Ligning i totale differentialer. Differentialligninger i totale differentialer Generelt integral af en differentialligning i totale differentialer

Differential kaldet formens ligning

P(x,y)dx + Q(x,y)D y = 0 ,

hvor venstre side er den totale differens af enhver funktion af to variable.

Lad os betegne den ukendte funktion af to variable (det er det, der skal findes, når man løser ligninger i totale differentialer) ved F og vi vender snart tilbage til det.

Det første du skal være opmærksom på er, at der skal være et nul i højre side af ligningen, og tegnet, der forbinder de to led i venstre side, skal være et plus.

For det andet skal der observeres en vis lighed, hvilket bekræfter, at denne differentialligning er en ligning i totale differentialer. Denne kontrol er en obligatorisk del af algoritmen til løsning af ligninger i totale differentialer (det er i andet afsnit i denne lektion), så processen med at finde en funktion F ret arbejdskrævende, og det er vigtigt at sikre sig i den indledende fase, at vi ikke spilder tid.

Så den ukendte funktion, der skal findes, er angivet med F. Summen af partielle differenser for alle uafhængige variabler giver den samlede differens. Derfor, hvis ligningen er en total differentialligning, er venstre side af ligningen summen af de partielle differentialer. Så per definition

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)D y .

Lad os huske formlen til beregning af den samlede differential af en funktion af to variable:

Løsning af de to sidste ligheder, kan vi skrive

Vi differentierer den første lighed med hensyn til variablen "y", den anden - med hensyn til variablen "x":

hvilket er en betingelse for, at en given differentialligning virkelig er en total differentialligning.

Algoritme til løsning af differentialligninger i totale differentialer

Trin 1. Sørg for, at ligningen er en total differentialligning. For udtrykket var den samlede forskel for en eller anden funktion F(x, y) er nødvendigt og tilstrækkeligt til at . Med andre ord skal du tage den partielle afledte mht x og den partielle afledte mht y et andet led, og hvis disse afledte er ens, så er ligningen en total differentialligning.

Trin 2. Nedskriv et system af partielle differentialligninger, der udgør funktionen F:

Trin 3. Integrer den første ligning af systemet - ved x (y F:

,
y.

En alternativ mulighed (hvis det er nemmere at finde integralet på denne måde) er at integrere systemets anden ligning - ved at y (x forbliver en konstant og tages ud af integraltegnet). På denne måde gendannes funktionen også F:

,
hvor er en endnu ukendt funktion af x.

Trin 4. Resultatet af trin 3 (det fundne generelle integral) er differentieret med y(alternativt - iflg x) og lig med den anden ligning i systemet:

og i en alternativ version - til den første ligning af systemet:

Ud fra den resulterende ligning bestemmer vi (alternativt)

Trin 5. Resultatet af trin 4 er at integrere og finde (alternativt find ).

Trin 6. Erstat resultatet af trin 5 med resultatet af trin 3 - i funktionen gendannet ved delvis integration F. Vilkårlig konstant C ofte skrevet efter lighedstegnet - i højre side af ligningen. Således får vi en generel løsning på differentialligningen i totale differentialer. Det har, som allerede nævnt, formen F(x, y) = C.

Eksempler på løsninger til differentialligninger i totale differentialer

Eksempel 1.

Trin 1. ligning i totale differentialer x et led i venstre side af udtrykket

og den partielle afledte mht y et andet udtryk
ligning i totale differentialer .

Trin 2. F:

Trin 3. Ved x (y forbliver en konstant og tages ud af integraltegnet). Således genopretter vi funktionen F:

hvor er en endnu ukendt funktion af y.

Trin 4. y

Trin 5.

Trin 6. F. Vilkårlig konstant C :
.

Hvilken fejl opstår mest sandsynligt her? De mest almindelige fejl er at tage et partielt integral over en af variablerne for det sædvanlige integral af et produkt af funktioner og forsøge at integrere med dele eller en erstatningsvariabel, og også at tage den partielle afledte af to faktorer som den afledede af en produkt af funktioner og se efter den afledede ved hjælp af den tilsvarende formel.

Dette skal huskes: når man beregner et partielt integral med hensyn til en af variablerne, er den anden en konstant og tages ud af integralets fortegn, og når man beregner den partielle afledte med hensyn til en af variablerne, den anden er også en konstant, og den afledede af udtrykket findes som den afledede af den "virkende" variabel ganget med konstanten.

Blandt ligninger i totale differentialer Det er ikke ualmindeligt at finde eksempler med en eksponentiel funktion. Dette er det næste eksempel. Det er også bemærkelsesværdigt for det faktum, at dens løsning bruger en alternativ mulighed.

Eksempel 2. Løs differentialligning

Trin 1. Lad os sikre os, at ligningen er ligning i totale differentialer . For at gøre dette finder vi den partielle afledte mhp x et led i venstre side af udtrykket

og den partielle afledte mht y et andet udtryk
. Disse afledte er ens, hvilket betyder, at ligningen er ligning i totale differentialer .

Trin 2. Lad os skrive et system af partielle differentialligninger, der udgør funktionen F:

Trin 3. Lad os integrere systemets anden ligning - ved y (x forbliver en konstant og tages ud af integraltegnet). Således genopretter vi funktionen F:

hvor er en endnu ukendt funktion af x.

Trin 4. Vi differentierer resultatet af trin 3 (det fundne generelle integral) mhp x

og lig med den første ligning i systemet:

Ud fra den resulterende ligning bestemmer vi:
.

Trin 5. Vi integrerer resultatet af trin 4 og finder:
.

Trin 6. Vi erstatter resultatet af trin 5 med resultatet af trin 3 - i funktionen gendannet ved delvis integration F. Vilkårlig konstant C skriv efter lighedstegnet. Dermed får vi totalen løse en differentialligning i totale differentialer :
.

I det følgende eksempel vender vi tilbage fra en alternativ mulighed til den vigtigste.

Eksempel 3. Løs differentialligning

Trin 1. Lad os sikre os, at ligningen er ligning i totale differentialer . For at gøre dette finder vi den partielle afledte mhp y et led i venstre side af udtrykket

og den partielle afledte mht x et andet udtryk
. Disse afledte er ens, hvilket betyder, at ligningen er ligning i totale differentialer .

Trin 2. Lad os skrive et system af partielle differentialligninger, der udgør funktionen F:

Trin 3. Lad os integrere systemets første ligning - Ved x (y forbliver en konstant og tages ud af integraltegnet). Således genopretter vi funktionen F:

hvor er en endnu ukendt funktion af y.

Trin 4. Vi differentierer resultatet af trin 3 (det fundne generelle integral) mhp y

og lig med systemets anden ligning:

Ud fra den resulterende ligning bestemmer vi:
.

Trin 5. Vi integrerer resultatet af trin 4 og finder:

Eksempel 4. Løs differentialligning

Trin 2. Lad os skrive et system af partielle differentialligninger, der udgør funktionen F:

Trin 3. Lad os integrere systemets første ligning - Ved x (y forbliver en konstant og tages ud af integraltegnet). Således genopretter vi funktionen F:

hvor er en endnu ukendt funktion af y.

Trin 4. Vi differentierer resultatet af trin 3 (det fundne generelle integral) mhp y

og lig med systemets anden ligning:

Ud fra den resulterende ligning bestemmer vi:
.

Trin 5. Vi integrerer resultatet af trin 4 og finder:

Eksempel 5. Løs differentialligning

I dette emne vil vi se på metoden til at rekonstruere en funktion ud fra dens totale differential og give eksempler på problemer med en komplet analyse af løsningen.

Det sker, at differentialligninger (DE) på formen P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 kan indeholde fuldstændige differentialer af nogle funktioner på venstre side. Så kan vi finde det generelle integral af differentialligningen, hvis vi først rekonstruerer funktionen ud fra dens totale differential.

Eksempel 1

Overvej ligningen P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Den venstre side indeholder differentialet for en bestemt funktion U(x, y) = 0. For at gøre dette skal betingelsen ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x være opfyldt.

Den samlede differens af funktionen U (x, y) = 0 har formen d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Under hensyntagen til betingelsen ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x opnår vi:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Ved at transformere den første ligning fra det resulterende ligningssystem kan vi opnå:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Vi kan finde funktionen φ (y) fra den anden ligning af det tidligere opnåede system:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Sådan fandt vi den ønskede funktion U (x, y) = 0.

Eksempel 2

Find den generelle løsning for differentialligningen (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

Løsning

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Lad os kontrollere, om betingelsen ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x er opfyldt:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Vores betingelse er opfyldt.

Baseret på beregninger kan vi konkludere, at venstre side af den oprindelige differentialligning er den samlede differential af en eller anden funktion U (x, y) = 0. Vi skal finde denne funktion.

Da (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y er den samlede differential af funktionen U (x, y) = 0, så

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Lad os integrere den første ligning af systemet med hensyn til x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Nu differentierer vi det resulterende resultat med hensyn til y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Ved at transformere systemets anden ligning får vi: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Det betyder at
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

hvor C er en vilkårlig konstant.

Vi får: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Det generelle integral af den oprindelige ligning er x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Lad os se på en anden metode til at finde en funktion ved hjælp af en kendt total differential. Det involverer brugen af et krumlinjet integral fra et fast punkt (x 0, y 0) til et punkt med variable koordinater (x, y):

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

I sådanne tilfælde afhænger værdien af integralet ikke på nogen måde af integrationens vej. Som integrationsvej kan vi tage en stiplet linje, hvis led er placeret parallelt med koordinatakserne.

Eksempel 3

Find den generelle løsning til differentialligningen (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Løsning

Lad os kontrollere, om betingelsen ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x er opfyldt:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Det viser sig, at venstre side af differentialligningen er repræsenteret af den samlede differential af en eller anden funktion U (x, y) = 0. For at finde denne funktion er det nødvendigt at beregne linjeintegralet af punktet (1 ; 1) Før (x, y). Lad os tage en brudt linje som en vej til integration, hvoraf dele vil passere i en lige linje y = 1 fra punkt (1, 1) til (x, 1) og derefter fra punkt (x, 1) til (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Vi har fået en generel løsning til en differentialligning på formen x y - x y 2 + C = 0.

Eksempel 4

Bestem den generelle løsning til differentialligningen y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Løsning

Lad os kontrollere, om betingelsen ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x er opfyldt.

Da ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, så vil betingelsen ikke være opfyldt. Det betyder, at venstre side af differentialligningen ikke er funktionens fuldstændige differential. Dette er en differentialligning med adskillelige variable, og andre løsninger er velegnede til at løse den.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Definition 8.4. Formens differentialligning

Hvor
kaldes en total differentialligning.

Bemærk, at venstre side af en sådan ligning er den samlede differential for en eller anden funktion
.

Generelt kan ligning (8.4) repræsenteres som

I stedet for ligning (8.5) kan vi betragte ligningen

hvis løsning er det generelle integral af ligning (8.4). For at løse ligning (8.4) er det således nødvendigt at finde funktionen
. I overensstemmelse med definitionen af ligning (8.4) har vi

(8.6)

Fungere
vi leder efter en funktion, der opfylder en af disse betingelser (8.6):

Hvor - en vilkårlig funktion uafhængig af .

Fungere
er defineret således, at den anden betingelse for udtryk (8.6) er opfyldt

(8.7)

Ud fra udtryk (8.7) bestemmes funktionen
. At erstatte det i udtrykket for
og få det generelle integral af den oprindelige ligning.

Opgave 8.3. Integrer ligning

Her
.

Derfor hører denne ligning til typen af differentialligninger i totale differentialer. Fungere
vi vil lede efter det i formularen

På den anden side,

I nogle tilfælde tilstanden
kan ikke opfyldes.

Derefter reduceres sådanne ligninger til den pågældende type ved at gange med den såkaldte integrerende faktor, som i det generelle tilfælde kun er en funktion eller .

Hvis en ligning har en integrerende faktor, der kun afhænger af , så er det bestemt af formlen

hvor er forholdet skal kun være en funktion .

Tilsvarende afhænger den integrerende faktor kun af , bestemmes af formlen

hvor er forholdet
skal kun være en funktion .

Fravær i de givne relationer, i det første tilfælde af variablen , og i den anden - variablen , er et tegn på eksistensen af en integrerende faktor for en given ligning.

Opgave 8.4. Reducer denne ligning til en ligning i totale differentialer.

Overvej forholdet:

Emne 8.2. Lineære differentialligninger

Definition 8.5. Differentialligning
kaldes lineær, hvis den er lineær i forhold til den ønskede funktion , dens afledte og indeholder ikke produktet af den ønskede funktion og dens afledte.

Den generelle form for en lineær differentialligning er repræsenteret ved følgende relation:

(8.8)

Hvis i forhold (8.8) højre side
, så kaldes sådan en ligning lineær homogen. I tilfælde af, at højre side
, så kaldes sådan en ligning lineær inhomogen.

Lad os vise, at ligning (8.8) kan integreres i kvadraturer.

På det første trin betragter vi en lineær homogen ligning.

En sådan ligning er en ligning med adskillelige variable. Virkelig,

;

Den sidste relation bestemmer den generelle løsning af en lineær homogen ligning.

For at finde en generel løsning på en lineær inhomogen ligning bruges metoden til at variere den afledede af en konstant. Ideen med metoden er, at den generelle løsning af en lineær inhomogen ligning er i samme form som løsningen af den tilsvarende homogene ligning, men en vilkårlig konstant erstattet af en eller anden funktion
mangler at blive afklaret. Så vi har:

(8.9)

Ved at indsætte de tilsvarende udtryk i relation (8.8).
Og
, vi får

Ved at substituere det sidste udtryk i relation (8.9), får vi det generelle integral af den lineære inhomogene ligning.

Således er den generelle løsning af en lineær inhomogen ligning bestemt af to kvadraturer: den generelle løsning af en lineær homogen ligning og en særlig løsning af en lineær inhomogen ligning.

Opgave 8.5. Integrer ligning

Den oprindelige ligning hører således til typen af lineære inhomogene differentialligninger.

På det første trin finder vi en generel løsning på en lineær homogen ligning.

;

På andet trin bestemmer vi den generelle løsning af den lineære inhomogene ligning, som findes i formen

Hvor
- funktion skal fastlægges.

Så vi har:

Erstatter relationerne for Og ind i den oprindelige lineære inhomogene ligning får vi:

;

Den generelle løsning af en lineær inhomogen ligning vil have formen:

Redegørelse af problemet i den todimensionelle sag

Rekonstruering af en funktion af flere variable ud fra dens totale differential

9.1. Redegørelse af problemet i den todimensionelle sag. 72

9.2. Beskrivelse af løsningen. 72

Dette er en af anvendelserne af et krumlinjet integral af den anden slags.

Udtrykket for den samlede differential af en funktion af to variable er givet:

Find funktionen.

1. Da ikke alle udtryk i formen er en fuldstændig differential af en eller anden funktion U(x,y), så er det nødvendigt at kontrollere rigtigheden af problemformuleringen, det vil sige at kontrollere den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for den samlede differential, som for en funktion af 2 variable har formen . Denne betingelse følger af ækvivalensen af udsagn (2) og (3) i sætningen i det foregående afsnit. Hvis den angivne betingelse er opfyldt, har problemet en løsning, det vil sige en funktion U(x,y) kan gendannes; hvis betingelsen ikke er opfyldt, har problemet ingen løsning, det vil sige, at funktionen ikke kan gendannes.

2. Du kan finde en funktion ud fra dens totale differential, for eksempel ved at bruge et krumlinjet integral af den anden slags, ved at beregne det ud fra en linje, der forbinder et fast punkt ( x 0 ,y 0) og variabelt punkt ( x;y) (Ris. 18):

Således opnås det, at det krumlinede integral af den anden slags af den totale differentiale dU(x,y) er lig med forskellen mellem funktionens værdier U(x,y) ved slutningen og startpunkterne for integrationslinjen.

Når vi kender dette resultat nu, er vi nødt til at erstatte det dU ind i det krumlinjede integraludtryk og beregn integralet langs den stiplede linje ( ACB), givet dets uafhængighed af integrationslinjens form:

på ( A.C.): på ( NE) :

(1)

Der er således opnået en formel, ved hjælp af hvilken en funktion af 2 variable gendannes fra dens totale differential.

3. Det er muligt at gendanne en funktion fra dens totale differential kun op til et konstant led, da d(U+ const) = dU. Som et resultat af at løse problemet opnår vi derfor et sæt funktioner, der adskiller sig fra hinanden med et konstant led.

Eksempler (rekonstruerer en funktion af to variable ud fra dens samlede differential)

1. Find U(x,y), hvis dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

Vi kontrollerer betingelsen for den samlede differential af en funktion af to variable:

Den komplette differentiale betingelse er opfyldt, hvilket betyder funktionen U(x,y) kan gendannes.

Kontroller: – korrekt.

Svar: U(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Find en funktion sådan

Vi kontrollerer de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for den fuldstændige differential af en funktion af tre variable: , , , hvis udtrykket er givet.

I problemet bliver løst

alle betingelser for en komplet differential er opfyldt, derfor kan funktionen gendannes (problemet er formuleret korrekt).

Vi vil gendanne funktionen ved hjælp af et krumlinjet integral af den anden slags, og beregne det langs en bestemt linje, der forbinder et fast punkt og et variabelt punkt, da

(denne lighed er afledt på samme måde som i det todimensionelle tilfælde).

På den anden side afhænger et krumlinjet integral af den anden slags fra en total differential ikke af integrationslinjens form, så det er nemmest at beregne det langs en stiplet linje bestående af segmenter parallelt med koordinatakserne. I dette tilfælde kan du som et fikspunkt blot tage et punkt med specifikke numeriske koordinater og kun overvåge, at på dette punkt og langs hele integrationslinjen er betingelsen for eksistensen af et krumlinjet integral opfyldt (dvs. funktionerne og er kontinuerlige). Under hensyntagen til denne bemærkning kan vi i denne opgave tage for eksempel punktet M 0 som et fikspunkt. Så på hvert af linkene i den brudte linje vil vi have

10.2. Beregning af overfladeintegral af den første slags. 79

10.3. Nogle anvendelser af overfladeintegralet af den første slags. 81

nogle funktioner. Hvis vi gendanner en funktion fra dens samlede differential, finder vi det generelle integral af differentialligningen. Nedenfor vil vi tale om metode til at gendanne en funktion fra dens totale differential.

Den venstre side af en differentialligning er den samlede differential for en eller anden funktion U(x, y) = 0, hvis betingelsen er opfyldt.

Fordi fuld differentialfunktion U(x, y) = 0 Det her , hvilket betyder, at når betingelsen er opfyldt, er det oplyst, at .

Derefter, .

Fra den første ligning i systemet får vi . Vi finder funktionen ved hjælp af systemets anden ligning:

På denne måde finder vi den ønskede funktion U(x, y) = 0.

Eksempel.

Lad os finde den generelle løsning af DE .

Løsning.

I vores eksempel. Betingelsen er opfyldt, fordi:

Så er venstre side af den indledende differentialligning den samlede differential for en eller anden funktion U(x, y) = 0. Vi skal finde denne funktion.

Fordi er den samlede differential af funktionen U(x, y) = 0, Midler:

Vi integrerer ved x 1. systemets ligning og differentiere mhp y resultat:

Fra systemets 2. ligning får vi . Midler:

Hvor MED- vilkårlig konstant.

Således vil det generelle integral af den givne ligning være .

Der er en anden metode til at beregne en funktion ud fra dens samlede differential. Det består i at tage linjeintegralet af et fikspunkt (x 0 , y 0) til et punkt med variable koordinater (x, y): . I dette tilfælde er værdien af integralet uafhængig af integrationens vej. Det er praktisk at tage en brudt linie som integrationsvej, hvis led er parallelle med koordinatakserne.

Eksempel.

Lad os finde den generelle løsning af DE .

Løsning.

Vi kontrollerer opfyldelsen af betingelsen:

Således er venstre side af differentialligningen den komplette differential af en eller anden funktion U(x, y) = 0. Lad os finde denne funktion ved at beregne det krumlinede integral af punktet (1; 1) Før (x, y). Som en vej til integration tager vi en stiplet linje: den første del af den stiplede linje passeres langs en lige linje y = 1 fra punkt (1, 1) Før (x, 1), tager den anden sektion af stien et lige linjestykke fra punktet (x, 1) Før (x, y):

Så den generelle løsning af fjernbetjeningen ser sådan ud: .

Eksempel.

Lad os bestemme den generelle løsning af DE.

Løsning.

Fordi , hvilket betyder at betingelsen ikke er opfyldt, så vil venstre side af differentialligningen ikke være en komplet differential af funktionen, og du skal bruge den anden løsningsmetode (denne ligning er en differentialligning med adskillelige variable).