En storslået affære
En gang i et nytårs nyhedsbrev om, hvordan man laver toasts, nævnte jeg tilfældigt, at i slutningen af det tyvende århundrede skete der én stor begivenhed, som mange ikke lagde mærke til - den såkaldte Fermats sidste sætning blev endelig bevist. Hvad dette angår, fandt jeg blandt de breve, jeg modtog, to svar fra piger (en af dem, så vidt jeg husker, var niendeklasses Vika fra Zelenograd), som var overrasket over dette faktum.
Og jeg blev overrasket over, hvor meget pigerne var interesserede i problemerne i moderne matematik. Derfor tror jeg, at ikke kun piger, men også drenge i alle aldre - fra gymnasieelever til pensionister, også vil være interesserede i at lære historien om Den Store Sætning.
Beviset for Fermats sætning er en stor begivenhed. Og fordi Det er ikke sædvanligt at spøge med ordet "stor", men det forekommer mig, at enhver taler med respekt for sig selv (og vi er alle talere, når vi taler) simpelthen er forpligtet til at kende teoremets historie.
Hvis det sker, at du ikke elsker matematik så meget, som jeg elsker det, så skim nogle af detaljerne igennem. Da jeg indså, at ikke alle læsere af vores nyhedsbrev er interesserede i at vandre ind i den matematiske jungle, forsøgte jeg ikke at give nogen formler (bortset fra ligningen for Fermats sætning og et par hypoteser) og for at forenkle dækningen af nogle specifikke spørgsmål så meget som muligt.
Hvordan Fermat lavede rodet
Den franske advokat og deltids store matematiker fra det 17. århundrede Pierre Fermat (1601-1665) fremsatte et interessant udsagn fra området for talteori, som senere blev kendt som Fermats store (eller store) sætning. Dette er en af de mest berømte og fænomenale matematiske teoremer. Sandsynligvis ville begejstringen omkring det ikke have været så stærk, hvis i Diophantus af Alexandrias bog (III århundrede e.Kr.) "Aritmetik", som Fermat ofte studerede og lavede noter i dens brede marginer, og som hans søn Samuel venligt bevarede for eftertiden , omkring følgende optegnelse af den store matematiker blev ikke opdaget:
"Jeg har nogle meget opsigtsvækkende beviser, men det er for stort til at passe ind i margenen."
Det var denne optagelse, der var årsagen til det efterfølgende kolossale postyr omkring sætningen.
Så den berømte videnskabsmand erklærede, at han havde bevist sit teorem. Lad os spørge os selv: beviste han det virkelig eller løj han simpelthen? Eller er der andre versioner, der forklarer udseendet af den seddel i margenen, som ikke tillod mange matematikere fra efterfølgende generationer at sove roligt?
Historien om den store sætning er lige så fascinerende som et eventyr gennem tiden. I 1636 udtalte Fermat, at en ligning af formen x n + y n = z n har ingen løsninger i heltal med eksponent n>2. Dette er faktisk Fermats sidste sætning. I denne tilsyneladende enkle matematiske formel skjulte universet utrolig kompleksitet. Den skotskfødte amerikanske matematiker Eric Temple Bell foreslog endda i sin bog "The Final Problem" (1961), at menneskeheden måske vil ophøre med at eksistere, før den kan bevise Fermats sidste sætning.
Det er noget mærkeligt, at sætningen af en eller anden grund var forsinket i sit udseende, da situationen havde været under opsejling i lang tid, fordi dens særlige tilfælde med n = 2 - en anden berømt matematisk formel - Pythagoras sætning, opstod i 22 århundreder. tidligere. I modsætning til Fermats sætning har Pythagoras sætning et uendeligt antal heltalsløsninger, for eksempel følgende pythagoras trekanter: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15) ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …
Great Theorem Syndrome
Hvem har ikke prøvet at bevise Fermats teorem? Enhver nystartet studerende anså det for sin pligt at anvende den store sætning, men ingen var i stand til at bevise det. Først virkede det ikke i hundrede år. Så yderligere hundrede. Og videre. Et massesyndrom begyndte at udvikle sig blandt matematikere: "Hvordan kan det være? Fermat beviste det, men jeg kan ikke gøre det, eller hvad?" - og nogle af dem gik amok på dette grundlag i ordets fulde forstand.
Uanset hvor mange gange sætningen blev testet, viste det sig altid at være sandt. Jeg kendte en energisk programmør, der var besat af ideen om at modbevise den store sætning ved at forsøge at finde mindst én løsning (modeksempel) ved at optælle heltal ved hjælp af en højhastighedscomputer (på det tidspunkt mere almindeligt kaldet en mainframe). Han troede på succesen af hans virksomhed og elskede at sige: "Lidt mere - og en sensation vil bryde ud!" Jeg tror, at der forskellige steder på vores planet var et betydeligt antal af denne type modige søgende. Han fandt selvfølgelig ikke en eneste løsning. Og ingen computere, selv med fabelagtig hastighed, kunne nogensinde bekræfte sætningen, fordi alle variablerne i denne ligning (inklusive eksponenter) kan stige til det uendelige.
Sætningen kræver bevis
Matematikere ved, at hvis en sætning ikke er bevist, kan alt følge af den (både sandt og falsk), som det var tilfældet med nogle andre hypoteser. For eksempel foreslog Pierre Fermat i et af sine breve, at tal på formen 2 n +1 (de såkaldte Fermat-tal) nødvendigvis er simple (dvs. de har ikke heltalsdivisorer og er delelige uden en rest kun af sig selv og med én), hvis n er en potens af to (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 osv.). Denne hypotese om Fermat levede i mere end hundrede år - indtil Leonhard Euler i 1732 viste, at
2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641
Så, næsten 150 år senere (1880), faktoriserede Fortune Landry følgende Fermat-nummer:
2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721
Hvordan de var i stand til at finde divisorerne for disse store tal uden hjælp fra computere - kun Gud ved. Til gengæld antog Euler, at ligningen x 4 +y 4 +z 4 =u 4 ikke har nogen løsninger i heltal. Men cirka 250 år senere, i 1988, lykkedes det Nahum Elkis fra Harvard at opdage (ved hjælp af et computerprogram) at
2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4
Derfor krævede Fermats sidste sætning bevis, ellers var det bare en hypotese, og det kunne godt være, at et eller andet sted derude i de endeløse talfelter gik løsningen til ligningen for Den Store Sætning tabt.
Den mest virtuose og produktive matematiker i det 18. århundrede, Leonard Euler, hvis arkiv af optegnelser menneskeheden har ført igennem i næsten et århundrede, beviste Fermats teorem for magt 3 og 4 (eller rettere, han gentog de tabte beviser fra Pierre Fermat selv) ; hans tilhænger i talteori, Legendre (og også uafhængigt af ham Dirichlet) - til grad 5; Lam - for grad 7. Men generelt forblev teoremet ubevist.
Den 1. marts 1847 meddelte to fremragende matematikere - Gabriel Lamé og Augustin Cauchy - på et møde i Paris Academy of Sciences, at de var nået til slutningen af beviset for den store sætning og startede et kapløb, hvor de udgav deres beviser i dele. Duellen mellem dem blev dog afbrudt, fordi den samme fejl blev opdaget i deres beviser, hvilket blev påpeget af den tyske matematiker Ernst Kummer.
I begyndelsen af det 20. århundrede (1908) testamenterede en velhavende tysk iværksætter, filantrop og videnskabsmand Paul Wolfskehl 100.000 mark til den, der ville fremlægge et fuldstændigt bevis for Fermats sætning. Allerede i det første år efter offentliggørelsen af Wolfskehls testamente af Göttingen Academy of Sciences, blev det oversvømmet med tusindvis af beviser fra amatører af matematik, og denne strøm stoppede ikke i årtier, men de indeholdt alle, som du gættede, fejl . De siger, at akademiet udarbejdede skemaer med omtrent følgende indhold:
Kære __________________________!
I dit bevis for Fermats sætning på ____ side i ____ linje øverst
følgende fejl blev opdaget i formlen:__________________________:,
Som blev sendt til uheldige prisansøgere.
På det tidspunkt dukkede et semi-foragtende kælenavn op blandt matematikere - landmand. Dette var navnet givet til enhver selvsikker opkomling, der manglede viden, men som havde mere end nok ambitioner til hastigt at prøve sit bedste for at bevise den store sætning, og derefter, uden at lægge mærke til sine egne fejl, stolt slog sig selv på brystet, højlydt erklærende : "Jeg var den første til at bevise Fermats teorem!" Enhver landmand, selv om han var den ti tusinde, betragtede sig selv som den første - det var sjovt. Den store sætnings enkle udseende mindede farmisterne så meget om et let mål, at de slet ikke var flov over, at selv Euler og Gauss ikke kunne klare det.
(Fermatister eksisterer mærkeligt nok stadig i dag. Selvom en af dem ikke mente, at han havde bevist sætningen, som en klassisk fermatiker, gjorde han forsøg indtil for nylig - han nægtede at tro mig, da jeg fortalte ham, at Fermats sætning allerede var blevet bevist).
De mest magtfulde matematikere forsøgte måske også i ro på deres kontorer forsigtigt at nærme sig denne umulige vægtstang, men talte ikke højt om det for ikke at blive stemplet som landmænd og dermed ikke skade deres høje autoritet. .
På det tidspunkt var et bevis for sætningen for eksponenten n dukket op<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.
Mærkelig hypotese
Indtil midten af det tyvende århundrede var der ingen større fremskridt i historien om Den Store Sætning. Men snart skete en interessant begivenhed i det matematiske liv. I 1955 fremsatte den 28-årige japanske matematiker Yutaka Taniyama en udtalelse fra et helt andet matematikfelt, kaldet Taniyama-formodningen (også kendt som Taniyama-Shimura-Weil-formodningen), som i modsætning til Fermats forsinkede teorem var forude. af sin tid.
Taniyamas formodning siger: "hver elliptisk kurve svarer til en bestemt modulær form." Dette udsagn lød omtrent lige så absurd for datidens matematikere, som udsagnet lyder for os: "hvert træ svarer til et bestemt metal." Det er ikke svært at gætte, hvordan en normal person kan reagere på en sådan erklæring - han vil simpelthen ikke tage det alvorligt, hvilket er, hvad der skete: matematikere ignorerede enstemmigt hypotesen.
En lille afklaring. Elliptiske kurver, kendt i lang tid, har et todimensionelt udseende (placeret på et plan). Modulære funktioner, opdaget i det 19. århundrede, har en firedimensionel form, så vi kan ikke engang forestille os dem med vores tredimensionelle hjerner, men vi kan beskrive dem matematisk; derudover er modulære former fantastiske ved, at de har den størst mulige symmetri - de kan oversættes (forskydes) i enhver retning, spejles, fragmenter ombyttes, roteres på uendeligt mange måder - og alligevel ændres deres udseende ikke. Som du kan se, har elliptiske kurver og modulære former lidt til fælles. Taniyamas hypotese siger, at de beskrivende ligninger for to tilsvarende fuldstændig forskellige matematiske objekter kan udvides til den samme matematiske serie.
Taniyamas hypotese var for paradoksal: den kombinerede helt forskellige begreber – ret simple flade kurver og ufattelige firedimensionelle former. Dette er aldrig faldet nogen ind. Da Taniyama ved et internationalt matematisk symposium i Tokyo i september 1955 demonstrerede adskillige overensstemmelser mellem elliptiske kurver og modulære former, så alle dette som intet andet end morsomme tilfældigheder. Til Taniyamas beskedne spørgsmål: er det muligt at finde den tilsvarende modulære funktion for hver elliptisk kurve, gav den ærværdige franskmand Andre Weil, som på det tidspunkt var en af verdens bedste specialister i talteori, et fuldstændig diplomatisk svar, som de siger, hvis den nysgerrige Taniyama ikke forlader entusiasme, så vil han måske være heldig, og hans utrolige hypotese vil blive bekræftet, men det vil sandsynligvis ikke ske snart. Generelt, som mange andre fremragende opdagelser, forblev Taniyamas hypotese først ubemærket, fordi folk endnu ikke var modnet nok til at forstå det - næsten ingen forstod det. Kun Taniyamas kollega, Goro Shimura, der kender sin højtbegavede ven godt, følte intuitivt, at hans hypotese var korrekt.
Tre år senere (1958) begik Yutaka Taniyama selvmord (samurai-traditionerne er dog stærke i Japan). Fra et synspunkt om sund fornuft er dette en uforståelig handling, især i betragtning af, at han meget snart skulle giftes. Lederen af unge japanske matematikere begyndte sit selvmordsbrev sådan: "I går tænkte jeg ikke på selvmord. På det seneste har jeg ofte hørt fra andre, at jeg er træt mentalt og fysisk. Faktisk forstår jeg stadig ikke, hvorfor jeg" m gør dette...” og så videre på tre ark. Det er selvfølgelig en skam, at dette var skæbnen for en interessant person, men alle genier er lidt mærkelige - det er derfor, de er genier (af en eller anden grund kom Arthur Schopenhauers ord til at tænke på: "i det almindelige liv, et geni er lige så nyttigt som et teleskop i teatret"). Hypotesen er forældreløs. Ingen vidste, hvordan man kunne bevise det.
I omkring ti år huskede de næsten ikke Taniyamas hypotese. Men i begyndelsen af 70'erne blev det populært - det blev jævnligt testet af alle, der kunne forstå det - og det blev altid bekræftet (som faktisk Fermats teorem), men som før var der ingen, der kunne bevise det.
En overraskende sammenhæng mellem to hypoteser
Der gik omkring 15 år mere. I 1984 indtraf en nøglebegivenhed i matematikkens liv, som kombinerede den ekstravagante japanske hypotese med Fermats sidste sætning. Tyskeren Gerhard Frey fremsatte et interessant udsagn, der ligner sætningen: "Hvis Taniyamas hypotese bevises, så vil Fermats sidste sætning også blive bevist." Med andre ord er Fermats teorem en konsekvens af Taniyamas formodning. (Frey, ved hjælp af smarte matematiske transformationer, reducerede Fermats ligning til form af en elliptisk kurveligning (den samme som optræder i Taniyamas hypotese), underbyggede mere eller mindre hans antagelse, men kunne ikke bevise den). Og blot halvandet år senere (1986) beviste professor Kenneth Ribet ved California University Freys sætning tydeligt.
Hvad skete der nu? Nu viser det sig, at eftersom Fermats teorem allerede er en følge af Taniyamas formodning, skal man blot bevise sidstnævnte for at vinde laurbærrene for erobreren af den legendariske Fermats teorem. Men hypotesen viste sig at være svær. Derudover er matematikere gennem århundreder blevet allergiske over for Fermats teorem, og mange af dem besluttede, at det også ville være næsten umuligt at klare Taniyamas formodning.
Fermats hypotese død. Sætningens fødsel
Endnu 8 år er gået. En progressiv engelsk professor i matematik fra Princeton University (New Jersey, USA), Andrew Wiles, mente, at han havde fundet et bevis på Taniyama-formodningen. Hvis et geni ikke er skaldet, så er han som regel pjusket. Wiles er pjusket og ligner derfor et geni. At gå ind i historien var selvfølgelig fristende, og det ville jeg virkelig gerne, men Wiles, som en rigtig videnskabsmand, vildledte ikke sig selv, idet han indså, at tusindvis af landmænd før ham også så spøgelsesagtige beviser. Derfor, før han præsenterede sit bevis for verden, tjekkede han det omhyggeligt selv, men da han indså, at han kunne have en subjektiv bias, involverede han også andre i kontrollerne, for eksempel under dække af almindelige matematiske opgaver, smed han nogle gange forskellige fragmenter af hans bevis til smarte kandidatstuderende. Wiles indrømmede senere, at ingen undtagen hans kone vidste, at han arbejdede på et bevis på den store sætning.
Og efter mange prøvelser og smertefulde tanker tog Wiles endelig modet til sig, eller måske, som det forekom ham, arrogancen, og den 23. juni 1993 annoncerede han på en matematisk konference om talteori i Cambridge sin store bedrift.
Dette var selvfølgelig en sensation. Ingen forventede en sådan smidighed fra en lidet kendt matematiker. Pressen dukkede straks op. Alle var plaget af en brændende interesse. Slanke formler, som streger af et smukt maleri, dukkede op for de forsamledes nysgerrige øjne. Rigtige matematikere, de er sådan, ser på alle mulige ligninger og ser i dem ikke tal, konstanter og variable, men hører musik, som Mozart kigger på staven. Ligesom når vi læser en bog, ser vi på bogstaverne, men vi ser ikke ud til at lægge mærke til dem, men opfatter straks tekstens betydning.
Præsentationen af beviset så ud til at gå godt - der blev ikke fundet fejl i det - ingen hørte en eneste falsk tone (selvom de fleste matematikere simpelthen stirrede på det som førsteklasses elever på et integral og ikke forstod noget). Alle besluttede, at en storstilet begivenhed var sket: Taniyamas hypotese blev bevist, og derfor Fermats sidste sætning. Men omkring to måneder senere, et par dage før manuskriptet til Wiles' bevis skulle offentliggøres, blev der opdaget en inkonsekvens i det (Katz, en kollega til Wiles, bemærkede, at et fragment af ræsonnementet beroede på "Euler-systemet", men at bygget af Wiles, var ikke et sådant system), selvom Wiles' teknikker generelt blev anset for at være interessante, elegante og innovative.
Wiles analyserede situationen og besluttede, at han havde tabt. Man kan forestille sig, hvordan han følte med hele sit væsen, hvad det betyder "et skridt fra det store til det latterlige." "Jeg ville gå over i historien, men i stedet blev jeg en del af et hold af klovne og komikere - arrogante bønder" - det var de tanker, der udmattede ham i den svære periode af hans liv. For ham, en seriøs matematiker, var dette en tragedie, og han kastede sit bevis i glemmebogen.
Men lidt over et år senere, i september 1994, mens han tænkte over den flaskehals i beviset sammen med sin kollega Taylor fra Oxford, blev sidstnævnte pludselig ramt af ideen om, at "Euler-systemet" kunne erstattes af Iwasawa-teorien (en gren af talteori). Så forsøgte de at bruge Iwasawas teori og undværede det "euleriske system", og alt fungerede for dem. Den rettede version af beviset blev sendt til verifikation, og et år senere blev det meddelt, at alt i det var helt klart, uden en eneste fejl. I sommeren 1995 blev der i et af de førende matematiske tidsskrifter - "Annals of Mathematics" - udgivet et fuldstændigt bevis på Taniyamas formodning (deraf Fermats store sætning), som optog hele nummeret - over hundrede sider. Beviset er så komplekst, at kun et par dusin mennesker rundt om i verden kunne forstå det i sin helhed.
Således erkendte hele verden i slutningen af det tyvende århundrede, at i det 360. år af sin levetid, var Fermats sidste sætning, som faktisk havde været en hypotese hele denne tid, endelig blevet en bevist sætning. Andrew Wiles beviste Fermats store sætning og gik over i historien.
Tænk bare, de beviste en eller anden sætning...
Opdagerens lykke går altid til én person - det er ham, der med det sidste hammerslag knækker videns hårde nød. Men vi kan ikke ignorere de mange tidligere slag, der i århundreder dannede en revne i den store sætning: Euler og Gauss (deres tids matematiks konger), Evariste Galois (som formåede at grundlægge teorierne om grupper og felter i sin korte 21- års liv, hvis arbejde blev anerkendt som et geni først efter hans død), Henri Poincaré (grundlæggeren af ikke kun bizarre modulære former, men også konventionalisme - en filosofisk bevægelse), David Gilbert (en af de stærkeste matematikere i det tyvende århundrede) , Yutaka Taniyama, Goro Shimura, Mordell, Faltings, Ernst Kummer, Barry Mazur, Gerhard Frey, Ken Ribbett, Richard Taylor og andre rigtige videnskabsmænd(Jeg er ikke bange for disse ord).
Beviset for Fermats sidste sætning kan sidestilles med sådanne bedrifter i det tyvende århundrede som opfindelsen af computeren, atombomben og rumflyvning. Selvom det ikke er så almindeligt kendt, fordi det ikke invaderer zonen for vores umiddelbare interesser, såsom et fjernsyn eller en elektrisk pære, var det en supernovaeksplosion, der, som alle uforanderlige sandheder, altid vil skinne for menneskeheden.
Du kan sige: "tænk bare, de beviste en eller anden sætning, hvem har brug for det?". Et rimeligt spørgsmål. David Gilberts svar passer præcist her. Da han blev spurgt: "Hvilken opgave er vigtigst for videnskaben nu?", svarede han: "Fang en flue på den anden side af Månen," blev han med rimelighed spurgt: " Og hvem har brug for det?", svarede han: "Ingen har brug for dette. Men tænk på, hvor mange vigtige, komplekse problemer, der skal løses for at opnå dette." Tænk på, hvor mange problemer menneskeheden var i stand til at løse i 360 år, før han beviste Fermats teorem. Næsten halvdelen af moderne matematik blev opdaget i søgen efter sin bevis. Det er også nødvendigt at tage højde for, at matematik er videnskabens fortrop (og i øvrigt den eneste videnskab, der er bygget uden en enkelt fejl), og alle videnskabelige resultater og opfindelser begynder her. Som Leonardo da Vinci bemærkede, "kun den undervisning kan anerkendes som en videnskab, der bekræftes matematisk".
* * *
Lad os nu gå tilbage til begyndelsen af vores historie, huske Pierre Fermats note i margenen af Diophantus' lærebog og endnu en gang stille spørgsmålet: beviste Fermat virkelig sin sætning? Det kan vi selvfølgelig ikke vide med sikkerhed, og som i hvert fald opstår forskellige versioner her:
Version 1: Fermat beviste sit teorem. (Da han blev spurgt: "Havde Fermat nøjagtigt det samme bevis for sin sætning?", bemærkede Andrew Wiles: "Fermat kunne ikke have haft sådan her bevis. Dette er beviset for det 20. århundrede." Du og jeg forstår, at matematikken i det 17. århundrede selvfølgelig ikke var den samme som i slutningen af det 20. århundrede - i den æra, Artagnan, dronningen af videnskaberne endnu ikke har de opdagelser (modulære former, Taniyamas sætninger, Freya osv.), som alene gjorde det muligt at bevise Fermats sidste sætning. Selvfølgelig kan man antage: hvad fanden er det - hvad nu hvis Fermat fandt ud af det på en anden måde Denne version er, skønt sandsynlig, ifølge de fleste matematikeres skøn praktisk talt umulig);
Version 2: Pierre Fermat troede, at han havde bevist sit teorem, men der var fejl i hans bevis. (Det vil sige, Fermat selv var også den første landmand);
Version 3: Fermat beviste ikke sit teorem, men løj blot i margenen.
Hvis en af de sidste to versioner er korrekt, hvilket er mest sandsynligt, så kan vi drage en simpel konklusion: gode mennesker, selvom de er fantastiske, kan de også lave fejl eller nogle gange ikke er imod at lyve(for det meste vil denne konklusion være nyttig for dem, der er tilbøjelige til helt at stole på deres idoler og andre herskere af tanker). Derfor, når du læser værker af autoritative menneskesønner eller lytter til deres patetiske taler, har du fuld ret til at tvivle på deres udtalelser. (Bemærk, at tvivl betyder ikke at afvise).
Gengivelse af artikelmaterialer er kun mulig med obligatoriske links til webstedet (på internettet - hyperlink) og til forfatteren
Der er ikke mange mennesker i verden, der aldrig har hørt om Fermats sidste sætning - måske er dette det eneste matematiske problem, der er blevet så almindeligt kendt og er blevet en rigtig legende. Det er nævnt i mange bøger og film, og hovedkonteksten for næsten alle omtaler er umuligheden af at bevise teoremet.
Ja, denne sætning er meget kendt og er på en måde blevet et "idol" tilbedt af amatører og professionelle matematikere, men få mennesker ved, at dets bevis blev fundet, og dette skete tilbage i 1995. Men først ting først.
Så Fermats sidste sætning (ofte kaldet Fermats sidste sætning), formuleret i 1637 af den geniale franske matematiker Pierre Fermat, er i bund og grund meget enkel og forståelig for alle med en ungdomsuddannelse. Den siger, at formlen a i potensen af n + b i potensen af n = c i potensen af n ikke har naturlige (det vil sige ikke brøk) løsninger for n > 2. Alt virker simpelt og klart, men bedste matematikere og almindelige amatører kæmpede med at søge efter en løsning i mere end tre og et halvt århundrede.
Hvorfor er hun så berømt? Nu finder vi ud af det...
Er der mange beviste, ubeviste og endnu ikke beviste sætninger? Pointen her er, at Fermats sidste sætning repræsenterer den største kontrast mellem formuleringens enkelhed og bevisets kompleksitet. Fermats sidste sætning er et utroligt vanskeligt problem, og alligevel kan dets formulering forstås af alle med 5. klasse på gymnasiet, men ikke engang enhver professionel matematiker kan forstå beviset. Hverken i fysik, kemi, biologi eller matematik er der et enkelt problem, der kunne formuleres så enkelt, men forblev uløst så længe. 2. Hvad består den af?
Lad os starte med Pythagoras bukser. Ordlyden er virkelig enkel – ved første øjekast. Som vi ved fra barndommen, "pythagoræiske bukser er lige på alle sider." Problemet ser så simpelt ud, fordi det var baseret på et matematisk udsagn, som alle kender - Pythagoras sætning: i enhver retvinklet trekant er kvadratet bygget på hypotenusen lig med summen af kvadraterne bygget på benene.
I det 5. århundrede f.Kr. Pythagoras grundlagde det pythagoræiske broderskab. Pythagoræerne studerede blandt andet heltalstrillinger, der opfyldte ligheden x²+y²=z². De beviste, at der er uendeligt mange pythagoræiske tripler og opnåede generelle formler for at finde dem. De forsøgte sandsynligvis at lede efter C'er og højere grader. Overbevist om, at dette ikke virkede, opgav pythagoræerne deres ubrugelige forsøg. Medlemmerne af broderskabet var mere filosoffer og æsteter end matematikere.
Det vil sige, det er nemt at vælge et sæt tal, der perfekt opfylder ligheden x²+y²=z²
Startende fra 3, 4, 5 - ja, en yngre elev forstår, at 9 + 16 = 25.
Eller 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Fantastisk.
Så det viser sig, at de IKKE er det. Det er her, tricket begynder. Enkelhed er tydelig, fordi det er svært at bevise ikke tilstedeværelsen af noget, men tværtimod dets fravær. Når du skal bevise, at der er en løsning, kan og bør du blot præsentere denne løsning.
Det er sværere at bevise fravær: for eksempel siger nogen: sådan og sådan en ligning har ingen løsninger. Læg ham i en vandpyt? let: bam - og her er den løsningen! (giv løsning). Og det er det, modstanderen er besejret. Hvordan beviser man fravær?
Sig: "Jeg har ikke fundet sådanne løsninger"? Eller så du måske ikke godt ud? Hvad hvis de eksisterer, kun meget store, meget store, sådan at selv en superstærk computer stadig ikke har nok styrke? Det er det her, der er svært.
Dette kan vises visuelt sådan her: Hvis du tager to firkanter af passende størrelse og adskiller dem i enhedsfirkanter, så får du fra denne flok enhedsfirkanter en tredje firkant (fig. 2): 
Men lad os gøre det samme med den tredje dimension (fig. 3) - det virker ikke. Der er ikke nok kuber, eller der er ekstra tilbage:
Men franskmanden Pierre de Fermat fra det 17. århundrede studerede entusiastisk den generelle ligning x n + y n = z n. Og endelig konkluderede jeg: for n>2 er der ingen heltalsløsninger. Fermats bevis er uigenkaldeligt tabt. Manuskripter brænder! Tilbage er kun hans bemærkning i Diophantus' Arithmetic: "Jeg har fundet et virkelig forbløffende bevis på dette forslag, men marginerne her er for snævre til at indeholde det."
Faktisk kaldes en sætning uden bevis for en hypotese. Men Fermat har ry for aldrig at lave fejl. Selvom han ikke efterlod bevis for en erklæring, blev den efterfølgende bekræftet. Desuden beviste Fermat sin afhandling for n=4. Således gik hypotesen om den franske matematiker over i historien som Fermats sidste sætning.
Efter Fermat arbejdede så store hjerner som Leonhard Euler på at søge efter et bevis (i 1770 foreslog han en løsning for n = 3),
Adrien Legendre og Johann Dirichlet (disse videnskabsmænd fandt i fællesskab beviset for n = 5 i 1825), Gabriel Lamé (der fandt beviset for n = 7) og mange andre. I midten af 80'erne af det sidste århundrede blev det klart, at den videnskabelige verden var på vej mod den endelige løsning af Fermats sidste sætning, men først i 1993 så og troede matematikere, at tre-århundredes epos om at søge efter et bevis for Fermats sidste teorem var praktisk talt forbi.
Det er let vist, at det er nok kun at bevise Fermats sætning for simpel n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... For sammensat n forbliver beviset gyldigt. Men der er uendeligt mange primtal...
I 1825, ved hjælp af Sophie Germains metode, beviste kvindelige matematikere, Dirichlet og Legendre uafhængigt sætningen for n=5. I 1839 viste franskmanden Gabriel Lame ved hjælp af samme metode sandheden af sætningen for n=7. Gradvist blev sætningen bevist for næsten alle n mindre end hundrede.
Endelig viste den tyske matematiker Ernst Kummer i et strålende studie, at sætningen generelt ikke kan bevises ved hjælp af matematikkens metoder fra det 19. århundrede. Prisen fra det franske videnskabsakademi, der blev oprettet i 1847 for at bevise Fermats teorem, forblev uuddelt.
I 1907 besluttede den velhavende tyske industrimand Paul Wolfskehl at tage sit eget liv på grund af ulykkelig kærlighed. Som en ægte tysker satte han dato og klokkeslæt for selvmord: præcis ved midnat. Den sidste dag lavede han et testamente og skrev breve til venner og slægtninge. Tingene sluttede før midnat. Det skal siges, at Paulus var interesseret i matematik. Da han ikke havde andet at lave, gik han til biblioteket og begyndte at læse Kummers berømte artikel. Pludselig forekom det ham, at Kummer havde begået en fejl i sit ræsonnement. Wolfskel begyndte at analysere denne del af artiklen med en blyant i hænderne. Midnat er gået, morgenen er kommet. Hullet i beviset er blevet udfyldt. Og selve årsagen til selvmord så nu fuldstændig latterlig ud. Paul rev sine afskedsbreve op og omskrev sit testamente.
Han døde hurtigt af naturlige årsager. Arvingerne var ret overraskede: 100.000 mark (mere end 1.000.000 nuværende pund sterling) blev overført til kontoen for Royal Scientific Society of Göttingen, som samme år udskrev en konkurrence om Wolfskehl-prisen. 100.000 mark blev tildelt den person, der beviste Fermats teorem. Ikke en pfennig blev tildelt for at tilbagevise teoremet...
De fleste professionelle matematikere betragtede søgen efter et bevis på Fermats sidste sætning som en håbløs opgave og nægtede resolut at spilde tid på en så ubrugelig øvelse. Men amatørerne havde det sjovt. Et par uger efter meddelelsen ramte en lavine af "beviser" universitetet i Göttingen. Professor E.M. Landau, hvis ansvar var at analysere de sendte beviser, uddelte kort til sine elever:
Kære. . . . . . . .
Tak fordi du sendte mig manuskriptet med beviset for Fermats sidste sætning. Den første fejl er på side ... i linje ... . På grund af det mister hele beviset sin gyldighed.
Professor E. M. Landau
I 1963 beviste Paul Cohen, afhængigt af Gödels resultater, uløseligheden af et af Hilberts treogtyve problemer - kontinuumhypotesen. Hvad hvis Fermats sidste sætning også er uafgørlig?! Men sande Great Theorem-fanatikere blev overhovedet ikke skuffede. Fremkomsten af computere gav pludselig matematikere en ny metode til bevis. Efter Anden Verdenskrig beviste hold af programmører og matematikere Fermats sidste sætning for alle værdier på n op til 500, derefter op til 1.000 og senere op til 10.000.
I 1980'erne hævede Samuel Wagstaff grænsen til 25.000, og i 1990'erne erklærede matematikere, at Fermats sidste sætning var sand for alle værdier på n op til 4 mio. Men hvis du trækker selv en billion trillion fra uendeligheden, bliver den ikke mindre. Matematikere er ikke overbeviste af statistik. At bevise den store sætning betød at bevise den for ALLE n går til det uendelige.
I 1954 begyndte to unge japanske matematikervenner at forske i modulære former. Disse former genererer rækker af tal, hver med sin egen serie. Ved et tilfælde sammenlignede Taniyama disse serier med serier genereret af elliptiske ligninger. De matchede! Men modulære former er geometriske objekter, og elliptiske ligninger er algebraiske. Der er aldrig fundet nogen forbindelse mellem så forskellige objekter.
Men efter omhyggelig testning fremsatte venner en hypotese: hver elliptisk ligning har en tvilling - en modulær form og omvendt. Det var denne hypotese, der blev grundlaget for en hel retning i matematik, men indtil Taniyama-Shimura-hypotesen blev bevist, kunne hele bygningen kollapse når som helst.
I 1984 viste Gerhard Frey, at en løsning til Fermats ligning, hvis den findes, kan indgå i en elliptisk ligning. To år senere beviste professor Ken Ribet, at denne hypotetiske ligning ikke kunne have en pendant i den modulære verden. Fra nu af var Fermats sidste sætning uløseligt forbundet med Taniyama-Shimura-formodningen. Efter at have bevist, at enhver elliptisk kurve er modulær, konkluderer vi, at der ikke er nogen elliptisk ligning med en løsning på Fermats ligning, og Fermats sidste sætning ville straks blive bevist. Men i tredive år var det ikke muligt at bevise Taniyama-Shimura-hypotesen, og der var mindre og mindre håb om succes.
I 1963, da han kun var ti år gammel, var Andrew Wiles allerede fascineret af matematik. Da han lærte om den store sætning, indså han, at han ikke kunne give op på den. Som skoledreng, studerende og kandidatstuderende forberedte han sig på denne opgave.
Efter at have lært om Ken Ribets resultater, kastede Wiles sig hovedkulds ud i at bevise Taniyama-Shimura-hypotesen. Han besluttede at arbejde i fuldstændig isolation og hemmelighed. "Jeg indså, at alt, der havde noget at gøre med Fermats sidste sætning, vækker for stor interesse... Alt for mange tilskuere forstyrrer åbenbart opnåelsen af målet." Syv års hårdt arbejde gav pote, Wiles fuldførte endelig beviset på Taniyama-Shimura-formodningen.
I 1993 præsenterede den engelske matematiker Andrew Wiles for verden sit bevis på Fermats sidste sætning (Wiles læste hans opsigtsvækkende papir på en konference på Sir Isaac Newton Institute i Cambridge). Arbejdet varede mere end syv år.
Mens hypen fortsatte i pressen, begyndte et seriøst arbejde med at verificere beviserne. Ethvert bevis skal undersøges omhyggeligt, før beviset kan betragtes som strengt og nøjagtigt. Wiles tilbragte en rastløs sommer med at vente på feedback fra anmeldere i håb om, at han ville være i stand til at vinde deres godkendelse. I slutningen af august fandt eksperter, at dommen var utilstrækkeligt underbygget.
Det viste sig, at denne afgørelse indeholder en grov fejl, selvom den generelt er korrekt. Wiles gav ikke op, kaldte på hjælp fra den berømte specialist i talteori Richard Taylor, og allerede i 1994 offentliggjorde de et korrigeret og udvidet bevis på sætningen. Det mest fantastiske er, at dette arbejde fylder hele 130 (!) sider i det matematiske tidsskrift "Annals of Mathematics". Men historien sluttede heller ikke der - det sidste punkt blev først nået i det næste år, 1995, da den endelige og "ideelle", fra et matematisk synspunkt, version af beviset blev offentliggjort.
"...et halvt minut efter starten af den festlige middag i anledning af hendes fødselsdag forærede jeg Nadya manuskriptet til det komplette bevis" (Andrew Wales). Har jeg endnu ikke sagt, at matematikere er mærkelige mennesker?
Denne gang var der ingen tvivl om beviserne. To artikler blev udsat for den mest omhyggelige analyse og blev offentliggjort i maj 1995 i Annals of Mathematics.
Der er gået meget tid siden det øjeblik, men der er stadig en mening i samfundet om, at Fermats sidste sætning er uløselig. Men selv de, der kender til det fundne bevis, fortsætter med at arbejde i denne retning - få er tilfredse med, at Den Store Sætning kræver en løsning på 130 sider!
Derfor er indsatsen fra mange matematikere (for det meste amatører, ikke professionelle videnskabsmænd) kastet ind i søgen efter et simpelt og kortfattet bevis, men denne vej vil højst sandsynligt ikke føre nogen steder...
kilde
FERMAS STORE SÆTNING - et udsagn af Pierre Fermat (en fransk advokat og deltidsmatematiker), at den diofantiske ligning X n + Y n = Z n , med eksponent n>2, hvor n = heltal, ikke har nogen løsninger i positive heltal . Forfatterens tekst: "Det er umuligt at dekomponere en terning i to terninger, eller en biquadrate til to biquadrate, eller generelt en potens større end to i to potenser med samme eksponent."
"Fermat og hans teorem", Amadeo Modigliani, 1920
Pierre kom med denne teorem den 29. marts 1636. Og omkring 29 år senere døde han. Men det var der, det hele startede. Når alt kommer til alt, testamenterede en velhavende tysk matematikelsker ved navn Wolfskehl hundrede tusinde mark til den, der ville fremlægge et fuldstændigt bevis for Fermats teorem! Men spændingen omkring teoremet var ikke kun forbundet med dette, men også med professionel matematisk lidenskab. Fermat antydede selv til det matematiske samfund, at han kendte beviset - kort før sin død, i 1665, efterlod han følgende note i margenen af Diophantus af Alexandrias aritmetik: "Jeg har et meget slående bevis, men det er for stort til at være placeret på marker."
Det var dette hint (plus selvfølgelig en kontant bonus), der tvang matematikere til at bruge deres bedste år på uden held på at søge efter et bevis (ifølge amerikanske videnskabsmænd brugte professionelle matematikere alene i alt 543 år på dette).
På et tidspunkt (i 1901) fik arbejdet med Fermats teorem det tvivlsomme ry som "arbejde beslægtet med søgen efter en evighedsmaskine" (selv et nedsættende udtryk dukkede op - "Fermatister"). Og pludselig, den 23. juni 1993, på en matematisk konference om talteori i Cambridge, annoncerede en engelsk professor i matematik fra Princeton University (New Jersey, USA), Andrew Wiles, at Fermat endelig havde bevist det!
Beviset var dog ikke kun komplekst, men også åbenlyst fejlagtigt, som Wiles blev påpeget af sine kolleger. Men professor Wiles drømte hele sit liv om at bevise teoremet, så det er ikke overraskende, at han i maj 1994 præsenterede en ny, revideret version af beviset for det videnskabelige samfund. Der var ingen harmoni eller skønhed i det, og det var stadig meget komplekst - det faktum, at matematikere brugte et helt år (!) på at analysere dette bevis for at forstå, om det var forkert, taler for sig selv!
Men i sidste ende blev Wiles' bevis fundet at være korrekt. Men matematikere tilgav ikke Pierre Fermat for hans meget antydning i "Aritmetik", og begyndte faktisk at betragte ham som en løgner. Faktisk var den første person, der satte spørgsmålstegn ved Fermats moralske integritet, Andrew Wiles selv, som bemærkede, at "Fermat kunne ikke have haft sådanne beviser. Dette er beviser fra det tyvende århundrede." Så, blandt andre videnskabsmænd, blev den opfattelse stærkere, at Fermat "ikke kunne bevise sit teorem på en anden måde, og Fermat kunne ikke bevise det, som Wiles tog af objektive årsager."
Faktisk kunne Fermat selvfølgelig bevise det, og lidt senere vil dette bevis blive genskabt af analytikerne fra New Analytical Encyclopedia. Men hvad er disse "objektive grunde"?
Der er faktisk kun én sådan grund: i de år, hvor Fermat levede, kunne Taniyama-formodningen, som Andrew Wiles baserede sit bevis på, ikke optræde, fordi de modulære funktioner, som Taniyama-formodningen fungerer med, først blev opdaget i slutningen af det 19. århundrede.
Hvordan beviste Wiles selv sætningen? Spørgsmålet er ikke tomt – det er vigtigt for at forstå, hvordan Fermat selv kunne bevise sit teorem. Wiles baserede sit bevis på beviset for Taniyama-formodningen, fremsat i 1955 af den 28-årige japanske matematiker Yutaka Taniyama.
Hypotesen lyder således: "hver elliptisk kurve svarer til en bestemt modulær form." Elliptiske kurver, kendt i lang tid, har en todimensionel form (placeret på et plan), mens modulære funktioner har en firedimensionel form. Det vil sige, at Taniyamas hypotese kombinerede helt andre begreber – simple flade kurver og ufattelige firedimensionelle former. Selve det faktum at kombinere forskellige-dimensionelle figurer i hypotesen virkede absurd for videnskabsmænd, hvorfor det i 1955 ikke blev tillagt nogen betydning.
Men i efteråret 1984 blev "Taniyama-formodningen" pludselig husket igen, og ikke kun husket, men dens mulige bevis var forbundet med beviset for Fermats teorem! Dette blev gjort af Saarbrücken-matematikeren Gerhard Frey, som informerede det videnskabelige samfund om, at "hvis nogen formåede at bevise Taniyama-formodningen, så ville Fermats sidste sætning også blive bevist."
Hvad gjorde Frey? Han omdannede Fermats ligning til en kubisk ligning og bemærkede derefter, at den elliptiske kurve opnået ved at bruge Fermats ligning omdannet til en kubisk en ikke kan være modulær. Taniyamas formodning sagde dog, at enhver elliptisk kurve kan være modulær! Følgelig kan en elliptisk kurve konstrueret ud fra Fermats ligning ikke eksistere, hvilket betyder, at der ikke kan være hele løsninger og Fermats sætning, hvilket betyder, at det er sandt. Nå, i 1993 beviste Andrew Wiles simpelthen Taniyamas formodning og derfor Fermats teorem.
Fermats sætning kan dog bevises meget mere simpelt, på baggrund af den samme multidimensionalitet, som både Taniyama og Frey opererede på.
Lad os til at begynde med være opmærksomme på tilstanden specificeret af Pierre Fermat selv - n>2. Hvorfor var denne betingelse nødvendig? Ja, kun for det faktum, at med n=2 bliver et specialtilfælde af Fermats sætning til den sædvanlige Pythagoras sætning X 2 +Y 2 =Z 2, som har et uendeligt antal heltalsløsninger - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51.140.149 og så videre. Pythagoras' sætning er således en undtagelse fra Fermats sætning.
Men hvorfor opstår en sådan undtagelse i tilfælde af n=2? Alt falder på plads, hvis man ser sammenhængen mellem graden (n=2) og selve figurens dimension. Pythagoras trekant er en todimensionel figur. Ikke overraskende kan Z (det vil sige hypotenusen) udtrykkes i form af ben (X og Y), som kan være heltal. Størrelsen af vinklen (90) gør det muligt at betragte hypotenusen som en vektor, og benene er vektorer placeret på akserne og kommer fra origo. I overensstemmelse hermed er det muligt at udtrykke en todimensionel vektor, der ikke ligger på nogen af akserne, i form af de vektorer, der ligger på dem.
Hvis vi nu flytter til den tredje dimension, og derfor til n=3, for at udtrykke en tredimensionel vektor, vil der ikke være nok information om to vektorer, og derfor vil det være muligt at udtrykke Z i Fermats ligning gennem mindst tre led (tre vektorer, der ligger henholdsvis på tre akser i koordinatsystemet).
Hvis n=4, så skal der være 4 led, hvis n=5, så skal der være 5 led, og så videre. I dette tilfælde vil der være mere end nok hele løsninger. For eksempel 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 og så videre (du kan selv vælge andre eksempler for n=3, n=4 og så videre).
Hvad følger af alt dette? Det følger heraf, at Fermats sætning virkelig ikke har heltalsløsninger for n>2 - men kun fordi selve ligningen er forkert! Med samme succes kunne man forsøge at udtrykke volumenet af et parallelepiped i form af længderne af dets to kanter - selvfølgelig er dette umuligt (hele løsninger vil aldrig blive fundet), men kun fordi man kan finde volumen af et parallelepiped. du skal kende længden af alle tre kanter.
Da den berømte matematiker David Gilbert blev spurgt, hvad det vigtigste problem for videnskaben er nu, svarede han "at fange en flue på den anden side af månen." Til det rimelige spørgsmål "Hvem har brug for dette?" han svarede: "Ingen har brug for dette. Men tænk på, hvor mange vigtige, komplekse problemer der skal løses for at implementere dette."
Med andre ord, Fermat (en advokat først og fremmest!) spillede en vittig juridisk joke på hele den matematiske verden, baseret på en forkert formulering af problemet. Han foreslog faktisk, at matematikere skulle finde svaret på, hvorfor en flue på den anden side af Månen ikke kan leve, og i margenen af "Aritmetik" ville han kun skrive, at der simpelthen ikke er luft på Månen, dvs. Der kan ikke være hele løsninger til hans sætning for n>2, kun fordi hver værdi af n skal svare til et vist antal led på venstre side af hans ligning.
Men var det bare en joke? Slet ikke. Fermats genialitet ligger netop i, at han faktisk var den første, der så sammenhængen mellem graden og dimensionen af en matematisk figur – altså, hvilket er helt ækvivalent, antallet af led i venstre side af ligningen. Betydningen af hans berømte teorem var netop ikke kun at skubbe den matematiske verden til ideen om dette forhold, men også at indlede bevis for eksistensen af dette forhold - intuitivt forståeligt, men endnu ikke matematisk underbygget.
Fermat, som ingen anden, forstod, at etablering af relationer mellem tilsyneladende forskellige objekter er yderst frugtbart ikke kun i matematik, men i enhver videnskab. Dette forhold peger på nogle dybe principper, der ligger til grund for begge objekter og giver mulighed for en dybere forståelse af dem.
For eksempel så fysikere oprindeligt på elektricitet og magnetisme som fuldstændigt uafhængige fænomener, men i det 19. århundrede indså teoretikere og eksperimentatorer, at elektricitet og magnetisme var nært beslægtede. Som et resultat blev der opnået en større forståelse af både elektricitet og magnetisme. Elektriske strømme producerer magnetiske felter, og magneter kan inducere elektricitet i ledere nær magneter. Dette førte til opfindelsen af dynamoer og elektriske motorer. Det blev til sidst opdaget, at lys var resultatet af koordinerede harmoniske svingninger af magnetiske og elektriske felter.
Matematikken på Fermats tid bestod af vidensøer i et hav af uvidenhed. På en ø boede geometre, der studerede former, på en anden ø studerede sandsynlighedsteorien matematikere risici og tilfældigheder. Geometriens sprog var meget forskelligt fra sandsynlighedslærens sprog, og algebraisk terminologi var fremmed for dem, der kun talte om statistik. Desværre består vores tids matematik af omtrent de samme øer.
Fermat var den første til at indse, at alle disse øer var indbyrdes forbundne. Og hans berømte sætning - Fermats sidste sætning - er en glimrende bekræftelse på dette.
Grigory Perelman. refusenik
Vasily Maksimov
I august 2006 blev navnene på de bedste matematikere på planeten offentliggjort, som modtog den prestigefyldte Fields-medalje - en slags analog til Nobelprisen, som matematikere efter Alfred Nobels indfald blev frataget. Fields-medaljen - udover et hæderstegn, tildeles vinderne en check på femten tusinde canadiske dollars - uddeles af den internationale matematikkongres hvert fjerde år. Det blev etableret af den canadiske videnskabsmand John Charles Fields og blev først tildelt i 1936. Siden 1950 er Fields-medaljen blevet tildelt regelmæssigt personligt af kongen af Spanien for hans bidrag til udviklingen af matematisk videnskab. Prisvindere kan være fra én til fire videnskabsmænd under 40 år. 44 matematikere, inklusive otte russere, har allerede modtaget prisen.
Grigory Perelman. Henri Poincaré.
I 2006 var prismodtagerne franskmanden Wendelin Werner, australieren Terence Tao og to russere - Andrey Okunkov, der arbejder i USA, og Grigory Perelman, en videnskabsmand fra St. Petersborg. Men i sidste øjeblik blev det kendt, at Perelman nægtede denne prestigefyldte pris - som arrangørerne annoncerede, "af principielle årsager."
En sådan ekstravagant handling fra den russiske matematiker kom ikke som en overraskelse for folk, der kendte ham. Det er ikke første gang, han har afslået matematiske priser, og han forklarer sin beslutning ved at sige, at han ikke kan lide ceremonielle begivenheder og unødvendig hype omkring sit navn. For ti år siden, i 1996, nægtede Perelman prisen for European Mathematical Congress med henvisning til, at han ikke havde afsluttet arbejdet med det videnskabelige problem, der var nomineret til prisen, og dette var ikke det sidste tilfælde. Den russiske matematiker så ud til at gøre det til sit livs mål at overraske folk, i modstrid med den offentlige mening og det videnskabelige samfund.
Grigory Yakovlevich Perelman blev født den 13. juni 1966 i Leningrad. Fra en ung alder var han glad for eksakte videnskaber, strålende dimitterede fra den berømte 239. gymnasieskole med dybdegående matematikstudier, vandt adskillige matematiske olympiader: for eksempel deltog han i 1982 som en del af et hold af sovjetiske skolebørn. i den internationale matematiske olympiade, afholdt i Budapest. Uden eksamener blev Perelman indskrevet på Fakultetet for Mekanik og Matematik ved Leningrad Universitet, hvor han studerede med fremragende karakterer og fortsatte med at vinde matematiske konkurrencer på alle niveauer. Efter at have dimitteret fra universitetet med udmærkelse, gik han ind på forskerskolen ved St. Petersborg-afdelingen af Steklov Matematisk Institut. Hans videnskabelige vejleder var den berømte matematiker akademiker Aleksandrov. Efter at have forsvaret sin ph.d.-afhandling forblev Grigory Perelman på instituttet i laboratoriet for geometri og topologi. Hans arbejde med teorien om Alexandrov-rum er kendt; han var i stand til at finde beviser for en række vigtige formodninger. På trods af adskillige tilbud fra førende vestlige universiteter foretrækker Perelman at arbejde i Rusland.
Hans mest bemærkelsesværdige succes var løsningen i 2002 af den berømte Poincaré-formodning, udgivet i 1904 og siden forblevet ubevist. Perelman arbejdede på det i otte år. Poincaré-formodningen blev betragtet som et af de største matematiske mysterier, og dens løsning blev betragtet som den vigtigste bedrift inden for matematisk videnskab: den ville straks fremme forskningen i problemerne omkring universets fysiske og matematiske grundlag. De mest fremtrædende hjerner på planeten forudsagde dens løsning først i løbet af få årtier, og Clay Institute of Mathematics i Cambridge, Massachusetts, inkluderede Poincaré-problemet blandt de syv mest interessante uløste matematiske problemer i årtusindet, til løsningen af hver af dem. en million dollars præmie blev udlovet (Millennium Prize Problemer).
Formodningen (nogle gange kaldet problemet) fra den franske matematiker Henri Poincaré (1854-1912) er formuleret som følger: ethvert lukket enkelt forbundet tredimensionelt rum er homøomorft i forhold til en tredimensionel sfære. For at præcisere, brug et tydeligt eksempel: hvis du pakker et æble med et gummibånd, så kan du i princippet ved at stramme båndet komprimere æblet til en spids. Hvis du vikler en doughnut med samme tape, kan du ikke komprimere den til et punkt uden at rive hverken doughnuten eller gummiet i stykker. I denne sammenhæng kaldes et æble en "simpelthen forbundet" figur, men en donut er ikke bare forbundet. For næsten hundrede år siden slog Poincaré fast, at en todimensionel sfære simpelthen er forbundet, og foreslog, at en tredimensionel sfære også simpelthen er forbundet. De bedste matematikere i verden kunne ikke bevise denne hypotese.
For at kvalificere sig til Clay Institute-prisen behøvede Perelman kun at offentliggøre sin løsning i et af de videnskabelige tidsskrifter, og hvis ingen inden for to år kunne finde en fejl i hans beregninger, så ville løsningen blive betragtet som korrekt. Men Perelman afveg fra reglerne helt fra begyndelsen og offentliggjorde sin beslutning på fortrykshjemmesiden for Los Alamos Scientific Laboratory. Måske var han bange for, at der havde sneget sig en fejl ind i hans beregninger – en lignende historie var allerede sket i matematikken. I 1994 foreslog den engelske matematiker Andrew Wiles en løsning på Fermats berømte sætning, og et par måneder senere viste det sig, at der havde sneget sig en fejl ind i hans beregninger (selvom den senere blev rettet, og sensationen stadig fandt sted). Der er stadig ingen officiel offentliggørelse af beviset for Poincaré-formodningen, men der er en autoritativ mening fra de bedste matematikere på planeten, der bekræfter rigtigheden af Perelmans beregninger.
Fields-medaljen blev tildelt Grigory Perelman netop for at løse Poincaré-problemet. Men den russiske videnskabsmand nægtede prisen, som han utvivlsomt fortjener. "Gregory fortalte mig, at han føler sig isoleret fra det internationale matematiske samfund, uden for dette samfund, og derfor ikke ønsker at modtage prisen," sagde englænderen John Ball, formand for World Union of Mathematicians (WUM), på en pressekonference i Madrid.
Der er rygter om, at Grigory Perelman vil forlade naturvidenskaben helt: For seks måneder siden sagde han op fra sit hjemlige Steklov Matematisk Institut, og de siger, at han ikke længere vil studere matematik. Måske tror den russiske videnskabsmand, at han ved at bevise den berømte hypotese har gjort alt, hvad han kunne for videnskaben. Men hvem vil påtage sig at diskutere tankegangen hos en så dygtig videnskabsmand og ekstraordinær person?... Perelman afviser enhver kommentar, og han sagde til avisen The Daily Telegraph: "Intet af det, jeg kan sige, er af den mindste offentlig interesse." Men førende videnskabelige publikationer var enstemmige i deres vurderinger, da de rapporterede, at "Grigory Perelman, efter at have løst Poincaré-sætningen, stod på niveau med fortidens og nutidens største genier."
Månedligt litterært og journalistisk magasin og forlag.
Pierre Fermat, der læste "Aritmetikken" af Diophantus af Alexandria og reflekterede over dens problemer, havde for vane at nedskrive resultaterne af sine refleksioner i form af korte kommentarer i bogens marginer. Mod det ottende problem med Diophantus i bogens marginer skrev Fermat: " Tværtimod er det umuligt at dekomponere enten en terning i to terninger eller en biquadrate til to biquadrate, og generelt ingen potens større end en kvadrat til to potenser med samme eksponent. Jeg har opdaget et virkelig vidunderligt bevis på dette, men disse felter er for snævre til det» / E.T. Bell "The Creators of Mathematics". M., 1979, side 69/. Jeg gør dig opmærksom på et elementært bevis for Fermats teorem, som enhver gymnasieelev, der er interesseret i matematik, kan forstå.
Lad os sammenligne Fermats kommentar til Diophantus' problem med den moderne formulering af Fermats sidste sætning, som har form af en ligning.
« Ligningen
x n + y n = z n(hvor n er et heltal større end to)
har ingen løsninger i positive heltal»
Kommentaren står i en logisk sammenhæng med opgaven, svarende til prædikatets logiske sammenhæng med subjektet. Det, der hævdes af Diophantus' problem, hævdes tværtimod af Fermats kommentar.
Fermats kommentar kan fortolkes som følger: Hvis en andengradsligning med tre ubekendte har et uendeligt antal løsninger på mængden af alle trillinger af pythagoræiske tal, så er det tværtimod en ligning med tre ubekendte til en potens større end kvadratet
Der er ikke engang en antydning i ligningen af dens forbindelse med Diophantus' problem. Hans udsagn kræver bevis, men der er ingen betingelse, hvoraf det følger, at den ikke har nogen løsninger i positive heltal.
Mulighederne for at bevise ligningen kendt af mig koger ned til følgende algoritme.
- Ligningen for Fermats sætning tages som sin konklusion, hvis gyldighed bekræftes gennem bevis.
- Den samme ligning kaldes original ligning, som dens bevis skal udgå fra.
Som et resultat blev der dannet en tautologi: " Hvis en ligning ikke har nogen løsninger i positive heltal, så har den ingen løsninger i positive heltal"Beviset for tautologien er åbenlyst forkert og uden nogen betydning. Men det er bevist ved modsigelse.
- Der laves en antagelse, der er det modsatte af, hvad der er angivet af ligningen, der skal bevises. Det burde ikke modsige den oprindelige ligning, men det gør det. Det giver ingen mening at bevise, hvad der accepteres uden bevis, og at acceptere uden bevis, hvad der skal bevises.
- Baseret på den accepterede antagelse udføres absolut korrekte matematiske operationer og handlinger for at bevise, at den modsiger den oprindelige ligning og er falsk.
Derfor har det i 370 år nu været en urealiserbar drøm for specialister og matematikentusiaster at bevise ligningen for Fermats sidste sætning.
Jeg tog ligningen som afslutningen på sætningen, og det ottende problem med Diophantus og dens ligning som betingelsen for sætningen.
"Hvis ligningen x 2 + y 2 = z 2
(1) har et uendeligt antal løsninger på mængden af alle tripler af Pythagoras tal, så omvendt ligningen x n + y n = z n
, Hvor n > 2
(2) har ingen løsninger på sættet af positive heltal."
Bevis.
EN) Alle ved, at ligning (1) har et uendeligt antal løsninger på mængden af alle tripler af Pythagoras tal. Lad os bevise, at ikke en enkelt tripel af Pythagoras tal, der er en løsning til ligning (1), er en løsning til ligning (2).
Baseret på loven om reversibilitet af lighed, bytter vi siderne af ligning (1). Pythagoras tal (z, x, y) kan tolkes som længderne af siderne i en retvinklet trekant og kvadraterne (x 2 , y 2 , z 2) kan tolkes som arealet af firkanter bygget på dens hypotenuse og ben.
Lad os gange arealet af kvadraterne i ligning (1) med en vilkårlig højde h :
z 2 t = x 2 t + y 2 t (3)
Ligning (3) kan fortolkes som ligheden mellem rumfanget af et parallelepiped og summen af rumfanget af to parallelepipeder.
Lad højden af tre parallelepipeder h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
Rumfanget af terningen dekomponeres i to volumener af to parallelepipeder. Vi vil lade terningens rumfang være uændret og reducere højden af det første parallelepipedum til x og reducere højden af det andet parallelepipedum til y . Rumfanget af en terning er større end summen af rumfanget af to terninger:
z 3 > x 3 + y 3 (5)
På sættet af tripler af pythagoræiske tal ( x, y, z ) kl n=3 der kan ikke findes nogen løsning på ligning (2). Som følge heraf er det umuligt at nedbryde en terning i to terninger på sættet af alle tripler af Pythagoras tal.
Indsæt ligning (3) højden af tre parallelepipeder h = z 2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Rumfanget af et parallelepiped opdeles i summen af rumfanget af to parallelepipeder.
Vi lader venstre side af ligning (6) være uændret. På dens højre side højden z 2
reducere til x
i første semester og før kl 2
i anden periode.
Ligning (6) blev til ulighed:
Volumenet af parallelepipedet dekomponeres i to volumener af to parallelepipeds.
Vi lader venstre side af ligning (8) være uændret.
På højre side højden zn-2
reducere til xn-2
i første periode og reducere til y n-2
i anden periode. Ligning (8) bliver ulighed:
| z n > x n + y n | (9) |
På sættet af trillinger af Pythagoras tal kan der ikke være en enkelt løsning til ligning (2).
Følgelig på sættet af alle tripler af Pythagoras tal for alle n > 2 ligning (2) har ingen løsninger.
Et "virkelig mirakuløst bevis" er opnået, men kun for trillinger Pythagoras tal. Dette er mangel på beviser og årsagen til P. Fermats afslag fra ham.
B) Lad os bevise, at ligning (2) ikke har nogen løsninger på sættet af tripletter af ikke-pythagoræiske tal, som repræsenterer en familie af en vilkårlig tripel af pythagoræiske tal z = 13, x = 12, y = 5 og en familie af en vilkårlig tredobbelt af positive heltal z = 21, x = 19, y = 16
Begge trillinger af tal er medlemmer af deres familier:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Antallet af familiemedlemmer (10) og (11) er lig med halvdelen af produktet af 13 gange 12 og 21 gange 20, dvs. 78 og 210.
Hvert familiemedlem (10) indeholder z = 13 og variabler x Og på 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1
Hvert medlem af familien (11) indeholder z = 21 og variabler x Og på , som tager heltalsværdier 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Variabler falder successivt med 1 .
Tripler af tal i sekvensen (10) og (11) kan repræsenteres som en sekvens af uligheder af tredje grad:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
og i form af uligheder af fjerde grad:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Rigtigheden af hver ulighed verificeres ved at hæve tallene til tredje og fjerde potens.
En terning med et større tal kan ikke dekomponeres i to terninger med mindre tal. Det er enten mindre eller større end summen af terningerne af de to mindre tal.
Den biquadratiske af et større tal kan ikke dekomponeres i to biquadrater af mindre tal. Det er enten mindre eller større end summen af bisquarerne af mindre tal.
Når eksponenten stiger, har alle uligheder, undtagen den venstre ekstreme ulighed, samme betydning:
De har alle samme betydning: potensen af det største tal er større end summen af potenserne af de to mindste tal med samme eksponent:
| 13 n > 12 n + 12 n; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n | (12) | |
| 21 n > 20 n + 20 n; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n | (13) |
Den venstre ekstreme term af sekvenser (12) (13) repræsenterer den svageste ulighed. Dens korrekthed bestemmer rigtigheden af alle efterfølgende uligheder i rækkefølgen (12) for n > 8 og sekvens (13) kl n > 14 .
Der kan ikke være lighed mellem dem. En vilkårlig tripel af positive heltal (21,19,16) er ikke en løsning på ligning (2) i Fermats sidste sætning. Hvis en vilkårlig tripel af positive heltal ikke er en løsning på ligningen, så har ligningen ingen løsninger på sættet af positive heltal, hvilket er det, der skulle bevises.
MED) Fermats kommentar til Diophantus' problem siger, at det er umuligt at nedbryde " i almindelighed ingen potens større end en kvadrat, to potenser med samme eksponent».
Kys en grad større end et kvadrat kan ikke rigtig dekomponeres i to grader med samme eksponent. Ingen kys en grad større end et kvadrat kan dekomponeres i to potenser med samme eksponent.
Enhver vilkårlig tripel af positive heltal (z, x, y) kan tilhøre en familie, hvor hvert medlem består af et konstant antal z og to numre mindre z . Hvert medlem af familien kan repræsenteres i form af en ulighed, og alle resulterende uligheder kan repræsenteres i form af en sekvens af uligheder:
| z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n | (14) |
Rækkefølgen af uligheder (14) begynder med uligheder, hvor venstre side er mindre end højre side, og slutter med uligheder, hvor højre side er mindre end venstre side. Med stigende eksponent n > 2 antallet af uligheder på højre side af sekvensen (14) stiger. Med eksponenten n = k alle uligheder på venstre side af sekvensen ændrer deres betydning og får betydningen af ulighederne på højre side af sekvensens uligheder (14). Som et resultat af at øge eksponenten for alle uligheder, viser venstre side sig at være større end højre side:
| zk > (z-1)k+ (z-1)k; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; zk > 2 k + 1 k; z k > 1 k + 1 k | (15) |
Med en yderligere stigning i eksponenten n>k ingen af ulighederne ændrer sin betydning og bliver til lighed. På dette grundlag kan det hævdes, at enhver vilkårligt valgt tripel af positive heltal (z, x, y) på n > 2 , z > x , z > y
I en vilkårligt valgt tripel af positive heltal z kan være et vilkårligt stort naturligt tal. For alle naturlige tal, der ikke er større end z , Fermats sidste sætning er bevist.
D) Uanset hvor stort antallet z , i den naturlige talrække er der et stort, men endeligt sæt heltal før det, og efter det er der et uendeligt sæt heltal.
Lad os bevise, at hele det uendelige sæt af naturlige tal store z , danner tripler af tal, der ikke er løsninger til ligningen i Fermats sidste sætning, for eksempel en vilkårlig tripel af positive heltal (z + 1, x ,y) , hvori z + 1 > x Og z + 1 > y for alle værdier af eksponenten n > 2 er ikke en løsning på ligningen i Fermats sidste sætning.
En tilfældigt udvalgt tripel af positive heltal (z + 1, x, y) kan tilhøre en familie af tripler af tal, hvor hvert medlem består af et konstant tal z+1 og to numre x Og på , påtager sig forskellige værdier, mindre z+1 . Medlemmer af familien kan repræsenteres i form af uligheder, hvor den konstante venstre side er mindre end eller større end højre side. Ulighederne kan ordnes i form af en sekvens af uligheder:
Med en yderligere stigning i eksponenten n>k til det uendelige ændrer ingen af ulighederne i rækkefølgen (17) sin betydning og bliver til lighed. I sekvens (16) er uligheden dannet ud fra en vilkårligt valgt tripel af positive heltal (z + 1, x, y) , kan placeres på sin højre side i formularen (z + 1) n > x n + y n eller være på sin venstre side i formularen (z+1)n< x n + y n .
Under alle omstændigheder en tredobbelt af positive heltal (z + 1, x, y) på n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y i rækkefølge (16) repræsenterer en ulighed og kan ikke repræsentere en lighed, det vil sige, den kan ikke repræsentere en løsning på ligningen i Fermats sidste sætning.
Det er let og enkelt at forstå oprindelsen af rækkefølgen af magtuligheder (16), hvor den sidste ulighed på venstre side og den første ulighed på højre side er uligheder af modsat betydning. Tværtimod er det ikke let og svært for skolebørn, gymnasieelever og gymnasieelever at forstå, hvordan en sekvens af uligheder (16) dannes ud fra en sekvens af uligheder (17), hvor alle uligheder har samme betydning .
I rækkefølge (16) forvandler en forøgelse af heltalsgraden af uligheder med 1 enhed den sidste ulighed på venstre side til den første ulighed i den modsatte betydning på højre side. Således falder antallet af uligheder på venstre side af sekvensen, og antallet af uligheder på højre side stiger. Mellem den sidste og første magtulighed af modsat betydning er der nødvendigvis en magtlighed. Dens grad kan ikke være et heltal, da kun ikke-heltal ligger mellem to på hinanden følgende naturlige tal. En potenslighed af en ikke-heltalsgrad, i henhold til sætningens betingelser, kan ikke betragtes som en løsning til ligning (1).
Hvis vi i rækkefølge (16) fortsætter med at øge graden med 1 enhed, så vil den sidste ulighed på dens venstre side blive til den første ulighed af den modsatte betydning af højre side. Som et resultat vil der ikke være nogen venstrehånds uligheder tilbage, og kun højrehånds uligheder vil være tilbage, hvilket vil være en sekvens af stigende magtuligheder (17). En yderligere stigning i deres heltalstyrke med 1 enhed styrker kun dens magtuligheder og udelukker kategorisk muligheden for lighed i heltalspotensen.
Som følge heraf kan generelt ingen heltalspotens af et naturligt tal (z+1) af sekvensen af potensuligheder (17) dekomponeres i to heltalspotenser med samme eksponent. Derfor har ligning (1) ingen løsninger på et uendeligt sæt af naturlige tal, hvilket er det, der skulle bevises.
Følgelig er Fermats sidste teorem bevist i sin helhed:
- i afsnit A) for alle trillinger (z, x, y) Pythagoras tal (Fermats opdagelse er virkelig et vidunderligt bevis),
- i afsnit B) for alle medlemmer af familien af enhver triple (z, x, y) Pythagoras tal,
- i afsnit C) for alle tripler af tal (z, x, y) , ikke store tal z
- i afsnit D) for alle tripler af tal (z, x, y) naturlige talrækker.
|
Ændringer foretaget 09/05/2010 |
Hvilke sætninger kan og kan ikke bevises ved modsigelse?
Den forklarende ordbog over matematiske termer definerer et bevis ved modsigelse af en sætning, det modsatte af en omvendt sætning.
"Bevis ved modsigelse er en metode til at bevise en sætning (påstand), som består i at bevise ikke selve sætningen, men dens ækvivalente (ækvivalente) sætning. Bevis ved modsigelse bruges, når den direkte sætning er svær at bevise, men den modsatte sætning er lettere at bevise. I et proof by contradiction erstattes sætningens konklusion med dens negation, og gennem ræsonnement kommer man frem til negationen af betingelserne, dvs. til en modsigelse, til det modsatte (det modsatte af det givet; denne reduktion til det absurde beviser sætningen."
Modsigelsesbevis bruges meget ofte i matematik. Bevis ved modsigelse er baseret på loven om udelukket mellem, som består i det faktum, at af to udsagn (udsagn) A og A (nægtelse af A), den ene af dem er sand, og den anden er falsk."/Explanatory Dictionary of Mathematical Terms: A Manual for Teachers/O. V. Manturov [osv.]; redigeret af V. A. Ditkina.- M.: Uddannelse, 1965.- 539 s.: ill.-C.112/.
Det ville ikke være bedre at åbent erklære, at metoden til bevis ved modsigelse ikke er en matematisk metode, selvom den bruges i matematik, at den er en logisk metode og hører til logikken. Er det acceptabelt at sige, at bevis ved modsigelse "bruges, når en direkte sætning er svær at bevise", når den faktisk bruges, når og kun når der ikke er nogen erstatning.
Karakteriseringen af forholdet mellem de direkte og omvendte teoremer til hinanden fortjener også særlig opmærksomhed. "Den omvendte sætning for en given sætning (eller til en given sætning) er en sætning, hvor betingelsen er konklusionen, og konklusionen er betingelsen for den givne sætning. Denne sætning i forhold til den omvendte sætning kaldes den direkte sætning (original). Samtidig vil den omvendte sætning til den omvendte sætning være den givne sætning; derfor kaldes de direkte og omvendte sætninger for gensidigt omvendt. Hvis den direkte (givne) sætning er sand, så er den omvendte sætning ikke altid sand. For eksempel, hvis en firkant er en rombe, så er dens diagonaler indbyrdes vinkelrette (direkte sætning). Hvis diagonalerne i en firkant er indbyrdes vinkelrette, så er firkanten en rhombus - dette er falsk, dvs. den omvendte sætning er falsk."/Explanatory Dictionary of Mathematical Terms: A Manual for Teachers/O. V. Manturov [osv.]; redigeret af V. A. Ditkina.- M.: Uddannelse, 1965.- 539 s.: ill.-C.261 /.
Denne karakteristik af forholdet mellem de direkte og omvendte sætninger tager ikke højde for det faktum, at betingelsen for den direkte sætning accepteres som givet, uden bevis, så dens rigtighed er ikke garanteret. Betingelsen for den omvendte sætning accepteres ikke som givet, da den er konklusionen på den beviste direkte sætning. Dens rigtighed bekræftes af beviset for den direkte sætning. Denne væsentlige logiske forskel i betingelserne for de direkte og omvendte sætninger viser sig at være afgørende i spørgsmålet om, hvilke sætninger der kan og ikke kan bevises med den logiske metode ved modsigelse.
Lad os antage, at der er en direkte sætning i tankerne, som kan bevises ved hjælp af den sædvanlige matematiske metode, men som er vanskelig. Lad os formulere det generelt og kort som følger: fra EN bør E . Symbol EN har betydningen af den givne betingelse i sætningen, accepteret uden bevis. Symbol E det afgørende er konklusionen af sætningen, der skal bevises.
Vi vil bevise den direkte sætning ved modsigelse, logisk metode. Den logiske metode bruges til at bevise en sætning, der har ikke matematisk tilstand, og logisk tilstand. Det kan opnås, hvis sætningens matematiske betingelse fra EN bør E , supplere med den stik modsatte betingelse fra EN gør det ikke E .
Resultatet var en logisk modstridende betingelse for den nye sætning, der indeholdt to dele: fra EN bør E Og fra EN gør det ikke E . Den resulterende betingelse for den nye sætning svarer til den logiske lov om udelukket midterste og svarer til beviset for sætningen ved modsigelse.
Ifølge loven er en del af en modstridende betingelse falsk, en anden del er sand, og den tredje er udelukket. Modsigelsesbeviset har til opgave og formål at fastslå præcis, hvilken del af de to dele af sætningens betingelse, der er falsk. Når den falske del af tilstanden er bestemt, bestemmes den anden del til at være den sande del, og den tredje er udelukket.
Ifølge den forklarende ordbog over matematiske termer, "Bevis er ræsonnement, hvor sandheden eller falskheden af ethvert udsagn (dom, udsagn, teorem) fastslås". Bevis ved modsigelse der er en begrundelse, hvorunder den etableres falskhed(absurditet) af den konklusion, der følger af falsk betingelser for sætningen, der skal bevises.
Givet: fra EN bør E og fra EN gør det ikke E .
Bevise: fra EN bør E .
Bevis: Sætningens logiske tilstand indeholder en modsigelse, der kræver dens opløsning. Betingelsens modsigelse skal finde sin løsning i beviset og dets resultat. Resultatet viser sig at være falsk med fejlfri og fejlfri ræsonnement. Årsagen til en falsk konklusion i logisk korrekt ræsonnement kan kun være en modstridende betingelse: fra EN bør E Og fra EN gør det ikke E .
Der er ingen skygge af tvivl om, at den ene del af tilstanden er falsk, og den anden i dette tilfælde er sand. Begge dele af betingelsen har samme oprindelse, er accepteret som data, antaget, lige muligt, lige tilladelige osv. I løbet af logisk ræsonnement blev der ikke opdaget et eneste logisk træk, der kunne adskille den ene del af tilstanden fra den anden. . Derfor kan det i samme omfang være det fra EN bør E og måske fra EN gør det ikke E . Udmelding fra EN bør E Måske falsk, derefter udtalelsen fra EN gør det ikke E vil være sandt. Udmelding fra EN gør det ikke E kan være falsk, så udsagnet fra EN bør E vil være sandt.
Det er derfor umuligt at bevise en direkte sætning ved modsigelse.
Nu vil vi bevise den samme direkte sætning ved hjælp af den sædvanlige matematiske metode.
Givet: EN .
Bevise: fra EN bør E .
Bevis.
1. Fra EN bør B
2. Fra B bør I (ifølge den tidligere beviste sætning)).
3. Fra I bør G (ifølge den tidligere beviste sætning).
4. Fra G bør D (ifølge den tidligere beviste sætning).
5. Fra D bør E (ifølge den tidligere beviste sætning).
Baseret på loven om transitivitet, fra EN bør E . Den direkte sætning bevises ved den sædvanlige metode.
Lad den beviste direkte sætning have en korrekt invers sætning: fra E bør EN .
Lad os bevise det med det sædvanlige matematisk metode. Beviset for den omvendte sætning kan udtrykkes i symbolsk form som en algoritme for matematiske operationer.
Givet: E
Bevise: fra E bør EN .
Bevis.
1. Fra E bør D
2. Fra D bør G (ifølge den tidligere beviste omvendte sætning).
3. Fra G bør I (ifølge den tidligere beviste omvendte sætning).
4. Fra I gør det ikke B (den omvendte sætning er ikke sand). Derfor fra B gør det ikke EN .
I denne situation giver det ingen mening at fortsætte det matematiske bevis for den omvendte sætning. Årsagen til situationen er logisk. En forkert omvendt sætning kan ikke erstattes af noget. Derfor er det umuligt at bevise denne omvendte sætning ved hjælp af den sædvanlige matematiske metode. Alt håb er at bevise denne omvendte sætning ved modsigelse.
For at bevise det ved modsigelse er det nødvendigt at erstatte dens matematiske tilstand med en logisk modstridende betingelse, som i sin betydning indeholder to dele - falsk og sand.
Converse teorem anfører: fra E gør det ikke EN . Hendes tilstand E , hvoraf konklusionen følger EN , er resultatet af at bevise den direkte sætning ved hjælp af den sædvanlige matematiske metode. Denne betingelse skal bevares og suppleres med redegørelsen fra E bør EN . Som et resultat af tilføjelsen får vi den modstridende betingelse for den nye inverse sætning: fra E bør EN Og fra E gør det ikke EN . Baseret på dette logisk modstridende betingelse, kan den omvendte sætning bevises ved hjælp af den korrekte logisk kun begrundelse, og kun, logisk metode ved modsigelse. I et modsigelsesbevis er alle matematiske handlinger og operationer underordnet logiske og tæller derfor ikke med.
I den første del af den modstridende udtalelse fra E bør EN tilstand E blev bevist af beviset for den direkte sætning. I anden del fra E gør det ikke EN tilstand E blev antaget og accepteret uden bevis. En af dem er falsk, og den anden er sand. Du skal bevise, hvilken der er falsk.
Vi beviser det korrekt logisk ræsonnement og opdage, at resultatet er en falsk, absurd konklusion. Årsagen til en falsk logisk konklusion er den modstridende logiske tilstand af sætningen, som indeholder to dele - falsk og sand. Den falske del kan kun være en erklæring fra E gør det ikke EN , hvori E blev accepteret uden bevis. Det er det, der gør det anderledes E udsagn fra E bør EN , hvilket bevises af beviset for den direkte sætning.
Derfor er udsagnet sandt: fra E bør EN , hvilket var det, der skulle bevises.
Konklusion: ved den logiske metode er kun den omvendte sætning bevist ved modsigelse, som har en direkte sætning bevist ved den matematiske metode, og som ikke kan bevises ved den matematiske metode.
Den opnåede konklusion får enestående betydning i forhold til bevismetoden ved modsigelse af Fermats store sætning. Det overvældende flertal af forsøg på at bevise det er ikke baseret på den sædvanlige matematiske metode, men på den logiske metode til bevis ved modsigelse. Wiles' bevis for Fermats sidste sætning er ingen undtagelse.
Dmitry Abrarov udgav i artiklen "Fermats sætning: fænomenet af Wiles' beviser," en kommentar til Wiles' bevis for Fermats sidste sætning. Ifølge Abrarov beviser Wiles Fermats sidste teorem ved hjælp af en bemærkelsesværdig opdagelse af den tyske matematiker Gerhard Frey (f. 1944), som fortalte den potentielle løsning af Fermats ligning x n + y n = z n
, Hvor n > 2
, med en anden, helt anden ligning. Denne nye ligning er givet af en speciel kurve (kaldet Freys elliptiske kurve). Frey-kurven er givet ved en meget simpel ligning:
.
“Det var Frey, der sammenlignede med enhver beslutning (a, b, c) Fermats ligning, det vil sige tal, der opfylder relationen a n + b n = c n, ovenstående kurve. I dette tilfælde ville Fermats sidste teorem følge."(Citat fra: Abrarov D. "Fermats sætning: fænomenet med Wiles' beviser")
Med andre ord foreslog Gerhard Frey, at ligningen af Fermats sidste sætning x n + y n = z n
, Hvor n > 2
, har løsninger i positive heltal. Disse samme løsninger er, ifølge Freys antagelse, løsninger på hans ligning
y2 + x (x - a n) (y + b n) = 0
, som er givet ved dens elliptiske kurve.
Andrew Wiles accepterede denne bemærkelsesværdige opdagelse af Frey og med dens hjælp, matematisk metode beviste, at dette fund, det vil sige Frey elliptiske kurve, ikke eksisterer. Derfor er der ingen ligning og dens løsninger, der er givet af en ikke-eksisterende elliptisk kurve Derfor burde Wiles have accepteret konklusionen om, at der ikke er nogen ligning for Fermats sidste sætning og Fermats sætning selv. Han accepterer dog en mere beskeden konklusion om, at ligningen i Fermats sidste sætning ikke har nogen løsninger i positive heltal.
En uigendrivelig kendsgerning kan være, at Wiles accepterede en antagelse, der er præcis den modsatte betydning af, hvad der er anført af Fermats store sætning. Det forpligter Wiles til at bevise Fermats sidste sætning ved modsigelse. Lad os følge hans eksempel og se, hvad der kommer ud af dette eksempel.
Fermats sidste sætning siger, at ligningen x n + y n = z n , Hvor n > 2 , har ingen løsninger i positive heltal.
Ifølge den logiske metode for bevis ved modsigelse bibeholdes denne erklæring, accepteres som givet uden bevis og suppleres derefter med en modsat sætning: ligning x n + y n = z n , Hvor n > 2 , har løsninger i positive heltal.
Den formodede erklæring accepteres også som givet uden bevis. Begge udsagn, betragtet ud fra logikkens grundlæggende loves synspunkt, er lige gyldige, lige gyldige og lige mulige. Gennem korrekt ræsonnement er det nødvendigt at afgøre, hvilken der er falsk for derefter at fastslå, at den anden udsagn er sand.
Korrekt ræsonnement ender i en falsk, absurd konklusion, hvis logiske årsag kun kan være den modstridende betingelse for sætningen, der bevises, som indeholder to dele af direkte modsat betydning. De var den logiske grund til den absurde konklusion, resultatet af bevis ved modsigelse.
I løbet af en logisk korrekt begrundelse blev der imidlertid ikke opdaget et eneste tegn, hvorved det kunne fastslås, hvilken bestemt udsagn der er falsk. Det kunne være et udsagn: ligning x n + y n = z n , Hvor n > 2 , har løsninger i positive heltal. På samme grundlag kunne det være følgende udsagn: ligning x n + y n = z n , Hvor n > 2 , har ingen løsninger i positive heltal.
Som et resultat af ræsonnementet kan der kun være én konklusion: Fermats sidste sætning kan ikke bevises ved modsigelse.
Det ville være en helt anden sag, hvis Fermats sidste sætning var en omvendt sætning, som har en direkte sætning bevist ved den sædvanlige matematiske metode. I dette tilfælde kunne det bevises ved modsigelse. Og da det er en direkte sætning, bør dens bevis ikke baseres på den logiske metode til bevis ved modsigelse, men på den almindelige matematiske metode.
Ifølge D. Abrarov reagerede den mest berømte af moderne russiske matematikere, akademiker V. I. Arnold, "aktivt skeptisk" på Wiles' bevis. Akademikeren udtalte: "dette er ikke rigtig matematik - rigtig matematik er geometrisk og har stærke forbindelser med fysik." (Citat fra: Abrarov D. "Fermats sætning: fænomenet Wiles' beviser." Akademikerens udsagn udtrykker selve essensen af Wiles' ikke-matematiske bevis for Fermats sidste sætning.
I modstrid er det umuligt at bevise enten, at ligningen i Fermats sidste sætning ikke har nogen løsninger, eller at den har løsninger. Wiles' fejl er ikke matematisk, men logisk - brugen af bevis ved modsigelse, hvor brugen af det ikke giver mening, og Fermats store sætning ikke beviser.
Fermats sidste sætning kan ikke bevises, selv ved hjælp af den sædvanlige matematiske metode, hvis den giver: ligningen x n + y n = z n , Hvor n > 2 , har ingen løsninger i positive heltal, og hvis du vil bevise i det: ligningen x n + y n = z n , Hvor n > 2 , har ingen løsninger i positive heltal. I denne form er der ikke en teorem, men en tautologi uden mening.
Bemærk. Mit BTF-bevis blev diskuteret på et af foraerne. En af Trotil-deltagerne, en ekspert i talteori, kom med følgende autoritative udtalelse med titlen: "En kort genfortælling af, hvad Mirgorodsky gjorde." Jeg citerer det ordret:
« EN. Han beviste, at hvis z 2 = x 2 + y , At z n > x n + y n . Dette er et velkendt og ganske åbenlyst faktum.
I. Han tog to tripler - Pythagorean og non-pythagoras og viste ved simpel søgning, at for en specifik, specifik familie af tripler (78 og 210 stykker) er BTF'en opfyldt (og kun for den).
MED. Og så udelod forfatteren det faktum, at fra < i et senere omfang kan det vise sig at være = , ikke kun > . Et simpelt modeksempel - overgang n=1 V n=2 i Pythagoras trippel.
D. Dette punkt bidrager ikke med noget væsentligt til BTF-beviset. Konklusion: BTF er ikke blevet bevist."
Jeg vil overveje hans konklusion punkt for punkt.
EN. Det beviser BTF for hele det uendelige sæt af tripler af Pythagoras tal. Bevist ved en geometrisk metode, som, som jeg tror, ikke blev opdaget af mig, men genopdaget. Og det blev opdaget, som jeg tror, af P. Fermat selv. Fermat kan have haft dette i tankerne, da han skrev:
"Jeg har opdaget et virkelig vidunderligt bevis på dette, men disse felter er for snævre til det." Denne min antagelse er baseret på det faktum, at i det diofantiske problem, som Fermat skrev i bogens marginer, taler vi om løsninger til den diofantiske ligning, som er trillinger af pythagoras tal.
Et uendeligt sæt af trillinger af pythagoras tal er løsninger til den diophatiske ligning, og i Fermats sætning kan ingen af løsningerne tværtimod være en løsning på ligningen for Fermats sætning. Og Fermats virkelig vidunderlige bevis er direkte relateret til dette faktum. Fermat kunne senere udvide sit teorem til mængden af alle naturlige tal. På sættet af alle naturlige tal hører BTF ikke til "sættet af usædvanligt smukke teoremer." Dette er min antagelse, som hverken kan bevises eller modbevises. Det kan accepteres eller afvises.
I. På dette tidspunkt beviser jeg, at både familien af en vilkårligt taget pythagoras tripel af tal og familien af en vilkårligt taget ikke-pythagoras tripel af BTF-tal er opfyldt. Dette er et nødvendigt, men utilstrækkeligt og mellemliggende led i mit bevis for BTF . Eksemplerne, jeg tog på familien af trippelen af pythagoræiske tal og familien af trippelen af ikke-pythagoræiske tal, har betydningen af specifikke eksempler, der forudsætter og ikke udelukker eksistensen af lignende andre eksempler.
Trotils udtalelse om, at jeg "ved simpel søgning viste, at for en specifik, specifik familie af trillinger (78 og 210 stykker) er BTF'en tilfreds (og kun for den) er grundløs. Han kan ikke tilbagevise, at jeg lige så godt kan tage andre eksempler på pythagoræiske og ikke-pythagoræiske tripler for at få en bestemt bestemt familie på den ene og den anden tripel.
Uanset hvilket par tripletter jeg tager, kan kontrol af deres egnethed til at løse problemet efter min mening kun udføres ved hjælp af den "simpele opregningsmetode". Jeg kender ikke nogen anden metode og har ikke brug for den. Hvis Trotil ikke kunne lide det, så skulle han have foreslået en anden metode, hvilket han ikke gør. Uden at tilbyde noget til gengæld er det forkert at fordømme "simpel overkill", som i dette tilfælde er uerstatteligt.
MED. Jeg har udeladt = mellem< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y 1, hvori graden n > 2 — hel positivt tal. Af ligheden mellem ulighederne følger det obligatorisk overvejelse af ligning (1) for en ikke-heltals gradværdi n > 2 . Trotil, tæller obligatorisk hensynet til lighed mellem uligheder faktisk overvejer nødvendig i BTF-beviset, betragtning af ligning (1) med ikke hel gradværdi n > 2 . Jeg gjorde dette for mig selv og fandt den ligning (1) med ikke hel gradværdi n > 2 har en løsning med tre tal: z, (z-1), (z-1) for en ikke-heltalseksponent.