Aksiomaatiline meetod: kirjeldus, arenguetapid ja näited.

12.9. Aksiomaatiline meetod Vanade kreeklaste jaoks eksisteerisid matemaatika objektid "ideede maailmas". Mõned nende objektide omadused tundusid vaimusilmale täiesti vaieldamatud ja kuulutati aksioomideks, teised, mis pole ilmsed, peaksid

(Kreeka aksioom – märkimisväärne, aktsepteeritud seisukoht) – teooria konstrueerimise viis, mille käigus valitakse välja mõned tõesed väited...

(Kreeka aksioom – märkimisväärne, aktsepteeritud seisukoht) – teooria koostamise meetod, mille käigus valitakse algpositsioonideks (aksioomideks) mõned tõesed väited, millest seejärel loogiliselt tuletatakse ja tõestatakse selle teooria ülejäänud tõesed väited (teoreemid). A.M. teaduslik tähtsus. õigustas Aristoteles, kes jagas esimesena kogu tõeste väidete põhilisteks ("põhimõtted") ja tõestust nõudvateks ("tõestatavateks"). Oma väljatöötamisel A.M. läbis kolm etappi. Esimesel etapil A.M. oli tähendusrikas, aktsepteeriti aksioome nende ilmsuse alusel. Sellise teooria deduktiivse konstruktsiooni näide on Eukleidese "Elements". Teises etapis tutvustas D. Hilbert formaalset kriteeriumi A.M. - aksioomisüsteemi järjepidevuse, sõltumatuse ja täielikkuse nõue. Kolmandal etapil A.M. muutub ametlikuks. Sellest lähtuvalt on aksioomi mõiste muutunud. Kui A.M. arengu esimesel etapil. seda ei mõistetud mitte ainult tõendi lähtepunktina, vaid ka tõese positsioonina, mis oma ilmsuse tõttu tõestust ei vaja, siis praegu on aksioom põhjendatud teooria vajaliku elemendina, kui käsitletakse viimase kinnitust. samaaegselt selle aksiomaatiliste aluste kinnitamisega ehituse lähtekohana . Lisaks peamistele ja sissejuhatavatele väidetele A.M. Samuti hakkas silma eriliste järeldusreeglite tase. Seega koos aksioomide ja teoreemidega, kui antud teooria kõigi tõeste väidete kogum, formuleeritakse järeldusreeglite aksioomid ja teoreemid - metaaksioomid ja metateoreemid. 1931. aastal tõestas K. Gödel teoreemi iga formaalse süsteemi fundamentaalsest ebatäielikkusest, kuna see sisaldab otsustamatuid väiteid, mis on ühtaegu tõestamatud ja ümberlükkamatud. Arvestades sellele seatud piiranguid, peetakse AM-i üheks peamiseks meetodiks väljatöötatud formaliseeritud (ja mitte ainult sisulise) teooria koostamiseks hüpoteeti-deduktiivse meetodi kõrval (mida mõnikord tõlgendatakse ka kui "poolaksiomaatiline"). ja matemaatilise hüpoteesi meetod. Hüpoteeti-deduktiivne meetod hõlmab erinevalt A.M.-st hüpoteeside hierarhia konstrueerimist, kus nõrgemad hüpoteesid tuletatakse tugevamatest ühe deduktiivse süsteemi raames, kus hüpoteesi tugevus suureneb empiirilisest kaugusest kasvades. teaduse alus. See võimaldab meil nõrgendada A.M.-i piirangute jõudu: ületada aksiomaatilise süsteemi suletus, mis on tingitud võimalusest esitada täiendavaid hüpoteese, mis ei ole rangelt seotud teooria algsätetega; tutvustada erineva reaalsuse organiseerituse tasemega abstraktseid objekte, s.o. kaotada aksiomaatika kehtivuse piirang "kõigis maailmades"; eemaldada aksioomide võrdsuse nõue. Teisest küljest, A.M., erinevalt matemaatilise hüpoteesi meetodist, mis keskendub uurimata nähtustega seotud matemaatiliste hüpoteeside püstitamise reeglitele, võimaldab apelleerida teatud sisulistele ainevaldkondadele.

V.L. Abushenko

Aksiomaatiline meetod

Üks teaduslike teooriate deduktiivse konstrueerimise viise, mille puhul: 1) valitakse välja teatud hulk aktsepteerituid ilma...

Üks teaduslike teooriate deduktiivse konstrueerimise meetoditest, mille puhul: 1) aktsepteeritakse ilma tõestuseta teatud teooria väidete kogum (aksioomid); 2) neis sisalduvad mõisted ei ole selle teooria raames selgelt määratletud; 3) on fikseeritud antud teooria definitsiooni- ja järeldamisreeglid, võimaldades teooriasse sisse viia uusi termineid (mõisteid) ja tuletada loogiliselt mõningaid väiteid teistest; 4) kõik teised selle teooria propositsioonid (teoreem) on tuletatud (1)-st (3) alusel. Esimesed ideed A. m-i kohta tekkisid antiikajal. Kreeka (eleatika, Platon. Aristoteles, Eukleides). Järgnevalt püüti esitada aksiomaatiline esitus erinevatest filosoofia ja teaduse osadest (Spinoza, Newton jt.) Neid uuringuid iseloomustas teatud teooria (ja ainult ühe) mõtestatud aksiomaatiline konstrueerimine, kusjuures põhitähelepanu pöörati intuitiivselt ilmsete aksioomide määratlemisele ja valikule.Alates teisest poolest 19. sajandil seoses matemaatika ja matemaatilise loogika põhjendamisprobleemide intensiivse arenguga hakati aksiomaatilist teooriat käsitlema formaalsena (ja alates 20. 20. sajandi -30ndad - kui formaliseeritud) süsteem, mis loob suhted selle elementide (märkide) vahel ja kirjeldab kõiki seda rahuldavaid objektide komplekte. Samal ajal peamine Tähelepanu hakati pöörama süsteemi järjepidevuse, terviklikkuse, aksioomisüsteemi sõltumatuse jms väljaselgitamisele. Tänu sellele, et märgisüsteeme saab käsitleda kas sõltumata nendes esitatavast sisust või võttes Seda arvesse võttes eristatakse süntaktilisi ja semantilisi aksiomaatilisi süsteeme (ainult viimased esindavad teaduslikku teadmist ennast) See eristus tingis põhilise sõnastamise. nõuded neile kahel tasandil, süntaktilisel ja semantilisel (süntaktiline ja semantiline järjepidevus, täielikkus, aksioomide sõltumatus jne). Formaliseeritud aksiomaatiliste süsteemide analüüs viis nende põhiliste piirangute kehtestamiseni, millest peamine on täieliku aksiomatiseerimise võimatus piisavalt arenenud süsteemidest, mida on tõestanud Gödeli teaduslikud teooriad (näiteks naturaalarvude aritmeetika), mis eeldab teaduslike teadmiste täieliku formaliseerimise võimatust. Aksiomatiseerimine on vaid üks teadusliku teadmise konstrueerimise meetoditest, kuid selle kasutamine teadusliku vahendina avastus on väga piiratud. Aksiomatiseerimine viiakse tavaliselt läbi pärast seda, kui teooria on oma sisult juba piisavalt üles ehitatud ja täidab selle täpsema esituse eesmärki, eelkõige kõigi tagajärgede ranget tuletamist aktsepteeritud eeldustest. Viimase 30-40 aasta jooksul on palju tähelepanu on pööratud mitte ainult matemaatiliste distsipliinide, vaid ka teatud füüsika, bioloogia, psühholoogia, majanduse, lingvistika jne osade, sealhulgas teaduslike teadmiste struktuuri ja dünaamika teooriate aksiomatiseerimisele. Loodusteaduste (üldiselt igasuguste mittematemaatikateadmiste) õppimisel ilmnevad matemaatilised meetodid hüpoteeti-deduktiivse meetodi kujul (vt ka Formaliseerimine)

Aksiomaatiline meetod

Meetod teooria koostamiseks, milles see põhineb teatud algsätetel - aksioomidel või postulaatidel...

Meetod teooria koostamiseks, mille puhul see põhineb teatud algsätetel – aksioomidel või postulaatidel, millest tuleb puhtloogilisel viisil tuletada kõik teised selle teooria väited.

Aksiomaatiline meetod

Teadusliku teooria koostamise meetod, mille puhul valitakse esialgseteks teooria sätted ja kõik ülejäänud...

Teadusliku teooria konstrueerimise meetod, mille puhul valitakse esialgseteks teooria sätted ja kõik selle ülejäänud sätted tuletatakse neist puhtalt loogiliselt, tõendite kaudu. Aksioomide alusel tõestatud väiteid nimetatakse teoreemideks.

A. m on eriline viis objektide ja nendevaheliste suhete määratlemiseks (vt: Aksiomaatiline määratlus). A.m.-i kasutatakse matemaatikas, loogikas, aga ka teatud füüsikaharudes, bioloogias jne. A.m. tekkis antiikajal ja saavutas suure kuulsuse tänu Eukleidese "Elementidele", mis ilmus umbes 330–320. eKr e. Eukleides aga ei suutnud kirjeldada oma "aksioomides ja postulaatides" kõiki geomeetriliste objektide omadusi, mida ta tegelikult kasutas; tema tõenditega kaasnesid arvukad joonised. Eukleidese geomeetria "varjatud" eeldused paljastas alles uusajal D. Hilbert (1862-1943), kes pidas aksiomaatilist teooriat formaalseks teooriaks, mis loob seosed selle elementide (märkide) vahel ja kirjeldab kõiki seda rahuldavaid objektide komplekte. . Tänapäeval formuleeritakse aksiomaatilised teooriad sageli formaliseeritud süsteemidena, mis sisaldavad aksioomidest teoreemide tuletamise loogiliste vahendite täpset kirjeldust. Tõestus on sellises teoorias valemite jada, millest igaüks on kas aksioom või saadakse jada eelmistest valemitest vastavalt mõnele aktsepteeritud järeldusreeglile.

Aksiomaatilisele formaalsele süsteemile kehtivad järjepidevuse, täielikkuse, aksioomisüsteemi sõltumatuse jms nõuded.

OLEN. on vaid üks teaduslike teadmiste konstrueerimise meetoditest. Sellel on piiratud rakendus, kuna see nõuab aksiomatiseeritud sisulise teooria kõrget arengutaset.

Nagu näitas kuulus matemaatik ja loogik K. Gödel, ei võimalda küllaltki rikkalikud teaduslikud teooriad (näiteks naturaalarvude aritmeetika) täielikku aksiomatiseerimist. See näitab A.M. piiranguid. ja teadusliku teadmise täieliku formaliseerimise võimatus (vt: Gödeli teoreem).

Aksioom on lähtepunkt, originaal teooria seisukoht, mis on aluseks selle teooria muude sätete (näiteks teoreemide) tõestustele, mille raames see vastu võetud ilma tõenditeta. Argiteadvuses ja -keeles on aksioom teatud tõde, mis on nii vaieldamatu, et see ei nõua tõendid.

Niisiis, aksiomaatiline meetod- see on üks teadusliku teooria deduktiivse konstrueerimise meetoditest, mille puhul valitakse teatud kogum ilma tõenditeta aktsepteeritud sätteid, mida nimetatakse "põhimõteteks", "postulaatideks" või "aksioomideks", ja kõik muud teooria ettepanekud on saadud kui loogiline tagajärg need aksioomid.

Aksiomaatiline meetod matemaatikas pärineb vähemalt Eukleideselt, kuigi Aristotelese juures leidub sageli terminit “aksioom”: “... Sest tõestamine on kõige jaoks võimatu: tuleb ju tõestada millegi alusel millegi suhtes ja midagi õigustama. Seega selgub, et kõik tõestatav peab kuuluma samasse perekonda, kuna kõik tõestamisteadused kasutavad aksioome ühtemoodi.<…>Aksioomil on kõrgeim üldistusaste ja see on kõige alguse olemus.<…>Tõestamise põhimõteteks nimetan üldtunnustatud sätteid, mille alusel igaüks oma tõestusi ehitab.<…>Teadmiste põhimõtete kohta pole vaja küsida “miks” ja igaüks neist põhimõtetest peab iseenesest olema usaldusväärne. Usutav on see, mis tundub õige kõigile või enamikule inimestele või tarkadele, kõigile või enamikule või kõige kuulsamatele ja kuulsusrikkamatele. (Vt nt Aristoteles. Töid neljas köites. T. 2. Topeka. M.: Mysl, 1978. Lk 349).

Nagu nähtub Aristotelese teemade viimasest fragmendist, on aksioomi aktsepteerimise aluseks teatav "usaldusväärsus" ja isegi asutus"kuulsad ja kuulsad" inimesed. Kuid praegu ei peeta seda piisavaks põhjuseks. Kaasaegsed täppisteadused, sealhulgas matemaatika ise, ei kasuta ilmsus tõe argumendina: aksioom võetakse lihtsalt kasutusele ja aktsepteeritakse ilma tõestuseta.

David Hilbert (1862-1943), saksa matemaatik ja füüsik, märkis, et termin aksiomaatiline mõnikord kasutatakse selle sõna laiemas ja mõnikord kitsamas tähenduses. Selle mõiste kõige laiemalt mõistmisel nimetame teooria konstrueerimist "aksiomaatiliseks". Sellega seoses eristab D. Gilbert sisuaksiomaatika ja vormiaksiomaatika.

Esimene „... tutvustab oma põhimõisteid meie kogemustele viidates ja kas peab selle põhisätteid ilmseteks faktideks, mida saab vahetult kontrollida, või sõnastab need teatud kogemuse tulemusena ja väljendab sellega meie kindlustunnet, et see õnnestus. rünnates loodusseaduste jälgedel ja samal ajal meie kavatsust toetada seda usaldust arendatava teooria eduga. Formaalne aksiomaatika peab ära tundma ka teatud tüüpi asjade tõendeid - see on vajalik nii deduktsiooni rakendamiseks kui ka aksiomaatika enda järjepidevuse kindlakstegemiseks -, kuid selle olulise erinevusega, et seda tüüpi tõendid ei põhine ühelgi. eriline epistemoloogiline suhe konkreetse vaadeldava teadusvaldkonnaga, kuid jääb samaks igasuguse aksiomaatika puhul: siin peetakse silmas nii elementaarset teadmisviisi, et see on üldjuhul iga täpse teoreetilise uurimistöö eelduseks.<…>Formaalne aksiomatiseerimine vajab tingimata oma täienduseks sisulist, sest just see viimane juhatab meid esmalt sobivate formalismide valimisel ja seejärel, kui formaalne teooria on juba meie käsutuses, ütleb see meile, kuidas seda teooriat rakendada. vaadeldavale valdkonnale reaalsus. Teisest küljest ei saa me piirduda tähendusliku aksiomaatikaga sel lihtsal põhjusel, et teaduses – kui mitte alati, siis enamasti – on meil tegemist teooriatega, mis ei reprodutseeri täielikult asjade tegelikku seisu, vaid on ainult idealiseerimise lihtsustamine see seisukoht, mis on nende tähtsus. Sellist teooriat ei saa muidugi õigustada selle aksioomide või kogemuste tõenditega. Pealegi saab selle põhjendamist läbi viia ainult selles mõttes, et selles toodetud idealiseerimise järjepidevus tuvastatakse, s.t. et ekstrapolatsioon, mille tulemusena selles teoorias kasutusele võetud mõisted ja selle peamised sätted ületada visuaalselt ilmselgete või kogemuste andmete piire"(kaldkirjas minu – Yu.E.). (Hilbert D., Bernays P. Matemaatika alused. M.: Nauka, 1979. Lk 23.)

Seega taandub tänapäevaselt mõistetav aksiomaatiline meetod järgmisele: a) vali komplekt vastu võetud ilma tõenditeta aksioomid; b) neis sisalduvad mõisted ei ole selle teooria raames selgelt määratletud; c) antud teooria määratlus- ja järeldamisreeglid on fikseeritud, võimaldades loogiliselt tuletada mõningaid eeldusi teistest; d) kõik teised teoreemid tuletatakse "a"-st "c" alusel. Praegu ehitatakse seda meetodit kasutades erinevaid sektsioone. matemaatikud(geomeetria, tõenäosusteooria, algebra jne), füüsikud(mehaanika, termodünaamika); püütakse aksiomatiseerida keemia Ja bioloogia. Gödel tõestas piisavalt arenenud teaduslike teooriate (näiteks naturaalarvude aritmeetika) täieliku aksiomatiseerimise võimatust, mis tähendab teaduslike teadmiste täieliku formaliseerimise võimatust. Loodusteaduslike teadmiste uurimisel ilmneb kujul aksiomaatiline meetod hüpoteeti-deduktiivne meetod. Mõiste “aksioom” kasutamine igapäevakõnes omamoodi a priori ilmsus ei peegelda enam selle kontseptsiooni olemust. See aristotelelik arusaam sellest terminist matemaatikas ja loodusteadustes on nüüdseks ületatud. Aksiomaatikaarutelu juurde on asjakohane lisada fragment Karl Raymund Popperi klassikalisest teosest:

„Teoreetilist süsteemi võib nimetada aksiomatiseerituks, kui formuleeritakse aksioomiväidete hulk, mis vastab järgmisele neljale põhinõudele: (a) aksioomisüsteem peab olema järjekindel(see tähendab, et see ei tohiks sisaldada ei iseendale vasturääkivaid aksioome ega vastuolusid aksioomide vahel). See on samaväärne nõudega, et iga suvaline väide ei ole sellises süsteemis tuletatav. (b) Antud süsteemi aksioomid peavad olema sõltumatud, see tähendab, et süsteem ei tohi sisaldada aksioome, mida saab tuletada teistest aksioomidest. (Teisisõnu võib teatud väidet nimetada aksioomiks ainult siis, kui see ei ole järeldatav selle eemaldamise järel allesjäävas süsteemi osas). Need kaks tingimust on seotud aksioomisüsteemi endaga. Mis puudutab aksioomide süsteemi seost teooria põhiosaga, siis peavad aksioomid olema: (c) piisav kõigi aksiomatiseeritud teooriasse kuuluvate väidete mahaarvamiseks ja d) vajalik selles mõttes, et süsteem ei tohiks sisaldada tarbetuid eeldusi.<…>Pean vastuvõetavaks kaht erinevat tõlgendust mis tahes aksioomisüsteemist. Aksioome võib pidada kas (1) kui konventsioon, kas (2) empiirilise või teaduslikuna hüpoteesid"(Popper K.R. Teadusliku uurimistöö loogika. M.: Respublika, 2005. Lk 65).

Teaduse ajaloost võib leida hulga näiteid üleminekust teooria aksiomaatilisele esitamisviisile. Veelgi enam, selle meetodi järjekindel rakendamine geomeetria teoreemide tõestamise loogikas võimaldas seda iidset teadust ümber mõelda, avades "mitteeukleidiliste geomeetriate" maailma (A. I. Lobachevsky, J. Bolyai, K. Gauss, G. F. B. Riemann, jne. ). See meetod osutus mugavaks ja produktiivseks, võimaldades luua teadusliku teooria sõna otseses mõttes monokristallina (nii esitatakse nüüd eelkõige teoreetilist mehaanikat ja klassikalist termodünaamikat). Veidi hiljem, juba 20. sajandi 30ndatel, andis kodumaine matemaatik Andrei Nikolajevitš Kolmogorov (1903-1987) aksiomaatilise põhjenduse tõenäosusteooriale, mis, nagu teadusajaloolased veendunult usuvad, põhines varem hasartmängude empiirilistel kujutlustel. (“viskamine”, täringud, kaardid). Sellega seoses on mõttekas pakkuda lugejale kaks fragmenti teaduse ja pedagoogika klassikute tekstidest, kes teadsid, kuidas kirjutada, nagu ütles Berdjajev, mitte ainult "millestki", vaid ka "millestki".

R. Courant ja G. Robbins: "Eukleidese süsteemis on üks aksioom, mille kohta - empiiriliste andmetega võrdluse põhjal, pingul niite või valguskiirte abil - on võimatu öelda, kas see on "tõsi". See on kuulus postulaat paralleeli kohta, mis ütleb, et läbi antud punkti, mis asub väljaspool antud sirget, saab joonistada üks ja ainus sellega paralleelne joon. Selle aksioomi eripäraks on see, et selles sisalduv väide puudutab sirge omadusi kogu selle pikkuses, ja eeldatakse, et joon on mõlemas suunas lõputult pikendatud: öelda, et kaks sirget on paralleelsed, tähendab öelda, et nad ei leia ühist punkti, olenemata sellest, kui kaugele neid pikendatakse, on üsna ilmne, et teatud piirides piiratud tasapinna osa, olenemata sellest, kui ulatuslik see osa on, vastupidi, läbi antud punkti on võimalik tõmmata palju sirgeid, mis ei ristu antud sirgega. Kuna joonlaua, niidi, isegi teleskoobiga jälgitava valguskiire maksimaalne võimalik pikkus on kindlasti lõplik ja kuna lõpliku raadiusega ringi sees on palju sirgeid, mis läbivad antud punkti ja ei vasta antud sirgele. ringist, järeldub sellest, et Eukleidese postulaati ei saa kunagi katseliselt kontrollida.<…>Ungari matemaatik Bolyai ja vene matemaatik Lobatševski lõpetasid kahtlused, konstrueerides kõigis üksikasjades geomeetrilise süsteemi, milles paralleelsuse aksioom lükati tagasi. Kui Bolyai saatis oma töö “matemaatikakuningale” Gaussile, kellelt ta pikisilmi tuge ootas, sai ta vastuseks teate, et Gauss ise oli avastuse teinud varem, kuid tookord hoidus ta tulemuste avaldamisest, kartes. liiga lärmakad arutelud.

Vaatame, mida tähendab paralleelsuse aksioomi sõltumatus. Seda sõltumatust tuleks mõista selles mõttes, et punktide, joonte jms kohta on võimalik konstrueerida sisevastuoludest vabu “geomeetrilisi” lauseid, mis põhinevad aksioomide süsteemil, milles paralleelsuse aksioom asendatakse selle vastandiga. Seda konstruktsiooni nimetatakse mitteeukleidiliseks geomeetriaks(kaldkirjas minu – Yu.E.). Gaussi, Bolyai ja Lobatševski intellektuaalset kartmatust oli vaja mõista, et geomeetria, mis ei põhine eukleidilisel aksioomisüsteemil, võib olla täiesti järjekindel(kaldkirjas minu – Yu.E.).<…>Nüüd on meil võimalik ehitada lihtsaid sellise geomeetria „mudeleid”, mis rahuldavad kõik Eukleidese aksioomid, välja arvatud paralleelsuse aksioom” (R. Kurant, G. Robbins. Mis on matemaatika? M.: Prosveshchenie, 1967. Lk 250 ).

Mitteeukleidiliste geomeetriate mitmesugused versioonid (näiteks Riemanni geomeetria, aga ka enam kui kolmemõõtmeline geomeetria ruumis) leidsid hiljem rakendust mikromaailmaga seotud teooriate (relativistlik kvantmehaanika, osakeste füüsika) konstrueerimisel ja vastupidi, megamaailma (üldrelatiivsusteooria) .

Lõpetuseks vene matemaatiku Andrei Nikolajevitš Kolmogorovi arvamus: „Tõenäosusteooriat või matemaatilist distsipliini saab ja tuleks aksiomatiseerida täpselt samas tähenduses nagu geomeetriat või algebrat. See tähendab, et pärast uuritavate objektide nimede ja nende põhisuhete ning ka aksioomide, millele need seosed peavad alluma, esitamist peaks kogu edasine esitus põhinema eranditult nendel aksioomidel, tuginemata nende objektide ja nende suhete tavapärasele konkreetsele tähendusele(kaldkirjas minu – Yu.E.).<…>Iga aksiomaatiline (abstraktne) teooria võimaldab teatavasti lõpmatul hulgal konkreetseid tõlgendusi. Seega võimaldab matemaatiline tõenäosusteooria koos nende tõlgendustega, millest see tekkis, ka paljusid teisi.<…>Tõenäosusteooria aksiomatiseerimist saab läbi viia mitmel viisil, nii seoses aksioomide valikuga kui ka põhimõistete ja põhiseoste valikuga. Kui taotleda nii aksioomisüsteemi enda võimaliku lihtsuse kui ka sellest edasise teooria konstrueerimise eesmärki, siis tundub kõige sobivam aksiomatiseerida juhusliku sündmuse ja selle tõenäosuse mõisted. Tõenäosusteooria aksiomaatiliseks konstrueerimiseks on ka teisi süsteeme, nimelt selliseid, mille puhul tõenäosuse mõiste ei kuulu põhimõistete hulka, vaid väljendub ise teiste mõistete kaudu [joonealune märkus: Vrd nt von Mises R. Wahrscheinlichkeitsrechnung , Leipzig u. Viin, Prantsusmaa Deuticke, 1931; Bernstein S.N. Tõenäosusteooria, 2. väljaanne, Moskva, GTTI, 1934]. Samal ajal püüdlevad nad aga teise eesmärgi poole, nimelt võimalikult lähedale matemaatilise teooria ja tõenäosusmõiste empiirilise esilekerkimise vahelisele lähimale seosele” (Kolmogorov A.N. Tõenäosusteooria põhimõisted. M.: Nauka , 1974. lk 9).

Aksiomaatilist meetodit rakendas esmakordselt edukalt Euclid elementaargeomeetria konstrueerimiseks. Sellest ajast alates on see meetod läbi teinud märkimisväärse arengu ja leidnud arvukalt rakendusi mitte ainult matemaatikas, vaid ka paljudes täppisloodusteaduste valdkondades (mehaanika, optika, elektrodünaamika, relatiivsusteooria, kosmoloogia jne).

Aksiomaatilise meetodi arendamine ja täiustamine toimus kahel põhijoonel: esiteks meetodi enda üldistamine ja teiseks aksioomidest teoreemide tuletamise protsessis kasutatavate loogiliste tehnikate arendamine. Toimunud muutuste olemuse selgemaks ettekujutamiseks pöördugem Eukleidese algse aksiomaatika poole. Teatavasti tõlgendatakse geomeetria algmõisteid ja aksioome ühel ja ainsal viisil. Geomeetria põhimõistete punkti, sirge ja tasapinna all mõeldakse idealiseeritud ruumiobjekte ning geomeetriat ennast kui füüsilise ruumi omaduste uurimist. Tasapisi sai selgeks, et Eukleidese aksioomid osutusid tõeseks mitte ainult geomeetriliste, vaid ka teiste matemaatiliste ja isegi füüsikaliste objektide omaduste kirjeldamisel. Seega, kui punkti all peame silmas reaalarvude kolmikut ning sirge ja tasapinna all - vastavaid lineaarvõrrandeid, siis vastavad kõigi nende mittegeomeetriliste objektide omadused Eukleidese geomeetrilistele aksioome. Veelgi huvitavam on nende aksioomide tõlgendamine füüsiliste objektide, näiteks mehaanilise ja füüsikalis-keemilise süsteemi seisundite või värviaistingu mitmekesisuse abil. Kõik see näitab, et geomeetria aksioome saab tõlgendada väga erineva iseloomuga objekte kasutades.

See abstraktne aksiomaatika käsitlus valmistati suures osas ette N. I. Lobatševski, J. Bolyai, C. F. Gaussi ja B. Riemanni mitteeukleidiliste geomeetriate avastamisel. Aksioomide kui palju erinevaid tõlgendusi võimaldavate abstraktsete vormide uue käsitluse järjekindlamalt väljendus D. Hilberti kuulsas teoses “Geomeetria alused” (1899). "Me mõtleme," kirjutas ta selles raamatus, "kolmele erinevale asjadesüsteemile: nimetame esimese süsteemi asju punktideks ja tähistame A, B, C,...; Nimetame teise süsteemi asju otsesteks ja tähistame a, b, c,...; Nimetame kolmanda süsteemi tasanditeks olevaid asju ja tähistame neid kui a, B, y,...". Sellest on selge, et "punkti", "sirge" ja "tasapinna" all võime silmas pidada mis tahes objektide süsteemi. On ainult oluline, et nende omadusi kirjeldaksid vastavad aksioomid. Järgmine samm teel aksioomide sisust abstraheerimiseni on seotud nende sümboolse esitamisega valemite kujul, aga ka nende järeldusreeglite täpse täpsustamisega, mis kirjeldavad, kuidas mõnest valemist (aksioomist) saavad teised valemid (teoreemid) saadakse. Selle tulemusena muutub mõtestatud arutlemine kontseptsioonidega selles uurimisetapis mõneks operatsiooniks valemitega vastavalt etteantud reeglitele. Teisisõnu, mõtestatud mõtlemine peegeldub siin arvutuses. Selliseid aksiomaatilisi süsteeme nimetatakse sageli formaliseeritud süntaktilisteks süsteemideks või arvutusteks.

Kaasaegses teaduses kasutatakse kõiki kolme vaadeldud aksiomatiseerimise tüüpi. Formaliseeritud aksiomaatilisi süsteeme kasutatakse peamiselt konkreetse teaduse loogiliste aluste uurimisel. Sellised uurimused on saanud matemaatikas suurima ulatuse seoses paradokside avastamisega hulgateoorias. Spetsiaalsete teaduskeelte loomisel on oluline roll formaalsetel süsteemidel, mille abil on võimalik võimalikult palju kõrvaldada tavalise loomuliku keele ebatäpsusi.

Mõned teadlased peavad seda punkti peaaegu peamiseks asjaks loogilis-matemaatika meetodite rakendamisel konkreetsetes teadustes. Nii usub inglise teadlane I. Woodger, kes on üks aksiomaatilise meetodi kasutamise pioneere bioloogias, et selle meetodi rakendamine bioloogias ja teistes loodusteaduste harudes seisneb teaduslikult täiusliku keele loomises, milles arvutatakse. on võimalik. Sellise keele konstrueerimise aluseks on aksiomaatiline meetod, mida väljendatakse formaliseeritud süsteemi ehk arvutuse kujul. Formaaliseeritud keele tähestikuna toimivad kahte tüüpi algsümbolid: loogiline ja individuaalne.

Loogilised sümbolid esindavad paljude või enamiku teooriate jaoks ühiseid loogilisi seoseid ja seoseid. Üksikud sümbolid tähistavad uuritava teooria objekte, näiteks matemaatilisi, füüsilisi või bioloogilisi. Nii nagu teatud tähestiku tähtede jada moodustab sõna, nii moodustab järjestatud sümbolite lõplik kogum formaliseeritud keele valemeid ja väljendeid. Keele tähenduslike väljendite eristamiseks tutvustatakse õigesti konstrueeritud valemi mõistet. Tehiskeele konstrueerimise protsessi lõpuleviimiseks piisab ühe valemi tuletamise või teiseks teisendamise reeglite selgest kirjeldamisest ja mõne õigesti konstrueeritud valemi aksioomidena esiletõstmisest. Seega toimub formaliseeritud keele konstrueerimine samamoodi nagu tähendusliku aksiomaatilise süsteemi konstrueerimine. Kuna mõtestatud arutlus valemitega on esimesel juhul vastuvõetamatu, taandub siin tagajärgede loogiline tuletamine sümbolite ja nende kombinatsioonide käsitlemiseks täpselt ettekirjutatud toimingute sooritamisele.

Formaliseeritud keelte kasutamise põhieesmärk teaduses on nende arutluste kriitiline analüüs, mille abil saadakse uusi teadmisi teaduses. Kuna formaliseeritud keeled peegeldavad mõningaid tähendusliku arutluskäigu aspekte, saab neid kasutada ka intellektuaalse tegevuse automatiseerimise võimaluste hindamiseks.

Abstraktseid aksiomaatilisi süsteeme kasutatakse enim kaasaegses matemaatikas, mida iseloomustab äärmiselt üldine lähenemine uurimisainele. Selle asemel, et rääkida konkreetsetest arvudest, funktsioonidest, joontest, pindadest, vektoritest ja muust sellisest, käsitleb tänapäeva matemaatik erinevaid abstraktsete objektide kogumeid, mille omadused on aksioomide abil täpselt sõnastatud. Selliseid kogusid või komplekte koos neid kirjeldavate aksioomidega nimetatakse tänapäeval sageli abstraktseteks matemaatilisteks struktuurideks.

Milliseid eeliseid annab aksiomaatiline meetod matemaatikale? Esiteks laiendab see oluliselt matemaatiliste meetodite rakendusala ja hõlbustab sageli uurimisprotsessi. Uurides konkreetse valdkonna konkreetseid nähtusi ja protsesse, saab teadlane kasutada valmis analüüsivahenditena abstraktseid aksiomaatilisi süsteeme. Olles veendunud, et vaadeldavad nähtused vastavad mõne matemaatilise teooria aksioomidele, saab uurija ilma täiendava töömahuka tööta kohe kasutada kõiki aksioomidest tulenevaid teoreeme. Aksiomaatiline lähenemine säästab konkreetse teaduse spetsialisti üsna keerukate ja raskete matemaatiliste uurimistööde tegemisest.

See meetod võimaldab matemaatiku jaoks paremini mõista uurimisobjekti, tuua välja selle põhisuunad ning mõista erinevate meetodite ja teooriate ühtsust ja seost. Ühtsus, mis saavutatakse aksiomaatilise meetodi abil N. Bourbaki kujundlikus väljenduses, ei ole ühtsus, „mis annab elutu skeleti. See on täielikus arengus olev keha toitev mahl, tempermalmist ja viljakas uurimisinstrument...” Tänu aksiomaatilisele meetodile, eriti selle formaliseeritud kujul, on võimalik täielikult paljastada erinevate teooriate loogiline struktuur. Kõige täiuslikumal kujul kehtib see matemaatiliste teooriate kohta. Loodusteaduslikes teadmistes peame piirduma teooriate põhituumiku aksiomatiseerimisega. Lisaks võimaldab aksiomaatilise meetodi kasutamine meie arutluskäiku paremini kontrollida, saavutades vajaliku loogilise ranguse. Aksiomatiseerimise põhiväärtus, eriti matemaatikas, seisneb aga selles, et see toimib uute mustrite uurimise meetodina, luues seoseid kontseptsioonide ja teooriate vahel, mis varem tundusid üksteisest eraldatuna.

Aksiomaatilise meetodi piiratud kasutamine loodusteaduses on seletatav eelkõige sellega, et selle teooriaid tuleb pidevalt kogemustega jälgida.

Seetõttu ei püüdle loodusteaduste teooria kunagi täieliku täielikkuse ja eraldatuse poole. Samal ajal eelistavad nad matemaatikas tegeleda aksioomisüsteemidega, mis rahuldavad täielikkuse nõuet. Kuid nagu näitas K. Gödel, ei saa ükski mittetriviaalse iseloomuga järjekindel aksioomide süsteem olla täielik.

Aksioomide süsteemi järjepidevuse nõue on palju olulisem kui nende täielikkuse nõue. Kui aksioomide süsteem on vastuoluline, ei ole sellel teadmiste jaoks mingit väärtust. Piirdudes mittetäielike süsteemidega, on võimalik aksiomatiseerida ainult loodusteaduslike teooriate põhisisu, jättes võimaluse teooria edasiseks arendamiseks ja täpsustamiseks läbi katse. Isegi nii piiratud eesmärk osutub mitmel juhul väga kasulikuks, näiteks teooria mõningate kaudsete eelduste ja eelduste avastamiseks, saadud tulemuste jälgimiseks, nende süstematiseerimiseks jne.

Aksiomaatilise meetodi kõige lootustandvam rakendus on nendes teadustes, kus kasutatavad mõisted on olulise stabiilsusega ning kus saab abstraheerida nende muutumisest ja arengust.

Just sellistel tingimustel on võimalik tuvastada vormilis-loogilisi seoseid teooria erinevate komponentide vahel. Seega on aksiomaatiline meetod suuremal määral kui hüpoteeti-deduktiivne meetod kohandatud valmis, saavutatud teadmiste uurimiseks.

Teadmiste tekke ja kujunemisprotsessi analüüs nõuab pöördumist materialistliku dialektika kui kõige sügavama ja kõikehõlmavama arengudoktriini poole.