Et mekanisk system bestående af tre legemer med masserne m1, m2, m3 roterer om en lodret akse med en konstant vinkelhastighed
ω. Kugle 3 tages som et materialepunkt. Legeme 1, 2 er homogene stænger.l
– stangens længde 1.
Brug d'Alemberts princip til at skabe dynamiske ligninger
ligevægt i et mekanisk system.
kommunikation. Systemets geometriske parametre er kendte. Under påvirkning af aktive belastninger bevæger et mekanisk system sig fra en hviletilstand.
Givet: m1, m2, m3 - masser af legemer 1, 2, 3; Jc2x2 , Jc3x3 - inertimomenter af legemer 2,
3 i forhold til akser, der går gennem deres massecentre; P – aktiv kraft.
Billet nummer 3
Teoretisk del
Øvelse 1. Formuler dynamikkens tredje lov(loven om lige handling og reaktion).
tvungne vibrationer
tion af et materielt punkt?
Opgave 3. Nedskriv den grundlæggende ligning for dynamikken i relativ bevægelse pointer for det tilfælde, hvor overførselsbevægelsen er en translationel ujævn kurvelineær bevægelse, og den relative bevægelse er retlinet
Opgave 4. Det er mål for inerti under translationel bevægelse
af en fast krop?
Opgave 5. Formuler den anden konsekvens ud fra teoremer om bevægelsen af et mekanisk systems massecenter.
Opgave 6. Formuler en definition af begrebet "centralt system"
la."
Opgave 7. Formuler en definition af begrebet " kinetisk energi».
Opgave 8. Formuler en definition af begrebet "mulige ændringer"
forskydning af et ikke-frit mekanisk system." Opgave 9. Hvad studerer analytisk mekanik?
Opgave 10. Formuler en definition af begrebet "generaliseret system"
la."
Praktisk del
Krop 1 roterer i forhold til O1 Z1-aksen med en konstant vinkelhastighed. Et punkt M med massen m bevæger sig langs en glat kanal lavet i krop 1.
Et bevægeligt mekanisk system består af fire legemer. Massecentrum
krop 1 har en hastighed V.
Bestem den kinetiske energi af krop 4 med masse m4 afhængig af
Ved hjælp af princippet om mulige forskydninger bestemmes den vandrette komponent af den eksterne forbindelsesreaktion i punkt B.
Et mekanisk system bestående af tre legemer med masserne m1, m2, m3, roterende
er i forhold til den lodrette akse med en konstant vinkelhastighed ω. Kropper 1, 2, 3 er homogene stænger l 1 = l 3 = l – længder af stænger 1, 3.
Brug d'Alemberts princip til at skabe ligninger af dynamiske ligninger
nyheder om det mekaniske system.
På et mekanisk system bestående af tre kroppe, ideelt
kommunikation. Systemets geometriske parametre er kendte. Under indflydelse af aktive
belastninger, bevæger det mekaniske system sig fra en hviletilstand.
Givet: m1, m2, m3 - masser af legemer 1, 2, 3; Jc2x2 , Jc3x3 - inertimomenter af kroppe 2, 3
i forhold til de akser, der går gennem deres massecentre; P - aktiv kraft; M3 – aktivt moment.
Lav en generel ligning for dynamikken i et mekanisk system.
Billet nummer 4
Teoretisk del
Øvelse 1. Formuler en definition af begrebet " inerti referenceramme».
Opgave 2. Under indflydelse af, hvad kræfter gør tvungne vibrationer
tion af et materielt punkt?
Opgave 3. Skriv differentialligningen for bevægelse af et punkt,
opstår under påvirkning af en genoprettende kraft, en forstyrrende kraft, der ændrer sig i henhold til en periodisk lov, og en modstandskraft mod bevægelse,
proportional med hastighedens første potens.
Opgave 4. Det er mål for inerti under translationel bevægelse
af en fast krop?
Opgave 5. Skriv formlen ned for at bestemme inertimoment te-
la i forhold til den lodrette rotationsakse.
Opgave 6. Formuler en definition af begrebet " vektor arm co-
mængden af bevægelse af et punkt i forhold til et vilkårligt centrum."
Opgave 7. Skriv formlen ned for at bestemme tungt styrkearbejde
sti.
Opgave 8. Skriv formler ned, der udtrykker d'Alemberts princip for et ikke-frit uforanderligt mekanisk system i koordineret form
Opgave 9. Formuler en definition af begrebet "mulig gen-
forskydning af systemet."
Opgave 10. Skriv en formel, der udtrykker princippet om mulig gen-
forskydninger, i vektorform.
Praktisk del
Krop 1 roterer i forhold til O1 Z1-aksen med en konstant vinkelhastighed
e. Et punkt M med massen m bevæger sig langs en glat kanal lavet i krop 1.
Skriv differentialligningen for den relative bevægelse af punktet M.
Et bevægeligt mekanisk system består af fem legemer. Geometrisk
kropsparametre er kendte. R3, r3, R5 er de tilsvarende radier af legeme 3, 5. Massecentrum for legeme 1 har en hastighed V. Jc5x5 er inertimomentet for legeme 5 i forhold til aksen,
passerer gennem dets massecentrum.
Bestem den kinetiske energi af krop 5 med masse m5 afhængig af
hastighed V og geometriske parametre for dette system.
Et fladt mekanisk system bestående af to legemer udsættes for aktive belastninger P1, P2, q, M.
Ved hjælp af princippet om mulige bevægelser bestemmes lodret
komponent af den eksterne forbindelsesreaktion i punkt A.
Et mekanisk system bestående af tre legemer med masserne m1, m2, m3 roterer om en vandret akse med en konstant vinkelhastighed ω.
Legeme 1, 2, 3 er homogene stænger.
Givet: m1, m2, m3, m4 - kropsmasser; Jc2x2, Jc3x3 - inertimomenter af legeme 2, 3 i forhold til akserne, der passerer gennem deres massecentre.
Lav en generel ligning for dynamikken i et mekanisk system.
Billet nummer 5
Teoretisk del
Øvelse 1. Nedskriv den grundlæggende ligning for dynamikken i en ikke-fri ma-
terialpunkt i vektorform.
Opgave 2. Formuler en definition af begrebet " cyklisk time-
summen af frie svingninger af et punkt."
Opgave 3. Formuler en definition af begrebet "interne systemer"
ly".
Opgave 4. Skriv formlen ned for at bestemme hovedvektor re-
andele af eksterne relationer.
Opgave 5. Formuler Steiners sætning.
Opgave 6. Skriv ned momentum teorem i vektorform.
Opgave 7. Formuler en definition af begrebet "konstant arbejde"
kraft på den retlinede bevægelse af dets anvendelsespunkt."
Opgave 8. Skriv formlen ned for at bestemme inerti kræfter
rial punkt.
Opgave 9. Formuler en definition af begrebet "mulig (ele-
mentalt) kraftarbejde.”
Opgave 10. Skriv Lagrange-ligningen af den anden slags ned.
Praktisk del
Vogn 1 udfører translationel horisontal bevægelse i henhold til loven y1 = 4t3 + 2t2 + t + 1, m. En kugle M med massen m bevæger sig i en glat skrå kanal på vognen.
Skriv differentialligningen for relativ bevægelse ned
Det bevægelige mekaniske system består af seks legemer. Geometrisk
De fysiske parametre for kroppene er kendte. R2, r2, R3 er radierne af henholdsvis legeme 2 og 3. Jc3x3 er inertimomentet for legeme 3 i forhold til aksen, der går gennem dets centrum
vægt. Massecentrum for krop 1 har en hastighed V.
Bestem den kinetiske energi af krop 3 afhængigt af hastigheden V og mekanismens geometriske parametre.
Et fladt mekanisk system bestående af to legemer påvirkes af
aktive belastninger P1, P2, q, M.
Ved hjælp af princippet om mulige forskydninger bestemmes den lodrette komponent af den eksterne forbindelsesreaktion i punkt A.
Et mekanisk system bestående af to homogene stænger 1, 2 med masser m1, m2 og et vægtløst gevind 3 roterer i forhold til vandret
akse med konstant vinkelhastighed ω.
Brug d'Alemberts princip til at skabe dynamiske ligevægtsligninger for et mekanisk system.
Ideelle forbindelser pålægges et mekanisk system bestående af fire legemer. Systemets geometriske parametre er kendte. Under påvirkning af aktive belastninger bevæger et mekanisk system sig fra en hviletilstand.
Givet: m1, m2, m3, m4 - kropsmasser; Jc2x2, Jc3x3 - inertimomenter af legeme 2, 3 i forhold til akserne, der passerer gennem deres massecentre; P – aktiv kraft.
Lav en generel ligning for dynamikken i et mekanisk system.
Sasha, Kolya og Dima deltog i distanceløbskonkurrencer L= 200 m. Ved starten var vennerne placeret på tilstødende stier. Sasha, der startede i første bane, sluttede først efter t= 40 s, og Dima på tredje spor var Δ efter vinderen t= 10 sek. Bestem Kolyas hastighed på det andet spor, hvis det vides, at i øjeblikket for Sashas afslutning var alle tre løbere placeret på den samme lige linje. Atleternes løbehastigheder kan betragtes som konstante over hele distancen, og løbebåndet er lige.
Mulig løsning
Lad os finde Sashas hastighed: V 1 = L/ t og Dimas hastighed: V 3 = L/(t + Δt)
På et tidspunkt t Dima er bag Sasha med en afstand Δ l =(V 1 – V 3)t.
Af det faktum, at alle tre venner var på samme lige linje i det øjeblik, følger det, at Kolya haltede bagud Sasha med en afstand Δ l/2. På den anden side Δ l/ 2 = (V 1 – V 2)t, Hvor V 2 - Kolyas hastighed. Ved at løse det skrevne ligningssystem får vi: ÷
Evalueringskriterie
- Fandt hastighederne for Sasha og Dima (1 point for hver): 2 point
- Den afstand, hvormed Dima var bag Sasha i øjeblikket, blev fundet t: 2 point
- Det blev brugt, at vennerne var placeret på den samme lige linje, og der blev opnået en forbindelse mellem de afstande, hvormed Dima og Kolya haltede efter Sasha: 2 point
- Der er skrevet et udtryk for den afstand, hvormed Kolya er bag Sasha på et tidspunkt t, gennem Kolyas hastighed: 2 point
- Udtrykket for Kolyas hastighed opnås: 1 point
- Den numeriske værdi af Kolyas hastighed blev opnået: 1 point
Maksimalt pr opgave- 10 point.
Opgave 2
Et system bestående af to homogene stænger med forskellige tætheder er i ligevægt. Topstangs vægt m 1 = 3,6 kg. Friktionen er ubetydelig. Bestem ved hvilken masse m 2 nederste stænger en sådan ligevægt er mulig.
Mulig løsning
Lad os skrive momentligningen for den nederste stang i forhold til dens tyngdepunkt: 5T 1 – 2T 2 = 0, hvor T 1 er reaktionskraften på siden af venstre tråd, T 2 er reaktionskraften på siden af den rigtige tråd.
Ligevægtstilstand for den nederste stang:
T 1 + T 2 = m 2 g
Ud fra disse to ligninger finder vi:
T 1 = 2/7 *m 2 g,
– T 2 = 5/7*m 2 g.
Lad os skrive momentsligningen for den øverste stang i forhold til fastgørelsespunktet for venstre (øverste) tråd:
Evalueringskriterie
- 5T 1 – 2T 2 = 0: 2 point
- T 1 + T 2 = m 2 g: 1 point
- T 1 = 2/7*m 2 g og T 2 = 5/7m 2 g (1 point for hver kraft): 2 point
- Moment ligning: 4 point
- m 2 = 2,1 kg: 1 point
Maksimum pr opgave – 10 point.
Opgave 3
Et legeme bundet med en tråd til bunden af et kar nedsænkes i væske til 2/3 af dets volumen. Trådens spændingskraft er lig med T 1 = 12 N. For at fjerne denne krop fra væsken med 2/3 af dens volumen, skal du løsne kroppen fra bunden og påføre en lodret opadgående kraft på den ovenfra T 2 = 9 N. Bestem forholdet mellem væskens og legemets massefylde.
Mulig løsning
Lad os nedskrive kroppens ligevægtstilstand i det første tilfælde:
hvor ρ Т er densiteten af legemet, ρ Ж er densiteten af væsken, V er legemets volumen.
Lad os dividere en ligning med en anden:
Evalueringskriterie
- Arkimedes' kraft i form ρ Ж gV pogr: 1 point
- Betingelsen for kropsligevægt i det første tilfælde: 4 point
- Betingelsen for kropsligevægt i det andet tilfælde: 4 point
- ρ Ж /ρ T = 2,1: 1 point
Maksimalt pr opgave- 10 point
Opgave 4
For at holde en konstant temperatur i huset T= +20 ºС brænde tilføres konstant brændeovnen. Når det bliver koldt, falder udelufttemperaturen med Δ t= 15 ºС, og for at opretholde den samme temperatur i huset skal du tilføje brænde 1,5 gange oftere. Bestem lufttemperaturen udenfor, når det bliver koldt. Hvilken temperatur ville der blive etableret i huset, hvis der blev tilføjet brænde med samme frekvens? Overvej, at kraften af varmeoverførsel fra rum til gade er proportional med forskellen i deres temperaturer.
Mulig løsning
Lad lufttemperaturen udenfor før kuldepåvirkningen være ens, og den varmeeffekt, der tilføres huset ved afbrænding af træ, være ens P. Så før det bliver koldt:
hvor α er en konstant proportionalitetskoefficient.
Efter koldt vejr:
1,5ϲP = α(T – (t – Δt))
Lad os dividere en ligning med en anden:
Hvis brænde blev tilføjet med samme frekvens, så:
Evalueringskriterie
- P = α(T – t) : 3 point
- 1,5P = α(T – (t – ∆t)): 3 point
- t – ∆t = – 25°C: 1 point
- T' = 5°C: 3 point
Maksimalt pr opgave- 10 point.
Opgave 5
Hvor mange gange vil aflæsningerne af et ideelt amperemeter ændre sig, når kontakten er lukket, hvis en konstant spænding påføres kredsløbssektionens indgangsterminaler?
Evalueringskriterie
- Total modstand før afbryderlukning: 3 point
- I = 7U/12R: 1,5 point
- Total modstand efter lukning af nøglen: 3 point
- I′=12U/17R: 1,5 point
- I′/I= 144/119 ≈ 1,2: 1 point
Maksimalt pr opgave- 10 point.
Hvis løsningen på et problem afviger fra forfatterens, udarbejder eksperten (læreren) selv vurderingskriterier afhængigt af graden og rigtigheden af problemløsningen.
Hvis en korrekt løsning indeholder en regnefejl, reduceres scoren med 1 point.
I alt for arbejde - 50 point.
Ved bestemmelse af ligevægtsbetingelserne for et system af vekselvirkende faste legemer, kan ligevægtsproblemet løses for hver krop separat. De reaktions(interaktions)kræfter, der opstår ved kontaktpunkterne, opfylder Newtons tredje lov. I overensstemmelse hermed er vi forpligtet til at acceptere betingelsen om, at en krops handling på en anden er lige og modsat i retning af denne anden krops handling på den første.
Hvis vi, når vi løser et ligevægtsproblem, vælger det samme reduktionscenter for alle systemets legemer, så opnår vi for hver af legemerne følgende ligevægtsbetingelser:
hvor henholdsvis er den resulterende kraft og moment af det resulterende par af alle kræfter, der virker på et givent legeme, bortset fra kræfterne i samspil mellem individuelle legemer (indre reaktioner). - henholdsvis den resulterende kraft og moment af det resulterende par af kræfter af indre reaktioner, der virker på et givet legeme. Nu udføres en formel summering og tages i betragtning, at betingelserne er opfyldt for de interne interaktionskræfter
vi opnår følgende nødvendige betingelser for ligevægten af et system af faste legemer:
hvor summeringen allerede strækker sig til alle punkter af interagerende kroppe.
Eksempel 35. Systemet består af to homogene stænger med længde P og vægt P. Begge stænger kan rotere i samme lodrette plan: stangen omkring dens centrum O, og stangen omkring hængslet O, placeret på samme lodret med O ved en afstand
En last med vægten Q er ophængt fra stangens ende D. Lasten Q, gennem stangen, afbøjer stangen fra lodret position.
Bestem vinklen ved systemets ligevægtsposition, samt reaktionen ved punkt O (fig. 99).
Løsning. Systemet, der overvejes, består af to solide stænger under påvirkning af et plan kraftsystem.
Ligevægtsbetingelser for den første stang
kan omskrives i formularen
Den sidste ligning i den første gruppe indikerer, at den eneste reaktionskraft er placeret i tegningens plan. Som følge heraf er momentet for det resulterende par rettet langs aksen vinkelret på planet. I betragtning af stangens ligevægtsbetingelser bemærker vi, at reaktionen ved punkt O er placeret i tegningens plan, og ligevægtsbetingelserne for hver af stængerne består af tre ligninger. Som et resultat opnår vi seks ligevægtsligninger for systemet til at bestemme vinklen og reaktionen ved punkter. For at bestemme ligevægtspositionen af et system er det nødvendigt kun at finde én størrelse - vinklen
Når man opstiller ligevægtsligninger, kan man bemærke, at de indeholder flere ukendte størrelser (parameter og ukendte reaktioner). Afhængig
Afhængig af valget af reduktionscenter vil disse ligninger have en mere eller mindre kompleks form.
Lad os først overveje stangens ligevægt, idet vi vælger punkt O som reduktionscenter Ligevægtsbetingelsen er, at summen af momenterne af par fra reduktionen af kræfterne Q og til punkt O er lig nul (her er N reaktionskraft, der virker fra stangen OA på stangen CD)
Lad os nu gå videre til undersøgelsen af stavens ligevægt Vi vælger punkt O som reduktionscenter, således at ligevægtsbetingelsen (summen af parmomenterne er lig nul, når de reduceres til punkt O) har formen
OLYMPIADE PROBLEMER
8. klasse
1. Kom på arbejde!
Ingeniøren ankom til stationen på samme tid hver dag, og samtidig kom der en bil for at hente ham på anlægget, hvori han kørte til dette anlæg for at arbejde. En dag ankom en ingeniør til stationen 55 minutter tidligere end normalt, gik straks bilen i møde og ankom til fabrikken 10 minutter tidligere end normalt. Hvad er bilens hastighed, hvis ingeniørens hastighed er 5 km/t?
1. Da ingeniøren i dette tilfælde ankom til fabrikken 10 minutter tidligere (og bilen kørte som normalt), ville bilen køre fra mødestedet til stationen på 5 minutter.
2. Ingeniøren gik den samme afstand på 50 minutter (han ankom til stationen 55 minutter tidligere, end bilen ville være ankommet).
3. Bilen kørte således den samme afstand (fra stationen til mødestedet), og brugte 10 gange mindre tid end ingeniøren. Følgelig er dens hastighed 10 gange større, dvs. svarende til 50 km/t.
2. System i mekanisk ligevægt
Systemet består af to homogene stænger, tre vægtløse tråde, hvoraf den ene kastes over en stationær blok. Der er ingen friktion i blokaksen, og alle gevind er lodrette. Massen af den øverste stang m 1 = 0,5 kg. Bestem massen m 2 af den nederste stang.
1. Lad os arrangere de kræfter, der virker på hver af stængerne. Lad os tage i betragtning, at kræfterne på et tidspunkt er de samme. Og en stationær blok giver ikke en styrkeforøgelse, derfor er kræfterne, der virker på gevindet, der kastes over blokken, også de samme på begge sider. 
2. Begge stænger er i ligevægt uden at rotere. Og begge stænger bevæger sig ikke, forbliver i ro. Derfor anvender vi først reglen om momenter for hver stang. Fordi Stængerne er i ro, så er resultanten af de påførte kræfter 0. 
Vand hældes i et U-formet rør, således at afstanden fra vandstanden til toppen af røret er 40 cm. Der tilsættes olie i den ene albue af røret til toppen. Hvor meget vil vandstanden stige i det andet ben af røret? Densiteten af olie er 800 kg/m3, densiteten af vand er 1000 kg/m3.
1. Afstanden mellem niveau 1 og 2 er 40 cm. Når der tilføres olie til venstre albue, falder vandstanden i den med en afstand x (afstanden mellem niveau 2 og 3). I højre knæ stiger vandet lige meget, fordi væskerne er usammentrykkelige, og mængden af vand, der frigives fra venstre albue, er lig med mængden af vand, der overføres til højre albue (tværsnittene af rørene er de samme).
2. Ifølge Pascals lov skal trykket på samme niveau være det samme. Lad os finde ud af trykket i hvert knæ på niveau 3:
Vand hældes i et glas ved stuetemperatur 20°C til halvdelen af volumenet. Derefter tilsættes samme mængde vand til dette glas ved en temperatur på 30°C. Efter at termisk ligevægt var etableret, viste temperaturen i glasset sig at være 23°C. I et andet lignende glas hældes vand ved en temperatur på 20°C til 1/3 af volumen og tilsæt varmt vand ved en temperatur på 30°C til toppen. Hvilken temperatur vil blive etableret i dette glas? Forsøm varmetab under etableringen af ligevægt.
1. Lad os betegne: C - glassets varmekapacitet, c - vandets varmekapacitet, t 0 = 20 o C, t = 30 o C, t 1 = 23 o C, t 2 - den ønskede værdi.
2. Lad os nedskrive varmebalanceligningerne for hvert tilfælde: 
5. Brændstofforbrug
Brændstofforbruget for en bus (a) afhænger af dens hastighed (v) som vist i den første graf. Fra by A til by B kører bussen i overensstemmelse med køreplanen (anden køreplan). Find ud af, om chaufføren kan gøre detkomme til din destination uden at tanke, hvis bilen har 25 liter brændstof på tanken?
Ved hjælp af den første graf bestemmer vi brændstofforbruget ved hastigheder på 20 km/t og 80 km/t. Da brændstofforbrugets afhængighed af hastigheden er lineær, er følgende proportioner gyldige: 
Lad os tage i betragtning, at bussen med en hastighed på 80 km/t kørte 80 km, hvilket forbrugte mængden af benzin
V1 = a 1 s 1 = (11/60) 80 = 44/3 l. Med en hastighed på 20 km/t kørte bussen 40 km, som den brugte på
V 2 = a 2 s 2 = (13/60) 40 = 26/3 l. I alt forbrugte bussen 70/3 liter, hvilket er under 25 liter. Derfor vil der være nok brændstof til at rejse til din destination uden at tanke.
En aeronaut, der rejste i en luftballon, så pludselig, at han bevægede sig jævnt nedad. Så tabte han 60 kg ballast, opbevaret netop til denne lejlighed. Ballonen, efter at være blevet befriet for ballast, begyndte at stige opad med halvdelen af hastigheden. I betragtning af at luftmodstandens kraft er direkte proportional med boldens hastighed, skal du bestemme denne kraft under nedstigning.
Lad os arrangere de kræfter, der virker på ballonen, når den flyver op og ned: 
Da bevægelsen i begge tilfælde er ensartet, er resultanten af alle påførte kræfter nul. Så for den nedadgående bevægelse har vi F resist + F arch = m 1 g, og for den opadgående bevægelse F arch = m 2 g + F resist /2. Her tog vi højde for, at den arkimediske kraft ikke ændrer sig (luftdensiteten og kuglens volumen er den samme), og modstandskraften ved bevægelse opad vil blive 2 gange mindre, fordi alt efter tilstanden er den proportional med bevægelseshastigheden, og hastigheden ved bevægelse op er 2 gange mindre end ved bevægelse ned. Den faldede last har en masse m 1 - m 2, så finder vi, at 3/2 F resist = (m 1 - m 2)g. Derfor F-resist = 400 N.
En homogen, flad stålstang på 1 m lang blev bøjet på midten i en vinkel på 90°. I hvilken afstand fra toppen af en ret vinkel skal stangen hænges, så siderne af den resulterende vinkel er orienteret lodret og vandret?
