka kõik molekuli geomeetrilised parameetrid ja kõik geomeetrilised parameetrid mööduksid läbi nende tasakaaluväärtuste samas faasis. Näide normaalsete vibratsioonide kohta XY2 molekuli veetüübi jaoks on näidatud joonisel 8 2
Kui aine elektronid on oma tasakaaluasenditest veidi nihkunud, alluvad nad taastavale tegevusele, mille suurust eeldatakse nihkega võrdeliseks. Sel juhul osutub elektronide liikumine lihtsaks harmooniliseks võnkumiseks. Valguse läbimine läbi süsteemi, mis sisaldab mitmeid selliseid elektrilisi ostsillaatoreid, on samaväärne täiendava elektrijõu ilmnemisega, mis Maxwelli teooria kohaselt osutub valguse elektromagnetilise võnkumise üheks komponendiks. Valguse läbimisel muutub elektriväli vastava sagedusega ja mõjutab võnkuva elektroni liikumist vastavalt energia jäävuse seadusele. Valguse levimise kiirus (ja seega ka kineetiline energia) aines on väiksem kui vaakumis, seetõttu suureneb valgusega interakteeruvate elektronide kineetiline energia. Seega kipub valgus muutma elektronide liikumist molekulis ja toimib vastupidises suunas sellele jõule, mis kipub hoidma elektroni algses asendis.
Seda mõõtmisvõimalust saab realiseerida ka torukujulise näidise väändvibratsioonide ajal, kui välimine silinder on paigaldatud liikumatult, sisemine silinder on paigaldatud väändevardale ja sellele mõjuv pöördemoment on seatud harmoonilise seaduse järgi. Kui nüüd mõõta silindri pöördemomendi ja pöördenurga faaside erinevust ning pöördenurga amplituudi, siis O määramise arvutusskeem taandatakse ülalmainitud valemitele (VI. 15) ja (VI. 16). Kui aga mõõta pöördemomendi ja silindri nurkkiiruse suhet, siis vastab see süsteemi impedantsi määramise probleemile.
Kokkuvõtteks märgime, et vedelike dünaamika täieliku ja füüsikaliselt mõistliku kvantitatiivse kirjelduse seisukohalt on kõik vaadeldud mudelid vaid esimesed ligikaudsed vees difusiooni ja võnkumiste kirjeldamiseks, kuna vees kasutati mitmeid lihtsustusi. nende ehitus. Ainult pika istuva eluea piirides (see võib juhtuda madalatel temperatuuridel) või veemolekulide tugeva elektrostriktsiooni korral ioonide hüdratatsioonikihis, harmooniline lähendus ja lihtne hüpleva difusiooni mudel [võrrandi (4-5) tabel. 4] on seaduslikud. Kõrgetel temperatuuridel ja lahustes, milles veemolekulide vahelised sidemed on ioonide poolt nõrgestatud, muutuvad vibratsioonid järsult anharmoonilisteks, aeglustuvad lõõgastus- ja difusiooniliigutuste tõttu. Sel juhul on vedeliku käitumine rohkem kooskõlas vabade osakeste süsteemi käitumisega [võrrand (37)]. Eeldus, et difuussete ja võnkuvate liikumiste vahel puudub korrelatsioon, on samuti vastuoluline küsimus. Hiljuti Raman et al.
Järgmises jaotises. 11.3, analüüsitakse mitmeid lihtsaid näiteid, mis võimaldavad hinnata üksikute lagunenud vabadusastmete soojusmahtuvust. Sel juhul pööratakse suuremat tähelepanu kahe võimaliku energiaolekuga osakestest ja harmoonilisest ostsillaatorist koosnevale süsteemile, kuna nende näitel on võimalik suhteliselt lihtsalt ja samas küllaltki täielikult analüüsida molekulide liikumise ja energia vahelist seost. süsteemi soojusmahtuvus. Keerulisemate süsteemide puhul on sageli võimalik kergesti hinnata soojusmahtuvust keskmistel temperatuuridel, lähtudes klassikalisest vabadusastmete ühtlase jaotuse seadusest.
Mikroosakeste liikumisseadused kvantmehaanikas erinevad oluliselt klassikalisest. Ühelt poolt käituvad nad (näiteks kokkupõrgete ajal) jagamatute laengute ja massiga osakestena, teiselt poolt teatud sagedusega (lainepikkusega) lainetena, mida iseloomustab lainefunktsioon a13 – omadus võetud Vt lk. kus on mainitud mõiste Seadus liikumine harmooniline Notarid Novoalekseevkas Tasuta kuulutused Novoalekseevka rubriigis Notarid. Kuulutusi pole veel, ole esimene! Kaasaegsete notarite eelkäijaid võis leida Vana-Egiptusest, […]
Harmoonilise ostsillaatori võnkumised Harmooniline ostsillaator on füüsiline objekt, mille arengut ajas kirjeldab diferentsiaalvõrrand
Kus q– harmoonilise ostsillaatori üldistatud koordinaat, t- aeg,? – harmoonilise ostsillaatori iseloomulik sagedus. Kaks punkti muutuja kohal näitavad teist tuletist aja suhtes. Suurusjärk q harmooniliste võnkumiste sooritamine.
Harmooniliste ostsillaatorite probleem mängib keskset rolli nii klassikalises kui ka kvantfüüsikas.
Suur hulk füüsilisi süsteeme käituvad harmooniliste ostsillaatoritena, mille tasakaalust kõrvalekalded on väikesed. Nende hulka kuuluvad matemaatilised ja füüsikalised pendlid, molekulide ja tahkete ainete aatomite vibratsioonid, elektrilised võnkeahelad ja paljud teised. 
Pendli väikesed võnked on harmoonilised
Energia, Lagrange'i ja Hamiltoni funktsioon
Harmoonilise ostsillaatori kineetilise energia annab avaldis
Harmoonilise ostsillaatori potentsiaalse energia annab avaldis
Vastavalt väärtust arvestades qüldistatud koordinaat, on kirjutatud harmoonilise ostsillaatori Lagrange'i funktsioon
.
Üldine impulss
Hamiltoni funktsioon
.
Sunnitud vibratsioonid
Välise perioodilise jõu mõjul, mille sagedus ei pruugi ühtida harmoonilise ostsillaatori omasagedusega, teostab ostsillaator harmoonilisi võnkumisi, mille amplituudi määrab välisjõu suurus ja välisjõu suhe. sagedus ja ostsillaatori omasagedus.
Harmoonilise ostsillaatori sundvõnkumised sagedusega? 0 võrrandiga kirjeldatud sagedusega? jõu mõjul
Kus f 0 – välisjõu amplituud.
Selle võrrandi konkreetsel lahendusel, mis kirjeldab sundvõnkumisi, on vorm
.
Harmooniline ostsillaator välisjõu mõjul teostab harmoonilisi võnkumisi amplituudiga 
. Kui sundvõnkumiste amplituud kipub lõpmatuseni. Seda nähtust nimetatakse resonantsiks.
Summutusega harmooniline ostsillaator
Võttes arvesse muud tüüpi hõõrde- või takistusjõude, mis põhjustavad ostsillaatori energia hajumist ja selle muundamist soojuseks, muutub harmoonilise ostsillaatori võrrand. Eelkõige on väga levinud juhtum, kui takistusjõud on võrdelised koguse muutumise kiirusega q. Siis saab harmoonilise ostsillaatori võrrand kuju
Sellised võnked aja jooksul vastavalt seadusele vaibuvad
Harmoonilise ostsillaatori sundvõnkumised koos summutusega
Perioodilise välisjõu mõjul tekivad isegi sumbumisel ostsillaatorile harmoonilised võnked amplituudiga, mis sõltub rakendatavast jõust, sagedussuhtest ja ka sumbumise suurusest.
Sundvõnkumiste amplituud, võttes arvesse sumbumist, määratakse valemiga
.
See on lõplik väärtus välisjõu kõigil sagedustel.
Matemaatiline pendel väikese alghälbega vertikaalist sooritab harmoonilisi võnkumisi sagedusega
Harmoonilise ostsillaatoriga võnkeahel, sagedusega
Kus L on induktiivsus, C on mahtuvus.
Lisateabe saamiseks vaadake Quantum Oscillator.
Omaväärtuste ja omafunktsioonide spekter
Esimese kuue oleku lainefunktsioonid kvantarvudega alates n= 0 kuni 5. Üldkoordinaat kantakse ordinaatteljele Harmoonilise ostsillaatori Hamiltoni väärtus saadakse impulsi asendamisel Hamiltoni funktsioonis lk peal
.
Harmoonilise ostsillaatori spekter leitakse statsionaarsest Schrödingeri võrrandist ja saadakse valemiga
.
Siin n- kvantarv, ulatub nullist lõpmatuseni. Harmoonilise ostsillaatori energiatasemed on võrdsel kaugusel. Harmoonilise ostsillaatori iseloomulik tunnus on see, et isegi põhiseisundis on harmoonilise ostsillaatori energia nullist erinev.
Seda madalat energiat nimetatakse nullvõnkumiste energia.
Kvantarvule vastava harmoonilise ostsillaatori omafunktsioonid n on antud valemitega
,
Kus, A Hn(x)– Ermiidi polünoomid.
Kui isegi n Harmoonilise ostsillaatori omafunktsioonid on paaris, Nepranu puhul aga paaritud. Harmoonilise ostsillaatori Hamiltoni kommuteerib asendusoperaatoriga x peal - x(paarsusoperaator) ja seetõttu on sellel selle operaatoriga ühised omafunktsioonid.
Sünni- ja hävimisoperaatorid
Kui me määratleme sünnioperaatori
Ja hävitamise operaator
,
.
Loomise ja hävitamise operaatorid rahuldavad kommutatsiooniseost:
Harmoonilise ostsillaatori omafunktsioonidel on siis vorm
Või kasutades keti ja rinnahoidja vektorimärki:
Sünnitusoperaatori kogutegevus harmoonilisele operaatorile on olekus | n> viib ülemineku olekusse | n +1>:
Hävitusoperaatori hagi riigile | n> viib ülemineku olekusse | n-1>:
Operaator
Seda nimetatakse osakeste arvu operaatoriks, kuna seos kehtib selle kohta.
Valikureeglid
Footoni kiirgamisel või neeldumisel on harmoonilise ostsillaatori lubatud üleminekud sellised, mille korral kvantarv n muutub ühe võrra. Võttes arvesse nivoode võrdset distantsi, toob see valikureegel kaasa asjaolu, et hoolimata nivoode lõpmatust arvust on harmoonilise ostsillaatori optilises neeldumis- või emissioonispektris ainult üks rida sagedusega?.
Molekulide reaalsetes võnkespektrites on võimalikud kõrvalekalded sellest reeglist tulenevalt reaalse aatomitevahelise interaktsioonipotentsiaali anharmoonsusest, kvadrupoolide üleminekutest jne.
Aatomite vibratsioonilise liikumise lihtsaim mudel kaheaatomilises molekulis võib olla kahe massiga süsteem T/ ja w?, ühendatud elastse vedruga. Kahe aatomi vibratsiooni massikeskme suhtes saab asendada ühe ekvivalendi vibratsiooniga
mass esialgse nullpunkti suhtes R= 0, kus
R- massidevaheline kaugus, R e- tasakaalupunkti asukoht.
Klassikalises kaalutluses eeldatakse, et vedru on ideaalne - elastsusjõud F on otseselt võrdeline deformatsiooniga - kõrvalekalle tasakaalust x = R-R e, vastavalt Hooke'i seadusele:
Kus To- elastsuskonstant. Seega on jõud suunatud tasakaaluasendisse naasmisele.
Hooke'i ja Newtoni seaduste koos kasutamine (F-ta), võib kirjutada:
(tähistab ). Sellise võrrandi lahendus on teadaolevalt
täidavad harmoonilisi funktsioone
Kus xo- amplituud ja 
Kasutades vähendatud massi /l saame: 
Süsteemi potentsiaalse energia mõõt V teenib tööd
Kvantmehaanikas on harmoonilise ostsillaatori lihtsa mudeli võnkumise analüüs üsna keeruline. See põhineb Schrödingeri võrrandi lahendamisel
(ja/- vibratsioonilaine funktsioon, E- osakese koguenergia) ja jääb meie esitluse raamidest välja.
Kvantostsillaatori jaoks on valemi kohaselt võimalik ainult diskreetne energiaväärtuste E ja sageduste jada E=hv. Lisaks ei ole ostsillaatori energia minimaalne väärtus null. Seda suurust nimetatakse nullpunkti energiaks, see vastab ostsillaatori madalaimale energiatasemele ja on võrdne , selle olemasolu saab seletada Heisenbergi määramatuse seose põhjal.
Seega vastavalt kvantmehaanikale kvantifitseeritakse harmoonilise ostsillaatori energia:
Kus v- vibratsiooniline kvantarv, mis võib võtta väärtuse y=0, 1, 2, 3,....
Kui ostsillaator interakteerub elektromagnetilise kiirguse kvantidega, tuleks arvesse võtta kolme tegurit: 1) tasemete populatsioon (tõenäosus, et molekul on antud energiatasemel); 2) sagedusreegel (Bohr), mille järgi kvanti energia peab vastama mis tahes kahe tasandi energia erinevusele;
3) kvantüleminekute valikureegel: ülemineku tõenäosus, s.o. joonte intensiivsus neeldumisspektris on määratud kogusega ülemineku dipoolmoment (vt teoreetilist sissejuhatust). Lihtsaima harmoonilise ostsillaatori puhul saadakse valikureegel lainefunktsioonide arvestamisest. Selles öeldakse, et üleminekud võivad toimuda ainult külgnevate tasandite vahel (“üks samm”): vibratsioonikvantarv muutub ühe võrra Av= 1. Kuna kaugused kõrvuti asetsevate tasemete vahel on samad, peaks harmoonilise ostsillaatori neeldumisspekter sisaldama ainult ühte sagedusega rida 
Kuna vastavalt Boltzmanni jaotusele on toa- ja madalamatel temperatuuridel asustatud madalaim vibratsioonitase, on üleminek madalaimalt tasemelt (d = 0) kõige intensiivsem ja selle joone sagedus langeb kokku nõrgemate üleminekute sagedusega kõrgemal tasemel naaber, rohkem kõrgel tasemel.
Harmoonilise ostsillaatori lainefunktsioonide graafikud erinevate energiaväärtuste jaoks on näidatud joonisel 2.3. Need esindavad harmoonilise ostsillaatori Schrödingeri võrrandi lahendusi
Kus N, - normaliseeriv tegur, H 0- Ermiidi polünoomid, x = R-Re- tasakaaluasendist kõrvalekaldumine.
Ülemineku dipoolmoment vibratsiooniliste üleminekute jaoks, R0(või M„) on võrdne: 
Kus ju- molekuli dipoolmoment; 
kõhklust
vastavalt alg- ja lõppoleku tahkelainefunktsioonid. Valemist on selge, et üleminek on lubatud,
kui tasakaalupunktis - molekuli dipoolmoment
muutub tasakaalupunkti asukoha lähedal, (kõver ju=f(R) ei läbi sel hetkel maksimumi). Integraal (teine tegur valemis) ei tohi samuti olla võrdne nulliga. Võib näidata, et see tingimus on täidetud, kui üleminek toimub külgnevate tasemete vahel, sellest ka täiendav valikureegel Ai = 1.
Kaheaatomiliste molekulide puhul saab võnkespektreid vaadelda ainult heteronukleaarsete molekulide puhul, homonukleaarsete molekulide puhul dipoolmomenti ei esine ega muutu vibratsioonide käigus. CO2 vibratsioonispektrid näitavad vibratsioone (antisümmeetriline venitus ja painutamine), mille puhul dipoolmoment muutub, kuid sümmeetrilisi vibratsioone, milles see jääb muutumatuks, ei esine.
Süsteem, mida kirjeldab võrrand , kus 
, nimetame seda harmooniliseks ostsillaatoriks. Nagu teada, on selle võrrandi lahendus järgmine:
.
Seetõttu on harmooniline ostsillaator süsteem, mis teostab harmoonilisi võnkumisi tasakaaluasendi ümber.
Harmoonilise ostsillaatori puhul kehtivad kõik varem harmoonilise võnkumise kohta saadud tulemused.
Mõelgem ja arutagem kahte lisaküsimust.
Me leiame pulss harmooniline ostsillaator. Eristagem väljendit 
t-ga ja korrutades tulemuse ostsillaatori massiga, saame:
Igas asendis, mida iseloomustab hälve “x”, on ostsillaatoril teatud väärtus “p”. Et leida "p" funktsioonina "x", peate "p" ja "x" jaoks kirjutatud võrranditest välja jätma "t". Esitagem need võrrandid järgmisel kujul:
(8.9)
Nende avaldiste ruudustamisel ja lisamisel saame:
. (8.10)
Joonistame graafiku, mis näitab harmoonilise ostsillaatori impulsi “p” sõltuvust hälbest “x” (joonis 8.6). Tavaliselt nimetatakse koordinaattasandit (“p”, “x”) faasitasand, ja vastav graafik on faasi trajektoor. Harmoonilise ostsillaatori faasitrajektoor on ellips, mille poolteljed on “A” ja “A m w 0”. Iga faasitrajektoori punkt tähistab ostsillaatori olekut teatud ajahetkel (st selle hälvet ja impulssi). Aja jooksul liigub olekut tähistav punkt mööda faasitrajektoori, luues võnkeperioodi jooksul täieliku vooluringi. Pealegi toimub see liikumine päripäeva [nimelt kui teatud ajahetkel t¢ x=A, p=0, siis järgmisel ajahetkel “x” väheneb ja “p” võtab järjest negatiivsemaid väärtusi. absoluutväärtuses, t.e. pildipunkti (st olekut kujutava punkti) liikumine toimub päripäeva].
Leiame nüüd ellipsi pindala. Või
.
Siin , kus n 0 on ostsillaatori loomulik sagedus, mis on antud ostsillaatori konstantne väärtus.
Seega,. Kus
Seega on harmoonilise ostsillaatori koguenergia võrdeline ellipsi pindalaga ja proportsionaalsustegur on ostsillaatori loomulik sagedus.
8.6. Süsteemi väikesed võnked tasakaaluasendi lähedal.
Vaatleme suvalist mehaanilist süsteemi, mille asukohta saab määrata ühe suuruse “x” abil. Süsteemi asukoha määravaks väärtuseks “x” võib olla teatud tasapinnalt mõõdetud nurk või antud kõverat mööda mõõdetud kaugus.
Sellise süsteemi potentsiaalne energia on ühe muutuja “x” funktsioon: E p =E p (x).
Valime lähtepunkti nii, et tasakaaluasendis x=0. Siis on funktsiooni E p (x) minimaalne väärtus x=0.
(X väiksuse tõttu jätame ülejäänud terminid tähelepanuta)
Sest E p (x) juures x=0 on miinimum, siis , ja . Tähistame E p(x) = b ja 
, Siis 
.
See avaldis on identne süsteemi potentsiaalse energia avaldisega, milles toimib kvaasielastne jõud (konstandi "b" saab määrata 0-ga).
Süsteemile mõjuva jõu saab määrata järgmise valemiga: 
. Saadud võttes arvesse, et töö on tehtud potentsiaalse energia kadumise tõttu.
Seega osutub süsteemi potentsiaalne energia väikeste kõrvalekallete korral tasakaaluasendist nihke ruutfunktsiooniks ja süsteemile mõjuv jõud on kvaasielastse jõu kuju. Järelikult teostab iga mehaaniline süsteem väikeste kõrvalekallete korral tasakaaluasendist harmoonilisele lähedasi vibratsioone.
8.7. Matemaatiline pendel.
MÄÄRATLUS: matemaatiline pendel nimetame idealiseeritud süsteemi, mis koosneb kaalutust ja venimatust niidist, mille külge ripub ühte punkti koondunud mass.
Pendli kõrvalekallet tasakaaluasendist iseloomustatakse nurgaga j (joonis 8.7). Kui pendel kaldub tasakaaluasendist kõrvale, tekib pöörlemismoment 
, on tal selline suund, et kipub pendlit tasakaaluasendisse tagasi viima, seetõttu tuleb momendile M ja nurknihkele j omistada erinevad märgid.
Harmooniline ostsillaator(klassikalises mehaanikas) - süsteem, mis tasakaaluasendist nihutamisel kogeb taastavat jõudu F, võrdeline nihkega x(Vastavalt Hooke'i seadusele):
F = − k x (\displaystyle F=-kx)Kus k- süsteemi jäikuse koefitsient.
Kui F on ainuke süsteemile mõjuv jõud, siis kutsutakse süsteemi lihtne või konservatiivne harmooniline ostsillaator. Sellise süsteemi vabad võnked kujutavad endast perioodilist liikumist ümber tasakaaluasendi (harmoonilised võnked). Sagedus ja amplituud on konstantsed ning sagedus ei sõltu amplituudist.
Harmoonilise ostsillaatori mehaanilised näited on matemaatiline pendel (väikese paindenurgaga), torsioonpendel ja akustilised süsteemid. Harmoonilise ostsillaatori teistest analoogidest tasub esile tõsta elektrilist harmoonilist ostsillaatorit (vt LC-ahel).
Entsüklopeediline YouTube
1 / 5
Elementaarosakesed | kvantvälja teooria | eskiis number 6 | kvantostsillaator
Lineaarostsillaatori sundvõnkumised | Üldfüüsika. Mehaanika | Jevgeni Butikov
Elementaarosakesed | kvantvälja teooria | eskiis number 5 | klassikaline ostsillaator
Ostsillaatorid: mis need on ja kuidas neid kasutada? Koolitus I-TT.RU kauplejatele
Sytrus 01/16 Ostsillaatori kujuga töötamine
Subtiitrid
Vaba vibratsioon
Konservatiivne harmooniline ostsillaator
Konservatiivse harmoonilise ostsillaatori mudelina võtame massikoormuse m, kinnitatud jäikusega vedru külge k .
Lase x- koormuse nihkumine tasakaaluasendi suhtes. Siis, vastavalt Hooke'i seadusele, toimib sellele taastav jõud:
F = − k x . (\displaystyle F=-kx.)Asendage diferentsiaalvõrrandiga.
x ¨ (t) = − A ω 2 sin (ω t + φ) , (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi) ,) − A ω 2 sin (ω t + φ) + ω 0 2 A sin (ω t + φ) = 0. (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\ omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0.)Amplituud väheneb. See tähendab, et sellel võib olla mis tahes väärtus (sh null – see tähendab, et koormus on tasakaaluasendis puhkeasendis). Võite ka siinuse järgi vähendada, kuna võrdsus peab igal ajal kehtima t. Seega jääb võnkesageduse tingimuseks:
− ω 2 + ω 0 2 = 0, (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 . (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).) U = 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 sin 2 (ω 0 t + φ) , (\displaystyle U=(\frac (1) (2))kx^(2)=(\frac (1) (2))kA^(2)\sin ^(2)(\omega _(0)t+\varphi),)siis on koguenergial konstantne väärtus
E = 1 2 k A 2 . (\displaystyle E=(\frac (1) (2))kA^(2).)Lihtne harmooniline liikumine- see on lihtsa liigutus harmooniline ostsillaator, perioodiline liikumine, mis ei ole sunnitud ega summutatud. Lihtsas harmoonilises liikumises kehale mõjub üks muutuv jõud, mis absoluutväärtuses on otseselt võrdeline nihkega x tasakaaluasendist ja on suunatud vastupidises suunas.
See liikumine on perioodiline: keha võngub tasakaaluasendi ümber vastavalt sinusoidaalsele seadusele. Iga järgnev võnkumine on sama, mis eelmine ning võnkumiste periood, sagedus ja amplituud jäävad muutumatuks. Kui eeldame, et tasakaaluasend on punktis, mille koordinaat on võrdne nulliga, siis nihe x keha tasakaaluasendist igal ajal on antud valemiga:
x (t) = A cos (2 π f t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos \left(2\pi \!ft+\varphi \right),)Kus A- võnkumiste amplituud, f- sagedus, φ - algfaas.
Liikumise sageduse määravad süsteemi iseloomulikud omadused (näiteks liikuva keha mass), amplituudi ja algfaasi aga lähtetingimused - keha nihe ja kiirus võnkumiste hetkel. alustada. Nendest omadustest ja tingimustest sõltuvad ka süsteemi kineetilised ja potentsiaalsed energiad.
Lihtsat harmoonilist liikumist võib pidada erinevat tüüpi liikumise, näiteks vedru võnkumise, matemaatiliseks mudeliks. Teised juhtumid, mida võib laias laastus pidada lihtsaks harmooniliseks liikumiseks, on pendli liikumine ja molekulide vibratsioon.
Lihtne harmooniline liikumine on mõne keerukamate liikumistüüpide analüüsimise viiside aluseks. Üks neist meetoditest on Fourier' teisendusel põhinev meetod, mille olemus taandub keerukama tüüpi liikumise lagunemisele lihtsate harmooniliste liikumiste jadaks.
Tüüpiline näide süsteemist, milles toimub lihtne harmooniline liikumine, on idealiseeritud mass-vedru süsteem, milles mass on kinnitatud vedru külge. Kui vedru ei ole kokku surutud ega venitatud, ei mõjuta koormust muutuvaid jõude ja koormus on mehaanilises tasakaalus. Kui aga koormus tasakaaluasendist eemaldada, siis vedru deformeerub ja selle küljelt hakkab koormusele mõjuma jõud, mis kipub koormuse tasakaaluasendisse tagasi viima. Koormus-vedrusüsteemi puhul on selliseks jõuks vedru elastsusjõud, mis järgib Hooke'i seadust:
F = − k x , (\displaystyle F=-kx,) F- jõu taastamine, x- koormuse liikumine (vedrudeformatsioon), k- vedru jäikuse koefitsient.Igal süsteemil, milles toimub lihtne harmooniline liikumine, on kaks peamist omadust:
- Kui süsteem on tasakaalust välja visatud, peab olema taastav jõud, mis kipub süsteemi tagasi viima tasakaalu.
- Taastamisjõud peab olema täpselt või ligikaudu proportsionaalne nihkega.
Koormus-vedrusüsteem vastab mõlemale tingimusele.
Kui nihutatud koormus on allutatud taastava jõu toimele, siis see kiireneb ja kipub seda tagasi viima lähtepunkti, st tasakaaluasendisse. Kui koormus läheneb tasakaaluasendile, siis taastav jõud väheneb ja kipub nulli. Siiski olukorras x = 0 koormusel on teatav liikumine (impulss), mis saadakse taastava jõu toimel. Seetõttu ületab koormus tasakaaluasendit, hakates vedru uuesti deformeerima (kuid vastupidises suunas). Taastav jõud kipub seda aeglustama, kuni kiirus muutub nulliks; ja jõud püüab taas koormuse tagasi viia tasakaaluasendisse.
Kuni süsteemis ei esine energiakadu, võngub koormus ülalkirjeldatud viisil; sellist liikumist nimetatakse perioodiliseks.
Edasine analüüs näitab, et koormus-vedrusüsteemi puhul on liikumine lihtne harmooniline.
Lihtsa harmoonilise liikumise dünaamika
Ühemõõtmelises ruumis esinevate vibratsioonide puhul, võttes arvesse Newtoni teist seadust ( F= m d² x/d t² ) ja Hooke'i seadus ( F = −kx, nagu eespool kirjeldatud), on meil teist järku lineaarne diferentsiaalvõrrand:
m d 2 x d t 2 = − k x , (\displaystyle m(\frac (\mathrm (d) ^(2)x)(\mathrm (d) t^(2)))=-kx,) m- kehamass, x- selle liikumine tasakaaluasendi suhtes, k- konstantne (vedru jäikuse koefitsient).Selle diferentsiaalvõrrandi lahendus on sinusoidne; üks lahendus on:
x (t) = A cos (ω t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),)Kus A, ω ja φ on konstantsed suurused ning tasakaaluasendit võetakse esialgseks. Kõik need konstandid esindavad liikumise olulist füüsilist omadust: A on amplituud, ω = 2π f- ringsagedus ja φ - algfaas.
U (t) = 1 2 k x (t) 2 = 1 2 k A 2 cos 2 (ω t + φ) . (\displaystyle U(t)=(\frac (1)(2))kx(t)^(2)=(\frac (1)(2))kA^(2)\cos ^(2)(\ omega t+\varphi).)
Universaalne ringliikumine
Lihtsat harmoonilist liikumist võib mõnel juhul pidada universaalse ringliikumise ühemõõtmeliseks projektsiooniks.
Kui objekt liigub konstantse nurkkiirusega ω piki raadiusega ringi r, mille keskpunkt on tasandi koordinaatide alguspunkt x−y, siis on selline liikumine piki igat koordinaattelge lihtne harmooniline amplituudiga r ja ringsagedus ω.
Kaal nagu lihtne pendel
Väikeste nurkade lähenduses on lihtsa pendli liikumine lähedane lihtsale harmoonilisele. Sellise pikkusega varda külge kinnitatud pendli võnkeperiood ℓ vabalangemise kiirendusega g on antud valemiga
T = 2 π ℓ g. (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g))).)See näitab, et võnkeperiood ei sõltu pendli amplituudist ja massist, vaid sõltub raskuskiirendusest g, seega pendliga sama pikkusega pendliga õõtsub see Kuul aeglasemalt, kuna seal on gravitatsioon nõrgem ja raskuskiirendus väiksem.
See lähendus on õige ainult väikeste läbipaindenurkade korral, kuna nurkkiirenduse avaldis on võrdeline koordinaadi siinusega:
ℓ m g sin θ = I α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,)Kus I- inertsmoment ; sel juhul I = mℓ 2 .
ℓ m g θ = I α (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ),mis muudab nurkkiirenduse otseselt võrdeliseks nurgaga θ ja see vastab lihtsa harmoonilise liikumise määratlusele.
Summutusega harmooniline ostsillaator
Võttes aluseks sama mudeli, lisame sellele viskoosse hõõrdejõu. Viskoosse hõõrdumise jõud on suunatud koormuse liikumiskiirusele keskkonna suhtes ja on selle kiirusega otseselt võrdeline. Seejärel kirjutatakse koormusele mõjuv kogujõud järgmiselt:
F = − k x − α v (\displaystyle F=-kx-\alpha v)Sarnaste toimingute tegemisel saame diferentsiaalvõrrandi, mis kirjeldab summutatud ostsillaatorit:
x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\punkt (x))+\omega _(0)^(2)x=0)Märgistust tutvustatakse siin: 2 γ = α m (\displaystyle 2\gamma =(\frac (\alpha)(m))). Koefitsient γ (\displaystyle \gamma ) nimetatakse summutuskonstandiks. Sellel on ka sageduse mõõde.
Lahendus jaguneb kolmeks juhtumiks.
x (t) = A e − γ t s i n (ω f t + φ) (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi)),Kus ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- vabade võnkumiste sagedus.
x (t) = (A + B t) e − γ t (\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t)) x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2)t )),Kus β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2) ))).
Kriitiline summutus on tähelepanuväärne selle poolest, et just kriitilise summutamise korral kaldub ostsillaator kõige kiiremini tasakaaluasendisse. Kui hõõrdumine on kriitilisest väiksem, jõuab see kiiremini tasakaaluasendisse, kuid "lööb" sellest inertsi tõttu üle ja hakkab võnkuma. Kui hõõrdumine on suurem kui kriitiline, kaldub ostsillaator eksponentsiaalselt tasakaaluasendisse, kuid mida aeglasemalt, seda suurem on hõõrdumine.
Seetõttu püüavad nad tavaliselt näidikutes (näiteks ampermeetrites) kriitilist sumbumist sisse viia, et nõel rahuneks võimalikult kiiresti ja lugema oma näitude lugemist.
Ostsillaatori summutamist iseloomustab sageli ka dimensioonitu parameeter, mida nimetatakse kvaliteediteguriks. Kvaliteeditegurit tähistatakse tavaliselt tähega Q (\displaystyle Q). Definitsiooni järgi on kvaliteeditegur võrdne:
Q = ω 0 2 γ (\displaystyle Q=(\frac (\omega _(0))(2\gamma )))Mida kõrgem on kvaliteeditegur, seda aeglasemalt ostsillaatori võnkumised vaibuvad.
Kriitilise summutusega ostsillaatori kvaliteeditegur on 0,5. Vastavalt sellele näitab kvaliteeditegur ostsillaatori käitumist. Kui kvaliteeditegur on suurem kui 0,5, siis ostsillaatori vaba liikumine kujutab endast võnkumisi; teoreetiliselt ületab see aja jooksul tasakaaluasendit piiramatu arv kordi. Kvaliteeditegur, mis on väiksem või võrdne 0,5-ga, vastab ostsillaatori mittevõnkuvale liikumisele; vaba liikumise korral ületab see tasakaaluasendi mitte rohkem kui üks kord.
Kvaliteeditegurit nimetatakse mõnikord ostsillaatori võimenduseks, kuna mõne ergastusmeetodi puhul, kui ergutussagedus langeb kokku resonantsvõnkesagedusega, on nende amplituud seatud ligikaudu Q (\displaystyle Q) korda rohkem kui madala sagedusega sama intensiivsusega ergastades.
Samuti on kvaliteeditegur ligikaudu võrdne võnketsüklite arvuga, mille jooksul võnkumiste amplituud väheneb e (\displaystyle e) korda korrutatuna π (\displaystyle \pi ).
Võnkuva liikumise korral iseloomustavad summutamist ka sellised parameetrid nagu:
- Eluaeg vibratsioonid (teise nimega lagunemise aeg, see on sama lõõgastusaeg) τ - aeg, mille jooksul võnkumiste amplituud väheneb eüks kord.
Sunnitud vibratsioonid
Ostsillaatori võnkumisi nimetatakse sunnitud, kui sellele rakendatakse täiendavat välismõju. Seda mõju saab tekitada erinevate vahenditega ja vastavalt erinevatele seadustele. Näiteks jõuergastus on teatud seaduse järgi ainult ajast sõltuva jõu mõju koormusele. Kinemaatiline ergutus on vedru kinnituspunkti liikumise mõju ostsillaatorile vastavalt etteantud seadusele. Hõõrdumine on võimalik ka siis, kui näiteks keskkond, millega koormus hõõrdub, liigub vastavalt etteantud seadusele.