"Ruut ja ristkülik" - ristküliku pindala. Fundamentaalne küsimus. Muude kujundite pindalade mõõtmine. Kuidas leida ruumi pindala? Pindala Ristküliku pindala. Kui palju õpilasi saab meie koolis erinevates klassiruumides õppida? Korrutage pikkus (a) laiusega (b). Probleemsed küsimused. Millistes klassiruumides saab õppida 11. klass (16 inimest)?
“Summa ruut ja vahe ruut” – tugevdus: VII. Vaatleme kahte erinevust 16 – 36 ja 25 – 45. Liidame, saame 16 – 36 + = 25 – 45 + , 4? - 2 4 + ()? = 5? - 2 5 + ()?, (4 –)? = (5 –)?, 4 – = 5 – , 4 = 5. Leia viga. Kahe avaldise summa ja erinevuse kvadratuur. Ainus viis õppida on lõbutseda. Tund õpetajatele täiendkoolituskursustel.
"Ristkülik ja ruut" - arvutage ristküliku ümbermõõt. Ristkülikut, mille kõik küljed on võrdsed, nimetatakse ruuduks. Ruudu ümbermõõt arvutatakse valemiga: P=4a. Ruudu ümbermõõt on 32 cm Leia ruudu külg. Ruudu S on 81 cm2. Mis on ruudu külg? Mis on vastasküljed? Ristküliku kõigi külgede pikkuste summat nimetatakse ristküliku ümbermõõduks.
"Amazing Squares" – kõik neli külge on ühepikkused. Muinasjutt: Linnud: elevant. Hämmastav väljak. Purjekas. Lahkudes ütles ta: "Soovin teile meeldivaid unenägusid!" Saar oli väga kaugel ja nii väike. Origami ruudu põhitõed. Ta seisis seal sõnadeta... See on kättemaks! Paat. 5.Kodu. Ma olen vanem, olen ruudukujuline." Paberi muinasjutt.
"Kahe laine interferents" - Valgustriibud - lained tugevdasid üksteist (maksimaalne amplituud). Raseerijat hoiab vee peal õlikile pindpinevus. Põhjus? Thomas Youngi kogemus. Raadioteleskoobi interferomeeter, mis asub USA-s New Mexicos. Seebikiled. Valgustav optika. Erinevat värvi valgus vastab erinevatele lainepikkustele.
"Ruudude erinevus" - Tunni teema: "Ruutide erinevus." Matemaatiline diktaat. Näide 1. Tehke korrutamine: (3x – 2y)(3x + 2y). Ärge ajage segi mõisteid "ruutude erinevus" ja "ruudu erinevus". Ruudude erinevus. 4) Arvu m ja arvude x ja y topeltkorrutise vahe. Ruudude erinevuse valemit kasutatakse kiireteks arvutusteks.
45 kommi maksab sama palju rubla kui 20 rubla eest. Mitu kommi saab osta 50 rubla eest?
Vastus: 75 kommi.
Lahendus. Lase x- ühe kommi maksumus rublades. Siis 45 x= 20/x, kus x= 2/3. Siis saab 50 rubla eest osta 50 / x= 75 kommi.
Kriteeriumid.
Võrrand 45 on õige x= 20/x, kuid selle lahendamisel või hiljem tehti aritmeetiline viga: 5 punkti.
Lahenduses on kirjas, et ühe kommi hind on 2/3, kontrollib selle maksumuse vastavust ülesande tingimustega ja saab õige vastuse: 4 punkti.
Antakse ainult õige vastus: 1 punkt.
Ülesanne 2. (7 punkti)
Ženja pani numbrid 1 kuni 10 ringi ümber teatud järjekorras ja Dima kirjutas nende summa igasse numbrite vahele. Kas võis juhtuda, et kõik Dima kirjutatud numbrid osutusid erinevateks?
Vastus: Võiks küll.
Numbri paigutuse näide on näidatud allpool.
Kriteeriumid. Iga õige lahendus: 7 punkti.
Antakse ainult õige vastus või õige vastus ja vale näide: 0 punkti.
Ülesanne 3. (7 punkti)
Kas see on võimalik mõnes tabeli 8 lahtris × 8 kirjutage ühed ja ülejäänud - nullid, nii et kõigis veergudes on erinev summa ja kõikides ridades - sama?
Vastus: Saab.
Lahendus. Olgu iga rea arvude summa võrdne x. Siis on kõigi tabelis olevate arvude summa 8 x, see tähendab, et kogusumma jagatakse 8-ga. Pange tähele, et veerud võivad sisaldada 0 kuni 8 ühikut. Kõigi arvude summa vahemikus 0 kuni 8 on 36. 8 kordse saamiseks peate 36-st lahutama 4. Seetõttu ei tohiks meie näites olla veergu, mis sisaldab täpselt 4 ühte.
Näide on toodud allpool (näiteid on ka teisi).
Kriteeriumid. Iga õige näide, isegi ilma igasuguse selgituseta: 7 punkti.
On tõestatud, et kui kõigi veergude summa on nullist erinev, siis näidet ei eksisteeri: 4 punkti.
Ülesanne 4. (7 punkti)
Kahel ruudul on ühine tipp. Leidke segmentide suhe AB Ja CD näidatud joonisel.
Vastus:
Lahendus. Olgu punkt O- kahe ruudu ühine tipp ja nende küljed on võrdsed a Ja b. Ruudude diagonaalid on võrdsed Ja vastavalt. Lisaks ∠ C.O.D.= ∠COB+ ∠BOD= ∠COB+ 45° = ∠COB+ ∠AOC= ∠AOB. Kolmnurgad AOB Ja C.O.D.üldnurkade ja selle nurga proportsionaalsete külgede poolest sarnased.
Seega AB: CD=
Kriteeriumid. Iga õige lahendus: 7 punkti.
Suhet pole õigesti arvutatud AB To CD, A CD To AB(vastavalt, vastus): 7 punkti.
Kolmnurkade sarnasus on tõestatud AOB Ja C.O.D., kuid edasist järeldust ei tehta või nõutav seos on leitud valesti: 6 punkti.
On tõestatud, et ∠ AOB= ∠C.O.D., kuid edasiminekut ei toimu: 1 punkt.
Arvesse võetakse ainult erijuhtu (näiteks kui ruutudel on sama külg või kui kahe ruudu mõne külje vaheline nurk on 90°): 0 punkti.
Antakse ainult õige vastus: 0 punkti.
Ülesanne 5. (7 punkti)
Numbrid a, b, c Ja d on sellised a+b= c+d ≠ 0, ac= bd. Tõesta seda a+ c= b+ d.
Lahendus. Kui a ≠ 0, siis asenda c= b d/a, saame
Siit b= c Ja a+ c= b+ d.
Kui a= 0, siis b ≠ 0 (muidu a+ b= 0), nii d= 0 (alates ac= bd). Aga siis võrdsus a+ b= c+ dümber kirjutatud kui b= c, millest tuleneb nõutav võrdsus.
Võimalikud on ka muud lahendused.
Kriteeriumid. Iga õige lahendus: 7 punkti.
Õige lahendus arvestab vormi väljendit bd a(või mõni muu sarnane), kuid juhul, kui nimetaja on võrdne nulliga, ei arvestata: 5 punkti.
On tõestatud, et ( a+c) 2 = (b+d) 2 , kuid juhtum ( a+c) = — (b+ d): 3 punkti.
Arvesse võetakse ainult konkreetsete arvväärtuste juhtu a, b, c, d: 0 punkti.
Ülesanne 6. (7 punkti)
Teekonnal on 60 teeviita. Igale neist on kirjutatud ülejäänud 59 tähemärgi kauguste summa. Kas on võimalik, et märkidele on kirjutatud 60 erinevat naturaalarvu? (Tähemärkide vahelised kaugused ei pruugi olla täisarvud.)
Vastus: Võimatu.
Lahendus. Nummerdame märgid järjestikku numbritega 1 kuni 60. Tõestame, et numbritele 30 ja 31 kirjutatud arvud on samad.
Jagame ülejäänud märgid vormi paarideks k Ja k+ 31: 1 ja 32, 2 ja 33, . . . , 29 ja 60. Pange tähele, et kauguste summa nii märgist 30 kui ka märgist 31 ühe paari märkideni k Ja k+ 31 võrdub tähemärkide vahelise kaugusega k Ja k+ 31. Kuna märkidel 30 ja 31 olev arv on võrdne kõigi 29 paari märkide kauguste ja märkide 30 ja 31 vahelise kauguse summaga, siis on numbrid märkidel 30 ja 31 samad.
Kriteeriumid. Iga õige lahendus: 7 punkti.
On väidetud, kuid mitte tõestatud, et kahele keskmisele veerule (veergudele 30 ja 31) kirjutatud arvud on võrdsed: 2 punkti.
Erijuhtude näitel näidatakse, et kindlasti tuleb võrdseid arvusid: 0 punkti.
Antakse ainult õige vastus: 0 punkti.
1. Ringi keskpunktiga O tõmmatakse kaks kõõlu AB ja CD nii, et kesknurgad AOB ja COD on võrdsed. Perpendikulaarid OK ja OL langevad nendele akordidele. Tõesta, et OK ja OL on võrdsed.
2. Ringjoonele, mis läbib kõõlu AC keskpunkti O, tõmmatakse kõõl BD nii, et kaared AB ja CD on võrdsed. Tõesta, et O on akordi BD keskpunkt.
3. Ringidel, mille keskpunktid on punktides I ja J, pole ühiseid punkte. Nende ringide sisemine ühine puutuja jagab nende keskpunkte ühendava lõigu suhtega m:n. Tõesta, et nende ringide läbimõõdud on suhtes m:n.
4. Teravkolmnurga ABC kõrgused AA1 ja BB1 lõikuvad punktis E. Tõesta, et nurgad AA1B1 ja ABB1 on võrdsed.
5. Nürinurgaga ACB kolmnurgas ABC on joonestatud kõrgused AA1 ja BB1. Tõesta, et kolmnurgad A1CB1 ja ACB on sarnased.
6. Ringjooned, mille keskpunktid on punktides E ja F, lõikuvad punktides C ja D ning punktid E ja F asuvad sirge CD samal küljel. Tõesta, et CD ⊥ EF.
7. Kahel võrdkülgsel kolmnurgal on ühine tipp. Tõesta, et joonisel märgitud lõigud AB ja CD on võrdsed.
8. Teravnurkses kolmnurgas ABC on nurk B 60°. Tõesta, et punktid A, C, kolmnurga ABC ümbermõõt ja kolmnurga ABC kõrguste lõikepunkt asuvad samal ringil.
9. Ringjoon puudutab kolmnurga ABC külge AB, mille ∠C = 90°, ning selle külgede AC ja BC vastavalt punktide A ja B pikendusi. Tõesta, et kolmnurga ABC ümbermõõt on võrdne selle ringi läbimõõduga.
10. Teravkujulise kolmnurga ABC punktid A, C, ümbermõõt O ja ringjoone keskpunkt I asuvad samal ringil. Tõesta, et nurk ABC on 60°.
11. Teadaolevalt saab nelinurga ABCD ümber piirata ringi ning nelinurga külgede AD ja BC pikendused lõikuvad punktis K. Tõesta, et kolmnurgad KAB ja KCD on sarnased.
12. Tõesta, et kolmnurga mediaan jagab selle kaheks kolmnurgaks, mille pindalad on üksteisega võrdsed.
13. Nürinurgaga ACB kolmnurgas ABC on joonestatud kõrgused AA1 ja BB1. Tõesta, et kolmnurgad A1CB1 ja ACB on sarnased.
14. Rööpkülikule ABCD on risti BE ja DF tõmmatud diagonaalile AC (vt joonis). Tõesta, et BFDE on rööpkülik.
15. Rööpküliku ABCD punkt E on külje AB keskpunkt. On teada, et EC=ED. Tõesta, et see rööpkülik on ristkülik.
16. Kahel ruudul on ühine tipp. Tõesta, et joonisel ja märgitud lõigud on võrdsed.
17. Rööpküliku külgede keskpunktid on rombi tipud. Tõesta, et see rööpkülik on ristkülik.
18. Rööpkülikul ABCD on kõrgused BH ja BE tõmmatud külgedele AD ja CD vastavalt, kusjuures BH = BE. Tõesta, et ABCD on romb.
19. Rööpküliku ABCD diagonaalid AC ja BD lõikuvad punktis K. Tõesta, et rööpküliku ABCD pindala on neli korda suurem kolmnurga AKD pindalast.
20. Rööpküliku ABCD sees vali suvaline punkt E. Tõesta, et kolmnurkade BEC ja AED pindalade summa on võrdne poolega rööpküliku pindalast.
21. On teada, et nelinurga ABCD ümber saab piirata ringjoont ning nelinurga külgede AB ja CD pikendused lõikuvad punktis M. Tõesta, et kolmnurgad MBC ja MDA on sarnased.
22. Trapetsi ABCD alused BC ja AD on vastavalt 5 ja 20, BD = 10. Tõesta, et kolmnurgad CBD ja ADB on sarnased.
23. Kumeras nelinurgas ABCD on nurgad BCA ja BDA võrdsed. Tõesta, et nurgad ABD ja ACD on samuti võrdsed.
24. Trapetsi ABCD alustega AD ja BC lõikuvad diagonaalid punktis O. Tõesta, et kolmnurkade AOB ja COD pindalad on võrdsed.
©2015-2019 sait
Kõik õigused kuuluvad nende autoritele. See sait ei pretendeeri autorlusele, kuid pakub tasuta kasutamist.
Lehe loomise kuupäev: 2017-12-12
Antud: ∆ABC ja ∆ А1В1С1; AB=___; AC=___; Ð KOOS=____=_____.
Tõesta: ∆ABC=_____.
Tõestus:
Peal ( AC) jäta see punkt kõrvale D Niisiis CD=A.C.. ∆ABC=∆BCD, sest:
1) _____ - ühine pool;
2) A.C.=CD- ehituse järgi;
3) Р DIA=_______ => _____ alusel AB=_____.
Samamoodi jaoks А1В1С1
________________________________________________________
Meil on see:
1) AB
2) BD=___, alates ____________________________;
3) AD=___, alates ____________________________;
Siis vastavalt kolmnurkade kolmandale kriteeriumile: ∆ ABD=_____.
Seega on meil ∆ ABC ja ∆ А1В1С1:
AB=___
AC=___ => ∆_____=∆______.
Ð A=___
Ülesanne 8.
Täida tabel, kui tead, et ∆ ABC=∆А1В1С1.
Ülesanne 9.
Lahendage täiendavad probleemid:
1. Võrdsed segmendid AB Ja CD lõikuvad nende kõigi keskel. Tõesta nurkade võrdsust ACB Ja DBC. Tee joonistus.
2. Tõesta kolmnurkade võrdsus kahe külje ja ühest tipust lähtuva mediaani põhjal. Tee joonistus.
3. Tõesta kolmnurkade võrdsus külje, sellele küljega tõmmatud mediaani ja nurkade põhjal, mille mediaan sellega moodustab. Tee joonistus.
4. Punktid A, B, C, D asetsevad samal sirgel (joonis 3.7). Tõesta, et kui ∆ AVE1=∆AVE2, siis ∆ CDE1 =∆CDE2 .
5. Võrdsed kolmnurgad ABC Ja А1В1С1 tippudest IN Ja IN 1 poolitajad on tõmmatud BD Ja B1 D1 . Tõesta kolmnurkade võrdsust CBD Ja C1 B1 D1 . Tee joonistus. Lahendage probleem erineval viisil. Raamige oma lahendus loominguliselt.
10. ülesanne.
Allpool on probleem ja diagramm selle viie lahendusega (1-5). Mõelge igale lahendusele (joonis 3.8). Milliseid kolmnurkade võrdsuse märke neis kasutatakse? Tehke ühe lahenduse plaan ja kujundage see loominguliselt.
Kolmnurgad ABC JaHALB on võrdsed. Nende küljedAD JaB.C. ristuvad punktis KOHTA. Tõesta, et kolmnurgad AOC JaBOD on ka võrdsed.
Lahenduse skeem:
§4. Lisaülesanded
p1. Probleemid praktilise sisuga
Paljudel praktilistel ja teoreetilistel juhtudel on mugav kasutada tuttavaid kolmnurkade võrdsuse märke.
ÜLESANNE 1. Kolmnurkse aknaklaasi üks nurk murdus. Kas on võimalik tellida klaasija, et katkine klaasitükk säilinud osast välja lõigata? Milliseid mõõtmisi peaksin võtma? Koostage see kolmnurk kompassi ja joonlaua abil.
Õpilased töötavad rühmades. Iga rühm koostab lahenduse. Esimene rühm, kes probleemi lahendas, kaitseb oma lahendust.
ÜLESANNE 2. Puusepp peab täitma kolmnurkse kujuga augu. Mitu suurust ja millised peaks ta plaastri tegemiseks eemaldama? Mida ta peaks mõõtma, kui augu kuju on: a) täisnurkne kolmnurk, b) võrdkülgne kolmnurk, c) võrdhaarne kolmnurk, d) skaala kolmnurk.
Kõigile õpilastele antakse 4 pakutud kolmnurga tüüpi. Plaastri tegemiseks on vaja suuliselt selgeks teha, mis mõõdud on vaja eemaldada.
ÜLESANNE 3. Ema ostis kahele tütrele salli jaoks 1 meetri laiust kangast. Jaga see kangatükk kaheks võrdseks osaks, vaata, et tütred ei tülitseks (sallid on võrdsed) ja tõesta oma tegude õigsust.
Kas midagi muutub, kui kangatükil on kuju:
· Ristkülik,
· Parallelogramm.
ÜLESANNE 4. Kolm küla B, C, D asuvad nii, et C on külast B 7 km edelas ja küla D on V-st 4 km ida pool. Kolm muud küla A, K, M asuvad nii, et küla K asub külast 4 km põhja pool. M ja küla A asub M-st 7 km kagus. Tehke joonis ja tõestage, et punktide C ja D vaheline kaugus on sama, mis punktide K ja A vahel.
ÜLESANNE 5. Kooli töötoas valmistati traadist neli varda pikkusega 4,7,10,13 cm, ühendades neljast vardast kolm nende otstega, saate teada, millistest kolmest vardast saab kolmnurga moodustada ja milliseid mitte. . Selgitage oma leide.
p2. GIA tekstidest kolmnurkade võrdsusmärkide rakendamise ülesanded
Ülesanne 1. Kaks võrdset akordi AB ja CD on tõmmatud ringiks, mille keskpunkt on O. Perpendikulaarid OK ja OL langetatakse vastavalt nendele kõõlustele (joonis 4.1). Tõesta, et OK ja OL on võrdsed.
DIV_ADBLOCK234">
https://pandia.ru/text/80/260/images/image061.png" width="316" height="152">
4. ülesanne. Trapetsi ABCD aluse AD keskmine M on teise aluse otstest võrdsel kaugusel (joonis 4.4). Tõesta, et trapets ABCD on võrdhaarne.
5. ülesanne. Rööpküliku külgede keskpunktid on rombi tipud (joonis 4.5). Tõesta, et see rööpkülik on ristkülik.
6. ülesanne. Rööpküliku külgede keskpunktid on ristküliku tipud (joonis 4.6). Tõesta, et see rööpkülik on romb.
Ülesanne 7. Tõesta, et võrdhaarse kolmnurga aluse nurkade poolitajad on võrdsed (joonis 4.7).
Probleem 8. Rööpkülikule on joonistatud vastasnurkade poolitajad (joonis 4.8). Tõesta, et rööpküliku sees olevad poolitajalõigud on võrdsed.