Overvej et udtryk på formen ax 2 + bx + c, hvor a, b, c er reelle tal, og a er forskellig fra nul. Dette matematiske udtryk er kendt som det kvadratiske trinomium.
Husk på, at akse 2 er det ledende led i dette kvadratiske trinomium, og a er dets ledende koefficient.
Men et kvadratisk trinomium har ikke altid alle tre led. Lad os for eksempel tage udtrykket 3x 2 + 2x, hvor a=3, b=2, c=0.
Lad os gå videre til den kvadratiske funktion y=ax 2 +in+c, hvor a, b, c er alle vilkårlige tal. Denne funktion er kvadratisk, fordi den indeholder et led af anden grad, det vil sige x i anden.
Det er ret nemt at konstruere en graf af en kvadratisk funktion, for eksempel kan du bruge metoden til at isolere et perfekt kvadrat.
Lad os overveje et eksempel på at konstruere en graf af funktionen y er lig med -3x 2 - 6x + 1.
For at gøre dette er det første, vi husker, skemaet til isolering af et komplet kvadrat i trinomialet -3x 2 - 6x + 1.
Lad os tage -3 ud af parenteser for de første to led. Vi har -3 gange summen x i anden potens plus 2x og adderer 1. Ved at addere og trække en i parentes får vi sumkvadratformlen, som kan kollapses. Vi får -3 ganget med summen (x+1) i anden kvadrat minus 1 add 1. Åbner vi parenteserne og lægger lignende led sammen, får vi udtrykket: -3 ganget med kvadratet af summen (x+1) add 4.
Lad os bygge en graf over den resulterende funktion ved at flytte til et hjælpekoordinatsystem med origo i punktet med koordinaterne (-1; 4).
På figuren fra videoen er dette system angivet med stiplede linjer. Lad os knytte funktionen y er lig med -3x2 til det konstruerede koordinatsystem. Lad os for nemheds skyld tage kontrolpunkter. For eksempel (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). Samtidig vil vi lægge dem til side i det konstruerede koordinatsystem. Parablen opnået under konstruktionen er den graf vi skal bruge. På billedet er det en rød parabel.
Ved at bruge metoden til at isolere et komplet kvadrat, har vi en kvadratisk funktion af formen: y = a*(x+1) 2 + m.
Grafen for parablen y = ax 2 + bx + c kan let fås fra parablen y = ax 2 ved parallel translation. Dette bekræftes af en sætning, der kan bevises ved at isolere det perfekte kvadrat af binomialet. Udtrykket ax 2 + bx + c efter successive transformationer bliver til et udtryk på formen: a*(x+l) 2 + m. Lad os tegne en graf. Lad os udføre en parallel bevægelse af parablen y = akse 2, og justere toppunktet med punktet med koordinaterne (-l; m). Det vigtige er, at x = -l, hvilket betyder -b/2a. Det betyder, at denne rette linje er aksen for parablen akse 2 + bx + c, dens toppunkt er i punktet med abscissen x nul er lig med minus b divideret med 2a, og ordinaten beregnes ved hjælp af den besværlige formel 4ac - b 2 /. Men du behøver ikke at huske denne formel. Da vi ved at erstatte abscisseværdien i funktionen får ordinaten.
For at bestemme aksens ligning, retningen af dens grene og koordinaterne for parablens toppunkt, overveje følgende eksempel.
Lad os tage funktionen y = -3x 2 - 6x + 1. Efter at have sammensat ligningen for parablens akse, har vi, at x = -1. Og denne værdi er x-koordinaten for parablens toppunkt. Tilbage er kun at finde ordinaten. Hvis værdien -1 indsættes i funktionen, får vi 4. Parablens toppunkt er i punktet (-1; 4).
Grafen for funktionen y = -3x 2 - 6x + 1 blev opnået ved paralleloverførsel af grafen for funktionen y = -3x 2, hvilket betyder, at den opfører sig ens. Den førende koefficient er negativ, så grenene er rettet nedad.
Vi ser, at for enhver funktion af formen y = ax 2 + bx + c, er det nemmeste spørgsmål det sidste spørgsmål, det vil sige retningen af parablens grene. Hvis koefficienten a er positiv, er grenene opadgående, og hvis de er negative, er grenene nedadgående.
Det næstsværeste spørgsmål er det første spørgsmål, fordi det kræver yderligere beregninger.
Og den anden er den sværeste, da du ud over beregninger også har brug for viden om formlerne, hvor x er nul og y er nul.
Lad os bygge en graf over funktionen y = 2x 2 - x + 1.
Vi bestemmer med det samme, at grafen er en parabel, grenene er rettet opad, da den førende koefficient er 2, og dette er et positivt tal. Ved hjælp af formlen finder vi abscissen x er nul, den er lig med 1,5. For at finde ordinaten skal du huske, at y nul er lig med en funktion på 1,5, når vi regner, får vi -3,5.
Top - (1,5;-3,5). Akse - x=1,5. Lad os tage punkterne x=0 og x=3. y=1. Lad os markere disse punkter. Ud fra tre kendte punkter konstruerer vi den ønskede graf.
For at plotte en graf af funktionen ax 2 + bx + c skal du bruge:
Find koordinaterne for parablens toppunkt og marker dem på figuren, tegn derefter parablens akse;
På oh-aksen skal du tage to punkter, der er symmetriske i forhold til parablens akse, finde værdien af funktionen i disse punkter og markere dem på koordinatplanet;
Konstruer en parabel gennem tre punkter, hvis det er nødvendigt, kan du tage et par punkter mere og konstruere en graf ud fra dem.
I det følgende eksempel lærer vi, hvordan man finder de største og mindste værdier af funktionen -2x 2 + 8x - 5 på segmentet.
Ifølge algoritmen: a=-2, b=8, hvilket betyder, at x nul er 2, og y nul er 3, (2;3) er parablens toppunkt, og x=2 er aksen.
Lad os tage værdierne x=0 og x=4 og finde ordinaterne for disse punkter. Det er -5. Vi bygger en parabel og bestemmer, at den mindste værdi af funktionen er -5 ved x=0, og den største er 3 ved x=2.
En lektion om emnet "Funktion y=ax^2, dens graf og egenskaber" studeres i 9. klasses algebrakursus i lektionssystemet om emnet "Funktioner". Denne lektion kræver omhyggelig forberedelse. Nemlig sådanne metoder og midler til undervisning, der vil give virkelig gode resultater.
Forfatteren af denne videolektion sørgede for at hjælpe lærere med at forberede sig til lektioner om dette emne. Han udviklede en videotutorial, der tog højde for alle kravene. Materialet udvælges efter elevernes alder. Den er ikke overbelastet, men ret rummelig. Forfatteren forklarer materialet i detaljer med fokus på vigtigere punkter. Hvert teoretisk punkt er ledsaget af et eksempel, så opfattelsen af undervisningsmaterialet er meget mere effektiv og af bedre kvalitet.
Lektionen kan bruges af en lærer i en almindelig algebratime i 9. klasse som et bestemt trin i timen - en forklaring på nyt stof. Læreren skal ikke sige eller fortælle noget i denne periode. Det eneste, han skal gøre, er at tænde for denne videolektion og sørge for, at eleverne lytter omhyggeligt og noterer vigtige punkter.
Lektionen kan også bruges af skolebørn, når de selvstændigt forbereder sig til en lektion, samt til selvuddannelse.
Lektionens varighed er 8:17 minutter. I begyndelsen af lektionen bemærker forfatteren, at en af de vigtige funktioner er den kvadratiske funktion. Derefter introduceres den kvadratiske funktion fra et matematisk synspunkt. Dens definition er givet med forklaringer.
Dernæst introducerer forfatteren eleverne til definitionsdomænet for en kvadratisk funktion. Den korrekte matematiske notation vises på skærmen. Herefter betragter forfatteren et eksempel på en kvadratisk funktion i en virkelig situation: der tages udgangspunkt i et fysisk problem, som viser, hvordan stien afhænger af tid under ensartet accelereret bevægelse.
Herefter overvejer forfatteren funktionen y=3x^2. En tabel med værdier for denne funktion og funktionen y=x^2 vises på skærmen. I henhold til dataene i disse tabeller er funktionsgrafer konstrueret. Her vises en forklaring i rammen af, hvordan grafen for funktionen y=3x^2 er opnået ud fra y=x^2.
Efter at have overvejet to specielle tilfælde, eksempler på funktionen y=ax^2, kommer forfatteren til reglen om, hvordan grafen for denne funktion opnås fra grafen y=x^2.
Dernæst betragter vi funktionen y=ax^2, hvor a<0. И, подобно тому, как строились графики функций до этого, автор предлагает построить график функции y=-1/3 x^2. При этом он строит таблицу значений, строит графики функций y=-1/3 x^2 и, замечая при этом закономерность расположения графиков между собой.
Så udledes konsekvenser af ejendommene. Der er fire af dem. Blandt dem dukker et nyt koncept op - hjørnerne af en parabel. Det følgende er en bemærkning, der angiver, hvilke transformationer der er mulige for grafen for denne funktion. Herefter taler vi om, hvordan grafen for funktionen y=-f(x) fås ud fra grafen for funktionen y=f(x), samt y=af(x) fra y=f(x) .
Dette afslutter lektionen med undervisningsmaterialet. Det er tilbage at konsolidere det ved at vælge passende opgaver afhængigt af elevernes evner.
Som praksis viser, forårsager opgaver på egenskaberne og graferne for en kvadratisk funktion alvorlige vanskeligheder. Det er ret mærkeligt, for de studerer den andengradsfunktion i 8. klasse, og så i hele første kvartal af 9. klasse "piner" de parablens egenskaber og bygger dens grafer for forskellige parametre.
Dette skyldes det faktum, at når de tvinger elever til at konstruere parabler, bruger de praktisk talt ikke tid på at "læse" graferne, det vil sige, at de ikke øver sig i at forstå informationen modtaget fra billedet. Det antages tilsyneladende, at efter at have konstrueret et dusin eller to grafer, vil en klog elev selv opdage og formulere sammenhængen mellem koefficienterne i formlen og grafens udseende. I praksis virker dette ikke. For en sådan generalisering kræves seriøs erfaring med matematisk miniforskning, som de fleste niendeklasser naturligvis ikke besidder. I mellemtiden foreslår statens tilsyn at bestemme tegnene på koefficienterne ved hjælp af tidsplanen.
Vi vil ikke kræve det umulige fra skolebørn og vil blot tilbyde en af algoritmerne til at løse sådanne problemer.
Altså en funktion af formen y = ax 2 + bx + c kaldet kvadratisk, dens graf er en parabel. Som navnet antyder, er hovedbegrebet økse 2. Det er EN bør ikke være lig med nul, de resterende koefficienter ( b Og Med) kan være lig med nul.
Lad os se, hvordan tegnene på dens koefficienter påvirker udseendet af en parabel.
Den enkleste afhængighed for koefficienten EN. De fleste skolebørn svarer selvsikkert: "hvis EN> 0, så er parablens grene rettet opad, og hvis EN < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой EN > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
I dette tilfælde EN = 0,5
Og nu for EN < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
I dette tilfælde EN = - 0,5
Effekten af koefficienten Med Det er også ret nemt at følge. Lad os forestille os, at vi ønsker at finde værdien af en funktion i et punkt x= 0. Erstat nul i formlen:
y = -en 0 2 + b 0 + c = c. Det viser sig at y = c. Det er Med er ordinaten for skæringspunktet mellem parablen og y-aksen. Typisk er dette punkt let at finde på grafen. Og afgør, om den ligger over nul eller under. Det er Med> 0 eller Med < 0.
Med > 0:
y = x 2 + 4x + 3
Med < 0
y = x 2 + 4x - 3
Følgelig, hvis Med= 0, så vil parablen nødvendigvis passere gennem oprindelsen:
y = x 2 + 4x
Sværere med parameteren b. Det tidspunkt, hvor vi finder det, afhænger ikke kun af b men også fra EN. Dette er toppen af parablen. Dens abscisse (aksekoordinat x) findes ved formlen x in = - b/(2a). Dermed, b = - 2ax in. Det vil sige, vi fortsætter som følger: vi finder toppunktet for parablen på grafen, bestemmer tegnet for dens abscisse, det vil sige, vi ser til højre for nul ( x i> 0) eller til venstre ( x i < 0) она лежит.
Det er dog ikke alt. Vi skal også være opmærksomme på koefficientens tegn EN. Det vil sige, se på, hvor grenene af parablen er rettet. Og først efter det, ifølge formlen b = - 2ax in bestemme tegnet b.
Lad os se på et eksempel:
Grenene er rettet opad, hvilket betyder EN> 0, skærer parablen aksen på under nul, dvs Med < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x i> 0. Altså b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: EN > 0, b < 0, Med < 0.
Præsentationen "Funktion y=akse 2, dens graf og egenskaber" er et visuelt hjælpemiddel, der blev skabt til at ledsage lærerens forklaring om dette emne. Denne præsentation diskuterer i detaljer den kvadratiske funktion, dens egenskaber, træk ved plotning og den praktiske anvendelse af metoderne, der bruges til at løse problemer i fysik.
Ved at give en høj grad af klarhed vil dette materiale hjælpe læreren med at øge effektiviteten af undervisningen og give mulighed for mere rationelt at fordele tiden i lektionen. Ved hjælp af animationseffekter, fremhævelse af begreber og vigtige punkter i farver, fokuseres elevernes opmærksomhed på det emne, der studeres, og der opnås bedre udenadshukommelse af definitioner og ræsonnementets forløb ved problemløsning.
Præsentationen indledes med en introduktion til præsentationens titel og begrebet en andengradsfunktion. Vigtigheden af dette emne understreges. Eleverne bliver bedt om at huske definitionen af en kvadratisk funktion som en funktionel afhængighed af formen y=ax 2 +bx+c, hvori er en uafhængig variabel, og er tal, med a≠0. Separat er det på slide 4 bemærket for at huske, at definitionsdomænet for denne funktion er hele aksen af reelle værdier. Konventionelt er denne sætning betegnet med D(x)=R.
Et eksempel på en kvadratisk funktion er dens vigtige anvendelse i fysik - formlen for afhængigheden af stien under ensartet accelereret bevægelse til tiden. Samtidig studerer eleverne i fysiktimer formler for forskellige typer bevægelse, så de får brug for evnen til at løse sådanne problemer. På slide 5 bliver eleverne mindet om, at når et legeme bevæger sig med acceleration og i begyndelsen af tiden tæller den tilbagelagte distance og bevægelseshastigheden er kendt, så vil den funktionelle afhængighed, der repræsenterer en sådan bevægelse, blive udtrykt ved formlen S = (kl. 2)/2+v0t+S0. Nedenfor er et eksempel på at omdanne denne formel til en given kvadratisk funktion, hvis værdierne for acceleration = 8, starthastighed = 3 og initial vej = 18. I dette tilfælde vil funktionen have formen S=4t 2 +3t+18.
Slide 6 undersøger formen af den kvadratiske funktion y=ax 2, hvor den er repræsenteret ved. Hvis =1, så har den kvadratiske funktion formen y=x 2. Det bemærkes, at grafen for denne funktion vil være en parabel.
Den næste del af præsentationen er afsat til at plotte en kvadratisk funktion. Det foreslås at overveje at plotte funktionen y=3x 2 . Først angiver tabellen overensstemmelsen mellem funktionsværdierne og argumentværdierne. Det bemærkes, at forskellen mellem den konstruerede graf for funktionen y=3x 2 og grafen for funktionen y=x 2 er, at hver værdi vil være tre gange større end den tilsvarende. Denne forskel spores godt i tabelvisningen. I nærheden, i den grafiske fremstilling, er forskellen i indsnævringen af parablen også tydeligt synlig.
Det næste dias ser på at plotte den kvadratiske funktion y=1/3 x 2. For at konstruere en graf skal du i tabellen angive værdierne af funktionen ved en række af dens punkter. Det bemærkes, at hver værdi af funktionen y=1/3 x 2 er 3 gange mindre end den tilsvarende værdi af funktionen y=x 2. Denne forskel, udover tabellen, er tydeligt synlig i grafen. Dens parabel er mere udvidet i forhold til ordinataksen end parablen af funktionen y=x 2.
Eksempler hjælper med at forstå den generelle regel, hvorefter man så lettere og hurtigere kan konstruere de tilsvarende grafer. På slide 9 fremhæves en separat regel om, at grafen for den kvadratiske funktion y=ax 2 kan konstrueres afhængigt af værdien af koefficienten ved at strække eller indsnævre grafen. Hvis a>1, strækker grafen sig fra x-aksen med en faktor. Hvis 0 Konklusionen om symmetrien af graferne for funktionerne y=ax 2 og y=-ax2 (ved ≠0) i forhold til abscisseaksen er særskilt fremhævet på slide 12 til hukommelse og er tydeligt vist på den tilsvarende graf. Dernæst udvides begrebet grafen for en kvadratisk funktion y=x 2 til det mere generelle tilfælde af funktionen y=ax 2, idet det anføres, at en sådan graf også vil blive kaldt en parabel. Slide 14 diskuterer egenskaberne for den kvadratiske funktion y=ax 2, når den er positiv. Det bemærkes, at dens graf går gennem oprindelsen, og alle punkter undtagen ligger i det øverste halvplan. Symmetrien af grafen i forhold til ordinataksen er noteret, hvilket angiver, at modsatte værdier af argumentet svarer til de samme funktionsværdier. Det er angivet, at intervallet for fald for denne funktion er (-∞;0], og stigningen af funktionen udføres på intervallet. Værdierne for denne funktion dækker hele den positive del af den reelle akse, det er lig med nul i punktet og har ingen største værdi. Slide 15 beskriver egenskaberne for funktionen y=ax 2, hvis den er negativ. Det bemærkes, at dens graf også passerer gennem oprindelsen, men alle dens punkter, undtagen, ligger i det nederste halvplan. Grafen er symmetrisk om aksen, og modsatte værdier af argumentet svarer til ens værdier af funktionen. Funktionen øges på intervallet og falder på. Værdierne af denne funktion ligger i intervallet, det er lig med nul på et punkt og har ingen minimumsværdi. Ved at opsummere de betragtede karakteristika konkluderes det på slide 16, at grenene af parablen er rettet nedad mod og opad ved. Parablen er symmetrisk om aksen, og parablens toppunkt er placeret i det punkt, hvor den skærer aksen. Toppunktet af parablen y=ax 2 er oprindelsen. En vigtig konklusion om parabeltransformationer er også vist på slide 17. Den præsenterer muligheder for at transformere grafen for en kvadratisk funktion. Det bemærkes, at grafen for funktionen y=ax 2 transformeres ved symmetrisk at vise grafen i forhold til aksen. Det er også muligt at komprimere eller strække grafen i forhold til aksen. Det sidste slide drager generelle konklusioner om transformationer af grafen for en funktion. Konklusionerne præsenteres, at grafen for en funktion opnås ved en symmetrisk transformation om aksen. Og grafen for funktionen fås ved at komprimere eller strække den originale graf fra aksen. I dette tilfælde observeres trækudstrækning fra aksen i tilfælde af, hvornår. Ved at komprimere aksen med 1/a gange dannes grafen i sagen. Præsentationen "Funktion y=akse 2, dens graf og egenskaber" kan bruges af en lærer som et visuelt hjælpemiddel i en algebra-lektion. Denne manual dækker også emnet godt, hvilket giver en dybdegående forståelse af emnet, så den kan tilbydes til selvstændig undersøgelse af studerende. Dette materiale vil også hjælpe læreren med at give forklaringer under fjernundervisning.
