Hvis du ikke tror på, at dette er sandt, så tag et kig på Wikipedia. Nå, hvem ved ikke dette?! Her går du: "Et oscillerende system er et fysisk system, hvori frie svingninger kan eksistere." Hmm, der er noget galt. Arme, ben som vi kan svinge mere eller mindre frit...? Nej, det er det ikke. Lad os se på: konservativ, dissipativ...

Mærkelig! Formålet med forskellige slags encyklopædier er jo at give en form for primær idé om alt i verden. Men hvis den oprindelige idé opnået fra encyklopædien ikke afviser dig med dens videnskabelige karakter, så vil du måske vende dig til en mere dybdegående præsentation.

Desværre bemærkede jeg, at de oftest forklarer noget, ikke for at nogen skal forstå noget, men for at overraske dem med deres egen lærdom. Så folk siger: ”Åh, hvor er han klog! Han ved så meget! Det er meget vigtigt at kunne tale så vigtigt og imponerende om et emne, hvis man absolut ikke har noget at sige til det, og man ikke kan indrømme det. Brugen af ​​terminologi fra oldtidens filosoffers arsenal, omtalen af ​​matematiske udsagn er meget imponerende... Især hvis man er overbevist om, at lytterne ikke kan andet end multiplikationstabellen.

Så en af ​​mine lærerkolleger gav eleverne materiale med så kraftig matematisk støtte, at de ikke kunne forstå noget. Men de fik ikke forbud mod at snyde under eksamen, og der var ingen problemer eller klager fra deres side. De lagde dog mærke til, at denne lærer uden sine noter ikke kunne forbinde to ord (matematisk tekst), og... de stjal noderne fra ham... Det var et oliemaleri.

Nå, lad os prøve at beskrive oscillerende systemer, så alt virkelig er klart for alle.

En af repræsentanterne for det oscillerende system er et sving. Når du først skubber dem, vil de så svinge af sig selv, med deres egen frekvens. Jeg spekulerer på, hvordan man bestemmer perioden for deres bevægelse? Hvor længe vil de svinge? Men det viser sig, at disse spørgsmål ikke længere er så lette at besvare. Fordi en gynge er en ret kompleks enhed med flere elementer. Nå, for at sige det enkelt, kan du overveje princippet om drift af et pendul, som er et enkelt oscillerende system, og så bliver det mere eller mindre klart om svinget.

Hovedprincippet i viden er at bevæge sig fra simpelt til komplekst. Og så lad os starte med det enkleste - med et elektrisk svingningssystem, med L-C oscillerende kredsløb.

Elektricitet begyndte at komme ind i vores liv for ganske nylig - for omkring 200 år siden. Som det sker med alt i verden, forløb undersøgelsen af ​​dette stof (elektrisk væske, som de sagde dengang) i meget små trin. Nu opstod det galvaniske element, og det var ikke længere nødvendigt at gnide en ravpind med et stykke pels for at generere elektricitet. Så Leyden-krukken blev opfundet... Jeg fortæller dig det så primitivt med vilje, for nu er adgang til internettet blevet almindeligt, og du vil finde ud af alt mere detaljeret uden mig. Min opgave er at fortælle dig om det oscillerende system, som du ikke finder noget om på internettet på et så simpelt niveau.

Så det viste sig at være meget nemt at oplade en Leyden-krukke (i dagens sprog - en kondensator) eller, som de sagde dengang, fylde den med elektrisk væske. Men hvad er denne elektriske væske? Et stort antal mennesker havde det sjovt ved at udgive det gennem deres venner og bekendte eller blot ville prøve denne ekstraordinære sensation selv. Men i 1847 dukkede en artikel af den i forvejen berømte videnskabsmand Joseph Henry op i et amerikansk fysiktidsskrift, som besluttede at måle afladningsstrømmen af ​​en ladet kondensator, når den blev kortsluttet. For at gøre dette brugte han en almindelig magnetisk kompasnål som prototype på et amperemeter.

Han viklede et stort antal ledninger omkring denne pil og kortsluttede en opladet kondensator gennem denne ledning. Et stort antal ledninger var nødvendige for at øge denne enheds følsomhed. Pilen rykkede faktisk under udskrivelsen, men... Ikke én gang, som Henry havde håbet, men gentagne gange og i forskellige retninger. Hun så ud til at ryste.

Det vil sige, det viste sig, at når kondensatoren blev afladet, ændrede strømmens retning mange gange. Ingen lagde mærke til, at en induktiv spole faktisk var involveret i eksperimentet, og i alle lærebøger om elektricitet 30 år senere skrev de, at "når en opladet Leyden-krukke kortsluttes, strømmer den elektriske væske ikke kun ud af denne. krukke, men hælder også tilbage i.” Dette blev forklaret med interferens. Dette er, som jeg bemærkede, et fuldstændig uerstatteligt ord. Når effekten er uforståelig, og det er absolut umuligt at undvære en forklaring, bruger de netop dette videnskabelige ord.

Da jeg fortalte mine elever om dette, gjorde jeg dem opmærksom på, at de ikke skal være bange for at lave eksperimenter, for som et resultat af eksperimentet kan der opdages en grundlæggende ny fysisk effekt. Altså at gøre en opdagelse. Nå, det er bare fra min erfaring...

Så dette var den første fase af opdagelsen af ​​det oscillerende kredsløb. Og den anden fase blev udført af Lord Kelvin (William Thomson). Hvis Joseph Henry var interesseret i størrelsen af ​​kondensatorafladningsstrømmen, så var Thomson interesseret i formen af ​​afladningsprocessen. Uden at tænke sig om to gange opfandt han et oscilloskop til dette formål, for at tilfredsstille sin nysgerrighed. Og ved hjælp af dette oscilloskop så han, at loven, ifølge hvilken kondensatoren aflades (han havde heller ikke endnu mistanke om tilstedeværelsen og rollen af ​​induktans), når den er kortsluttet, har karakter af en dæmpet sinusoid.

Og straks, i samme øjeblik, erklærede han meget følelsesmæssigt, at et nyt, hidtil ukendt oscillerende system var ved at finde sted. Dette er det centrale i min historie.

Efter at have set, at reaktionen på en puls (chok) effekt på et bestemt objekt har form af en dæmpet sinusoide, erklærede Lord Kelvin, at dette objekt er et oscillerende system. Så her er spørgsmålet. Hvordan vidste han det? Hvordan vidste han, at tilstedeværelsen af ​​en dæmpet sinusoid betyder tilstedeværelsen af ​​et oscillerende system? Nu er det kun dem, der har en radioingeniøruddannelse, der ved om dette. Og selv da, hvis de fik fortalt historien om opdagelsen af ​​et oscillerende kredsløb...

Hvad angår induktansens rolle, blev den opdaget kun 20 år senere.

Lord Kelvin skrev en kredsløbsligning, hvoraf det fulgte, at den naturlige frekvens af dette oscillerende system f 0 er defineret som følger:

L- mængden af ​​induktans og C- værdien af ​​kondensatorens kapacitans.

Den vigtigste egenskab ved et kredsløb er kvalitetsfaktoren Q. Det bestemmes af varmetab. Disse tab opstår på grund af, at induktoren udover at være induktiv også har aktiv modstand R, og desuden på grund af det faktum, at kredsløbet udsender et elektromagnetisk felt ud i rummet.

I mangel af tab Q =∞, og sinusoiden dør ikke ud. Minimumsværdi Q =1. Ved denne værdi af kvalitetsfaktoren er der ingen naturlige svingninger.

Da enhver tidsvarierende proces kan betragtes som tidsmæssigt O m aspekt og på spektralplanet, så vises signalerne på begge billeder.

Ris. 1

I fig. 1(a) - i tid O m aspekt. Det vil sige, hvordan vi ville se dette signal på et oscilloskop. Figur 1(b) viser det samme signal, men i et spektralbillede. Enhver, der kender den gren af ​​matematik, der kaldes spektrotemporal s mi transformationer, vil jeg sige, at begge disse billeder er synonymer. I praksis supplerer disse to billeder hinanden.

Hvis der ikke er et enkelt oscillerende system, men flere oscillerende systemer udsættes for stødpåvirkning samtidigt, midlertidigt O På billedet ville alle dæmpede harmoniske komponenter smelte sammen, og de kan ikke observeres separat. Og i det spektrale aspekt ville alle harmonisk dæmpede signaler spredes langs frekvensaksen, og det ville være muligt nemt at bestemme frekvenserne og kvalitetsfaktorerne for hver af dem.

Lad os nu se, hvad viden om kvalitetsfaktoren giver os.

Faktum er, at hvis vi har et oscillerende system, så opstår muligheden for et resonansfænomen uundgåeligt. Resonans opstår, når den naturlige frekvens af det oscillatoriske system falder sammen med frekvensen af ​​det signal, som vi påfører oscillatorsystemet. I dette tilfælde vil det resulterende signal ikke blive dæmpet, men stigende, og dets værdi vil tendere til værdien i Q gange større end amplituden af ​​det signal, der leveres til oscillatorsystemet.

Den reelle gennemsnitlige værdi af kredsløbskvalitetsfaktoren kan være 100÷200. Lad os antage, at spændingen, der leveres til kredsløbet, er 10V. Dette er en lille spænding, og påføring af den på kredsløbet truer ikke noget. Men det skete sådan på et tidspunkt O du falder sammen, og den resulterende spænding vil begynde at stige jævnt med en tendens til en værdi på 1000V ÷ 2000V. Ved denne spænding kan der opstå nedbrud af kondensatoren og brand af induktoren. Hvornår fandt den praktiske udvikling sted? L-C konturer (slutningen af ​​det 19. - begyndelsen af ​​det 20. århundrede) var der mange sådanne fænomener.

Akse h i Fig. 1 vil være nyttig for os lidt senere.

Enhver opdagelse er af stor betydning for fysikken og for menneskeheden generelt. Åbning L-C kontur er generelt et specialtilfælde. Lad din fantasi få frit løb og forestil dig, hvordan det ville være, hvis det ikke var åbent...

Men for mig er det endnu vigtigere, for takket være kendskabet til historien om opdagelsen af ​​det elektriske kredsløb, opdagede jeg en anden type oscillerende system...

Det skete sådan, at jeg i 1977 blev overført til at arbejde på minefakultetet til afdelingen for udvikling af reservoiraflejringer (RPM) ved Leningrad Mining Institute (LGI). Jeg var uddannet radioingeniør, og jeg blev straks ansat der i denne egenskab.

Jeg fik til opgave at lave måleudstyr for at studere de lydledende egenskaber af sten, der ligger i taget af en kullag. Ideen med disse undersøgelser var som følger. De klipper, der ligger i toppen af ​​kullaget, er faktisk over minearbejdernes hoveder. Og da disse klipper før eller siden kollapser, er der meget hyppige tilfælde, hvor mennesker bliver såret og dræbt. Min opgave var at måle lydledningsevnen af ​​tagstenene for at forsøge at finde tegn på deres forestående kollaps.

Logikken her var som følger. Det blev antaget, at tagstenene skulle revne, før de styrtede sammen. Det blev endvidere antaget, at med stigende brud på tagstenene, skulle dæmpningen af ​​feltet af elastiske vibrationer, der forplanter sig i tagstenene, øges. Og især med stigende hyppighed af dette felt. Det betyder, at hvis vi bestemmer tagstens lydledningsevne ved forskellige frekvenser, så kan vi, hvis forudsætningerne er korrekte, regne med at kunne detektere en form for fare/sikkerhedskriterium.

Figur 2 viser målediagrammet.

Ris. 2

Fra en lydfrekvensgenerator blev en spænding jævnt varierende i frekvens leveret til en piezokeramisk emitter. Feltet af elastiske vibrationer, der opstår i tagstenene, forplantede sig i det lagdelte massiv. I nogen afstand fra emitteren blev nøjagtig den samme piezoelektriske transducer presset til taget, men den fungerede kun i modtagetilstand, og forstærkeren med en måleindikator registrerede spændingsamplituden U , der opstår som følge af, at feltet af elastiske vibrationer når modtagepunktet.

Under hensyntagen til feltets forventede frekvensafhængighed vil grafen for dets afhængighed ved modtagepunktet være geometrisk lig grafen 1 Fig.3. Hvis du gentager målingerne i en anden underjordisk mine, vil afhængigheden svare til grafen 2 , hvis klipperne i anden bearbejdning er mere sprækkede.

Ris. 3

Dette var den mentale model for dette eksperiment, og det var for at opnå sådan information, at udstyret blev designet.

Min overraskelse var stor, da det, som et resultat af bearbejdning af måleresultaterne, viste sig, at grafen over feltniveauet i forhold til frekvensen havde en form, der ligner grafen 3 .

Formen på denne graf viste sig at være nøglepunktet. Faktum er, at denne form geometrisk ligner formen på grafen vist i fig. 1( b), ja, denne graf er et spektralbillede af et harmonisk dæmpet signal. Det vil sige, at med en bredbåndseffekt på et lydt objekt frigives kun et harmonisk signal. Og jeg havde intet andet valg end at affinde mig med, at objektet lød på denne måde udviste egenskaben af ​​et oscillerende system.

Et oscillerende system af denne type kaldes elastisk, da vi taler om et felt af elastiske vibrationer. I dette særlige tilfælde af dette første eksperiment blev det oscillerende system implementeret af et plan-parallel klippeobjekt, der havde en tykkelse h 1, i overensstemmelse med fig. 2. Det blev så opdaget, at den naturlige frekvens f 0 en sådan resonator kan bestemmes ud fra følgende forhold:

f 0 = k/h(2), hvor

k- i første omgang en helt uforståelig koefficient med dimensionen af ​​fart på det tidspunkt. For alle sten viste denne koefficient sig at være 2500m/s±10%.

Relation (2) foreslog brugen af ​​elastiske oscillatoriske systemer til at bestemme størrelsen af ​​objekter, der ikke kan måles på andre måder. For eksempel tykkelsen af ​​stenlagene, der ligger i taget. Faktum er, at i overensstemmelse med fig. 2 er værdien h 1 forbundet med stabiliteten af ​​tagsten. Så hvis h 1 er ret stor (nå, lad os sige mere end 5 m), så er det sikkert at være i sådan en mine. Men hvis f.eks. 0,5 m, så er det meget farligt, og taget skal enten forstærkes eller specielt klappes sammen, så kollapset ikke viser sig at være pludseligt.

Abscisse-akser i fig. 1 f Og h rettet i modsatte retninger på grund af deres omvendte proportionalitet.

I fuld overensstemmelse med lovene i metodologien for udvikling af videnskabelig viden, som et resultat af opdagelsen af ​​en ny fysisk effekt, opstår der altid og nødvendigvis et nyt forskningsapparat. Som et resultat af opdagelsen af ​​en ny type oscillerende system blev der skabt udstyr, ved hjælp af hvilket det var muligt at bestemme direkte i minen tykkelsen af ​​klippelaget placeret direkte over minearbejdernes hoveder. Dette udstyr blev kaldt "Resonans". Det blev brugt indtil 1993 til at vurdere og forudsige tagets stabilitet.

Som det viste sig, udviser genstande lavet af ikke alle materialer egenskaberne af oscillerende systemer (med andre ord resonatorer). Med hensyn til lag er disse resonatorlag og ikke-resonatorlag. Resonatorer er genstande lavet af glas, metaller og legeringer, keramik, sten, is... Ikke-resonatorobjekter er lavet af plexiglas, nogle plastik, væsker og gasser.

Det lagdelte massiv af jordens tykkelse består dog ikke af ét resonatorlag, men af ​​mange klippelag, og naturligvis opstod ideen om at bestemme tykkelsen af ​​ikke bare ét resonatorlag, men af ​​alle dem, der ligger ned til en vis dybde. Men her opstod der tvivl om muligheden for dette, fordi selv efter at have modtaget information om tykkelsen af ​​alle lag, var det ikke klart, hvordan man kunne finde ud af rækkefølgen af ​​deres forekomst.

Når man testede denne idé, blev en anden egenskab ved resonatorlag afsløret, som er, at de naturlige svingninger, der opstår i resonatorlaget, forplanter sig langs det, uden at gå ud over det. Dette betyder, at ideen om at se et lagdelt array i dybden er mulig. Et diagram, der forklarer betydningen af ​​sådanne undersøgelser, er vist i fig. 4.

Ris. 4

Her jeg - anslagspunkt på overfladen af ​​det lagdelte massiv;

S - seismisk modtager.

Når overfladen af ​​en lagdelt masse påvirkes, opstår dens egne elastiske vibrationer i alle lag, men da de forplanter sig langs hvert af dem og ikke går ud over dets grænser, vil den seismiske modtager ikke mærke de naturlige vibrationer i resonatorlagene, hvilket det rører ikke. Og således vil vi for diagrammet vist i fig. 4 få information om tykkelsen af ​​klippelagene h1, h1+h2, h 1+2+3 etc. Men vi vil ikke modtage information om enkelte lag, der ikke berøres af geofonen. Al spektral seismisk udforskning er bygget på dette princip.

Jeg har dog i mange år nu hørt misforståelser om dette. Faktum er, at for at ophidse jordens tykkelse bruger vi et meget svagt energetisk perkussivt instrument. Som for eksempel en hammer, der vejer 1-2 kg. Samtidig indhenter vi oplysninger om dybder ned til en kilometer. Folk, der er opdraget til principperne for traditionel stråleseismisk udforskning, kan ikke forstå, hvordan et så svagt signal rejser så langt, reflekteres og kan optages.

Men sagen er, at der ikke er nogen "måde". Med et slag exciterer du flere oscillerende systemer, og ved hjælp af en geofon og spektral transformation kan du få information om hver oscillerende proces, om hver spektral komponent.

En anden analogi er passende her. Når du slår på klaverets tangenter med fingrene, exciterer du samtidig flere oscillerende systemer, og ved hjælp af en spektrumanalysator kan du bestemme, hvilke strenge du rammer. I påvirkningsøjeblikket på det oscillerende system forsvinder selve den primære impuls. Det omdannes til lige så mange harmoniske processer, som der er oscillerende systemer, du har begejstret. Og en spektral seismisk station er en spektrumanalysator.

Et meget vigtigt aspekt, når man overvejer elastiske oscillatoriske systemer, er muligheden for resonansfænomener. Da jordens akustiske egenskaber er en samling af oscillerende systemer, skal man være meget forsigtig, når man bruger enheder, der har en dynamisk (vibrerende) effekt på jorden, da sandsynligheden for, at en resonansproces opstår, er meget stor. Alle ved, at når enhver turbine accelererer ved bestemte rotationshastigheder, opstår der vibrationer. Sådan kommer resonansprocessen til udtryk.

Tilstedeværelsen af ​​resonansskader sætter strukturer, der har en dynamisk effekt på støtten, i fare. Det er kraftværker, pumpestationer, jernbanevolde... Det vil sige enheder, der bestemmer niveauet af vores civilisation.

Ja, elastiske oscillerende systemer er meget enkle med hensyn til deres påvisning og bevis for deres eksistens. Men de viste sig at have så mange ejendomme, at det ville være nok for både mig og mine følgere at studere i mange år.

Et oscillerende system er et system, hvor der kan opstå svingninger som følge af en krænkelse af ligevægtstilstanden.

Typen af ​​oscillationer, der opstår i systemet, afhænger af forskellige fysiske størrelser, der karakteriserer systemet - systemets parametre, såvel som af typen af ​​ydre påvirkninger, der fjerner systemet fra ligevægtspositionen (for eksempel: et matematisk pendul i feltet tyngdekraften).

Oscillerende systemer kan være lineære og ikke-lineære. Fysiske systemer, der udfører svingninger, hvis væsentlige træk formidles med tilstrækkelig tilnærmelse ved lineære differentialligninger, kaldes lineære oscillatoriske systemer, resten kaldes ikke-lineære.

Vi vil kun overveje de enkleste oscillerende systemer - lineære systemer med en frihedsgrad, og sådan at systemets parametre ikke afhænger af dets tilstand og er konstante. Sådanne oscillerende systemer er beskrevet af andenordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Eksempler på sådanne systemer er systemer som "elektrisk svingningskredsløb", "torsionspendul", "kugle ophængt i en fjeder" osv.

Lad os overveje de fænomener, der forekommer i oscillerende systemer. Uden at være i stand til at udføre en analyse i det generelle tilfælde vil vi begrænse os til at overveje to eksempler: et elektrisk svingningskredsløb og et mekanisk pendul.

Lad oscillatorkredsløbet (fig. 1) bestå af kapacitans C, induktans L og ohmsk modstand R.

Kredsløbet kan bringes til sin ligevægtsposition ved hjælp af en vekselspændingskilde E(t) forbundet i serie med kredsløbets elementer. Vi vil antage, at vi kan vælge typen af ​​afhængighed af kilde-emf på tid vilkårligt (især kan vi sætte den lig med nul). Kildens emk spiller rollen som en ekstern forcering af kredsløbet.

Et mekanisk pendul (fig. 2) er en kugle med massen m fastgjort til en fjeder K.

Systemet kan sættes i bevægelse ved hjælp af en bevægende strøm Ш, hvortil den anden ende a af fjederen er fastgjort. Lad os sammensætte differentialligninger for spændingen U C på kapacitansen af ​​svingningskredsløbet og for koordinaterne for forskydningen af ​​kuglens centrum fra ligevægtspositionen. Det er klart, at ligheden gælder for et lukket kredsløb i et oscillerende kredsløb

E(t) = UL + UR + UC

hvor U L, U R og U C er spændingsfaldene på L, R og C kredsløbselementerne. Brug af kendte ligheder

UR = JR,

UL = L

U=UC=

C ∫

og givet det

U′=

U′′=

d2U

1 dJ

dt 2

dt,

vi reducerer ligning (1) til formen

LCU" + RCU" + U = E(t)

Lad os introducere notationen

For et mekanisk system, ifølge Newtons anden lov

mx " = fmp + fg

hvor fmp = -rx " er friktionskraften, fg = -k(x – x 1) er kraften på grund af fjederens deformation, k er fjederstivhedskoefficienten, x 1 = x 1 (t) er forskydningen af fjederens enda fra position

mx" + rx" + k(x – x1 ) = 0

Introduktion af betegnelser

Ved at sammenligne ligning (2) og (6) ser vi, at de kun adskiller sig i betegnelsen af ​​variablen (U eller x) og frileddet E(t) eller x 1 (t). De der. både spændingen på kapacitansen af ​​det elektriske kredsløb og forskydningen af ​​kuglen af ​​det mekaniske pendul er beskrevet af samme ligning og afhænger på samme måde af typen af ​​forcering. (I det følgende vil vi bruge ligning (3), idet vi husker, at den beskriver både mekaniske og elektriske systemer ligeligt).

Ved at opsummere det opnåede resultat kan vi sige, at ethvert simpleste oscillatorisk system kun kan karakteriseres ved to størrelser α og ω 0, og arten af ​​dets bevægelse afhænger af disse størrelser og af typen af ​​funktion E(t), som beskriver den eksterne indflydelse på systemet. Koefficienterne α og ω 0 bestemmes af parametrene for et bestemt oscillerende system. Især for de systemer, vi har overvejet, gælder relationer (2) og (5). Størrelsen α kaldes dæmpningskoefficient,аω 0 - naturlig frekvens systemer.

Ved at excitere svingningssystemet på en eller anden måde (dvs. indstille en bestemt type funktion E(t)) og studere de resulterende svingninger, er det muligt at bestemme koefficienterne α og ω 0 . Der er to mest anvendte metoder til bestemmelse af koefficienterne - en metode baseret på excitation i et system af frie svingninger og en metode baseret på ikke-excitation i et system af forcerede svingninger. Lad os overveje disse to typer systemoscillationer.

Gratis vibrationer.

Frie eller naturlige svingninger af et system opstår, hvis systemet blev bragt ud af ligevægt af et tilstrækkeligt skarpt indledende stød og derefter overladt til dets egne enheder. Sætter vi E(t)=0 i ligning (3), får vi for tilfældet

opfylder ligning (7). (I teorien om differentialligninger er det bevist, at hvis ω 0 2 ≠ α 2, er denne løsning unik).

Formel (8) har kun en direkte fysisk betydning, hvis ω с er en reel størrelse, dvs. ω 0 2 > α 2 .

(Hvis ω 0 2< α 2 , то это означает, что трение в системе настолько велико, что колебаний не возникает. Этот случай мы рассматривать не будем).

U-funktionen repræsenterer dæmpede svingninger. Dens graf er vist i fig. 3.

Denne funktion er ikke-periodisk, men den har en vis form for "gentagelse", som består i, at funktionens maksima, dens minima og nulpunkter forekommer med lige store tidsintervaller svarende til perioden T c af den harmoniske faktor cos(ωct-a). Derfor kan vi tale om "periode" med dæmpet oscillation.

og om "frekvensen" af den dæmpede oscillation ω c .

På samme måde, da funktionen U ikke er harmonisk, så gælder udtrykket "amplitude" strengt taget ikke for den.

Men vi taler normalt om "amplitude" dæmpet svingning mening med dette den højeste værdi, som en funktion opnår i løbet af en periode."Amplituden" af den dæmpede svingning U 0 e α t falder i henhold til den eksponentielle lov. Forholdet mellem to på hinanden følgende "amplituder"

U0 e− α t				αT c
	− α (t+ T

hvis værdien er konstant. Den naturlige logaritme af dette forhold er

λ= α Tс

kaldes det logaritmiske dæmpningsdekrement tøven.

(Det kaldes ofte i forkortelse: dæmpende dekrement eller blot: decrement). Lad os forklare den fysiske betydning af størrelserne α, λ og ω 0.

Lad os betegne med τ det tidsrum, i hvilket amplituden af ​​oscillationerne aftager være pas. Så er e - ατ = e -1, hvorfra α = τ 1. Coeff dæmpningshastighedα er

gensidig af en periodeτ , hvor amplituden falder i e. enkelt gang. Den logaritmiske dæmpningsreduktion viser, hvor meget amplituden af ​​oscillationen falder over en periode. Lad N være antallet af svingninger, hvorunder amplituden falder med en faktor. Derefter

Den logaritmiske dæmpningsdekrement er den reciproke af antallet af svingninger, iflg.

hvorefter amplituden falder ind e gange. Hvis vi sætter α =0, vil vi i stedet for (8) have U = U 0 cos (ω 0 t - ϕ ). Dermed, naturlig frekvens er frekvensen

harmoniske svingninger, som systemet ville udføre i fravær af friktion. Vilkårlige konstanter U 0 og ϕ i funktionen U bestemmes af initialen

forhold, dvs. værdier for funktionerne U og dens afledte U " i det indledende tidspunkt. Disse værdier afhænger af den måde, hvorpå systemet blev fjernet fra ligevægtspositionen.

Forcerede vibrationer.

Lad os nu overveje processer i oscillatoriske systemer i regimet med tvungne harmoniske svingninger.

Lad den tvingende indflydelse have form af en harmonisk funktion

E(t) = Е0 cos ω t

Derfor er vores oscillerende system nu beskrevet af ligningen

U" + 2α U" + ω0 2 U = E0 ω0 2 cos ω t
Løsningen til ligning (13) har formen
U = U0 e- α t cos (ωc t +ϕ c ) + U(ω) cos [ω t+ϕ (ω) ]

Det første led i summen i udtryk (14) er de naturlige svingninger i systemet, som opstår, når systemet fjernes fra sin ligevægtsposition i det øjeblik, hvor forceringen aktiveres. Da naturlige svingninger dæmpes, bliver deres amplitude efter nogen tid ubetydeligt lille, og systemet begynder at oscillere med en frekvens ω påført det af ekstern påvirkning.

stationær, og den indledende fase kaldes overgangsproces. Vi vil kun overveje steady-state-processen. Derfor

U = U(ω) cos [ω t+ϕ (ω) ]

de der. Systemets svingninger er harmoniske med amplitude U(ω) og faseϕ(ω), afhængig af frekvens.

I fremtiden vil vi kalde den spændende indflydelse (12) og dens amplitude for inputoscillationen (impact) og inputamplituden, og oscillationen (15), som beskriver systemets reaktion, og amplituden af ​​denne oscillation, udgangsoscillation og udgangsamplitude.

Ved at indsætte (15) i ligning (13), finder vi

U (ω )= 2		4a 2		ω) 2

		2 αω
ϕ (ω ) = − arktan
	1− (

Fra de opnåede udtryk er det klart, at formen af ​​afhængigheden af ​​udgangsamplituden af ​​frekvensen og fasen af ​​udgangsoscillationen kun afhænger af to parametre - den naturlige

frekvens ω 0 og ratio2 α.

Lad os introducere begrebet kvalitetsfaktor for det oscillerende system Q

Q = ω 2 α 0

(Vi finder ud af den fysiske betydning af kvalitetsfaktoren senere). Erstatning

(18)/ i (16) og (17) får vi

U (ω )= 2+			ω) 2

ϕ (ω ) = − arctanω 0

Lad os overveje arten af ​​afhængigheden af ​​amplituden og fasen af ​​outputoscillationen af ​​frekvensen.

Familien af ​​U(ω)-kurver for forskellige værdier af Q er vist i fig. 4.

Hvis input-oscillationsfrekvensen er lille ω<<ω 0 , тоU(ω) Е 0 , т.е. амплитуда вынужденных колебаний оказывается равной величине статического смешения, которое вызвало бы постоянное внешнее воздействиеЕ 0 . Когда частотаω приближаемся к частоте

som ω → ∞. Stigningen i U(ω) nær maksimum forekommer skarpere, jo mere

kvalitetsfaktor, og derfor er systemets dæmpningskoefficient α lavere. En kraftig stigning i amplituden af ​​udgangsoscillationen nær ω 0 for systemer med lav dæmpning kaldes fænomenet resonans. Amplitude versus frekvenskurver i dette tilfælde kaldes amplitude resonans kurver, og svarende til den maksimale amplitude – resonansfrekvens.

Lad os definere ω р. At tage derivatet								og ligne det med nul, får vi
				1−		= ω 2		−2 α 2
					2Q 2

Lad os finde ud af den fysiske betydning af kvalitetsfaktoren. Lad os overveje et system med lav dæmpning. Et sådant system har udtalte resonansegenskaber. For hende

betingelser er opfyldt

α2<<ω0 2 ,

Q2 >>1

Så kan vi overveje

ωр ≈ ω0

En kvantitativ karakteristik af resonanseffekten kan være forholdet mellem udgangsamplituden ved maksimum og amplituden af ​​tvungne oscillationer langt fra resonans, i området med frekvenser så lave, at amplituden kan anses for uafhængig af frekvensen. Fra (19), under hensyntagen til betingelser (22) og (23), opnår vi

U U (maks. 0)≈ Q

de der. dette forhold er lig med systemets kvalitetsfaktor. Da U(0) = E 0, viser kvalitetsfaktoren også, hvor mange gange amplituden ved systemudgangen ved resonans overstiger indgangsamplituden. Jo højere kvalitetsfaktor systemet har, jo smallere er resonansmaksimum. Bredden af ​​resonanskurven ved en bestemt én gang for altid valgt højde kan også tjene som en kvantitativ karakteristik af resonanseffekten. Resonansbredde

er proportional med kvadratet af amplituden, svarer dette til et fald i oscillationsenergien med det halve i forhold til maksimum).

Så den målte bredde 2∆ ω kaldes bredden af ​​resonanskurven ved halv effekt. Lad os finde bredden 2∆ ω. Betingelsen for at reducere den kvadrerede amplitude til det halve i forhold til maksimum vil have formen

		Q2 E2
	}