Giv den klassiske definition af sandsynlighed. Formler til at tilføje sandsynligheder

Sandsynligheden for en begivenhed forstås som en vis numerisk karakteristik af muligheden for, at denne begivenhed indtræffer. Der er flere tilgange til at bestemme sandsynlighed.

Sandsynlighed for hændelsen EN kaldes forholdet mellem antallet af udfald, der er gunstige for denne begivenhed, og det samlede antal af alle lige mulige uforenelige elementære udfald, der udgør den komplette gruppe. Altså sandsynligheden for hændelsen EN bestemmes af formlen

Hvor m– antallet af gunstige elementære resultater EN, n– antallet af alle mulige elementære testresultater.

Eksempel 3.1. I et eksperiment, der involverer at kaste en terning, antallet af alle udfald n er lig med 6 og de er alle lige mulige. Lad begivenheden EN betyder udseendet af et lige tal. Så for denne begivenhed vil gunstige resultater være udseendet af tallene 2, 4, 6. Deres tal er 3. Derfor er sandsynligheden for begivenheden EN svarende til

Eksempel 3.2. Hvad er sandsynligheden for, at et tocifret tal valgt tilfældigt har de samme cifre?

To-cifrede tal er tal fra 10 til 99, der er 90 sådanne tal i alt. 9 tal har identiske cifre (disse er tallene 11, 22, ..., 99). Siden i dette tilfælde m=9, n=90 altså

Hvor EN– begivenhed, "et tal med de samme cifre."

Eksempel 3.3. I et parti på 10 dele er 7 standard. Find sandsynligheden for, at blandt seks dele taget tilfældigt, er 4 standard.

Det samlede antal mulige elementære testresultater er lig med antallet af måder, hvorpå 6 dele kan udtrækkes fra 10, dvs. antallet af kombinationer af 10 elementer af hver 6 elementer. Lad os bestemme antallet af resultater, der er gunstige for den begivenhed, der er af interesse for os EN(blandt de seks overtagne dele er der 4 standarddele). Fire standarddele kan tages fra syv standarddele på forskellige måder; samtidig skal de resterende 6-4=2 dele være ikke-standard, men du kan tage to ikke-standarddele fra 10-7=3 ikke-standarddele på forskellige måder. Derfor er antallet af gunstige resultater lig med .

Så er den nødvendige sandsynlighed lig med

Følgende egenskaber følger af definitionen af sandsynlighed:

1. Sandsynligheden for en pålidelig hændelse er lig med én.

Faktisk, hvis begivenheden er pålidelig, så favoriserer hvert elementært resultat af testen begivenheden. I dette tilfælde m=n altså

2. Sandsynligheden for en umulig hændelse er nul.

Faktisk, hvis en begivenhed er umulig, så favoriserer ingen af testens elementære resultater begivenheden. I dette tilfælde betyder det

3. Sandsynligheden for en tilfældig hændelse er et positivt tal mellem nul og én.

Faktisk er kun en del af det samlede antal elementære udfald af testen begunstiget af en tilfældig begivenhed. I dette tilfælde< m< n, betyder 0 < m/n < 1, dvs. 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Konstruktionen af en logisk fuldstændig sandsynlighedsteori er baseret på den aksiomatiske definition af en tilfældig begivenhed og dens sandsynlighed. I systemet af aksiomer foreslået af A. N. Kolmogorov er de udefinerede begreber en elementær begivenhed og sandsynlighed. Her er de aksiomer, der definerer sandsynlighed:

1. Hver begivenhed EN tildelt et ikke-negativt reelt tal P(A). Dette tal kaldes sandsynligheden for hændelsen EN.

2. Sandsynligheden for en pålidelig hændelse er lig med én.

3. Sandsynligheden for forekomsten af mindst én af de parvis uforenelige hændelser er lig med summen af sandsynligheden for disse hændelser.

Baseret på disse aksiomer udledes sandsynlighedernes egenskaber og afhængighederne mellem dem som sætninger.

Selvtest spørgsmål

1. Hvad er navnet på den numeriske karakteristik af muligheden for, at en begivenhed indtræffer?

2. Hvad er sandsynligheden for en hændelse?

3. Hvad er sandsynligheden for en pålidelig hændelse?

4. Hvad er sandsynligheden for en umulig begivenhed?

5. Hvad er grænserne for sandsynligheden for en tilfældig hændelse?

6. Hvad er grænserne for sandsynligheden for enhver begivenhed?

7. Hvilken definition af sandsynlighed kaldes klassisk?

Klassisk definition af sandsynlighed.

Som nævnt ovenfor, med et stort antal n test frekvens P*(A)=m/ n forekomst af en begivenhed EN er stabil og giver en omtrentlig værdi af sandsynligheden for en hændelse EN , dvs. .

Denne omstændighed giver os mulighed for eksperimentelt at finde den omtrentlige sandsynlighed for en begivenhed. I praksis er denne metode til at finde sandsynligheden for en begivenhed ikke altid praktisk. Vi skal trods alt vide på forhånd sandsynligheden for en begivenhed, selv før eksperimentet. Dette er videnskabens heuristiske, forudsigende rolle. I en række tilfælde kan sandsynligheden for en hændelse bestemmes før eksperimentet ved hjælp af begrebet ligesandsynlighed for hændelser (eller equipossibilitet).

De to begivenheder kaldes lige så sandsynligt (eller lige så muligt ), hvis der ikke er objektive grunde til at tro, at en af dem kan forekomme oftere end den anden.

Så for eksempel er udseendet af et våbenskjold eller en inskription, når du kaster en mønt, lige så sandsynlige begivenheder.

Lad os se på et andet eksempel. Lad dem kaste terningerne. På grund af terningens symmetri kan vi antage, at udseendet af et hvilket som helst af tallene 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 lige muligt (liges sandsynligt).

Begivenheder i dette eksperiment danner de fuld gruppe , hvis mindst én af dem skulle forekomme som resultat af forsøget. Så i det sidste eksempel består den komplette gruppe af begivenheder af seks begivenheder - udseendet af tal 1, 2, 3, 4, 5 Og 6.

Selvfølgelig, enhver begivenhed EN og dens modsatte begivenhed udgør en komplet gruppe.

Begivenhed B hedder gunstige begivenhed EN , hvis forekomsten af en begivenhed B medfører forekomsten af en begivenhed EN . Så hvis EN - udseendet af et lige antal point, når du kaster en terning, derefter udseendet af tallet 4 repræsenterer en begivenhed, der favoriserer en begivenhed EN.

Lad begivenheder i dette eksperiment danne en komplet gruppe af lige sandsynlige og parvis uforenelige begivenheder. Lad os ringe til dem resultater tests. Lad os antage, at begivenheden EN favoriserer forsøgsresultater. Så sandsynligheden for hændelsen EN i dette eksperiment kaldes attitude. Så vi kommer til følgende definition.

Sandsynligheden P(A) for en hændelse i et givet eksperiment er forholdet mellem antallet af eksperimentelle udfald, der er gunstige i forhold til begivenhed A, og det samlede antal mulige eksperimentelle udfald, der danner en komplet gruppe af lige så sandsynlige parvise uforenelige hændelser: .

Denne definition af sandsynlighed kaldes ofte klassisk. Det kan påvises, at den klassiske definition opfylder sandsynlighedsaksiomerne.

Eksempel 1.1. Et parti fra 1000 lejer. Jeg kom ind i denne batch ved et uheld 30 lejer, der ikke opfylder standarden. Bestem sandsynlighed P(A) at en tilfældig pejling vil vise sig at være standard.

Løsning: Antallet af standard lejer er 1000-30=970 . Vi vil antage, at hvert leje har samme sandsynlighed for at blive valgt. Så består den komplette gruppe af hændelser af lige så sandsynlige udfald, hvoraf hændelsen EN favorisere resultater. Derfor .

Eksempel 1.2. I urnen 10 bolde: 3 hvid og 7 sort. To bolde tages fra urnen på én gang. Hvad er sandsynligheden R at begge kugler viser sig at være hvide?

Løsning: Antallet af alle lige sandsynlige testresultater er lig med antallet af måder, hvorpå 10 tage to kugler ud, altså antallet af kombinationer fra 10 elementer af 2 (fuld begivenhedsgruppe):

Antallet af gunstige resultater (på hvor mange måder kan man vælge imellem 3 vælg bolde 2) : . Derfor er den nødvendige sandsynlighed .

Ser man fremad, kan dette problem løses på en anden måde.

Løsning: Sandsynligheden for, at der ved første forsøg (udtrækning af en bold) trækkes en hvid bold, er lig med (totalt bolde 10 , af dem 3 hvid). Sandsynligheden for, at den hvide kugle vil blive trukket igen under den anden prøve er lig med (det samlede antal kugler er nu 9, fordi de tog en ud, den blev hvid 2, fordi De tog den hvide ud). Som følge heraf er sandsynligheden for at kombinere begivenheder lig med produktet af deres sandsynligheder, dvs. .

Eksempel 1.3. I urnen 2 grøn, 7 rød, 5 brun og 10 hvide kugler. Hvad er sandsynligheden for, at en farvet kugle dukker op?

Løsning: Vi finder henholdsvis sandsynligheden for fremkomsten af grønne, røde og brune kugler: ; ; . Da de undersøgte begivenheder åbenlyst er uforenelige, finder vi, ved hjælp af additionsaksiomet, sandsynligheden for, at en farvet kugle dukker op:

Eller på en anden måde. Sandsynligheden for at en hvid kugle dukker op er . Så er sandsynligheden for udseendet af en ikke-hvid kugle (dvs. farvet), dvs. sandsynligheden for den modsatte hændelse er lig med .

Geometrisk definition af sandsynlighed. For at overvinde ulempen ved den klassiske definition af sandsynlighed (den er ikke anvendelig til test med et uendeligt antal udfald), introduceres en geometrisk definition af sandsynlighed - sandsynligheden for, at et punkt falder ind i et område (segment, del af et plan, etc.).

Lad segmentet være en del af segmentet. Et punkt placeres tilfældigt på et segment, hvilket betyder, at følgende antagelser er opfyldt: det placerede punkt kan være på et hvilket som helst punkt på segmentet, sandsynligheden for at et punkt falder på segmentet er proportional med længden af dette segment og ikke afhænger af dens placering i forhold til segmentet. Under disse antagelser er sandsynligheden for, at et punkt falder på et segment, bestemt af ligheden

I begyndelsen, da den blot var en samling af information og empiriske observationer om terningespillet, blev sandsynlighedsteorien en grundig videnskab. De første til at give det en matematisk ramme var Fermat og Pascal.

Fra at tænke på det evige til sandsynlighedsteorien

De to personer, som sandsynlighedsteorien skylder mange af dens grundlæggende formler, Blaise Pascal og Thomas Bayes, er kendt som dybt religiøse mennesker, hvor sidstnævnte er en presbyteriansk præst. Tilsyneladende gav disse to videnskabsmænds ønske om at bevise fejltagelsen af meningerne om en vis formue, der gav held til hendes favoritter, skub til forskning på dette område. Faktisk er ethvert gamblingspil med dets gevinster og tab blot en symfoni af matematiske principper.

Takket være passionen hos Chevalier de Mere, som var lige så en gambler og en mand, der ikke var ligeglad med videnskaben, blev Pascal tvunget til at finde en måde at beregne sandsynlighed på. De Mere var interesseret i følgende spørgsmål: "Hvor mange gange skal du kaste to terninger i par, så sandsynligheden for at få 12 point overstiger 50%?" Det andet spørgsmål, som var af stor interesse for herren: "Hvordan deler man indsatsen mellem deltagerne i det ufærdige spil?" Selvfølgelig besvarede Pascal med succes begge spørgsmål fra de Mere, som blev den ubevidste initiativtager til udviklingen af sandsynlighedsteori. Det er interessant, at personen de Mere forblev kendt i dette område, og ikke i litteraturen.

Tidligere havde ingen matematiker nogensinde forsøgt at beregne sandsynligheden for begivenheder, da man mente, at dette kun var en gættende løsning. Blaise Pascal gav den første definition af sandsynligheden for en begivenhed og viste, at det er en specifik figur, der kan begrundes matematisk. Sandsynlighedsteori er blevet grundlaget for statistik og er meget brugt i moderne videnskab.

Hvad er tilfældighed

Hvis vi betragter en test, der kan gentages et uendeligt antal gange, så kan vi definere en tilfældig hændelse. Dette er et af de sandsynlige resultater af eksperimentet.

Erfaring er implementering af specifikke handlinger under konstante forhold.

For at kunne arbejde med resultaterne af forsøget betegnes begivenheder normalt med bogstaverne A, B, C, D, E...

Sandsynlighed for en tilfældig hændelse

For at begynde den matematiske del af sandsynlighed er det nødvendigt at definere alle dens komponenter.

Sandsynligheden for en begivenhed er et numerisk mål for muligheden for, at en eller anden begivenhed (A eller B) indtræffer som et resultat af en oplevelse. Sandsynligheden er angivet som P(A) eller P(B).

I sandsynlighedsteori skelner de mellem:

pålidelig hændelsen vil med garanti opstå som et resultat af oplevelsen P(Ω) = 1;
umulig hændelsen kan aldrig ske P(Ø) = 0;
tilfældig en hændelse ligger mellem pålidelig og umulig, det vil sige, at sandsynligheden for dens forekomst er mulig, men ikke garanteret (sandsynligheden for en tilfældig hændelse er altid inden for området 0≤Р(А)≤ 1).

Relationer mellem begivenheder

Både én og summen af begivenheder A+B tages i betragtning, når begivenheden tælles, når mindst en af komponenterne, A eller B, eller begge, A og B, er opfyldt.

I forhold til hinanden kan begivenheder være:

Lige så muligt.
Kompatibel.
Uforenelig.
Modsat (gensidigt udelukker).
Afhængig.

Hvis to begivenheder kan ske med lige stor sandsynlighed, så er de lige så muligt.

Hvis forekomsten af begivenhed A ikke reducerer sandsynligheden for forekomsten af begivenhed B til nul, så kompatibel.

Hvis begivenheder A og B aldrig forekommer samtidigt i den samme oplevelse, kaldes de uforenelig. At kaste en mønt er et godt eksempel: udseendet af hoveder er automatisk, at hoveder ikke ser ud.

Sandsynligheden for summen af sådanne uforenelige begivenheder består af summen af sandsynligheden for hver af begivenhederne:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Hvis forekomsten af en begivenhed gør forekomsten af en anden umulig, så kaldes de modsatte. Derefter betegnes en af dem som A, og den anden - Ā (læses som "ikke A"). Forekomsten af begivenhed A betyder, at Â ikke skete. Disse to hændelser danner en komplet gruppe med en sum af sandsynligheder lig med 1.

Afhængige begivenheder har gensidig indflydelse, mindsker eller øger sandsynligheden for hinanden.

Relationer mellem begivenheder. Eksempler

Ved at bruge eksempler er det meget lettere at forstå principperne for sandsynlighedsteori og kombinationer af begivenheder.

Eksperimentet, der skal udføres, består i at tage bolde op af en æske, og resultatet af hvert forsøg er et elementært resultat.

En begivenhed er et af de mulige udfald af et eksperiment - en rød bold, en blå bold, en bold med nummer seks osv.

Test nr. 1. Der er 6 bolde involveret, hvoraf tre er blå med ulige tal på, og de tre andre er røde med lige tal.

Test nr. 2. Der er 6 blå kugler med tal fra et til seks.

Baseret på dette eksempel kan vi navngive kombinationer:

Pålidelig begivenhed. På spansk Nr. 2 hændelsen "få den blå kugle" er pålidelig, da sandsynligheden for dens forekomst er lig med 1, da alle kuglerne er blå, og der kan ikke være nogen miss. Hvorimod begivenheden "få bolden med tallet 1" er tilfældig.
Umulig begivenhed. På spansk Nr. 1 med blå og røde kugler er begivenheden "at få den lilla kugle" umulig, da sandsynligheden for dens forekomst er 0.
Lige så mulige begivenheder. På spansk nr. 1, begivenhederne "få bolden med tallet 2" og "få bolden med tallet 3" er lige mulige, og begivenhederne "få bolden med et lige tal" og "få bolden med tallet 2" ” har forskellige sandsynligheder.
Kompatible begivenheder. At få en sekser to gange i træk, mens du kaster en terning, er en kompatibel begivenhed.
Uforenelige begivenheder. På samme spansk nr. 1 kan begivenhederne "få en rød bold" og "få en bold med et ulige tal" ikke kombineres i samme oplevelse.
Modsatte begivenheder. Det mest slående eksempel på dette er møntkast, hvor det at tegne hoveder svarer til ikke at tegne haler, og summen af deres sandsynligheder altid er 1 (fuld gruppe).
Afhængige begivenheder. Altså på spansk nr. 1 kan du sætte som mål at trække den røde bold to gange i træk. Hvorvidt det bliver hentet første gang eller ej, påvirker sandsynligheden for at blive hentet anden gang.

Det kan ses, at den første hændelse signifikant påvirker sandsynligheden for den anden (40% og 60%).

Formel for hændelsessandsynlighed

Overgangen fra spådom til præcise data sker gennem oversættelse af emnet til et matematisk plan. Det vil sige, at domme om en tilfældig hændelse som "høj sandsynlighed" eller "minimal sandsynlighed" kan oversættes til specifikke numeriske data. Det er allerede tilladt at vurdere, sammenligne og indgå sådant materiale i mere komplekse beregninger.

Fra et beregningssynspunkt er bestemmelse af sandsynligheden for en begivenhed forholdet mellem antallet af elementære positive udfald og antallet af alle mulige udfald af erfaring vedrørende en specifik begivenhed. Sandsynlighed betegnes med P(A), hvor P står for ordet "sandsynlighed", som fra fransk er oversat til "sandsynlighed".

Så formlen for sandsynligheden for en begivenhed er:

Hvor m er antallet af gunstige udfald for begivenhed A, n er summen af alle mulige udfald for denne oplevelse. I dette tilfælde ligger sandsynligheden for en hændelse altid mellem 0 og 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Beregning af sandsynligheden for en hændelse. Eksempel

Lad os tage spansk. nr. 1 med kugler, som er beskrevet tidligere: 3 blå kugler med tallene 1/3/5 og 3 røde kugler med tallene 2/4/6.

Baseret på denne test kan flere forskellige problemer overvejes:

En rød kugle falder ud. Der er 3 røde kugler, og der er i alt 6 muligheder Dette er det enkleste eksempel, hvor sandsynligheden for en hændelse er P(A)=3/6=0,5.
B - rullende et lige tal. Der er 3 lige tal (2,4,6), og det samlede antal mulige numeriske muligheder er 6. Sandsynligheden for denne hændelse er P(B)=3/6=0,5.
C - forekomsten af et tal større end 2. Der er 4 sådanne muligheder (3,4,5,6) ud af et samlet antal mulige udfald på 6. Sandsynligheden for hændelse C er lig med P(C)=4 /6=0,67.

Som det fremgår af beregningerne, har begivenhed C en højere sandsynlighed, da antallet af sandsynlige positive udfald er højere end i A og B.

Uforenelige begivenheder

Sådanne begivenheder kan ikke optræde samtidigt i den samme oplevelse. Som på spansk nr. 1 er det umuligt at få en blå og en rød bold på samme tid. Det vil sige, at du kan få enten en blå eller en rød kugle. På samme måde kan et lige og et ulige tal ikke optræde i en terning på samme tid.

Sandsynligheden for to begivenheder betragtes som sandsynligheden for deres sum eller produkt. Summen af sådanne begivenheder A+B anses for at være en begivenhed, der består af forekomsten af begivenhed A eller B, og produktet af dem AB er forekomsten af begge. For eksempel udseendet af to seksere på én gang på flader af to terninger i et kast.

Summen af flere begivenheder er en begivenhed, der forudsætter forekomsten af mindst én af dem. Produktionen af flere begivenheder er den fælles forekomst af dem alle.

I sandsynlighedsteori betegner brugen af konjunktionen "og" som regel en sum, og konjunktionen "eller" - multiplikation. Formler med eksempler hjælper dig med at forstå logikken i addition og multiplikation i sandsynlighedsteori.

Sandsynlighed for summen af uforenelige hændelser

Hvis sandsynligheden for uforenelige begivenheder overvejes, er sandsynligheden for summen af begivenheder lig med tilføjelsen af deres sandsynligheder:

P(A+B)=P(A)+P(B)

For eksempel: lad os beregne sandsynligheden for, at på spansk. nr. 1 med blå og røde kugler vises et tal mellem 1 og 4. Vi beregner ikke i én handling, men ved summen af sandsynligheden for de elementære komponenter. Så i et sådant eksperiment er der kun 6 bolde eller 6 af alle mulige udfald. De tal, der opfylder betingelsen, er 2 og 3. Sandsynligheden for at få tallet 2 er 1/6, sandsynligheden for at få tallet 3 er også 1/6. Sandsynligheden for at få et tal mellem 1 og 4 er:

Sandsynligheden for summen af uforenelige hændelser i en komplet gruppe er 1.

Så hvis vi i et eksperiment med en terning lægger sandsynligheden for, at alle tal optræder sammen, vil resultatet være ét.

Dette gælder også for modsatte hændelser, for eksempel i forsøget med en mønt, hvor den ene side er hændelsen A, og den anden er den modsatte hændelse Ā som bekendt.

P(A) + P(Ā) = 1

Sandsynlighed for uforenelige hændelser

Sandsynlighedsmultiplikation bruges, når man overvejer forekomsten af to eller flere uforenelige hændelser i en observation. Sandsynligheden for, at begivenheder A og B vil optræde i den samtidigt, er lig med produktet af deres sandsynligheder, eller:

P(A*B)=P(A)*P(B)

For eksempel sandsynligheden for, at på spansk nr. 1, som resultat af to forsøg, vil en blå kugle dukke op to gange, svarende til

Det vil sige, at sandsynligheden for, at en hændelse indtræffer, når der, som et resultat af to forsøg på at udtrække bolde, kun udvindes blå bolde, er 25 %. Det er meget nemt at lave praktiske eksperimenter på dette problem og se, om det faktisk er tilfældet.

Fælles arrangementer

Begivenheder betragtes som fælles, når forekomsten af en af dem kan falde sammen med forekomsten af en anden. På trods af at de er fælles, overvejes sandsynligheden for uafhængige begivenheder. For eksempel kan det at kaste to terninger give et resultat, når tallet 6 vises på dem begge. Selvom begivenhederne faldt sammen og optrådte på samme tid, er de uafhængige af hinanden - kun en sekser kunne falde ud, den anden terning har ingen indflydelse på det.

Sandsynligheden for fælles begivenheder betragtes som sandsynligheden for deres sum.

Sandsynlighed for summen af fælles begivenheder. Eksempel

Sandsynligheden for summen af begivenheder A og B, som er fælles i forhold til hinanden, er lig med summen af sandsynligheden for begivenheden minus sandsynligheden for deres forekomst (det vil sige deres fælles forekomst):

R led (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Lad os antage, at sandsynligheden for at ramme målet med et skud er 0,4. Så rammer begivenhed A målet i det første forsøg, B - i det andet. Disse begivenheder er fælles, da det er muligt, at du kan ramme målet med både første og andet skud. Men begivenhederne er ikke afhængige. Hvad er sandsynligheden for, at hændelsen rammer målet med to skud (mindst med et)? Ifølge formlen:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Svaret på spørgsmålet er: "Sandsynligheden for at ramme målet med to skud er 64 %."

Denne formel for sandsynligheden for en hændelse kan også anvendes på uforenelige hændelser, hvor sandsynligheden for fælles forekomst af en hændelse P(AB) = 0. Det betyder, at sandsynligheden for summen af uforenelige hændelser kan betragtes som et specialtilfælde af den foreslåede formel.

Sandsynlighedsgeometri for klarhed

Interessant nok kan sandsynligheden for summen af fælles begivenheder repræsenteres som to områder A og B, som skærer hinanden. Som det kan ses på billedet, er arealet af deres forening lig med det samlede areal minus arealet af deres skæringspunkt. Denne geometriske forklaring gør den tilsyneladende ulogiske formel mere forståelig. Bemærk, at geometriske løsninger ikke er ualmindelige i sandsynlighedsteori.

Det er ret besværligt at bestemme sandsynligheden for summen af mange (mere end to) fælles begivenheder. For at beregne det, skal du bruge de formler, der er angivet for disse tilfælde.

Afhængige begivenheder

Hændelser kaldes afhængige, hvis forekomsten af en (A) af dem påvirker sandsynligheden for forekomsten af en anden (B). Desuden tages der hensyn til indflydelsen af både forekomsten af begivenhed A og dens manglende forekomst. Selvom begivenheder per definition kaldes afhængige, er kun én af dem afhængig (B). Almindelig sandsynlighed blev betegnet som P(B) eller sandsynligheden for uafhængige hændelser. Ved afhængige hændelser introduceres et nyt begreb - betinget sandsynlighed P A (B), som er sandsynligheden for en afhængig hændelse B, afhængig af hændelse A (hypotese), som den afhænger af.

Men hændelse A er også tilfældig, så den har også en sandsynlighed for, at der er behov for og kan tages hensyn til i de udførte beregninger. Det følgende eksempel viser, hvordan man arbejder med afhængige hændelser og en hypotese.

Et eksempel på beregning af sandsynligheden for afhængige hændelser

Et godt eksempel til at beregne afhængige hændelser ville være et standard sæt kort.

Lad os se på afhængige begivenheder ved at bruge et spil med 36 kort som eksempel. Vi skal bestemme sandsynligheden for, at det andet kort, der trækkes fra bunken, vil være af ruder, hvis det første kort, der trækkes, er:

Bubnovaya.
En anden farve.

Det er klart, at sandsynligheden for den anden begivenhed B afhænger af den første A. Så hvis den første mulighed er sand, at der er 1 kort (35) og 1 ruder (8) mindre i bunken, er sandsynligheden for begivenhed B:

RA (B) = 8/35 = 0,23

Hvis den anden mulighed er sand, så har bunken 35 kort, og det fulde antal ruder (9) er stadig bevaret, så er sandsynligheden for følgende begivenhed B:

RA (B) = 9/35 = 0,26.

Det kan ses, at hvis begivenhed A er betinget af, at det første kort er en diamant, så falder sandsynligheden for begivenhed B, og omvendt.

Multiplikation af afhængige hændelser

Vejledt af det foregående kapitel accepterer vi den første begivenhed (A) som en kendsgerning, men i bund og grund er den af tilfældig karakter. Sandsynligheden for denne begivenhed, nemlig at trække en diamant fra et sæt kort, er lig med:

P(A) = 9/36=1/4

Da teorien ikke eksisterer alene, men er beregnet til at tjene til praktiske formål, er det rimeligt at bemærke, at det, der oftest er brug for, er sandsynligheden for at producere afhængige begivenheder.

Ifølge sætningen om produktet af sandsynligheder for afhængige begivenheder er sandsynligheden for forekomst af fælles afhængige begivenheder A og B lig med sandsynligheden for en begivenhed A, ganget med den betingede sandsynlighed for begivenhed B (afhængig af A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Så, i dækeksemplet, er sandsynligheden for at trække to kort med ruten:

9/36*8/35=0,0571 eller 5,7 %

Og sandsynligheden for at udvinde ikke diamanter først, og derefter diamanter, er lig med:

27/36*9/35=0,19 eller 19 %

Det kan ses, at sandsynligheden for, at begivenhed B indtræffer, er større, forudsat at det første kort, der trækkes, er af en anden farve end ruder. Dette resultat er ret logisk og forståeligt.

Samlet sandsynlighed for en hændelse

Når et problem med betingede sandsynligheder bliver mangefacetteret, kan det ikke beregnes ved hjælp af konventionelle metoder. Når der er mere end to hypoteser, nemlig A1, A2,..., A n, .. danner en komplet gruppe af hændelser forudsat:

P(A i)>0, i=1,2,...
A i ∩ A j =Ø,i≠j.
Σ k A k =Ω.

Så formlen for den samlede sandsynlighed for hændelse B med en komplet gruppe af tilfældige hændelser A1, A2,..., A n er lig med:

Et kig ind i fremtiden

Sandsynligheden for en tilfældig hændelse er yderst nødvendig inden for mange videnskabsområder: økonometri, statistik, fysik osv. Da nogle processer ikke kan beskrives deterministisk, da de i sig selv er sandsynlige, kræves særlige arbejdsmetoder. Teorien om begivenhedssandsynlighed kan bruges inden for ethvert teknologisk område som en måde at bestemme muligheden for en fejl eller funktionsfejl.

Vi kan sige, at ved at erkende sandsynlighed tager vi på en eller anden måde et teoretisk skridt ind i fremtiden, idet vi ser på det gennem formlernes prisme.

Problemer med den klassiske sandsynlighedsbestemmelse.
Eksempler på løsninger

I den tredje lektion vil vi se på forskellige problemer, der involverer direkte anvendelse af den klassiske definition af sandsynlighed. For effektivt at studere materialerne i denne artikel anbefaler jeg, at du gør dig bekendt med de grundlæggende begreber sandsynlighedsteori Og det grundlæggende i kombinatorik. Opgaven med klassisk at bestemme sandsynlighed med en sandsynlighed, der tenderer til én, vil være til stede i dit selvstændige/kontrolarbejde på terver, så lad os gøre os klar til seriøst arbejde. Du kan spørge, hvad der er så alvorligt ved dette? ...kun en primitiv formel. Jeg advarer dig mod letsindighed - tematiske opgaver er ret forskellige, og mange af dem kan nemt forvirre dig. I denne henseende, ud over at gennemarbejde hovedlektionen, prøv at studere yderligere opgaver om emnet, der er i sparegrisen færdige løsninger til højere matematik. Løsningsteknikker er løsningsteknikker, men "venner" skal stadig "kendes af synet", for selv en rig fantasi er begrænset, og der er også nok standardopgaver. Nå, jeg vil prøve at sortere så mange af dem som muligt i god kvalitet.

Lad os huske genrens klassikere:

Sandsynligheden for, at en hændelse finder sted i en bestemt test er lig med forholdet, hvor:

– det samlede antal af alle lige så muligt, elementære resultater af denne test, som danner hele gruppen af arrangementer;

- antal elementære gunstige resultater for arrangementet.

Og straks et øjeblikkeligt pitstop. Forstår du de understregede udtryk? Dette betyder klar, ikke intuitiv forståelse. Hvis ikke, så er det stadig bedre at vende tilbage til 1. artikel om sandsynlighedsteori og først derefter gå videre.

Undlad venligst at springe de første eksempler over - i dem vil jeg gentage et grundlæggende vigtigt punkt og også fortælle dig, hvordan du formaterer en løsning korrekt, og på hvilke måder dette kan gøres:

Opgave 1

En urne indeholder 15 hvide, 5 røde og 10 sorte kugler. 1 kugle trækkes tilfældigt, find sandsynligheden for at den bliver: a) hvid, b) rød, c) sort.

Løsning: Den vigtigste forudsætning for at bruge den klassiske definition af sandsynlighed er evne til at tælle det samlede antal udfald.

Der er i alt 15 + 5 + 10 = 30 bolde i urnen, og selvfølgelig er følgende fakta sande:

– Det er lige så muligt at hente enhver bold (lige muligheder resultater), mens resultaterne elementære og form hele gruppen af arrangementer (dvs. som et resultat af testen, vil en af de 30 bolde helt sikkert blive fjernet).

Således er det samlede antal resultater:

Overvej begivenheden: – en hvid kugle vil blive trukket fra urnen. Denne begivenhed er favoriseret elementære resultater derfor ifølge den klassiske definition:
– sandsynligheden for, at der trækkes en hvid kugle fra urnen.

Mærkeligt nok kan man selv i så simpel en opgave lave en alvorlig unøjagtighed, som jeg allerede fokuserede på i den første artikel om sandsynlighedsteori. Hvor er faldgruben her? Det er forkert at hævde det her "da halvdelen af kuglerne er hvide, så er sandsynligheden for at tegne en hvid kugle» . Den klassiske definition af sandsynlighed refererer til ELEMENTÆRE udfald, og brøken skal skrives ned!

Med andre punkter skal du på samme måde overveje følgende begivenheder:

– en rød kugle vil blive trukket fra urnen;
– der trækkes en sort kugle fra urnen.

En begivenhed begunstiges af 5 elementære resultater, og en begivenhed begunstiges af 10 elementære resultater. Så de tilsvarende sandsynligheder er:

Et typisk tjek af mange serveropgaver udføres vha teoremer om summen af sandsynligheder for begivenheder, der danner en komplet gruppe. I vores tilfælde udgør begivenhederne en komplet gruppe, hvilket betyder, at summen af de tilsvarende sandsynligheder nødvendigvis skal være lig med en: .

Lad os tjekke, om dette er sandt: det var det, jeg ville være sikker på.

Svar:

I princippet kan svaret skrives mere detaljeret ned, men personligt er jeg vant til kun at sætte tal der - af den grund, at når man begynder at "stemple" problemer i hundreder og tusinder, så forsøger man at reducere skrivningen af løsningen så meget som muligt. Forresten, om korthed: i praksis er "højhastigheds" designmuligheden almindelig løsninger:

I alt: 15 + 5 + 10 = 30 bolde i urnen. Ifølge den klassiske definition:
– sandsynligheden for, at en hvid kugle vil blive trukket fra urnen;
– sandsynligheden for, at en rød kugle bliver trukket fra urnen;
– sandsynligheden for, at der trækkes en sort kugle fra urnen.

Svar:

Men hvis der er flere punkter i tilstanden, så er det ofte mere bekvemt at formulere løsningen på den første måde, hvilket tager lidt mere tid, men samtidig "lægger alt på hylderne" og gør det lettere for at navigere i problemet.

Lad os varme op:

Opgave 2

Butikken modtog 30 køleskabe, hvoraf fem har en fabrikationsfejl. Et køleskab vælges tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at den bliver fejlfri?

Vælg den relevante designindstilling, og tjek prøven nederst på siden.

I de simpleste eksempler ligger antallet af almindelige og antallet af gunstige udfald på overfladen, men i de fleste tilfælde skal du selv grave kartoflerne op. En kanonisk række af problemer om en glemsom abonnent:

Opgave 3

Ved opkald til et telefonnummer glemte abonnenten de sidste to cifre, men husker, at det ene er nul, og det andet er ulige. Find sandsynligheden for, at han vil ringe til det rigtige nummer.

Bemærk : nul er et lige tal (deles med 2 uden en rest)

Løsning: Først finder vi det samlede antal udfald. Ved betingelse husker abonnenten, at et af cifrene er nul, og det andet ciffer er ulige. Her er det mere rationelt ikke at være tricky med kombinatorik og brug metode til direkte liste over resultater . Det vil sige, når vi laver en løsning, skriver vi blot alle kombinationerne ned:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Og vi tæller dem - i alt: 10 udfald.

Der er kun ét gunstigt resultat: det korrekte antal.

Ifølge den klassiske definition:
– sandsynlighed for, at abonnenten vil ringe til det rigtige nummer

Svar: 0,1

Decimalbrøker ser ret passende ud i sandsynlighedsteori, men du kan også overholde den traditionelle Vyshmatov-stil, der kun opererer med almindelige brøker.

Avanceret opgave til selvstændig løsning:

Opgave 4

Abonnenten har glemt PIN-koden til sit SIM-kort, men husker, at den indeholder tre "femere", og et af tallene er enten en "syv" eller en "otte". Hvad er sandsynligheden for vellykket autorisation i første forsøg?

Her kan du også udvikle ideen om sandsynligheden for, at abonnenten vil blive straffet i form af en puk-kode, men ræsonnementet vil desværre gå ud over denne lektion

Løsningen og svaret er nedenfor.

Nogle gange viser kombinationer sig at være en meget omhyggelig opgave. Dette er især tilfældet i den næste, ikke mindre populære gruppe af problemer, hvor der kastes 2 terninger (mindre ofte - større mængder):

Opgave 5

Find sandsynligheden for, at når du kaster to terninger, vil det samlede antal være:

a) fem point;
b) ikke mere end fire point;
c) fra 3 til 9 point inklusive.

Løsning: find det samlede antal resultater:

Måder siden af den 1. terning kan falde ud Og på forskellige måder kan siden af 2. terning falde ud; Ved regel for multiplikation af kombinationer, I alt: mulige kombinationer. Med andre ord, hver ansigtet på 1. terning kan være bestilt et par med hver kanten af 2. terning. Lad os blive enige om at skrive sådan et par på formen , hvor er tallet slået på 1. terning, er tallet slået på 2. terning. For eksempel:

– den første terning fik 3 point, den anden terning fik 5 point, samlet point: 3 + 5 = 8;
– den første terning fik 6 point, den anden terning fik 1 point, samlet point: 6 + 1 = 7;
– 2 point kastet på begge terninger, sum: 2 + 2 = 4.

Det mindste beløb er naturligvis givet af et par, og det største af to "seksere".

a) Overvej begivenheden: – når du kaster to terninger, vises 5 point. Lad os skrive ned og tælle antallet af udfald, der favoriserer denne begivenhed:

I alt: 4 gunstige resultater. Ifølge den klassiske definition:
– den ønskede sandsynlighed.

b) Overvej begivenheden: – Der vil ikke blive kastet mere end 4 point. Det vil sige enten 2, eller 3 eller 4 point. Igen lister og tæller vi de gunstige kombinationer, til venstre vil jeg skrive det samlede antal point ned, og efter kolon - de passende par:

I alt: 6 gunstige kombinationer. Dermed:
– sandsynligheden for, at der ikke kastes mere end 4 point.

c) Overvej begivenheden: – 3 til 9 point vil kastes, inklusive. Her kan du tage den lige vej, men... af en eller anden grund vil du ikke. Ja, nogle par er allerede blevet opført i de foregående afsnit, men der er stadig meget arbejde at gøre.

Hvad er den bedste måde at komme videre på? I sådanne tilfælde viser en rundkørselssti sig at være rationel. Lad os overveje modsatte begivenhed: – 2 eller 10 eller 11 eller 12 point vil blive kastet.

Hvad er pointen? Den modsatte begivenhed foretrækkes af et betydeligt mindre antal par:

I alt: 7 gunstige resultater.

Ifølge den klassiske definition:
– sandsynligheden for, at du kaster mindre end tre eller mere end 9 point.

Udover direkte notering og optælling af udfald, div kombinatoriske formler. Og igen et episk problem om elevatoren:

Opgave 7

3 personer gik ind i elevatoren i en 20-etagers bygning på første sal. Og lad os gå. Find sandsynligheden for at:

a) de vil gå ud på forskellige etager
b) to vil gå ud på samme etage;
c) alle vil stå af på samme etage.

Vores spændende lektion er nået til ende, og endelig anbefaler jeg endnu en gang kraftigt, at hvis ikke løses, så i det mindste finde ud af yderligere problemer med den klassiske sandsynlighedsbestemmelse. Som jeg allerede har bemærket, betyder "håndpolstring" også noget!

Længere hen ad banen - Geometrisk definition af sandsynlighed Og Sandsynlighedsadditions- og multiplikationssætninger og... held i hovedsagen!

Løsninger og svar:

Opgave 2: Løsning: 30 – 5 = 25 køleskabe fejler intet.

– sandsynligheden for, at et tilfældigt udvalgt køleskab ikke har en defekt.
Svar :

Opgave 4: Løsning: find det samlede antal resultater:
måder, hvorpå du kan vælge det sted, hvor det tvivlsomme nummer er placeret og på hver Af disse 4 steder kan 2 cifre (syv eller otte) lokaliseres. Ifølge reglen om multiplikation af kombinationer er det samlede antal udfald: .
Alternativt kan løsningen blot liste alle resultaterne (heldigvis er der få af dem):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Der er kun ét gunstigt resultat (korrekt pinkode).
Således ifølge den klassiske definition:
– sandsynlighed for, at abonnenten logger ind ved 1. forsøg
Svar :

Opgave 6: Løsning: find det samlede antal resultater:
tal på 2 terninger kan optræde på forskellige måder.

a) Overvej begivenheden: – når du kaster to terninger, vil produktet af pointene være lig med syv. Der er ingen gunstige udfald for en given begivenhed, ifølge den klassiske definition af sandsynlighed:
, dvs. denne begivenhed er umulig.

b) Overvej begivenheden: – når du kaster to terninger, vil produktet af pointene være mindst 20. Følgende resultater er gunstige for denne begivenhed:

I alt: 8
Ifølge den klassiske definition:
– den ønskede sandsynlighed.

c) Overvej de modsatte begivenheder:
– produktet af point vil være lige;
– produktet af point vil være ulige.
Lad os liste alle de gunstige resultater for begivenheden:

I alt: 9 gunstige resultater.
Ifølge den klassiske definition af sandsynlighed:
Modsatte begivenheder udgør en komplet gruppe, derfor:
– den ønskede sandsynlighed.

Svar :

Opgave 8: Løsning: lad os beregne det samlede antal resultater: 10 mønter kan falde på forskellige måder.
En anden måde: måder, hvorpå den 1. mønt kan falde Og måder, hvorpå den 2. mønt kan falde Og … Og måder, hvorpå den 10. mønt kan falde. Ifølge reglen om multiplikation af kombinationer kan der falde 10 mønter måder.
a) Overvej begivenheden: – der vises hoveder på alle mønter. Denne begivenhed er begunstiget af et enkelt udfald ifølge den klassiske definition af sandsynlighed: .
b) Overvej begivenheden: – 9 mønter vil lande hoveder, og en mønt vil lande haler.
Der er mønter, der kan lande på hoveder. Ifølge den klassiske definition af sandsynlighed: .
c) Overvej begivenheden: – der vises hoveder på halvdelen af mønterne.
Eksisterer unikke kombinationer af fem mønter, der kan lande hoveder. Ifølge den klassiske definition af sandsynlighed:
Svar :

Grundlæggende om sandsynlighedsteori

Plan:

1. Tilfældige begivenheder

2. Klassisk definition af sandsynlighed

3. Beregning af hændelsessandsynligheder og kombinatorik

4. Geometrisk sandsynlighed

Teoretisk information

Tilfældige begivenheder.

Tilfældigt fænomen- et fænomen, hvis udfald ikke er klart defineret. Dette begreb kan fortolkes i en ret bred forstand. Nemlig: alt i naturen er ret tilfældigt, ethvert individs udseende og fødsel er et tilfældigt fænomen, at vælge et produkt i en butik er også et tilfældigt fænomen, at få en karakter på en eksamen er et tilfældigt fænomen, sygdom og bedring er tilfældige fænomener , etc.

Eksempler på tilfældige fænomener:

~ Skydning udføres fra en pistol monteret i en given vinkel til vandret. At ramme målet er tilfældigt, men projektilet, der rammer en bestemt "gaffel", er et mønster. Du kan angive afstanden tættere på, som og længere end projektilet ikke vil flyve. Du vil få en slags "projektil dispersionsgaffel"

~ Den samme krop vejes flere gange. Strengt taget vil du hver gang få forskellige resultater, selvom de adskiller sig med en ubetydelig mængde, men de vil være forskellige.

~ Et fly, der flyver ad samme rute, har en bestemt flyvekorridor, inden for hvilken flyet kan manøvrere, men det vil aldrig have en strengt identisk rute

~ En atlet vil aldrig være i stand til at løbe den samme distance på samme tid. Dens resultater vil også være inden for et vist numerisk interval.

Erfaring, eksperiment, observation er tests

Forsøg– observation eller opfyldelse af et bestemt sæt betingelser, der udføres gentagne gange og regelmæssigt gentages i samme rækkefølge, varighed og i overensstemmelse med andre identiske parametre.

Lad os overveje en atlet, der skyder mod et mål. For at det kan udføres, er det nødvendigt at opfylde sådanne betingelser som at forberede atleten, lade våbnet, sigte osv. "Hit" og "missed" - begivenheder som følge af et skud.

Begivenhed– testresultat af høj kvalitet.

En begivenhed kan ske eller ikke. Begivenheder er angivet med store bogstaver. For eksempel: D = "Skytten ramte målet." S="Den hvide kugle er tegnet." K="En lodtrækning taget tilfældigt uden at vinde.".

At kaste en mønt er en test. Faldet af hendes "våbenskjold" er én begivenhed, faldet af hendes "digitale" er den anden begivenhed.

Enhver test involverer forekomsten af flere hændelser. Nogle af dem kan være nødvendige for forskeren på et givet tidspunkt, andre er måske ikke nødvendige.

Hændelsen kaldes tilfældig, hvis, når et bestemt sæt betingelser er opfyldt S det kan enten ske eller ikke ske. I det følgende vil vi i stedet for at sige "sættet af betingelser S er opfyldt", kort sige: "testen er blevet udført." Begivenheden vil således blive betragtet som resultatet af testen.

~ Skytten skyder mod en skive opdelt i fire områder. Skuddet er en test. At ramme et bestemt område af målet er en begivenhed.

~ Der er farvede kugler i urnen. En kugle tages tilfældigt fra urnen. At hente en bold fra en urne er en test. Udseendet af en bold af en bestemt farve er en begivenhed.

Typer af tilfældige begivenheder

1. Begivenheder kaldes uforenelige hvis forekomsten af en af dem udelukker forekomsten af andre begivenheder i samme retssag.

~ En del fjernes tilfældigt fra en reservedelskasse. Udseendet af en standarddel eliminerer udseendet af en ikke-standard del. Begivenheder € en standard del dukkede op" og en ikke-standard del dukkede op" - uforenelig.

~ Der kastes en mønt. Udseendet af "våbenskjoldet" udelukker udseendet af inskriptionen. Begivenhederne "et våbenskjold dukkede op" og "en inskription dukkede op" er uforenelige.

Der dannes flere arrangementer hel gruppe, hvis mindst en af dem dukker op som resultat af testen. Med andre ord er forekomsten af mindst én af begivenhederne i hele gruppen en pålidelig begivenhed.

Især hvis de hændelser, der udgør den komplette gruppe, er parvis uforenelige, så vil resultatet af testen være én og kun én af disse hændelser. Dette særlige tilfælde er af største interesse for os, da det vil blive brugt videre.

~ To kontanter og tøjlodder blev købt. En og kun én af følgende hændelser vil med sikkerhed forekomme:

1. "gevinsten faldt på den første billet og faldt ikke på den anden,"

2. "gevinsten faldt ikke på den første billet og faldt på den anden,"

3. "gevinsten faldt på begge billetter",

4. "begge billetter vandt ikke."

Disse hændelser udgør en komplet gruppe af parvis uforenelige hændelser,

~ Skytten skød mod skiven. En af følgende to begivenheder vil helt sikkert ske: hit, miss. Disse to uforenelige begivenheder udgør også en komplet gruppe.

2. Arrangementer kaldes lige så muligt, hvis der er grund til at tro, at ingen af dem er mere mulige end den anden.

~ Udseendet af et "våbenskjold" og udseendet af en inskription, når du kaster en mønt, er lige så mulige begivenheder. Det antages faktisk, at mønten er lavet af et homogent materiale, har en regelmæssig cylindrisk form, og tilstedeværelsen af prægning påvirker ikke tabet af den ene eller anden side af mønten.

~ Forekomsten af et eller andet antal point på en kastet terning er lige så mulige begivenheder. Det antages faktisk, at matricen er lavet af et homogent materiale, har form af et regulært polyeder, og tilstedeværelsen af punkter påvirker ikke tabet af noget ansigt.

3. Arrangementet kaldes pålidelig, hvis det ikke kan lade være med at ske

4. Arrangementet kaldes upålidelige, hvis det ikke kan ske.

5. Arrangementet kaldes modsat til en eller anden begivenhed, hvis den består i, at denne begivenhed ikke forekommer. Modsatte begivenheder er ikke kompatible, men en af dem skal nødvendigvis ske. Modsatte begivenheder betegnes normalt som negationer, dvs. En tankestreg er skrevet over bogstavet. Modsatte begivenheder: A og Ā; U og Ū osv. .

Klassisk definition af sandsynlighed

Sandsynlighed er et af de grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori.

Der er flere definitioner af dette begreb. Lad os give en definition, der kaldes klassisk. Dernæst vil vi angive svaghederne ved denne definition og give andre definitioner, der giver os mulighed for at overvinde manglerne ved den klassiske definition.

Overvej situationen: En æske indeholder 6 identiske bolde, 2 er røde, 3 er blå og 1 er hvid. Det er klart, at muligheden for at trække en farvet (dvs. rød eller blå) kugle fra en urne tilfældigt er større end muligheden for at tegne en hvid kugle. Denne mulighed kan karakteriseres ved et tal, som kaldes sandsynligheden for en begivenhed (fremkomsten af en farvet kugle).

Sandsynlighed- et tal, der karakteriserer graden af mulighed for, at en begivenhed indtræffer.

I den betragtede situation betegner vi:

Hændelse A = "Trække en farvet kugle ud."

Hvert af de mulige resultater af testen (testen består i at fjerne en kugle fra en urne) vil blive kaldt elementært (muligt) resultat og begivenhed. Elementære udfald kan betegnes med bogstaver med indeks nedenfor, for eksempel: k 1, k 2.

I vores eksempel er der 6 bolde, så der er 6 mulige udfald: en hvid bold vises; en rød kugle dukkede op; dukkede en blå kugle op osv. Det er let at se, at disse udfald danner en komplet gruppe af parvis uforenelige hændelser (kun én bold vises), og de er lige så mulige (bolden trækkes tilfældigt, boldene er identiske og grundigt blandet).

Lad os kalde elementære resultater, hvor begivenheden af interesse for os indtræffer gunstige resultater denne begivenhed. I vores eksempel er begivenheden begunstiget EN(udseendet af en farvet kugle) følgende 5 udfald:

Så begivenheden EN observeres, hvis et af de elementære resultater gunstigt for EN. Dette er udseendet af enhver farvet bold, hvoraf der er 5 i æsken

I det undersøgte eksempel er der 6 elementære udfald; 5 af dem går ind for arrangementet EN. Derfor, P(A)= 5/6. Dette tal giver en kvantitativ vurdering af graden af mulighed for udseendet af en farvet kugle.

Definition af sandsynlighed:

Sandsynlighed for hændelse A kaldes forholdet mellem antallet af udfald, der er gunstige for denne begivenhed, og det samlede antal af alle lige mulige uforenelige elementære udfald, der udgør den komplette gruppe.

P(A)=m/n eller P(A)=m: n, hvor:

m er antallet af gunstige elementære udfald EN;

P- antallet af alle mulige elementære testresultater.

Her antages det, at de elementære udfald er uforenelige, lige så mulige og udgør en komplet gruppe.

Følgende egenskaber følger af definitionen af sandsynlighed:

1. Sandsynligheden for en pålidelig hændelse er lig med én.

Faktisk, hvis begivenheden er pålidelig, så favoriserer hvert elementært resultat af testen begivenheden. I dette tilfælde m = n derfor p=1

2. Sandsynligheden for en umulig begivenhed er nul.

Faktisk, hvis en begivenhed er umulig, så favoriserer ingen af testens elementære resultater begivenheden. I dette tilfælde er m=0, derfor p=0.

3.Sandsynligheden for en tilfældig hændelse er et positivt tal mellem nul og én. 0T< n.

I efterfølgende emner vil der blive givet sætninger, der gør det muligt at finde sandsynligheden for andre begivenheder ved hjælp af de kendte sandsynligheder for nogle begivenheder.

Måling. Der er 6 piger og 4 drenge i elevgruppen. Hvad er sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt elev bliver en pige? kommer der en ung mand?

p dev = 6/10 =0,6 p yun = 4/10 = 0,4

Begrebet "sandsynlighed" i moderne strenge sandsynlighedsteoretiske kurser er bygget på et set-teoretisk grundlag. Lad os se på nogle aspekter af denne tilgang.

Lad én og kun én af begivenhederne opstå som et resultat af testen: w i(i=1, 2, .... p). Begivenheder w i- hedder elementære begivenheder (elementære udfald). OM det følger, at elementære begivenheder er parvis uforenelige. Sættet af alle elementære hændelser, der kan forekomme i en test, kaldes rum af elementære begivenhederΩ (græsk stort bogstav omega), og selve de elementære begivenheder er punkter i dette rum..

Begivenhed EN identificeret med en delmængde (af rum Ω), hvis elementer er gunstige elementære resultater EN; begivenhed I er en delmængde Ω, hvis elementer er gunstige resultater I, osv. Således er mængden af alle hændelser, der kan forekomme i en test, mængden af alle delmængder af Ω. Ω selv forekommer for ethvert udfald af testen, derfor er Ω en pålidelig hændelse; en tom delmængde af rummet Ω - er en umulig hændelse (den forekommer ikke under noget resultat af testen).

Elementære begivenheder skelnes fra alle emnebegivenheder, "hver af dem indeholder kun et element Ω

Hvert elementært resultat w i matche et positivt tal p i- sandsynligheden for dette udfald og summen af alle p i lig med 1 eller med et sumtegn, vil dette faktum blive skrevet i form af et udtryk:

Per definition, sandsynlighed P(A) begivenheder EN lig med summen af sandsynligheden for gunstige elementære udfald EN. Derfor er sandsynligheden for en pålidelig hændelse lig med én, en umulig hændelse er nul, og en vilkårlig hændelse er mellem nul og én.

Lad os betragte et vigtigt specialtilfælde, hvor alle udfald er lige mulige Antallet af udfald er n, summen af sandsynligheden for alle udfald er lig med én; derfor er sandsynligheden for hvert udfald 1/p. Lad begivenheden EN favoriserer m resultater.

Sandsynlighed for hændelse EN lig med summen af sandsynligheden for gunstige udfald EN:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

Der opnås en klassisk definition af sandsynlighed.

Der er også aksiomatisk tilgang til begrebet "sandsynlighed". I det foreslåede system af aksiomer. Kolmogorov A.N., udefinerede begreber er en elementær begivenhed og sandsynlighed. Konstruktionen af en logisk fuldstændig sandsynlighedsteori er baseret på den aksiomatiske definition af en tilfældig begivenhed og dens sandsynlighed.

Her er de aksiomer, der definerer sandsynlighed:

1. Hver begivenhed EN tildelt et ikke-negativt reelt tal R(A). Dette tal kaldes sandsynligheden for hændelsen EN.

2. Sandsynligheden for en pålidelig hændelse er lig med én: