Løsning af systemer af lineære uligheder med brøker. Ulighedssystemer - grundlæggende information

se også Løsning af et lineært programmeringsproblem grafisk, Kanonisk form for lineære programmeringsproblemer

Systemet af begrænsninger for et sådant problem består af uligheder i to variable:
og den objektive funktion har formen F = C 1 x + C 2 y som skal maksimeres.

Lad os besvare spørgsmålet: hvilke talpar ( x; y) er løsninger til systemet af uligheder, dvs. tilfredsstiller hver af ulighederne samtidigt? Med andre ord, hvad vil det sige at løse et system grafisk?
Først skal du forstå, hvad der er løsningen på en lineær ulighed med to ubekendte.
At løse en lineær ulighed med to ubekendte betyder at bestemme alle par af ukendte værdier, som uligheden gælder for.
For eksempel ulighed 3 x – 5y≥ 42 tilfredsstille par ( x , y): (100, 2); (3, –10) osv. Opgaven er at finde alle sådanne par.
Lad os overveje to uligheder: økse + ved≤ c, økse + ved≥ c. Lige økse + ved = c deler planen i to halvplaner, så koordinaterne for punkterne i et af dem opfylder uligheden økse + ved >c, og den anden ulighed økse + +ved <c.
Faktisk, lad os tage et punkt med koordinat x = x 0 ; derefter et punkt, der ligger på en linje og har en abscisse x 0, har en ordinat

Lad for sikkerhed -en< 0, b>0, c>0. Alle punkter med abscisse x 0 liggende over P(f.eks. prik M), har y M>y 0 , og alle punkter under punktet P, med abscisse x 0, har y N<y 0 . Fordi x 0 er et vilkårligt punkt, så vil der altid være punkter på den ene side af linjen, for hvilket økse+ ved > c, der danner et halvt plan, og på den anden side - punkter for hvilke økse + ved< c.

Billede 1

Ulighedstegnet i halvplanet afhænger af tallene -en, b , c.
Dette indebærer følgende metode til grafisk løsning af systemer med lineære uligheder i to variable. For at løse systemet skal du bruge:

1. For hver ulighed skal du skrive den ligning, der svarer til denne ulighed.
2. Konstruer rette linjer, der er grafer for funktioner specificeret ved ligninger.
3. For hver linje bestemmes halvplanet, som er givet af uligheden. For at gøre dette skal du tage et vilkårligt punkt, der ikke ligger på en linje, og erstatte dets koordinater i uligheden. hvis uligheden er sand, så er det halvplan, der indeholder det valgte punkt, løsningen på den oprindelige ulighed. Hvis uligheden er falsk, så er halvplanet på den anden side af linjen mængden af ​​løsninger på denne ulighed.
4. For at løse et system af uligheder er det nødvendigt at finde skæringsområdet for alle halvplaner, der er løsningen på hver ulighed i systemet.

Dette område kan vise sig at være tomt, så har ulighedssystemet ingen løsninger og er inkonsekvent. Ellers siges systemet at være konsekvent.
Der kan være et begrænset antal eller et uendeligt antal løsninger. Området kan være en lukket polygon eller ubegrænset.

Lad os se på tre relevante eksempler.

Eksempel 1. Løs systemet grafisk:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x - 2y + 5 ≤ 0.

• overvej ligningerne x+y–1=0 og –2x–2y+5=0 svarende til ulighederne;
• Lad os konstruere rette linjer givet ved disse ligninger.

Figur 2

Lad os definere halvplanerne defineret af ulighederne. Lad os tage et vilkårligt punkt, lad (0; 0). Lad os overveje x+ y- 1 0, erstatter punktet (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Det betyder, at i halvplanet, hvor punktet (0; 0) ligger, x + y – 1 ≤ 0, dvs. halvplanet, der ligger under stregen, er en løsning på den første ulighed. Ved at erstatte dette punkt (0; 0) i det andet får vi: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, dvs. i det halve plan, hvor punktet (0; 0) ligger, –2 x – 2y+ 5≥ 0, og vi blev spurgt, hvor –2 x – 2y+ 5 ≤ 0, derfor i det andet halvplan - i det over den rette linje.
Lad os finde skæringspunktet mellem disse to halvplaner. Linjerne er parallelle, så planerne skærer ikke hinanden nogen steder, hvilket betyder, at systemet med disse uligheder ikke har nogen løsninger og er inkonsekvent.

Eksempel 2. Find grafiske løsninger på ulighedssystemet:

Figur 3
1. Lad os udskrive de ligninger, der svarer til ulighederne, og konstruere rette linjer.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Efter at have valgt punktet (0; 0), bestemmer vi tegnene på uligheder i halvplanerne:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, dvs. x + 2y– 2 ≤ 0 i halvplanet under den rette linje;
0 – 0 – 1 ≤ 0, dvs. y –x– 1 ≤ 0 i halvplanet under den rette linje;
0 + 2 =2 ≥ 0, dvs. y+ 2 ≥ 0 i halvplanet over den rette linje.
3. Skæringspunktet mellem disse tre halvplaner vil være et område, der er en trekant. Det er ikke svært at finde områdets toppunkter som skæringspunkterne for de tilsvarende linjer


Dermed, EN(–3; –2), I(0; 1), MED(6; –2).

Lad os overveje et andet eksempel, hvor systemets resulterende løsningsdomæne ikke er begrænset.

ulighedsløsning i tilstanden online løsning næsten enhver given ulighed online. Matematisk uligheder på nettet at løse matematik. Find hurtigt ulighedsløsning i tilstanden online. Hjemmesiden www.site giver dig mulighed for at finde løsning næsten enhver given algebraisk, trigonometrisk eller transcendental ulighed online. Når du studerer næsten enhver gren af ​​matematik på forskellige stadier, skal du beslutte dig uligheder på nettet. For at få et svar med det samme, og vigtigst af alt et præcist svar, har du brug for en ressource, der giver dig mulighed for at gøre dette. Takket være webstedet www.site løse ulighed online vil tage et par minutter. Den største fordel ved www.site ved løsning af matematiske uligheder på nettet- dette er hastigheden og nøjagtigheden af ​​svaret. Siden er i stand til at løse evt algebraiske uligheder online, trigonometriske uligheder online, transcendentale uligheder online, og uligheder med ukendte parametre i mode online. Uligheder tjene som et stærkt matematisk apparat løsninger praktiske problemer. Med hjælpen matematiske uligheder det er muligt at udtrykke fakta og relationer, der ved første øjekast kan virke forvirrende og komplekse. Ukendte mængder uligheder kan findes ved at formulere problemstillingen i matematisk sprog i formen uligheder Og beslutte modtaget opgave i tilstanden online på hjemmesiden www.site. Nogen algebraisk ulighed, trigonometrisk ulighed eller uligheder indeholdende transcendental funktioner, du nemt kan beslutte online og få det præcise svar. Når man studerer naturvidenskab, støder man uundgåeligt på behovet løsninger på uligheder. I dette tilfælde skal svaret være nøjagtigt og skal indhentes straks i tilstanden online. Derfor for løse matematiske uligheder online vi anbefaler siden www.site, som bliver din uundværlige lommeregner til løsning af algebraiske uligheder online, trigonometriske uligheder online, og transcendentale uligheder online eller uligheder med ukendte parametre. For praktiske problemer med at finde online løsninger på div matematiske uligheder ressource www.. Løsning uligheder på nettet selv, er det nyttigt at kontrollere det modtagne svar vha online løsning af uligheder på hjemmesiden www.site. Du skal skrive uligheden korrekt og få det med det samme online løsning, hvorefter der kun er tilbage at sammenligne svaret med din løsning på uligheden. Det tager ikke mere end et minut at tjekke svaret, det er nok løse ulighed online og sammenlign svarene. Dette vil hjælpe dig med at undgå fejl i afgørelse og ret svaret i tide hvornår løse uligheder online enten algebraisk, trigonometrisk, transcendental eller ulighed med ukendte parametre.

Uligheder og ulighedssystemer er et af de emner, der behandles i algebra i gymnasiet. Med hensyn til sværhedsgrad er det ikke det sværeste, da det har simple regler (mere om dem lidt senere). Som regel lærer skolebørn ret nemt at løse ulighedssystemer. Dette skyldes også, at lærere blot "træner" deres elever i dette emne. Og de kan ikke lade være med at gøre dette, for det studeres i fremtiden ved hjælp af andre matematiske størrelser, og det er også testet på Unified State Exam og Unified State Exam. I skolebøger er emnet uligheder og ulighedssystemer dækket meget detaljeret, så hvis du skal studere det, er det bedst at ty til dem. Denne artikel opsummerer kun større materiale, og der kan være nogle udeladelser.

Begrebet et system af uligheder

Hvis vi vender os til videnskabeligt sprog, kan vi definere begrebet "system af uligheder". Dette er en matematisk model, der repræsenterer flere uligheder. Denne model kræver selvfølgelig en løsning, og dette vil være det generelle svar for alle ulighederne i systemet, der er foreslået i opgaven (normalt er det skrevet i den, for eksempel: "Løs systemet med uligheder 4 x + 1 > 2 og 30 - x > 6..."). Men før du går videre til typerne og metoderne til løsninger, skal du forstå noget andet.

Ulighedssystemer og ligningssystemer

Når man lærer et nyt emne, opstår der ofte misforståelser. På den ene side er alt klart, og du vil begynde at løse opgaver så hurtigt som muligt, men på den anden side forbliver nogle øjeblikke i "skyggen" og er ikke fuldt ud forstået. Også nogle elementer af allerede erhvervet viden kan være sammenflettet med ny. Som et resultat af denne "overlapning" opstår der ofte fejl.

Derfor, før vi begynder at analysere vores emne, bør vi huske forskellene mellem ligninger og uligheder og deres systemer. For at gøre dette skal vi endnu en gang forklare, hvad disse matematiske begreber repræsenterer. En ligning er altid en lighed, og den er altid lig med noget (i matematik er dette ord betegnet med tegnet "="). Ulighed er en model, hvor en værdi enten er større eller mindre end en anden, eller indeholder et udsagn om, at de ikke er ens. I det første tilfælde er det således passende at tale om lighed, og i det andet, uanset hvor indlysende det kan lyde ud fra selve navnet, om uligheden i de oprindelige data. Systemer af ligninger og uligheder adskiller sig praktisk talt ikke fra hinanden, og metoderne til at løse dem er de samme. Den eneste forskel er, at i det første tilfælde anvendes ligheder, og i det andet tilfælde anvendes uligheder.

Typer af uligheder

Der er to typer uligheder: numeriske og med en ukendt variabel. Den første type repræsenterer tilvejebragte mængder (tal), der er ulige med hinanden, for eksempel 8 > 10. Den anden er uligheder, der indeholder en ukendt variabel (angivet med et bogstav i det latinske alfabet, oftest X). Denne variabel skal findes. Afhængigt af hvor mange der er, skelner den matematiske model mellem uligheder med én (de udgør et system af uligheder med én variabel) eller flere variable (de udgør et system af uligheder med flere variable).

De sidste to typer, i henhold til graden af ​​deres konstruktion og niveauet af kompleksitet af løsningen, er opdelt i enkle og komplekse. Simple kaldes også lineære uligheder. De er til gengæld opdelt i strenge og ikke-strenge. De strenge "siger" specifikt, at én mængde nødvendigvis skal være mindre eller mere, så dette er ren ulighed. Der kan gives flere eksempler: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 osv. Ikke-strenge omfatter også ligestilling. Det vil sige, at én værdi kan være større end eller lig med en anden værdi (”≥”-tegnet) eller mindre end eller lig med en anden værdi (”≤”-tegnet). Selv i lineære uligheder er variablen ikke ved roden, kvadratet eller delelig med noget, hvorfor de kaldes "simple". Komplekse involverer ukendte variable, der kræver mere matematik at finde. De er ofte placeret i en firkant, terning eller under en rod, de kan være modulære, logaritmiske, brøkdele osv. Men da vores opgave er behovet for at forstå løsningen af ​​ulighedssystemer, vil vi tale om et system af lineære uligheder . Men før det skal der siges et par ord om deres egenskaber.

Egenskaber ved ulighed

Egenskaberne ved uligheder omfatter følgende:

1. Ulighedstegnet vendes, hvis en operation bruges til at ændre rækkefølgen af ​​siderne (f.eks. hvis t 1 ≤ t 2, så t 2 ≥ t 1).
2. Begge sider af uligheden giver dig mulighed for at tilføje det samme tal til sig selv (for eksempel hvis t 1 ≤ t 2, så t 1 + tal ≤ t 2 + tal).
3. To eller flere uligheder med et fortegn i samme retning gør det muligt at tilføje deres venstre og højre side (f.eks. hvis t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, så t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Begge dele af uligheden kan multipliceres eller divideres med det samme positive tal (f.eks. hvis t 1 ≤ t 2 og et tal ≤ 0, så tallet · t 1 ≥ tal · t 2).
5. To eller flere uligheder, der har positive led og et fortegn i samme retning, lader sig gange gange med hinanden (f.eks. hvis t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 derefter t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Begge dele af uligheden lader sig gange eller dividere med det samme negative tal, men i dette tilfælde ændres fortegnet for uligheden (f.eks. hvis t 1 ≤ t 2 og et tal ≤ 0, så ændres tallet · t 1 ≥ nummer · t 2).
7. Alle uligheder har egenskaben transitivitet (for eksempel hvis t 1 ≤ t 2 og t 2 ≤ t 3, så t 1 ≤ t 3).

Nu, efter at have studeret de grundlæggende principper i teorien relateret til uligheder, kan vi gå direkte videre til overvejelserne om reglerne for løsning af deres systemer.

Løsning af ulighedssystemer. Generel information. Løsninger

Som nævnt ovenfor er løsningen værdierne af variablen, der passer til alle ulighederne i det givne system. Løsning af ulighedssystemer er implementeringen af ​​matematiske operationer, der i sidste ende fører til en løsning på hele systemet eller beviser, at det ikke har nogen løsninger. I dette tilfælde siges variablen at tilhøre et tomt numerisk sæt (skrevet som følger: bogstav, der angiver en variabel∈ (tegn "hører til") ø (tegn "tomt sæt"), for eksempel x ∈ ø (læs: "Variablen "x" hører til det tomme sæt"). Der er flere måder at løse ulighedssystemer på: grafisk, algebraisk, substitutionsmetode. Det er værd at bemærke, at de refererer til de matematiske modeller, der har flere ukendte variabler. I det tilfælde, hvor der kun er én, er intervalmetoden egnet.

Grafisk metode

Giver dig mulighed for at løse et system af uligheder med flere ukendte størrelser (fra to og derover). Takket være denne metode kan et system med lineære uligheder løses ret nemt og hurtigt, så det er den mest almindelige metode. Dette forklares med det faktum, at plotning af en graf reducerer mængden af ​​at skrive matematiske operationer. Det bliver især behageligt at tage en lille pause fra pennen, tage en blyant med en lineal op og begynde yderligere handlinger med deres hjælp, når der er gjort meget arbejde, og du vil have lidt variation. Nogle mennesker kan dog ikke lide denne metode, fordi de er nødt til at bryde væk fra opgaven og skifte deres mentale aktivitet til at tegne. Dette er dog en meget effektiv metode.

For at løse et system af uligheder ved hjælp af en grafisk metode, er det nødvendigt at overføre alle udtryk for hver ulighed til deres venstre side. Tegnene vil blive omvendt, nul skal skrives til højre, så skal hver ulighed skrives separat. Som et resultat vil funktioner opnås fra uligheder. Efter dette kan du tage en blyant og en lineal ud: nu skal du tegne en graf for hver opnået funktion. Hele sættet af tal, der vil være i intervallet af deres skæringspunkt, vil være en løsning på systemet af uligheder.

Algebraisk måde

Giver dig mulighed for at løse et system af uligheder med to ukendte variable. Også uligheder skal have det samme ulighedstegn (det vil sige, at de enten kun skal indeholde tegnet "større end" eller kun tegnet "mindre end" osv.) På trods af dens begrænsninger er denne metode også mere kompleks. Det påføres i to trin.

Den første involverer handlinger for at slippe af med en af ​​de ukendte variabler. Først skal du vælge den og derefter kontrollere, om der er tal foran denne variabel. Hvis de ikke er der (så vil variablen ligne et enkelt bogstav), så ændrer vi ikke noget, hvis der er (variablens type vil f.eks. være 5y eller 12y), så er det nødvendigt at lave sikker på, at i hver ulighed er tallet foran den valgte variabel det samme. For at gøre dette skal du gange hvert led af ulighederne med en fælles faktor, for eksempel hvis 3y er skrevet i den første ulighed og 5y i den anden, så skal du gange alle led i den første ulighed med 5 , og den anden med 3. Resultatet er henholdsvis 15y og 15y.

Anden fase af opløsning. Det er nødvendigt at overføre venstre side af hver ulighed til deres højre side, ændre tegnet for hvert led til det modsatte og skrive nul til højre. Så kommer den sjove del: at slippe af med den valgte variabel (også kendt som "reduktion") og samtidig tilføje ulighederne. Dette resulterer i en ulighed med én variabel, der skal løses. Efter dette skal du gøre det samme, kun med en anden ukendt variabel. De opnåede resultater vil være systemets løsning.

Substitutionsmetode

Giver dig mulighed for at løse et system af uligheder, hvis det er muligt at indføre en ny variabel. Typisk bruges denne metode, når den ukendte variabel i et led af uligheden hæves til fjerde potens, og i det andet led er det kvadreret. Denne metode har således til formål at reducere graden af ​​uligheder i systemet. Prøveuligheden x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 løses på denne måde. En ny variabel introduceres, for eksempel t. De skriver: "Lad t = x 2," så er modellen omskrevet i en ny form. I vores tilfælde får vi t 2 - t - 1 ≤0. Denne ulighed skal løses ved hjælp af intervalmetoden (mere om det lidt senere), så tilbage til variablen X, og gør det samme med den anden ulighed. De modtagne svar vil være systemets løsning.

Interval metode

Dette er den enkleste måde at løse ulighedssystemer på, og den er samtidig universel og udbredt. Det bruges i gymnasier og endda i højere skoler. Dens essens ligger i, at eleven leder efter ulighedsintervaller på en tallinje, som er tegnet i en notesbog (dette er ikke en graf, men bare en almindelig linje med tal). Hvor ulighedernes intervaller skærer hinanden, findes løsningen på systemet. For at bruge intervalmetoden skal du følge disse trin:

1. Alle led i hver ulighed overføres til venstre side med tegnet skiftende til det modsatte (nul er skrevet til højre).
2. Ulighederne skrives ud separat, og løsningen på hver af dem bestemmes.
3. Skæringspunkterne for uligheder på tallinjen findes. Alle numre placeret ved disse kryds vil være en løsning.

Hvilken metode skal jeg bruge?

Naturligvis den, der virker nemmest og mest bekvem, men der er tilfælde, hvor opgaver kræver en bestemt metode. Oftest siger man, at man skal løse enten ved hjælp af en graf eller intervalmetoden. Den algebraiske metode og substitution bruges ekstremt sjældent eller slet ikke, da de er ret komplekse og forvirrende, og desuden er de mere brugt til at løse ligningssystemer frem for uligheder, så du bør ty til at tegne grafer og intervaller. De bringer klarhed, som ikke kan andet end at bidrage til effektiv og hurtig udførelse af matematiske operationer.

Hvis noget ikke lykkes

Mens man studerer et bestemt emne i algebra, kan der naturligvis opstå problemer med dets forståelse. Og det er normalt, fordi vores hjerne er designet på en sådan måde, at den ikke er i stand til at forstå komplekst materiale på én gang. Ofte har du brug for at genlæse et afsnit, tage hjælp fra en lærer eller øve dig i at løse standardopgaver. I vores tilfælde ser de for eksempel sådan ud: "Løs systemet med uligheder 3 x + 1 ≥ 0 og 2 x - 1 > 3." Således hjælper personlig lyst, hjælp fra udenforstående og praksis til at forstå ethvert komplekst emne.

Løser?

En løsningsbog er også meget velegnet, men ikke til at kopiere lektier, men til selvhjælp. I dem kan du finde systemer af uligheder med løsninger, se på dem (som skabeloner), prøve at forstå præcis, hvordan forfatteren til løsningen klarede opgaven og derefter prøve at gøre det samme på egen hånd.

konklusioner

Algebra er et af de sværeste fag i skolen. Nå, hvad kan du gøre? Matematik har altid været sådan: For nogle er det nemt, men for andre er det svært. Men under alle omstændigheder skal man huske, at den almene uddannelse er opbygget sådan, at enhver elev kan klare det. Derudover skal man huske på det enorme antal assistenter. Nogle af dem er blevet nævnt ovenfor.

Løsning af uligheder. Der er forskellige typer af uligheder og kræver forskellige tilgange til at løse dem. Hvis du ikke ønsker at bruge tid og kræfter på at løse uligheder eller selv løst uligheden og vil tjekke om du har fået det rigtige svar, så foreslår vi, at du løser uligheder online og bruger vores Math24.su service til dette. Det løser både lineære og kvadratiske uligheder, herunder irrationelle og fraktionelle uligheder. Sørg for at indtaste begge sider af uligheden i de relevante felter og vælg ulighedstegnet mellem dem, og klik derefter på knappen "Løsning". For at demonstrere, hvordan tjenesten implementerer løsningen af ​​uligheder, kan du se forskellige typer eksempler og deres løsninger (valgt til højre for knappen "Løs"). Tjenesten leverer både løsningsintervaller og heltalsværdier. Brugere, der kommer til Math24.su for første gang, beundrer tjenestens høje hastighed, fordi du kan løse uligheder online på få sekunder, og du kan bruge tjenesten helt gratis et ubegrænset antal gange. Tjenestens arbejde er automatiseret; beregningerne udføres af et program, ikke en person. Du behøver ikke at installere software på din computer, registrere dig, indtaste personlige data eller e-mail. Trykfejl og fejl i beregninger er også udelukket; det opnåede resultat kan stoles 100 % på. Fordele ved at løse uligheder online. Takket være dens høje hastighed og brugervenlighed er Math24.su-tjenesten blevet en pålidelig assistent for mange skolebørn og studerende. Uligheder findes ofte i skolepensum og institutkurser i højere matematik, og de, der bruger vores online-tjeneste, får store fordele frem for andre. Math24.su er tilgængeligt døgnet rundt, kræver ikke registrering eller gebyrer for brug og er desuden flersproget. Onlinetjenesten bør ikke forsømmes af dem, der selv leder efter løsninger på uligheder. Math24.su er jo en glimrende mulighed for at tjekke rigtigheden af ​​dine beregninger, finde ud af, hvor fejlen er begået, og se hvordan forskellige typer uligheder løses. En anden grund til, at det vil være mere effektivt at løse uligheder online, er når løsning af uligheder ikke er hovedopgaven, men kun en del af den. I dette tilfælde er der simpelthen ingen mening i at bruge meget tid og kræfter på beregninger, og det er bedre at overlade det til en onlinetjeneste, mens du fokuserer på at løse hovedproblemet. Som du kan se, vil onlinetjenesten til løsning af uligheder være nyttig både for dem, der selvstændigt løser denne type matematiske problemer, og for dem, der ikke ønsker at spilde tid og kræfter på lange beregninger, men har brug for hurtigt at få et svar. Derfor, når du støder på uligheder, så glem ikke at bruge vores service til at løse eventuelle uligheder online: lineær, kvadratisk, irrationel, trigonometrisk, logaritmisk. Hvad er uligheder, og hvordan betegnes de. Ulighed er bagsiden af ​​lighed og er som begreb forbundet med sammenligning af to objekter. Afhængigt af egenskaberne ved de objekter, der sammenlignes, siger vi højere, lavere, kortere, længere, tykkere, tyndere osv. I matematik går betydningen af ​​uligheder ikke tabt, men her taler vi om uligheder af matematiske objekter: tal, udtryk, værdier af mængder, tal osv. Det er sædvanligt at bruge flere ulighedstegn: , ≤, ≥. Matematiske udtryk med sådanne tegn kaldes uligheder. Tegnet > (større end) er placeret mellem større og mindre objekter.Tegnet betegner strenge uligheder. Ikke-strenge uligheder beskriver situationen, når et udtryk er "ikke mere" ("ikke mindre") end et andet. "Ikke mere" betyder mindre eller det samme, og "ikke mindre" betyder mere eller det samme.

System af uligheder Det er sædvanligt at kalde ethvert sæt af to eller flere uligheder, der indeholder en ukendt størrelse.

Denne formulering er tydeligt illustreret, for eksempel af det følgende ulighedssystemer:

Løs ulighedssystemet - betyder at finde alle værdier af en ukendt variabel, ved hvilken hver ulighed i systemet er realiseret, eller at retfærdiggøre, at sådanne ikke eksisterer .

Det betyder, at for hver enkelt systemuligheder Vi beregner den ukendte variabel. Ud fra de resulterende værdier vælges dernæst kun dem, der er sande for både den første og anden ulighed. Derfor, når du erstatter den valgte værdi, bliver begge uligheder i systemet korrekte.

Lad os se på løsningen på flere uligheder:

Lad os placere et par tallinjer under hinanden; sæt værdien øverst x, for hvilken den første ulighed om ( x> 1) bliver sandt, og i bunden - værdien x, som er løsningen på den anden ulighed ( x> 4).

Ved at sammenligne data vedr tallinjer, bemærk, at løsningen for begge uligheder vilje x> 4. Svar, x> 4.

Eksempel 2.

Beregner den første ulighed vi får -3 x< -6, или x> 2, anden - x> -8, eller x < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения x, hvor den første realiseres ulighedssystem, og til den nederste tallinje, alle disse værdier x, hvorved den anden ulighed i systemet realiseres.

Ved at sammenligne dataene finder vi, at begge dele uligheder vil blive implementeret for alle værdier x, placeret fra 2 til 8. Sæt af værdier x betegne dobbelt ulighed 2 < x< 8.

Eksempel 3. Vi finder