Eksempel 1. 2 kort fjernes sekventielt fra et spil med 32 kort uden at returnere. Find sandsynligheden for, at de begge er esser.

Løsning. Da det første kort kan trækkes fra bunken på 32 måder, og det andet - 31 (da der er 31 kort tilbage i bunken), så er antallet af mulige udfald af eksperimentet . Lad os bestemme antallet af gunstige resultater. Det første es kan vælges fra de fire i bunken, det andet - fra de resterende tre. Det betyder, at antallet af gunstige resultater og den ønskede sandsynlighed er lig med

Eksempel 2. Fem kager blev taget ud af en æske med fem eclairs og syv Napoleoner. Find sandsynligheden for, at der blandt dem er to "éclairs" og tre "Napoleoner".

Løsning. Antallet af mulige udfald af eksperimentet er antallet af kombinationer af 12 gange 5:

Antallet af gunstige resultater er produktet af antallet af måder, hvorpå to "éclairs" kan vælges blandt de fem tilgængelige, og antallet af sæt af tre "Napoleoner" fra de syv:

Derfor er den nødvendige sandsynlighed lig med

Eksempel 3. En prik kastes tilfældigt ind i cirklen. Find sandsynligheden for, at den ikke falder ind i en regulær trekant indskrevet i denne cirkel.

Løsning. I dette tilfælde er målet for sættet af mulige udfald arealet af cirklen: og målet for sættet af gunstige resultater er forskellen mellem områderne af cirklen og trekanten: . Derfor er sandsynligheden for en given begivenhed lig med

Eksempel 4. To skytter affyrer hver et skud mod et mål. Sandsynligheden for deres hit er henholdsvis 0,6 og 0,9. Find sandsynligheden for følgende hændelser:

Begge ramte målet;

Mindst én ramte målet.

Løsning. Lad os kalde den første og anden skyttes at ramme målet for hændelser og bemærk, at og er fælles, men uafhængige hændelser (med andre ord kan begge skytter ramme målet, og sandsynligheden for at ramme hver af dem afhænger ikke af resultat af den anden). En begivenhed er et produkt af begivenheder og derfor

En hændelse er en sum, og for at bestemme dens sandsynlighed bruger vi den generelle form af additionssætningen:

Eksempel 5. Tre identiske urner indeholder kugler: den første indeholder 5 hvide og 3 sorte, den anden indeholder 2 hvide og 6 sorte, den tredje indeholder 3 hvide og 1 sorte. En kugle trækkes fra en tilfældigt udvalgt urne. Find sandsynligheden for, at han er hvid.

Den betingede sandsynlighed for en begivenhed, det vil sige at trække en hvid kugle fra urnen, bestemmes af den klassiske definition af sandsynlighed (antallet af gunstige udfald er antallet af hvide kugler, og antallet af mulige udfald er det samlede antal af bolde i urnen). Derfor

Ved at bruge den samlede sandsynlighedsformel får vi:

Eksempel 6. Der er 20 elever i elevgruppen. Heraf er 5 fremragende elever, der kan alle eksamensspørgsmålene, 8 elever kender svarene på 70 % af spørgsmålene og 7 kender svarene til 50 %. Den første elev, der ringede, besvarede det første spørgsmål på eksamensopgaven. Find sandsynligheden for, at han er en fremragende elev.

SANDSYNLIGHED- almen videnskabelig og filosofisk. en kategori, der angiver den kvantitative grad af mulighed for forekomsten af ​​massetilfældige hændelser under faste observationsbetingelser, der karakteriserer stabiliteten af ​​deres relative frekvenser. I logik, semantisk grad... ... Filosofisk encyklopædi

HVAD ER FILOSOFI?- 'HVAD ER FILOSOFI?' ('Qu est ce que la philosophie?', Les Editions de Minuit, 1991) bog af Deleuze og Guattari. Ifølge forfatternes tanker, angivet i indledningen, er 'hvad er filosofi' et spørgsmål, der 'stilles, skjuler angst, tættere på... ...

HVAD ER FILOSOFI?- (Qu est ce que la philosophie?, Les Editions de Minuit, 1991) bog af Deleuze og Guattari. Ifølge forfatternes tanker, skitseret i introduktionen, er hvad der er filosofi et spørgsmål, der stilles, skjuler angst, tættere på midnat, når flere... ... Filosofiens historie: Encyklopædi

Sandsynlighed- en matematisk, numerisk karakteristik af graden af ​​mulighed for forekomsten af ​​en specifik begivenhed under visse specifikke forhold, som kan gentages et ubegrænset antal gange. Som en kategori af videnskabelig viden er begrebet "V."... ... Store sovjetiske encyklopædi

SANDSYNLIGHED- matematisk numerisk karakteristik af graden af ​​mulighed for fremkomsten af ​​kosmisk l. en bestemt begivenhed under visse bestemte forhold, der kan gentages et ubegrænset antal gange. Som en kategori af videnskabelig viden afspejler begrebet V. en særlig type... ... Matematisk encyklopædi

Rethvaler- ? Sydlige hvaler ... Wikipedia

Scrubs (tv-serie)- Denne artikel eller sektion skal revideres. Venligst forbedre artiklen i overensstemmelse med reglerne for at skrive artikler... Wikipedia

Sandsynlighed viser muligheden for en bestemt begivenhed givet et vist antal gentagelser. Det er antallet af mulige udfald med et eller flere udfald divideret med det samlede antal mulige hændelser. Sandsynligheden for flere hændelser beregnes ved at dividere problemet i individuelle sandsynligheder og derefter gange disse sandsynligheder.

Trin

Sandsynlighed for en enkelt tilfældig hændelse

1. Vælg en begivenhed med gensidigt udelukkende resultater. Sandsynlighed kan kun beregnes, hvis den pågældende begivenhed enten indtræffer eller ikke indtræffer. Det er umuligt samtidig at opnå en begivenhed og dens modsatte resultat. Eksempler på sådanne begivenheder er at kaste en 5'er på en terning eller at vinde en bestemt hest ved et løb. Fem vil enten komme op, eller også vil de ikke; en bestemt hest kommer enten først eller ej.

   • For eksempel er det umuligt at beregne sandsynligheden for en sådan hændelse: Med et kast med terningen vises 5 og 6 på samme tid.

2. Identificer alle mulige hændelser og udfald, der kunne opstå. Antag, at du skal bestemme sandsynligheden for, at du får en treer, når du kaster en terning med 6 numre. "Rolling a three" er en begivenhed, og da vi ved, at et hvilket som helst af de 6 numre kan rulles, er antallet af mulige udfald seks. Således ved vi, at der i dette tilfælde er 6 mulige udfald og en hændelse, hvis sandsynlighed vi ønsker at bestemme. Nedenfor er yderligere to eksempler.

   • Eksempel 1. I dette tilfælde er begivenheden "at vælge en dag, der falder i weekenden", og antallet af mulige udfald er lig med antallet af ugedage, det vil sige syv.
   • Eksempel 2. Begivenheden er "træk en rød bold", og antallet af mulige udfald er lig med det samlede antal bolde, det vil sige tyve.

3. Divider antallet af begivenheder med antallet af mulige udfald. På denne måde vil du bestemme sandsynligheden for en enkelt hændelse. Hvis vi betragter tilfældet med at kaste en terning som en 3'er, er antallet af begivenheder 1 (den 3 er kun på den ene side af terningen), og det samlede antal udfald er 6. Resultatet er et forhold på 1/6, 0,166 eller 16,6%. Sandsynligheden for en hændelse for de to eksempler ovenfor findes som følger:

   • Eksempel 1. Hvad er sandsynligheden for, at du tilfældigt vælger en dag, der falder på en weekend? Antallet af begivenheder er 2, da der er to fridage på en uge, og det samlede antal udfald er 7. Sandsynligheden er således 2/7. Det opnåede resultat kan også skrives som 0,285 eller 28,5%.
   • Eksempel 2. Æsken indeholder 4 blå, 5 røde og 11 hvide kugler. Hvis du tager en tilfældig bold ud af en boks, hvad er sandsynligheden for, at den bliver rød? Antallet af hændelser er 5, da der er 5 røde kugler i kassen, og det samlede antal udfald er 20. Vi finder sandsynligheden: 5/20 = 1/4. Det opnåede resultat kan også skrives som 0,25 eller 25%.

4. Læg sandsynligheden for alle mulige hændelser sammen og se om summen er 1. Den samlede sandsynlighed for alle mulige hændelser skal være 1 eller 100 %. Hvis du ikke får 100 %, har du højst sandsynligt lavet en fejl og misset en eller flere mulige begivenheder. Tjek dine beregninger og sørg for, at du har overvejet alle mulige resultater.

   • For eksempel er sandsynligheden for at få en 3'er, når du kaster en terning, 1/6. I dette tilfælde er sandsynligheden for, at ethvert andet tal falder ud af de resterende fem, også lig med 1/6. Som et resultat får vi 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, det vil sige 100%.
   • Hvis du for eksempel glemmer tallet 4 på terningen, vil en sammenlægning af sandsynligheder kun give dig 5/6 eller 83%, hvilket ikke er lig med en og indikerer en fejl.

5. Udtryk sandsynligheden for et umuligt udfald som 0. Det betyder, at den givne hændelse ikke kan ske, og dens sandsynlighed er 0. På denne måde kan du redegøre for umulige hændelser.

   • Hvis du for eksempel skulle beregne sandsynligheden for, at påsken falder på en mandag i 2020, får du 0, fordi påsken altid fejres om søndagen.

   Sandsynlighed for flere tilfældige hændelser

   1. Når du overvejer uafhængige begivenheder, skal du beregne hver sandsynlighed separat. Når du har bestemt, hvad sandsynligheden for begivenheder er, kan de beregnes separat. Antag, at vi vil kende sandsynligheden for at kaste en terning to gange i træk og få en 5. Vi ved, at sandsynligheden for at få en 5'er er 1/6, og sandsynligheden for at få en anden 5'er er også 1/6. Det første resultat er ikke relateret til det andet.

      • Flere ruller med femmer kaldes uafhængige arrangementer, da det, der sker første gang, ikke påvirker den anden begivenhed.

   2. Overvej indflydelsen af ​​tidligere udfald, når du beregner sandsynligheden for afhængige hændelser. Hvis den første hændelse påvirker sandsynligheden for det andet udfald, taler vi om at beregne sandsynligheden afhængige begivenheder. For eksempel, hvis du vælger to kort fra en 52-korts bunke, efter at have trukket det første kort, ændres sammensætningen af ​​bunken, hvilket påvirker valget af det andet kort. For at beregne sandsynligheden for den anden af ​​to afhængige hændelser, skal du trække 1 fra antallet af mulige udfald, når du beregner sandsynligheden for den anden hændelse.

      • Eksempel 1. Overvej følgende begivenhed: To kort trækkes tilfældigt fra bunken, det ene efter det andet. Hvad er sandsynligheden for, at begge kort er fra køller? Sandsynligheden for, at det første kort er en klubfarve er 13/52 eller 1/4, da der er 13 kort af samme kulør i bunken.
        • Herefter er sandsynligheden for, at det andet kort er en klubfarve 12/51, da det ene klubkort ikke længere er der. Dette skyldes, at den første begivenhed påvirker den anden. Hvis du trækker de tre køller og ikke lægger dem tilbage, vil der være et kort mindre i bunken (51 i stedet for 52).
      • Eksempel 2. Der er 4 blå, 5 røde og 11 hvide bolde i æsken. Hvis tre kugler trækkes tilfældigt, hvad er sandsynligheden for, at den første er rød, den anden er blå og den tredje er hvid?
        • Sandsynligheden for at den første kugle bliver rød er 5/20 eller 1/4. Sandsynligheden for at den anden bold bliver blå er 4/19, da der er en bold mindre tilbage i kassen, men stadig 4 blå bold. Endelig er sandsynligheden for, at den tredje kugle bliver hvid, 11/18, da vi allerede har trukket to kugler.

   3. Multiplicer sandsynligheden for hver enkelt hændelse. Uanset om du har at gøre med uafhængige eller afhængige hændelser, eller antallet af udfald (der kan være 2, 3 eller endda 10), kan du beregne den samlede sandsynlighed ved at gange sandsynligheden for alle de pågældende hændelser med hinanden. Som et resultat vil du få sandsynligheden for flere hændelser, følgende den ene efter den anden. Opgaven er f.eks Find sandsynligheden for, at du får en 5'er, når du kaster en terning to gange i træk. Det er to uafhængige hændelser, hvor sandsynligheden for hver af dem er 1/6. Således er sandsynligheden for begge hændelser 1/6 x 1/6 = 1/36, det vil sige 0,027 eller 2,7%.

      • Eksempel 1. To kort trækkes tilfældigt fra bunken, det ene efter det andet. Hvad er sandsynligheden for, at begge kort er fra køller? Sandsynligheden for den første hændelse er 13/52. Sandsynligheden for den anden hændelse er 12/51. Vi finder den samlede sandsynlighed: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, det vil sige 0,058 eller 5,8%.
      • Eksempel 2. Æsken indeholder 4 blå, 5 røde og 11 hvide kugler. Hvis tre kugler trækkes tilfældigt fra en kasse efter hinanden, hvad er sandsynligheden for, at den første er rød, den anden er blå og den tredje er hvid? Sandsynligheden for den første hændelse er 5/20. Sandsynligheden for den anden hændelse er 4/19. Sandsynligheden for den tredje hændelse er 11/18. Så den samlede sandsynlighed er 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032 eller 3,2%.

Svar: 0,7157

2.

3.

4. tallet er ikke deleligt med 5

Løsning: P(A) = m/n; m=1/

Det er lig med 90 og træk fra disse tal dem, der er delelige med 5 (10,15,20,25...90,95). Deres tal er 18 => n=90-18=72

Svar: 1/72

Løsning: P(A)=m/n

a) P(A)=6/36 =1/6

Løsning: C m n = n! /m!(n-m)!

m = C37 = 7! / 3!*4! = 35

P (Al) = m/n = 35/220 = 7/44

b) du kan få 3 røde ud af 7 på 7 måder, og 3 sorte ud af 5 =>

Med 3 5 måder.

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Svar:

Løsning:

Svar: 0,3.

Løsning:

A – udgang fra labyrinten.

P(A/H3) =0,2 – fra 3. labyrint

P(A/H4) = 0,1 – fra 4 labyrinter

Svar: 1/3; 2/5

9.

10.

11. .

Løsning:

Løsning:

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

13.

Løsning:

Lad B ikke have nogen hits

P(C) = 1 - 0,216 = 0,784

Svar: 0,784

Løsning:

H1 = 1/3; H2=1/3; H3=1/3

Svar: 15/48 = 0,3125

16.

Løsning:

17.

Løsning:

P(H2/A)=0,7/1,6=0,42

Løsning:

Svar: P(A) = 0,925

En elev besøger 3 biblioteker på jagt efter en bog. Sandsynligheden for at de er i biblioteket er 0,4; 0,5; 0,1; og det faktum, at de blev udstedt eller ej, er lige så sandsynlige begivenheder. Hvad er sandsynligheden for, at den bog, du skal bruge, bliver fundet?

Løsning: A-bog er på biblioteket, B – bog udleveres ikke.

P(B) = P(B -) = ½

P(A1) = 0,4 P(A2) = 0,5 P(A3) = 0,1

Lad os bestemme sandsynligheden for, at den nødvendige bog bliver fundet:

P = P(A1)* P(B) + P(A2)*P(B) + P(A3)*P(B) = P(B)(P(A1) + P(A2) + P(A3) ) = 1/2 * (0,4 + 0,5 +0,1) = 1/2 * 1 = ½

Svar: 1/2

23. Find sandsynligheden for, at 12 personers fødselsdage falder i forskellige måneder af året.

Løsning: P(A)= m/n

n = --- A 12 = 12 12

P = 12! / 12 12 = 11! / 12 11 = (11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1) / (12*12*12*12*12 7) = (11*5*7*5* 1) / 12 7 = 7*8*25 / 12 7 = 1925 / 12 7

Svar: 1925/12 7

24. En urne indeholder 10 hvide, 5 sorte og 15 røde kugler. 2 kugler trækkes i rækkefølge. Der tages hensyn til 2 begivenheder: A - mindst en af ​​de to trukne bolde er rød, B - mindst en trukket bold er hvid. Find sandsynligheden for hændelse C = A + B.

25. Det tilfældigt opkaldte nummer består af 5 cifre. Bestem sandsynligheden for, at alle tallene i den er forskellige.

26. Strikbutikken modtog sokker, hvoraf 60 % kom fra én fabrik, 25 % fra en anden og 15 % fra en tredje. Find sandsynligheden for, at sokkerne købt af køberen er lavet på anden eller tredje fabrik.

Løsning. A1-fra 1 fabrik, P(A1) = 0,6;

A2 – fra fabrik 2; P(A2) = 0,25

A3 – fra 3 fabrikker; P(A3) = 0,15

P(A2+A3) = 0,25 + 0,15 = 0,4

Svar: 0,4

En passager kan henvende sig til et af billetkontorerne for at få en billet. Sandsynligheden for at gå til 1. kasse er 0,4; i den anden 0,35; og 3. 0,25. Sandsynligheden for, at de billetter, der er tilgængelige på billetkontoret, vil være solgt, når passageren ankommer, er lig med 0,3 for det 1. billetkontor; for 2. 0.4, for 3. 0.6. Find sandsynligheden for, at passageren køber en billet.

P(A) – sandsynlighed for ikke at købe en billet.

P(A) =0,4*0,3 + 0,35*0,4 + 0,25*0,6 =

0,12 + 0,14 + 0,15 = 0,41

P(A1) – sandsynlighed for at købe en billet = 1-P(A) = 1 – 0,41 = 0,59.

Svar: P(A1) = 0,59.

28. Der kastes 4 terninger. Find sandsynligheden for, at: a) mindst én af dem vil have 2 point, b) de vil have samme antal point.

Løsning:

29. Fra 9 poletter nummereret med forskellige encifrede tal vælges 3. Find sandsynligheden for, at sekventiel registrering af deres numre vil vise en stigning i cifrenes værdier.

Løsning:

30. Sandsynligheden for at vinde på en lottokupon er 0,1. Hvad er sandsynligheden for, at mindst én ud af tre købte billetter vinder?

31. Fra et fuldt sæt kort (52 ark) udtages 4 kort på én gang. Find sandsynligheden for, at alle disse kort vil have forskellig farve.

Løsning: Sandsynligheden for at trække en specifik kulør er C 1 13

C 1 13 = 13 (antal mulige måder).

Mulighed for at trække kort fra 52 = C 4 52 = 52! / 4!* 48! = 48!*49*50*51* 52 / 2*3*4*48! = 270725
P(A) = C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 / C 4 52 = 28561 / 270725 = 0,1054982

Svar: P(A) = 0,1054982.

32. Der er 3 urner. Den første af dem har 5 hvide og 6 sorte kugler, den anden har 4 hvide og 3 sorte kugler, den tredje har 5 hvide og 3 sorte kugler. Nogen vælger en af ​​urnerne tilfældigt og trækker en kugle fra den. Denne bold viste sig at være hvid. Find sandsynligheden for, at denne kugle er trukket fra den anden urne.

Løsning:

Svar: 0,9125

52. Hvad er sandsynligheden for at få 1 es, et es og en konge, når man deler 6 kort fra et spil med 52 kort?

Bilerne blev leveret til tankstationen. Desuden havde 5 af dem en chassisfejl, 8 havde motorfejl, og 10 var fuldt funktionsdygtige. Hvad er sandsynligheden for, at en bil med et defekt chassis også har en defekt motor?

Løsning:

11111111 8 med defekt motor

5 med upassende træk del 11111 1111111111 10 arbejder

11111111111111111111 i alt 20

3 med defekt motor og slagdel 111

P = m/n m-antal biler med et defekt chassis og en defekt motor; m=3

n – antal køretøjer med defekt chassis; n=5

P = 3/5 – sandsynlighed for, at en bil med et defekt chassis har en defekt motor.

Svar: 3/5

Svar: 21/625; 219/625; 247/625

67. I den første brigade af 8 traktorer kræver 2 reparationer, i den anden ud af 6-1. En traktor vælges tilfældigt fra hver brigade. Bestem sandsynligheden for, at a) begge virker, b) mindst den ene virker, c) kun den ene virker

a)P(A)=P(A1*A2) =3/4*5/6=5/8

b)P(A) = 1-P(--- A)=1-2/8*1/6=1-1/24=23/24

c) P(A)=3/4*1/6+5/6*1/4=1/8+5/24=8/24=1/3

68. Organisationen beskæftiger 12 mænd og 8 kvinder. Der er uddelt 3 præmier til dem. Bestem sandsynligheden for, at bonussen modtages af: a) to mænd og en kvinde; b) kun kvinder; c) mindst én mand.

Løsning: a) A-1 mand

B- 2 mand

S- 1 kvinde

P(A) = 12/20; P(B/A) = 11/19; P(C/AB) = 8/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)*P(C/AB) = 1056/6840 = 0,154

b) A-1 kvinde

B-2 kvinder

S-3 kvinder

P(A) = 8/20; P(B/A) = 7/19; P(C/AB) = 6/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)* P(C/AB) = 336/6840 = 0,049

c) A-mindst 1 mand

Alle kvinder

P(A)=1- P(---A)

P(---A) = 8/20 * 7/19 * 6/18 = 0,049

69. Ud af 25 ansatte har 10 virksomheder en videregående uddannelse: Bestem sandsynligheden for, at ud af tre tilfældigt udvalgte personer har en videregående uddannelse; a) tre personer; b) én person; c) mindst én person.

Løsning:

70. Bogstaverne "K", "A", "P", "T", "O", "Ch", "K", "A" er skrevet på kortene. Kortene blandes og placeres i den rækkefølge, de trækkes. Hvad er sandsynligheden for, at du får: a) ordet "KORT"; b) ordet "MAP"; c) ordet "AKTUEL".

71. Der er 15 produkter af høj kvalitet i en æske med 25 varer. 3 genstande trækkes tilfældigt. Bestem sandsynligheden for, at: a) en af ​​dem er af øget kvalitet; b) alle tre produkter er af forbedret kvalitet; c) mindst ét ​​produkt af forbedret kvalitet.

Løsning:

72. Der kastes tre terninger. Hvad er sandsynligheden for, at: a) mindst én af dem vil have 5 point; b) alle får ulige tal; c) alle terninger vil vise de samme tal

73. Den første æske med 6 kugler indeholder 4 røde og 2 sorte, den anden æske med 7 kugler indeholder 2 røde og 5 sorte. Den ene bold blev overført fra den første boks til den anden, derefter blev den ene bold overført fra den anden til den første. Find sandsynligheden for, at kuglen, der så trækkes fra den første boks, er sort.

74. To virksomheder producerer den samme type produkter. Desuden producerer den anden 55% af produkterne fra begge virksomheder. Sandsynligheden for, at den første virksomhed producerer et ikke-standardprodukt er 0,1, og den anden er 0,15. a) Bestem sandsynligheden for, at et produkt taget tilfældigt vil vise sig at være ikke-standard, b) Produktet, der tages, vil vise sig at være ikke-standard. Hvad er sandsynligheden for, at det blev produceret på det andet anlæg.

Løsning:

75. Der er tre urner. Den første har 3 hvide og 2 sorte kugler, den anden og tredje har 4 hvide og 3 sorte kugler. En kugle trækkes fra en tilfældigt udvalgt urne. Han viste sig at være hvid. Hvad er sandsynligheden for, at bolden bliver trukket fra den tredje urne?

Løsning: P(H1) = 1/3; P(H2) = 1/3; P(H3) = 1/3.

P(A) – sandsynlighed for at trække en hvid kugle.

Hvis 1. urne vælges P(A/H1) = 3/5

2. P(A/H2) = 4/7

3. P(A/H3) = 4/7

P(A) = 1/3 * 3/5 + 1/3 * 4/7 + 1/3 * 4/7 = 12/21

P(H3/A) = (4/7 * 1/3) / (12/21) = 1/3

Svar: 1/3

76. Frø til såning leveres til bedriften fra tre frøbedrifter. Desuden sender den første og anden gård hver 40 % af alle frø. Spiringshastigheden for frø fra den første gård er 90%, den anden er 85%, og den tredje er 95%. a) Bestem sandsynligheden for, at et frø taget tilfældigt ikke vil spire, b) Et frø taget tilfældigt vil ikke spire Hvad er sandsynligheden for, at det kom fra en anden gård?

77. Eksamensprogrammet består af 30 spørgsmål. Af de 20 elever i gruppen lærte 8 personer alle spørgsmålene, 6 personer lærte 25 spørgsmål, 5 personer lærte 20 spørgsmål, og en person lærte 10 spørgsmål. Bestem sandsynligheden for, at en tilfældigt opkaldt elev svarer på to spørgsmål på billetten.

Løsning: H1 er valget af en elev, der har lært alt, H2 er valget af en elev, der har lært 25 spørgsmål, H3 er valget af en elev, der har lært 20 spørgsmål, H4 er valget af en elev, der har lært 10 spørgsmål .

P(H1) = m/n = 8/20 = 2/5 m-dem der har lært alle spørgsmålene, n-alle elever.

P(H2) = 6/20 = 3/10

P(H3) = 5/20 = ¼

P(A/H1) = 1 – Sandsynligheden for, at en elev, der har lært alt, svarede på 2 spørgsmål på billetten ud af 25 spørgsmål, han lærte.

P(A/H2) = 25/30 = 5/6 – sandsynligheden for, at eleven svarer på 2 spørgsmål på billetten ud af 25 spørgsmål, han har lært.

P(A/H3) = 20/30 = 2/3 – sandsynligheden for, at en elev, der har lært 20 spørgsmål, svarer på 2 spørgsmål på billetten.

P(A/H4) = 10/30 = 1/3 – sandsynligheden for, at en elev, der har lært 10 spørgsmål, svarer på 2 spørgsmål på billetten.

Ved hjælp af den samlede sandsynlighedsformel finder vi sandsynligheden for, at en tilfældigt opkaldt elev svarer på 2 spørgsmål på billetten:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) ) ) + P(H4) P(A/H4)

P(A) = 2/5*1 + 3/10*5/6 + 1/4*2/3 + 1/20*1/3 = 2/5 + 1/4+ 1/6 + 1/60 = 24/60 +15/60 +10/60 + 1/60 = 50/60 = 5/6

Svar: 5/6

78. Før såning behandles 95% af frøene med en speciel opløsning. Frøspiring efter behandling er 99%, ubehandlet 85%. A) Hvad er sandsynligheden for, at et tilfældigt udvalgt frø spirer? B) Det tilfældigt udtagne frø spirede. Hvad er sandsynligheden for, at det kommer fra behandlet frø?

Løsning: H1-behandlede frø, H2 – ubehandlede frø, A – spiret frø.

95% + 5% = 100% => P(H1) = 0,95; P(H2) = 0,05

P(A/H1) = 0,99 – sandsynligheden for, at et tilfældigt taget frø vil spire, hvis det behandles.

P(A/H2) = 0,85 – Sandsynligheden for, at et tilfældigt udvalgt frø spirer, hvis det er ubehandlet.

A) ved hjælp af formlen for total sandsynlighed finder vi sandsynligheden for, at et tilfældigt taget frø vil spire:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1) P(A/H1) + P(H2)P( A/H2)

P(A) = 0,95*0,99 + 0,05*0,85 = 0,9405 +0,0425 = 0,983

Svar: 0,983

79. Butikken modtager fjernsyn fra fire fabrikker. Sandsynligheden for, at tv'et ikke vil have en funktionsfejl i løbet af året er: for det første anlæg 0,9, for det andet 0,8, for det tredje 0,8 og for det fjerde 0,99. Et tilfældigt udvalgt tv fejlede inden for et år. Hvad er sandsynligheden for, at det blev fremstillet i den første fabrik?

80. Det er lige så sandsynligt, at en køber besøger hver af de tre butikker. Sandsynligheden for, at en kunde køber et produkt i den første butik er 0,4, den anden er 0,6 og den tredje er 0,8. Bestem sandsynligheden for, at en kunde vil købe et produkt i en bestemt butik. Køberen købte produktet. Find sandsynligheden for, at han købte den i den anden butik.

Svar: 0,7157

2. En arbejder betjener 3 maskiner. Sandsynligheden for fejlfri drift af den første af dem er 0,75, den anden er 0,85,
tredje 0,95. Find sandsynligheden for, at a) to maskiner fejler, b) alle tre maskiner vil fungere uden fejl, c) mindst én maskine vil fejle.

3. Fra et spil med 52 kort trækkes tilfældigt 3. Find sandsynligheden for, at det er en treer, en syver og et es.

4. Find sandsynligheden for, at en abonnent vil ringe til det korrekte tocifrede nummer, hvis han ved, at det givne tallet er ikke deleligt med 5

Løsning: P(A) = m/n; m=1/

Lad os tælle det samlede antal tocifrede tal. Det er lig med 90 og træk fra disse tal dem, der er delelige med 5 (10,15,20,25...90,95). Deres tal er 18 => n=90-18=72

Svar: 1/72

5. En terning kastes 2 gange: a) Find sandsynligheden for, at summen af ​​point på de øverste flader bliver 7. b) find sandsynligheden for, at der dukker mindst 2 point op i løbet af et kast.

Løsning: P(A)=m/n

a) P(A)=6/36 =1/6

b) P(B)=1-5/6*5/6=1-25/36 =11/36

6. Der er 5 sorte og 7 røde kugler i urnen. Tre kugler trækkes sekventielt (uden at vende tilbage). Find sandsynligheden for, at a) alle tre kugler bliver røde, b) tre kugler vil være røde eller sorte.

Løsning: C m n = n! /m!(n-m)!

C 3 12 = 220 - muligheder for at tegne tre bolde.

a) Du kan få 3 røde ud af 7 på 7 måder.

m = C37 = 7! / 3!*4! = 35

P (Al) = m/n = 35/220 = 7/44

b) du kan få 3 røde ud af 7 på 7 måder, og 3 sorte ud af 5 =>

Med 3 5 måder.

m = C 3 7 + C 3 5 = 35 + 5! / 3!*2! = 35 + 10 = 45

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Svar: a) P(A) = 7/44; b) P(A2) = 9/44

I en gruppe på 15 personer dyrker 6 personer sport. Find sandsynligheden for, at ud af 7 tilfældigt udvalgte personer, går 5 personer til sport.

Løsning: P(A) = C 5 6 * C 2 9 / C 7 15 = ((6!/(5!*1!))*(9!/(2!*7!)) / (15! / (7) !*8!) = (5*36) / (15* 14* 13* 12* 11* 10* 9* 8!) / (1*2*3*4*5*6*7*8) = ( 5*36*12) / (15*13*11*3) = 4/143 =0,03

Svar: 0,3.

Musen kan vælge en af ​​5 labyrinter tilfældigt. Det er kendt, at sandsynligheden for, at hun forlader forskellige labyrinter på 3 minutter, er 0,5; 0,6; 0,2; 0,1; 0,1. Lad det vise sig, at musen kom ud af labyrinten på 3 minutter. Hvad er sandsynligheden for, at hun valgte den første labyrint? Anden labyrint?

Løsning: I første omgang er sandsynligheden for at vælge en labyrint med musen lig med:

P(H1) = P(H2) = P(H3) = P(H4) = P(H5) = 1/5 – sandsynlighed for at vælge henholdsvis 1,2,3,4,5 labyrinten.

A – udgang fra labyrinten.

P(A/H1) = 0,5 – Sandsynlighed for, at en mus forlader 1 labyrint

P(A/H2) = 0,6 – fra 2 labyrinter.

P(A/H3) =0,2 – fra 3. labyrint

P(A/H4) = 0,1 – fra 4 labyrinter

P(A/H5) = 0,1 – fra 5 labyrint

Ifølge den samlede sandsynlighedsformel:

P(A) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) ) +P(H4)P(A/H4) +P(H5)P(A/H5)

P(A) = 1/5*0,5 + 1/5*0,6 + 1/5*0,2 + 1/5*0,1 +1/5*0,1 = 1/5 (0,5+0,6+0,2+0,1+0,1 )=1/5*1,5=1,5*3/2 = 3/10 – sandsynlighed for, at en mus forlader labyrinten på 3 minutter.

A) Find sandsynligheden for, at musen valgte den første labyrint (ved hjælp af Bayes' formel):

P(H1/A) = P(H1)P(A/H1) / P(A) = (0,5*1/5)/(3/10) = (1/2*1/5) /( 3/ 10) = 1/10*10/3 = 1/3

B) Find sandsynligheden for, at musen valgte den anden labyrint (ved hjælp af Bayes' formel)

P(H2/A) = P(H2)P(A/H2) / P(A) = (1/5*0,6) / 3/10 = (1/5*3/5) / 3/10 = 3 /25* 10/3 = 10/25 = 2/5

Svar: 1/3; 2/5

9. Ud af 10 lodder vinder 2. Find sandsynligheden for, at en ud af 5 lodder vinder.

10. I september er sandsynligheden for en regnvejrsdag 0,3. Hold "Statistician" vinder på en klar dag med en sandsynlighed på 0,8, og på en regnvejrsdag er denne sandsynlighed 0,3. Det er kendt, at de i september vandt en bestemt kamp.Hvad er sandsynligheden for, at den dag: a) det regnede; b) det var en klar dag.

11. Sandsynligheden for, at den første skytte rammer målet er 0,7, den anden - 0,5 og den tredje -0,4. Find sandsynligheden for, at mindst én skytte rammer målet .

Løsning:

Den første æske indeholder 20 dele, hvoraf 10 er standard, anden æske indeholder 30 dele, hvoraf 25 er standard, tredje æske indeholder 10 dele, hvoraf 8 er standard. Den ene del blev taget tilfældigt fra en tilfældigt udvalgt kasse, som viste sig at være standard. Find sandsynligheden for, at det er taget fra den anden boks.

Løsning: P(Hi) = 1/3; P(A/H1)=10/20=1/2; P(A/H2)=25/30=5/6;

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

P(H2/A) = (P(H2)*P(A/H2)) / P(A) = (1/3*5/6) /62/45 = 0,39

13. Hvert af fem identiske kort indeholder et af følgende bogstaver: A, E, N, C, T. Kort
blandet. Bestem sandsynligheden for, at det ud fra de kort, der tages ud og lægges i en række, er muligt at lave
ordet "WALL", b) fra tre kort kan du lave ordet "NEJ".

For at ramme målet er mindst et projektil nok til at ramme det. To salver blev affyret fra to kanoner. Find sandsynligheden for at ramme et mål, hvis sandsynligheden for at ramme målet med et skud fra den første pistol er 0,46, den anden er 0,6.

Løsning:

Lad B ikke have nogen hits

A1 – rammer på 1. skud.

A2 – træf på 2. skud.

P(B) = -- A1 - A2 = 0,54* 0,4 = 0,216

Så C - mindst ét ​​hit.

P(C) = 1 - 0,216 = 0,784

Svar: 0,784

Der er 3 urner. Den første urne indeholder 6 sorte og 4 hvide, den anden indeholder 5 hvide og 5 sorte, den tredje indeholder 7 hvide og 3 sorte. En urne vælges tilfældigt, og der trækkes en kugle fra den, som viser sig at være hvid. Find sandsynligheden for, at den anden urne bliver valgt.

Løsning:

H1 = 1/3; H2=1/3; H3=1/3

P(H/H1) = 4/10; P(H/H2) = 1/2; P(H/H3) = 7/10

P(H) = 1/3*4/10 + 1/3*1/2 + 1/3*1/7 = 16/30

P(H2/H) = (1/2*1/3)/ (8/15) = 1/6* 15/8 = 15/48

Svar: 15/48 = 0,3125

16. Mønten kastes 3 gange. Find sandsynligheden for, at våbenskjoldet dukker op: a) alle 3 gange, b) kun én gang, c) mindst én gang

Løsning:

17. Tallene 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 skrives på individuelle kort Alle kort blandes, hvorefter 5 kort tages tilfældigt og lægges ud på række. Bestem sandsynligheden for, at tallet 1 2 0 3 5 opnås. (Løs problemet ved at bruge definitionen af ​​sandsynligheden for en begivenhed og sandsynlighedslærens sætninger)

Tre berømte økonomer foreslog samtidig deres teorier, som blev anset for lige så sandsynlige. Efter at have observeret økonomiens tilstand viste det sig, at sandsynligheden for udviklingen, som den faktisk modtog i overensstemmelse med den første teori, er 0,5; fra den anden – 0,7; fra den tredje – 0,4. Hvordan vil dette ændre sandsynligheden for rigtighed af de tre teorier.

Løsning:

P(A/H1)=0,5; P(A/H2)=0,7; P(A/H3)=0,4

P(A)=P(H1)*P(A/H1)+…=1/3*0,5+1/3*0,7+

1/3*0,4=1/3(0,5+0,7+0,4)=1,6/3=0,533

P(H1/A)=(1/3*0,5)/(1/3*1,6)=0,5/1,6=0,32.

P(H2/A)=0,7/1,6=0,42

Butikken sælger 4 båndoptagere. Sandsynligheden for, at de vil modstå garantiperioden er henholdsvis lig med: 0,91; 0,9; 0,95; 0,94. Find sandsynligheden for, at en tilfældigt købt båndoptager vil overleve garantiperioden.

Løsning: Sandsynlighed for at købe 1 båndoptager –1/4; 2 – 1/4; 3 – 1/4; 4 –1/4.

P(A) = 1/4 * 0,91 + ¼ * 0,9 + ¼ * 0,95 + ¼ * 0,94 = 0,2275 + 0,225 + 0,2375 + 0,235 = 0,925

Svar: P(A) = 0,925

Opgave nr. 1.26

Bilnummeret indeholder fire cifre, som hver kan have værdier fra 0 til 9 (tallet 0000 er muligt). Bestem sandsynligheden for, at det andet ciffer i tallet er fire.

Lad os finde antallet af alle mulige kombinationer af bilnummeret:

Det andet ciffer i tallet er 4, hvis dets kombination er et sæt af formen: X 4 XX, hvor X er et vilkårligt ciffer fra 0 til 9.

Derfor er antallet af sådanne tal lig med:

Sandsynligheden for, at det andet ciffer i tallet er fire.

Svar:

Opgave nr. 2.11

Et diagram over forbindelsen af ​​elementer, der danner et kredsløb med en indgang og en udgang, er givet (figur 1). Det antages, at elementfejl er kollektivt uafhængige hændelser. Fejl i nogen af ​​elementerne fører til en afbrydelse af signalet i den gren af ​​kredsløbet, hvor dette element er placeret. Fejlsandsynlighederne for elementerne 1, 2, 3, 4, 5 er henholdsvis lig med q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Find sandsynligheden for, at signalet går fra input til output.

Billede 1

Ifølge figur 1 er elementer 1, 2, 3 forbundet parallelt med hinanden og i serie med element 4.

Lad os indtaste begivenhederne: EN­ 1 – element 1 er OK, EN­ 2 – element 2 er OK, EN­ 3 – element 3 er OK, EN­ 4 – element 4 er OK, B– signalet går fra punktet -en til sagen b, C– signalet går fra punktet -en til sagen c(fra indgang til udgang).

Begivenhed B vil ske, hvis enten element 1 eller element 2 eller element 3 virker:

B :

Begivenhed C vil ske, hvis hændelsen indtræffer B og begivenhed EN 4 :

Sandsynlighed for, at en begivenhed indtræffer C :

Svar:

Opgave nr. 3.28

Enheder af samme navn fremstilles på tre fabrikker. Det første anlæg leverer 45% af alle produkter, der kommer i produktion, det andet - 30% og det tredje - 25%. Sandsynligheden for fejlfri drift af en enhed fremstillet på det første anlæg er 0,8, ved det andet - 0,85 og ved det tredje - 0,9. Enheden, der kom i produktion, viste sig at være i god stand. Bestem sandsynligheden for, at den blev fremstillet på den anden fabrik.

Lad os med A angive begivenheden - den enhed, der er modtaget til produktion, er i god stand.

Lad os gøre en række antagelser:

Enheden kom fra 1. fabrik:

Enheden kom fra 2. fabrik:

Enheden kom fra 3. fabrik:

De tilsvarende betingede sandsynligheder for hver af hypoteserne er:

Ved hjælp af totalsandsynlighedsformlen finder vi sandsynligheden for en begivenhed EN:

Lad os beregne sandsynligheden for, at en fungerende enhed kom fra 2. anlæg:

Svar:

Opgave nr. 4.26

En mønt bliver kastet 100 gange. Hvad er sandsynligheden for, at den aldrig lander med våbenskjoldet opad?

Begivenhed - mønten landede aldrig med billedsiden opad i 100 kast.

Sandsynlighed for, at mønten ikke landede med forsiden opad s=0,5 og derfor sandsynligheden for, at mønten faldt med våbenskjoldet oppe q=0,5 :

Lad os bestemme sandsynligheden for en begivenhed EN efter Bernoullis formel ( n = 100; k =100 )

Svar:

Opgave nr. 5.21

En diskret stokastisk variabel X kan tage en af ​​fem faste værdier x1, x2, x3, x4, x5 med sandsynligheder henholdsvis p1, p2, p3, p4, p5. Beregn den matematiske forventning og varians af værdien X. Beregn og plot fordelingsfunktionen.

Tabel 1 – Indledende data

Matematisk forventning og spredning af X-værdien:

Lad os konstruere en serie af distribution af SV X:

Tabel 2 – Distributionsserie SV X

Lad os plotte fordelingsfunktionen (figur 2):

Figur 2 - graf over fordelingsfunktionen F(X i)

Problem nr. 6.3

Tilfældig værdi x givet ved sandsynlighedstætheden:

Definer en konstant MED, matematisk forventning, spredning, fordelingsfunktion af værdien X, samt sandsynligheden for at den falder ind i intervallet.

Derfor konstanten:

Lad os bestemme den matematiske forventning til SV X:

Lad os bestemme spredningen af ​​SV x:

Lad os definere fordelingsfunktionen af ​​værdien X:

Svar:

Opgave nr. 7.15

Tilfældig værdi x fordelt ensartet over intervallet [ a,b]. Plot en tilfældig variabel Y= (X) og bestemme sandsynlighedstætheden g(y).

der er ingen omvendte funktioner

Figur 3 – funktionsgraf

Siden den tilfældige variabel x er fordelt ensartet over intervallet, så er dens sandsynlighedstæthed lig med:

Lad os bestemme sandsynlighedstætheden for mængden:

Opgave nr. 8.30

2D tilfældig vektor ( X, Y) er ensartet fordelt inden for området B fremhævet med fede rette linjer i figur 4. Todimensionel sandsynlighedstæthed f(x,y) er det samme for ethvert punkt i denne region B:

Beregn korrelationskoefficienten mellem værdierne af X og Y.

Tabel 3 - Indledende data

Figur 4

Lad os bygge et område B i henhold til koordinaterne fra tabel 5 og figur 4.

Figur 5

Lad os analysere figur 5: område B på intervallet er afgrænset til venstre af en lige linje, til højre, på intervallet er afgrænset til venstre af en lige linje, til højre -

Derfor vil den fælles sandsynlighedstæthed have formen:

Dermed:

Lad os kontrollere resultatet opnået geometrisk. Volumen af ​​et legeme begrænset af fordelingsfladen I og planet xOy er lig med 1, dvs.:

Derfor blev konstanten beregnet korrekt.

Lad os beregne de matematiske forventninger:

Lad os beregne varianserne:

Lad os beregne korrelationsmomentet:

Lad os beregne korrelationskoefficienten mellem værdierne af X og Y:

Svar:

Opgave nr. 9

Baseret på en stikprøve af en endimensionel tilfældig variabel:

Få en variationsserie;

Plot den empiriske distributionsfunktion F * (x) ;

Konstruer et histogram ved hjælp af lige-interval-metoden;

Konstruer et histogram ved hjælp af en metode med lige sandsynlighed;

Beregn punktestimat af forventning og varians;

Beregn intervalestimat af matematisk forventning og spredning (γ = 0,95);

Fremsæt en hypotese om fordelingsloven for en stokastisk variabel og test den ved hjælp af goodness-of-fit-testen  2 og Kolmogorov-kriteriet (  = 0,05).

Univariat prøveudtagning:

Prøvestørrelse

Løsning

1. Vi får en variationsserie fra den originale:

Lad os bygge et histogram ved hjælp af lige-interval-metoden (figur 7).

For at konstruere et histogram vil vi sammensætte en intervalstatistisk serie, idet vi tager højde for, at længden af ​​alle intervaller skal være den samme.

Antal intervaller;

- intervalbredde;

Frekvensen af ​​SV X, der rammer det j-te interval;

Statistisk tæthed i det j. interval.

Tabel 4 – Intervalstatistiske serier

f * (x)

Figur 7

Lad os bygge et histogram ved hjælp af en metode med lige sandsynlighed (figur 8).

For at konstruere et histogram vil vi kompilere en intervalstatistisk serie, idet vi tager højde for, at frekvensen af ​​SV X, der rammer i hvert j-te interval, skal være den samme (tabel 5).

Tabel 5 – Intervalstatistiske serier

f * (x)

Figur 8

Lad os beregne punktestimat af den matematiske forventning og varians:

Lad os beregne intervalestimaterne for den matematiske forventning og spredning (γ = 0,95):

H 0 – værdien af ​​X er fordelt i henhold til den eksponentielle lov:

H 1 – værdien af ​​X er ikke fordelt efter en eksponentiel lov

Således opnår vi en fuldt defineret hypotetisk fordelingsfunktion:

Lad os tjekke hypotesen om normalloven ved hjælp af Pearson-kriteriet. Lad os beregne værdien af ​​kriteriet baseret på en statistisk serie med lige intervaller:

Vi beregner de teoretiske sandsynligheder for at falde ind i intervallerne ved hjælp af formlen:

Tabel 6 – Beregningsresultater

Lad os kontrollere rigtigheden af ​​beregningerne:

Lad os beregne Pearson-kriteriet:

Lad os bestemme antallet af frihedsgrader:

Vi vælger den kritiske værdi af Pearson-kriteriet fra tabellen for graden af ​​frihed og det givne signifikansniveau:

Da betingelsen er opfyldt, accepteres hypotesen H 0 om eksponentialfordelingsloven (der er ingen grund til at forkaste den).

8) Lad os tjekke hypotesen ved hjælp af Kolmogorov-kriteriet. For at gøre dette vil vi plotte en hypotetisk fordelingsfunktion i det samme koordinatsystem med den empiriske funktion (figur 6). Vi bruger 10 værdier fra tabel 6 som referencepunkter. Ved hjælp af grafen bestemmer vi den maksimale absolutte afvigelse mellem funktionerne og :

Lad os beregne værdien af ​​Kolmogorov-kriteriet:

Fra Kolmogorov-tabellen, i henhold til et givet signifikansniveau, vælger vi den kritiske værdi af kriteriet:

Da betingelsen er opfyldt, er hypotesen H 0 om eksponentialfordelingsloven accepteres (der er ingen grund til at afvise den).