Sandsynligheden for en begivenhed. Betinget sandsynlighed

Sandsynlighedsteori er en matematisk videnskab, der studerer mønstrene for tilfældige begivenheder. Et probabilistisk eksperiment (test, observation) er et eksperiment, hvis resultat ikke kan forudsiges på forhånd. I dette eksperiment er ethvert resultat (resultat). begivenhed.

Begivenheden kan være pålidelig(opstår altid som et resultat af en test); umulig(opstår naturligvis ikke under testning); tilfældig(kan eller måske ikke ske under betingelserne for dette eksperiment).

En begivenhed, der ikke kan opdeles i enklere begivenheder, kaldes elementære. En begivenhed præsenteret som en kombination af flere elementære begivenheder kaldes kompleks(virksomheden led ikke tab - fortjeneste kan være positiv eller lig med nul).

To begivenheder, der ikke kan forekomme samtidigt (stigning i skatter - stigning i disponibel indkomst; stigning i investering - fald i risiko) kaldes uforenelig.

Med andre ord er to begivenheder uforenelige, hvis forekomsten af ​​den ene af dem udelukker forekomsten af ​​den anden. Ellers er de samling(stigning i salgsvolumen - stigning i overskud). Begivenhederne kaldes modsat, hvis en af ​​dem forekommer, hvis og kun hvis den anden ikke forekommer (produktet sælges - produktet sælges ikke).

Sandsynlighed for hændelse – Dette er et numerisk mål, der er indført for at sammenligne hændelser i henhold til graden af ​​mulighed for deres forekomst.

Klassisk definition af sandsynlighed. Sandsynlighed R(EN) begivenheder EN kaldes talforholdet m lige så mulige elementære begivenheder (udfald), der er gunstige for begivenhedens indtræden EN, til det samlede antal n alle mulige elementære resultater af dette eksperiment:

Følgende grundlæggende egenskaber for sandsynlighed følger af ovenstående:

1,0 £ R(EN) 1 kr.

2. Sandsynlighed for en bestemt hændelse EN er lig med 1: R(EN) = 1.

3. Sandsynligheden for en umulig hændelse A er 0: R(EN) = 0.

4. Hvis begivenheder EN Og I er altså uforenelige R(EN + I) = R(EN) + R(I); hvis begivenheder EN Og I er da fælles R(EN + I) = R(EN) + R(I) - R(EN . B).(R(EN . B) er sandsynligheden for fælles forekomst af disse begivenheder).

5. Hvis EN og modsatte begivenheder altså R() = 1 - R(EN).

Hvis sandsynligheden for, at en begivenhed indtræffer, ikke ændrer sandsynligheden for, at en anden indtræffer, kaldes sådanne begivenheder uafhængig.

Når man direkte beregner sandsynligheden for begivenheder karakteriseret ved et stort antal udfald, bør man bruge kombinatoriske formler. At studere en gruppe begivenheder (hypoteser)

formlerne for total sandsynlighed, Bayes og Bernoulli anvendes ( n uafhængige tests - gentagelse af eksperimenter).

På statistisk bestemmelse af sandsynlighed begivenheder EN under n refererer til det samlede antal test, der faktisk er udført, hvor begivenheden EN mødt præcis m enkelt gang. I dette tilfælde forholdet m/n kaldet relativ frekvens (frekvens) Wn(EN) begivenhedens forekomst EN V n udførte tests.


Ved bestemmelse af sandsynligheden ved metode til ekspertvurderinger under n refererer til antallet af eksperter (specialister inden for et givet område), der er interviewet vedrørende muligheden for, at en hændelse indtræffer EN. Hvori m hvoraf de hævder, at begivenheden EN vil ske.

Begrebet en tilfældig hændelse er ikke nok til at beskrive resultaterne af observationer af mængder, der har et numerisk udtryk. Når de for eksempel analyserer en virksomheds økonomiske resultat, er de primært interesserede i dens størrelse. Derfor er begrebet en tilfældig begivenhed suppleret med begrebet en tilfældig variabel.

Under tilfældig variabel(SV) forstås som en størrelse, der som følge af observation (testning) antager en af ​​et muligt sæt af dets værdier, ukendt på forhånd og afhængig af tilfældige omstændigheder. For hver elementær begivenhed har SV en enkelt betydning.

Der er diskrete og kontinuerlige SV'er. Til diskret SV sættet af dets mulige værdier er endeligt eller tælleligt, dvs. SV påtager sig individuelle isolerede værdier, der kan oplistes på forhånd med visse sandsynligheder. Til sammenhængende SV, sættet af dets mulige værdier er uendeligt og utalligt, for eksempel alle tal i et givet interval, dvs. mulige værdier for SV kan ikke oplistes på forhånd og udfylder løbende et vist hul.

Eksempler på tilfældige variable: x- dagligt antal kunder i supermarkedet (diskret SV); Y- antallet af børn født i løbet af dagen i et bestemt administrativt center (diskret SV); Z- koordinat for anslagspunktet for en artillerigranat (kontinuerlig NE).

Mange SV'er, der betragtes i økonomi, har et så stort antal mulige værdier, at det er mere bekvemt at repræsentere dem i form af kontinuerlige SV'er. Eksempelvis valutakurser, husstandsindkomst mv.

For at beskrive SV er det nødvendigt at etablere et forhold mellem alle mulige værdier af SV og deres sandsynligheder. Dette forhold vil blive kaldt lov om fordeling af SV. For en diskret SV kan den specificeres i tabelform, analytisk (i form af en formel) eller grafisk. For eksempel tabel for SV x

Alt i verden sker deterministisk eller tilfældigt...
Aristoteles

Sandsynlighed: Grundlæggende regler

Sandsynlighedsteori beregner sandsynligheden for forskellige begivenheder. Grundlæggende for sandsynlighedsteori er begrebet en tilfældig begivenhed.

For eksempel kaster du en mønt, den lander tilfældigt på et hoved eller en hale. Du ved ikke på forhånd, hvilken side mønten lander på. Du indgår en forsikringsaftale, og du ved ikke på forhånd, om der bliver betalt eller ej.

I aktuarberegninger skal du kunne estimere sandsynligheden for forskellige hændelser, så sandsynlighedsteori spiller en nøglerolle. Ingen anden gren af ​​matematikken kan beskæftige sig med sandsynligheden for begivenheder.

Lad os se nærmere på at kaste en mønt. Der er 2 gensidigt udelukkende udfald: våbenskjoldet falder ud eller halerne falder ud. Udfaldet af kastet er tilfældigt, da observatøren ikke kan analysere og tage højde for alle de faktorer, der påvirker resultatet. Hvad er sandsynligheden for, at våbenskjoldet falder ud? De fleste vil svare ½, men hvorfor?

Lad det være formelt EN angiver tab af våbenskjoldet. Lad mønten kaste n enkelt gang. Så sandsynligheden for hændelsen EN kan defineres som andelen af ​​de kast, der resulterer i et våbenskjold:

Hvor n det samlede antal kast, n(A) antal fald fra våbenskjoldet.

Relation (1) kaldes frekvens begivenheder EN i en lang række tests.

Det viser sig, at i forskellige serier af tests den tilsvarende frekvens generelt n klynger omkring en konstant værdi P(A). Denne mængde kaldes sandsynligheden for en begivenhed EN og er betegnet ved bogstavet R- forkortelse af det engelske ord sandsynlighed - sandsynlighed.

Formelt har vi:

(2)

Denne lov kaldes lov om store tal.

Hvis mønten er fair (symmetrisk), så er sandsynligheden for at få et våbenskjold lig med sandsynligheden for at få hoveder og lig med ½.

Lade EN Og I nogle hændelser, for eksempel om en forsikringsbegivenhed er indtruffet eller ej. Foreningen af ​​to arrangementer er en begivenhed, der består af gennemførelsen af ​​en begivenhed EN, begivenheder I, eller begge begivenheder sammen. Skæringspunktet mellem to begivenheder EN Og I kaldet en begivenhed, der består i gennemførelsen som en begivenhed EN og begivenheder I.

Grundlæggende regler Beregningen af ​​begivenhedssandsynligheder er som følger:

1. Sandsynligheden for enhver hændelse ligger mellem nul og én:

2. Lad A og B være to begivenheder, så:

Det lyder sådan her: sandsynligheden for at to begivenheder kombineres er lig med summen af ​​sandsynligheden for disse begivenheder minus sandsynligheden for, at begivenhederne skærer hinanden. Hvis begivenhederne er uforenelige eller ikke-overlappende, så er sandsynligheden for kombinationen (summen) af to begivenheder lig med summen af ​​sandsynligheden. Denne lov kaldes loven tilføjelse sandsynligheder.

Vi siger, at en begivenhed er pålidelig, hvis dens sandsynlighed er lig med 1. Når man analyserer visse fænomener, opstår spørgsmålet om, hvordan forekomsten af ​​en begivenhed påvirker I ved indtræden af ​​en begivenhed EN. For at gøre dette skal du indtaste betinget sandsynlighed :

(4)

Det lyder sådan her: sandsynlighed for forekomst EN givet det I er lig med sandsynligheden for kryds EN Og I, divideret med sandsynligheden for hændelsen I.
Formel (4) antager, at sandsynligheden for en begivenhed I Over nul.

Formel (4) kan også skrives som:

Dette er formlen multiplikation af sandsynligheder.

Betinget sandsynlighed kaldes også a posteriori sandsynligheden for en begivenhed EN- sandsynlighed for forekomst EN efter offensiven I.

I dette tilfælde kaldes selve sandsynligheden a priori sandsynlighed. Der er flere andre vigtige formler, der er intensivt brugt i aktuarmæssige beregninger.

Formel for total sandsynlighed

Lad os antage, at der udføres et eksperiment, hvis betingelser kan bestemmes på forhånd gensidigt gensidigt udelukkende antagelser (hypoteser):

Vi antager, at der enten er en hypotese, eller... eller. Sandsynligheden for disse hypoteser er kendte og lige store:

Så holder formlen fuld sandsynligheder :

(6)

Sandsynlighed for, at en begivenhed indtræffer EN lig med summen af ​​produkterne af sandsynligheden for forekomst EN for hver hypotese om sandsynligheden for denne hypotese.

Bayes formel

Bayes formel gør det muligt at genberegne sandsynligheden for hypoteser i lyset af ny information fra resultatet EN.

Bayes' formel er i en vis forstand det omvendte af totalsandsynlighedsformlen.

Overvej følgende praktiske problem.

Opgave 1

Antag, at der er et flystyrt, og eksperter har travlt med at undersøge årsagerne. 4 grunde til, at katastrofen opstod, er kendt på forhånd: enten årsagen, eller, eller, eller. Ifølge tilgængelige statistikker har disse årsager følgende sandsynligheder:



Ved undersøgelse af ulykkesstedet blev der fundet spor af brændstofantændelse; ifølge statistikker er sandsynligheden for denne hændelse af en eller anden grund som følger:




Spørgsmål: Hvad er den mest sandsynlige årsag til katastrofen?

Lad os beregne sandsynligheden for årsager under betingelserne for forekomsten af ​​en begivenhed EN.



Ud fra dette kan det ses, at den første årsag er den mest sandsynlige, da dens sandsynlighed er maksimal.

Opgave 2

Overvej et fly, der lander på en flyveplads.

Ved landing kan vejrforholdene være som følger: ingen lave skyer (), lave skyer til stede (). I det første tilfælde er sandsynligheden for en sikker landing P1. I det andet tilfælde - P2. Det er klart P1>P2.

Enheder, der giver blindlanding, har en sandsynlighed for problemfri drift R. Hvis der er lavt skydække, og blindlandingsinstrumenterne har svigtet, er sandsynligheden for en vellykket landing P3, og P3<Р2 . Det er kendt, at for en given flyveplads er andelen af ​​dage i et år med lave skyer lig med .

Find sandsynligheden for, at flyet lander sikkert.

Vi skal finde sandsynligheden.

Der er to gensidigt udelukkende muligheder: De blinde landingsanordninger virker, blinde landingsanordningerne har fejlet, så vi har:

Derfor, ifølge den samlede sandsynlighedsformel:

Opgave 3

Et forsikringsselskab yder livsforsikring. 10 % af de forsikrede af dette selskab er rygere. Hvis den forsikrede ikke ryger, er sandsynligheden for hans død i løbet af året 0,01. Hvis han er ryger, er denne sandsynlighed 0,05.

Hvor stor er andelen af ​​rygere blandt de forsikrede, der døde i løbet af året?

Mulige svar: (A) 5 %, (B) 20 %, (C) 36 %, (D) 56 %, (E) 90 %.

Løsning

Lad os indtaste begivenhederne:

Det betyder problemets tilstand

Desuden, da begivenhederne udgør en komplet gruppe af parvis uforenelige begivenheder, så .
Sandsynligheden vi er interesseret i er .

Ved at bruge Bayes' formel har vi:

derfor er den rigtige mulighed ( I).

Opgave 4

Forsikringsselskabet sælger livsforsikringskontrakter i tre kategorier: standard, foretrukket og ultra-privilegeret.

50 % af alle forsikrede er standard, 40 % foretrækkes, og 10 % er ultra-privilegerede.

Sandsynligheden for død inden for et år for en standardforsikret er 0,010, for en privilegeret - 0,005 og for en ultraprivilegeret - 0,001.

Hvad er sandsynligheden for, at den afdøde forsikrede er ultraprivilegeret?

Løsning

Lad os introducere følgende begivenheder i betragtning:

Med hensyn til disse begivenheder er sandsynligheden for, at vi er interesserede i . Efter betingelse:

Da begivenhederne, , danner en komplet gruppe af parvis inkompatible begivenheder, har vi ved hjælp af Bayes' formel:

Tilfældige variable og deres karakteristika

Lad det være en tilfældig variabel, for eksempel skader fra en brand eller størrelsen af ​​forsikringsudbetalinger.
En stokastisk variabel er fuldstændig karakteriseret ved sin fordelingsfunktion.

Definition. Fungere hedder distributionsfunktion tilfældig variabel ξ .

Definition. Hvis der er en funktion sådan, at for vilkårlig -en Færdig

så siger de, at den stokastiske variabel ξ Det har sandsynlighedstæthedsfunktion f(x).

Definition. Lad . Til en kontinuerlig distributionsfunktion F teoretisk α-kvantil kaldes løsningen til ligningen.

Denne løsning er måske ikke den eneste.

Kvantilniveau ½ kaldet teoretisk median , kvantilniveauer ¼ Og ¾ -nedre og øvre kvartil henholdsvis.

I aktuarmæssige anvendelser spiller en vigtig rolle Chebyshevs ulighed:

på enhver

Symbol på matematisk forventning.

Det lyder sådan her: sandsynligheden for, at modulet er større end eller lig med den matematiske forventning af modulet divideret med .

Levetid som en tilfældig variabel

Usikkerheden om dødsøjeblikket er en væsentlig risikofaktor i livsforsikringer.

Der kan ikke siges noget bestemt om et individs dødsøjeblik. Men hvis vi har at gøre med en stor homogen gruppe af mennesker og ikke er interesseret i skæbnen for individuelle mennesker fra denne gruppe, så er vi inden for rammerne af sandsynlighedsteori som videnskaben om massetilfældige fænomener, der har egenskaben frekvensstabilitet .

Henholdsvis, vi kan tale om forventet levetid som en tilfældig variabel T.

Overlevelsesfunktion

Sandsynlighedsteori beskriver den stokastiske karakter af enhver tilfældig variabel T distributionsfunktion F(x), der er defineret som sandsynligheden for, at den stokastiske variabel T mindre end antal x:

.

I aktuarmæssig matematik er det rart ikke at arbejde med fordelingsfunktionen, men med den ekstra fordelingsfunktion . Med hensyn til lang levetid er dette sandsynligheden for, at en person vil leve til alder x flere år.

hedder overlevelsesfunktion(overlevelsesfunktion):

Overlevelsesfunktionen har følgende egenskaber:

Livstabeller antager normalt, at der er nogle aldersgrænse (aldersbegrænsende) (normalt år) og følgelig kl x>.

Når dødeligheden beskrives ved analytiske love, antages det normalt, at levetiden er ubegrænset, men lovenes type og parametre er valgt således, at sandsynligheden for liv ud over en vis alder er ubetydelig.

Overlevelsesfunktionen har simpel statistisk betydning.

Lad os sige, at vi observerer en gruppe nyfødte (normalt), som vi observerer og kan registrere øjeblikke af deres død.

Lad os angive antallet af nulevende repræsentanter for denne gruppe i en alder med . Derefter:

.

Symbol E her og nedenfor bruges til at betegne matematisk forventning.

Så overlevelsesfunktionen er lig med den gennemsnitlige andel af dem, der overlever til alder fra en bestemt gruppe af nyfødte.

I aktuarmatematik arbejder man ofte ikke med overlevelsesfunktionen, men med den netop indførte værdi (fastsættelse af den oprindelige gruppestørrelse).

Overlevelsesfunktionen kan rekonstrueres ud fra tæthed:

Karakteristika for levetid

Fra et praktisk synspunkt er følgende egenskaber vigtige:

1 . Gennemsnit livstid

,
2 . Spredning livstid

,
Hvor
,

Sandsynlighed begivenhed er forholdet mellem antallet af elementære udfald, der er gunstige for en given begivenhed, og antallet af alle lige mulige udfald af oplevelsen, hvor denne begivenhed kan forekomme. Sandsynligheden for hændelse A betegnes med P(A) (her er P det første bogstav i det franske ord sandsynlighed - sandsynlighed). Ifølge definitionen
(1.2.1)
hvor er antallet af elementære udfald, der er gunstige for begivenhed A; - antallet af alle lige mulige elementære udfald af eksperimentet, der danner en komplet gruppe af begivenheder.
Denne definition af sandsynlighed kaldes klassisk. Det opstod i den indledende fase af udviklingen af ​​sandsynlighedsteori.

Sandsynligheden for en hændelse har følgende egenskaber:
1. Sandsynligheden for en pålidelig hændelse er lig med én. Lad os betegne en pålidelig begivenhed med bogstavet. Til en bestemt begivenhed altså
(1.2.2)
2. Sandsynligheden for en umulig hændelse er nul. Lad os betegne en umulig begivenhed med bogstavet. For en umulig begivenhed altså
(1.2.3)
3. Sandsynligheden for en tilfældig hændelse udtrykkes som et positivt tal mindre end én. Da for en tilfældig begivenhed er ulighederne , eller , opfyldt, så
(1.2.4)
4. Sandsynligheden for enhver begivenhed tilfredsstiller ulighederne
(1.2.5)
Dette følger af relationer (1.2.2) - (1.2.4).

Eksempel 1. En urne indeholder 10 kugler af samme størrelse og vægt, hvoraf 4 er røde og 6 er blå. Den ene kugle trækkes fra urnen. Hvad er sandsynligheden for, at den trukne kugle bliver blå?

Løsning. Vi betegner begivenheden "den trukne bold viste sig at være blå" med bogstavet A. Denne test har 10 lige mulige elementære udfald, hvoraf 6 favoriserer begivenhed A. I overensstemmelse med formel (1.2.1) opnår vi

Eksempel 2. Alle naturlige tal fra 1 til 30 skrives på identiske kort og placeres i en urne. Efter at have blandet kortene grundigt, fjernes et kort fra urnen. Hvad er sandsynligheden for, at tallet på kortet er et multiplum af 5?

Løsning. Lad os med A betegne begivenheden "tallet på det taget kort er et multiplum af 5." I denne test er der 30 lige mulige elementære udfald, hvoraf begivenhed A er begunstiget af 6 udfald (tallene 5, 10, 15, 20, 25, 30). Derfor,

Eksempel 3. To terninger kastes, og summen af ​​point på de øverste flader beregnes. Find sandsynligheden for begivenhed B, således at terningernes øverste flader har i alt 9 point.

Løsning. I denne test er der kun 6 2 = 36 lige mulige elementære udfald. Begivenhed B er begunstiget af 4 udfald: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), derfor

Eksempel 4. Tilfældigt vælges et naturligt tal, der ikke er større end 10. Hvad er sandsynligheden for, at dette tal er primtal?

Løsning. Lad os med bogstavet C betegne begivenheden "det valgte tal er primtal". I dette tilfælde er n = 10, m = 4 (primtal 2, 3, 5, 7). Derfor er den nødvendige sandsynlighed

Eksempel 5. To symmetriske mønter kastes. Hvad er sandsynligheden for, at der er tal på oversiden af ​​begge mønter?

Løsning. Lad os med bogstavet D betegne begivenheden "der er et tal på oversiden af ​​hver mønt." I denne test er der 4 lige mulige elementære udfald: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Notationen (G, C) betyder, at den første mønt har et våbenskjold, den anden har et nummer). Hændelse D er begunstiget af ét elementært resultat (C, C). Da m = 1, n = 4, så

Eksempel 6. Hvad er sandsynligheden for, at et tocifret tal valgt tilfældigt har de samme cifre?

Løsning. Tocifrede tal er tal fra 10 til 99; Der er 90 sådanne numre i alt. 9 numre har identiske cifre (disse er numrene 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Da i dette tilfælde m = 9, n = 90, så
,
hvor A er hændelsen "nummer med identiske cifre".

Eksempel 7. Fra bogstaverne i ordet differential Et bogstav er valgt tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at dette bogstav vil være: a) en vokal, b) en konsonant, c) et bogstav h?

Løsning. Ordet differential har 12 bogstaver, hvoraf 5 er vokaler og 7 er konsonanter. Breve h der er ingen i dette ord. Lad os betegne begivenhederne: A - "vokalbogstav", B - "konsonantbogstav", C - "bogstav h". Antallet af gunstige elementære udfald: - for begivenhed A, - for begivenhed B, - for begivenhed C. Da n = 12, så
, Og .

Eksempel 8. To terninger kastes, og antallet af point på toppen af ​​hver terning noteres. Find sandsynligheden for, at begge terninger viser det samme antal point.

Løsning. Lad os betegne denne begivenhed med bogstavet A. Begivenhed A er begunstiget af 6 elementære udfald: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6) ;6). Det samlede antal lige så mulige elementære udfald, der danner en komplet gruppe af hændelser, i dette tilfælde n=6 2 =36. Det betyder, at den nødvendige sandsynlighed

Eksempel 9. Bogen har 300 sider. Hvad er sandsynligheden for, at en tilfældigt åbnet side har et serienummer, der er deleligt med 5?

Løsning. Af betingelserne for problemet følger det, at alle lige mulige elementære udfald, der danner en komplet gruppe af begivenheder, vil være n = 300. Af disse favoriserer m = 60 forekomsten af ​​den specificerede begivenhed. Faktisk har et tal, der er et multiplum af 5, formen 5k, hvor k er et naturligt tal, og hvorfra . Derfor,
, hvor A - hændelsen "side" har et sekvensnummer, der er et multiplum af 5".

Eksempel 10. To terninger kastes, og summen af ​​point på de øverste flader beregnes. Hvad er mere sandsynligt - at få 7 eller 8 i alt?

Løsning. Lad os betegne begivenhederne: A - "7 point er rullet", B - "8 point er rullet". Begivenhed A er begunstiget af 6 elementære udfald: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), og hændelse B er begunstiget med 5 udfald: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Alle lige mulige elementære udfald er n = 6 2 = 36. Derfor, Og .

Så P(A)>P(B), det vil sige, at få i alt 7 point er en mere sandsynlig begivenhed end at få i alt 8 point.

Opgaver

1. Tilfældigt vælges et naturligt tal, der ikke overstiger 30. Hvad er sandsynligheden for, at dette tal er et multiplum af 3?
2. I urnen -en rød og b blå bolde, identiske i størrelse og vægt. Hvad er sandsynligheden for, at en kugle trukket tilfældigt fra denne urne bliver blå?
3. Tilfældigt vælges et tal, der ikke overstiger 30. Hvad er sandsynligheden for, at dette tal er en divisor af 30?
4. I urnen EN blå og b røde kugler, identiske i størrelse og vægt. En bold tages fra denne urne og lægges til side. Denne bold viste sig at være rød. Herefter trækkes endnu en kugle fra urnen. Find sandsynligheden for, at den anden kugle også er rød.
5. Der vælges tilfældigt et nationalt tal, der ikke overstiger 50. Hvad er sandsynligheden for, at dette tal er primtal?
6. Tre terninger kastes, og summen af ​​point på de øverste flader beregnes. Hvad er mere sandsynligt - at få i alt 9 eller 10 point?
7. Der kastes tre terninger, og summen af ​​de kastede point beregnes. Hvad er mere sandsynligt - at få i alt 11 (begivenhed A) eller 12 point (begivenhed B)?

Svar

1. 1/3. 2 . b/(-en+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(-en+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - sandsynlighed for at få 9 point i alt; p 2 = 27/216 - sandsynlighed for at få 10 point i alt; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Spørgsmål

1. Hvad kaldes sandsynligheden for en hændelse?
2. Hvad er sandsynligheden for en pålidelig hændelse?
3. Hvad er sandsynligheden for en umulig begivenhed?
4. Hvad er grænserne for sandsynligheden for en tilfældig hændelse?
5. Hvad er grænserne for sandsynligheden for enhver begivenhed?
6. Hvilken definition af sandsynlighed kaldes klassisk?

Sandsynlighed viser muligheden for en bestemt begivenhed givet et vist antal gentagelser. Det er antallet af mulige udfald med et eller flere udfald divideret med det samlede antal mulige hændelser. Sandsynligheden for flere hændelser beregnes ved at dividere problemet i individuelle sandsynligheder og derefter gange disse sandsynligheder.

Trin

Sandsynlighed for en enkelt tilfældig hændelse

  1. Vælg en begivenhed med gensidigt udelukkende resultater. Sandsynlighed kan kun beregnes, hvis den pågældende begivenhed enten indtræffer eller ikke indtræffer. Det er umuligt samtidig at opnå en begivenhed og dens modsatte resultat. Eksempler på sådanne begivenheder er at kaste en 5'er på en terning eller at vinde en bestemt hest ved et løb. Fem vil enten komme op, eller også vil de ikke; en bestemt hest kommer enten først eller ej.

    • For eksempel er det umuligt at beregne sandsynligheden for en sådan hændelse: Med et kast med terningen vises 5 og 6 på samme tid.

  2. Identificer alle mulige hændelser og udfald, der kunne opstå. Antag, at du skal bestemme sandsynligheden for, at du får en treer, når du kaster en terning med 6 numre. "Rolling a three" er en begivenhed, og da vi ved, at et hvilket som helst af de 6 numre kan rulles, er antallet af mulige udfald seks. Således ved vi, at der i dette tilfælde er 6 mulige udfald og en hændelse, hvis sandsynlighed vi ønsker at bestemme. Nedenfor er yderligere to eksempler.

    • Eksempel 1. I dette tilfælde er begivenheden "at vælge en dag, der falder i weekenden", og antallet af mulige udfald er lig med antallet af ugedage, det vil sige syv.
    • Eksempel 2. Begivenheden er "træk en rød bold", og antallet af mulige udfald er lig med det samlede antal bolde, det vil sige tyve.

  3. Divider antallet af begivenheder med antallet af mulige udfald. På denne måde vil du bestemme sandsynligheden for en enkelt hændelse. Hvis vi betragter tilfældet med at kaste en terning som en 3'er, er antallet af begivenheder 1 (den 3 er kun på den ene side af terningen), og det samlede antal udfald er 6. Resultatet er et forhold på 1/6, 0,166 eller 16,6%. Sandsynligheden for en hændelse for de to eksempler ovenfor findes som følger:

    • Eksempel 1. Hvad er sandsynligheden for, at du tilfældigt vælger en dag, der falder på en weekend? Antallet af begivenheder er 2, da der er to fridage på en uge, og det samlede antal udfald er 7. Sandsynligheden er således 2/7. Det opnåede resultat kan også skrives som 0,285 eller 28,5%.
    • Eksempel 2. Æsken indeholder 4 blå, 5 røde og 11 hvide kugler. Hvis du tager en tilfældig bold ud af en boks, hvad er sandsynligheden for, at den bliver rød? Antallet af hændelser er 5, da der er 5 røde kugler i kassen, og det samlede antal udfald er 20. Vi finder sandsynligheden: 5/20 = 1/4. Det opnåede resultat kan også skrives som 0,25 eller 25%.

  4. Læg sandsynligheden for alle mulige hændelser sammen og se om summen er 1. Den samlede sandsynlighed for alle mulige hændelser skal være 1 eller 100 %. Hvis du ikke får 100 %, har du højst sandsynligt lavet en fejl og misset en eller flere mulige begivenheder. Tjek dine beregninger og sørg for, at du har overvejet alle mulige resultater.

    • For eksempel er sandsynligheden for at få en 3'er, når du kaster en terning, 1/6. I dette tilfælde er sandsynligheden for, at ethvert andet tal falder ud af de resterende fem, også lig med 1/6. Som et resultat får vi 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, det vil sige 100%.
    • Hvis du for eksempel glemmer tallet 4 på terningen, vil en sammenlægning af sandsynligheder kun give dig 5/6 eller 83%, hvilket ikke er lig med en og indikerer en fejl.

  5. Udtryk sandsynligheden for et umuligt udfald som 0. Det betyder, at den givne hændelse ikke kan ske, og dens sandsynlighed er 0. På denne måde kan du redegøre for umulige hændelser.

    • Hvis du for eksempel skulle beregne sandsynligheden for, at påsken falder på en mandag i 2020, får du 0, fordi påsken altid fejres om søndagen.

    Sandsynlighed for flere tilfældige hændelser

    1. Når du overvejer uafhængige begivenheder, skal du beregne hver sandsynlighed separat. Når du har bestemt, hvad sandsynligheden for begivenheder er, kan de beregnes separat. Antag, at vi vil kende sandsynligheden for at kaste en terning to gange i træk og få en 5. Vi ved, at sandsynligheden for at få en 5'er er 1/6, og sandsynligheden for at få en anden 5'er er også 1/6. Det første resultat er ikke relateret til det andet.

      • Flere ruller med femmer kaldes uafhængige arrangementer, da det, der sker første gang, ikke påvirker den anden begivenhed.

    2. Overvej indflydelsen af ​​tidligere udfald, når du beregner sandsynligheden for afhængige hændelser. Hvis den første hændelse påvirker sandsynligheden for det andet udfald, taler vi om at beregne sandsynligheden afhængige begivenheder. For eksempel, hvis du vælger to kort fra en 52-korts bunke, efter at have trukket det første kort, ændres sammensætningen af ​​bunken, hvilket påvirker valget af det andet kort. For at beregne sandsynligheden for den anden af ​​to afhængige hændelser, skal du trække 1 fra antallet af mulige udfald, når du beregner sandsynligheden for den anden hændelse.

      • Eksempel 1. Overvej følgende begivenhed: To kort trækkes tilfældigt fra bunken, det ene efter det andet. Hvad er sandsynligheden for, at begge kort er fra køller? Sandsynligheden for, at det første kort er en klubfarve er 13/52 eller 1/4, da der er 13 kort af samme kulør i bunken.
        • Herefter er sandsynligheden for, at det andet kort er en klubfarve 12/51, da det ene klubkort ikke længere er der. Dette skyldes, at den første begivenhed påvirker den anden. Hvis du trækker de tre køller og ikke lægger dem tilbage, vil der være et kort mindre i bunken (51 i stedet for 52).
      • Eksempel 2. Der er 4 blå, 5 røde og 11 hvide bolde i æsken. Hvis tre kugler trækkes tilfældigt, hvad er sandsynligheden for, at den første er rød, den anden er blå og den tredje er hvid?
        • Sandsynligheden for at den første kugle bliver rød er 5/20 eller 1/4. Sandsynligheden for at den anden bold bliver blå er 4/19, da der er en bold mindre tilbage i kassen, men stadig 4 blå bold. Endelig er sandsynligheden for, at den tredje kugle bliver hvid, 11/18, da vi allerede har trukket to kugler.

    3. Multiplicer sandsynligheden for hver enkelt hændelse. Uanset om du har at gøre med uafhængige eller afhængige hændelser, eller antallet af udfald (der kan være 2, 3 eller endda 10), kan du beregne den samlede sandsynlighed ved at gange sandsynligheden for alle de pågældende hændelser med hinanden. Som et resultat vil du få sandsynligheden for flere hændelser, følgende den ene efter den anden. Opgaven er f.eks Find sandsynligheden for, at du får en 5'er, når du kaster en terning to gange i træk. Det er to uafhængige hændelser, hvor sandsynligheden for hver af dem er 1/6. Således er sandsynligheden for begge hændelser 1/6 x 1/6 = 1/36, det vil sige 0,027 eller 2,7%.

      • Eksempel 1. To kort trækkes tilfældigt fra bunken, det ene efter det andet. Hvad er sandsynligheden for, at begge kort er fra køller? Sandsynligheden for den første hændelse er 13/52. Sandsynligheden for den anden hændelse er 12/51. Vi finder den samlede sandsynlighed: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, det vil sige 0,058 eller 5,8%.
      • Eksempel 2. Æsken indeholder 4 blå, 5 røde og 11 hvide kugler. Hvis tre kugler trækkes tilfældigt fra en kasse efter hinanden, hvad er sandsynligheden for, at den første er rød, den anden er blå og den tredje er hvid? Sandsynligheden for den første hændelse er 5/20. Sandsynligheden for den anden hændelse er 4/19. Sandsynligheden for den tredje hændelse er 11/18. Så den samlede sandsynlighed er 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032 eller 3,2%.

Generel erklæring om problemet: sandsynligheden for nogle begivenheder er kendt, og du skal beregne sandsynligheden for andre begivenheder, der er forbundet med disse begivenheder. I disse problemer er der behov for operationer med sandsynligheder som addition og multiplikation af sandsynligheder.

For eksempel bliver der affyret to skud under jagt. Begivenhed EN- at slå en and med det første skud, begivenhed B- ramt fra andet skud. Derefter summen af ​​begivenheder EN Og B- slå med første eller andet skud eller med to skud.

Problemer af en anden type. Der gives flere begivenheder, for eksempel kastes en mønt tre gange. Du skal finde sandsynligheden for, at enten våbenskjoldet dukker op alle tre gange, eller at våbenskjoldet dukker op mindst én gang. Dette er etblem.

Tilføjelse af sandsynligheder for uforenelige hændelser

Tilføjelse af sandsynligheder bruges, når du skal beregne sandsynligheden for en kombination eller logisk sum af tilfældige hændelser.

Summen af ​​begivenheder EN Og B betegne EN + B eller EN ∪ B. Summen af ​​to hændelser er en hændelse, der opstår, hvis og kun hvis mindst en af ​​hændelserne indtræffer. Det betyder at EN + B– en hændelse, der indtræffer, hvis og kun hvis hændelsen fandt sted under observation EN eller begivenhed B, eller samtidigt EN Og B.

Hvis begivenheder EN Og B er indbyrdes inkonsistente, og deres sandsynligheder er givet, så beregnes sandsynligheden for, at en af ​​disse hændelser vil indtræffe som et resultat af et forsøg, ved at tilføje sandsynligheder.

Sandsynlighedsadditionssætning. Sandsynligheden for, at en af ​​to gensidigt uforenelige hændelser vil finde sted, er lig med summen af ​​sandsynligheden for disse hændelser:

For eksempel bliver der affyret to skud under jagt. Begivenhed EN– at slå en and med det første skud, begivenhed I– hit fra andet skud, begivenhed ( EN+ I) – et hit fra første eller andet skud eller fra to skud. Så hvis to begivenheder EN Og I– uforenelige begivenheder altså EN+ I– forekomsten af ​​mindst én af disse hændelser eller to hændelser.

Eksempel 1. Der er 30 kugler af samme størrelse i en æske: 10 røde, 5 blå og 15 hvide. Beregn sandsynligheden for, at en farvet (ikke hvid) kugle bliver samlet op uden at kigge.

Løsning. Lad os antage, at begivenheden EN- "den røde bold er taget", og arrangementet I- "Den blå bold blev taget." Så er begivenheden "en farvet (ikke hvid) bold tages." Lad os finde sandsynligheden for hændelsen EN:

og begivenheder I:

Begivenheder EN Og I– gensidigt uforenelig, da hvis en bold tages, så er det umuligt at tage bolde af forskellige farver. Derfor bruger vi tilføjelsen af ​​sandsynligheder:

Sætningen til at tilføje sandsynligheder for flere uforenelige hændelser. Hvis begivenheder udgør et komplet sæt af begivenheder, så er summen af ​​deres sandsynligheder lig med 1:

Summen af ​​sandsynligheden for modsatte begivenheder er også lig med 1:

Modsatte hændelser udgør et komplet sæt af hændelser, og sandsynligheden for et komplet sæt hændelser er 1.

Sandsynligheder for modsatte hændelser er normalt angivet med små bogstaver s Og q. I særdeleshed,

hvorfra følgende formler for sandsynligheden for modsatte hændelser følger:

Eksempel 2. Målet i skydebanen er opdelt i 3 zoner. Sandsynligheden for, at en bestemt skytte vil skyde mod målet i den første zone er 0,15, i den anden zone - 0,23, i den tredje zone - 0,17. Find sandsynligheden for, at skytten rammer målet og sandsynligheden for, at skytten misser målet.

Løsning: Find sandsynligheden for, at skytten rammer målet:

Lad os finde sandsynligheden for, at skytten misser målet:

Mere komplekse problemer, hvor du skal bruge både addition og multiplikation af sandsynligheder, kan findes på siden "Forskellige problemer, der involverer addition og multiplikation af sandsynligheder".

Tilføjelse af sandsynligheder for gensidigt samtidige hændelser

To tilfældige begivenheder kaldes fælles, hvis forekomsten af ​​en begivenhed ikke udelukker forekomsten af ​​en anden begivenhed i samme observation. For eksempel, når du kaster en terning begivenheden EN Tallet 4 anses for at være rullet ud, og begivenheden I– rullende et lige tal. Da 4 er et lige tal, er de to begivenheder kompatible. I praksis er der problemer med at beregne sandsynligheden for forekomsten af ​​en af ​​de indbyrdes samtidige hændelser.

Sandsynlighedsadditionssætning for fælles begivenheder. Sandsynligheden for, at en af ​​de fælles hændelser vil indtræffe, er lig med summen af ​​sandsynligheden for disse hændelser, hvorfra sandsynligheden for den fælles forekomst af begge hændelser trækkes fra, det vil sige produktet af sandsynligheden. Formlen for sandsynligheden for fælles begivenheder har følgende form:

Siden begivenheder EN Og I kompatibel, begivenhed EN+ I opstår, hvis en af ​​tre mulige hændelser indtræffer: eller AB. Ifølge sætningen om tilføjelse af uforenelige hændelser beregner vi som følger:

Begivenhed EN vil forekomme, hvis en af ​​to uforenelige hændelser indtræffer: eller AB. Imidlertid er sandsynligheden for forekomsten af ​​en begivenhed fra flere uforenelige begivenheder lig med summen af ​​sandsynligheden for alle disse begivenheder:

Ligeledes:

Ved at erstatte udtryk (6) og (7) med udtryk (5), får vi sandsynlighedsformlen for fælles begivenheder:

Ved brug af formel (8) bør det tages i betragtning, at hændelser EN Og I måske:

  • gensidigt uafhængig;
  • gensidigt afhængige.

Sandsynlighedsformel for gensidigt uafhængige hændelser:

Sandsynlighedsformel for gensidigt afhængige hændelser:

Hvis begivenheder EN Og I er inkonsekvente, så er deres tilfældighed et umuligt tilfælde, og dermed P(AB) = 0. Den fjerde sandsynlighedsformel for uforenelige hændelser er:

Eksempel 3. I auto racing, når du kører den første bil, har du en bedre chance for at vinde, og når du kører den anden bil. Find:

  • sandsynligheden for, at begge biler vinder;
  • sandsynligheden for, at mindst én bil vinder;

1) Sandsynligheden for, at den første bil vinder, afhænger ikke af resultatet af den anden bil, så begivenhederne EN(den første bil vinder) og I(den anden bil vinder) – uafhængige begivenheder. Lad os finde sandsynligheden for, at begge biler vinder:

2) Find sandsynligheden for, at en af ​​de to biler vinder:

Mere komplekse problemer, hvor du skal bruge både addition og multiplikation af sandsynligheder, kan findes på siden "Forskellige problemer, der involverer addition og multiplikation af sandsynligheder".

Løs tilføjelse af sandsynlighedsproblem selv, og se derefter på løsningen

Eksempel 4. To mønter bliver kastet. Begivenhed EN- tab af våbenskjoldet på den første mønt. Begivenhed B- tab af våbenskjoldet på den anden mønt. Find sandsynligheden for en begivenhed C = EN + B .

Multiplikation af sandsynligheder

Sandsynlighedsmultiplikation bruges, når sandsynligheden for et logisk produkt af hændelser skal beregnes.

I dette tilfælde skal tilfældige begivenheder være uafhængige. To begivenheder siges at være gensidigt uafhængige, hvis forekomsten af ​​en begivenhed ikke påvirker sandsynligheden for, at den anden begivenhed indtræffer.

Sandsynlighedsmultiplikationssætning for uafhængige hændelser. Sandsynlighed for samtidig forekomst af to uafhængige hændelser EN Og I er lig med produktet af sandsynligheden for disse hændelser og beregnes med formlen:

Eksempel 5. Mønten kastes tre gange i træk. Find sandsynligheden for, at våbenskjoldet vises alle tre gange.

Løsning. Sandsynligheden for, at våbenskjoldet dukker op ved første møntkast, anden gang og tredje gang. Lad os finde sandsynligheden for, at våbenskjoldet vises alle tre gange:

Løs sandsypå egen hånd og se derefter på løsningen

Eksempel 6. Der er en kasse med ni nye tennisbolde. For at spille tages tre bolde, og efter spillet lægges de tilbage. Ved valg af bolde skelnes spillede bolde ikke fra uspillede bolde. Hvad er sandsynligheden for, at der efter tre kampe ikke er nogen uspillede bolde tilbage i kassen?

Eksempel 7. 32 bogstaver i det russiske alfabet er skrevet på udskårne alfabetkort. Fem kort trækkes tilfældigt efter hinanden og lægges på bordet i rækkefølge efter udseende. Find sandsynligheden for, at bogstaverne danner ordet "slut".

Eksempel 8. Fra et fuldt sæt kort (52 ark) udtages fire kort på én gang. Find sandsynligheden for, at alle fire af disse kort vil have forskellig farve.

Eksempel 9. Samme opgave som i eksempel 8, men hvert kort efter at være blevet fjernet returneres til bunken.

Mere komplekse problemer, hvor du både skal bruge addition og multiplikation af sandsynligheder, samt beregne produktet af flere hændelser, kan findes på siden "Forskellige problemer, der involverer addition og multiplikation af sandsynligheder".

Sandsynligheden for, at mindst én af de indbyrdes uafhængige hændelser indtræffer, kan beregnes ved at trække produktet af sandsynligheden for modsatte hændelser fra 1, det vil sige ved at bruge formlen.