Løsning af systemligninger ved hjælp af Cramers metode 3 i træk. Cramers regel

Lad systemet af lineære ligninger indeholde lige så mange ligninger som antallet af uafhængige variable, dvs. ligner

Sådanne systemer af lineære ligninger kaldes kvadratiske. Determinanten, der er sammensat af koefficienter for systemets uafhængige variable (1.5), kaldes systemets hoveddeterminant. Vi vil betegne det med det græske bogstav D. Således,

. (1.6)

Hvis hoveddeterminanten indeholder en vilkårlig ( j th) kolonne, udskift med en kolonne med gratis systembetingelser (1.5), så kan du få n hjælpekvalifikationer:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramers regel løsning af kvadratiske systemer af lineære ligninger er som følger. Hvis hoveddeterminanten D for systemet (1.5) er forskellig fra nul, har systemet en unik løsning, som kan findes ved hjælp af formlerne:

(1.8)

Eksempel 1.5. Løs ligningssystemet ved hjælp af Cramer-metoden

Lad os beregne hoveddeterminanten for systemet:

Siden D¹0 har systemet en unik løsning, som kan findes ved hjælp af formlerne (1.8):

Dermed,

Handlinger på matricer

1. Multiplicer en matrix med et tal. Operationen med at gange en matrix med et tal er defineret som følger.

2. For at gange en matrix med et tal, skal du gange alle dens elementer med dette tal. Det er

. (1.9)

Eksempel 1.6. .

Matrix tilføjelse.

Denne operation introduceres kun for matricer af samme orden.

For at tilføje to matricer er det nødvendigt at tilføje de tilsvarende elementer i en anden matrix til elementerne i en matrix:

(1.10)
Operationen af matrixaddition har egenskaberne associativitet og kommutativitet.

Eksempel 1.7. .

Matrix multiplikation.

Hvis antallet af matrixkolonner EN falder sammen med antallet af matrixrækker I, så for sådanne matricer introduceres multiplikationsoperationen:

Altså når man multiplicerer en matrix EN dimensioner m´ n til matrixen I dimensioner n´ k vi får en matrix MED dimensioner m´ k. I dette tilfælde matrixelementerne MED beregnes ved hjælp af følgende formler:

Opgave 1.8. Find om muligt produktet af matricer AB Og B.A.:

Løsning. 1) For at finde et arbejde AB, skal du bruge matrixrækker EN gange med matrixkolonner B:

2) Arbejde B.A. eksisterer ikke, fordi antallet af matrixkolonner B svarer ikke til antallet af matrixrækker EN.

Invers matrix. Løsning af lineære ligningssystemer ved hjælp af matrixmetoden

Matrix EN- 1 kaldes det omvendte af en kvadratisk matrix EN, hvis ligestillingen er opfyldt:

hvor igennem jeg betegner identitetsmatrixen af samme orden som matrixen EN:

For at en kvadratisk matrix skal have en invers, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at dens determinant er forskellig fra nul. Den inverse matrix findes ved hjælp af formlen:

, (1.13)

Hvor A ij- algebraiske tilføjelser til elementer en ij matricer EN(bemærk at algebraiske tilføjelser til matrixrækker EN er placeret i den inverse matrix i form af tilsvarende kolonner).

Eksempel 1.9. Find den inverse matrix EN- 1 til matrix

Vi finder den inverse matrix ved hjælp af formlen (1.13), som for tilfældet n= 3 har formen:

Lad os finde det EN = | EN| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Da determinanten af den oprindelige matrix er ikke-nul, eksisterer den inverse matrix.

1) Find algebraiske komplementer A ij:

For at gøre det nemmere at finde den inverse matrix har vi placeret de algebraiske tilføjelser til rækkerne af den oprindelige matrix i de tilsvarende kolonner.

Ud fra de opnåede algebraiske tilføjelser komponerer vi en ny matrix og dividerer den med determinanten det EN. Således får vi den omvendte matrix:

Kvadratiske systemer af lineære ligninger med en hoveddeterminant, der ikke er nul, kan løses ved hjælp af den inverse matrix. For at gøre dette er system (1.5) skrevet i matrixform:

Hvor

Multiplicer begge sider af lighed (1,14) fra venstre med EN- 1, får vi løsningen på systemet:

, hvor

For at finde en løsning på et kvadratisk system skal du således finde den inverse matrix af systemets hovedmatrix og gange den til højre med kolonnematricen af frie led.

Opgave 1.10. Løs et system af lineære ligninger

ved hjælp af den inverse matrix.

Løsning. Lad os skrive systemet i matrixform: ,

Hvor - systemets hovedmatrix, - kolonnen af ukendte og - kolonnen med frie termer. Da systemets vigtigste determinant , derefter systemets hovedmatrix EN har en omvendt matrix EN-1. For at finde den inverse matrix EN-1 , beregner vi de algebraiske komplementer til alle elementer i matricen EN:

Ud fra de opnåede tal vil vi komponere en matrix (og algebraiske tilføjelser til rækkerne i matrixen EN skriv det i de relevante kolonner) og divider det med determinanten D. Således har vi fundet den inverse matrix:

Vi finder løsningen på systemet ved hjælp af formel (1.15):

Dermed,

Løsning af systemer af lineære ligninger ved hjælp af den almindelige Jordan-elimineringsmetode

Lad et vilkårligt (ikke nødvendigvis kvadratisk) system af lineære ligninger være givet:

(1.16)

Det er påkrævet at finde en løsning på systemet, dvs. sådan et sæt af variabler, der opfylder alle systemets ligheder (1.16). I det generelle tilfælde kan system (1.16) ikke kun have én løsning, men også utallige løsninger. Det kan også have nogen løsninger overhovedet.

Når man løser sådanne problemer, bruges den velkendte skolekursusmetode til at eliminere ukendte, som også kaldes den almindelige Jordan-elimineringsmetode. Essensen af denne metode er, at i en af systemligningerne (1.16) er en af variablerne udtrykt i form af andre variable. Denne variabel erstattes derefter med andre ligninger i systemet. Resultatet er et system, der indeholder en ligning og en variabel mindre end det oprindelige system. Ligningen, hvorfra variablen blev udtrykt, huskes.

Denne proces gentages, indtil der er en sidste ligning tilbage i systemet. Gennem processen med at eliminere ukendte kan nogle ligninger blive sande identiteter, f.eks. Sådanne ligninger er udelukket fra systemet, da de er opfyldt for enhver værdi af variablerne og derfor ikke påvirker systemets løsning. Hvis, i processen med at eliminere ukendte, mindst én ligning bliver en lighed, der ikke kan opfyldes for nogen værdier af variablerne (for eksempel), så konkluderer vi, at systemet ikke har nogen løsning.

Hvis der ikke opstår nogen modstridende ligninger under løsningen, så findes en af de resterende variable i den fra den sidste ligning. Hvis der kun er én variabel tilbage i den sidste ligning, så udtrykkes den som et tal. Hvis andre variable forbliver i den sidste ligning, betragtes de som parametre, og variablen udtrykt gennem dem vil være en funktion af disse parametre. Derefter finder det såkaldte "omvendte træk" sted. Den fundne variabel sættes ind i den sidst huskede ligning, og den anden variabel findes. Derefter erstattes de to fundne variable i den næstsidste gemte ligning, og den tredje variabel findes, og så videre, op til den første huskede ligning.

Som et resultat får vi en løsning på systemet. Denne løsning vil være unik, hvis de fundne variable er tal. Hvis den første fundet variabel, og derefter alle de andre, afhænger af parametrene, vil systemet have et uendeligt antal løsninger (hvert sæt parametre svarer til en ny løsning). Formler, der giver dig mulighed for at finde en løsning til et system afhængigt af et bestemt sæt parametre, kaldes systemets generelle løsning.

Eksempel 1.11.

Efter at have husket den første ligning og bringer lignende udtryk i den anden og tredje ligning, når vi frem til systemet:

Lad os udtrykke y fra den anden ligning og indsæt den i den første ligning:

Lad os huske den anden ligning, og fra den første finder vi z:

At arbejde baglæns, finder vi konsekvent y Og z. For at gøre dette, erstatter vi først i den sidst huskede ligning, hvorfra vi finder y:

Så erstatter vi det i den første huskede ligning hvor vi kan finde det x:

Opgave 1.12. Løs et system af lineære ligninger ved at eliminere ukendte:

. (1.17)

Løsning. Lad os udtrykke variablen fra den første ligning x og indsæt det i anden og tredje ligning:

Lad os huske den første ligning

I dette system modsiger den første og anden ligning hinanden. Faktisk udtrykker y , får vi, at 14 = 17. Denne lighed gælder ikke for nogen værdier af variablerne x, y, Og z. Følgelig er system (1.17) inkonsekvent, dvs. har ingen løsning.

Vi opfordrer læserne til selv at kontrollere, at hoveddeterminanten for det oprindelige system (1.17) er lig nul.

Lad os betragte et system, der kun adskiller sig fra system (1.17) med én fri term.

Opgave 1.13. Løs et system af lineære ligninger ved at eliminere ukendte:

. (1.18)

Løsning. Som før udtrykker vi variablen fra den første ligning x og indsæt det i anden og tredje ligning:

Lad os huske den første ligning og præsentere lignende udtryk i anden og tredje ligning. Vi kommer til systemet:

Udtrykke y fra den første ligning og erstatte den med den anden ligning , får vi identiteten 14 = 14, hvilket ikke påvirker systemets løsning, og derfor kan det udelukkes fra systemet.

I den sidst huskede lighed, variablen z vi vil betragte det som en parameter. Vi tror. Derefter

Lad os erstatte y Og z ind i den første huskede lighed og finde x:

System (1.18) har således et uendeligt antal løsninger, og enhver løsning kan findes ved hjælp af formler (1.19) ved at vælge en vilkårlig værdi af parameteren t:

(1.19)
Så systemets løsninger er f.eks. følgende sæt af variabler (1; 2; 0), (2; 26; 14) osv. Formler (1.19) udtrykker den generelle (enhver) løsning af systemet (1.18) ).

I det tilfælde, hvor det oprindelige system (1.16) har et tilstrækkeligt stort antal ligninger og ukendte, virker den angivne metode til almindelig Jordan-eliminering besværlig. Det er det dog ikke. Det er nok at udlede algoritmen til genberegning af systemkoefficienterne på et trin i generel form og formalisere løsningen på problemet i form af specielle Jordan-tabeller.

Lad et system af lineære former (ligninger) være givet:

, (1.20)
Hvor x j- uafhængige (søgte) variable, en ij- konstante koefficienter
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). De rigtige dele af systemet y i (i = 1, 2,…, m) kan enten være variable (afhængige) eller konstanter. Det er nødvendigt at finde løsninger på dette system ved at eliminere de ukendte.

Lad os overveje følgende operation, fremover kaldet "et trin af almindelige Jordan-elimineringer". Fra vilkårlig ( r th) lighed udtrykker vi en vilkårlig variabel ( xs) og erstatte i alle andre ligestillinger. Det er selvfølgelig kun muligt hvis en rs¹ 0. Koefficient en rs kaldet det løsende (nogle gange vejledende eller hovedelement).

Vi får følgende system:

. (1.21)

Fra s- systemlighed (1.21), finder vi efterfølgende variablen xs(efter at de resterende variable er fundet). S Den -te linje huskes og udelukkes efterfølgende fra systemet. Det resterende system vil indeholde en ligning og en mindre uafhængig variabel end det oprindelige system.

Lad os beregne koefficienterne for det resulterende system (1.21) gennem koefficienterne for det oprindelige system (1.20). Lad os starte med r ligning, som efter at have udtrykt variablen xs gennem de resterende variable vil det se sådan ud:

Således de nye koefficienter r ligningerne beregnes ved hjælp af følgende formler:

(1.23)
Lad os nu beregne de nye koefficienter b ij(jeg¹ r) af en vilkårlig ligning. For at gøre dette, lad os erstatte variablen udtrykt i (1.22) xs V jeg systemets ligning (1.20):

Efter at have bragt lignende udtryk får vi:

(1.24)
Fra lighed (1.24) får vi formler, hvormed de resterende koefficienter for systemet (1.21) beregnes (med undtagelse r ligning):

(1.25)
Transformationen af systemer med lineære ligninger ved hjælp af metoden til almindelig Jordan-eliminering præsenteres i form af tabeller (matricer). Disse tabeller kaldes "Jordan-tabeller".

Således er problem (1.20) forbundet med følgende Jordan-tabel:

Tabel 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
y 1 =	-en 11	-en 12		-en 1j		-en 1s		-en 1n
…………………………………………………………………..
y i=	et i 1	et i 2		en ij		en er		en ind
…………………………………………………………………..
y r=	en r 1	en r 2		en rj		en rs		arn
………………………………………………………………….
y n=	en m 1	en m 2		en mj		en ms		en mn

Jordan tabel 1.1 indeholder en venstre overskriftskolonne, hvor de højre dele af systemet (1.20) er skrevet og en øverste overskriftsrække, hvor uafhængige variabler er skrevet.

De resterende elementer i tabellen danner hovedmatrixen af koefficienter for systemet (1.20). Hvis du multiplicerer matricen EN til matrixen, der består af elementerne i den øverste titelrække, får du en matrix, der består af elementerne i den venstre titelkolonne. Det vil sige i det væsentlige, at Jordan-tabellen er en matrixform til at skrive et system af lineære ligninger:. System (1.21) svarer til følgende Jordan-tabel:

Tabel 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b er		b i
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		bms		b mn

Tilladende element en rs Vi vil fremhæve dem med fed skrift. Husk på, at for at implementere et trin i Jordan-elimineringen, skal løsningselementet være ikke-nul. Tabelrækken, der indeholder aktiveringselementet, kaldes aktiveringsrækken. Kolonnen, der indeholder aktiveringselementet, kaldes aktiveringskolonnen. Når du flytter fra en given tabel til den næste tabel, vil en variabel ( xs) fra den øverste overskriftsrække i tabellen flyttes til venstre overskriftskolonne og omvendt et af de frie medlemmer af systemet ( y r) flytter fra den venstre hovedkolonne i tabellen til den øverste hovedrække.

Lad os beskrive algoritmen til genberegning af koefficienterne, når vi flytter fra Jordan-tabellen (1.1) til tabellen (1.2), som følger af formlerne (1.23) og (1.25).

1. Opløsningselementet erstattes af det omvendte tal:

2. De resterende elementer i den løsende streng opdeles i det løsende element og ændrer tegnet til det modsatte:

3. De resterende elementer i opløsningskolonnen er opdelt i opløsningselementet:

4. Elementer, der ikke er inkluderet i den tilladte række og den tilladte kolonne, genberegnes ved hjælp af formlerne:

Den sidste formel er let at huske, hvis du bemærker, at de elementer, der udgør brøken , er i krydset jeg- åh og r th linjer og j th og s th kolonner (opløsende række, opløsningskolonne og rækken og kolonnen, hvor det genberegnet element er placeret). Mere præcist, når du husker formlen du kan bruge følgende diagram:

-21 -26 -13 -37

Når du udfører det første trin af Jordan-undtagelser, kan du vælge et hvilket som helst element i tabel 1.3, der er placeret i kolonnerne som et løsende element x 1 ,…, x 5 (alle angivne elementer er ikke nul). Du skal bare ikke vælge det aktiverende element i den sidste kolonne, fordi du skal finde uafhængige variable x 1 ,…, x 5 . For eksempel vælger vi koefficienten 1 med variabel x 3 i tredje linje i tabel 1.3 (aktiveringselementet er vist med fed skrift). Når man flytter til tabel 1.4, vil variablen x De 3 fra den øverste overskriftsrække ombyttes med konstanten 0 i venstre overskriftskolonne (tredje række). I dette tilfælde variablen x 3 er udtrykt gennem de resterende variable.

Snor x 3 (tabel 1.4) kan efter forudgående huske udelukkes fra tabel 1.4. Den tredje kolonne med et nul i den øverste titellinje er også udelukket fra tabel 1.4. Pointen er, at uanset koefficienterne for en given kolonne b i 3 alle tilsvarende led i hver ligning 0 b i 3 systemer vil være lig nul. Derfor skal disse koefficienter ikke beregnes. Eliminering af en variabel x 3 og husker en af ligningerne, når vi frem til et system svarende til tabel 1.4 (med stregen overstreget x 3). Valg i tabel 1.4 som løsningselement b 14 = -5, gå til tabel 1.5. I tabel 1.5 skal du huske den første række og ekskludere den fra tabellen sammen med den fjerde kolonne (med et nul øverst).

Tabel 1.5 Tabel 1.6

Fra den sidste tabel 1.7 finder vi: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Ved konsekvent at substituere de allerede fundne variable i de huskede linjer, finder vi de resterende variable:

Dermed har systemet uendeligt mange løsninger. Variabel x 5, kan der tildeles vilkårlige værdier. Denne variabel fungerer som en parameter x 5 = t. Vi beviste systemets kompatibilitet og fandt dets generelle løsning:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Giver parameter t forskellige værdier, vil vi få et uendeligt antal løsninger til det originale system. Så for eksempel er løsningen til systemet følgende sæt af variabler (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

For at mestre dette afsnit skal du være i stand til at afsløre determinanterne "to gange to" og "tre gange tre". Hvis du er dårlig med kvalifikationer, så læs venligst lektionen Hvordan beregner man determinanten?

Først vil vi se nærmere på Cramers regel for et system af to lineære ligninger i to ubekendte. For hvad? – Det enkleste system kan trods alt løses ved hjælp af skolemetoden, metoden termin-for-term addition!

Faktum er, om end nogle gange, en sådan opgave opstår - at løse et system af to lineære ligninger med to ubekendte ved hjælp af Cramers formler. For det andet vil et enklere eksempel hjælpe dig med at forstå, hvordan du bruger Cramers regel til et mere komplekst tilfælde - et system af tre ligninger med tre ubekendte.

Derudover er der systemer af lineære ligninger med to variable, som er tilrådeligt at løse ved hjælp af Cramers regel!

Overvej ligningssystemet

På det første trin udregner vi determinanten, kaldes det hoveddeterminant for systemet.

Gauss metode.

Hvis , så har systemet en unik løsning, og for at finde rødderne skal vi beregne yderligere to determinanter:
Og

I praksis kan ovenstående kvalifikationer også betegnes med et latinsk bogstav.

Vi finder rødderne til ligningen ved hjælp af formlerne:
,

Eksempel 7

Løs et system af lineære ligninger

Løsning: Vi ser, at ligningens koefficienter er ret store på højre side er der decimalbrøker med komma. Kommaet er en ret sjælden gæst i praktiske opgaver i matematik. Jeg tog dette system fra et økonometrisk problem.

Hvordan løser man sådan et system? Du kan prøve at udtrykke en variabel i forhold til en anden, men i dette tilfælde vil du sandsynligvis ende med forfærdelige fancy brøker, der er ekstremt ubelejlige at arbejde med, og designet af løsningen vil simpelthen se forfærdeligt ud. Du kan gange den anden ligning med 6 og trække led for led, men de samme brøker vil også opstå her.

Hvad skal man gøre? I sådanne tilfælde kommer Cramers formler til undsætning.

;

Svar: ,

Begge rødder har uendelige haler og findes cirka, hvilket er ganske acceptabelt (og endda almindeligt) for økonometriske problemer.

Kommentarer er ikke nødvendige her, da opgaven løses ved hjælp af færdige formler, dog er der en advarsel. Når du bruger denne metode, obligatorisk Et fragment af opgavedesignet er følgende fragment: "Det betyder, at systemet har en unik løsning". Ellers kan anmelderen straffe dig for manglende respekt for Cramers teorem.

Det ville ikke være overflødigt at kontrollere, hvilket bekvemt kan udføres på en lommeregner: vi erstatter omtrentlige værdier i venstre side af hver ligning i systemet. Som et resultat, med en lille fejl, bør du få tal, der er på de rigtige sider.

Eksempel 8

Præsentér svaret i almindelige uægte brøker. Lav et tjek.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd (et eksempel på det endelige design og svaret i slutningen af lektionen).

Lad os gå videre til at overveje Cramers regel for et system af tre ligninger med tre ukendte:

Vi finder hoveddeterminanten for systemet:

Hvis , så har systemet uendeligt mange løsninger eller er inkonsekvent (har ingen løsninger). I dette tilfælde vil Cramers regel ikke hjælpe, du skal bruge Gauss-metoden.

Hvis , så har systemet en unik løsning, og for at finde rødderne skal vi beregne yderligere tre determinanter:
, ,

Og endelig udregnes svaret ved hjælp af formlerne:

Som du kan se, er "tre gange tre"-tilfældet grundlæggende ikke forskelligt fra "to gange to"-tilfældet, hvor kolonnen af frie termer "går" sekventielt fra venstre mod højre langs kolonnerne af hoveddeterminanten.

Eksempel 9

Løs systemet ved hjælp af Cramers formler.

Løsning: Lad os løse systemet ved hjælp af Cramers formler.

, hvilket betyder, at systemet har en unik løsning.

Svar: .

Faktisk er der igen ikke noget særligt at kommentere på, da løsningen følger færdige formler. Men der er et par kommentarer.

Det sker, at der som følge af beregninger opnås "dårlige" irreducerbare fraktioner, for eksempel: .
Jeg anbefaler følgende "behandlings"-algoritme. Hvis du ikke har en computer ved hånden, skal du gøre dette:

1) Der kan være fejl i beregningerne. Så snart du støder på en "dårlig" fraktion, skal du straks tjekke Er betingelsen omskrevet korrekt?. Hvis betingelsen omskrives uden fejl, skal du genberegne determinanterne ved hjælp af ekspansion i en anden række (kolonne).

2) Hvis der ikke er identificeret fejl som følge af kontrol, er der højst sandsynligt en slåfejl i opgavebetingelserne. I dette tilfælde skal du roligt og OMHYGGEligt arbejde dig igennem opgaven til ende, og derefter sørg for at tjekke og vi tegner det op på et rent bord efter beslutningen. Selvfølgelig er det en ubehagelig opgave at tjekke et brøksvar, men det vil være et afvæbnende argument for læreren, som virkelig godt kan lide at give et minus for noget bullshit som . Hvordan man håndterer brøker er beskrevet detaljeret i svaret på eksempel 8.

Hvis du har en computer ved hånden, så brug et automatiseret program til at tjekke, som kan downloades gratis helt i begyndelsen af lektionen. Forresten er det mest rentabelt at bruge programmet med det samme (selv før du starter løsningen, vil du straks se det mellemliggende trin, hvor du lavede en fejl); Den samme lommeregner beregner automatisk systemets løsning ved hjælp af matrixmetoden.

Anden bemærkning. Fra tid til anden er der systemer i ligningerne, hvor nogle variabler mangler, for eksempel:

Her i den første ligning er der ingen variabel, i den anden er der ingen variabel. I sådanne tilfælde er det meget vigtigt at nedskrive hoveddeterminanten korrekt og omhyggeligt:
– nuller placeres i stedet for manglende variable.
Det er i øvrigt rationelt at åbne determinanter med nuller i henhold til rækken (kolonnen), hvori nullet er placeret, da der er mærkbart færre beregninger.

Eksempel 10

Løs systemet ved hjælp af Cramers formler.

Dette er et eksempel på en uafhængig løsning (et eksempel på det endelige design og svaret i slutningen af lektionen).

For tilfældet med et system med 4 ligninger med 4 ubekendte er Cramers formler skrevet efter lignende principper. Du kan se et levende eksempel i lektionen Egenskaber for determinanter. Reduktion af rækkefølgen af determinanten - fem 4. ordens determinanter er ret løselige. Selvom opgaven allerede minder meget om en professors sko på brystet af en heldig studerende.

Løsning af systemet ved hjælp af en invers matrix

Den inverse matrix-metode er i det væsentlige et specialtilfælde matrix ligning(Se eksempel nr. 3 i den angivne lektion).

For at studere dette afsnit skal du være i stand til at udvide determinanter, finde det inverse af en matrix og udføre matrixmultiplikation. Relevante links vil blive leveret, efterhånden som forklaringerne skrider frem.

Eksempel 11

Løs systemet ved hjælp af matrixmetoden

Løsning: Lad os skrive systemet i matrixform:
, Hvor

Se venligst på systemet af ligninger og matricer. Jeg tror, at alle forstår princippet, hvorved vi skriver elementer ind i matricer. Den eneste kommentar: hvis nogle variable manglede i ligningerne, så skulle der placeres nuller på de tilsvarende steder i matricen.

Vi finder den inverse matrix ved hjælp af formlen:
, hvor er den transponerede matrix af algebraiske komplementer af de tilsvarende elementer i matrixen.

Lad os først se på determinanten:

Her udvides determinanten på første linje.

Opmærksomhed! Hvis , så eksisterer den inverse matrix ikke, og det er umuligt at løse systemet ved hjælp af matrixmetoden. I dette tilfælde løses systemet ved metoden til at eliminere ukendte (Gauss-metoden).

Nu skal vi beregne 9 mindreårige og skrive dem ind i bifagsmatrixen

Reference: Det er nyttigt at kende betydningen af dobbelte sænkninger i lineær algebra. Det første ciffer er nummeret på den linje, hvori elementet er placeret. Det andet ciffer er nummeret på den kolonne, hvori elementet er placeret:

Det vil sige, at et dobbelt sænket skrift angiver, at elementet er i første række, tredje kolonne, og for eksempel elementet er i 3 rækker, 2 kolonner

Under løsningen er det bedre at beskrive beregningen af mindreårige i detaljer, selvom du med en vis erfaring kan vænne dig til at beregne dem med fejl mundtligt.

I første del har vi set på noget teoretisk materiale, substitutionsmetoden samt metoden til term-for-term addition af systemligninger. Jeg anbefaler alle, der har besøgt siden via denne side, at læse den første del. Måske vil nogle besøgende finde materialet for simpelt, men i processen med at løse systemer af lineære ligninger kom jeg med en række meget vigtige kommentarer og konklusioner vedrørende løsningen af matematiske problemer generelt.

Nu vil vi analysere Cramers regel, samt løse et system af lineære ligninger ved hjælp af en invers matrix (matrixmetode). Alle materialer præsenteres enkelt, detaljeret og klart næsten alle læsere vil være i stand til at lære at løse systemer ved hjælp af ovenstående metoder.

Derudover er der systemer af lineære ligninger med to variable, som er tilrådeligt at løse ved hjælp af Cramers regel!

Overvej ligningssystemet

På det første trin udregner vi determinanten, kaldes det hoveddeterminant for systemet.

Gauss metode.

Hvis , så har systemet en unik løsning, og for at finde rødderne skal vi beregne yderligere to determinanter:
Og

I praksis kan ovenstående kvalifikationer også betegnes med et latinsk bogstav.

Vi finder rødderne til ligningen ved hjælp af formlerne:
,

Eksempel 7

Løs et system af lineære ligninger

Hvad skal man gøre? I sådanne tilfælde kommer Cramers formler til undsætning.

;

Svar: ,

Begge rødder har uendelige haler og findes cirka, hvilket er ganske acceptabelt (og endda almindeligt) for økonometriske problemer.

Eksempel 8

Præsentér svaret i almindelige uægte brøker. Lav et tjek.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd (et eksempel på det endelige design og svaret i slutningen af lektionen).

Lad os gå videre til at overveje Cramers regel for et system af tre ligninger med tre ukendte:

Vi finder hoveddeterminanten for systemet:

Hvis , så har systemet uendeligt mange løsninger eller er inkonsekvent (har ingen løsninger). I dette tilfælde vil Cramers regel ikke hjælpe, du skal bruge Gauss-metoden.

Hvis , så har systemet en unik løsning, og for at finde rødderne skal vi beregne yderligere tre determinanter:
, ,

Og endelig udregnes svaret ved hjælp af formlerne:

Eksempel 9

Løs systemet ved hjælp af Cramers formler.

Løsning: Lad os løse systemet ved hjælp af Cramers formler.

, hvilket betyder, at systemet har en unik løsning.

Svar: .

Faktisk er der igen ikke noget særligt at kommentere på, da løsningen følger færdige formler. Men der er et par kommentarer.

Eksempel 10

Løs systemet ved hjælp af Cramers formler.

Dette er et eksempel på en uafhængig løsning (et eksempel på det endelige design og svaret i slutningen af lektionen).

Løsning af systemet ved hjælp af en invers matrix

Den inverse matrix-metode er i det væsentlige et specialtilfælde matrix ligning(Se eksempel nr. 3 i den angivne lektion).

Eksempel 11

Løs systemet ved hjælp af matrixmetoden

Løsning: Lad os skrive systemet i matrixform:
, Hvor

Vi finder den inverse matrix ved hjælp af formlen:
, hvor er den transponerede matrix af algebraiske komplementer af de tilsvarende elementer i matrixen.

Lad os først se på determinanten:

Her udvides determinanten på første linje.

Nu skal vi beregne 9 mindreårige og skrive dem ind i bifagsmatrixen

Med det samme antal ligninger som antallet af ukendte med matrixens hoveddeterminant, som ikke er lig med nul, er systemets koefficienter (for sådanne ligninger er der en løsning, og der er kun én).

Cramers sætning.

Når determinanten af matricen i et kvadratisk system er ikke-nul, betyder det, at systemet er konsistent, og det har én løsning, og det kan findes ved at Cramers formler:

hvor Δ - determinant for systemmatricen,

Δ jeg er determinanten for systemmatricen, hvori i stedet for jeg Den th kolonne indeholder kolonnen med højre sider.

Når determinanten for et system er nul, betyder det, at systemet kan blive samarbejdende eller inkompatibelt.

Denne metode bruges normalt til små systemer med omfattende beregninger, og hvis det er nødvendigt at bestemme en af de ukendte. Metodens kompleksitet er, at mange determinanter skal beregnes.

Beskrivelse af Cramer-metoden.

Der er et ligningssystem:

Et system med 3 ligninger kan løses ved hjælp af Cramer-metoden, som blev diskuteret ovenfor for et system med 2 ligninger.

Vi sammensætter en determinant ud fra koefficienterne for de ukendte:

Det vil være systemdeterminant. Hvornår D≠0, hvilket betyder, at systemet er konsistent. Lad os nu oprette 3 yderligere determinanter:

Vi løser systemet ved Cramers formler:

Eksempler på løsning af ligningssystemer ved hjælp af Cramers metode.

Eksempel 1.

Givet system:

Lad os løse det ved hjælp af Cramers metode.

Først skal du beregne determinanten for systemmatricen:

Fordi Δ≠0, hvilket betyder, at fra Cramers sætning er systemet konsistent, og det har én løsning. Vi beregner yderligere determinanter. Determinanten Δ 1 opnås fra determinanten Δ ved at erstatte dens første kolonne med en kolonne med frie koefficienter. Vi får:

På samme måde får vi determinanten for Δ 2 fra determinanten af systemmatrixen ved at erstatte den anden kolonne med en kolonne med frie koefficienter:

Cramers metode er baseret på brugen af determinanter til løsning af lineære ligningssystemer. Dette fremskynder løsningsprocessen markant.

Cramers metode kan bruges til at løse et system med lige så mange lineære ligninger, som der er ukendte i hver ligning. Hvis systemets determinant ikke er lig med nul, så kan Cramers metode bruges i løsningen, men hvis den er lig nul, så kan den ikke. Derudover kan Cramers metode bruges til at løse systemer af lineære ligninger, der har en unik løsning.

Definition. En determinant, der består af koefficienter for ukendte, kaldes en determinant af systemet og betegnes (delta).

Determinanter

opnås ved at erstatte koefficienterne for de tilsvarende ukendte med frie udtryk:

;

Cramers sætning. Hvis determinanten af systemet er ikke-nul, så har systemet af lineære ligninger én unik løsning, og det ukendte er lig med forholdet mellem determinanterne. Nævneren indeholder determinanten af systemet, og tælleren indeholder determinanten opnået fra determinanten af systemet ved at erstatte koefficienterne for denne ukendte med frie led. Denne sætning gælder for et system af lineære ligninger af enhver rækkefølge.

Eksempel 1. Løs et system af lineære ligninger:

Ifølge Cramers sætning vi har:

Så løsningen på system (2):

online lommeregner, Cramers løsningsmetode.

Tre tilfælde ved løsning af lineære ligningssystemer

Som det fremgår af Cramers sætning, når man løser et system af lineære ligninger, kan der forekomme tre tilfælde:

Første tilfælde: et system af lineære ligninger har en unik løsning

(systemet er konsekvent og bestemt)

Andet tilfælde: et system af lineære ligninger har et uendeligt antal løsninger

(systemet er konsekvent og usikkert)

** ,

de der. koefficienterne for de ukendte og de frie led er proportionale.

Tredje tilfælde: systemet af lineære ligninger har ingen løsninger

(systemet er inkonsekvent)

Altså systemet m lineære ligninger med n kaldet variable ikke-fælles, hvis hun ikke har en enkelt løsning, og samling, hvis den har mindst én løsning. Et simultant ligningssystem, der kun har én løsning kaldes bestemte, og mere end én – usikker.

Eksempler på løsning af systemer af lineære ligninger ved hjælp af Cramer-metoden

Lad systemet være givet

Baseret på Cramers sætning

………….
,

Hvor
-

systemdeterminant. Vi opnår de resterende determinanter ved at erstatte kolonnen med koefficienterne for den tilsvarende variabel (ukendt) med frie led:

Eksempel 2.

Derfor er systemet bestemt. For at finde dens løsning beregner vi determinanterne

Ved hjælp af Cramers formler finder vi:

Så (1; 0; -1) er den eneste løsning på systemet.

For at tjekke løsninger til ligningssystemer 3 X 3 og 4 X 4, kan du bruge en online lommeregner ved hjælp af Cramers løsningsmetode.

Hvis der i et system af lineære ligninger ikke er variable i en eller flere ligninger, så er de tilsvarende elementer i determinanten lig nul! Dette er det næste eksempel.

Eksempel 3. Løs et system af lineære ligninger ved hjælp af Cramer-metoden:

Løsning. Vi finder systemets determinant:

Se nøje på ligningssystemet og på systemets determinant og gentag svaret på spørgsmålet i hvilke tilfælde et eller flere elementer i determinanten er lig nul. Så determinanten er ikke lig med nul, derfor er systemet bestemt. For at finde dens løsning beregner vi determinanterne for de ukendte

Ved hjælp af Cramers formler finder vi:

Så løsningen på systemet er (2; -1; 1).

For at tjekke løsninger til ligningssystemer 3 X 3 og 4 X 4, kan du bruge en online lommeregner ved hjælp af Cramers løsningsmetode.

Øverst på siden

Vi fortsætter sammen med at løse systemer ved hjælp af Cramers metode

Som allerede nævnt, hvis determinanten af systemet er lig med nul, og determinanterne for de ukendte ikke er lig med nul, er systemet inkonsekvent, det vil sige, det har ingen løsninger. Lad os illustrere med følgende eksempel.

Eksempel 6. Løs et system af lineære ligninger ved hjælp af Cramer-metoden:

Løsning. Vi finder systemets determinant:

Systemets determinant er lig med nul, derfor er systemet af lineære ligninger enten inkonsistent og bestemt eller inkonsistent, det vil sige, har ingen løsninger. For at præcisere, beregner vi determinanter for ukendte

Determinanterne for de ukendte er ikke lig med nul, derfor er systemet inkonsekvent, det vil sige, det har ingen løsninger.

For at tjekke løsninger til ligningssystemer 3 X 3 og 4 X 4, kan du bruge en online lommeregner ved hjælp af Cramers løsningsmetode.

I problemer, der involverer systemer af lineære ligninger, er der også dem, hvor der ud over bogstaver, der angiver variable, også er andre bogstaver. Disse bogstaver repræsenterer et tal, oftest ægte. I praksis er sådanne ligninger og ligningssystemer ført til problemer med at søge efter generelle egenskaber for ethvert fænomen eller objekt. Det vil sige, at du har opfundet noget nyt materiale eller apparat, og for at beskrive dets egenskaber, som er almindelige uanset størrelsen eller mængden af prøven, skal du løse et system af lineære ligninger, hvor der i stedet for nogle koefficienter for variable er bogstaver. Du behøver ikke lede langt efter eksempler.

Det følgende eksempel er for et lignende problem, kun antallet af ligninger, variabler og bogstaver, der angiver et bestemt reelt tal, stiger.

Eksempel 8. Løs et system af lineære ligninger ved hjælp af Cramer-metoden:

Løsning. Vi finder systemets determinant:

At finde determinanter for ukendte