Trigonometri i livet. Rapport om trigonometri i det virkelige liv

(1561-1613), og videnskaben selv blev brugt i oldtiden til beregninger inden for astronomi, geodæsi og arkitektur.

Trigonometriske beregninger bruges i stort set alle områder af geometri, fysik og teknik. Af stor betydning er trianguleringsteknikken, som gør det muligt at måle afstande til nærliggende stjerner i astronomi, mellem vartegn i geografi og at styre satellitnavigationssystemer. Også bemærkelsesværdige er anvendelserne af trigonometri inden for områder som musikteori, akustik, optik, finansmarkedsanalyse, elektronik, sandsynlighedsteori, statistik, biologi, medicin (herunder ultralyd (US) og computertomografi), farmaceutiske produkter, kemi, talteori ( og, som en konsekvens, kryptografi), seismologi, meteorologi, oceanologi, kartografi, mange grene af fysik, topografi og geodæsi, arkitektur, fonetik, økonomi, elektronisk teknik, maskinteknik, computergrafik, krystallografi.

I USSR-skolen havde det status som et akademisk emne.

Definition af trigonometriske funktioner

Oprindeligt var trigonometriske funktioner relateret til aspektforhold i en retvinklet trekant. Deres eneste argument er en vinkel (en af de spidse vinkler i denne trekant).

Sinus er forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen.
Cosinus er forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen.
Tangent er forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side.
Cotangens er forholdet mellem den tilstødende side og den modsatte side.
Sekant er forholdet mellem hypotenusen og det tilstødende ben.
Cosecant er forholdet mellem hypotenusen og den modsatte side.

Disse definitioner giver dig mulighed for at beregne funktionsværdier for spidse vinkler, det vil sige fra 0° til 90° (fra 0 til radianer). I det 18. århundrede gav Leonhard Euler moderne, mere generelle definitioner og udvidede definitionen af disse funktioner til hele tallinjen. Lad os betragte en cirkel med enhedsradius i et rektangulært koordinatsystem (se figur) og plotte en vinkel fra den vandrette akse (hvis vinklen er positiv, så plotter vi den mod uret, ellers med uret). Lad os betegne skæringspunktet for den konstruerede side af vinklen med cirklen EN. Derefter:

For spidse vinkler falder de nye definitioner sammen med de tidligere.

En rent analytisk definition af disse funktioner er også mulig, som ikke er relateret til geometri og repræsenterer hver funktion ved sin udvidelse til en uendelig række.

Historie

Det gamle Grækenland

Gamle græske matematikere brugte akkordteknikken i deres konstruktioner relateret til måling af cirkelbuer. En vinkelret på akkorden, sænket fra midten af cirklen, halverer buen og akkorden, der hviler på den. En halv akkord halveret er sinus af en halv vinkel, og derfor er sinusfunktionen også kendt som "halv akkord". På grund af dette forhold var et betydeligt antal trigonometriske identiteter og sætninger kendt i dag også kendt af antikke græske matematikere, men i tilsvarende akkordform.

Selvom værkerne af Euclid og Archimedes ikke indeholder trigonometri i ordets strenge forstand, præsenteres deres teoremer i geometrisk form, svarende til specifikke trigonometriske formler. Arkimedes' sætning for at dividere akkorder svarer til formlerne for sinus for summen og forskellen af vinkler. For at kompensere for manglen på en akkordtabel brugte matematikere fra Aristarchus tid nogle gange en velkendt sætning, i moderne notation - sin α/ sin β< α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, совместно с другими теоремами.

Ptolemæus' sætning indebærer ækvivalensen af de fire sum- og differensformler for sinus og cosinus. Ptolemæus udviklede senere halvvinkelformlen. Ptolemæus brugte disse resultater til at skabe sine trigonometriske tabeller, selvom disse tabeller kan være afledt af Hipparchus' værker. Hverken Hipparchus eller Ptolemæus' tabeller har overlevet til denne dag, selvom beviserne fra andre gamle forfattere fjerner tvivl om deres eksistens.

middelalderlige Indien

Andre kilder rapporterer, at det var udskiftningen af akkorder med bihuler, der blev middelalderens Indiens vigtigste præstation. Denne udskiftning gjorde det muligt at introducere forskellige funktioner relateret til siderne og vinklerne i en retvinklet trekant. Således blev begyndelsen af trigonometri i Indien lagt som studiet af trigonometriske størrelser.

Indiske videnskabsmænd brugte forskellige trigonometriske relationer, herunder dem, der er udtrykt i moderne form som

Indianerne kendte også formler for flere vinkler, , hvor .

Trigonometri er nødvendig for astronomiske beregninger, som præsenteres i form af tabeller. Den første tabel over sines findes i Surya Siddhanta og Aryabhata. Senere kompilerede videnskabsmænd mere detaljerede tabeller: for eksempel giver Bhaskara en sinustabel hver 1°.

Sydindiske matematikere i det 16. århundrede gjorde store fremskridt inden for summering af uendelige talrækker. Tilsyneladende lavede de denne forskning, mens de ledte efter måder at beregne mere nøjagtige værdier for tallet π. Nilakanta giver verbalt reglerne for at udvide arctangensen til en uendelig potensrække. Og i den anonyme afhandling “Karanapaddhati” (“Computation Technique”) er der givet regler for udvidelse af sinus og cosinus til uendelige potensrækker. Det skal siges, at man i Europa kun opnåede lignende resultater i det 17. og 18. århundrede. Serierne for sinus og cosinus blev således udledt af Isaac Newton omkring 1666, og arctangent-serien blev fundet af J. Gregory i 1671 og G. W. Leibniz i 1673.

I det 8. århundrede. Forskere fra landene i Nær- og Mellemøsten blev bekendt med indiske matematikeres og astronomers værker og oversatte dem til arabisk. I midten af det 9. århundrede skrev den centralasiatiske videnskabsmand al-Khwarizmi et essay "On Indian Accounting". Efter at de arabiske afhandlinger blev oversat til latin, blev mange ideer fra indiske matematikere ejendom af europæisk og derefter verdensvidenskab.

se også

Noter

Wikimedia Foundation. 2010.

Se, hvad "Trigonometri" er i andre ordbøger:

Trigonometri... Retskrivningsordbog-opslagsbog

- (græsk, fra tri, goniavinkel og metromål). Den del af matematikken, der vedrører måling af trekanter. Ordbog over fremmede ord inkluderet i det russiske sprog. Chudinov A.N., 1910. TRIGONOMETRI Græsk, fra trigonon, trekant og metreo, jeg måler.… … Ordbog over fremmede ord i det russiske sprog

Moderne encyklopædi

Trigonometri- (fra den græske trigonontrekant og... geometri), en gren af matematikken, hvor trigonometriske funktioner og deres anvendelser på geometri studeres. Visse problemer med trigonometri blev løst af astronomer fra det antikke Grækenland (3. århundrede f.Kr.);... ... Illustreret encyklopædisk ordbog

- (fra den græske trigonontrekant og... geometri) en gren af matematikken, hvor trigonometriske funktioner og deres anvendelser på geometri studeres... Stor encyklopædisk ordbog

TRIGONOMETRI I VORES LIV

Mange mennesker spørger: hvorfor er trigonometri nødvendig? Hvordan bruges det i vores verden? Hvad kan trigonometri relateres til? Og her er svarene på disse spørgsmål. Trigonometri eller trigonometriske funktioner bruges i astronomi (især til at beregne positioner af himmellegemer), når sfærisk trigonometri er påkrævet, i sø- og luftnavigation, i musikteori, i akustik, i optik, i finansmarkedsanalyse, i elektronik, i sandsynlighed teori, i statistik, biologi, medicinsk billeddannelse såsom computertomografi og ultralyd, farmaci, kemi, talteori, seismologi, meteorologi, oceanografi, mange fysiske videnskaber, landmåling og landmåling, arkitektur, fonetik, i økonomi, i elektroteknik, i maskinteknik, i civilingeniør, i computergrafik, i kartografi, i krystallografi, i spiludvikling og mange andre områder.

Geodæsi

Landmålere skal ofte forholde sig til sinus og cosinus. De har specielle værktøjer til nøjagtigt at måle vinkler. Ved hjælp af sinus og cosinus kan vinkler konverteres til længder eller koordinater af punkter på jordens overflade.

Gammel astronomi

Begyndelsen af trigonometri kan findes i matematiske manuskripter fra det gamle Egypten, Babylon og det gamle Kina. Det 56. problem fra Rhinda-papyrusen (2. årtusinde f.Kr.) foreslår at finde hældningen af en pyramide, hvis højde er 250 alen og længden af grundsiden er 360 alen.

Den videre udvikling af trigonometri er forbundet med navnet på astronomen Aristarchus Samos (III århundrede f.Kr.). Hans afhandling "Om Solens og Månens størrelser og afstande" stillede problemet med at bestemme afstandene til himmellegemer; dette problem krævede at beregne forholdet mellem siderne i en retvinklet trekantfor en kendt værdi af en af vinklerne. Aristarchus betragtede den retvinklede trekant dannet af Solen, Månen og Jorden under en kvadratur. Han skulle beregne værdien af hypotenusen (afstanden fra Jorden til Solen) gennem benet (afstanden fra Jorden til Månen) med en kendt værdi af den tilstødende vinkel (87°), hvilket svarer til at beregne værdiensynd af vinkel 3. Ifølge Aristarchus ligger denne værdi i området fra 1/20 til 1/18, det vil sige, afstanden til Solen er 20 gange større end til Månen; faktisk er Solen næsten 400 gange længere væk end Månen, en fejl forårsaget af en unøjagtighed i målingen af vinklen.

Flere årtier senere Claudius Ptolemæus i sine værker "Geography", "Analemma" og "Planispherium" giver han en detaljeret præsentation af trigonometriske anvendelser til kartografi, astronomi og mekanik. Det er blandt andet beskrevetstereografisk projektion, er flere praktiske problemer blevet undersøgt, for eksempel: bestemmelse af højde og azimuthimmellegeme ifølge ham deklination og time vinkel. Med hensyn til trigonometri betyder det, at du skal finde siden af en sfærisk trekant fra de to andre sider og den modsatte vinkel.

Generelt kan vi sige, at trigonometri blev brugt til:

· nøjagtig bestemmelse af tidspunktet på dagen;

· beregninger af den fremtidige placering af himmellegemer, tidspunkterne for deres solopgang og solnedgang, solformørkelser og Månen;

· finde de geografiske koordinater for den aktuelle placering;

· beregning af afstanden mellem byer med kendt geografiske koordinater.

Gnomon er det ældste astronomiske instrument, et lodret objekt (stele, søjle, stang),

tillader det mindste

Længden af dens skygge (ved middagstid) bestemmer solens vinkelhøjde.

Således blev cotangens forstået som længden af skyggen fra en lodret gnomon med en højde på 12 (nogle gange 7) enheder; oprindeligt blev disse begreber brugt til at beregne solur. Tangenten var skyggen af en vandret gnomon. Kosekanten og sekanten var hypotenuserne af de tilsvarende retvinklede trekanter (segmenterne AO i figuren til venstre)

Arkitektur

Trigonometri er meget udbredt i byggeri, og især i arkitektur. De fleste kompositoriske løsninger og konstruktioner

Tegningerne er lavet præcist ved hjælp af geometri. Men teoretiske data betyder lidt. Jeg vil gerne give et eksempel på konstruktionen af en skulptur af en fransk mester fra kunstens guldalder.

en masse beregninger for at få figuren til at se proportional ud fra en stor højde. De var hovedsageligt baseret på synsmetoden, det vil sige omtrentlig måling med øjet. Imidlertid gjorde forskelskoefficienten af visse proportioner det muligt at gøre figuren tættere på idealet. Ved at kende den omtrentlige afstand fra statuen til synsvinkel, nemlig fra toppen af statuen til personens øjne og højden af statuen, kan vi beregne sinus for synsvinklen ved hjælp af en tabel ( vi kan gøre det samme med det lavere synspunkt), hvorved vi finder punktsynet

Situationen ændrer sig, efterhånden som statuen hæves til en højde, så afstanden fra toppen af statuen til personens øjne øges, og derfor øges sinus for indfaldsvinklen. Ved at sammenligne ændringer i afstanden fra toppen af statuen til jorden i det første og andet tilfælde kan vi finde proportionalitetskoefficienten. Efterfølgende vil vi modtage en tegning, og derefter en skulptur, når den løftes, vil figuren visuelt være tættere på idealet

Medicin og biologi.

Bohrhythm model kan konstrueres ved hjælp af trigonometriske funktioner. For at bygge en biorytmemodel skal du indtaste personens fødselsdato, referencedato (dag, måned, år) og prognosevarighed (antal dage).

Hjerteformel. Som et resultat af en undersøgelse foretaget af en iransk universitetsstuderende Shiraz af Vahid-Reza Abbasi, For første gang var læger i stand til at organisere information relateret til hjertets elektriske aktivitet eller med andre ord elektrokardiografi. Formlen er en kompleks algebraisk-trigonometrisk ligning bestående af 8 udtryk, 32 koefficienter og 33 hovedparametre, herunder flere yderligere til beregninger i tilfælde af arytmi. Ifølge læger letter denne formel i høj grad processen med at beskrive de vigtigste parametre for hjerteaktivitet og derved fremskynde diagnosen og starten af selve behandlingen.

Trigonometri hjælper også vores hjerne med at bestemme afstande til objekter.

Amerikanske videnskabsmænd hævder, at hjernen estimerer afstanden til objekter ved at måle vinklen mellem jordens plan og synsplanet. Strengt taget er ideen om at "måle vinkler" ikke ny. Selv kunstnerne i det antikke Kina malede fjerne objekter højere i synsfeltet, hvilket i nogen grad forsømte perspektivets love. Teorien om at bestemme afstand ved at estimere vinkler blev formuleret af den arabiske videnskabsmand Alhazen fra det 11. århundrede. Efter en lang periode med glemsel i midten af forrige århundrede blev ideen genoplivet af psykolog James

Gibson (James Gibson), som baserede sine konklusioner på grundlag af sine erfaringer med at arbejde med militære luftfartspiloter. Men efter det om teorien

glemt igen.

Flytning af fisk ind vand opstår i henhold til sinus- eller cosinusloven, hvis du fikserer et punkt på halen og derefter overvejer bevægelsesbanen. Ved svømning tager fiskens krop form

en kurve, der ligner grafen for funktionen y=tgx.

Målearbejde

Kommunal budgetuddannelsesinstitution

gymnasiet nr. 10

med dybdegående undersøgelse af enkelte emner

Projekt afsluttet:

Pavlov Roman

10b klasse elev

Tilsynsførende:

matematiklærer

Boldyreva N.A

Yelets, 2012

1. Introduktion.

3. Trigonometriens verden.

· Trigonometri i fysik.

· Trigonometri i planimetri.

· Trigonometri i kunst og arkitektur.

· Trigonometri i medicin og biologi.

3.2 Grafiske repræsentationer af transformationen af "små interessante" trigonometriske funktioner til originale kurver (ved hjælp af computerprogrammet "Funktioner og grafer").

· Kurver i polære koordinater (rosetter).

· Kurver i kartesiske koordinater (Lissajous Curves).

· Matematiske ornamenter.

4. Konklusion.

5. Liste over referencer.

Formålet med projektet - udvikling af interesse for at studere emnet "Trigonometri" i løbet af algebra og begyndelsen af analysen gennem prisme af den anvendte værdi af det materiale, der studeres; udvidelse af grafiske repræsentationer indeholdende trigonometriske funktioner; brugen af trigonometri i videnskaber som fysik og biologi. Det spiller også en vigtig rolle i medicin, og hvad der er mest interessant, selv musik og arkitektur kan ikke undvære det.

Studieobjekt - trigonometri

Undersøgelsesemne - anvendt orientering af trigonometri; grafer for nogle funktioner ved hjælp af trigonometriske formler.

Forskningsmål:

1. Overvej historien om trigonometriens fremkomst og udvikling.

2. Vis praktiske anvendelser af trigonometri i forskellige videnskaber ved hjælp af specifikke eksempler.

3. Afslør ved hjælp af specifikke eksempler mulighederne for at bruge trigonometriske funktioner, som gør det muligt at omdanne "små interessante" funktioner til funktioner, hvis grafer har et meget originalt udseende.

Hypotese - antagelser: Forbindelsen af trigonometri med omverdenen, vigtigheden af trigonometri i løsningen af mange praktiske problemer og de grafiske muligheder for trigonometriske funktioner gør det muligt at "materialisere" skolebørns viden. Dette giver dig mulighed for bedre at forstå den vitale nødvendighed af den viden, der er erhvervet gennem studiet af trigonometri, og øger interessen for studiet af dette emne.

Forskningsmetoder - analyse af matematisk litteratur om dette emne; udvælgelse af specifikke anvendte opgaver om dette emne; computermodellering baseret på et computerprogram. Åben matematik "Funktioner og grafer" (Physikon).

1. Introduktion

"Én ting står stadig klart: Verden er struktureret

truende og smuk."

N. Rubtsov

Trigonometri er en gren af matematikken, der studerer forholdet mellem vinkler og sidelængder af trekanter, såvel som algebraiske identiteter af trigonometriske funktioner. Det er svært at forestille sig, men vi møder denne videnskab ikke kun i matematiktimerne, men også i vores hverdag. Du har måske ikke haft mistanke om det, men trigonometri findes i sådanne videnskaber som fysik, biologi, det spiller en vigtig rolle i medicin, og, mest interessant, kan selv musik og arkitektur ikke undvære det. Problemer med praktisk indhold spiller en væsentlig rolle i udviklingen af færdigheder i at anvende teoretisk viden erhvervet i matematikstudiet i praksis. Enhver matematikstuderende er interesseret i, hvordan og hvor den erhvervede viden anvendes. Dette arbejde giver svaret på dette spørgsmål.

2. Historie om trigonometriens udvikling.

Ord trigonometri bestod af to græske ord: τρίγονον (trigonon-trekant) og og μετρειν (metrein - at måle) i bogstavelig oversættelse betyder måle trekanter.

Det er netop denne opgave - at måle trekanter eller, som de siger nu, at løse trekanter, det vil sige at bestemme alle sider og vinkler i en trekant ud fra dens tre kendte elementer (en side og to vinkler, to sider og en vinkel eller tre sider) - siden oldtiden har det været grundlaget for praktiske anvendelser af trigonometri.

Som enhver anden videnskab voksede trigonometri ud af menneskelig praksis, i processen med at løse specifikke praktiske problemer. De første stadier af udviklingen af trigonometri er tæt forbundet med udviklingen af astronomi. Udviklingen af astronomi og nært beslægtet trigonometri var i høj grad påvirket af behovene for udvikling af navigation, hvilket krævede evnen til korrekt at bestemme kursen for et skib på det åbne hav ved positionen af himmellegemer. En væsentlig rolle i udviklingen af trigonometri blev spillet af behovet for at kompilere geografiske kort og det nært beslægtede behov for korrekt at bestemme store afstande på jordens overflade.

Den antikke græske astronoms værker var af fundamental betydning for udviklingen af trigonometri i dens begyndelsesæra Hipparchus(midten af 2. århundrede f.Kr.). Trigonometri som videnskab, i ordets moderne betydning, blev ikke kun fundet af Hipparchus, men også af andre videnskabsmænd fra antikken, da de stadig ikke havde nogen idé om vinklernes funktioner og ikke engang rejste generelt spørgsmålet om forholdet mellem vinklerne og siderne i en trekant. Men i det væsentlige, ved at bruge de midler til elementær geometri, som de kendte, løste de de problemer, som trigonometri beskæftiger sig med. I dette tilfælde var hovedmidlet til at opnå de ønskede resultater evnen til at beregne længderne af cirkulære akkorder baseret på de kendte forhold mellem siderne af en regelmæssig tre-, fire-, fem- og dekagon og radius af den omskrevne cirkel .

Hipparchus kompilerede de første tabeller af akkorder, det vil sige tabeller, der udtrykker længden af en akkord for forskellige centrale vinkler i en cirkel med konstant radius. Disse var i det væsentlige tabeller med dobbelt sinus med en halv central vinkel. Imidlertid er de originale tabeller af Hipparchus (som næsten alt skrevet af ham) ikke nået frem til os, og vi kan hovedsageligt få en idé om dem fra værket "The Great Construction" eller (i arabisk oversættelse) "Almagest" af den berømte astronom Claudius Ptolemæus, der levede i midten af det 2. århundrede e.Kr. e.

Ptolemæus inddelte cirklen i 360 grader og diameteren i 120 dele. Han anså radius for at være 60 dele (60¢¢). Han opdelte hver del i 60¢, hvert minut i 60¢¢, et sekund i 60 tredjedele (60¢¢¢), osv., ved hjælp af den angivne division udtrykte Ptolemæus siden af en regulær indskrevet sekskant eller en akkord, der undertrykker en bue på 60° i form af 60 dele af en radius (60h), og siden af et indskrevet kvadrat eller en korde på 90° blev sidestillet med tallet 84h51¢10² Akkorden på 120° - siden af en indskrevet ligesidet trekant - han udtrykte tallet 103h55¢23² osv. For en retvinklet trekant med en hypotenus , lig med diameteren af cirklen, skrev han ned på basis af Pythagoras sætning: (akkord a)2+(akkord|180- a|)2=(diameter)2, hvilket svarer til den moderne formel sin2a+cos2a=1.

Almagest indeholder en tabel med akkorder hver halve grad fra 0° til 180°, som fra vores moderne synspunkt repræsenterer en tabel med sinus for vinkler fra 0° til 90° hver kvart grad.

Alle trigonometriske beregninger blandt grækerne var baseret på Ptolemæus' teorem, kendt af Hipparchus: "et rektangel bygget på diagonalerne af en firkant indskrevet i en cirkel er lig med summen af de rektangler bygget på modsatte sider" (dvs. produktet af diagonaler er lig med summen af produkterne af modsatte sider). Ved at bruge denne sætning var grækerne i stand til (ved hjælp af Pythagoras sætning) at beregne akkorden af summen (eller akkorden af forskellen) af disse vinkler eller akkorden af en halv given vinkel ud fra akkorderne i to vinkler, dvs. i stand til at opnå de resultater, som vi nu opnår ved hjælp af formlerne for sinus af summen (eller forskellen) af to vinkler eller en halv vinkel.

Nye trin i udviklingen af trigonometri er forbundet med udviklingen af folks matematiske kultur Indien, Centralasien og Europa (V-XII).

Et vigtigt skridt fremad i perioden fra det 5. til det 12. århundrede blev taget af hinduerne, der i modsætning til grækerne begyndte at overveje og bruge i beregninger ikke hele akkorden MM¢ (se tegning) af den tilsvarende midtervinkel, men kun dens halve MR, altså det, vi nu kalder sinuslinien for en halv af midtervinklen.

Sammen med sinus introducerede indianerne cosinus i trigonometri; mere præcist begyndte de at bruge cosinuslinjen i deres beregninger. (Selve begrebet cosinus dukkede op meget senere i europæiske videnskabsmænds værker for første gang i slutningen af det 16. århundrede fra den såkaldte "sinus af komplementet", dvs. sinus for den vinkel, der komplementerer en given vinkel til 90° "Sinus af komplementet" eller (på latin) sinus complementi begyndte at blive forkortet som sinus co eller co-sinus).

De kendte også relationerne cosa=sin(90°-a) og sin2a+cos2a=r2, samt formler for summens sinus og forskellen på to vinkler.

Det næste trin i udviklingen af trigonometri er forbundet med lande

Centralasien, Mellemøsten, Transkaukasien(VII-XV århundrede)

Udviklingen i tæt forbindelse med astronomi og geografi, havde centralasiatisk matematik en udtalt "beregningskarakter" og var rettet mod at løse anvendte problemer med målegeometri og trigonometri, og trigonometri blev dannet til en speciel matematisk disciplin i høj grad i værker af centralasiatiske videnskabsmænd. Blandt de vigtigste succeser, de opnåede, bør vi først og fremmest bemærke introduktionen af alle seks trigonometriske linjer: sinus, cosinus, tangent, cotangens, sekant og cosekant, hvoraf kun de to første var kendt af grækerne og hinduer.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image004_97.gif" width="41" height="44"> =a×ctgj af en stang af en vis længde (a=12) for j= 1°,2°,3°……

Abu-l-Wafa fra Khorosan, som levede i det 10. århundrede (940-998), udarbejdede en lignende "tangent-tabel", det vil sige, han beregnede længden af skyggen b=a×=a×tgj kastet af en vandret pæl af en vis længde (a=60) på en lodret væg (se tegning).

Det skal bemærkes, at udtrykkene "tangens" (bogstaveligt oversat som "rørende") og "cotangent" selv stammer fra det latinske sprog og dukkede op i Europa meget senere (XVI-XVII århundreder). Centralasiatiske forskere kaldte de tilsvarende linjer "skygger": cotangens - "første skygge", tangent - "anden skygge".

Abu-l-Wafa gav en fuldstændig nøjagtig geometrisk definition af tangentlinjen i den trigonometriske cirkel og tilføjede sekant- og cosekantlinjerne til tangent- og cotangenslinjerne. Han udtrykte også (verbalt) algebraiske afhængigheder mellem alle trigonometriske funktioner og især for det tilfælde, hvor radius af en cirkel er lig med én. Denne ekstremt vigtige sag blev overvejet af europæiske videnskabsmænd 300 år senere. Endelig kompilerede Abul-Wafa en tabel med sines for hver 10¢.

I værker af centralasiatiske videnskabsmænd blev trigonometri fra en videnskab, der tjener astronomi, til en speciel matematisk disciplin af uafhængig interesse.

Trigonometri er adskilt fra astronomi og bliver en selvstændig videnskab. Denne afdeling er normalt forbundet med navnet på den aserbajdsjanske matematiker Nasireddin Tusi ().

For første gang i europæisk videnskab blev der givet en harmonisk præsentation af trigonometri i bogen "On Triangles of Different Kinds", skrevet af Johann Muller, bedre kendt i matematik som regiomontana(). Han generaliserer i det metoder til at løse retvinklede trekanter og giver sinustabeller med en nøjagtighed på 0,0000001. Det bemærkelsesværdige er, at han antog, at radius af en cirkel var lig med miles, det vil sige, at han udtrykte værdierne af trigonometriske funktioner i decimalbrøker, der faktisk bevægede sig fra det sexagesimale talsystem til det decimale.

Engelsk videnskabsmand fra det 14. århundrede Bradwardin () var den første i Europa, der i trigonometriske beregninger introducerede cotangensen kaldet "direkte skygge" og tangenten kaldet "omvendt skygge".

På tærsklen til det 17. århundrede. En ny retning er ved at opstå i udviklingen af trigonometri - analytisk. Hvis før dette hovedmålet med trigonometri blev anset for at være løsningen af trekanter, blev beregningen af elementerne i geometriske figurer og læren om trigonometriske funktioner bygget på et geometrisk grundlag, så i det 17.-19. århundrede. trigonometri er efterhånden ved at blive et af kapitlerne i matematisk analyse. Jeg kendte også til trigonometriske funktioners periodicitetsegenskaber Viet, hvis første matematiske studier vedrørte trigonometri.

schweizisk matematiker Johann Bernoulli () allerede brugt symbolerne for trigonometriske funktioner.

I første halvdel af 1800-tallet. fransk videnskabsmand J. Fourier bevist, at enhver periodisk bevægelse kan repræsenteres som en sum af simple harmoniske svingninger.

Den berømte St. Petersborg-akademikers arbejde var af stor betydning i trigonometriens historie Leonhard Euler(), han gav hele trigonometrien et moderne udseende.

I sit arbejde "Introduction to Analysis" (1748) udviklede Euler trigonometri som videnskaben om trigonometriske funktioner, gav den en analytisk præsentation, der udledte hele sættet af trigonometriske formler fra nogle få grundlæggende formler.

Euler var ansvarlig for den endelige løsning på spørgsmålet om tegnene på trigonometriske funktioner i alle cirklers fjerdedele og udledningen af reduktionsformler for generelle tilfælde.

Efter at have introduceret nye funktioner i matematik - trigonometriske, blev det passende at rejse spørgsmålet om at udvide disse funktioner til en uendelig række. Det viser sig, at sådanne udvidelser er mulige:

Sinx=x-https://pandia.ru/text/78/114/images/image008_62.gif" width="224" height="47">

Disse serier gør det meget lettere at kompilere tabeller over trigonometriske størrelser og finde dem med enhver grad af nøjagtighed.

Den analytiske konstruktion af teorien om trigonometriske funktioner, påbegyndt af Euler, blev afsluttet i værkerne , Gauss, Cauchy, Fourier og andre.

"Geometriske overvejelser," skriver Lobachevsky, "er nødvendige indtil begyndelsen af trigonometri, indtil de tjener til at opdage de karakteristiske egenskaber ved trigonometriske funktioner... Herfra bliver trigonometri fuldstændig uafhængig af geometri og har alle fordelene ved analyse."

I dag betragtes trigonometri ikke længere som en selvstændig gren af matematikken. Dens vigtigste del, læren om trigonometriske funktioner, er en del af en mere generel lære om funktioner studeret i matematisk analyse, konstrueret ud fra et samlet synspunkt; den anden del - løsningen af trekanter - betragtes som et kapitel af geometri.

3. Trigonometriens verden.

3.1 Anvendelse af trigonometri i forskellige videnskaber.

Trigonometriske beregninger bruges i næsten alle områder af geometri, fysik og teknik.

Af stor betydning er trianguleringsteknikken, som gør det muligt at måle afstande til nærliggende stjerner i astronomi, mellem vartegn i geografi og at styre satellitnavigationssystemer. Bemærkelsesværdige er anvendelserne af trigonometri på følgende områder: navigationsteknologi, musikteori, akustik, optik, finansmarkedsanalyse, elektronik, sandsynlighedsteori, statistik, biologi, medicin (inklusive ultralyd), computertomografi, lægemidler, kemi, talteori, seismologi, meteorologi, oceanologi, kartografi, mange grene af fysik, topografi, geodæsi, arkitektur, fonetik, økonomi, elektronisk teknik, maskinteknik, computergrafik, krystallografi.

Trigonometri i fysik.

Harmoniske vibrationer.

Når et punkt bevæger sig i en lige linje skiftevis i den ene eller den anden retning, siges punktet at danne udsving.

En af de enkleste typer af svingninger er bevægelse langs projektionsaksen af punktet M, som roterer ensartet i en cirkel. Loven om disse svingninger har formen x=Rcos(https://pandia.ru/text/78/114/images/image010_59.gif" width="19" height="41 src="> .

Normalt overvejer vi i stedet for denne frekvens cyklisk frekvensw=, viser vinkelhastigheden for rotation udtrykt i radianer pr. sekund. I denne notation har vi: x=Rfordi(wt+en). (2)

Nummer -en hedder indledende fase af oscillation.

Studiet af vibrationer af enhver art er vigtigt, simpelthen fordi vi møder oscillerende bevægelser eller bølger meget ofte i verden omkring os og bruger dem med stor succes (lydbølger, elektromagnetiske bølger).

Mekaniske vibrationer.

Mekaniske vibrationer er bevægelser af kroppe, der gentager sig nøjagtigt (eller omtrentligt) med lige store tidsintervaller. Eksempler på simple oscillerende systemer er en belastning på en fjeder eller et pendul. Lad os for eksempel tage en vægt ophængt i en fjeder (se figur) og skubbe den ned. Vægten begynder at svinge op og ned..gif" align="left" width="132 height=155" height="155">.gif" width="72" height="59 src=">.jpg " align= "venstre" width="202 højde=146" højde="146"> Svinggrafen (2) fås fra svinggrafen (1) ved at skifte til venstre

på . Tallet a kaldes startfasen.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image020_33.gif" width="29" height="45 src=">), hvor l er længden af pendulet, og j0 er den indledende afbøjningsvinkel. Jo længere pendulet er, desto langsommere svinger det (Dette ses tydeligt på fig. 1-7, bilag VIII). I fig. 8-16, bilag VIII, kan du tydeligt se, hvordan en ændring i den initiale afvigelse påvirker amplituden af pendulets svingninger, mens perioden ikke ændrer sig. Ved at måle oscillationsperioden for et pendul af kendt længde kan man beregne tyngdeaccelerationen g på forskellige punkter på jordens overflade.

Kondensatorafladning.

Ikke kun mange mekaniske vibrationer forekommer ifølge en sinusformet lov. Og sinusformede svingninger forekommer i elektriske kredsløb. Så i kredsløbet vist i modellens øverste højre hjørne ændres ladningen på kondensatorpladerne efter loven q = CU + (q0 – CU) cos ωt, hvor C er kondensatorens kapacitans, U er spændingen ved den aktuelle kilde er L spolens induktans, https: //pandia.ru/text/78/114/images/image022_30.jpg" align="left" width="348" height="253 src=" >Takket være kondensatormodellen, der er tilgængelig i programmet "Funktioner og grafer", kan du indstille oscillatorkredsløbets parametre og konstruere de tilsvarende grafer g(t) og I(t). Graferne 1-4 viser tydeligt, hvordan spændingen påvirker ændringen i strømstyrke og ladning af kondensatoren, og det er tydeligt, at ved positiv spænding får ladningen også positive værdier Figur 5-8 i bilag IX viser, at ved ændring af kondensatorens kapacitans (ved ændring af spolens induktans) i figur 9-14 i appendiks IX) og ved at holde andre parametre konstante, ændres oscillationsperioden, dvs. frekvensen af svingninger af strømmen i kredsløbet ændres og frekvensen af opladning af kondensatoren ændres..(se appendiks IX).

Sådan forbinder du to rør.

De anførte eksempler kan give indtryk af, at sinusoider kun forekommer i forbindelse med svingninger. Det er det dog ikke. For eksempel bruges sinusbølger, når to cylindriske rør forbindes i en vinkel med hinanden. For at forbinde to rør på denne måde skal du skære dem diagonalt.

Folder man et skråt skåret rør ud, vil det vise sig at være afgrænset i toppen af en sinusformet. Du kan bekræfte dette ved at pakke et stearinlys ind i papir, skære det diagonalt og folde papiret ud. Derfor, for at få et jævnt snit af røret, kan du først skære metalpladen ovenfra langs en sinusform og rulle den til et rør.

Regnbueteori.

Regnbueteorien blev først givet ind 1637 af Rene Descartes. Han forklarede regnbuer som et fænomen relateret til refleksion og brydning af lys i regndråber.

En regnbue opstår, fordi sollys brydes af vanddråber suspenderet i luften i henhold til brydningsloven:

hvor n1=1, n2≈1,33 er brydningsindekserne for henholdsvis luft og vand, α er indfaldsvinklen, og β er lysets brydningsvinkle.

Nordlys

Indtrængning af ladede solvindpartikler ind i den øvre atmosfære af planeter bestemmes af samspillet mellem planetens magnetfelt og solvinden.

Den kraft, der virker på en ladet partikel, der bevæger sig i et magnetfelt, kaldes kraft Lorenz. Den er proportional med partiklens ladning og vektorproduktet af feltet og partiklens hastighed

Trigonometri problemer med praktisk indhold.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image026_24.gif" width="25" height="41">.

Bestemmelse af friktionskoefficient.

Et legeme med vægt P placeres på et skråplan med en hældningsvinkel a. Kroppen har under påvirkning af sin egen vægt tilbagelagt en accelereret bane S på t sekunder. Bestem friktionskoefficienten k.

Kraften af kropstrykket på et skråplan =kPcosa.

Kraften, der trækker kroppen ned, er lig med F=Psina-kPcosa=P(sina-kcosa).(1)

Hvis en krop bevæger sig langs et skråplan, så er accelerationen a=https://pandia.ru/text/78/114/images/image029_22.gif" width="20" height="41">==gF; derfor .(2)

Af ligestilling (1) og (2) følger det, at g(sina-kcosa)=https://pandia.ru/text/78/114/images/image032_21.gif" width="129" height="48"> =gtga-.

Trigonometri i planimetri.

Grundlæggende formler til løsning af geometriproblemer ved hjælp af trigonometri:

sin²α=1/(1+ctg²α)=tg²α/(1+tg²α); cos²a=1/(1+tg²a)=ctg²a/(1+ctg²a);

sin(a±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ; cos(α±β)=cosα*cos+sinα*sinβ.

Forholdet mellem sider og vinkler i en retvinklet trekant:

1) Et ben i en retvinklet trekant er lig med produktet af et andet ben og tangenten af den modsatte vinkel.

2) Benet i en retvinklet trekant er lig med produktet af hypotenusen og sinus af den tilstødende vinkel.

3) Benet i en retvinklet trekant er lig med produktet af hypotenusen og cosinus af den tilstødende vinkel.

4) Et ben i en retvinklet trekant er lig med produktet af et andet ben og cotangensen af den tilstødende vinkel.

Opgave 1:På siderne AB og CD af en ligebenet trapezABCD punkter M ogN på en sådan måde, at den rette linjeMN er parallel med trapezets baser. Det er kendt, at i hver af de dannede små trapezoiderMBCN ogAMND kan vi indskrive en cirkel, og radierne af disse cirkler er ensr ogR i overensstemmelse hermed. Find årsagerAD ogB.C.

Givet: ABCD-trapez, AB=CD, MєAB, NєCD, MN||AD, en cirkel med radius r og R kan indskrives i trapezerne henholdsvis MBCN og AMND.

Find: AD og BC.

Løsning:

Lad O1 og O2 være centrene for cirkler indskrevet i små trapezoider. Direkte O1K||CD.

I ∆ O1O2K cosα =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).

Da ∆O2FD er rektangulær, så er O2DF = α/2 => FD=R*ctg(α/2). Fordi AD=2DF=2R*ctg(α/2),

tilsvarende BC = 2r* tan(α/2).

cos α = (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => (R-r)/(R+r)= (1-tg²(α/2))/(1+tg²(α /2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => tg (α/2)=√ (r/R) => ctg(α/2)= √(R/r), så AD=2R*ctg(α/2), BC=2r*tg(α/2), finder vi svaret.

Svar : AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).

Opgave 2:I en trekant ABC kendte parter b, c og vinklen mellem medianen og højden, der kommer fra toppunktet A. Beregn arealet af trekanten ABC.

Givet: ∆ ABC, AD-højde, AE-median, DAE=α, AB=c, AC=b.

Find: S∆ABC.

Løsning:

Lad CE=EB=x, AE=y, AED=γ. Ved cosinussætningen i ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosγ(1); og i ∆ACE ved cosinussætningen c²=x²+y²+2xy*cosγ(2). Hvis vi trækker lighed 2 fra 1, får vi c²-b²=4xy*cosγ(3).

T.K. S∆ABC=2S∆ACE=xy*sinγ(4), og derefter dividere 3-ligheden med 4, får vi: (c²-b²)/S=4*ctgγ, men ctgγ=tgαb, derfor S∆ABC= ( с² -b²)/4*tgα.

Svar: (s²- b² )/4*tg α .

Trigonometri i kunst og arkitektur.

Arkitektur er ikke det eneste videnskabsområde, hvor trigonometriske formler bruges. De fleste kompositionsbeslutninger og konstruktion af tegninger foregik netop ved hjælp af geometri. Men teoretiske data betyder lidt. Jeg vil gerne give et eksempel på konstruktionen af en skulptur af en fransk mester fra kunstens guldalder.

Det forholdsmæssige forhold i konstruktionen af statuen var ideelt. Men da statuen blev rejst på en høj piedestal, så den grim ud. Billedhuggeren tog ikke højde for, at i perspektiv, mod horisonten, er mange detaljer reduceret, og når man ser nedefra og op, skabes indtrykket af dens idealitet ikke længere. Der blev lavet mange beregninger for at sikre, at figuren fra en stor højde så proportional ud. De var hovedsageligt baseret på synsmetoden, det vil sige omtrentlig måling med øjet. Imidlertid gjorde forskelskoefficienten af visse proportioner det muligt at gøre figuren tættere på idealet. Ved at kende den omtrentlige afstand fra statuen til synsvinkel, nemlig fra toppen af statuen til personens øjne og højden af statuen, kan vi beregne sinus for synsvinklen ved hjælp af en tabel ( vi kan gøre det samme med det nederste synspunkt), hvorved vi finder punktsynet (fig. 1)

Situationen ændrer sig (fig. 2), da statuen hæves til en højde AC og NS stiger, kan vi beregne værdierne af cosinus af vinkel C, og ud fra tabellen finder vi blikkets indfaldsvinkel . I processen kan du beregne AN såvel som sinus af vinklen C, som giver dig mulighed for at kontrollere resultaterne ved hjælp af den grundlæggende trigonometriske identitet for 2a+synd 2a = 1.

Ved at sammenligne AN-målingerne i første og andet tilfælde kan man finde proportionalitetskoefficienten. Efterfølgende vil vi modtage en tegning, og derefter en skulptur, når hævet vil figuren være visuelt tættere på idealet.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image037_18.gif" width="162" height="101">.gif" width="108 height=132" height="132">

Trigonometri i medicin og biologi.

Biorytme model

En model af biorytmer kan bygges ved hjælp af trigonometriske funktioner. For at bygge en biorytmemodel skal du indtaste personens fødselsdato, referencedato (dag, måned, år) og prognosevarighed (antal dage).

Bevægelse af fisk i vand opstår i henhold til sinus- eller cosinusloven, hvis du fikserer et punkt på halen og derefter overvejer bevægelsesbanen. Ved svømning tager fiskens krop form af en kurve, der ligner grafen for funktionen y=tgx.

Hjerteformel

Som et resultat af en undersøgelse foretaget af en iransk universitetsstuderende Shiraz af Vahid-Reza Abbasi, For første gang var læger i stand til at organisere information relateret til hjertets elektriske aktivitet eller med andre ord elektrokardiografi.
Formlen, kaldet Teheran, blev præsenteret for det generelle videnskabelige samfund på den 14. konference for geografisk medicin og derefter på den 28. konference om brugen af computerteknologi i kardiologi, der blev afholdt i Holland. Denne formel er en kompleks algebraisk-trigonometrisk ligning bestående af 8 udtryk, 32 koefficienter og 33 hovedparametre, herunder flere yderligere til beregninger i tilfælde af arytmi. Ifølge læger letter denne formel i høj grad processen med at beskrive de vigtigste parametre for hjerteaktivitet og derved fremskynde diagnosen og starten af selve behandlingen.

Trigonometri hjælper vores hjerne med at bestemme afstande til objekter.

Amerikanske videnskabsmænd hævder, at hjernen estimerer afstanden til objekter ved at måle vinklen mellem jordens plan og synsplanet. Strengt taget er ideen om at "måle vinkler" ikke ny. Selv kunstnerne i det antikke Kina malede fjerne objekter højere i synsfeltet, hvilket i nogen grad forsømte perspektivets love. Teorien om at bestemme afstand ved at estimere vinkler blev formuleret af den arabiske videnskabsmand Alhazen fra det 11. århundrede. Efter en lang periode med glemsel blev ideen genoplivet i midten af forrige århundrede af psykologen James Gibson, som baserede sine konklusioner på grundlag af sine erfaringer med at arbejde med militære flyvepiloter. Men efter det om teorien

glemt igen.

Resultaterne af den nye undersøgelse vil, som man kunne antage, være af interesse for ingeniører, der designer navigationssystemer til robotter, samt specialister, der arbejder på at skabe de mest realistiske virtuelle modeller. Anvendelser inden for medicin er også mulige i rehabilitering af patienter med skader på visse områder af hjernen.

3.2 Grafiske repræsentationer af transformationen af "små interessante" trigonometriske funktioner til originale kurver.

Kurver i polære koordinater.

Med. 16 er. 19 Stikkontakter.

I polære koordinater vælges et enkelt segment e, pol O og polær akse Ox. Positionen af ethvert punkt M bestemmes af den polære radius OM og den polære vinkel j dannet af strålen OM og strålen Ox. Tallet r, der udtrykker længden af OM i form af e(OM=re) og den numeriske værdi af vinklen j, udtrykt i grader eller radianer, kaldes de polære koordinater for punktet M.

For ethvert andet punkt end punkt O kan vi overveje 0≤j<2p и r>0. Men når man konstruerer kurver svarende til ligninger af formen r=f(j), er det naturligt at tildele variablen j enhver værdi (inklusive negative og dem, der overstiger 2p), og r kan enten være positiv eller negativ.

For at finde punktet (j, r), tegner vi en stråle fra punktet O, der danner en vinkel j med Ox-aksen, og plotter på den (for r>0) eller på dens fortsættelse i den modsatte retning (for r) >0) et segment ½ r ½e.

Alt vil blive meget forenklet, hvis du først konstruerer et koordinatgitter bestående af koncentriske cirkler med radier e, 2e, 3e osv. (med centrum ved polen O) og stråler, for hvilke j = 0°, 10°, 20°, ...,340°,350°; disse stråler vil også være velegnede til j<0°, и при j>360°; for eksempel ved j=740° og ved j=-340° vil vi falde på en stråle, for hvilken j=20°.

Studiet af grafdata hjælper computerprogram "Funktioner og grafer". Ved at bruge dette programs muligheder vil vi udforske nogle interessante grafer over trigonometriske funktioner.

1 .Betragt kurverne givet af ligningerne:r=a+synd 3j

I. r=sin3j (shamrock ) (Fig. 1)

II. r=1/2+sin3j (fig. 2), III. r=1+ sin3j (fig. 3), r=3/2+ sin3j (fig. 4).

Kurve IV har den mindste værdi på r=0,5, og kronbladene har et ufærdigt udseende. Således, når a > 1, har trefoil kronbladene et ufærdigt udseende.

2. Overvej kurvernenår a=0; 1/2; 1;3/2

Ved a=0 (fig. 1), ved a=1/2 (fig. 2), ved a=1 (fig. 3) har kronbladene et færdigt udseende, ved a=3/2 vil der være fem ufærdige kronblade ., (fig. .4).

3. Generelt kurvenr=https://pandia.ru/text/78/114/images/image042_15.gif" width="45 height=41" height="41">), fordi i denne sektor 0°≤≤180 °.. gif" width="20" height="41">.gif" width="16" height="41"> for et kronblad skal du bruge en "sektor", der overstiger 360°.

Figur 1-4 viser kronbladenes udseende på =https://pandia.ru/text/78/114/images/image044_13.gif" width="16" height="41 src=">.gif" width= "16" højde="41 src=">.

4.Ligninger fundet af en tysk matematiker og naturforsker Habenicht for geometriske former, der findes i planteverdenen. For eksempel svarer ligningerne r=4(1+cos3j) og r=4(1+cos3j)+4sin23j til kurverne vist i fig. 1.2.

Kurver i kartesiske koordinater.

Lissajous kurver.

Mange interessante kurver kan konstrueres i kartesiske koordinater. Kurver, hvis ligninger er givet i parametrisk form, ser særligt interessante ud:

Hvor t er en hjælpevariabel (parameter). Overvej for eksempel Lissajous-kurver, der generelt er karakteriseret ved ligningerne:

Hvis vi tager tid som parameteren t, så vil Lissajous-tal være resultatet af tilføjelsen af to harmoniske oscillerende bevægelser udført i indbyrdes vinkelrette retninger. Generelt er kurven placeret inde i et rektangel med siderne 2a og 2b.

Lad os se på dette ved hjælp af følgende eksempler

I.x=sin3t; y=sin 5t (fig. 1)

II. x=sin 3t; y=cos 5t (fig. 2)

III. x=sin 3t; y=sin 4t.(Fig.3)

Kurver kan være lukkede eller åbne.

For eksempel at erstatte ligning I med ligningerne: x=sin 3t; y=sin5(t+3) forvandler en åben kurve til en lukket kurve (fig. 4)

Interessante og ejendommelige er de linjer, der svarer til formens ligninger

på=arcsin(sin k(x--en)).

Fra ligningen y=arcsin(sinx) følger:

1) og 2) siny=sinx.

Under disse to forhold opfylder funktionen y=x. Ved at tegne det i intervallet (-;https://pandia.ru/text/78/114/images/image053_13.gif" width="77" height="41"> vil vi have y=p-x, da sin( p-x)=sinx og i dette interval

. Her er grafen afbildet af segmentet BC.

Da sinx er en periodisk funktion med en periode på 2p, vil den brudte ABC konstrueret i intervallet (,) blive gentaget i andre afsnit.

Ligningen y=arcsin(sinkx) svarer til en stiplet linje med et punktum https://pandia.ru/text/78/114/images/image058_13.gif" width="79 height=48" height="48" >

opfylde koordinaterne for punkter, der ligger samtidigt over sinusformen (for dem y>sinx) og under kurven y=-sinx, dvs. systemets "løsningsareal" vil bestå af de områder, der er skraveret i fig. 1.

2. Overvej ulighederne

1) (y-sinx)(y+sinx)<0.

For at løse denne ulighed bygger vi først funktionsgrafer: y=sinx; y=-sinx.

Derefter maler vi de områder, hvor y>sinx og samtidig y<-sinx; затем закрашиваем области, где y< sinx и одновременно y>-sinx.

Denne ulighed vil blive tilfredsstillet af de områder, der er skraveret i fig. 2

2)(y2-arcsin2(sinx))(y2-arcsin2(sin(x+)))<0

Lad os gå videre til følgende ulighed:

(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx))( y-arcsin(sin(x+)))(y+arcsin(sin(x+))}<0

For at løse denne ulighed bygger vi først grafer over funktionerne: y=±arcsin(sinx); y=±arcsin(sin(x+ )) .

Lad os lave en tabel med mulige løsninger.

1 multiplikator har et tegn	2 multiplikator har et tegn	3 multiplikator har et tegn	4 multiplikator har et tegn

Derefter overvejer og skygger vi løsningerne for følgende systemer.

)| og |y|>|sin(x-)|.

2) Den anden multiplikator er mindre end nul, dvs..gif" width="17" height="41">)|.

3) Den tredje faktor er mindre end nul, dvs. |y|<|sin(x-)|, другие множители положительны, т. е. |y|>|sinx| og |y|>|sin(x+Akademiske discipliner" href="/text/category/uchebnie_distciplini/" rel="bookmark">akademiske discipliner, teknologi, i hverdagen.

Brugen af modelleringsprogrammet "Funktioner og grafer" udvidede betydeligt mulighederne for at udføre forskning og gjorde det muligt at materialisere viden, når man overvejede anvendelser af trigonometri i fysik. Takket være dette program blev laboratoriecomputerundersøgelser af mekaniske vibrationer udført ved hjælp af eksemplet med penduloscillationer, og svingninger i et elektrisk kredsløb blev overvejet. Brugen af et computerprogram gjorde det muligt at udforske interessante matematiske kurver defineret ved hjælp af trigonometriske ligninger og plotte grafer i polære og kartesiske koordinater. Den grafiske løsning af trigonometriske uligheder førte til overvejelse af interessante matematiske mønstre.

5. Liste over brugt litteratur.

1. ., Atanasov matematiske problemer med praktisk indhold: Bog. for læreren.-M.: Uddannelse, s.

2. Vilenkin i natur og teknologi: Bog. til fritidslæsning IX-X karakterer-M.: Oplysning, 5s (Kundskabens Verden).

3. Husholdningsspil og underholdning. Stat udg. fysik og matematik tændt. M, 9 sider.

4. Kozhurov trigonometri for tekniske skoler. Stat udg. teknisk-teoretisk tændt. M., 1956

5. Bog. til fritidslæsning i matematik i gymnasiet. Stat pædagogisk udg. Min. Oplysning RF, M., s.

6. Tarakanova trigonometri. 10. klasse..-M.: Bustard, s.

7. Om trigonometri og ikke kun om det: en manual for elever i klasse 9-11.-M.: Education, 1996-80s.

8. Shapiro-problemer med praktisk indhold i undervisningen i matematik. Bestil for læreren.-M.: Uddannelse, 1990-96 s.

en undersøgelse, hvis begyndelse ligner en lille bølge, hvorefter der observeres en systolisk stigning. En lille bølge indikerer normalt atriel kontraktion. Begyndelsen af opstigningen falder sammen med begyndelsen af udstødningen af blod ind i aorta. På samme bånd kan du se en anden maksimal top, som signalerer lukningen af de semilunarventiler. Formen af et givet segment med maksimal stigning kan være ret forskelligartet, hvilket fører til forskellige resultater af denne undersøgelse. Efter den maksimale stigning er der en nedstigning af kurven, som fortsætter til det sidste. Dette segment af det apikale kardiogram er ledsaget af åbningen af mitralklappen. Herefter er der en lille stigning i bølgen. Det angiver den hurtige påfyldningstid. Hele det resterende segment af kurven er betegnet som tidspunktet for passiv ventrikulær fyldning. En sådan undersøgelse af højre ventrikel kan indikere mulige patologiske abnormiteter.

Trigonometri i medicin og biologi

Hjerteformel. Som et resultat af en undersøgelse udført af den iranske Shiraz University-studerende Vahid-Reza Abbasi, var læger for første gang i stand til at organisere information relateret til hjertets elektriske aktivitet, eller med andre ord elektrokardiografi. Formlen er en kompleks algebraisk-trigonometrisk ligning bestående af 8 udtryk, 32 koefficienter og 33 hovedparametre, herunder flere yderligere til beregninger i tilfælde af arytmi. Ifølge læger letter denne formel i høj grad processen med at beskrive de vigtigste parametre for hjerteaktivitet og derved fremskynde diagnosen og starten af selve behandlingen.

Trigonometri hjælper også vores hjerne med at bestemme afstande til objekter.

1) Trigonometri hjælper vores hjerne med at bestemme afstande til objekter.

2)Bevægelse af fisk i vand opstår i henhold til sinus- eller cosinusloven, hvis du fikserer et punkt på halen og derefter overvejer bevægelsesbanen. Ved svømning antager fiskens krop form af en kurve, der ligner grafen for funktionen y=tg(x)
5.Konklusion

Som et resultat af forskningsarbejdet:

· Jeg stiftede bekendtskab med trigonometriens historie.

· Systematiserede metoder til løsning af trigonometriske ligninger.

· Lærte om anvendelserne af trigonometri i arkitektur, biologi og medicin.