Juhised. Sisestage avaldis F(x) ja klõpsake nuppu Edasi. Saadud lahendus salvestatakse Wordi faili. Excelis luuakse ka lahendusmall. Allpool on videojuhend.
Funktsiooni sisestamise reeglid
Näited≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
Vaatleme kiiremat viisi intervalli juure leidmiseks eeldusel, et f(a)f(b)<0.
f''(x)>0 f''(x)<0
f(b)f''(b)>0 f(a)f''(a)>0 
Joon.1a Joon. 1b
Vaatame joonist 1a. Joonistame akordi läbi punktide A ja B. Akordi võrrand 
.
Punktis x=x 1 , y=0 saame selle tulemusel juure esimese lähenduse 
. (3.8)
Tingimuste kontrollimine
(a) f(x 1)f(b)<0,
(b) f(x 1)f(a)<0.
Kui tingimus (a) on täidetud, siis valemis (3.8) asendame punkti a x 1-ga, saame
.
Seda protsessi jätkates saame n-nda lähenduse 
. (3.9)
Siin on ots a liigutatav, see tähendab f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
Vaatleme juhtumit, kui lõpp a on fikseeritud.
f''(x)<0 f’’(x)>0
f(b)f''(b)<0 f(a)f’’(a)<0
Joonis 2a Joonis 2b
Joonisel fig 1b teostatakse 2b f(x i)f(a).<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.
Protsessi jätkates jõuame valemini 
. (3.10)
Protsessi peatamine
|x n – x n-1 |<ε; ξ≈x n
Riis. 3
Joonisel 3 f’’(x) muudab märki, nii et mõlemad otsad on liigutatavad.
Enne kui asume akordimeetodi iteratiivse protsessi konvergentsi küsimuse juurde, tutvustame kumerfunktsiooni mõistet.
Definitsioon. Pidevat sisselülitatud funktsiooni nimetatakse kumeraks (nõgusaks), kui mis tahes kahe punkti x 1 ,x 2 korral, mis rahuldavad a≤x 1
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - nõgus
Kumerfunktsiooni f’’(x)≥0 korral.
Nõgusa funktsiooni f’’(x)≤0 korral
3. teoreem. Kui funktsioon f(x) on lõigul kumer (nõgus), siis mis tahes lõigul 
funktsiooni f(x) graafik ei asu kõrgemal (mitte madalamal) kui kõõl, mis läbib graafiku punkte abstsissidega x 1 ja x 2.
Tõestus:
Vaatleme kumerfunktsiooni. Akordi võrrand: x 1 ja x 2 läbimine on kujul: 
.
Vaatleme punkti c= αx 1 + (1-α)x 2 , kus aО
Teisest küljest saame kumerfunktsiooni definitsiooni järgi f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf 1 + (1-α)f 2 ; seega f(c) ≤ g(c) jne. 
Nõgusa funktsiooni puhul on tõestus sarnane.
Vaatleme iteratiivse protsessi konvergentsi tõestust kumera (nõgusa) funktsiooni korral.
4. teoreem. Olgu pidev, kaks korda diferentseeruv funktsioon f(x) antud ja f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
Tõestus: Vaatleme näiteks juhtumit f(a)f''(a)<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n >x n -1, kuna (b-x n -1)>0 ja f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a≤x 0
. (3.11)
Meil on
(3.12)
(see tähendab, et funktsiooni y(x) väärtus kõõlu punktis x n ühtib f(ξ)-ga).
Alates , siis alates (3.12) järeldub
või
. (3.13)
Joonise fig. 1a, seega
või
tähendab seda jne. (vt (3.11)).
Joonise 2a jaoks. Järelikult (3.12) saame
Tähendab
sest 
jne.
Sarnased tõendid jooniste 1b ja 2b jaoks. Seega oleme tõestanud, et arvude jada on konvergentne.
a≤x 0
Akordimeetodi konvergents on koefitsiendiga lineaarne 
.
, (3.14)
kus m 1 =min|f’(x)|, M 1 =max|f’(x)|.
See tuleneb järgmistest valemitest. Vaatleme fikseeritud otsa b ja f(b)>0 juhtu.
Meil on alates (3.9) 
. Siit 
. Seda arvestades võime kirjutada 
või 
.
Asendades (ξ-x n -1) parema külje nimetajas väärtusega (b-x n -1) ja võttes arvesse, et (ξ-x n -1)< (b-x n -1), получим 
, mida oli vaja tõestada (vt ebavõrdsus (3.14)).
Konvergentsi tõestus joonisel 3 kujutatud juhtumi puhul (f’’(x) muudab märki; üldjuhul võivad nii f’ kui ka f’’ märke muuta) on keerulisem ja seda siin ei esitata.
Ülesannetes määrake võrrandi f(x) = 0 reaaljuurte arv, eraldage need juured ja leidke akordide ja puutujate meetodil nende ligikaudsed väärtused täpsusega 0,001.
Laske segment edasi funktsioon on pidev, võtab lõigu otstes erinevaid märke ja tuletis f "(x) salvestab märgi. Sõltuvalt teise tuletise märgist on võimalikud järgmised kõvera paigutuse juhud (joonis 1).
Riis. 1.
Algoritm ligikaudseks juurarvutamiseks akordimeetodil.
Algandmed: f(x)- funktsiooni ; e- nõutav täpsus; x 0 - esialgne lähendus.
Tulemus: xpr- võrrandi ligikaudne juur f(x)= 0.
Lahenduse meetod:
Riis. 2. f "(x) f ""(x)>0.
Vaatleme juhtumit, kui f "(x) Ja f ""(x) on samad märgid (joonis 2).
Funktsiooni graafik läbib punkte A 0 (a, f(a)) Ja B 0 (b, f(b)). Võrrandi nõutav juur (punkt x*) on meile tundmatu, võtab see asemel täpi X 1 akordide ristumiskohad A 0 IN 0 abstsissteljega. See on juure ligikaudne väärtus.
Analüütilises geomeetrias tuletatakse valem, mis määrab kahte koordinaatidega punkti läbiva sirge võrrandi (x1; y1) Ja (x2; y2): .
Siis akordi võrrand A 0 IN 0 kirjutatakse kujul: .
Leiame väärtuse x = x 1 , mille jaoks y = 0: . Nüüd on juur segmendil . Rakendame sellele lõigule akordimeetodit. Joonistame punkte ühendava akordi A 1 (x 1 ,f(x 1 )) Ja B 0 (b, f(b)), ja leiame X 2 - akordi lõikepunkt A 1 IN 0 teljega Oh: x 2 =x 1 .
Seda protsessi jätkates leiame
x 3 =x 2 .
Saame juure lähenduste arvutamiseks korduva valemi
x n+1 =x n .
Sel juhul lõpp b segment jääb liikumatuks ja lõpp a liigub.
Seega saame akordimeetodi arvutusvalemid:
x n+1 =x n ; x 0 =a. (4)
Järjestikuste lähenduste arvutamine võrrandi täpsele juurele jätkub seni, kuni jõuame määratud täpsuseni, s.o. peab olema täidetud järgmine tingimus: |x n+1 -x n |< , kus on määratud täpsus.
Vaatleme nüüd juhtumit, kui esimesel ja teisel tuletisel on erinevad märgid, s.t. f "(x) f ""(x)<0 . (joonis 3).
Riis. 3. Akordimeetodi geomeetriline tõlgendus juhtumi jaoks f "(x) f ""(x)<0 .
Ühendame punktid A 0 (a, f(a)) Ja B 0 (b, f(b)) akord A 0 IN 0 . Kõõlu ja telje lõikepunkt Oh Vaatleme juure esimest lähendamist. Sel juhul on segmendi fikseeritud ots lõpp A.
Akordi võrrand A 0 IN 0 :. Siit leiame x 1 , eeldades y = 0: x 1 =b. Nüüd võrrandi juur x. Rakendades sellele lõigule akordimeetodit, saame x 2 =x 1 . Jätkates jne, saame x n+1 =x n .
Meetodi arvutusvalemid:
x n+1 =x n , x 0 =0 . (5)
Arvutuste lõpetamise tingimus: |x n+1 -x n |< . Siis xpr = xn+1 täpsusega Niisiis, kui f "(x) f ""(x)>0 juure ligikaudne väärtus leitakse valemi (4) abil, kui f "(x) f ""(x)<0 , siis vastavalt valemile (5).
Ühe või teise valemi praktiline valik toimub järgmise reegli abil: segmendi fikseeritud ots on see, mille funktsiooni märk langeb kokku teise tuletise märgiga.
Näide. Illustreerige selle reegli mõju võrrandi abil
(x-1)ln(x)-1 = 0, kui juure isoleerimise segment .
Lahendus. Siin f(x)=(x-1)ln(x)-1.
f"(x)=ln(x)+;
f ""(x)=.
Selle näite teine tuletis on juure eraldamise segmendis positiivne : f ""(x)>0, f(3)>0, st. f(b) f""(x)>0. Seega selle võrrandi lahendamisel akordmeetodil valime juure selgitamiseks valemid (4).
vari e,c,a,b,y,ya,yb,yn,x,x1,x2,xn,f1,f2:real;
algus e:=0,0001;
writeln("vvedi nachalo otrezka");
writeln("vvedi konec otrezka");
y:=((x-1)*ln(x))-1;
y:=((x-1)*ln(x))-1;
yb:=y; c:=(a+b)/2; x:=c;
y:=((x-1)*ln(x))-1;
f1:=ln(x) + (x-1)/x;
f2:= 1/x + 1/(x*x);
if (ya*yb< 0) and (f1*f2 > 0)
siis alusta x1:=a; samas kui abs(x2 - x) > e teevad
x2:=x1 - (yn*(b-x1))/(yb - yn);
writeln("koren uravneniya xn = ", x2)
lõpp elsebegin x1:=b;
samas kui abs(x2 - x) > e teevad
alusta x:=x1; y:=((x-1)*ln(x))-1; yn:=y;
x2:=x1 - (yn*(x1- a))/(yn - ya);
writeln("koren uravneniya xn = ", x2);
Lihtne iteratsioonimeetod
Mõelge võrrandile f(x)=0(1) eraldatud juurega X. Võrrandi (1) lahendamiseks lihtsa iteratsioonimeetodi abil taandame selle samaväärsele kujule: x=ts(x). (2)
Seda saab teha alati ja mitmel viisil. Näiteks:
x=g(x) f(x) + x ? c(x), Kus g(x) – suvaline pidev funktsioon, millel pole lõigul juuri .
Lase x (0) - mingil viisil saadud juure lähendus x(lihtsamal juhul x (0) =(a+b)/2). Lihtne iteratsioonimeetod seisneb iteratsioonijada tingimuste järjestikuses arvutamises:
x (k+1) =ts(x (k) ), k=0, 1, 2, ... (3)
alustades lähenemisest x (0) .
AVALDUS: 1 Kui lihtsa iteratsiooni meetodi jada (x (k) ) koondub ja funktsioon q on pidev, siis on jada piiriks võrrandi x = q (x) juur.
TÕEND: Las see olla. (4)
Liigume võrdsuse piirini x (k+1) =ts(x (k) ) Ühelt poolt saame (4)-st selle ja teiselt poolt funktsiooni järjepidevuse tõttu ts ja (4) .
Selle tulemusena saame x * =ts(x * ). Seega x * - võrrandi (2) juur, s.o. X=x * .
Selle lause kasutamiseks peab jada lähenema (x (k) }. Konvergentsi piisav tingimus annab:
TEOREEM 1: (konvergentsi kohta) Olgu võrrand x=ts(x) on segmendil üks juur ja tingimused on täidetud:
- 1) c(x) C 1 ;
- 2) c(x) "x;
- 3) on olemas konstant q > 0: | q "(x) | ? q . Seejärel iteratsiooni jada (x (k) }, antud valemiga x (k+1) = q(x (k) ), k = 0, 1, ... koondub mis tahes esialgse lähenduse korral x (0) .
TÕESTUS: Vaatleme jada kahte kõrvuti asetsevat liiget (x (k) ): x (k) = q(x (k-1) ) Ja x (k+1) = q(x (k) ) Kuna vastavalt tingimusele 2) x (k) Ja x (k+1) lebama segmendi sees , Seejärel saame Lagrange'i keskmise väärtuse teoreemi abil:
x (k+1) - x (k) = q(x (k) ) - c(x (k-1) ) = c "(c k )(x (k) - x (k-1) ), kus c k (x (k-1) , x (k) ).
Siit saame:
| x (k+1) - x (k) | = | ts "(c k ) | · | x (k) - x (k-1) | ? q | x (k) - x (k-1) | ?
? q(q|x (k-1) - x (k-2) |) = q 2 | x (k-1) - x (k-2) | ? ...? q k | x (1) - x (0) |. (5)
Mõelge sarjale
S ? = x (0) + (x (1) - x (0) ) + ... + (x (k+1) - x (k) ) + ... . (6)
Kui tõestame, et see jada koondub, siis läheneb ka selle osasummade jada
S k = x (0) + (x (1) - x (0) ) + ... + (x (k) - x (k-1) ).
Kuid seda pole keeruline arvutada
S k = x (k)) . (7)
Järelikult tõestame sellega iteratsioonijada konvergentsi (x (k) }.
Seeria (6) konvergentsi tõestamiseks võrrelgem seda terminite kaupa (ilma esimese liikmeta x (0) ) läheduses
q 0 | x (1) - x (0) | +q 1 |x (1) - x (0) | + ... + |x (1) - x (0) | + ..., (8)
mis koondub lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressioonina (alates tingimuse järgi q< 1 ). Ebavõrdsuse (5) tõttu ei ületa seeria (6) absoluutväärtused koonduva jada (8) vastavaid liikmeid (st seeria (8) muudab seeria (6) suuremaks. Seetõttu jada (6) ) samuti koondub Seega jada koondub (x (0) }.
Saame valemi, mis annab meetodi vea hindamiseks |X - x (k+1) |
lihtne iteratsioonimeetod.
X-x (k+1) = X - S k+1 = S ? -S k+1 = (x (k+2) - (k+1) ) + (x (k+3) - x (k+2) ) + ... .
Seega
|X - x (k+1) | ? |x (k+2) - (k+1) | + |x (k+3) - x (k+2) | + ...? q k+1 |x (1) - x (0) | +q k+2 |x (1) - x (0) | + ... = q k+1 |x (1) - x (0) | /(1-q).
Selle tulemusena saame valemi
|X - x (k+1) | ? q k+1 |x (1) - x (0) | /(1-q).(9)
Võttes eest x (0) tähenduses x (k) , taga x (1) - tähendus x (k+1)(kuna selline valik on võimalik, kui teoreemi tingimused on täidetud) ja arvestades seda ebavõrdsuse puhul q k+1 ? q väljastame:
|X - x (k+1) | ? q k+1 |x (k+1) - x (k) | / (1-q) ? q|x (k+1) - x (k) | /(1-q).
Niisiis, lõpuks saame:
|X - x (k+1) | ? q|x (k+1) - x (k) | /(1-q). (10)
Kasutame seda valemit iteratsioonijada lõpetamise kriteeriumi tuletamiseks. Olgu võrrand x=ts(x) lahendatakse lihtsa iteratsiooniga ja vastus tuleb leida täpselt e, see on
|X - x (k+1) | ? e.
Võttes arvesse (10), leiame, et täpsus e saavutatakse, kui ebavõrdsus on rahuldatud
|x (k+1) -x (k) | ? (1-q)/q.(11)
Seega, et leida võrrandi juured x=ts(x) täpsusega lihtsa iteratsiooni meetodit kasutades tuleb iteratsioone jätkata seni, kuni viimaste naaberlähenduste erinevuse moodul jääb arvust suuremaks e(1-q)/q.
MÄRKUS 1: Konstantina q võetakse tavaliselt koguse ülemine hinnang
Geomeetriline tõlgendus
Vaatame funktsiooni graafikut. See tähendab, et võrrandi lahendus ja on lõikepunkt sirgega:
Pilt 1.
Ja järgmine iteratsioon on horisontaalse sirge ja sirge ristumiskoha x koordinaat.
Joonis 2.
Joonisel on selgelt näha konvergentsinõue. Mida lähemal on tuletis 0-le, seda kiiremini algoritm läheneb. Sõltuvalt lahendi lähedal oleva tuletise märgist saab lähendusi koostada erineval viisil. Kui, siis iga järgmine lähendus konstrueeritakse juure teisele küljele:
Joonis 3.
Järeldus
Arvutuste kvaliteedi parandamise probleem, kui ebakõla soovitud ja tegeliku vahel, on olemas ja eksisteerib ka tulevikus. Selle lahendusele aitab kaasa infotehnoloogia areng, mis seisneb nii infoprotsesside korraldamise meetodite täiustamises kui ka nende rakendamises spetsiifiliste vahendite – keskkondade ja programmeerimiskeelte – abil.
Töö tulemuseks võib lugeda loodud funktsionaalset mudelit võrrandi juurte leidmiseks lihtsa iteratsiooni, Newtoni, akordide ja pooljaotuse meetodite abil. See mudel on rakendatav deterministlikele probleemidele, s.t. mille eksperimentaalset arvutusviga võib tähelepanuta jätta. Loodud funktsionaalne mudel ja selle tarkvaraline juurutamine võib olla orgaaniline osa keerukamate probleemide lahendamisel.
Olles läbi viinud uurimistöö kursusetöö teemal "Arvulised meetodid. Mittelineaarsete võrrandite lahendamine", saavutasin sissejuhatuses püstitatud eesmärgid. Üksikasjalikult arutati juurte rafineerimise meetodeid. Iga definitsiooni ja teoreemi kohta toodi mitu näidet. Kõik teoreemid on tõestatud.
Erinevate allikate kasutamine võimaldas teemat põhjalikult uurida.
Akordi meetod (meetod, mida tuntakse ka kui Sekantne meetod ) üks mittelineaarsete võrrandite lahendamise meetoditest ja põhineb võrrandi ainsat juurt sisaldava intervalli järjestikusel kitsendamisel. Iteratiivne protsess viiakse läbi, kuni saavutatakse määratud täpsus.
Erinevalt pooljaotuse meetodist soovitab akordi meetod, et vaadeldava intervalli jagamine toimub mitte selle keskel, vaid akordi lõikepunktis abstsissteljega (X-telg). Tuleb märkida, et akordi all mõistetakse lõiku, mis on tõmmatud läbi vaadeldava funktsiooni punktide vaadeldava intervalli otstes. Vaadeldav meetod tagab juure kiirema leidmise kui poolitamise meetod, eeldusel, et on täpsustatud sama vaadeldav intervall.
Geomeetriliselt on kõõlumeetod samaväärne selle asendamisega kõvera kõõluga, mis läbib punkte ja (vt joonis 1.).
Joonis 1. Segmendi (akordi) konstrueerimine funktsiooniks.
Punkte A ja B läbiva sirge (kõla) võrrandil on järgmine kuju:
See võrrand on tüüpiline võrrand sirgjoone kirjeldamiseks Descartes'i koordinaatsüsteemis. Kõvera kalle määratakse piki ordinaati ja abstsissi, kasutades vastavalt nimetaja ja väärtusi.
Sirge ja abstsisstelje lõikepunkti jaoks kirjutatakse ülaltoodud võrrand ümber järgmisel kujul:
Uue intervallina iteratiivse protsessi läbimiseks valime ühe kahest või , mille lõpus funktsioon võtab erinevate märkide väärtused. Funktsiooni väärtuste vastandmärke segmendi otstes saab määrata mitmel viisil. Üks paljudest nendest meetoditest on funktsiooni väärtuste korrutamine segmendi otstes ja korrutise märgi määramine, võrreldes korrutamise tulemust nulliga:
või 
.
Iteratiivne juure täpsustamise protsess lõpeb, kui kahe järjestikuse läheduse tingimus muutub väiksemaks määratud täpsusest, st.
Joonis 2. Arvutusvea definitsiooni selgitus.
Tuleb märkida, et akordimeetodi konvergents on lineaarne, kuid kiirem kui poolitusmeetodi konvergents.
Algoritm mittelineaarvõrrandi juure leidmiseks akordimeetodil
1. Leidke esialgne määramatuse intervall, kasutades ühte juureeraldusmeetoditest. Zandke arvutusviga (väike positiivne arv) Ja esialgne iteratsioonietapp () .
2. Leidke kõõlu ja abstsisstelje lõikepunkt:
3. On vaja leida funktsiooni väärtus punktides , ja . Järgmisena peate kontrollima kahte tingimust.
Kui tingimus on täidetud 
, siis asub soovitud juur vasakpoolses segmendis put, ;
Kui tingimus on täidetud 
, siis asub soovitud juur parema segmendi sees aktsepteeri , .
Selle tulemusena leitakse uus määramatuse intervall, millel asub võrrandi soovitud juur:
4. Kontrollime võrrandi juure ligikaudset väärtust määratud täpsusega järgmistel juhtudel:
Kui kahe järjestikuse lähenduse erinevus on määratud täpsusest väiksem, siis iteratiivne protsess lõpeb. Juure ligikaudne väärtus määratakse järgmise valemiga:
Kui kahe järjestikuse lähenduse erinevus ei saavuta nõutavat täpsust, siis tuleb jätkata iteratiivset protsessi ja minna vaadeldava algoritmi 2. sammu juurde.
Näide võrrandite lahendamisest akordimeetodil
Näiteks kaaluge mittelineaarse võrrandi lahendamist akordimeetodi abil. Juur tuleb leida vaadeldavast vahemikust täpsusega .
Tarkvarapaketis mittelineaarse võrrandi lahendamise võimalusMathCAD.
Arvutustulemused, nimelt juure ligikaudse väärtuse muutuste dünaamika, samuti arvutusvead sõltuvalt iteratsioonietapist, on esitatud graafiliselt (vt joonis 1).
Joonis 1. Arvutustulemused akordimeetodil
Määratud täpsuse tagamiseks vahemikus võrrandi otsimisel on vaja sooritada 6 iteratsiooni. Viimases iteratsioonietapis määratakse mittelineaarse võrrandi juure ligikaudne väärtus väärtusega: .
Märge:
Selle meetodi modifikatsioon on vale positsiooni meetod(False Position Method), mis erineb sekantmeetodist ainult selle poolest, et iga kord ei võeta 2 viimast punkti, vaid neid punkte, mis asuvad juure ümber.
Tuleb märkida, et kui mittelineaarsest funktsioonist saab võtta teise tuletise, saab otsingualgoritmi lihtsustada. Oletame, et teine tuletis säilitab konstantse märgi ja vaatleme kahte juhtumit:
Juhtum nr 1:
Esimesest tingimusest selgub, et segmendi fikseeritud külg on külg a.
Juhtum nr 2:
Numbrilised meetodid 1
Mittelineaarsete võrrandite lahendamine 1
Probleemi avaldus 1
Juure lokaliseerimine 2
Juure täpsustamine 4
Juurte puhastamise meetodid 4
Pooljagamise meetod 4
Akordi meetod 5
Newtoni meetod (tangentmeetod) 6
Numbriline integreerimine 7
Probleemi avaldus 7
Ristküliku meetod 8
Trapetsi meetod 9
Parabooli meetod (Simpsoni valem) 10
Numbrilised meetodid
Praktikas ei ole enamikul juhtudel võimalik tekkinud matemaatilisele probleemile täpset lahendust leida. See juhtub seetõttu, et otsitavat lahendust ei väljendata tavaliselt elementaarsetes või muudes teadaolevates funktsioonides. Seetõttu on numbrilised meetodid omandanud suure tähtsuse.
Numbrilised meetodid tähendavad aritmeetikale taandatud ülesannete lahendamise meetodeid ja mõningaid arvude loogilisi tehteid. Sõltuvalt ülesande keerukusest, määratud täpsusest ja kasutatavast meetodist võib vaja minna tohutul hulgal toiminguid ja siin ei saa te ilma kiire arvutita hakkama.
Arvmeetodil saadud lahendus on tavaliselt ligikaudne, see tähendab, et see sisaldab mõnda viga. Probleemi ligikaudse lahenduse veaallikad on järgmised:
lahendusmeetodi viga;
ümardamisvead tehtetes numbritega.
Meetodi viga on põhjustatud sest numbriline meetod lahendab tavaliselt teise, lihtsama ülesande, mis lähendab (lähendab) algset ülesannet. Mõnel juhul on numbriline meetod lõputu protsess, mis limiidis viib soovitud lahenduseni. Mingil etapil katkestatud protsess annab ligikaudse lahenduse.
Ümardamise viga oleneb ülesande lahendamise käigus sooritatud aritmeetiliste tehete arvust. Sama ülesande lahendamiseks saab kasutada erinevaid numbrilisi meetodeid. Tundlikkus ümardamisvigade suhtes sõltub oluliselt valitud meetodist.
Mittelineaarsete võrrandite lahendamine Ülesande püstitus
Mittelineaarsete võrrandite lahendamine ühe tundmatuga on üks olulisi matemaatilisi probleeme, mis kerkivad esile erinevates füüsika, keemia, bioloogia ning teistes teaduse ja tehnoloogia valdkondades.
Üldiselt saab ühe tundmatuga mittelineaarse võrrandi kirjutada:
f(x) = 0 ,
Kus f(x) – argumendi mingi pidev funktsioon x.
Suvaline number x 0 , mille juures f(x 0 ) ≡ 0, nimetatakse võrrandi juureks f(x) = 0.
Mittelineaarsete võrrandite lahendamise meetodid jagunevad otse(analüütiline, täpne) ja iteratiivne. Otsesed meetodid võimaldavad kirjutada lahenduse teatud seose (valemi) kujul. Sel juhul saab juurte väärtused arvutada selle valemi abil piiratud arvu aritmeetiliste tehtetega. Sarnased meetodid on välja töötatud trigonomeetriliste, logaritmiliste, eksponentsiaalvõrrandite ja ka lihtsate algebraliste võrrandite lahendamiseks.
Siiski ei saa enamikku praktikas esinevatest mittelineaarsetest võrranditest otseste meetoditega lahendada. Isegi neljandast astmest kõrgema algebralise võrrandi korral ei ole võimalik saada analüütilist lahendust lõpliku arvu aritmeetiliste tehtetega valemi kujul. Kõigil sellistel juhtudel on vaja pöörduda numbriliste meetodite poole, mis võimaldavad saada juurte ligikaudseid väärtusi mis tahes täpsusega.
Numbrilise lähenemise korral on mittelineaarsete võrrandite lahendamise probleem jagatud kaheks etapiks: lokaliseerimine juurte (eraldamine), s.o. selliste segmentide leidmine teljel x, mille sees on üks juur ja juurte selgitamine, st. juurte ligikaudsete väärtuste arvutamine etteantud täpsusega.
Juurte lokaliseerimine
Võrrandi juurte eraldamiseks f(x) = 0 on vajalik kriteerium, mis võimaldab kontrollida, et esiteks vaadeldaval lõigul [ a,b] on juur, ja teiseks, et see juur on näidatud segmendil ainus.
Kui funktsioon f(x) on pidev intervallil [ a,b] ja segmendi otstes on selle väärtustel erinevad märgid, st.
f(a) f(b) < 0 ,
siis on sellel segmendil vähemalt üks juur.
Joon 1. Juurte eraldamine. Funktsioon f(x) ei ole intervalli suhtes monotoonne [ a,b].
See tingimus, nagu on näha jooniselt (1), ei taga juure ainulaadsust. Piisav lisatingimus, mis tagab segmendi juure ainulaadsuse [ a,b] on nõue, et funktsioon oleks sellel intervallil monotoonne. Funktsiooni monotoonsuse märgina saame kasutada esimese tuletise märgi püsivuse tingimust f′( x) .
Seega, kui intervallil [ a,b] funktsioon on pidev ja monotoonne ning selle väärtustel lõigu otstes on erinevad märgid, siis on vaadeldaval segmendil üks ja ainult üks juur.
Seda kriteeriumi kasutades saate juured eraldada analüütiline funktsiooni monotoonsuse intervallide leidmine.
Saab teha juurte eraldamise graafiliselt, kui on võimalik koostada funktsiooni graafik y=f(x) . Näiteks funktsiooni graafik joonisel (1) näitab, et selle intervalli funktsiooni saab jagada kolmeks monotoonsusintervalliks ja sellel intervallil on sellel kolm juurt.
Võib teha ka juurte eraldamise tabelikujuline tee. Oletame, et kõik meid huvitavad võrrandi (2.1) juured asuvad intervallil [ A, B]. Selle segmendi (juurotsingu intervalli) valiku saab teha näiteks konkreetse füüsilise või muu probleemi analüüsi põhjal.
Riis. 2. Tabelikujuline juurte lokaliseerimise meetod.
Arvutame väärtused f(x) alustades punktist x=A, liikudes mõne sammuga paremale h(joonis 2). Niipea, kui tuvastatakse külgnevate väärtuste paar f(x), millel on erinevad märgid, seega argumendi vastavad väärtused x võib pidada juurt sisaldava segmendi piirideks.
Tabelimeetodi usaldusväärsus võrrandite juurte eraldamiseks sõltub nii funktsiooni olemusest f(x) ja valitud sammu suurusel h. Tõepoolest, kui piisavalt väikese väärtuse eest h(h<<|B−A|) praeguse lõigu piiridel [ x, x+h] funktsiooni f(x) võtab sama märgi väärtused, siis on loomulik eeldada, et võrrand f(x) = 0 sellel lõigul pole juuri. Kuid see ei ole alati nii: kui funktsiooni monotoonsuse tingimus ei ole täidetud f(x) segmendil [ x, x+h] võib osutuda võrrandi juurteks (joonis 3a).
Joonis 3a Joonis 3b
Segmendil on ka mitu juurt [ x, x+h] võib ilmuda ka juhul, kui tingimus on täidetud f(x) f(x+ h) < 0 (joonis 3b). Selliseid olukordi ennetades tuleks valida üsna väikesed väärtused h.
Sel viisil juured eraldades saame sisuliselt nende ligikaudsed väärtused kuni valitud sammuni. Näiteks kui võtame juure ligikaudseks väärtuseks lokaliseerimissegmendi keskosa, siis selle väärtuse absoluutviga ei ületa poolt otsingu sammust ( h/2). Vähendades sammu iga juure läheduses, on põhimõtteliselt võimalik tõsta juurte eraldamise täpsust mis tahes etteantud väärtuseni. See meetod nõuab aga palju arvutusi. Seetõttu numbriliste katsete läbiviimisel ülesande parameetrite varieerimisega, kui on vaja korduvalt juuri otsida, ei sobi selline meetod juurte täpsustamiseks ja seda kasutatakse ainult juurte eraldamiseks (lokaliseerimiseks), s.t. nende esialgsete lähenduste määramine. Juurte viimistlemisel kasutatakse muid, säästlikumaid meetodeid.
Iteratsioonimeetod
Lihtne iteratsioonimeetod võrrandi jaoks f(x) = 0 on järgmine:
1) Algvõrrand teisendatakse iteratsioonide jaoks sobivasse vormi:
x = φ (X). (2.2)
2) Valige esialgne lähendus X 0 ja arvutada järgnevad lähendused iteratiivse valemi abil
x k = φ
(x k -1), k =1,2, ... (2.3)
Kui iteratsioonijada piirang on olemas, on see võrrandi juur f(x) = 0, st. f(ξ ) =0.
y = φ (X)
a x 0 x 1 x 2 ξ b
Riis. 2. Konvergentne iteratsiooniprotsess
Joonisel fig. Joonisel 2 on näidatud iteratsioonimeetodi abil järgmise lähenduse saamise protsess. Lähenduste jada läheneb juurele ξ .
Teoreetilise aluse iteratsioonimeetodi rakendamiseks annab järgnev teoreem.
Teoreem 2.3. Olgu täidetud järgmised tingimused:
1) võrrandi juur X= φ(x) kuulub segmenti [ A, b];
2) kõik funktsiooni väärtused φ (X) kuuluvad segmenti [ A, b],T. e. A ≤ φ (X)≤b;
3) on selline positiivne arv q< 1, mis on tuletis φ "(x) lõigu kõigis punktides [ A, b] rahuldab ebavõrdsust | φ "(x) | ≤ q.
1) iteratsioonijada x n= φ (x p- 1)(n = 1, 2, 3, ...) koondub mis tahes jaoks x 0 Î [ A, b];
2) iteratsioonijada piiriks on võrrandi juur
x = φ(x), st kui x k= ξ, siis ξ= φ (ξ);
3) iteratsioonijada konvergentsi kiirust iseloomustav ebavõrdsus on tõene
| ξ -x k | ≤ (b-a)×q k .(2.4)
Ilmselgelt seab see teoreem üsna ranged tingimused, mida tuleb enne iteratsioonimeetodi rakendamist kontrollida. Kui funktsiooni tuletis φ (x) on absoluutväärtuses suurem kui üks, siis iteratsiooniprotsess lahkneb (joonis 3).
y = φ
(x) y = x
 |
Riis. 3. Divergentne iteratsiooniprotsess
Iteratiivsete meetodite lähenemise tingimuseks on ebavõrdsus
|x k - x k - 1 | ≤ ε . (2.5)
Akordi meetod on kõvera asendamine juures = f(x) lõik, mis läbib punkte ( A, f(a)) Ja ( b, f(b)) riis. 4). Sirge ja telje lõikepunkti abstsiss Oh võetakse järgmise lähenemisviisina.
Akordimeetodi arvutusvalemi saamiseks kirjutame punkte läbiva sirge võrrandi ( a, f(a)) Ja ( b, f(b)) ja võrdsustamine juures nulli, leiame X:
Þ 
Akordi meetodi algoritm :
1) lase k = 0;
2) arvutage järgmine iteratsiooniarv: k = k + 1.
Leiame järgmise k-e ligikaudne väärtus, kasutades valemit:
x k= a- f(a)(b - a)/(f(b) - f(a)).
Arvutame f(x k);
3) kui f(x k)= 0 (juur leitakse), seejärel minge 5. sammu juurde.
Kui f(x k) × f(b)>0, siis b= x k, muidu a = x k;
4) kui |x k – x k -1 | > ε , seejärel minge 2. sammu juurde;
5) kuvab juure väärtuse x k ;
Kommenteeri. Kolmanda lõigu toimingud on sarnased pooleks jagamise meetodi toimingutega. Akordmeetodil saab aga igal sammul segmendi sama otsa (paremale või vasakule) nihutada, kui juure läheduses olev funktsiooni graafik on ülespoole kumer (joonis 4, A) või nõgusalt allapoole (joonis 4, b).Seetõttu kasutatakse lähenemiskriteeriumis naaberlähenduste erinevust.
Riis. 4. Akordi meetod
4. Newtoni meetod(puutujad)
Olgu leitud võrrandi juure ligikaudne väärtus f(x)= 0 ja tähistage seda x n.Arvutusvalem Newtoni meetod järgmise lähenemisviisi kindlaksmääramiseks x n+1 saab kahel viisil.
Esimene meetod väljendab geomeetrilist tähendust Newtoni meetod ja seisneb selles, et funktsiooni graafiku lõikepunkti asemel juures= f(x) teljega Oh otsides lõikepunkti teljega Oh Funktsiooni graafikule joonistatud puutuja punktis ( x n,f(x n)), nagu on näidatud joonisel fig. 5. Puutuja võrrandil on vorm y - f(x n)= f"(x n)(x- x n).
Riis. 5. Newtoni meetod (tangensid)
Puutuja ja telje lõikepunktis Oh muutuv juures= 0. Võrdsus juures nulli, väljendame X ja saame valemi puutuja meetod :
(2.6)
Teine meetod: laiendage funktsiooni f(x) Taylori seeriasse punkti läheduses x = x n:
Piirdugem lineaarsete terminitega seoses ( X- x n), määrake nulliks f(x) ja väljendades saadud võrrandist tundmatut X, tähistades seda x n+1 saame valemi (2.6).
Esitagem piisavad tingimused Newtoni meetodi konvergentsi jaoks.
Teoreem 2.4. Laske segmendil [ A, b]tingimused on täidetud:
1) funktsioon f(x) ja selle tuletised f"(X) Ja f ""(x)pidev;
2) tuletised f"(x) ja f""(x) erinevad nullist ja säilitavad teatud konstantsed märgid;
3) f(a)× f(b) <
0 (funktsioon f(x)muudab lõigul märki).
Siis on segment [ α
, β
], mis sisaldab võrrandi soovitud juurt f(x) =
0, mille juures iteratsioonijada (2.6) koondub. Kui nulli lähendusena X 0 vali see piiripunkt [ α
, β
], milles funktsiooni märk langeb kokku teise tuletise märgiga,
need. f(x 0)× f"(x 0)>0, siis iteratsioonijada koondub monotoonselt
Kommenteeri. Pange tähele, et akordimeetod pärineb vastupidisest suunast ja mõlemad meetodid võivad üksteist täiendada. Võimalik ka kombineerimine akord-tangent meetod.
5. Sekantne meetod
Sekantmeetodi saab Newtoni meetodist, asendades tuletise ligikaudse avaldisega - erinevuse valemiga:
, 
,
. (2.7)
Valem (2.7) kasutab kahte eelmist lähendust x n Ja x n - 1. Seega antud esialgse lähenduse korral X 0 on vaja arvutada järgmine lähendus x 1 , näiteks Newtoni meetodil tuletise ligikaudse asendamisega vastavalt valemile
, 
Sekantse meetodi algoritm:
1) algväärtus on määratud X 0 ja viga ε . Arvutame
;
2) eest n = 1, 2, ... tingimusel on täidetud | x n – x n -1 | > ε , arvutama x n+ 1 vastavalt valemile (2.7).