Emne. Afledte. Geometrisk og mekanisk betydning af afledte
Hvis denne grænse eksisterer, siges funktionen at være differentierbar på et punkt. Den afledte funktion af en funktion er angivet med (formel 2).
- Geometrisk betydning af afledte. Lad os se på grafen for funktionen. Fra fig. 1 er det klart, at for alle to punkter A og B i grafen for funktionen kan formel 3 skrives). Den indeholder hældningsvinklen for sekanten AB.
Således er differensforholdet lig med sekantens hældning. Hvis du fikserer punkt A og flytter punkt B mod det, så falder det uden grænse og nærmer sig 0, og sekanten AB nærmer sig tangenten AC. Derfor er grænsen for differensforholdet lig med hældningen af tangenten i punkt A. Dette fører til konklusionen.
Den afledte funktion i et punkt er hældningen af tangenten til grafen for denne funktion i det punkt. Dette er den geometriske betydning af derivatet.
- Tangentligning . Lad os udlede tangentens ligning til grafen for funktionen i et punkt. I det generelle tilfælde har ligningen for en ret linje med en vinkelkoefficient formen: . For at finde b udnytter vi, at tangenten går gennem punkt A: . Dette indebærer:. Ved at erstatte dette udtryk i stedet for b får vi tangentligningen (formel 4).
For at finde ud af den aflededes geometriske værdi skal du overveje grafen for funktionen y = f(x). Lad os tage et vilkårligt punkt M med koordinater (x, y) og et punkt N tæt på det (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Lad os tegne ordinaterne $\overline(M_(1) M)$ og $\overline(N_(1) N)$, og fra punkt M - en ret linje parallel med OX-aksen.
Forholdet $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ er tangenten af vinklen $\alpha $1 dannet af sekanten MN med den positive retning af OX-aksen. Da $\Delta $x har en tendens til nul, vil punktet N nærme sig M, og grænsepositionen for sekanten MN vil være tangenten MT til kurven i punktet M. Således er den afledte f`(x) lig med tangenten af vinklen $\alpha $ dannet af tangenten til kurven i punktet M (x, y) med en positiv retning til OX-aksen - tangentens hældning (fig. 1).
Figur 1. Funktionsgraf
Ved beregning af værdier ved hjælp af formler (1), er det vigtigt ikke at lave fejl i fortegnene, fordi stigningen kan også være negativ.
Punkt N, der ligger på en kurve, kan vende mod M fra enhver side. Så hvis tangenten i figur 1 gives den modsatte retning, vil vinklen $\alpha $ ændre sig med mængden $\pi $, hvilket vil påvirke vinklens tangent og dermed vinkelkoefficienten betydeligt.
Konklusion
Det følger heraf, at eksistensen af en afledt er forbundet med eksistensen af en tangent til kurven y = f(x), og vinkelkoefficienten - tg $\alpha $ = f`(x) er endelig. Derfor skal tangenten ikke være parallel med OY-aksen, ellers vil $\alpha $ = $\pi $/2, og vinklens tangens være uendelig.
På nogle punkter kan en kontinuerlig kurve ikke have en tangent eller have en tangent parallel med OY-aksen (fig. 2). Så kan funktionen ikke have en afledet i disse værdier. Der kan være et hvilket som helst antal lignende punkter på funktionskurven.
Figur 2. Ekstraordinære punkter på kurven
Overvej figur 2. Lad $\Delta $x vende mod nul fra negative eller positive værdier:
\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]
Hvis relationer (1) i dette tilfælde har en endelig grænse, betegnes det som:
I det første tilfælde er den afledte til venstre, i det andet er den afledte til højre.
Eksistensen af en grænse indikerer ækvivalensen og ligheden af venstre og højre derivater:
Hvis venstre og højre afledede er ulige, så er der i et givet punkt tangenter, der ikke er parallelle med OY (punkt M1, fig. 2). Ved punkterne M2 har M3-relationer (1) tendens til uendelig.
For punkter N, der ligger til venstre for M2, $\Delta $x $
Til højre for $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, men udtrykket er også f(x + $\Delta $x) -- f(x) $
For punktet $M_3$ til venstre, $\Delta $x $$ 0 og f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, dvs. udtryk (1) både til venstre og til højre er positive og har tendens til +$\infty $ både når $\Delta $x nærmer sig -0 og +0.
Tilfældet med fravær af en afledt på specifikke punkter på linjen (x = c) er vist i figur 3.
Figur 3. Ingen derivater
Eksempel 1
Figur 4 viser en graf over funktionen og tangenten til grafen ved abscissepunktet $x_0$. Find værdien af den afledede af funktionen i abscissen.
Løsning. Den afledte i et punkt er lig med forholdet mellem funktionens stigning og stigningen i argumentet. Lad os vælge to punkter på tangenten med heltalskoordinater. Lad for eksempel være punkterne F (-3,2) og C (-2,4).
Afledte(fungerer på et punkt) - grundlæggende koncept differentialregning, der karakteriserer ændringshastigheden af funktionen (på et givet punkt). Defineret som begrænse forholdet mellem stigningen af en funktion og dens stigning argument når argumentstigningen har tendens til nul, hvis en sådan grænse findes. En funktion, der har en endelig afledt (på et tidspunkt) kaldes differentierbar (på det tidspunkt).
Processen med at beregne den afledte kaldes differentiering. Omvendt proces - at finde antiderivat - integration.
Hvis en funktion er givet af en graf, er dens afledede i hvert punkt lig med tangenten af tangenten til grafen for funktionen. Og hvis funktionen er givet af en formel, hjælper tabellen over afledte og reglerne for differentiering dig, det vil sige reglerne for at finde den afledede.
4. Afledt af en kompleks og omvendt funktion.
Lad nu være givet kompleks funktion , dvs. en variabel er en funktion af en variabel, og en variabel er til gengæld en funktion af en uafhængig variabel.
Sætning . Hvis Og differentierbar funktioner af dens argumenter, derefter en kompleks funktion er en differentierbar funktion, og dens afledte er lig med produktet af den afledede af denne funktion med hensyn til det mellemliggende argument og den afledte af det mellemliggende argument med hensyn til den uafhængige variabel:
.
Udsagnet fås let ud fra den åbenlyse ligestilling 
(gyldig for og ) ved passage til grænsen ved (hvilket, på grund af kontinuiteten af den differentiable funktion, indebærer ).
Lad os gå videre til at overveje derivatet omvendt funktion.
Lad den differentierbare funktion på et sæt have et sæt værdier og på sættet findes der omvendt funktion .
Sætning
. Hvis på punktet
afledte
, derefter den afledede af den inverse funktion
på punktet
eksisterer og er lig med den reciproke af afledte af denne funktion: 
, eller
Denne formel opnås let ud fra geometriske overvejelser.
T 
Ligesom der er tangenten til hældningsvinklen for tangentlinjen til aksen, det vil sige tangenten til hældningsvinklen for den samme tangent (samme linje) i samme punkt til aksen.
Hvis de er skarpe, så , og hvis de er stumpe, så 
.
I begge tilfælde 
. Denne lighed svarer til lighed
5. Geometrisk og fysisk betydning af afledte.
1) Fysisk betydning af derivatet.
Hvis funktionen y = f(x) og dens argument x er fysiske størrelser, så er den afledede ændringshastigheden af variablen y i forhold til variablen x i et punkt. For eksempel, hvis S = S(t) er afstanden tilbagelagt af et tidspunkt t, så er dets afledte hastigheden på tidspunktet. Hvis q = q(t) er mængden af elektricitet, der strømmer gennem lederens tværsnit på tidspunktet t, så er ændringshastigheden i mængden af elektricitet på tidspunktet, dvs. nuværende styrke på et tidspunkt.
2) Geometrisk betydning af derivatet.
Lad være en kurve, vær et punkt på kurven.
Enhver linje, der skærer mindst to punkter, kaldes en sekant.
En tangent til en kurve i et punkt er grænsepositionen for en sekant, hvis punktet har en tendens til at bevæge sig langs kurven.
Ud fra definitionen er det indlysende, at hvis der findes en tangent til en kurve i et punkt, så er den den eneste
Betragt kurven y = f(x) (dvs. grafen for funktionen y = f(x)). Lad ved punktet 
den har en ikke-lodret tangent. Dens ligning: (ligning af en linje, der går gennem et punkt 
og har en hældning k).
Per definition af vinkelkoefficienten, hvor er hældningsvinklen af den lige linje til aksen.
Lade være hældningsvinklen af sekanten til aksen, hvor. Siden er en tangent, så hvornår
Derfor,
Således fandt vi ud af, at vinkelkoefficienten for tangenten til grafen for funktionen y = f(x) i punktet 
(geometrisk betydning af den afledede af en funktion i et punkt). Derfor er ligningen for tangenten til kurven y = f(x) i punktet 
kan skrives i skemaet
Resumé af en åben lektion af en lærer på GBPOU "Pedagogical College No. 4 of St. Petersburg"
Martusevich Tatyana Olegovna
Dato: 29.12.2014.
Emne: Geometrisk betydning af derivater.
Lektionstype: lære nyt stof.
Undervisningsmetoder: visuel, delvis søgning.
Formålet med lektionen.
Introducer begrebet tangent til grafen for en funktion i et punkt, find ud af, hvad den afledede geometriske betydning er, udled tangentens ligning og lær, hvordan du finder den.
Uddannelsesmål:
Opnå en forståelse af den geometriske betydning af derivatet; udledning af tangentligningen; lære at løse grundlæggende problemer;
give gentagelse af materiale om emnet "Definition af et derivat";
skabe betingelser for kontrol (selvkontrol) af viden og færdigheder.
Udviklingsopgaver:
fremme dannelsen af færdigheder til at anvende teknikker til sammenligning, generalisering og fremhævelse af det vigtigste;
fortsætte udviklingen af matematiske horisonter, tænkning og tale, opmærksomhed og hukommelse.
Pædagogiske opgaver:
fremme interessen for matematik;
uddannelse af aktivitet, mobilitet, kommunikationsevner.
Lektionstype – en kombineret lektion med IKT.
Udstyr – multimedieinstallation, præsentationMicrosoftStrømPunkt.
Lektionsfase
Tid
Lærerens aktiviteter
Elevaktivitet
1. Organisatorisk øjeblik.
Angiv emnet og formålet med lektionen.
Emne: Geometrisk betydning af derivater.
Formålet med lektionen.
Introducer begrebet tangent til grafen for en funktion i et punkt, find ud af, hvad den afledede geometriske betydning er, udled tangentens ligning og lær, hvordan du finder den.
Forberedelse af eleverne til arbejde i klassen.
Forberedelse til arbejde i klassen.
Forstå emnet og formålet med lektionen.
Tage noter.
2. Forberedelse til indlæring af nyt stof gennem gentagelse og opdatering af grundlæggende viden.
Organisering af gentagelse og opdatering af grundlæggende viden: definition af afledte og formulering af dens fysiske betydning.
Formulering af definitionen af et derivat og formulering af dets fysiske betydning. Gentagelse, opdatering og konsolidering af grundlæggende viden.
Organisering af gentagelse og udvikling af færdigheden til at finde afledte af en potensfunktion og elementære funktioner.
At finde den afledede af disse funktioner ved hjælp af formler.
Gentagelse af egenskaberne for en lineær funktion.
Gentagelse, opfattelse af tegninger og lærerens udsagn
3. Arbejde med nyt materiale: forklaring.
Forklaring af betydningen af sammenhængen mellem funktion increment og argument increment
Forklaring af den afledtes geometriske betydning.
Introduktion af nyt materiale gennem verbale forklaringer ved brug af billeder og visuelle hjælpemidler: multimediepræsentation med animation.
Opfattelse af forklaring, forståelse, svar på lærerspørgsmål.
Formulering af et spørgsmål til læreren i tilfælde af vanskeligheder.
Opfattelse af ny information, dens primære forståelse og forståelse.
Formulering af spørgsmål til læreren i tilfælde af vanskeligheder.
Oprettelse af en note.
Formulering af den geometriske betydning af derivatet.
Behandling af tre sager.
At tage noter, lave tegninger.
4. Arbejde med nyt materiale.
Primær forståelse og anvendelse af det studerede materiale, dets konsolidering.
På hvilke punkter er den afledte positiv?
Negativ?
Lige med nul?
Træning i at finde en algoritme til svar på spørgsmål stillet i henhold til en tidsplan.
Forståelse, mening med og anvendelse af ny information til at løse et problem.
5. Primær forståelse og anvendelse af det studerede materiale, dets konsolidering.
Besked om opgavebetingelserne.
Registrering af betingelserne for opgaven.
Formulering af et spørgsmål til læreren i tilfælde af vanskeligheder
6. Anvendelse af viden: selvstændigt arbejde af pædagogisk karakter.
Løs problemet selv:
Anvendelse af erhvervet viden.
Selvstændigt arbejde med at løse problemet med at finde den afledte ud fra en tegning. Diskussion og verifikation af svar i par, formulering af et spørgsmål til læreren i tilfælde af vanskeligheder.
7. Arbejde med nyt materiale: forklaring.
Udledning af en tangents ligning til grafen for en funktion i et punkt.
En detaljeret forklaring af udledningen af ligningen for en tangent til grafen for en funktion i et punkt, ved hjælp af en multimediepræsentation for klarhedens skyld og svar på elevernes spørgsmål.
Udledning af tangentligningen sammen med læreren. Svar på lærerens spørgsmål.
At tage noter, lave en tegning.
8. Arbejde med nyt materiale: forklaring.
I en dialog med elever, udledningen af en algoritme til at finde ligningen for en tangent til grafen for en given funktion i et givet punkt.
Udled i en dialog med læreren en algoritme til at finde ligningen for tangenten til grafen for en given funktion i et givet punkt.
Tage noter.
Besked om opgavebetingelserne.
Træning i anvendelse af erhvervet viden.
Organisering af søgen efter måder at løse et problem på og deres implementering. detaljeret analyse af løsningen med forklaring.
Registrering af betingelserne for opgaven.
Gøre antagelser om mulige måder at løse problemet på ved implementering af hvert punkt i handlingsplanen. Løsning af opgaven sammen med læreren.
Registrering af løsningen på problemet og svaret.
9. Anvendelse af viden: selvstændigt arbejde af pædagogisk karakter.
Individuel kontrol. Rådgivning og assistance til studerende efter behov.
Tjek og forklar løsningen ved hjælp af en præsentation.
Anvendelse af erhvervet viden.
Selvstændigt arbejde med at løse problemet med at finde den afledte ud fra en tegning. Diskussion og verifikation af svar i par, formulering af et spørgsmål til læreren i tilfælde af vanskeligheder
10. Hjemmearbejde.
§48, opgave 1 og 3, forstå løsningen og skriv den ned i en notesbog, med tegninger.
№ 860 (2,4,6,8),
Lektiebesked med kommentarer.
Optagelse af lektier.
11. Opsummering.
Vi gentog definitionen af derivatet; fysisk betydning af afledt; egenskaber ved en lineær funktion.
Vi lærte, hvad den geometriske betydning af en afledt er.
Vi lærte, hvordan man udleder ligningen for en tangent til grafen for en given funktion i et givet punkt.
Rettelse og afklaring af lektionsresultater.
Liste over resultaterne af lektionen.
12. Refleksion.
1. Du fandt lektionen: a) let; b) sædvanligvis; c) svært.
a) har mestret det fuldstændigt, jeg kan anvende det;
b) har lært det, men har svært ved at anvende det;
c) forstod det ikke.
3. Multimediepræsentation i klassen:
a) hjalp med at mestre materialet; b) hjalp ikke med at mestre materialet;
c) forstyrret assimileringen af materialet.
Gennemføre refleksion.