Online forenkling af trigonometriske ligninger. Indlæg tagget "forenkle trigonometriske udtryk"

Efter din anmodning.

6. Forenkle udtrykket:

Fordi cofunktioner af vinkler, der er komplementære med hinanden op til 90°, er ens, så erstatter vi sin50° i brøkens tæller med cos40° og anvender formlen for sinus af et dobbeltargument på tælleren. Vi får 5sin80° i tælleren. Lad os erstatte sin80° med cos10°, hvilket vil give os mulighed for at reducere fraktionen.

Anvendte formler: 1) sina=cos(90°-a); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. I en aritmetisk progression, hvis forskel er 12, og hvis ottende led er 54, skal du finde antallet af negative led.

Løsningsplan. Lad os oprette en formel for det generelle udtryk for denne progression og finde ud af, ved hvilke værdier af n negative udtryk vil blive opnået. For at gøre dette skal vi finde det første led i progressionen.

Vi har d=12, a 8 =54. Ved at bruge formlen a n =a 1 +(n-1)∙d skriver vi:

a8 =a1 +7d. Lad os erstatte de tilgængelige data. 54=a1+7∙12;

a 1 = -30. Erstat denne værdi i formlen a n =a 1 +(n-1)∙d

a n =-30+(n-1)∙12 eller a n =-30+12n-12. Lad os forenkle: a n =12n-42.

Vi leder efter antallet af negative udtryk, så vi skal løse uligheden:

en n<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12n<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. Find rækkevidden af ​​værdier for følgende funktion: y=x-|x|.

Lad os åbne de modulære beslag. Hvis x≥0, så er y=x-x ⇒ y=0. Grafen vil være Ox-aksen til højre for oprindelsen. Hvis x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. Find det laterale overfladeareal af en ret cirkulær kegle, hvis dens generatrix er 18 cm og arealet af dens base er 36 cm 2 .

Givet er en kegle med et aksialsnit MAV. Generator VM=18, S hoved. =36π. Vi beregner arealet af keglens laterale overflade ved hjælp af formlen: S-siden. =πRl, hvor l er generatoren og ifølge betingelsen er lig med 18 cm, R er basens radius, vi finder den ved hjælp af formlen: S cr. = πR2. Vi har S cr. = S grundlæggende = 36π. Derfor πR2 =36π ⇒ R=6.

Derefter S-siden. =π∙6∙18 ⇒ S-side. =108π cm 2.

12. Løsning af en logaritmisk ligning. En brøk er lig med 1, hvis dens tæller er lig med dens nævner, dvs.

log(x 2 +5x+4)=2logx for logx≠0. Vi anvender på højre side af ligheden egenskaben af ​​potensen af ​​et tal under logaritmetegnet: lg(x 2 +5x+4)=lgx 2. Disse decimallogaritmer er lige store, derfor er tallene under logaritmetegnet ens , derfor:

x2 +5x+4=x2, derfor 5x=-4; vi får x=-0,8. Denne værdi kan dog ikke tages, da kun positive tal kan være under logaritmens fortegn, derfor har denne ligning ingen løsninger. Bemærk. Du bør ikke finde ODZ i begyndelsen af ​​beslutningen (spild din tid!), det er bedre at tjekke (som vi gør nu) i slutningen.

13. Find værdien af ​​udtrykket (x o – y o), hvor (x o; y o) er løsningen til ligningssystemet:

14. Løs ligningen:

Hvis man dividerer med 2 og brøkens tæller og nævner, lærer du formlen for tangenten af ​​en dobbelt vinkel. Resultatet er en simpel ligning: tg4x=1.

15. Find den afledede af funktionen: f(x)=(6x 2 -4x) 5.

Vi får en kompleks funktion. Vi definerer det med ét ord - det er grad. Derfor finder vi i henhold til reglen om differentiering af en kompleks funktion den afledede af graden og multiplicerer den med den afledte af basen af ​​denne grad i henhold til formlen:

(u n)' = n ∙ u n -1 ∙ u'.

f ‘(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)' = 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x2-4x) 4 .

16. Det er nødvendigt at finde f '(1), hvis funktionen

17. I en ligesidet trekant er summen af ​​alle halveringslinjer 33√3 cm. Find arealet af trekanten.

Halveringslinjen i en ligesidet trekant er både medianen og højden. Således er længden af ​​højden BD af denne trekant lig med

Lad os finde siden AB fra den rektangulære Δ ABD. Da sin60° = BD : AB, så AB = BD : sin 60°.

18. En cirkel er indskrevet i en ligesidet trekant, hvis højde er 12 cm. Find arealet af cirklen.

Cirklen (O; OD) er indskrevet i den ligesidede Δ ABC. Højden BD er også en halveringslinje og en median, og cirklens centrum, punkt O, ligger på BD.

O – skæringspunktet mellem højder, halveringslinjer og medianer deler medianen BD i forholdet 2:1, tællet fra toppunktet. Derfor er OD=(1/3)BD=12:3=4. Cirklens radius R=OD=4 cm Arealet af cirklen S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2.

19. Sidekanterne af en regulær firkantet pyramide er 9 cm, og siden af ​​bunden er 8 cm. Find pyramidens højde.

Grundlaget for en regulær firkantet pyramide er kvadratet ABCD, bunden af ​​højden MO er midten af ​​kvadratet.

20. Forenkle:

I tælleren er kvadratet af forskellen foldet.

Vi faktoriserer nævneren ved at bruge metoden til at gruppere termer.

21. Beregn:

For at kunne udtrække en aritmetisk kvadratrod skal det radikale udtryk være et perfekt kvadrat. Lad os repræsentere udtrykket under rodtegnet i form af kvadratforskellen mellem to udtryk ved hjælp af formlen:

a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2, idet det antages, at a 2 + b 2 =10.

22. Løs uligheden:

Lad os repræsentere venstre side af uligheden som et produkt. Summen af ​​sinus af to vinkler er lig med to gange produktet af sinus af halvsummen af ​​disse vinkler og cosinus af halvforskellen af ​​disse vinkler:

Vi får:

Lad os løse denne ulighed grafisk. Vi udvælger de punkter på y=omkostningsgrafen, der ligger over den rette linje, og bestemmer abscissen af ​​disse punkter (vist ved skygge).

23. Find alle antiderivater for funktionen: h(x)=cos 2 x.

Lad os transformere denne funktion ved at sænke dens grad ved hjælp af formlen:

1+cos2α=2cos 2 α. Vi får funktionen:

24. Find vektorens koordinater

25. Indsæt regnetegn i stedet for stjerner, så du får den korrekte lighed: (3*3)*(4*4) = 31 – 6.

Vi begrunder: tallet skal være 25 (31 – 6 = 25). Hvordan får man dette tal fra to "tre" og to "firere" ved hjælp af handlingstegn?

Selvfølgelig er det: 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 = 9 + 16 = 25. Svar E).

Lektion 1

Emne: 11. klasse (forberedelse til Unified State Exam)

Forenkling af trigonometriske udtryk.

Løsning af simple trigonometriske ligninger. (2 timer)

Mål:

• Systematisere, generalisere, udvide elevernes viden og færdigheder relateret til brugen af ​​trigonometriformler og løsning af simple trigonometriske ligninger.

Udstyr til lektionen:

Lektionens struktur:

1. Organisatorisk øjeblik
2. Test på bærbare computere. Diskussionen af ​​resultaterne.
3. Forenkling af trigonometriske udtryk
4. Løsning af simple trigonometriske ligninger
5. Selvstændigt arbejde.
6. Lektionsopsummering. Forklaring af hjemmeopgave.

1. Organisatorisk øjeblik. (2 minutter.)

Læreren hilser publikum, annoncerer emnet for lektionen, minder dem om, at de tidligere fik til opgave at gentage trigonometriformler og forbereder eleverne til test.

2. Test. (15 min + 3 min diskussion)

Målet er at teste viden om trigonometriske formler og evnen til at anvende dem. Hver elev har en bærbar computer på deres skrivebord med en version af testen.

Der kan være et hvilket som helst antal muligheder, jeg vil give et eksempel på en af ​​dem:

jeg mulighed.

Forenkle udtryk:

a) grundlæggende trigonometriske identiteter

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) additionsformler

3. sin5x - sin3x;

c) at konvertere et produkt til en sum

6. 2sin8y cos3y;

d) dobbeltvinkelformler

7. 2sin5x cos5x;

e) formler for halve vinkler

f) tredobbelte vinkelformler

g) universel substitution

h) gradreduktion

16. cos 2 (3x/7);

Eleverne ser deres svar på den bærbare computer ved siden af ​​hver formel.

Arbejdet kontrolleres øjeblikkeligt af computeren. Resultaterne vises på en stor skærm, så alle kan se.

Efter endt arbejde vises de rigtige svar også på elevernes bærbare computere. Hver elev ser, hvor fejlen blev begået, og hvilke formler han skal gentage.

3. Forenkling af trigonometriske udtryk. (25 min.)

Målet er at gentage, øve og konsolidere brugen af ​​grundlæggende trigonometriformler. Løsning af problemer B7 fra Unified State Exam.

På dette trin er det tilrådeligt at dele klassen op i grupper af stærke elever (arbejde selvstændigt med efterfølgende test) og svage elever, der arbejder sammen med læreren.

Opgave til stærke elever (forarbejdet på forhånd på trykt basis). Hovedvægten er på formlerne for reduktion og dobbelt vinkel, ifølge Unified State Exam 2011.

Forenkle udtryk (for stærke elever):

Samtidig arbejder læreren med svage elever, diskuterer og løser opgaver på skærmen under elevernes diktat.

Beregn:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Forenkle:

Det var tid til at diskutere resultaterne af den stærke gruppes arbejde.

Svarene vises på skærmen, og også ved hjælp af et videokamera vises 5 forskellige elevers arbejde (en opgave til hver).

Den svage gruppe ser tilstanden og løsningsmetoden. Diskussion og analyse er i gang. Med brug af tekniske midler sker dette hurtigt.

4. Løsning af simple trigonometriske ligninger. (30 min.)

Målet er at gentage, systematisere og generalisere løsningen af ​​de enkleste trigonometriske ligninger og skrive deres rødder ned. Løsning af problem B3.

Enhver trigonometrisk ligning, uanset hvordan vi løser den, fører til den enkleste.

Når de udfører opgaven, skal eleverne være opmærksomme på at skrive rødderne til ligninger af specielle tilfælde og generel form og på at vælge rødderne i den sidste ligning.

Løs ligninger:

Skriv den mindste positive rod ned som dit svar.

5. Selvstændigt arbejde (10 min.)

Målet er at teste de erhvervede færdigheder, identificere problemer, fejl og måder at eliminere dem på.

Arbejde på flere niveauer tilbydes efter elevens valg.

Mulighed "3"

1) Find værdien af ​​udtrykket

2) Simplificere udtrykket 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Løs ligningen

Mulighed for "4"

1) Find værdien af ​​udtrykket

2) Løs ligningen Skriv den mindste positive rod ned i dit svar.

Mulighed "5"

1) Find tanα if

2) Find roden af ​​ligningen Skriv den mindste positive rod ned som dit svar.

6. Lektionsresumé (5 min.)

Læreren opsummerer det faktum, at de i løbet af lektionen gentog og forstærkede trigonometriske formler og løste de enkleste trigonometriske ligninger.

Hjemmearbejde tildeles (udarbejdet på trykt basis på forhånd) med stikprøvekontrol ved næste lektion.

Løs ligninger:

9)

10) Angiv den mindste positive rod i dit svar.

Lektion 2

Emne: 11. klasse (forberedelse til Unified State Exam)

Metoder til løsning af trigonometriske ligninger. Rodvalg. (2 timer)

Mål:

• Generalisere og systematisere viden om løsning af trigonometriske ligninger af forskellige typer.
• At fremme udviklingen af ​​elevernes matematiske tænkning, evnen til at observere, sammenligne, generalisere og klassificere.
• Tilskynd eleverne til at overvinde vanskeligheder i processen med mental aktivitet, til selvkontrol og introspektion af deres aktiviteter.

Udstyr til lektionen: KRMu, bærbare computere til hver elev.

Lektionens struktur:

1. Organisatorisk øjeblik
2. Diskussion af d/z og selv. arbejde fra sidste lektion
3. Gennemgang af metoder til løsning af trigonometriske ligninger.
4. Løsning af trigonometriske ligninger
5. Udvælgelse af rødder i trigonometriske ligninger.
6. Selvstændigt arbejde.
7. Lektionsopsummering. Lektier.

1. Organisatorisk øjeblik (2 min.)

Læreren hilser på publikum, annoncerer lektionens emne og arbejdsplanen.

2. a) Analyse af lektier (5 min.)

Målet er at kontrollere udførelsen. Et værk vises på skærmen ved hjælp af et videokamera, resten er selektivt indsamlet til lærerkontrol.

b) Analyse af selvstændigt arbejde (3 min.)

Målet er at analysere fejl og angive måder at overvinde dem på.

Svar og løsninger er på skærmen, eleverne får deres arbejde udleveret på forhånd. Analysen forløber hurtigt.

3. Gennemgang af metoder til løsning af trigonometriske ligninger (5 min.)

Målet er at genkalde metoder til løsning af trigonometriske ligninger.

Spørg eleverne, hvilke metoder de kender til at løse trigonometriske ligninger. Understreg, at der er såkaldte grundlæggende (oftest anvendte) metoder:

• variabel udskiftning,
• faktorisering,
• homogene ligninger,

og der er anvendte metoder:

• ved hjælp af formlerne til at konvertere en sum til et produkt og et produkt til en sum,
• i henhold til formlerne for at reducere graden,
• universel trigonometrisk substitution
• indførelse af en hjælpevinkel,
• multiplikation med en eller anden trigonometrisk funktion.

Det skal også huskes, at en ligning kan løses på forskellige måder.

4. Løsning af trigonometriske ligninger (30 min.)

Målet er at generalisere og konsolidere viden og færdigheder om dette emne for at forberede C1-løsningen fra Unified State Exam.

Jeg anser det for tilrådeligt at løse ligninger for hver metode sammen med eleverne.

Eleven dikterer løsningen, læreren skriver den ned på tabletten, og hele processen vises på skærmen. Dette vil give dig mulighed for hurtigt og effektivt at genkalde tidligere dækket materiale i din hukommelse.

Løs ligninger:

1) at erstatte variablen 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorisering 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogene ligninger sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) konvertering af summen til et produkt cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) at konvertere produktet til summen 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) reduktion af graden sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) universel trigonometrisk substitution sinx + 5cosx + 5 = 0.

Ved løsning af denne ligning skal det bemærkes, at brugen af ​​denne metode fører til en indsnævring af definitionsområdet, da sinus og cosinus erstattes af tg(x/2). Derfor, før du skriver svaret, skal du kontrollere, om tallene fra mængden π + 2πn, n Z er heste i denne ligning.

8) introduktion af en hjælpevinkel √3sinx + cosx - √2 = 0

9) multiplikation med en eller anden trigonometrisk funktion cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Udvælgelse af rødder til trigonometriske ligninger (20 min.)

Da det under forhold med hård konkurrence, når de går ind på universiteter, ikke er nok at løse den første del af eksamen alene, bør de fleste studerende være opmærksomme på opgaverne i den anden del (C1, C2, C3).

Derfor er målet med denne fase af lektionen at huske tidligere studeret materiale og forberede sig på at løse problem C1 fra Unified State Exam 2011.

Der er trigonometriske ligninger, hvor du skal vælge rødder, når du skriver svaret. Dette skyldes nogle begrænsninger, for eksempel: nævneren af ​​brøken er ikke lig med nul, udtrykket under den lige rod er ikke-negativt, udtrykket under logaritmetegnet er positivt osv.

Sådanne ligninger betragtes som ligninger med øget kompleksitet, og i Unified State Exam-versionen findes de i anden del, nemlig C1.

Løs ligningen:

En brøk er lig med nul hvis da ved hjælp af enhedscirklen vælger vi rødderne (se figur 1)

Billede 1.

vi får x = π + 2πn, n Z

Svar: π + 2πn, n Z

På skærmen vises udvalget af rødder på en cirkel i et farvebillede.

Produktet er lig nul, når mindst en af ​​faktorerne er lig nul, og buen ikke mister sin betydning. Derefter

Ved hjælp af enhedscirklen vælger vi rødderne (se figur 2)

Video lektionen "Simplifying Trigonometric Expressions" er designet til at udvikle elevernes færdigheder i at løse trigonometriske problemer ved hjælp af grundlæggende trigonometriske identiteter. I løbet af videotimen diskuteres typer af trigonometriske identiteter og eksempler på problemløsning ved hjælp af dem. Ved at bruge visuelle hjælpemidler er det nemmere for læreren at nå lektionens mål. Levende præsentation af materialet hjælper med at huske vigtige punkter. Brugen af ​​animationseffekter og voice-over giver dig mulighed for helt at erstatte læreren på det stadie, hvor du forklarer materialet. Ved at bruge dette visuelle hjælpemiddel i matematiktimerne kan læreren således øge effektiviteten af ​​undervisningen.

I begyndelsen af ​​videolektionen annonceres dens emne. Så husker vi de trigonometriske identiteter, der blev studeret tidligere. Skærmen viser lighederne sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, hvor t≠π/2+πk for kϵZ, ctg t=cos t/sin t, korrekt for t≠πk, hvor kϵZ, tg t· ctg t=1, for t≠πk/2, hvor kϵZ, kaldet de grundlæggende trigonometriske identiteter. Det bemærkes, at disse identiteter ofte bruges til at løse problemer, hvor det er nødvendigt at bevise lighed eller forenkle et udtryk.

Nedenfor ser vi på eksempler på anvendelsen af ​​disse identiteter til at løse problemer. For det første foreslås det at overveje at løse problemer med at forenkle udtryk. I eksempel 1 er det nødvendigt at forenkle udtrykket cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. For at løse eksemplet skal du først tage den fælles faktor cos 2 t ud af parentes. Som et resultat af denne transformation i parentes opnås udtrykket 1- cos 2 t, hvis værdi fra trigonometriens hovedidentitet er lig med sin 2 t. Efter transformation af udtrykket er det åbenlyst, at en mere almindelig faktor sin 2 t kan tages ud af parentes, hvorefter udtrykket har formen sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Ud fra den samme grundidentitet udleder vi værdien af ​​udtrykket i parentes lig med 1. Som resultat af simplificering får vi cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

I eksempel 2 skal udtrykket cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) forenkles. Da tællere for begge brøker indeholder udtrykket omkostning, kan det tages ud af parentes som en fælles faktor. Derefter reduceres brøkerne i parentes til en fællesnævner ved at gange (1- sint)(1+ sint). Efter at have bragt lignende udtryk, forbliver tælleren 2, og nævneren 1 - sin 2 t. På højre side af skærmen genkaldes den grundlæggende trigonometriske identitet sin 2 t+cos 2 t=1. Ved hjælp af den finder vi nævneren for brøken cos 2 t. Efter at have reduceret fraktionen får vi en forenklet form af udtrykket cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint)=2/cost.

Dernæst ser vi på eksempler på identitetsbeviser, der bruger den opnåede viden om trigonometriens grundlæggende identiteter. I eksempel 3 er det nødvendigt at bevise identiteten (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Den højre side af skærmen viser tre identiteter, der skal bruges til beviset - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t og tg t=sin t/cost t med restriktioner. For at bevise identiteten åbnes først parenteserne, hvorefter der dannes et produkt, der afspejler udtrykket af den trigonometriske hovedidentitet tg t·ctg t=1. Derefter, ifølge identiteten fra definitionen af ​​cotangens, transformeres ctg 2 t. Som et resultat af transformationerne opnås udtrykket 1-cos 2 t. Ved hjælp af hovedidentiteten finder vi meningen med udtrykket. Det er således bevist, at (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

I eksempel 4 skal du finde værdien af ​​udtrykket tg 2 t+ctg 2 t hvis tg t+ctg t=6. For at beregne udtrykket skal du først kvadrere højre og venstre side af ligheden (tg t+ctg t) 2 =6 2. Den forkortede multiplikationsformel genkaldes i højre side af skærmen. Efter at have åbnet parenteserne i venstre side af udtrykket, dannes summen tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, for at transformere som man kan anvende en af ​​de trigonometriske identiteter tg t·ctg t=1 , hvis form genkaldes i højre side af skærmen. Efter transformationen opnås ligheden tg 2 t+ctg 2 t=34. Venstre side af ligheden falder sammen med problemets tilstand, så svaret er 34. Problemet er løst.

Video lektionen "Forenkling af trigonometriske udtryk" anbefales til brug i en traditionel skolematematiktime. Materialet vil også være nyttigt for lærere, der tilbyder fjernundervisning. For at udvikle færdigheder i at løse trigonometriske problemer.

TEKSTAFKODNING:

"Forenkling af trigonometriske udtryk."

Ligestillinger

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kvadrat te plus cosinus kvadrat te er lig med én)

2)tgt =, for t ≠ + πk, kϵZ (tangens te er lig med forholdet mellem sinus te og cosinus te med te ikke lig med pi med to plus pi ka, ka hører til zet)

3)ctgt = , for t ≠ πk, kϵZ (cotangens te er lig med forholdet mellem cosinus te og sinus te med te ikke lig med pi ka, ka hører til zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 for t ≠ , kϵZ (produktet af tangent te ved cotangens te er lig med én, når te ikke er lig med top ka, divideret med to, ka hører til zet)

kaldes grundlæggende trigonometriske identiteter.

De bruges ofte til at forenkle og bevise trigonometriske udtryk.

Lad os se på eksempler på brug af disse formler til at forenkle trigonometriske udtryk.

EKSEMPEL 1. Forenkle udtrykket: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (udtryk en cosinus kvadreret te minus cosinus af fjerde grad te plus sinus af fjerde grad te).

Løsning. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(vi udtager den fælles faktor cosinus kvadrat te, i parentes får vi forskellen mellem enhed og kvadratisk cosinus te, som er lig med kvadratet sinus te ved den første identitet. Vi får summen af ​​fjerde potens sinus te af produkt cosinus kvadrat te og sinus kvadrat te Vi tager den fælles faktor sinus kvadrat te uden for parenteserne, i parentes får vi summen af ​​kvadraterne af cosinus og sinus, som ifølge den trigonometriske grundidentitet er lig med en. Som et resultat får vi kvadratet af sinus te).

EKSEMPEL 2. Forenkle udtrykket: + .

(udtrykket be er summen af ​​to brøker i tælleren af ​​den første cosinus te i nævneren en minus sinus te, i tælleren af ​​den anden cosinus te i nævneren af ​​den anden plus sinus te).

(Lad os tage den fælles faktor cosinus te ud af parenteser, og i parentes bringer vi den til en fællesnævner, som er produktet af én minus sinus te gange én plus sinus te.

I tælleren får vi: en plus sinus te plus en minus sinus te, vi giver ens, tælleren er lig med to efter at have bragt ens.

I nævneren kan du anvende den forkortede multiplikationsformel (forskel af kvadrater) og opnå forskellen mellem enhed og kvadratet af sinus teen, som ifølge den grundlæggende trigonometriske identitet

lig med kvadratet af cosinus te. Efter at have reduceret med cosinus te får vi det endelige svar: to divideret med cosinus te).

Lad os se på eksempler på brug af disse formler, når vi beviser trigonometriske udtryk.

EKSEMPEL 3. Bevis identiteten (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (produktet af forskellen mellem kvadraterne af tangent te og sinus te med kvadratet af cotangens te er lig med kvadratet af sine te).

Bevis.

Lad os transformere venstre side af ligestillingen:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = synd 2 t

(Lad os åbne parenteserne; fra det tidligere opnåede forhold vides det, at produktet af kvadraterne af tangent te ved cotangens te er lig med en. Lad os huske, at cotangens te er lig med forholdet mellem cosinus te og sinus te, hvilket betyder, at kvadratet af cotangens er forholdet mellem kvadratet af cosinus te og kvadratet af sinus te.

Efter reduktion med sinus kvadrat te opnår vi forskellen mellem enhed og cosinus kvadrat te, som er lig med sinus kvadrat te). Q.E.D.

EKSEMPEL 4. Find værdien af ​​udtrykket tg 2 t + ctg 2 t hvis tgt + ctgt = 6.

(summen af ​​kvadraterne af tangent te og cotangens te, hvis summen af ​​tangent og cotangens er seks).

Løsning. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Lad os kvadrere begge sider af den oprindelige lighed:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kvadraten af ​​summen af ​​tangent te og cotangens te er lig med seks i anden). Lad os huske formlen for forkortet multiplikation: Kvadratet af summen af ​​to størrelser er lig med kvadratet af den første plus to gange produktet af den første med den anden plus kvadratet af den anden. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Vi får tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tangens kvadreret te plus det dobbelte af produktet af tangent te ved cotangens te plus cotangens kvadreret te er lig med seksogtredive) .

Da produktet af tangent te og cotangens te er lig med en, så er tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (summen af ​​kvadraterne af tangent te og cotangens te og to er lig med seksogtredive),