Retning cosinus. Formel til beregning af retningscosinus for en vektor for rumlige problemer Find længden og retningscosinuserne for en vektor

Lad vektoren ( x , på , z ).

Lad os betegne denne vektors hældningsvinkler til akserne Åh, åh Og Oz breve i overensstemmelse hermed ,Og. Tre numre cos, cos Og cos normalt kaldet retningscosinus af vektoren. Troende = (1; 0; 0 ) vi får fra (9)

Ligeledes

Fra formlerne (11) - (13) følger:

1) cos 2 +cos 2 +cos 2 = 1 ,

de der. summen af ​​kvadraterne af retningscosinuserne for enhver vektor, der ikke er nul, er lig med én;

de der.retningscosinuserne for denne vektor er proportionale med dens tilsvarende projektioner.

Bemærk. Fra formlerne (11)-(13) er det klart, at projektionerne af enhver enhedsvektor på koordinatakserne henholdsvis falder sammen med dens retningscosinus og derfor,

Eksempel. Find retningscosinus af en vektor (1; 2; 2). Ifølge formlerne (11)-(13) har vi

4. Vektorprodukt af to vektorer og dets hovedegenskaber.

Definition. Krydsproduktet af to vektorerOg en ny vektor kaldes, hvis modul er lig med arealet af parallelogrammet konstrueret på vektorer og reduceret til en fælles oprindelse, og som er vinkelret på de vektorer, der multipliceres (med andre ord vinkelret på planet af parallelogram konstrueret på dem) og rettet i en sådan retning, at den korteste rotation omkring den resulterende vektor ser ud til at ske mod uret, når den ses fra enden af ​​vektoren (fig. 40).

Hvis vektorerne er kollineære, anses deres vektorprodukt for at være lig med nulvektoren. Af denne definition følger det

|| = || || synd

hvor er vinklen mellem vektorerne ( 0 ). Krydsproduktet af vektorer og er angivet med symbolet

x eller eller [,].

Lad os finde ud af den fysiske betydning af vektorproduktet. Hvis en vektor repræsenterer anvendt på et tidspunkt Frk silt, og vektoren kommer fra et bestemt punkt OM Nemlig M, derefter vektoren = repræsenterer kraftmomentet omkring et punkt OM.

Egenskaber ved et krydsprodukt

1 . Ved omarrangering af faktorerne skifter vektorproduktet fortegn, dvs.

x = -(x).

()x=x()=(x), hvor er en skalar.

3. Vektorproduktet overholder distributionsloven, dvs.

4. Hvis vektorproduktet af to vektorer er lig med nulvektoren, så er enten mindst én af de multiplicerede vektorer lig med nulvektoren (trivielt tilfælde), eller sinusen af ​​vinklen mellem dem er lig nul, dvs. vektorerne er kollineære.

Tilbage, hvis to ikke-nul-vektorer er kollineære, så er deres krydsprodukt lig med nul-vektoren.

Dermed , For at to ikke-nul vektorer kan være kollineære, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at deres vektorprodukt er lig med nulvektoren.

Herfra følger det især, at vektorproduktet af en vektor med sig selv er lig med nulvektoren:

x =0

(X også kaldet vektor kvadratisk vektor .

5. Blandet produkt af tre vektorer og dets hovedegenskaber.

Lad tre vektorer, og, være givet. Lad os forestille os, at en vektor multipliceres vektorielt med en vektor, og den resulterende vektor multipliceres skalært med en vektor, hvorved tallet (x) bestemmes. Det hedder eller blandet arbejde tre vektorer, og.

For kortheds skyld vil vi betegne det blandede produkt (x) eller ().

Lad os finde ud af den geometriske betydning af det blandede produkt. Lad de betragtede vektorer være ikke-koplanære. Lad os bygge et parallelepipedum på vektorer og på kanter.

Krydsproduktet x er en vektor (=) numerisk lig med arealet af parallelogrammet OADB (bunden af ​​det konstruerede parallelepipedum), bygget på en vectorachia rettet vinkelret på parallelogrammets plan (fig. 41).

Det skalære produkt (x) = er produktet af vektorens modul og projektionen af ​​vektoren (se afsnit 1, (2)).

Højden af ​​det konstruerede parallelepipedum er den absolutte værdi af denne projektion.

Derfor er produktet | |i absolut værdi er det lig med produktet af arealet af bunden af ​​parallelepipedet og dets højde, dvs. volumenet af et parallelepipedum bygget på vektorer, og.

Det er vigtigt at bemærke, at skalarproduktet giver volumenet af parallelepipedet, nogle gange med et positivt og nogle gange med et negativt fortegn. Et positivt fortegn opnås, hvis vinklen mellem vektorerne er spids; negativ - hvis dum. Med en spids vinkel mellem og vektoren er placeret på samme side af planet OADB , som er en vektor og derfor fra enden af ​​vektoren vil rotationen fra den være synlig på samme måde som fra enden af ​​vektoren, dvs. i positiv retning (mod uret).

I en stump vinkel mellem vektoren er placeret på den anden side af planet OADB end vektoren, og derfor vil rotationen fra fra enden af ​​vektoren ses i negativ retning (med uret). Med andre ord er produktet positivt, hvis vektorerne og danner et system af samme navn med hoved Oxyz (indbyrdes placeret på samme måde som akserne Ox, Oy, Oz), og det er negativt, hvis vektorerne danner et system af samme navn som den vigtigste.

Dermed, det blandede produkt er et tal,hvis absolutte værdi udtrykker volumenet af parallelepipedet,bygget på vektorer,som på ribbenene.

Produktets fortegn er positivt, hvis vektorerne danner et system af samme navn som det primære, og negativt ellers.

Det følger heraf, at den absolutte værdi af produktet =(x) vil forblive den samme, uanset i hvilken rækkefølge vi tager faktorerne. Hvad tegnet angår, vil det være positivt i nogle tilfælde, negativt i andre; det afhænger af, om vores tre vektorer, taget i en bestemt rækkefølge, danner et system af samme navn som den vigtigste eller ej. Bemærk, at vores koordinatakser er placeret, så de følger hinanden mod uret, når man ser på indersiden (fig. 42). Rækkefølgen bliver ikke overtrådt, hvis vi starter gennemkørslen fra anden eller tredje akse, så længe det sker i samme retning, dvs. mod uret. I dette tilfælde omarrangeres faktorerne på en cirkulær måde (cyklisk). Således opnår vi følgende egenskab:

Et blandet produkt ændrer sig ikke ved cirkulær (cyklisk) omlægning af dets faktorer. Omarrangering af to tilstødende faktorer ændrer produktets tegn

= ==-()=-()=-().

Endelig følger følgende udsagn direkte af den geometriske betydning af et blandet produkt.

En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for vektorers koplanaritet,,er ligheden af ​​deres blandede produkt til nul:

Def. 1.5.6. Retning cosinus vektor EN lad os kalde cosinus af vinklerne, som denne vektor danner med basisvektorerne, hhv. jeg , j , k .

Retningscosinus af en vektor EN = (x, på, z) findes ved formlerne:

Summen af ​​kvadraterne af retningscosinuserne er lig med en:

Retningscosinus af en vektor -en er koordinaterne for dens enhedsvektor: .

Lad basisvektorerne jeg , j , k udsat fra et fælles punkt OM. Vi vil antage, at orterne angiver de positive retninger af akserne Åh, OU, Oz. Punktsæt OM (oprindelse) og ortonormal basis jeg , j , k hedder Kartesisk rektangulært koordinatsystem i rummet. Lade EN– et vilkårligt punkt i rummet. Vektor EN = OA= x jeg + y j + z k hedder radius vektor point EN, koordinater af denne vektor ( x, y, z) kaldes også punktkoordinater EN(betegnelse: EN(x, y, z)). Koordinatakser Åh, OU, Oz også kaldet henholdsvis aksen abscisse, akse ordinere, akse ansøge.

Hvis en vektor er givet ved koordinaterne for dens startpunkt I 1 (x 1 , y 1 , z 1) og slutpunkt I 2 (x 2 , y 2 , z 2), så er vektorens koordinater lig med forskellen mellem koordinaterne for slutningen og begyndelsen: (da ).

Kartesiske rektangulære koordinatsystemer på planet og på linjen bestemmes på nøjagtig samme måde med tilsvarende kvantitative (i overensstemmelse med dimensionen) ændringer.

Løsning af typiske problemer.

Eksempel 1. Find længden og retningens cosinus af en vektor EN = 6jeg – 2j -3k .

Løsning. Vektorlængde: . Retning cosinus: .

Eksempel 2. Find vektorkoordinater EN , der danner lige store spidse vinkler med koordinatakserne, hvis længden af ​​denne vektor er lig med .

Løsning. Siden , og derefter substituere i formel (1.6), får vi . Vektor EN danner spidse vinkler med koordinatakserne, så ort . Derfor finder vi vektorens koordinater .

Eksempel 3. Tre ikke-koplanære vektorer er givet e 1 = 2jeg – k , e 2 = 3jeg + 3j , e 3 = 2jeg + 3k . Udvid vektor d = jeg + 5j - 2k på grundlag e 1 , e 2 , e 3 .

Ejendom:

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

b) definition af lineære operationer

summen af ​​to ikke-kollineære vektorer er vektoren, der kommer fra den fælles oprindelse af vektorer langs diagonalen af ​​et parallelogram konstrueret på disse vektorer

Vektorforskellen er summen af ​​en vektor og en vektor modsat vektoren: . Lad os forbinde begyndelsen af ​​vektorerne og , så er vektoren rettet fra enden af ​​vektoren til enden af ​​vektoren.

Arbejdet en vektor ved et tal kaldes en vektor med modul , og ved og ved . Geometrisk betyder multiplikation med et tal at "strække" vektoren med en faktor, fastholde retningen ved og ændre til det modsatte ved .

Fra ovenstående regler for at tilføje vektorer og gange dem med et tal, følger indlysende udsagn:

1. (addition er kommutativ);

2. (tilføjelse er associativ);

3. (eksistensen af ​​en nulvektor);

4. (eksistensen af ​​en modsat vektor);

5. (tilføjelse er associativ);

6. (multiplikation med et tal er distributiv);

7. (vektoraddition er distributiv);

c) skalært produkt og dets grundlæggende egenskaber

Prik produkt to ikke-nul vektorer er et tal lig med produktet af længderne af disse vektorer og cosinus af vinklen mellem dem. Hvis mindst en af ​​de to vektorer er nul, så er vinklen mellem dem ikke defineret, og skalarproduktet betragtes som lig med nul. Det skalære produkt af vektorer og betegnes

, hvor og er længderne af henholdsvis vektorerne og , og er vinklen mellem vektorerne og .

Det skalære produkt af en vektor med sig selv kaldes et skalært kvadrat.

Egenskaber ved det skalære produkt.

For alle vektorer og følgende er sande: egenskaber ved prikproduktet:

den kommutative egenskab af et skalært produkt;

fordelingsejendom eller ;

associativ ejendom eller , hvor er et vilkårligt reelt tal;

den skalære kvadrat af en vektor er altid ikke-negativ, hvis og kun hvis vektoren er nul.

D) vektorprodukt og dets egenskaber

vektor produkt vektor a til vektor b kaldes en vektor c, hvis længde er numerisk lig med arealet af parallelogrammet konstrueret på vektorerne a og b, vinkelret på disse vektorers plan og rettet således, at den mindste rotation fra a til b omkring vektor c er mod uret set fra endevektoren c

Formler til beregning af vektorproduktet af vektorer

Vektor kunstværk to vektorer a = (a x; a y; a z) og b = (b x; b y; b z) i det kartesiske koordinatsystem er en vektor, hvis værdi kan beregnes ved hjælp af følgende formler:

• Krydsproduktet af to ikke-nul vektorer a og b er lig med nul, hvis og kun hvis vektorerne er kollineære.
• Vektor c, lig med krydsproduktet af ikke-nul vektorer a og b, er vinkelret på disse vektorer.
• a × b = -b × a
• (ka) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (a + b) × c = a × c + b × c

Ligning af en ret linje på et plan

A) ligning af en ret linje med en vinkelkoefficient

Hældning af en lige linje kaldes tangens af hældningsvinklen for denne linje.

Hældningen af ​​en lige linje er normalt angivet med bogstavet k. Så per definition.

Hvis den rette linje er parallel med ordinataksen, så eksisterer hældningen ikke (i dette tilfælde siges det også, at hældningen går til uendelig).

En positiv hældning af en linje indikerer en stigning i dens graf for funktionen, en negativ hældning indikerer et fald. Ligningen for en ret linje med en vinkelkoefficient har formen y=kx+b, hvor k er linjens vinkelkoefficient, b er et reelt tal. Ved at bruge ligningen for en ret linje med en vinkelkoefficient kan du angive enhver ret linje, der ikke er parallel med Oy-aksen (for en ret linje parallel med ordinataksen er vinkelkoefficienten ikke defineret).

B) typer af lige linjeligninger

Ligningen hedder linjens generelle ligning på overfladen.

Enhver førstegradsligning med to variable x Og y venlig , Hvor EN, I Og MED– nogle reelle tal, og EN Og I ikke er lig med nul på samme tid, definerer en ret linje i et rektangulært koordinatsystem Oxy på planen, og hver linje på planet er givet ved en ligning af formen .

Linjeligning af formen , hvor -en Og b– nogle andre reelle tal end nul kaldes ligning af en ret linje i segmenter. Dette navn er ikke tilfældigt, da de absolutte værdier af tal EN Og b lig med længderne af de segmenter, som den rette linje skærer af på koordinatakserne Okse Og Åh henholdsvis (segmenter tælles fra oprindelsen).

Linjeligning af formen , hvor x Og y- variabler og k Og b– nogle reelle tal kaldes ligning af en ret linje med hældning (k- hældning)

Kanonisk ligning af en linje på et plan i et rektangulært kartesisk koordinatsystem Oxy ligner , hvor og er nogle reelle tal, og samtidig er de ikke lig med nul.

Det er klart, at den rette linje, der er defineret af linjens kanoniske ligning, passerer gennem punktet. Til gengæld repræsenterer tallene og i nævnerne af brøkerne koordinaterne for retningsvektoren for denne linje. Således den kanoniske ligning af linjen i et rektangulært koordinatsystem Oxy på planet svarer til en ret linje, der går gennem et punkt og har en retningsvektor.

Parametriske ligninger for en linje på en plan ligner , hvor og er nogle reelle tal, og samtidig ikke er lig med nul, og er en parameter, der tager nogen reelle værdier.

Parametriske linjeligninger etablerer et implicit forhold mellem abscisse og ordinater af punkter på en ret linje ved hjælp af en parameter (deraf navnet på denne type linjeligning).

Et par tal, der beregnes ud fra en linjes parametriske ligninger for en eller anden reel værdi af parameteren, repræsenterer koordinaterne for et bestemt punkt på linjen. For eksempel når vi har , det vil sige, at punktet med koordinaterne ligger på en lige linje.

Det skal bemærkes, at koefficienterne og for parameteren i de parametriske ligninger for en ret linje er koordinaterne for retningsvektoren for denne rette linje

Ligning for en linje, der går gennem to punkter

Lad to punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2) være givet i rummet, så er ligningen for linjen, der går gennem disse punkter:

Hvis nogen af ​​nævnerne er lig nul, skal den tilsvarende tæller være lig nul. På planet er ligningen for linjen skrevet ovenfor forenklet:

hvis x 1 ≠ x 2 og x = x 1, hvis x 1 = x 2.

Brøken = k kaldes hældning lige.

C) beregning af vinklen mellem to rette linjer

hvis to linjer er givet y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, så vil den spidse vinkel mellem disse linjer blive defineret som

.

To linjer er parallelle, hvis k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette, hvis k 1 = -1/ k 2.

Sætning. Linjerne Ax + Bу + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 er parallelle, når koefficienterne A 1 = λA, B 1 = λB er proportionale. Hvis også C 1 = λC, så falder linjerne sammen. Koordinaterne for skæringspunktet for to linjer findes som en løsning på disse linjers ligningssystem.

D) betingelser for parallelitet og vinkelrethed af to rette linjer

Betingelser for parallelitet af to linjer:

a) Hvis linjerne er givet ved ligninger med en vinkelkoefficient, så er den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for deres parallelitet ligheden mellem deres vinkelkoefficienter:

k 1 = k 2 .

b) For det tilfælde, hvor linjerne er givet ved ligninger i generel form (6), er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for deres parallelitet, at koefficienterne for de tilsvarende aktuelle koordinater i deres ligninger er proportionale, dvs.

Betingelser for vinkelrethed af to rette linjer:

a) I det tilfælde, hvor linjerne er givet ved ligning (4) med en vinkelkoefficient, er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for deres vinkelrethed, at deres vinkelkoefficienter er omvendt i størrelse og modsat fortegn, dvs.

Denne betingelse kan også skrives i skemaet

k 1 k 2 = -1.

b) Hvis linjeligningerne er givet i generel form (6), så er betingelsen for deres vinkelrethed (nødvendig og tilstrækkelig) at opfylde ligheden

EN 1 EN 2 + B 1 B 2 = 0.

Funktionsgrænse

A) rækkefølgegrænse

Begrebet en grænse blev brugt af Newton i anden halvdel af det 17. århundrede og af matematikere fra det 18. århundrede som Euler og Lagrange, men de forstod grænsen intuitivt. De første strenge definitioner af sekvensgrænsen blev givet af Bolzano i 1816 og Cauchy i 1821.

Nummeret ringes op grænse for nummerrækken, hvis sekvensen er infinitesimal, dvs. alle dens elementer, startende fra et bestemt, er mindre end ethvert forudbestemt positivt tal i absolut værdi.

Hvis en talrække har en grænse i form af et reelt tal, kaldes den konvergent til dette nummer. Ellers kaldes sekvensen divergerende . Hvis den desuden er ubegrænset, antages dens grænse at være lig med uendelig.

Desuden, hvis alle elementer i en ubegrænset sekvens, startende fra et bestemt tal, har et positivt fortegn, så siges grænsen for en sådan sekvens at være plus uendelighed .

Hvis elementerne i en ubegrænset sekvens, startende fra et bestemt tal, har et negativt fortegn, siger de, at grænsen for en sådan sekvens er lig med minus uendelighed .

B) grænse for funktionen

Funktionsgrænse (grænseværdi for funktion) på et givet punkt, begrænsende for definitionsdomænet for en funktion, er den værdi, som værdien af ​​den betragtede funktion tenderer til, da dens argument tenderer til et givet punkt.

Funktionsgrænse er en generalisering af begrebet en grænse for en sekvens: oprindeligt blev grænsen for en funktion i et punkt forstået som grænsen for en sekvens af elementer i domænet af værdier af en funktion sammensat af billeder af punkter af en sekvens af elementer i definitionsdomænet for en funktion, der konvergerer til et givet punkt (den grænse, hvor der betragtes); hvis en sådan grænse eksisterer, så siges funktionen at konvergere til den specificerede værdi; hvis en sådan grænse ikke eksisterer, så siges funktionen at divergere.

Funktionsgrænse- et af de grundlæggende begreber i matematisk analyse. Værdien kaldes begrænse (grænseværdi) af en funktion i et punkt, hvis for en sekvens af punkter, der konvergerer til, men ikke indeholder et af dens elementer (det vil sige i et punkteret kvarter), konvergerer sekvensen af ​​værdier for funktionen til .

Værdien kaldes begrænse (grænseværdi) fungerer ved det punkt, hvis der for et positivt tal taget på forhånd er et tilsvarende positivt tal, således at uligheden for alle argumenter, der opfylder betingelsen, er opfyldt.

C) to bemærkelsesværdige grænser

· Den første bemærkelsesværdige grænse:

Konsekvenser

·

·

·

· Den anden bemærkelsesværdige grænse:

Konsekvenser

1.

2.

3.

4.

5. Til ,

6.

D) uendeligt små og uendeligt store funktioner

Fungere y=f(x) hedder uendelig lille på x→a eller hvornår x→∞, hvis eller , dvs. en infinitesimal funktion er en funktion, hvis grænse i et givet punkt er nul.

hvis funktion y=f(x) repræsenteres med x→a som summen af ​​et konstant tal b og uendelig lille størrelse α(x): f (x)=b+ α(x) At .

Omvendt, hvis , så f (x)=b+α(x), Hvor økse)– uendelig kl x→a.

Konsekvens 1. Hvis og, så.

Konsekvens 2. Hvis c= const, så .

Hvis funktionen f(x) er uendelig stor kl x→a, derefter funktion 1 /f(x) er uendelig kl x→a.

Hvis funktionen f(x)- uendelig kl x→a(eller x→∞) og forsvinder da ikke y= 1/f(x) er en uendelig stor funktion. De enkleste egenskaber ved uendeligt små og uendeligt store funktioner kan skrives ved hjælp af følgende betingede relationer: EN≠ 0

D) offentliggørelse af usikkerheder. L'Hopitals regel

hovedtyper af usikkerheder: nul divideret med nul ( 0 til 0), uendeligt divideret med uendeligt, nul ganget med uendeligt, uendeligt minus uendeligt, en i uendelig potens, nul til nul, uendelig til nul.

L'Hopitals regel meget meget brugt til grænseberegninger når der er en usikkerhed på formen nul divideret med nul, uendeligt divideret med uendeligt.

Disse typer usikkerheder omfatter usikkerhederne nul gange uendelig og uendelig minus uendelig.

Hvis og hvis funktioner f(x) Og g(x) er differentiable i et område af punktet, så

I det tilfælde, hvor usikkerheden ikke forsvinder efter anvendelse af L'Hopitals regel, kan den anvendes igen.

Beregning af derivater

A) reglen for differentiering af en kompleks funktion

Lad det være kompleks funktion , hvor funktion er et mellemargument. Vi vil vise, hvordan man finder den afledede af en kompleks funktion, idet vi kender den afledede for funktionen (vi vil betegne den med) og den afledede for funktionen.

Sætning 1. Hvis en funktion har en afledt i et punkt x, og funktionen har en afledet i punktet (), derefter den komplekse funktion i punktet x har en afledt, og = .

Ellers er den afledede af en kompleks funktion lig med produktet af den afledede af den givne funktion med hensyn til mellemargumentet og afledten af ​​mellemargumentet.

B) differentiering af en funktion specificeret parametrisk

Lad funktionen være givet i parametrisk form, det vil sige på formen:

hvor funktionerne og er definerede og kontinuerte over et vist variationsinterval af parameteren. Lad os finde forskellene mellem højre og venstre side af hver af lighederne:

For at finde den anden afledede udfører vi følgende transformationer:

B) begrebet logaritmisk afledet af en funktion

Den logaritmiske afledte af en positiv funktion kaldes dens afledede. Siden , så ifølge reglen om differentiering af en kompleks funktion opnår vi følgende relation for den logaritmiske afledte:

.

Ved at bruge den logaritmiske afledede er det praktisk at beregne den almindelige afledede i tilfælde, hvor logaritmen forenkler funktionens form.

Essensen af ​​denne differentiering er som følger: først findes logaritmen af ​​en given funktion, og først derefter beregnes dens afledte. Lad en funktion gives. Lad os tage logaritmer af venstre og højre side af dette udtryk:

Og så, når man udtrykker den ønskede afledte, er resultatet:

D) afledet af den inverse funktion

Hvis y=f(x) og x=g(y) er et par indbyrdes inverse funktioner, og funktionen y=f(x) har en afledt f"(x), så er den afledede af den inverse funktion g"( x)=1/f" (x).

Afledte af gensidigt inverse funktioner er således gensidige størrelser. Formel for den afledede af den inverse funktion:

D) afledet af en implicit funktion

Hvis en funktion af en variabel er beskrevet af ligningen y=f(x), hvor variablen y er på venstre side, og højre side afhænger kun af argumentet x, så siger de, at funktionen er givet eksplicit. For eksempel er følgende funktioner specificeret eksplicit:

y= synd x,y=x 2+2x+5,y=lncos x.

I mange problemer kan funktionen dog specificeres implicit, dvs. som en ligning

F(x,y)=0.

at finde den afledede y′( x) en implicit specificeret funktion behøver ikke at blive konverteret til en eksplicit form. For at gøre dette ved at kende ligningen F(x,y)=0, gør blot følgende:

Først skal du differentiere begge sider af ligningen med hensyn til variablen x, forudsat at y− er en differentierbar funktion x og at bruge reglen til at beregne den afledede af en kompleks funktion. I dette tilfælde vil den afledte af nul (på højre side) også være lig med nul.
Kommentar: Hvis højre side er ikke-nul, dvs. den implicitte ligning er

f(x,y)=g(x,y),

så skelner vi mellem venstre og højre side af ligningen.

Løs den resulterende ligning for den afledede y′( x).

Begrebet afledt

A) definition af afledt

Afledt af en funktion differentiering integration.

y xx

Definition af afledt

Overvej funktionen f(x x 0. Derefter funktionen f(x) er differentierbar på punktet x 0, og hende afledte bestemmes af formlen

f′( x 0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.

Afledt af en funktion er et af matematikkens grundbegreber, og i matematisk analyse indtager den afledede sammen med integralet en central plads. Processen med at finde den afledede kaldes differentiering. Den inverse operation - gendannelse af en funktion fra en kendt afledet - kaldes integration.

Afledten af ​​en funktion på et bestemt punkt karakteriserer ændringshastigheden af ​​funktionen på det tidspunkt. Et skøn over ændringshastigheden kan opnås ved at beregne forholdet mellem ændringen i funktion Δ y til en tilsvarende ændring i argumentet Δ x. I definitionen af ​​derivatet betragtes et sådant forhold i grænsen under betingelsen Δ x→0. Lad os gå videre til en mere streng formulering:

Definition af afledt

Overvej funktionen f(x), hvis domæne indeholder et åbent interval omkring punktet x 0. Derefter funktionen f(x) er differentierbar på punktet x 0, og hende afledte bestemmes af formlen

f′( x 0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.

B) geometrisk betydning af den afledte

Den afledede af funktionen, beregnet for en given værdi, er lig med tangenten af ​​vinklen dannet af den positive retning af aksen og den positive retning af tangenten tegnet til grafen for denne funktion i punktet med abscissen:

Hvis en funktion har en endelig afledt i et punkt, kan den i naboskabet tilnærmes ved en lineær funktion

Funktionen kaldes tangent til i punktet Tal.

D) tabel over afledte af de enkleste elementære funktioner

Retningscosinus af en vektor.

Retningscosinus af vektor a er cosinus for de vinkler, som vektoren danner med de positive halvakser af koordinater.

For at finde retningscosinuserne for vektor a er det nødvendigt at dividere de tilsvarende koordinater for vektoren med vektorens absolutte værdi.

Ejendom: Summen af ​​kvadraterne af retningscosinuserne er lig med en.

Så i tilfælde af et flyproblem retningscosinus af vektoren a = (ax; ay) findes ved formlerne:

Et eksempel på beregning af retningscosinus for en vektor:

Find retningscosinuserne for vektoren a = (3; 4).

Løsning: |a| =

Så ind tilfælde af et rumligt problem retningscosinus af vektoren a = (ax; ay; az) findes ved formlerne:

Et eksempel på beregning af retningscosinus for en vektor

Find retningscosinuserne for vektoren a = (2; 4; 4).

Løsning: |a| =

Vektorens retning i rummet bestemmes af de vinkler, som vektoren danner med koordinatakserne (fig. 12). Disse vinklers cosinus kaldes retningscosinus af vektoren: , , . Fra egenskaberne af fremspring:, , . Derfor, Det er nemt at vise det 2) koordinaterne for enhver enhedsvektor falder sammen med dens retningscosinus: .

"Sådan finder du retningscosinus af en vektor"

Betegn med alfa, beta og gamma vinklerne dannet af vektor a med den positive retning af koordinatakserne (se fig. 1). Cosinuserne for disse vinkler kaldes retningscosinusene for vektoren a.

Da koordinaterne a i det kartesiske rektangulære koordinatsystem er lig med projektionerne af vektoren på koordinatakserne, så er a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (gamma). Derfor: cos (alfa)=a1||a|, cos(beta) =a2||a|, cos(gamma)= a3/|a|. I dette tilfælde |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Så cos (alpha)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Det skal bemærkes hovedegenskaben ved retningscosinus. Summen af ​​kvadraterne af retningens cosinus af en vektor er lig med én. Faktisk, cos^2(alfa)+cos^2(beta)+cos^2(gamma)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

Første vej

Eksempel: givet: vektor a=(1, 3, 5). Find dens retning cosinus. Løsning. I overensstemmelse med det, vi fandt, skriver vi ud: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5.91. Svaret kan således skrives i følgende form: (cos(alfa), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =(0,16;0,5;0,84).

Anden vej

Når du skal finde retningen cosinus af vektor a, kan du bruge teknikken til at bestemme cosinus af vinkler ved hjælp af skalarproduktet. I dette tilfælde mener vi vinklerne mellem a og retningsenhedsvektorerne for rektangulære kartesiske koordinater i, j og k. Deres koordinater er henholdsvis (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Det skal erindres, at skalarproduktet af vektorer er defineret som følger.

Hvis vinklen mellem vektorerne er φ, så er skalarproduktet af to vinde (per definition) et tal lig med produktet af modulerne af vektorerne og cosφ. (a, b) = |a||b|cos f. Så, hvis b=i, så er (a, i) = |a||i|cos(alfa), eller a1 = |a|cos(alfa). Yderligere udføres alle handlinger på samme måde som metode 1 under hensyntagen til koordinaterne j og k.

DEFINITION

Vektor kaldes et ordnet par af punkter og (det vil sige, at man ved præcist, hvilket af punkterne i dette par, der er det første).

Det første punkt kaldes begyndelsen af ​​vektoren, og den anden er hans slutningen.

Afstanden mellem begyndelsen og slutningen af ​​en vektor kaldes længde eller vektor modul.

En vektor, hvis begyndelse og slutning falder sammen, kaldes nul og er betegnet med ; dens længde anses for at være nul. Ellers, hvis længden af ​​vektoren er positiv, kaldes den ikke-nul.

Kommentar. Hvis længden af ​​en vektor er lig med én, så kaldes den ortom eller enhedsvektor og er udpeget.

EKSEMPEL

Dyrke motion	Tjek om en vektor er enkelt.
Løsning	Lad os beregne længden af ​​en given vektor, den er lig med kvadratroden af ​​summen af ​​kvadraterne af koordinaterne: Da vektorens længde er lig med én, betyder det, at vektoren er en ort.
Svar	Enhed vektor.

En vektor, der ikke er nul, kan også defineres som et rettet segment.

Kommentar. Retningen af ​​nulvektoren er ikke defineret.

Retningscosinus af en vektor

DEFINITION

Retning cosinus af en bestemt vektor kaldes cosinus for de vinkler, som vektoren danner med de positive retninger af koordinatakserne.

Kommentar. Retningen af ​​en vektor er entydigt bestemt af dens retningscosinus.

For at finde retningens cosinus af en vektor er det nødvendigt at normalisere vektoren (det vil sige dividere vektoren med dens længde):

Kommentar. Koordinaterne for en enhedsvektor er lig med dens retningscosinus.

SÆTNING

(Egenskab af retning cosinus). Summen af ​​kvadraterne af retningscosinuserne er lig med en: