Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mailadresse mv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig med unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, i retssager og/eller på grundlag af offentlige anmodninger eller anmodninger fra regeringsorganer i Den Russiske Føderation - om at videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

Lad os overveje algoritmen til løsning af problem nr. 3.

1. Fra et givet punkt P tegner du en vinkelret t på plan α (plan α er planet for figuren konstrueret i opgave nr. 1); (·)Grube; t ^ α (se eksempel 5.1).

2. Bestem skæringspunktet (punkt T) af vinkelret med planet α; t ∩ α = (·) T (se eksempel 5.2).

3. Bestem den aktuelle værdi │PT│ af afstanden fra punkt P til planet (se eksempel 5.3).

Lad os overveje mere detaljeret hvert punkt i ovenstående algoritme ved hjælp af følgende eksempler.

Eksempel 5.1. Fra punkt P tegnes en vinkelret t på planet α, defineret af tre punkter α (ABC), (fig. 5.1).

Fra sætningen om vinkelretheden af ​​en linje og et plan er det kendt, at hvis en linje t ^ α, så er dens vandrette projektion t 1 på diagrammet vinkelret på projektionen af ​​det vandrette plan af samme navn, dvs. t 1 ^ h 1, og dens frontale projektion t 2 er vinkelret på frontalprojektionen af ​​samme navn, så er der t 2 ^ f 2 . Derfor skal løsningen af ​​problemet begynde med at konstruere vandret og frontalt plan α, hvis de ikke er inkluderet i det givne plan. I dette tilfælde er det nødvendigt at huske, at konstruktionen af ​​enhver vandret skal begynde med en frontal projektion, da frontalprojektionen h 2 af den vandrette h altid er parallel med OX-aksen (h 2 ││OX). Og konstruktionen af ​​enhver frontal begynder med en vandret projektion f 1 af frontal f, som skal være parallel med OX-aksen (f 1 ││OX). Så i fig. 5.1, gennem punkt C trækkes den vandrette linie C-1 (C 2 -1 2; C 1 -1 1), og gennem punkt A trækkes frontlinjen A-2 (A 1 -2 1; A 2 -2 2). Frontprojektionen t 2 af den ønskede vinkelrette t passerer gennem punktet P 2 vinkelret på A 2 -2 2, og den vandrette projektion t 1 passerer gennem punktet P 1 vinkelret på C 1 - 1 1.

Eksempel 5.2. Bestem skæringspunktet for den vinkelrette t med planen α (det vil sige bestem bunden af ​​den vinkelrette).

Lad planen α være defineret af to skærende linjer α (h ∩ f). Den rette linje t er vinkelret på planet α, da t 1 ^ f 1, og

t 2 ^ f 2 . For at finde bunden af ​​en vinkelret er det nødvendigt at udføre følgende konstruktioner:

1. tÎb (b – hjælpeprojektionsplan). Hvis b er et vandret projicerende plan, falder dets degenererede horisontale projektion (vandret spor b 1) sammen med den vandrette projektion t 1 af den rette linie t, det vil sige b 1 ≡ t 1. Hvis b er et frontalt fremspringende plan, så falder dets degenererede frontalprojektion (frontalspor b 2) sammen med frontprojektionen t 2 af den lige linje t, det vil sige b 2 ≡ t 2. I dette eksempel anvendes et frontprojektionsplan (se fig. 5.2).

2. α ∩ b = 1-2 – skæringslinje mellem to planer;

3. Bestem punktet T - bunden af ​​vinkelret; (·)T=t ∩ 1-2.

Eksempel 5.3. Bestem afstanden fra punkt P til planet.

Afstanden fra punkt P til planet bestemmes af længden af ​​det vinkelrette segment PT. Den rette linie PT indtager en generel position i rummet, derfor, for proceduren til bestemmelse af den naturlige værdi af et segment, se side 7, 8 (fig. 3.4 og 3.5).

Diagramløsning af problem nr. 3 ved at bestemme Afstanden fra Punkt P til en flad Figur, nemlig til Planet af en efter givne Forhold konstrueret Firkant*, er vist i Fig. 5.3. Det skal erindres, at projektionerne af punkt P skal konstrueres efter de givne koordinater (se versionen af ​​din opgave).

6. OPGAVEMULIGHEDER OG EKSEMPEL PÅ ARBEJDSYDELSE

Opgavernes betingelser og punkternes koordinater er angivet i tabel 6.1.

OPGAVEMULIGHEDER 148

Instruktioner

At finde afstanden fra point Før fly ved hjælp af beskrivende metoder: vælg til fly vilkårlig punkt; tegne to lige linjer gennem det (ligger i denne fly); genoprette vinkelret på fly passerer gennem dette punkt (konstruer en linje vinkelret på begge skærende linjer på samme tid); tegne en ret linje parallel med den konstruerede vinkelret gennem et givet punkt; find afstanden mellem skæringspunktet for denne linje med planet og det givne punkt.

Hvis stillingen point givet ved dens tredimensionelle koordinater og positionen fly– lineær ligning, så for at finde afstanden fra fly Før point, brug metoderne til analytisk geometri: angiv koordinaterne point gennem x, y, z, henholdsvis (x - abscisse, y - ordinat, z - applicate); betegne ligningerne med A, B, C, D fly(A - parameter ved abscisse, B - ved, C - ved ansøgning, D - frit led); beregn afstanden fra point Før fly ifølge formlen:s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |,hvor s er afstanden mellem punktet og planet,|| - absolut værdi (eller modul).

Eksempel Find afstanden mellem punkt A med koordinater (2, 3, -1) og planen givet ved ligningen: 7x-6y-6z+20=0 Løsning Af betingelserne følger at: x=2,y =3,z =-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20. Erstat disse værdier med ovenstående. Du får: s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2.Svar: Afstand fra point Før fly er lig med 2 (vilkårlige enheder).

Tip 2: Sådan bestemmer du afstanden fra et punkt til et fly

Bestemmelse af afstanden fra point Før fly- en af ​​skoleplanimetriens almindelige opgaver. Som bekendt den mindste afstand fra point Før fly der vil være en vinkelret tegnet fra dette point Til dette fly. Derfor tages længden af ​​denne vinkelret som afstanden fra point Før fly.

Du får brug for

• plan ligning

Instruktioner

Lad den første af parallellen f1 være givet ved ligningen y=kx+b1. Oversætter man udtrykket til generel form, får man kx-y+b1=0, det vil sige A=k, B=-1. Normalen til den vil være n=(k, -1).
Nu følger en vilkårlig abscisse af punktet x1 på f1. Så er dens ordinat y1=kx1+b1.
Lad ligningen for den anden af ​​de parallelle linjer f2 have formen:
y=kx+b2 (1),
hvor k er det samme for begge linjer på grund af deres parallelitet.

Dernæst skal du oprette den kanoniske ligning af en linje vinkelret på både f2 og f1, der indeholder punktet M (x1, y1). I dette tilfælde antages det, at x0=x1, y0=y1, S=(k, -1). Som et resultat bør du opnå følgende lighed:
(x-xl)/k =(y-kxl-bl)/(-1) (2).

Efter at have løst ligningssystemet bestående af udtryk (1) og (2), finder du det andet punkt, der bestemmer den nødvendige afstand mellem de parallelle N(x2, y2). Selve den nødvendige afstand vil være lig med d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.

Eksempel. Lad ligningerne for givne parallelle linjer i planen f1 – y=2x +1 (1);
f2 – y=2x+5 (2). Tag et vilkårligt punkt x1=1 på f1. Så y1=3. Det første punkt vil således have koordinaterne M (1,3). Generel vinkelret ligning (3):
(x-1)/2 = -y+3 eller y=-(1/2)x+5/2.
Hvis du erstatter denne y-værdi i (1), får du:
-(1/2)x+5/2=2x+5, (5/2)x=-5/2, x2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2= 3.
Den anden base af vinkelret er i punktet med koordinaterne N (-1, 3). Afstanden mellem parallelle linjer vil være:
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4,47.

Kilder:

• Udvikling af atletik i Rusland

Toppunktet af enhver flad eller tredimensionel geometrisk figur er unikt bestemt af dens koordinater i rummet. På samme måde kan ethvert vilkårligt punkt i samme koordinatsystem bestemmes entydigt, og det gør det muligt at beregne afstanden mellem dette vilkårlige punkt og figurens toppunkt.

Du får brug for

• - papir;
• - pen eller blyant;
• - lommeregner.

Instruktioner

Reducer problemet til at finde længden af ​​et segment mellem to punkter, hvis koordinaterne for punktet angivet i opgaven og toppunkterne på den geometriske figur er kendt. Denne længde kan beregnes ved hjælp af Pythagoras sætning i forhold til projektionerne af et segment på koordinataksen - den vil være lig med kvadratroden af ​​summen af ​​kvadraterne af længderne af alle projektioner. Lad f.eks. punkt A(X1;Y1;Z1) og toppunkt C af enhver geometrisk figur med koordinater (X2;Y2;Z2) være givet i et tredimensionelt koordinatsystem. Så kan længderne af projektionerne af segmentet mellem dem på koordinatakserne være som X₁-X₂, Y₁-Y₂ og Z₁-Z₂, og længden af ​​segmentet som √((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂) )2+(Z1-Z2)2). For eksempel, hvis koordinaterne for punktet er A(5;9;1), og toppunkterne er C(7;8;10), så vil afstanden mellem dem være lig √((5-7)²+ (9-8)²+(1- 10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9,274.

Beregn først toppunktets koordinater, hvis de ikke er eksplicit præsenteret i problembetingelserne. Den specifikke metode afhænger af figurtypen og kendte yderligere parametre. For eksempel, hvis de tredimensionelle koordinater for tre toppunkter A(X1;Y1;Z1), B(X2;Y2;Z2) og C(X3;Y3;Z3) er kendte, så er koordinaterne for dets fjerde toppunkt (modsat til toppunkt B) vil være (X3+X2-X1; Y3+Y2-Y1; Z3+Z2-Z1). Efter at have bestemt koordinaterne for det manglende toppunkt, vil beregning af afstanden mellem det og et vilkårligt punkt igen blive reduceret til at bestemme længden af ​​segmentet mellem disse to punkter i et givet koordinatsystem - gør dette på samme måde som beskrevet i forrige trin. For eksempel, for toppunktet af parallelogrammet beskrevet i dette trin og punkt E med koordinater (X₄;Y₄;Z₄), kan formlen til beregning af afstanden fra det foregående trin være som følger: √((X₃+X₂-X₁- X4)2+(Y3+Y2-Y1-Y4)2+(Z3+Z2-Z1-Z4)2).

Til praktiske udregninger kan du for eksempel bruge den, der er indbygget i Googles søgemaskine. Så for at beregne værdien ved hjælp af formlen opnået i det foregående trin, for punkter med koordinaterne A(7;5;2), B(4;11;3), C(15;2;0), E(7; 9; 2), indtast følgende søgeforespørgsel: sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2). Søgemaskinen vil beregne og vise resultatet af beregningen (5.19615242).

Video om emnet

Genopretning vinkelret Til fly er et af de vigtige problemer inden for geometri; det ligger til grund for mange teoremer og beviser. At konstruere en linje vinkelret fly, skal du udføre flere trin i rækkefølge.

Du får brug for

• - givet fly;
• - det punkt, hvorfra du vil tegne en vinkelret;
• - kompas;
• - lineal;
• - blyant.

St. Petersburg State Marine Technical University

Institut for Computergrafik og Informationssupport

LEKTION 4

PRAKTISK OPGAVE nr. 4

Fly.

Bestemmelse af afstanden fra et punkt til et plan.

1. Bestemmelse af afstanden fra et punkt til det projekterende plan.

For at finde den faktiske afstand fra et punkt til et fly skal du:

· fra et punkt, sænk en vinkelret på et plan;

· find skæringspunktet for den tegnede vinkelret med planet;

· bestemme den faktiske størrelse af et segment, hvis begyndelse er det givne punkt, og enden er det fundne skæringspunkt.

Et fly kan optage plads generel Og privat position. Under privat henviser til den position, hvor flyet vinkelret til projektionsplanet - sådan et plan kaldes projektering. Hovedtræk ved den fremspringende position: et plan er vinkelret på projektionsplanet, hvis det passerer gennem den projekterende linje. I dette tilfælde er en af ​​flyets projektioner en lige linje - det kaldes efter flyet.

Hvis flyet projicerer, så er det nemt at bestemme den faktiske afstand fra punktet til flyet. Lad os vise dette ved at bruge eksemplet med at bestemme afstanden fra et punkt I til det frontalt fremspringende plan specificeret næste Q2 på overfladen P2(Fig. 1).

Fly Q er vinkelret på det frontale plan af projektioner, derfor vil enhver linje vinkelret på den være parallel med planet P2. Og så en ret vinkel på flyet P2 vil blive projiceret uden forvrængning, og det er muligt fra punktet AT 2 tegne vinkelret på sporet Q2 . Linjestykke VC er i en bestemt position, hvor frontprojektionen V2K2 lig med den sande værdi af den nødvendige afstand.

Fig.1. Bestemmelse af afstanden fra et punkt til det projekterende plan.

2. Bestemmelse af afstanden fra et punkt til et generelt plan.

Hvis flyet indtager en generel position, er det nødvendigt at overføre det til den fremspringende position. For at gøre dette tegnes en lige linje af en bestemt position i den (parallelt med et af projektionsplanerne), som kan overføres til den projekterende position ved hjælp af en tegningstransformation.

Lige linje parallelt med planet P1, kaldes det vandrette plan og betegnes med bogstavet h. Lige linje parallel med projektionernes frontale plan P2, kaldes flyets frontal og betegnes med bogstavet f.Linjer h Og f hedder flyets hovedlinjer. Løsningen på problemet er vist i følgende eksempel (fig. 2).

Oprindelig tilstand: trekant ABC definerer planet. M- et punkt uden for flyet. Et givet plan indtager en generel position. Udfør følgende trin for at flytte den til den fremspringende position. Aktiver tilstand ELLER TIL (ORTHO), brug kommando Linjestykke (Linje) – Tegn en vandret linje, der skærer trekantens frontale projektion А2В2С2 på to punkter. Projektionen af ​​den vandrette linje, der går gennem disse punkter, er angivet h2 . Dernæst konstrueres en vandret projektion h1 .

Hovedlinje h kan omdannes til en fremspringende position, hvor det givne plan også bliver fremspringende. For at gøre dette er det nødvendigt at rotere de vandrette projektioner af alle punkter (hjælpefirkant ABCM) til en ny position, hvor linjen h1 vil indtage en lodret position vinkelret på aksen x. Det er praktisk at udføre disse konstruktioner ved hjælp af plan-parallel overførsel (en kopi af projektionen placeres på et ledigt rum på skærmen).

Som et resultat vil den nye frontale projektion af flyet ligne en lige linje (planspor) A2*B2*. Nu fra punktet M2* du kan tegne en vinkelret på sporet af flyet. Ny frontal projektion M2*K2* = MK de der. er den nødvendige afstand fra punktet M til et givet fly ABC.

Dernæst er det nødvendigt at konstruere afstandsprojektioner i den oprindelige tilstand. For at gøre dette fra punktet M1 tegne et stykke vinkelret på linjen h1 , og på det bør udsættes fra punktet M1 et segment af samme størrelse M1*K1*. At konstruere en frontal projektion af et punkt K2 fra punkt K1 en lodret kommunikationslinje tegnes, og fra punktet K2* vandret. Resultatet af konstruktionerne er vist i fig. 2.

OPGAVE nr. 4. Find den sande afstand fra et punkt M til det plan, der er defineret af trekanten ABC. Angiv svaret i mm. (Tabel 1)

tabel 1

Mulighed	Punkt A			Punkt B
Mulighed	Punkt C			Punkt M

Kontrol og beståelse udført OPGAVE nr. 4.

Bestemmelse af afstanden mellem: 1 - punkt og plan; 2 - lige og fladt; 3 - fly; 4 - krydsende rette linjer betragtes sammen, da løsningsalgoritmen for alle disse problemer i det væsentlige er den samme og består af geometriske konstruktioner, der skal udføres for at bestemme afstanden mellem et givet punkt A og plan α. Hvis der er nogen forskel, består den kun i, at i tilfælde 2 og 3, før du begynder at løse problemet, skal du markere et vilkårligt punkt A på den rette linie m (tilfælde 2) eller plan β (tilfælde 3). afstande mellem krydsende linjer, omslutter vi dem først i parallelle planer α og β og bestemmer derefter afstanden mellem disse planer.

Lad os overveje hvert af de nævnte tilfælde af problemløsning.

1. Bestemmelse af afstanden mellem et punkt og et plan.

Afstanden fra et punkt til et plan bestemmes af længden af ​​et vinkelret segment tegnet fra et punkt til planet.

Derfor består løsningen på dette problem i sekventielt at udføre følgende grafiske operationer:

1) fra punkt A sænker vi vinkelret på planet α (fig. 269);

2) find skæringspunktet M af denne perpendikulær med planen M = a ∩ α;

3) bestemme længden af ​​segmentet.

Hvis planet α er i generel position, så for at sænke en vinkelret på dette plan, er det nødvendigt først at bestemme retningen af ​​de vandrette og frontale projektioner af dette plan. At finde mødepunktet for denne vinkelrette med planet kræver også yderligere geometriske konstruktioner.

Løsningen på problemet forenkles, hvis planet α indtager en bestemt position i forhold til projektionsplanerne. I dette tilfælde udføres både projektionen af ​​vinkelret og fundet af punktet for dets møde med flyet uden yderligere hjælpekonstruktioner.

EKSEMPEL 1. Bestem afstanden fra punkt A til det frontalt fremspringende plan α (fig. 270).

LØSNING. Gennem A" tegner vi den vandrette projektion af den vinkelrette l" ⊥ h 0α, og gennem A" - dens frontale projektion l" ⊥ f 0α. Vi markerer punktet M" = l" ∩ f 0α . Siden AM || π 2, derefter [A" M"] == |AM| = d.

Fra det betragtede eksempel er det klart, hvor enkelt problemet løses, når flyet indtager en fremspringende position. Derfor, hvis et generelt positionsplan er specificeret i kildedataene, så før du fortsætter med løsningen, skal planet flyttes til en position vinkelret på ethvert projektionsplan.

EKSEMPEL 2. Bestem afstanden fra punkt K til planet specificeret af ΔАВС (fig. 271).

1. Vi overfører flyet ΔАВС til den projekterende position *. For at gøre dette bevæger vi os fra systemet xπ 2 /π 1 til x 1 π 3 /π 1: retningen af ​​den nye x 1-akse er valgt vinkelret på den vandrette projektion af trekantens vandrette plan.

2. Projicér ΔABC på et nyt plan π 3 (ΔABC-planet projiceres på π 3, i [ C " 1 B " 1 ]).

3. Projicér punktet K på samme plan (K" → K" 1).

4. Gennem punktet K" 1 trækker vi (K" 1 M" 1)⊥ segmentet [C" 1 B" 1]. Den nødvendige afstand d = |K" 1 M" 1 |

Løsningen på problemet forenkles, hvis planet er defineret af spor, da der ikke er behov for at tegne projektioner af niveaulinjer.

EKSEMPEL 3. Bestem afstanden fra punkt K til planet α, angivet af sporene (fig. 272).

* Den mest rationelle måde at overføre trekantplanet til den projicerende position er at erstatte projektionsplanerne, da det i dette tilfælde er nok kun at konstruere en hjælpeprojektion.

LØSNING. Vi erstatter planet π 1 med planet π 3, til dette tegner vi en ny akse x 1 ⊥ f 0α. På h 0α markerer vi et vilkårligt punkt 1" og bestemmer dets nye vandrette projektion på planet π 3 (1" 1). Gennem punkterne X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) og 1" 1 tegner vi h 0α 1. Vi bestemmer den nye vandrette projektion af punktet K → K" 1. Fra punkt K" 1 sænker vi vinkelret til h 0α 1 og markerer punktet for dets skæringspunkt med h 0α 1 - M" 1. Længden af ​​segmentet K" 1 M" 1 vil angive den nødvendige afstand.

2. Bestemmelse af afstanden mellem en ret linje og et plan.

Afstanden mellem en linje og et plan bestemmes af længden af ​​et vinkelret segment, der falder fra et vilkårligt punkt på linjen til planet (se fig. 248).

Derfor er løsningen på problemet med at bestemme afstanden mellem den rette linje m og plan α ikke forskellig fra eksemplerne diskuteret i afsnit 1 til bestemmelse af afstanden mellem et punkt og et plan (se fig. 270 ... 272). Som et punkt kan du tage ethvert punkt, der hører til linje m.

3. Bestemmelse af afstanden mellem planer.

Afstanden mellem planerne bestemmes af størrelsen af ​​det vinkelrette segment faldet fra et punkt taget på et plan til et andet plan.

Af denne definition følger det, at algoritmen til løsning af problemet med at finde afstanden mellem planerne α og β adskiller sig fra en lignende algoritme til løsning af problemet med at bestemme afstanden mellem linie m og plan α kun ved, at linie m skal tilhøre plan α , dvs. for at bestemme afstanden mellem planerne α og β følger:

1) tag en ret linje m i α-planet;

2) vælg et vilkårligt punkt A på linie m;

3) fra punkt A, sænk vinkelret l til planet β;

4) bestemme punkt M - mødepunktet for vinkelret l med planet β;

5) bestemme størrelsen af ​​segmentet.

I praksis er det tilrådeligt at bruge en anden løsningsalgoritme, som vil adskille sig fra den, der kun er givet ved, at flyene skal overføres til projektionspositionen, før du fortsætter med det første trin.

At inkludere denne ekstra operation i algoritmen forenkler udførelsen af ​​alle andre punkter uden undtagelse, hvilket i sidste ende fører til en enklere løsning.

EKSEMPEL 1. Bestem afstanden mellem planerne α og β (fig. 273).

LØSNING. Vi bevæger os fra systemet xπ 2 /π 1 til x 1 π 1 /π 3. Med hensyn til det nye plan π 3 indtager planerne α og β en fremspringende position, derfor er afstanden mellem de nye frontale spor f 0α 1 og f 0β 1 den ønskede.

I ingeniørpraksis er det ofte nødvendigt at løse problemet med at konstruere et plan parallelt med et givet plan og fjernet fra det i en given afstand. Eksempel 2 nedenfor illustrerer løsningen på et sådant problem.

EKSEMPEL 2. Det er nødvendigt at konstruere projektioner af et plan β parallelt med et givet plan α (m || n), hvis det vides, at afstanden mellem dem er d (fig. 274).

1. Tegn vilkårlige vandrette linjer h (1, 3) og frontlinjer f (1,2) i α-planet.

2. Fra punkt 1 gendanner vi vinkelret l til planen α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. På vinkelret l markerer vi et vilkårligt punkt A.

4. Bestem længden af ​​segmentet - (positionen angiver på diagrammet den metrisk uforvrængede retning af den lige linje l).

5. Læg segmentet = d på den lige linje (1"A 0) fra punkt 1".

6. Marker på fremspringene l" og l" punkterne B" og B", svarende til punkt B 0.

7. Gennem punkt B trækker vi planet β (h 1 ∩ f 1). Til β || α, er det nødvendigt at overholde betingelsen h 1 || h og f 1 || f.

4. Bestemmelse af afstanden mellem skærende linjer.

Afstanden mellem skærende linjer bestemmes af længden af ​​vinkelret indeholdt mellem de parallelle planer, som de skærende linjer tilhører.

For at tegne indbyrdes parallelle planer α og β gennem skærende rette linjer m og f, er det tilstrækkeligt at trække gennem punkt A (A ∈ m) en ret linje p parallel med ret linje f, og gennem punkt B (B ∈ f) en ret linje k parallel med lige m . De skærende linjer m og p, f og k definerer de indbyrdes parallelle planer α og β (se fig. 248, e). Afstanden mellem planerne α og β er lig med den nødvendige afstand mellem de krydsende linjer m og f.

En anden måde kan foreslås til at bestemme afstanden mellem skærende linjer, som består i, at ved at bruge en metode til at transformere ortogonale projektioner, overføres en af ​​de skærende linjer til den fremspringende position. I dette tilfælde degenererer en projektion af linjen til et punkt. Afstanden mellem de nye projektioner af krydsende linjer (punkt A" 2 og segment C" 2 D" 2) er den nødvendige.

I fig. 275 viser en løsning på problemet med at bestemme afstanden mellem krydsende linjer a og b, givne segmenter [AB] og [CD]. Løsningen udføres i følgende rækkefølge:

1. Overfør en af ​​krydsningslinjerne (a) til en position parallelt med planet π 3; For at gøre dette skal du flytte fra systemet af projektionsplaner xπ 2 /π 1 til det nye x 1 π 1 /π 3, x 1-aksen er parallel med den vandrette projektion af den rette linje a. Bestem a" 1 [A" 1 B" 1 ] og b" 1.

2. Ved at erstatte planen π 1 med planen π 4 translaterer vi den rette linje

og til position a" 2, vinkelret på planet π 4 (den nye x 2-akse tegnes vinkelret på a" 1).

3. Konstruer en ny vandret projektion af lige linje b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. Afstanden fra punkt A" 2 til lige linje C" 2 D" 2 (segment (A" 2 M" 2 ] (er den påkrævede).

Det skal erindres, at overføringen af ​​en af ​​de krydsende linjer til den fremspringende position ikke er andet end overføringen af ​​parallelitetsplanerne, hvori linjerne a og b kan være indesluttet, også til den fremspringende position.

Faktisk sikrer vi ved at flytte linie a til en position vinkelret på planet π 4, at ethvert plan, der indeholder linie a, er vinkelret på planet π 4, inklusive planen α defineret af linjerne a og m (a ∩ m, m | | b ). Hvis vi nu tegner en linje n, parallel med a og skærende linje b, så får vi planen β, som er det andet parallelismeplan, som indeholder skæringslinjerne a og b. Siden β || α, derefter β ⊥ π 4 .