Elektriske feltstyrkelinjer er linjer, hvis tangenter i hvert punkt falder sammen med vektor E. Ved deres retning kan man bedømme, hvor de positive (+) og negative (–) ladninger, der skaber det elektriske felt, er placeret. Tætheden af linjer (antallet af linjer, der gennemborer en enhedsoverfladeareal vinkelret på dem) er numerisk lig med modulet af vektoren E.
Elektriske feltstyrkelinjer Elektriske feltstyrkelinjer er ikke lukkede, de har en begyndelse og en slutning. Vi kan sige, at det elektriske felt har "kilder" og "dræn" af feltlinjer. Kraftlinjer begynder på positive (+) ladninger (fig. a) og slutter på negative (–) ladninger (fig. b). Feltlinjerne skærer ikke hinanden.
Strøm af den elektriske feltstyrkevektor Vilkårligt areal dS. Strømmen af den elektriske feltstyrkevektor gennem stedet dS: er en pseudo-vektor, hvis størrelse er lig med dS, og retningen falder sammen med retningen af vektor n til stedet dS. E = constdФ E = N - antallet af linjer i den elektriske feltstyrkevektoren E, der penetrerer området dS.
Strømning af den elektriske feltstyrkevektor Hvis overfladen ikke er flad, og feltet er inhomogent, identificeres et lille element dS, som betragtes som fladt, og feltet betragtes som ensartet. Flux af den elektriske feltstyrkevektor: Strømningstegnet falder sammen med ladningens fortegn.
Gauss lov (sætning) i integral form. En rumvinkel er en del af rummet begrænset af en konisk overflade. Målet for rumvinklen er forholdet mellem arealet S af kuglen udskåret på kuglens overflade af en konisk overflade og kvadratet af kuglens radius R. 1 steradian er en solid vinkel med et toppunkt i midten af kuglen, der skærer et område ud på kuglens overflade svarende til arealet af en firkant med en sidelængde lig med radius af denne kugle.
Gauss' sætning i integralform Et elektrisk felt skabes af en punktladning +q i et vakuum. Strømningen d Ф E skabt af denne ladning gennem et uendeligt lille areal dS, hvis radius er vektor r. dS n – projektion af området dS på et plan vinkelret på vektoren r. n er enhedsvektoren for den positive normal til dS-området.
Hvis en vilkårlig overflade omgiver k– ladninger, så ifølge superpositionsprincippet: Gauss' sætning: for et elektrisk felt i et vakuum er strømmen af den elektriske feltstyrkevektor gennem en vilkårlig lukket overflade lig med den algebraiske sum af ladningerne indeholdt inde i denne overflade divideret med ε 0.
Metoden til at anvende Gauss' sætning til at beregne elektriske felter er den anden metode til at bestemme den elektriske feltstyrke E. Gauss' sætning bruges til at finde felter skabt af legemer med geometrisk symmetri. Derefter reduceres vektorligningen til en skalarligning.
Metoden til at anvende Gauss-sætningen til at beregne elektriske felter er den anden metode til at bestemme den elektriske feltstyrke E 1) Fluxen FE af vektoren E findes ved at bestemme fluxen. 2) Strømningen F E findes ved hjælp af Gauss-sætningen. 3) Ud fra betingelsen om strømningslighed findes vektoren E.
Eksempler på anvendelse af Gauss' sætning 1. Felt af en uendelig ensartet ladet tråd (cylinder) med lineær tæthed τ (τ = dq/dl, C/m). Feltet er symmetrisk, rettet vinkelret på gevindet og har af symmetrihensyn i samme afstand fra cylinderens (tråden) symmetriakse samme værdi.
2. Feltet af en ensartet ladet kugle med radius R. Feltet er symmetrisk, intensitetslinjerne E i det elektriske felt er rettet i radial retning, og i samme afstand fra punkt O har feltet samme værdi. Enhedens normalvektor n til en kugle med radius r falder sammen med intensitetsvektoren E. Lad os omfavne den ladede (+q) kugle med en hjælpesfærisk overflade med radius r.
2. Felt af en ensartet ladet kugle Når feltet af en kugle er som feltet af en punktladning. Ved r 
(σ = dq/dS, C/m2). Feltet er symmetrisk, vektor E er vinkelret på planet med overfladeladningstæthed +σ og har samme værdi i samme afstand fra planet. 3. Felt af et ensartet ladet uendeligt plan med overfladeladningstæthed + σ Som en lukket overflade tager vi en cylinder, hvis baser er parallelle med planet, og som er delt af det ladede plan i to lige store halvdele.
Earnshaws sætning Et system af stationære elektriske ladninger kan ikke være i stabil ligevægt. Ladningen + q vil være i ligevægt, hvis der, når den bevæger sig et stykke dr, virker en kraft F fra alle andre ladninger i systemet, der er placeret uden for overfladen S, og returnerer den til sin oprindelige position. Der er et system af ladninger q 1, q 2, ... q n. En af ladningerne q i systemet vil være dækket af en lukket overflade S. n er enhedsnormalvektoren til overfladen S.
Earnshaws sætning Kraften F skyldes feltet E skabt af alle andre ladninger. Feltet for alle ydre ladninger E skal rettes modsat retningen af forskydningsvektoren dr, det vil sige fra overfladen S til midten. Ifølge Gauss' sætning, hvis ladningerne ikke er dækket af en lukket overflade, så er Ф E = 0. Modsigelsen beviser Earnshaws sætning.
0 flyder mere ud end flyder ind. Ф 0 flyder mere ud, end det flyder ind. F 33 Gauss' lov i differentiel form Vektordivergens er antallet af feltlinjer pr. volumenenhed eller fluxtætheden af feltlinjer. Eksempel: vand strømmer ud og strømmer ud af et volumen. Ф > 0 mere strømmer ud end strømmer ind. Ф 0 flyder mere ud, end det flyder ind. Ф 0 flyder mere ud, end det flyder ind. Ф 0 flyder mere ud, end det flyder ind. Ф 0 flyder mere ud, end det flyder ind. Ф title="Gauss' lov i differentialform Vektordivergens er antallet af kraftlinjer pr. volumenenhed eller fluxtætheden af kraftledninger. Eksempel: vand strømmer ud og strømmer ud af et volumen. Ф > 0 mere flyder ud end flyder ind. Ф
At repræsentere det elektrostatiske felt ved hjælp af intensitetsvektorer på forskellige punkter af feltet er meget ubelejligt, da billedet viser sig at være meget forvirrende. Faraday foreslog en enklere og mere visuel metode til at afbilde det elektrostatiske felt ved hjælp af spændingslinjer eller elledninger. Elledninger kaldes kurver, hvis tangenter i hvert punkt falder sammen med retningen af feltstyrkevektoren (fig. 1.2). Feltlinjens retning falder sammen med retningen. Kraftlinjer begynder ved positive ladninger og slutter ved negative ladninger. Feltlinjerne skærer ikke hinanden, da vektoren i hvert punkt i feltet kun har én retning. Et elektrostatisk felt betragtes som ensartet, hvis intensiteten på alle dets punkter er den samme i størrelse og retning. Et sådant felts kraftlinjer er lige linjer parallelt med intensitetsvektoren.
Kraftlinjerne for punktladninger er radiale rette linjer, der kommer ud af ladningen og går til det uendelige, hvis den er positiv (fig. 1.3a). Hvis ladningen er negativ, viser feltlinjernes retning sig at være den modsatte: de begynder ved uendelig og slutter ved ladning -q (fig. 1.3b). Punktladningsfeltet har central symmetri.
Fig.1.3. Spændingslinjer af punktladninger: a - positiv, b - negativ.
Figur 1.3 viser flade udsnit af de elektrostatiske felter i et system med to ladninger af samme størrelse: a) ladninger af samme fortegn, b) ladninger af forskelligt fortegn.1. 5. Princippet om superposition af elektrostatiske felter.
Elektrostatikkens hovedopgave er at bestemme størrelsen og retningen af intensitetsvektoren i hvert punkt i feltet, skabt enten af et system af stationære punktladninger eller af ladede overflader med vilkårlig form. Lad os overveje det første tilfælde, når feltet er skabt af et system af ladninger q 1, q 2,..., q n. Hvis en testladning q 0 placeres på et hvilket som helst punkt i dette felt, vil Coulomb-kræfter virke på den fra ladningerne q 1, q 2,..., q n. Ifølge princippet om uafhængighed af kræfternes virkning, betragtet i mekanik, er den resulterende kraft lig med deres vektorsum
.
Ved at bruge formlen for den elektrostatiske feltstyrke kan venstre side af ligheden skrives: , hvor er styrken af det resulterende felt skabt af hele systemet af ladninger på det punkt, hvor testladningenq 0 er placeret. Højre side af ligheden kan derfor skrives 
, hvor er feltstyrken skabt af én ladning qi. Ligestillingen vil tage form 
. Reducerer vi med q 0, får vi .
Den elektrostatiske feltstyrke af et system af punktladninger er lig med vektorsummen af feltstyrkerne skabt af hver af disse ladninger separat. Dette er princippet om uafhængighed af virkning af elektrostatiske felter eller superpositionsprincippet (overlejringer) felter .
Lad os betegne med radiusvektoren fra punktladningen q i til feltpunktet under undersøgelse. Feltstyrken i den fra ladningen q i er lig med 
. Så er den resulterende spænding skabt af hele systemet af ladninger lig med 
. Den resulterende formel er også anvendelig til at beregne de elektrostatiske felter af ladede legemer med vilkårlig form, da ethvert legeme kan opdeles i meget små dele, som hver kan betragtes som en punktladning qi. Så vil beregningen på ethvert punkt i rummet ligne ovenstående.
Ved at kende vektoren for den elektrostatiske feltstyrke ved hvert af dets punkter, kan du visuelt repræsentere dette felt ved hjælp af feltstyrkelinjer (vektorlinjer E →). Spændingslinjerne tegnes således, at tangenten til dem i hvert punkt falder sammen med retningen af spændingsvektoren E → (fig. 4, a).
Antallet af linjer, der gennemborer en enhedsareal dS vinkelret på dem, tegnes proportionalt med størrelsen af vektoren E → (fig. 4, b). Feltlinjerne er tildelt en retning, der falder sammen med retningen af vektoren E →. Det resulterende billede af fordelingen af spændingslinjer giver os mulighed for at bedømme konfigurationen af et givet elektrisk felt på dets forskellige punkter. Kraftlinjer begynder ved positive ladninger og slutter ved negative ladninger. I fig. fig. 5 viser spændingslinjerne for punktladninger (fig. 5, a, b); systemer med to modsat ladede ladninger (Fig. 5, a b Fig. 4 Fig. 5 c) er et eksempel på et ikke-ensartet elektrostatisk felt og to parallelle modsat ladede planer (Fig. 5, d) er et eksempel på et homogent elektrisk felt .
Ostrogradsky-Gauss-sætningen og dens anvendelse.
Lad os introducere en ny fysisk størrelse, der karakteriserer det elektriske felt - spændingsvektor flow elektrisk felt. Lad der være et ret lille område i rummet, hvor det elektriske felt skabes, inden for hvilket intensiteten, dvs. det elektrostatiske felt er ensartet. Produktet af en vektors modul ved arealet og cosinus af vinklen mellem vektoren og normalen til arealet hedder elementært flow af spændingsvektoren gennem platformen (fig. 10.7):
hvor er feltprojektionen til normal retning .
Lad os nu overveje en vilkårlig lukket overflade. I tilfælde af en lukket overflade skal du altid vælge ydre normal til overfladen, det vil sige normalen rettet udad af området.
Hvis vi opdeler denne overflade i små områder, bestemmer feltets elementære strømme gennem disse områder og derefter opsummerer dem, så får vi som et resultat flowet spændingsvektor gennem en lukket overflade (fig. 10.8):
. (10.9)
 |
| Ris. 10.7 |
 Ris. 10.8 |
Sætning Ostrogradsky-Gauss anfører: strømmen af den elektrostatiske feltstyrkevektor gennem en vilkårlig lukket overflade er direkte proportional med den algebraiske sum af frie ladninger placeret inde i denne overflade:
, (10.10)
hvor er den algebraiske sum af frie ladninger placeret inde i overfladen, er volumentætheden af frie ladninger, der optager volumen.
Af Ostrogradsky-Gauss-sætningen (10.10), (10.12) følger det, at flowet ikke afhænger af formen af den lukkede overflade (kugle, cylinder, terning osv.), men kun bestemmes af den samlede ladning inde i denne overflade .
Ved hjælp af Ostrogradsky-Gauss-sætningen er det i nogle tilfælde muligt nemt at beregne den elektriske feltstyrke af et ladet legeme, hvis en given ladningsfordeling har nogen symmetri.
Et eksempel på brug af Ostrogradsky-Gauss-sætningen. Lad os overveje problemet med at beregne feltet af en tyndvægget hulning en ensartet ladet lang cylinder med radius (en tynd uendelig ladet tråd). Dette problem har aksial symmetri. Af symmetrihensyn skal det elektriske felt rettes langs radius. Lad os vælge en lukket overflade i form af en cylinder med vilkårlig radius og længde, lukket i begge ender (fig. 10.9)
EN b
). Spændingslinjerne tegnes således, at tangenten til dem i hvert punkt falder sammen med spændingsvektorens retning 
(Fig. 1.4, EN).Antallet af linjer, der gennemborer en enhedsareal dS vinkelret på dem, tegnes proportionalt med vektormodulet 
(Fig. 1.4, b).
Kraftlinjer tildeles en retning, der falder sammen med vektorens retning 
. Det resulterende billede af fordelingen af spændingslinjer giver os mulighed for at bedømme konfigurationen af et givet elektrisk felt på dets forskellige punkter. Kraftlinjer begynder ved positive ladninger og slutter ved negative ladninger.
I fig. Figur 1.5 viser spændingslinjerne for punktladninger (Fig. 1.5, EN,
b); systemer med to modsatte ladninger (fig. 1.5, V) er et eksempel på et ikke-ensartet elektrostatisk felt og to parallelle modsat ladede planer (fig. 1.5, G) er et eksempel på et ensartet elektrisk felt.
1.5. Afgiftsfordeling
I nogle tilfælde, for at forenkle matematiske beregninger, er det praktisk at erstatte den sande fordeling af punkt-diskrete ladninger med en fiktiv kontinuerlig fordeling. Ved overgang til en kontinuerlig fordeling af ladninger anvendes begrebet ladningstæthed - lineær , overflade og volumetrisk , dvs.
(1.12)
hvor dq er ladningen fordelt i overensstemmelse hermed over længdeelementet 
, overfladeelement dS og volumenelement dV.
Under hensyntagen til disse fordelinger kan formel (1.11) skrives i en anden form. For eksempel, hvis ladningen er fordelt over volumen, skal du i stedet for q i bruge dq = dV, og erstatte sumsymbolet med et integral, så
.
(1.13)
1.6. Elektrisk dipol
For at forklare fænomener forbundet med ladninger i fysik bruges begrebet elektrisk dipol.
Et system af to lige store modsatrettede punktladninger, hvor afstanden imellem er meget mindre end afstanden til de punkter i rummet, der undersøges, kaldes en elektrisk dipol. Ifølge definitionen af en dipol +q=q= q.
, rettet fra negativ til positiv ladning. Hovedkarakteristikken for en dipol er elektrisk dipolmoment
= q 
.
(1.14)Ved absolut værdi
p = q 
.
(1.15)
I SI måles det elektriske dipolmoment i coulombs gange en meter (C m).
Lad os beregne potentialet og den elektriske feltstyrke af en dipol, idet vi betragter det som et punkt et, if 
r.
Elektrisk feltpotentiale skabt af et system af punktladninger i et vilkårligt punkt karakteriseret ved en radiusvektor 
, skriver vi det i formen:
hvor r 1 r 2 r 2 , r 1 r 2 r = 
, fordi 
r; vinkel mellem radiusvektorer 
Og
(Fig. 1.6) .
Tager vi dette i betragtning, får vi
.
(1.16)
Ved at bruge formlen, der relaterer potentialegradienten til intensiteten, finder vi den intensitet, der skabes af dipolens elektriske felt. Lad os udvide vektoren 
elektriske
dipolfelter i to indbyrdes vinkelrette komponenter, dvs. 
(Fig. 1. 6).
Den første af dem bestemmes af bevægelsen af et punkt karakteriseret ved radiusvektoren 
(for en fast værdi af vinklen), dvs. vi finder værdien af E ved at differentiere (1,81) med hensyn til r, dvs.
.
(1.17)
Den anden komponent bestemmes af bevægelsen af det punkt, der er forbundet med ændringen i vinkel (for en fast r), dvs. E vil blive fundet ved at differentiere (1.16) med hensyn til : 
,
(1.18)
Hvor 
,d 
= rd.
Resulterende spænding E 2 = E 2 + E 2 eller efter substitution 
.
(1.19)
Kommentar: Ved = 90 o 
,
(1.20)
dvs. spændingen i et punkt på en ret linje, der går gennem midten af dipolen (dvs. O) og vinkelret på dipolens akse.
Ved = 0 o 
,
(1.21)
dvs. i et punkt på fortsættelsen af den rette linje, der falder sammen med dipolens akse.
Analyse af formlerne (1.19), (1.20), (1.21) viser, at den elektriske feltstyrke af en dipol aftager med afstanden i omvendt proportion til r 3, dvs. hurtigere end for en punktladning (omvendt proportional med r 2).
Der er en meget bekvem måde at visuelt beskrive det elektriske felt. Denne metode går ud på at konstruere et netværk af linjer, ved hjælp af hvilket størrelsen og retningen af feltstyrken på forskellige punkter i rummet afbildes.
Lad os vælge et punkt i det elektriske felt (fig. 31, a) og tegne et lille lige linjestykke fra det, så dets retning falder sammen med feltets retning ved punkt . Så fra et eller andet punkt i dette segment tegner vi et segment, hvis retning falder sammen med feltets retning i punktet osv. Vi får en stiplet linje, der viser, hvilken retning feltet har i punkterne på denne linje.
Ris. 31. a) En stiplet linje, der kun viser feltets retning i fire punkter, b) En stiplet linje, der viser feltets retning i seks punkter. c) En linje, der viser feltets retning i alle punkter. Den stiplede linje viser feltets retning ved punktet
Den stiplede linje, der er konstrueret på denne måde, bestemmer ikke helt præcist feltets retning på alle punkter. Faktisk er segmentet præcist rettet langs feltet kun på et punkt (ved konstruktion); men på et andet punkt på samme segment kan feltet have en lidt anden retning. Denne konstruktion vil dog formidle feltretningen mere præcist, jo tættere de valgte punkter er på hinanden. I fig. I fig. 31b er feltets retning ikke afbildet for fire, men for seks punkter, og billedet er mere nøjagtigt. Billedet af feltretningen bliver ret nøjagtigt, når brudpunkterne rykker tættere sammen på ubestemt tid. I dette tilfælde bliver den stiplede linje til en jævn kurve (fig. 31, c). Retningen af tangenten til denne linje ved hvert punkt falder sammen med retningen af feltstyrken på dette punkt. Derfor kaldes det normalt den elektriske feltlinje. Enhver linje, der mentalt er tegnet i et felt, hvor retningen af tangenten til hvilket som helst punkt falder sammen med retningen af feltstyrken på dette punkt, kaldes således en elektrisk feltlinje.
Af de to modsatte retninger bestemt af tangenten, vil vi altid blive enige om at vælge den retning, der falder sammen med retningen af kraften, der virker på den positive ladning, og denne retning markerer vi på tegningen med pile.
Generelt er elektriske feltlinjer kurver. Der kan dog også være lige linjer. Eksempler på et elektrisk felt beskrevet af rette linjer er feltet af en punktladning, fjernt fra andre ladninger (fig. 32), og feltet af en ensartet ladet kugle, også fjernt fra andre ladede legemer (fig. 33).
Ris. 32. Feltlinjer af en punkt positiv ladning
Ris. 33. Feltlinjer af en ensartet ladet bold
Ved hjælp af elektriske feltlinjer kan du ikke kun afbilde feltets retning, men også karakterisere feltstyrkens modul. Lad os igen overveje feltet af en punktladning (fig. 34). Linjerne i dette felt er radiale lige linjer, der divergerer fra ladningen i alle retninger. Fra ladningens placering, som fra midten, vil vi konstruere en række sfærer. Alle de marklinjer, vi har tegnet, går gennem hver af dem. Da arealet af disse kugler stiger i forhold til kvadratet af radius, dvs. kvadratet på afstanden til ladningen, falder antallet af linjer, der passerer gennem en enhedsoverfladeareal af kuglerne, når kvadratet af kuglerne afstand til ladningen. På den anden side ved vi, at den elektriske feltstyrke også falder. Derfor kan vi i vores eksempel bedømme feltstyrken ud fra antallet af feltlinjer, der passerer gennem en enhedsareal vinkelret på disse linjer.
Ris. 34. Kugler tegnet omkring en positiv punktladning. Hver af dem viser et enkelt websted
Hvis ladningen blev taget dobbelt så stor, ville feltstyrken på alle punkter stige med en faktor. Derfor, så vi i dette tilfælde kan bedømme feltstyrken ud fra tætheden af feltlinjerne, er vi enige om at tegne flere linjer fra ladningen, jo større ladningen er. Med denne billeddannelsesmetode kan tætheden af feltlinjer tjene til kvantitativt at beskrive feltstyrken. Vi vil beholde denne repræsentationsmetode i det tilfælde, hvor feltet ikke er dannet af en enkelt ladning, men har en mere kompleks karakter.
Det siger sig selv, at antallet af linjer, som vi trækker gennem en enhedsflade for at afbilde et felt med en given intensitet, afhænger af vores vilkårlighed. Det er kun nødvendigt, at når man afbilder forskellige områder af det samme felt, eller når man afbilder flere felter sammenlignet med hinanden, skal tætheden af linjer, der anvendes til at afbilde et felt, hvis styrke er lig med enhed, bevares.
På tegningerne (f.eks. i fig. 35) er det muligt at afbilde ikke fordelingen af feltlinjer i rummet, men kun et tværsnit af billedet af denne fordeling ved tegningens plan, hvilket vil gøre det muligt at få såkaldte "elektriske kort". Sådanne kort giver en visuel repræsentation af, hvordan et givet felt er fordelt i rummet. Hvor feltstyrken er høj, tegnes linjerne tæt, hvor feltet er svagt, er tætheden af linjerne lille.
Ris. 35. Feltlinjer mellem modsat ladede plader. Feltstyrke: a) minimum – tætheden af feltlinjer er minimal; 6) medium - tætheden af feltlinjer er gennemsnitlig; c) størst – tætheden af feltlinjer er maksimal
Et felt, hvis styrke på alle punkter er den samme i størrelse og retning, kaldes homogen. Homogene feltlinjer er parallelle lige linjer. På tegningerne vil et homogent felt også være repræsenteret af en række parallelle og lige linjer, jo tættere jo stærkere felt repræsenterer de (fig. 35).
Bemærk at kæderne dannet af kornene i forsøget i § 13 har samme form som marklinjerne. Dette er naturligt, da hvert aflangt korn er placeret i retning af feltstyrken på det tilsvarende punkt. Derfor Fig. 26 og 27 er som kort over elektriske feltlinjer mellem parallelle plader og nær to ladede kugler. Ved hjælp af legemer af forskellige former er det ved hjælp af sådanne eksperimenter muligt nemt at finde mønstre for fordeling af elektriske feltlinjer for forskellige felter.