Afledt af en funktion af en variabel.

Introduktion.

Disse metodiske udviklinger er beregnet til studerende fra Fakultetet for Industriel og Anlæg. De blev samlet i forhold til matematikkursusprogrammet i afsnittet "Differentialregning af funktioner af en variabel."

Udviklingen repræsenterer en enkelt metodisk vejledning, herunder: kort teoretisk information; "standard" problemer og øvelser med detaljerede løsninger og forklaringer til disse løsninger; test muligheder.

Der er yderligere øvelser i slutningen af ​​hvert afsnit. Denne udviklingsstruktur gør dem velegnede til selvstændig beherskelse af afsnittet med minimal assistance fra læreren.

§1. Definition af afledt.

Mekanisk og geometrisk betydning

afledte.

Begrebet afledt er et af de vigtigste begreber inden for matematisk analyse, det opstod tilbage i det 17. århundrede. Dannelsen af ​​begrebet afledet er historisk forbundet med to problemer: problemet med hastigheden af ​​vekslende bevægelse og problemet med tangenten til en kurve.

Disse problemer fører på trods af deres forskellige indhold til den samme matematiske operation, som skal udføres på en funktion. Denne operation har fået et særligt navn i matematik. Det kaldes operationen af ​​differentiering af en funktion. Resultatet af differentieringsoperationen kaldes den afledede.

Så den afledede af funktionen y=f(x) i punktet x0 er grænsen (hvis den findes) for forholdet mellem funktionens stigning og argumentets stigning
på
.

Den afledte betegnes normalt som følger:
.

Altså per definition

Symbolerne bruges også til at angive derivater
.

Mekanisk betydning af afledt.

Hvis s=s(t) er loven om retlinet bevægelse af et materielt punkt, så
er hastigheden af ​​dette punkt på tidspunktet t.

Geometrisk betydning af afledte.

Hvis funktionen y=f(x) har en afledet i punktet , derefter vinkelkoefficienten for tangenten til grafen for funktionen i punktet
lige med
.

Eksempel.

Find den afledede af funktionen
på punktet =2:

1) Lad os give det et punkt = 2 stigninger
. Læg mærke til det.

2) Find tilvæksten af ​​funktionen ved punktet =2:

3) Lad os skabe forholdet mellem funktionens stigning og argumentets stigning:

Lad os finde grænsen for forholdet ved
:

.

Dermed,
.

§ 2. Afledte af nogle

enkleste funktioner.

Eleven skal lære at beregne afledte funktioner af specifikke funktioner: y=x,y= og generelt = .

Lad os finde den afledede af funktionen y=x.

de der. (x)′=1.

Lad os finde den afledede af funktionen

Afledte

Lade
Derefter

Det er let at bemærke et mønster i udtrykkene for potensfunktionens afledte
med n=1,2,3.

Derfor,

. (1)

Denne formel er gyldig for enhver reel n.

Ved at bruge formel (1) har vi især:

;

.

Eksempel.

Find den afledede af funktionen

.

.

Denne funktion er et specialtilfælde af en funktion af formen

på
.

Ved at bruge formel (1) har vi

.

Afledninger af funktionerne y=sin x og y=cos x.

Lad y=sinx.

Divider med ∆x, får vi

Vi har passeret til grænsen ved ∆x→0

Lad y=cosx.

Når vi passerer til grænsen ved ∆x→0, får vi

;
. (2)

§3. Grundlæggende regler for differentiering.

Lad os overveje reglerne for differentiering.

Sætning1 . Hvis funktionerne u=u(x) og v=v(x) er differentiable ved et givet punktx, så er deres sum på dette tidspunkt også differentierbar, og den afledede af summen er lig med summen af ​​de afledte led : (u+v)"=u"+v".(3 )

Bevis: overvej funktionen y=f(x)=u(x)+v(x).

Tilvæksten ∆x af argumentet x svarer til stigningerne ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) af funktionerne u og v. Så vil funktionen y øges

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Derfor,

Altså (u+v)"=u"+v".

Sætning2. Hvis funktionerne u=u(x) og v=v(x) er differentiable ved et givet punktx, så er deres produkt differentiabelt i samme punkt. I dette tilfælde findes produktets afledte ved følgende formel: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Bevis: Lad y=uv, hvor u og v er nogle differentiable funktioner af x. Lad os give x en stigning på ∆x; så vil u modtage en stigning på ∆u, v vil modtage en stigning på ∆v, og y vil modtage en stigning på ∆y.

Vi har y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), eller

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Derfor er ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Herfra

Går vi til grænsen ved ∆x→0 og tager højde for, at u og v ikke afhænger af ∆x, vil vi have

Sætning 3. Den afledte af kvotienten af ​​to funktioner er lig med en brøk, hvis nævner er lig med kvadratet af divisoren, og tælleren er forskellen mellem produktet af den afledte af divisoren og produktet af divisoren. udbytte af divisorens derivat, dvs.

Hvis
At
(5)

Sætning 4. Den afledte af en konstant er nul, dvs. hvis y=C, hvor C=konst, så er y"=0.

Sætning 5. Konstantfaktoren kan tages ud af den afledte fortegn, dvs. hvis y=Cu(x), hvor С=const, så y"=Cu"(x).

Eksempel 1.

Find den afledede af funktionen

.

Denne funktion har formen
, hvoru=x,v=cosx. Ved at anvende differentieringsreglen (4), finder vi

.

Eksempel 2.

Find den afledede af funktionen

.

Lad os anvende formel (5).

Her
;
.

Opgaver.

Find de afledte funktioner af følgende funktioner:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Opret et forhold og beregn grænsen.

Hvor kom det fra? tabel over derivater og differentieringsregler? Takket være den eneste grænse. Det virker som magi, men i virkeligheden er det svig og ingen svindel. Ved lektionen Hvad er et derivat? Jeg begyndte at se på specifikke eksempler, hvor jeg ved hjælp af definitionen fandt de afledte af en lineær og kvadratisk funktion. Med henblik på kognitiv opvarmning vil vi fortsætte med at forstyrre tabel over derivater, finpudsning af algoritmen og tekniske løsninger:

Eksempel 1

I det væsentlige skal du bevise et særligt tilfælde af den afledede af en potensfunktion, som normalt vises i tabellen: .

Løsning teknisk formaliseret på to måder. Lad os starte med den første, allerede velkendte tilgang: stigen starter med en planke, og den afledede funktion starter med den afledede på et punkt.

Lad os overveje nogle(specifikt) punkt, der hører til definitionsdomæne funktion, hvori der er en afledt. Lad os indstille stigningen på dette tidspunkt (selvfølgelig inden for rammerneo/o -JEG) og komponer den tilsvarende stigning af funktionen:

Lad os beregne grænsen:

Usikkerheden 0:0 elimineres ved en standardteknik, der betragtes tilbage i det første århundrede f.Kr. Gang tælleren og nævneren med det konjugerede udtryk :

Teknikken til at løse en sådan grænse er diskuteret i detaljer i den indledende lektion. om funktionernes grænser.

Da du kan vælge et hvilket som helst punkt i intervallet som kvalitet, får vi, efter at have foretaget udskiftningen:

Svar

Lad os endnu en gang glæde os over logaritmer:

Eksempel 2

Find den afledede af en funktion ved at bruge definitionen af ​​afledet

Løsning: Lad os overveje en anden tilgang til at fremme den samme opgave. Det er præcis det samme, men mere rationelt designmæssigt. Ideen er at slippe af med subscriptet i begyndelsen af ​​løsningen og bruge bogstavet i stedet for bogstavet.

Lad os overveje vilkårlig punkt, der hører til definitionsdomæne funktion (interval) og indstil stigningen i den. Men her kan du i øvrigt, som i de fleste tilfælde, klare dig uden forbehold, da den logaritmiske funktion er differentierbar på ethvert punkt i definitionsdomænet.

Så er den tilsvarende stigning af funktionen:

Lad os finde den afledede:

Designets enkelhed balanceres af den forvirring, der kan opstå for begyndere (og ikke kun). Vi er jo vant til, at bogstavet "X" ændrer sig i grænsen! Men her er alt anderledes: - en antik statue, og - en levende gæst, der rask går langs museets korridor. Det vil sige, "x" er "som en konstant."

Jeg vil kommentere fjernelse af usikkerhed trin for trin:

(1) Vi bruger egenskaben for logaritmen .

(2) I parentes divideres tælleren med nævneren led for led.

(3) I nævneren multiplicerer og dividerer vi kunstigt med "x" for at drage fordel af bemærkelsesværdig grænse , mens som uendelig lille skiller sig ud.

Svar: per definition af afledt:

Eller kort sagt:

Jeg foreslår at konstruere yderligere to tabelformler selv:

Eksempel 3

I dette tilfælde er det bekvemt straks at reducere den kompilerede stigning til en fællesnævner. Et omtrentligt udsnit af opgaven i slutningen af ​​lektionen (første metode).

Eksempel 3:Løsning : Overvej et punkt , der tilhører funktionens definitionsdomæne . Lad os indstille stigningen på dette tidspunkt og komponer den tilsvarende stigning af funktionen:

Lad os finde den afledede på punktet :


Siden som en du kan vælge et hvilket som helst punkt funktionsdomæne , At Og
Svar : per definition af afledt

Eksempel 4

Find afledt per definition

Og her skal alt reduceres til vidunderlig grænse. Løsningen formaliseres på den anden måde.

En række andre tabelformede derivater. Den komplette liste findes i skolelærebogen, eller fx 1. bind af Fichtenholtz. Jeg ser ikke meget mening i at kopiere beviser for differentieringsregler fra bøger - de genereres også af formlen.

Eksempel 4:Løsning , tilhører , og indstil stigningen i den

Lad os finde den afledede:

Bruger en vidunderlig grænse

Svar : a-priory

Eksempel 5

Find den afledede af en funktion , ved hjælp af definitionen af ​​afledt

Løsning: vi bruger den første designstil. Lad os overveje et punkt, der hører til , og specificere stigningen i argumentet ved det. Så er den tilsvarende stigning af funktionen:

Måske har nogle læsere endnu ikke fuldt ud forstået princippet, hvormed stigninger skal foretages. Tag et punkt (tal) og find værdien af ​​funktionen i det: , altså ind i funktionen i stedet for"X" skal erstattes. Nu tager vi også et meget specifikt tal og erstatter det også i funktionen i stedet for"iksa": . Vi skriver forskellen ned, og det er nødvendigt sat helt i parentes.

Kompileret funktionstilvækst Det kan være en fordel umiddelbart at forenkle. For hvad? Letter og forkort løsningen til en yderligere grænse.

Vi bruger formler, åbner parenteserne og reducerer alt, der kan reduceres:

Kalkunen er renset, ingen problemer med stegen:

Til sidst:

Da vi kan vælge et hvilket som helst reelt tal som værdi, foretager vi udskiftningen og får .

Svar: a-priory.

Til verifikationsformål, lad os finde derivatet ved hjælp af differentieringsregler og tabeller:

Det er altid nyttigt og behageligt at kende det rigtige svar på forhånd, så det er bedre at differentiere den foreslåede funktion på en "hurtig" måde, enten mentalt eller i et udkast, helt i begyndelsen af ​​løsningen.

Eksempel 6

Find den afledede af en funktion ved definition af afledet

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Resultatet er indlysende:

Eksempel 6:Løsning : Overvej et punkt , tilhører , og indstil stigningen af ​​argumentet i den . Så er den tilsvarende stigning af funktionen:


Lad os beregne den afledede:


Dermed:
Fordi som så kan du vælge et hvilket som helst reelt tal Og
Svar : a-priory.

Lad os gå tilbage til stil #2:

Eksempel 7

Lad os straks finde ud af, hvad der skal ske. Ved regel for differentiering af komplekse funktioner:

Løsning: overvej et vilkårligt punkt, der tilhører , sæt stigningen af ​​argumentet på det og komponer stigningen af ​​funktionen:

Lad os finde den afledede:


(1) Brug trigonometrisk formel .

(2) Under sinus åbner vi parenteserne, under cosinus præsenterer vi lignende udtryk.

(3) Under sinus reducerer vi led, under cosinus dividerer vi tælleren med nævneren led for led.

(4) På grund af sinusens mærkværdighed fjerner vi "minus". Under cosinus angiver vi, at udtrykket .

(5) Vi udfører kunstig multiplikation i nævneren for at bruge første vidunderlige grænse. Dermed er usikkerheden elimineret, lad os rydde op i resultatet.

Svar: a-priory

Som du kan se, hviler hovedvanskeligheden ved det undersøgte problem på kompleksiteten af ​​selve grænsen + en lille unikhed ved emballagen. I praksis forekommer begge designmetoder, så jeg beskriver begge tilgange så detaljeret som muligt. De er ækvivalente, men alligevel, efter mit subjektive indtryk, er det mere tilrådeligt for dummies at holde sig til mulighed 1 med "X-nul".

Eksempel 8

Brug definitionen til at finde den afledede af funktionen

Eksempel 8:Løsning : overveje et vilkårligt punkt , tilhører , lad os indstille stigningen i den og komponer tilvæksten af ​​funktionen:

Lad os finde den afledede:

Vi bruger den trigonometriske formel og den første bemærkelsesværdige grænse:

Svar : a-priory

Lad os se på en mere sjælden version af problemet:

Eksempel 9

Find den afledede af funktionen i punktet ved hjælp af definitionen af ​​afledt.

For det første, hvad skal bundlinjen være? Nummer

Lad os beregne svaret på standardmåden:

Løsning: fra et klarhedssynspunkt er denne opgave meget enklere, da formlen i stedet overvejer en bestemt værdi.

Lad os sætte stigningen til punktet og sammensætte den tilsvarende stigning af funktionen:

Lad os beregne den afledte på et punkt:

Vi bruger en meget sjælden tangentforskelformel og endnu en gang reducerer vi løsningen til den første vidunderlige grænse:

Svar: per definition af afledt ved et punkt.

Problemet er ikke så svært at løse "generelt" - det er nok at erstatte med eller simpelthen afhængigt af designmetoden. I dette tilfælde er det klart, at resultatet ikke bliver et tal, men en afledt funktion.

Eksempel 10

Brug definitionen til at finde den afledede af funktionen på et punkt (hvoraf det ene kan vise sig at være uendeligt), som jeg allerede har beskrevet i generelle vendinger om teoretisk lektion om afledte.

Nogle stykkevis definerede funktioner kan også differentieres ved "kryds"-punkterne i grafen, for eksempel catdog har en fælles afledet og en fælles tangent (x-akse) i punktet. Kurve, men differentierbar med ! Interesserede kan selv bekræfte dette ved at bruge det netop løste eksempel.

©2015-2019 websted
Alle rettigheder tilhører deres forfattere. Dette websted gør ikke krav på forfatterskab, men giver gratis brug.
Sidens oprettelsesdato: 2017-06-11

Undervisningsministeriet i Den Russiske Føderation

“MATI” - RUSSISK STAT

TEKNOLOGISK UNIVERSITET opkaldt efter. K. E. TSIOLKOVSKY

Institut for "Højere matematik"

Kursusopgavemuligheder

Retningslinjer for kursusopgaven

"Grænser for funktioner. Derivater"

Kulakova R.D.

Titarenko V. I.

Moskva 1999

anmærkning

De foreslåede retningslinjer har til formål at hjælpe førsteårsstuderende med at mestre teoretisk og praktisk materiale om emnet "Matematisk Analyse".

I hvert afsnit, efter den teoretiske del, analyseres typiske problemstillinger.

Retningslinjerne dækker følgende emner: grænser for funktioner, differentiering af funktioner givet i forskellige former, afledte og differentialer af højere orden, L'Hopitals regel, anvendelse af den afledede til problemer med geometri og mekanik.

For at konsolidere materialet bliver eleverne bedt om at gennemføre kurser om emnerne nævnt ovenfor.

Disse retningslinjer kan bruges på alle fakulteter og specialer.

1. Funktionsgrænser

Nogle velkendte teknikker bruges til at bestemme grænserne for sekvenser og funktioner:

Hvis du skal finde en grænse

kan foreløbigt reduceres til en fællesnævner

Ved at dividere med det led, der har den maksimale grad, får vi en konstant værdi i tælleren, og alle led, der har en tendens til 0 i nævneren, dvs.

.

Så erstatter vi x=a, får vi:
;

4.
, når vi erstatter x=0, får vi
.

5. Men hvis det er nødvendigt at finde grænsen for en rationel funktion

, så når vi dividerer med udtrykket med minimumsgraden, får vi

; og dirigerer x til 0, får vi:

Hvis grænserne indeholder irrationelle udtryk, så er det nødvendigt at indføre nye variable for at opnå et rationelt udtryk, eller at overføre irrationaliteter fra nævneren til tælleren og omvendt.

6.
; Lad os lave en variabel ændring. Vi vil erstatte
, kl
, vi får
.

7.
. Hvis tæller og nævner ganges med det samme tal, ændres grænsen ikke. Gang tælleren med
og dividere med det samme udtryk, så grænsen ikke ændres, og gange nævneren med
og dividere med det samme udtryk. Så får vi:

Følgende bemærkelsesværdige grænser bruges ofte til at definere grænser:

; (1)

. (2)

8.
.

For at beregne en sådan grænse reducerer vi den til den 1. bemærkelsesværdige grænse (1). For at gøre dette skal du gange og dividere tælleren med
, og nævneren er
, Derefter.

9.
For at beregne denne grænse reducerer vi den til den anden bemærkelsesværdige grænse. Til dette formål vælger vi hele delen fra det rationelle udtryk i parentes og præsenterer det i form af en egentlig brøk. Dette gøres i tilfælde hvor
, Hvor
, A
, Hvor
;

, A
, så endelig
. Her blev kontinuiteten i sammensætningen af ​​kontinuerte funktioner brugt.

2. Afledt

Afledt af en funktion
kaldes den endelige grænse for forholdet mellem stigningen af ​​en funktion og stigningen af ​​argumentet, når sidstnævnte har en tendens til nul:

, eller
.

Geometrisk er den afledte hældning af tangenten til funktionens graf
ved punkt x, dvs
.

Den afledte er ændringshastigheden af ​​en funktion i punkt x.

At finde den afledede kaldes at differentiere funktionen.

Formler til at differentiere grundlæggende funktioner:

3. Grundlæggende regler for differentiering

Lad så:

7) Hvis , dvs
, Hvor
Og
har afledte, så
(regel for differentiering af en kompleks funktion).

4. Logaritmisk differentiering

Hvis du skal finde fra Eq.
, så kan du:

a) logaritme begge sider af ligningen

b) differentiere begge sider af den resulterende lighed, hvor
der er en kompleks funktion af x,

.

c) erstatte dets udtryk i form af x

.

Eksempel:

5. Differentiering af implicitte funktioner

Lad ligningen
definerer som en implicit funktion af x.

a) differentiere begge sider af ligningen med hensyn til x
, får vi en ligning af første grad mhp ;

b) fra den resulterende ligning, vi udtrykker .

Eksempel:
.

6. Differentiering af givne funktioner

parametrisk

Lad funktionen være givet ved parametriske ligninger
,

Derefter
, eller

Eksempel:

7. Anvendelse af derivatet på problemer

geometri og mekanik

Lade
Og
, Hvor - vinklen dannet med den positive retning af OX-aksen af ​​tangenten til kurven i punktet med abscissen .

Ligning for en tangent til en kurve
på punktet
har formen:

, Hvor -afledte på
.

Normalen til en kurve er en linje vinkelret på tangenten og går gennem tangenspunktet.

Normalligningen har formen

.

Vinkel mellem to kurver
Og
ved deres skæringspunkt
er vinklen mellem tangenterne til disse kurver i et punkt
. Denne vinkel findes af formlen

.

8. Afledte af højere orden

Hvis er den afledede af funktionen
, derefter afledt af kaldes den anden afledte eller afledte af anden orden og betegnes , eller
, eller .

Derivater af enhver rækkefølge defineres på samme måde: tredjeordens afledte
; n. ordens afledte:

.

For produktet af to funktioner kan du få en afledt af en hvilken som helst n. orden ved hjælp af Leibniz-formlen:

9. Anden afledet af en implicit funktion

-ligningen bestemmer , som en implicit funktion af x.

a) definere
;

b) differentiere med hensyn til x venstre og højre side af ligheden
,

Desuden differentierer funktionen
ved variabel x, husk det der er en funktion af x:

;

c) udskiftning igennem
, vi får:
etc.

10. Afledte funktioner angivet parametrisk

Find
Hvis
.

11. Differentialer af første og højere orden

Første ordens differential af funktionen
kaldes hoveddelen, lineær med hensyn til argumentet. Differentialet af et argument er stigningen af ​​et argument:
.

Differentialet af en funktion er lig med produktet af dens afledte og differentialet af argumentet:

.

Grundlæggende egenskaber ved differentialet:

Hvor
.

Hvis stigningen
argumentet er altså lille i absolut værdi
Og.

Således kan differentialet for en funktion bruges til omtrentlige beregninger.

Anden ordens differential af funktionen
kaldes differentialet af den første ordens differential:
.

Ligeledes:
.

.

Hvis
Og er en uafhængig variabel, så beregnes højere ordens differentialer ved hjælp af formlerne

Find funktionens første og anden ordens differentialer

12. Beregning af grænser ved hjælp af L'Hopitals regel

Alle ovenstående grænser brugte ikke differentialregningsapparatet. Men hvis du skal finde

og kl
begge disse funktioner er infinitesimale eller begge er uendeligt store, så er deres forhold ikke defineret ved punktet
og repræsenterer derfor en usikkerhedstype eller henholdsvis. Da dette er et forhold på et tidspunkt
kan have en grænse, endelig eller uendelig, så at finde denne grænse kaldes afsløring af usikkerhed (L'Hopital Bernoulis regel),

og følgende lighed gælder:

, hvis
Og
.

=
.

En lignende regel gælder if
Og
, dvs.
.

=

=
.

L'Hopitals regel gør det også muligt at løse usikkerheder af typen
Og
. At beregne
, Hvor
- uendelig, og
- uendelig stor kl
(type usikkerhedsoplysning
) produktet skal konverteres til formularen

(typeusikkerhed) eller til art (type usikkerhed ) og brug derefter Lapitals regel.

At beregne
, Hvor
Og
- uendelig stor kl
(type usikkerhedsoplysning
) skal forskellen konverteres til formen
, så afsløre usikkerheden type . Hvis
, At
.

Hvis
, så får vi en usikkerhed af typen (
), som afsløres på samme måde som eksempel 12).

Fordi
, så ender vi med en usikkerhed af typen
og så har vi

.

L'Hopitals regel kan også bruges til at løse usikkerheder af typen
. I disse tilfælde mener vi at beregne grænsen for udtrykket
, Hvor
hvornår
er uendelig lille, i tilfældet
- uendelig stor, og i sagen
- en funktion, hvis grænse er lig med enhed.

Fungere
i de to første tilfælde er det en uendelig lille funktion, og i det sidste tilfælde er det en uendelig stor funktion.

Inden man leder efter grænsen for sådanne udtryk, tages de logaritmisk, dvs. Hvis
, At
, og find derefter grænsen
, og find derefter grænsen . I alle ovenstående tilfælde
er en type usikkerhed
, som åbnes på samme måde som eksempel 12).

5.

(brug L'Hopitals regel)=

=
.

I dette produkt af grænser er den første faktor lig med 1, den anden faktor er den første bemærkelsesværdige grænse, og den er også lig med 1, og den sidste faktor har en tendens til 0, derfor:

og så
.

=
;

.

7.
;

=
;

.

8.
;

=
;

.

KURSUSARBEJDET INDEHOLDER 21 OPGAVER.

nr. 1-4 – Beregning af funktionsgrænser;

nr. 5-10 – Find afledede funktioner;

nr. 11 – Find den første afledte;

#12 – Beregn funktion specificeret i parametrisk form;

#13 – Find d 2 y;

#14 – Find y ( n ) ;

Nr. 15 – Lav en ligning for normalen og tangenten til kurven i et punkt x 0 ;

nr. 16 – Beregn værdien af ​​funktionen tilnærmelsesvis ved hjælp af en differential;

#17 – Find
;

#18 – Find ;

#19 – Find ;

Nr. 20-21 – Beregn grænsen ved hjælp af L'Hopitals regel.

Mulighed 1

№1.
.

№2.
.

№3.
.

№4.
.

Beregn afledt

№5.
.

Hvad er et derivat?
Definition og betydning af en afledt funktion

Mange vil blive overrasket over den uventede placering af denne artikel i min forfatters kursus om afledet af en funktion af en variabel og dens anvendelser. Når alt kommer til alt, som det har været siden skolen: standardlærebogen giver først og fremmest definitionen af ​​en afledt, dens geometriske, mekaniske betydning. Dernæst finder eleverne per definition afledte funktioner, og faktisk først da perfektionerer de differentieringsteknikken vha. afledte tabeller.

Men fra mit synspunkt er følgende tilgang mere pragmatisk: Først og fremmest er det tilrådeligt at FORSTÅ GODT grænse for en funktion, og især uendelig små mængder. Faktum er, at definitionen af ​​afledt er baseret på begrebet grænse, hvilket er dårligt tænkt i skoleforløbet. Derfor forstår en betydelig del af unge forbrugere af videns granit ikke selve essensen af ​​derivatet. Så hvis du har ringe forståelse for differentialregning, eller hvis en klog hjerne med succes har sluppet af med denne bagage i mange år, så start med funktionsgrænser. Mester/husk samtidig deres løsning.

Den samme praktiske sans tilsiger, at det først er fordelagtigt lære at finde derivater, herunder afledte af komplekse funktioner. Teori er teori, men som man siger, man vil altid gerne differentiere. I denne henseende er det bedre at arbejde gennem de anførte grundlæggende lektioner, og evt mester i differentiering uden selv at indse essensen af ​​deres handlinger.

Jeg anbefaler at starte med materialerne på denne side efter at have læst artiklen. De enkleste problemer med derivater, hvor især problemet med tangenten til grafen for en funktion betragtes. Men du kan vente. Faktum er, at mange anvendelser af derivatet ikke kræver at forstå det, og det er ikke overraskende, at den teoretiske lektion dukkede op ret sent - da jeg havde brug for at forklare finde stigende/faldende intervaller og ekstrema funktioner. Desuden var han om emnet i ret lang tid. Funktioner og grafer”, indtil jeg endelig besluttede at sætte det tidligere.

Derfor, kære tekander, skynd dig ikke at absorbere essensen af ​​derivatet som sultne dyr, fordi mætningen vil være smagløs og ufuldstændig.

Begrebet stigende, faldende, maksimum, minimum af en funktion

Mange lærebøger introducerer begrebet afledte ved hjælp af nogle praktiske problemer, og jeg kom også med et interessant eksempel. Forestil dig, at vi er ved at rejse til en by, der kan nås på forskellige måder. Lad os straks kassere de buede snoede stier og overveje kun lige motorveje. Retninger i lige linje er dog også anderledes: du kan komme til byen ad en jævn motorvej. Eller langs en kuperet motorvej - op og ned, op og ned. En anden vej går kun op ad bakke, og en anden går ned ad bakke hele tiden. Ekstreme entusiaster vil vælge en rute gennem en kløft med en stejl klippe og en stejl stigning.

Men uanset dine præferencer, er det tilrådeligt at kende området eller i det mindste have et topografisk kort over det. Hvad hvis sådanne oplysninger mangler? Du kan jo vælge for eksempel en jævn sti, men falder som følge heraf over en skiløjpe med muntre finner. Det er ikke et faktum, at en navigator eller endda et satellitbillede vil give pålidelige data. Derfor ville det være rart at formalisere lindring af stien ved hjælp af matematik.

Lad os se på en vej (fra siden):

For en sikkerheds skyld minder jeg dig om et elementært faktum: rejser sker fra venstre mod højre. For nemheds skyld antager vi, at funktionen sammenhængende i det pågældende område.

Hvad er egenskaberne ved denne graf?

Med mellemrum fungere stiger, det vil sige hver næste værdi af den mere forrige. Groft sagt er tidsplanen på plads ned op(vi klatrer op ad bakken). Og på intervallet funktionen falder– hver næste værdi mindre tidligere, og vores tidsplan er på oppefra og ned(vi går ned ad skråningen).

Lad os også være opmærksomme på særlige punkter. På det punkt, vi når maksimum, det er eksisterer sådan et afsnit af stien, hvor værdien vil være størst (højest). På samme punkt opnås det minimum, Og eksisterer dets nabolag, hvor værdien er den mindste (laveste).

Vi vil se på mere stram terminologi og definitioner i klassen. om yderpunkterne af funktionen, men lad os nu studere en anden vigtig funktion: på intervaller funktionen øges, men den øges ved forskellige hastigheder. Og det første, der fanger dit øje, er, at grafen svæver op i løbet af intervallet meget mere cool, end på intervallet . Er det muligt at måle en vejs stejlhed ved hjælp af matematiske værktøjer?

Hastighed for ændring af funktion

Ideen er denne: Lad os tage noget værdi (læs "delta x"), som vi kalder argumentstigning, og lad os begynde at "prøve det på" til forskellige punkter på vores vej:

1) Lad os se på punktet længst til venstre: passerer vi afstanden, klatrer vi skråningen til en højde (grøn linje). Mængden kaldes funktionstilvækst, og i dette tilfælde er denne stigning positiv (forskellen i værdier langs aksen er større end nul). Lad os skabe et forhold, der vil være et mål for vores vejs stejlhed. Dette er naturligvis et meget specifikt tal, og da begge trin er positive, så .

Opmærksomhed! Betegnelser er EN symbol, det vil sige, du kan ikke "rive" "deltaet" fra "X"et og overveje disse bogstaver separat. Kommentaren vedrører naturligvis også symbolet for funktionstilvækst.

Lad os undersøge arten af ​​den resulterende fraktion mere meningsfuldt. Lad os først være i en højde af 20 meter (ved venstre sorte punkt). Efter at have tilbagelagt afstanden på meter (venstre rød linje), vil vi befinde os i en højde af 60 meter. Så vil stigningen af ​​funktionen være meter (grøn linje) og: . Dermed, på hver meter denne del af vejen højden stiger gennemsnit med 4 meter...glemt dit klatreudstyr? =) Med andre ord kendetegner den konstruerede sammenhæng den AVERAGE RATE OF FORANDRING (i dette tilfælde vækst) af funktionen.

Bemærk : De numeriske værdier i det pågældende eksempel svarer kun tilnærmelsesvis til tegningens proportioner.

2) Lad os nu gå den samme afstand fra det sorte punkt længst til højre. Her er stigningen mere gradvis, så tilvæksten (crimson line) er relativt lille, og forholdet i forhold til det tidligere tilfælde vil være meget beskedent. Relativt set, meter og funktionsvæksthastighed er. Det vil sige her for hver meter af stien der er gennemsnit en halv meters stigning.

3) Et lille eventyr på bjergsiden. Lad os se på den øverste sorte prik placeret på ordinataksen. Lad os antage, at dette er 50 meter-mærket. Vi overvinder afstanden igen, som et resultat af hvilket vi befinder os lavere - på niveau med 30 meter. Siden bevægelsen er udført oppefra og ned(i aksens "modretning"), derefter den endelige stigningen af ​​funktionen (højden) vil være negativ: meter (brunt segment på tegningen). Og i dette tilfælde taler vi allerede om faldhastighed Funktioner: , det vil sige, for hver meter af stien i denne sektion, falder højden gennemsnit med 2 meter. Pas på dit tøj på det femte punkt.

Lad os nu stille os selv spørgsmålet: hvilken værdi af "målestandarden" er bedst at bruge? Det er helt forståeligt, 10 meter er meget groft. En god halv snes pukler kan sagtens passe på dem. Uanset bumpene kan der være en dyb kløft nedenfor, og efter et par meter er der dens anden side med en yderligere stejl stigning. Med en ti-meter vil vi således ikke få en forståelig beskrivelse af sådanne sektioner af stien gennem forholdet .

Af ovenstående diskussion følger følgende konklusion: jo lavere værdi, jo mere præcist beskriver vi vejtopografien. Desuden er følgende fakta sande:

– For enhver løftepunkter du kan vælge en værdi (selv om den er meget lille), der passer inden for grænserne for en bestemt stigning. Dette betyder, at den tilsvarende højdestigning garanteres at være positiv, og uligheden vil korrekt angive væksten af ​​funktionen ved hvert punkt i disse intervaller.

- Ligeledes for enhver hældningspunkt er der en værdi, der vil passe helt på denne hældning. Følgelig er den tilsvarende stigning i højden klart negativ, og uligheden vil korrekt vise faldet i funktionen ved hvert punkt i det givne interval.

– Et særligt interessant tilfælde er, når ændringshastigheden af ​​funktionen er nul: . For det første er nul højdetilvækst () et tegn på en jævn sti. Og for det andet er der andre interessante situationer, som du ser eksempler på i figuren. Forestil dig, at skæbnen har bragt os helt til toppen af ​​en bakke med svævende ørne eller bunden af ​​en kløft med kvækkende frøer. Hvis du tager et lille skridt i en hvilken som helst retning, vil ændringen i højden være ubetydelig, og vi kan sige, at funktionens ændringshastighed faktisk er nul. Dette er præcis det billede, der observeres ved punkterne.

Således er vi kommet til en fantastisk mulighed for perfekt præcist at karakterisere ændringshastigheden af ​​en funktion. Når alt kommer til alt, gør matematisk analyse det muligt at rette stigningen af ​​argumentet til nul: , det vil sige at gøre det uendelig lille.

Som et resultat opstår et andet logisk spørgsmål: er det muligt at finde vejen og dens tidsplan en anden funktion, hvilken ville lade os vide om alle de flade sektioner, stigninger, nedkørsler, toppe, dale, samt vækst/nedgang på hvert punkt undervejs?

Hvad er et derivat? Definition af afledt.
Geometrisk betydning af afledt og differential

Læs venligst grundigt og ikke for hurtigt - materialet er enkelt og tilgængeligt for alle! Det er okay, hvis der nogle steder er noget, der ikke virker helt klart, du kan altid vende tilbage til artiklen senere. Jeg vil sige mere, det er nyttigt at studere teorien flere gange for grundigt at forstå alle punkterne (rådene er især relevante for "tekniske" studerende, for hvem højere matematik spiller en væsentlig rolle i uddannelsesprocessen).

Naturligvis erstatter vi i selve definitionen af ​​derivatet på et tidspunkt med:

Hvad er vi kommet til? Og vi kom til den konklusion, at for funktionen efter loven er sat i overensstemmelse anden funktion, som kaldes afledt funktion(eller simpelthen afledte).

Afledten karakteriserer ændringshastighed funktioner Hvordan? Idéen løber som en rød tråd helt fra begyndelsen af ​​artiklen. Lad os overveje et punkt definitionsdomæne funktioner Lad funktionen være differentierbar på et givet punkt. Derefter:

1) Hvis , så øges funktionen ved punktet . Og det er der åbenbart interval(selv en meget lille), der indeholder et punkt, hvor funktionen vokser, og dens graf går "fra bund til top".

2) Hvis , så falder funktionen ved punktet . Og der er et interval, der indeholder et punkt, hvor funktionen falder (grafen går "top til bund").

3) Hvis , så uendeligt tæt på nær et punkt holder funktionen sin hastighed konstant. Dette sker, som nævnt, med en konstant funktion og på kritiske punkter i funktionen, i særdeleshed på minimum og maksimum point.

Lidt semantik. Hvad betyder verbet "differentiere" i bred forstand? At differentiere betyder at fremhæve en funktion. Ved at differentiere en funktion "isolerer" vi hastigheden af ​​dens ændring i form af en afledt af funktionen. Hvad menes der i øvrigt med ordet "afledt"? Fungere skete fra funktion.

Udtrykkene er meget vellykket fortolket af den mekaniske betydning af derivatet :
Lad os overveje loven om ændring i et legemes koordinater, afhængigt af tid, og funktionen af ​​bevægelseshastigheden for en given krop. Funktionen karakteriserer ændringshastigheden af ​​kropskoordinater, derfor er den den første afledte af funktionen med hensyn til tid:. Hvis begrebet "kropsbevægelse" ikke fandtes i naturen, så ville der ikke være nogen afledte begrebet "kropshastighed".

Et legemes acceleration er hastigheden af ​​hastighedsændringen, derfor: . Hvis de oprindelige begreber "kropsbevægelse" og "kropshastighed" ikke fandtes i naturen, så ville der ikke eksistere afledte begrebet "kropsacceleration".

I koordinatplanet xOy overvej grafen for funktionen y=f(x). Lad os rette pointen M(x 0 ; f (x 0)). Lad os tilføje en abscisse x 0 stigning Δх. Vi får en ny abscisse x 0 +Δx. Dette er abscissen af ​​punktet N, og ordinaten vil være ens f (x 0 +Δx). Ændringen i abscissen medførte en ændring i ordinaten. Denne ændring kaldes funktionstilvæksten og betegnes Δy.

Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Gennem prikker M Og N lad os tegne en sekant MN, som danner en vinkel φ med positiv akseretning Åh. Lad os bestemme tangens af vinklen φ fra en retvinklet trekant MPN.

Lade Δх har en tendens til nul. Derefter sekanten MN vil have tendens til at indtage en tangentposition MT, og vinklen φ bliver en vinkel α . Altså tangens af vinklen α er grænseværdien for vinklens tangent φ :

Grænsen for forholdet mellem stigningen af ​​en funktion og stigningen af ​​argumentet, når sidstnævnte har en tendens til nul, kaldes den afledede af funktionen på et givet punkt:

Geometrisk betydning af afledte ligger i, at den numeriske afledede af funktionen i et givet punkt er lig med tangenten til den vinkel, der dannes af tangenten trukket gennem dette punkt til den givne kurve og aksens positive retning Åh:

Eksempler.

1. Find stigningen af ​​argumentet og stigningen af ​​funktionen y= x 2, hvis startværdien af ​​argumentet var lig med 4 og nye - 4,01 .

Løsning.

Ny argumentværdi x=x0 +Δx. Lad os erstatte dataene: 4,01=4+Δх, deraf stigningen i argumentet Δх=4,01-4=0,01. Forøgelsen af ​​en funktion er per definition lig med forskellen mellem de nye og tidligere værdier af funktionen, dvs. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Da vi har en funktion y=x2, At Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Svar: argumentstigning Δх=0,01; funktionstilvækst Δу=0,0801.

Funktionstilvæksten kunne findes anderledes: Δy=y (x0 +Δx) -y (x0)=y(4,01) -y(4)=4,012-42 =16,0801-16=0,0801.

2. Find hældningsvinklen for tangenten til grafen for funktionen y=f(x) på punktet x 0, hvis f "(x 0) = 1.

Løsning.

Værdien af ​​den afledte på tangenspunktet x 0 og er værdien af ​​tangenten til tangentvinklen (den aflededes geometriske betydning). Vi har: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, fordi tg45°=1.

Svar: tangenten til grafen for denne funktion danner en vinkel med den positive retning af Ox-aksen lig med 45°.

3. Udled formlen for den afledede af funktionen y=xn.

Differentiering er handlingen med at finde den afledede af en funktion.

Når du finder afledte, skal du bruge formler, der er afledt baseret på definitionen af ​​en afledt, på samme måde som vi udledte formlen for den afledte grad: (x n)" = nx n-1.

Disse er formlerne.

Tabel over derivater Det vil være lettere at huske ved at udtale verbale formuleringer:

1. Den afledte af en konstant størrelse er nul.

2. X primtal er lig med en.

3. Konstantfaktoren kan tages ud af fortegn for den afledte.

4. Afledten af ​​en grad er lig med produktet af eksponenten af ​​denne grad med en grad med samme base, men eksponenten er en mindre.

5. Den afledte af en rod er lig med en divideret med to lige store rødder.

6. Den afledte af en divideret med x er lig med minus en divideret med x i anden.

7. Den afledte af sinus er lig med cosinus.

8. Den afledte af cosinus er lig med minus sinus.

9. Den afledede af tangenten er lig med én divideret med kvadratet af cosinus.

10. Den afledte af cotangens er lig med minus en divideret med kvadratet af sinus.

Vi underviser differentieringsregler.

1. Den afledte af en algebraisk sum er lig med den algebraiske sum af de afledte led.

2. Den afledte af et produkt er lig med produktet af den afledte faktor af den første faktor og den anden plus produktet af den første faktor og den afledte af den anden.

3. Den afledte af "y" divideret med "ve" er lig med en brøk, hvor tælleren er "y primtal ganget med "ve" minus "y ganget med ve primtal", og nævneren er "ve i anden".

4. Et særligt tilfælde af formlen 3.

Lad os lære sammen!

Side 1 af 1 1