Hvad er løsningen på en differentialligning. Partielle differentialligninger

Denne online lommeregner giver dig mulighed for at løse differentialligninger online. Det er nok at indtaste din ligning i det relevante felt, der angiver funktionens afledte gennem en apostrof, og klik på knappen "løs ligning". Og systemet, implementeret på grundlag af den populære WolframAlpha-websted, vil give detaljerede oplysninger løse en differentialligning helt gratis. Du kan også definere et Cauchy-problem for at vælge den kvotient, der svarer til de givne begyndelsesbetingelser, fra hele sættet af mulige løsninger. Cauchy-problemet indtastes i et separat felt.

Differentialligning

Som standard er funktionen i ligningen y er en funktion af en variabel x. Du kan dog angive din egen betegnelse for variablen; hvis du f.eks. skriver y(t) i ligningen, vil lommeregneren automatisk genkende at y der er en funktion fra en variabel t. Ved hjælp af en lommeregner kan du løse differentialligninger af enhver kompleksitet og type: homogen og inhomogen, lineær eller ikke-lineær, første ordens eller anden eller højere orden, ligninger med adskillelige eller ikke-adskillelige variable osv. Løsning diff. ligningen er givet i analytisk form og har en detaljeret beskrivelse. Differentialligninger er meget almindelige i fysik og matematik. Uden at beregne dem er det umuligt at løse mange problemer (især i matematisk fysik).

Et af stadierne til løsning af differentialligninger er integration af funktioner. Der findes standardmetoder til løsning af differentialligninger. Det er nødvendigt at reducere ligningerne til en form med adskillelige variabler y og x og separat integrere de adskilte funktioner. For at gøre dette skal der nogle gange foretages en vis udskiftning.

Lad os huske den opgave, der stod over for os, da vi fandt bestemte integraler:

eller dy = f(x)dx. Hendes løsning:

og det handler om at beregne det ubestemte integral. I praksis støder man oftere på en mere kompleks opgave: at finde funktionen y, hvis det vides, at det opfylder en relation af formen

Denne sammenhæng relaterer den uafhængige variabel x, ukendt funktion y og dets derivater op til rækkefølgen n inklusive, kaldes .

En differentialligning inkluderer en funktion under tegnet af afledte (eller differentialer) af en eller anden orden. Den højeste orden kaldes orden (9.1) .

Differentialligninger:

- første ordre,

Anden orden

- femte orden osv.

Den funktion, der opfylder en given differentialligning, kaldes dens løsning , eller integral . At løse det betyder at finde alle dets løsninger. Hvis for den ønskede funktion y lykkedes at få en formel, der giver alle løsninger, så siger vi, at vi har fundet dens generelle løsning , eller generel integral .

Fælles beslutning indeholder n vilkårlige konstanter og ligner

Hvis der opnås en relation, der vedrører x, y Og n vilkårlige konstanter, i en form, der ikke er tilladt mht y -

så kaldes en sådan relation det generelle integral af ligning (9.1).

Cauchy problem

Hver specifik løsning, dvs. hver specifik funktion, der opfylder en given differentialligning og ikke afhænger af vilkårlige konstanter, kaldes en bestemt løsning , eller en delvis integral. For at opnå bestemte løsninger (integraler) fra generelle, skal konstanterne gives specifikke numeriske værdier.

Grafen for en bestemt løsning kaldes en integralkurve. Den generelle løsning, som indeholder alle delløsningerne, er en familie af integralkurver. For en førsteordens ligning afhænger denne familie af en vilkårlig konstant, for ligningen n-th orden - fra n vilkårlige konstanter.

Cauchy-problemet er at finde en bestemt løsning til ligningen n-orden, tilfredsstillende n startbetingelser:

hvorved n konstanter c 1, c 2,..., c n bestemmes.

1. ordens differentialligninger

For en 1. ordens differentialligning, der er uløst i forhold til den afledede, har den formen

eller for tilladt relativt

Eksempel 3.46. Find den generelle løsning til ligningen

Løsning. Integrering, får vi

hvor C er en vilkårlig konstant. Hvis vi tildeler specifikke numeriske værdier til C, får vi bestemte løsninger, f.eks.

Eksempel 3.47. Overvej et stigende beløb indsat i banken med forbehold for optjening af 100 r renters rente om året. Lad Yo være det oprindelige beløb, og Yx - til sidst x flere år. Hvis der beregnes renter en gang om året, får vi

hvor x = 0, 1, 2, 3,.... Når der beregnes renter to gange om året, får vi

hvor x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Ved renteberegning n en gang om året og hvis x tager sekventielle værdier 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., derefter

Angiv 1/n = h, så vil den tidligere lighed se ud:

Med ubegrænset forstørrelse n(på ) i grænsen kommer vi til processen med at øge mængden af ​​penge med løbende påløb af renter:

Således er det klart, at med løbende forandring x loven om ændring i pengemængden er udtrykt ved en 1. ordens differentialligning. Hvor Y x er en ukendt funktion, x- uafhængige variabel, r- konstant. Lad os løse denne ligning, for at gøre dette omskriver vi den som følger:

hvor , eller , hvor P betegner e C .

Fra startbetingelserne Y(0) = Yo finder vi P: Yo = Pe o, hvorfra Yo = P. Derfor har løsningen formen:

Lad os overveje det andet økonomiske problem. Makroøkonomiske modeller er også beskrevet ved lineære differentialligninger af 1. orden, der beskriver ændringer i indkomst eller output Y som funktioner af tid.

Eksempel 3.48. Lad nationalindkomst Y stige med en hastighed, der er proportional med dens værdi:

og lad underskuddet i det offentlige forbrug være direkte proportionalt med indkomst Y med proportionalitetskoefficienten q. Et udgiftsunderskud fører til en stigning i statsgælden D:

Begyndelsesbetingelser Y = Yo og D = Do ved t = 0. Fra den første ligning Y= Yoe kt. Ved at erstatte Y får vi dD/dt = qYoe kt . Den generelle løsning har formen
D = (q/ k) Yoe kt +С, hvor С = const, som bestemmes ud fra startbetingelserne. Ved at erstatte startbetingelserne får vi Do = (q/k)Yo + C. Så til sidst,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

dette viser, at statsgælden stiger i samme relative takt k, det samme som nationalindkomst.

Lad os overveje de enkleste differentialligninger n orden, disse er ligninger af formen

Dens generelle løsning kan opnås ved hjælp af n gange integrationer.

Eksempel 3.49. Overvej eksemplet y """ = cos x.

Løsning. Integrering, finder vi

Den generelle løsning har formen

Lineære differentialligninger

De er meget brugt i økonomi; lad os overveje at løse sådanne ligninger. Hvis (9.1) har formen:

så kaldes det lineært, hvor рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) er givet funktioner. Hvis f(x) = 0, så kaldes (9.2) homogen, ellers kaldes den inhomogen. Den generelle løsning af ligning (9.2) er lig med summen af ​​enhver af dens særlige løsninger y(x) og den generelle løsning af den homogene ligning svarende til den:

Hvis koefficienterne р o (x), р 1 (x),..., р n (x) er konstante, så er (9.2)

(9.4) kaldes en lineær differentialligning med konstante ordenskoefficienter n .

For (9.4) har formen:

Uden tab af generalitet kan vi sætte p o = 1 og skrive (9,5) i formen

Vi vil lede efter en løsning (9.6) på formen y = e kx, hvor k er en konstant. Vi har: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Hvis vi erstatter de resulterende udtryk i (9.6), vil vi have:

(9.7) er en algebraisk ligning, dens ukendte er k, kaldes det karakteristisk. Den karakteristiske ligning har grad n Og n rødder, blandt hvilke der kan være både flere og komplekse. Lad da k 1 , k 2 ,..., k n være reel og tydelig - særlige løsninger (9.7) og generelle

Overvej en lineær homogen andenordens differentialligning med konstante koefficienter:

Dens karakteristiske ligning har formen

(9.9)

dens diskriminant D = p 2 - 4q, afhængigt af tegnet på D, er tre tilfælde mulige.

1. Hvis D>0, så er rødderne k 1 og k 2 (9.9) reelle og forskellige, og den generelle løsning har formen:

Løsning. Karakteristisk ligning: k 2 + 9 = 0, hvorfra k = ± 3i, a = 0, b = 3, den generelle løsning har formen:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Lineære differentialligninger af 2. orden bruges, når man studerer en web-type økonomisk model med varebeholdninger, hvor ændringshastigheden i prisen P afhænger af lagerstørrelsen (se afsnit 10). Hvis udbud og efterspørgsel er lineære funktioner af prisen, dvs

a er en konstant, der bestemmer reaktionshastigheden, derefter beskrives prisændringsprocessen ved differentialligningen:

For en bestemt løsning kan vi tage en konstant

meningsfuld ligevægtspris. Afvigelse opfylder den homogene ligning

(9.10)

Den karakteristiske ligning vil være som følger:

I tilfælde af at udtrykket er positivt. Lad os betegne . Rødderne af den karakteristiske ligning k 1,2 = ± i w, derfor har den generelle løsning (9.10) formen:

hvor C og er vilkårlige konstanter, bestemmes de ud fra startbetingelserne. Vi fik loven om prisændring over tid:

Indtast din differentialligning, apostroa "" bruges til at indtaste den afledede, tryk på send for at få løsningen

Første ordens differentialligninger løst med hensyn til den afledede

Sådan løses differentialligninger af første orden

Lad os få en førsteordens differentialligning løst med hensyn til den afledede:
.
Ved at dividere denne ligning med , med , får vi en ligning af formen:
,
Hvor .

Dernæst ser vi for at se, om disse ligninger tilhører en af ​​de typer, der er anført nedenfor. Hvis ikke, så vil vi omskrive ligningen i form af differentialer. For at gøre dette skriver og multiplicerer vi ligningen med . Vi får en ligning i form af differentialer:
.

Hvis denne ligning ikke er en total differentialligning, så mener vi, at i denne ligning er den uafhængige variabel og er en funktion af . Divider ligningen med:
.
Dernæst ser vi for at se, om denne ligning tilhører en af ​​nedenstående typer, idet vi tager i betragtning, at vi har byttet plads.

Hvis der ikke er fundet en type for denne ligning, så ser vi om det er muligt at forenkle ligningen ved simpel substitution. For eksempel, hvis ligningen er:
,
så bemærker vi det. Så laver vi en udskiftning. Efter dette vil ligningen antage en enklere form:
.

Hvis dette ikke hjælper, så forsøger vi at finde den integrerende faktor.

Adskillelige ligninger

;
.
Del med og integrer. Når vi får:
.

Ligninger reduceres til adskillelige ligninger

Homogene ligninger

Vi løser ved substitution:
,
hvor er en funktion af. Derefter
;
.
Vi adskiller variablerne og integrerer.

Ligninger reduceres til homogene

Indtast variablerne og:
;
.
Vi vælger konstanter og så de frie vilkår forsvinder:
;
.
Som et resultat opnår vi en homogen ligning i variablerne og .

Generaliserede homogene ligninger

Lad os lave en udskiftning. Vi får en homogen ligning i variablerne og .

Lineære differentialligninger

Der er tre metoder til løsning af lineære ligninger.

2) Bernoullis metode.
Vi leder efter en løsning i form af et produkt af to funktioner og en variabel:
.
;
.
Vi kan vælge en af ​​disse funktioner vilkårligt. Derfor vælger vi enhver ikke-nul løsning af ligningen som:
.

3) Metode til variation af konstant (Lagrange).
Her løser vi først den homogene ligning:

Den generelle løsning af den homogene ligning har formen:
,
hvor er en konstant. Dernæst erstatter vi konstanten med en funktion, der afhænger af variablen:
.
Sæt ind i den oprindelige ligning. Som et resultat får vi en ligning, som vi bestemmer ud fra.

Bernoullis ligninger

Ved substitution reduceres Bernoullis ligning til en lineær ligning.

Denne ligning kan også løses ved hjælp af Bernoulli-metoden. Det vil sige, at vi leder efter en løsning i form af et produkt af to funktioner afhængig af variablen:
.
Erstat i den oprindelige ligning:
;
.
Vi vælger enhver ikke-nul løsning af ligningen som:
.
Efter at have bestemt , får vi en ligning med adskillelige variabler for .

Riccati ligninger

Det kan ikke løses i generel form. Substitution

Riccati-ligningen er reduceret til formen:
,
hvor er en konstant; ; .
Dernæst ved substitution:

det reduceres til formen:
,
Hvor .

Egenskaber for Riccati-ligningen og nogle specielle tilfælde af dens løsning er præsenteret på siden
Riccati differentialligning >>>

Jacobi ligninger

Løst ved udskiftning:
.

Ligninger i totale differentialer

I betragtning af det
.
Hvis denne betingelse er opfyldt, er udtrykket på venstre side af ligheden differentialet for en funktion:
.
Derefter
.
Herfra får vi integralet af differentialligningen:
.

For at finde funktionen er den mest bekvemme måde metoden til sekventiel differentiel ekstraktion. For at gøre dette skal du bruge formlerne:
;
;
;
.

Integrerende faktor

Hvis en førsteordens differentialligning ikke kan reduceres til nogen af ​​de anførte typer, kan du prøve at finde den integrerende faktor. En integrerende faktor er en funktion, når multipliceret med hvilken, en differentialligning bliver en ligning i totale differentialer. En førsteordens differentialligning har et uendeligt antal integrerende faktorer. Der er dog ingen generelle metoder til at finde den integrerende faktor.

Ligninger ikke løst for den afledte y"

Ligninger, der kan løses med hensyn til den afledte y"

Først skal du prøve at løse ligningen med hensyn til den afledede. Hvis det er muligt, kan ligningen reduceres til en af ​​de ovenfor nævnte typer.

Ligninger, der kan faktoriseres

Hvis du kan faktorisere ligningen:
,
så er problemet reduceret til sekventiel løsning af simplere ligninger:
;
;

;
. Vi tror. Derefter
eller .
Dernæst integrerer vi ligningen:
;
.
Som et resultat opnår vi udtrykket af den anden variabel gennem parameteren.

Mere generelle ligninger:
eller
løses også i parametrisk form. For at gøre dette skal du vælge en funktion, så du fra den oprindelige ligning kan udtrykke eller gennem parameteren.
For at udtrykke den anden variabel gennem parameteren, integrerer vi ligningen:
;
.

Ligninger opløst for y

Clairaut ligninger

Denne ligning har en generel løsning

Lagrange ligninger

Vi leder efter en løsning i parametrisk form. Vi antager, hvor er en parameter.

Ligninger, der fører til Bernoullis ligning

Disse ligninger reduceres til Bernoulli-ligningen, hvis vi leder efter deres løsninger i parametrisk form ved at indføre en parameter og foretage substitutionen.

Referencer:
V.V. Stepanov, Differentialligningsforløb, "LKI", 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Samling af problemer i højere matematik, "Lan", 2003.

En differentialligning er en ligning, der involverer en funktion og en eller flere af dens afledte. I de fleste praktiske problemer repræsenterer funktioner fysiske størrelser, derivater svarer til ændringshastighederne for disse størrelser, og en ligning bestemmer forholdet mellem dem.

Denne artikel diskuterer metoder til løsning af visse typer almindelige differentialligninger, hvis løsninger kan skrives i formen elementære funktioner, det vil sige polynomium, eksponentiel, logaritmisk og trigonometrisk, samt deres inverse funktioner. Mange af disse ligninger forekommer i det virkelige liv, selvom de fleste andre differentialligninger ikke kan løses med disse metoder, og for dem er svaret skrevet i form af specielle funktioner eller potensrækker, eller findes ved numeriske metoder.

For at forstå denne artikel skal du være dygtig til differential- og integralregning samt have en vis forståelse for partielle afledte. Det anbefales også at kende det grundlæggende i lineær algebra som anvendt på differentialligninger, især andenordens differentialligninger, selvom viden om differential- og integralregning er tilstrækkelig til at løse dem.

Foreløbige oplysninger

• Differentialligninger har en omfattende klassifikation. Denne artikel taler om almindelige differentialligninger, altså om ligninger, der omfatter en funktion af én variabel og dens afledte. Almindelige differentialligninger er meget nemmere at forstå og løse end partielle differentialligninger, som omfatter funktioner af flere variable. Denne artikel diskuterer ikke partielle differentialligninger, da metoderne til at løse disse ligninger normalt bestemmes af deres særlige form.
  • Nedenfor er nogle eksempler på almindelige differentialligninger.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Nedenfor er nogle eksempler på partielle differentialligninger.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\partial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Bestille af en differentialligning bestemmes af rækkefølgen af ​​den højeste afledede inkluderet i denne ligning. Den første af de ovennævnte almindelige differentialligninger er af første orden, mens den anden er en anden ordens ligning. Grad af en differentialligning er den højeste potens, som et af led i denne ligning er hævet til.
  • For eksempel er ligningen nedenfor tredje orden og anden grad.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ højre)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Differentialligningen er lineær differentialligning i tilfælde af at funktionen og alle dens afledte er i første grad. Ellers er ligningen ikke-lineær differentialligning. Lineære differentialligninger er bemærkelsesværdige ved, at deres løsninger kan bruges til at danne lineære kombinationer, der også vil være løsninger til den givne ligning.
  • Nedenfor er nogle eksempler på lineære differentialligninger.
  • Nedenfor er nogle eksempler på ikke-lineære differentialligninger. Den første ligning er ikke-lineær på grund af sinusleddet.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \venstre((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\højre)^(2)+tx^(2)=0)
• Fælles beslutning almindelig differentialligning er ikke unik, den inkluderer vilkårlige integrationskonstanter. I de fleste tilfælde er antallet af vilkårlige konstanter lig med rækkefølgen af ​​ligningen. I praksis bestemmes værdierne af disse konstanter ud fra det givne begyndelsesbetingelser, det vil sige ifølge værdierne af funktionen og dens afledte ved x = 0. (\displaystyle x=0.) Antallet af startbetingelser, der er nødvendige for at finde privat løsning differentialligning, er i de fleste tilfælde også lig med rækkefølgen af ​​den givne ligning.
  • For eksempel vil denne artikel se på løsning af ligningen nedenfor. Dette er en anden ordens lineær differentialligning. Dens generelle løsning indeholder to vilkårlige konstanter. For at finde disse konstanter er det nødvendigt at kende startbetingelserne ved x (0) (\displaystyle x(0)) Og x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Normalt er startbetingelserne specificeret på punktet x = 0 , (\displaystyle x=0,), selvom dette ikke er nødvendigt. Denne artikel vil også diskutere, hvordan man finder særlige løsninger for givne startbetingelser.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2) )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Trin

Del 1

Første ordens ligninger

Når du bruger denne tjeneste, kan nogle oplysninger blive overført til YouTube.

1. Lineære ligninger af første orden. Dette afsnit diskuterer metoder til løsning af førsteordens lineære differentialligninger generelt og særlige tilfælde, hvor nogle led er lig med nul. Lad os lade som om y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) Og q (x) (\displaystyle q(x)) er funktioner x. (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Ifølge en af ​​de vigtigste teoremer i matematisk analyse er integralet af en funktions afledte også en funktion. Således er det nok blot at integrere ligningen for at finde dens løsning. Det skal tages i betragtning, at når man beregner det ubestemte integral, vises en vilkårlig konstant.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Vi bruger metoden adskillelse af variabler. Dette flytter forskellige variable til forskellige sider af ligningen. Du kan for eksempel flytte alle medlemmer fra y (\displaystyle y) til én, og alle medlemmer med x (\displaystyle x) til den anden side af ligningen. Medlemmer kan også overføres d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) Og d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), som er inkluderet i udtryk for derivater, skal det dog huskes, at dette kun er et symbol, der er praktisk, når man differentierer en kompleks funktion. Drøftelse af disse medlemmer, som kaldes forskelle, er uden for rammerne af denne artikel.

   • Først skal du flytte variablerne til modsatte sider af lighedstegnet.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Lad os integrere begge sider af ligningen. Efter integration vil der på begge sider dukke vilkårlige konstanter op, som kan overføres til højre side af ligningen.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Eksempel 1.1. I det sidste trin brugte vi reglen e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) og erstattet e C (\displaystyle e^(C)) på C (\displaystyle C), da dette også er en vilkårlig integrationskonstant.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin(aligned) )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aligned)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) For at finde en generel løsning introducerede vi integrerende faktor som funktion af x (\displaystyle x) at reducere venstre side til en fælles afledt og dermed løse ligningen.

   • Gang begge sider med μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • For at reducere venstre side til den generelle afledte, skal følgende transformationer udføres:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Det betyder den sidste ligestilling d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Dette er en integrerende faktor, der er tilstrækkelig til at løse enhver førsteordens lineær ligning. Nu kan vi udlede formlen for at løse denne ligning mhp μ , (\displaystyle \mu ,) selvom det er nyttigt til træning at lave alle mellemregningerne.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Eksempel 1.2. Dette eksempel viser, hvordan man finder en bestemt løsning på en differentialligning med givne begyndelsesbetingelser.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4) )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Løsning af lineære ligninger af første orden (optaget af Intuit - National Open University).

2. Ikke-lineære første ordens ligninger. Dette afsnit diskuterer metoder til løsning af nogle førsteordens ikke-lineære differentialligninger. Selvom der ikke er nogen generel metode til at løse sådanne ligninger, kan nogle af dem løses ved hjælp af metoderne nedenfor.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y). (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Hvis funktionen f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) kan opdeles i funktioner af én variabel, kaldes en sådan ligning differentialligning med adskillelige variable. I dette tilfælde kan du bruge ovenstående metode:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • Eksempel 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ start(aligned)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(justeret)))

   D y d x = g (x, y) h (x, y). (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Lad os lade som om g (x, y) (\displaystyle g(x,y)) Og h (x, y) (\displaystyle h(x,y)) er funktioner x (\displaystyle x) Og y. (\displaystyle y.) Derefter homogen differentialligning er en ligning, hvori g (\displaystyle g) Og h (\displaystyle h) er homogene funktioner i samme grad. Det vil sige, at funktionerne skal opfylde betingelsen g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Hvor k (\displaystyle k) kaldes graden af ​​homogenitet. Enhver homogen differentialligning kan anvendes ved passende substitutioner af variable (v = y / x (\displaystyle v=y/x) eller v = x / y (\displaystyle v=x/y)) konvertere til en adskillelig ligning.

   • Eksempel 1.4. Ovenstående beskrivelse af homogenitet kan virke uklar. Lad os se på dette koncept med et eksempel.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Til at begynde med skal det bemærkes, at denne ligning er ikke-lineær mht y. (\displaystyle y.) Vi ser også, at det i dette tilfælde er umuligt at adskille variablerne. Samtidig er denne differentialligning homogen, da både tælleren og nævneren er homogene med en potens af 3. Derfor kan vi lave en ændring af variabler v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Som et resultat har vi ligningen for v (\displaystyle v) med adskillelige variable.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Det her Bernoullis differentialligning- en særlig type ikke-lineær ligning af første grad, hvis løsning kan skrives ved hjælp af elementære funktioner.

   • Gang begge sider af ligningen med (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Vi bruger reglen til at differentiere en kompleks funktion på venstre side og transformerer ligningen til en lineær ligning mhp. y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) som kan løses ved hjælp af ovenstående metoder.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm) (d) )x))=0.) Det her ligning i totale differentialer. Det er nødvendigt at finde den såkaldte potentiel funktion φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), som opfylder betingelsen d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • For at opfylde denne betingelse er det nødvendigt at have samlet afledt. Den samlede afledte tager højde for afhængigheden af ​​andre variable. For at beregne den samlede afledte φ (\displaystyle \varphi ) Ved x , (\displaystyle x,) det antager vi y (\displaystyle y) kan også afhænge af x. (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x)))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Sammenligning af vilkårene giver os M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) Og N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Dette er et typisk resultat for ligninger i flere variable, hvor de blandede afledte af glatte funktioner er lig med hinanden. Nogle gange kaldes denne sag Clairauts sætning. I dette tilfælde er differentialligningen en total differentialligning, hvis følgende betingelse er opfyldt:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Metoden til at løse ligninger i totale differentialer svarer til at finde potentielle funktioner i nærværelse af flere afledte, som vi kort vil diskutere. Lad os først integrere M (\displaystyle M) Ved x. (\displaystyle x.) Fordi M (\displaystyle M) er en funktion og x (\displaystyle x), Og y , (\displaystyle y,) ved integration får vi en ufuldstændig funktion φ , (\displaystyle \varphi ,) udpeget som φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi))). Resultatet afhænger også af y (\displaystyle y) integrationskonstant.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Efter dette, at få c (y) (\displaystyle c(y)) vi kan tage den partielle afledede af den resulterende funktion med hensyn til y , (\displaystyle y,) sidestille resultatet N (x, y) (\displaystyle N(x,y)) og integrere. Du kan også først integrere N (\displaystyle N), og tag så den partielle afledte mhp x (\displaystyle x), som giver dig mulighed for at finde en vilkårlig funktion d(x). (\displaystyle d(x).) Begge metoder er velegnede, og normalt vælges den mere simple funktion til integration.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ delvis (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Eksempel 1.5. Du kan tage partielle afledte og se, at ligningen nedenfor er en total differentialligning.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial) \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Hvis differentialligningen ikke er en total differentialligning, kan du i nogle tilfælde finde en integrerende faktor, der giver dig mulighed for at konvertere den til en total differentialligning. Sådanne ligninger bruges dog sjældent i praksis, og selvom den integrerende faktor eksisterer, det sker for at finde det ikke let, derfor behandles disse ligninger ikke i denne artikel.

Del 2

Anden ordens ligninger

1. Homogene lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Disse ligninger er meget udbredt i praksis, så deres løsning er af primær betydning. I dette tilfælde taler vi ikke om homogene funktioner, men om at der i højre side af ligningen er 0. Næste afsnit vil vise hvordan man løser de tilsvarende heterogen differentialligninger. Under a (\displaystyle a) Og b (\displaystyle b) er konstanter.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+af=0)
   

   Karakteristisk ligning. Denne differentialligning er bemærkelsesværdig ved, at den kan løses meget let, hvis du er opmærksom på, hvilke egenskaber dens løsninger skal have. Det fremgår tydeligt af ligningen y (\displaystyle y) og dens derivater er proportionale med hinanden. Fra tidligere eksempler, som blev diskuteret i afsnittet om førsteordens ligninger, ved vi, at kun en eksponentiel funktion har denne egenskab. Derfor er det muligt at fremsætte ansatz(et kvalificeret gæt) om, hvad løsningen på denne ligning vil være.

   • Løsningen vil have form af en eksponentiel funktion e r x , (\displaystyle e^(rx),) Hvor r (\displaystyle r) er en konstant, hvis værdi skal findes. Sæt denne funktion ind i ligningen og få følgende udtryk
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Denne ligning angiver, at produktet af en eksponentiel funktion og et polynomium skal være lig med nul. Det er kendt, at eksponenten ikke kan være lig med nul for nogen værdier af graden. Ud fra dette konkluderer vi, at polynomiet er lig med nul. Således har vi reduceret problemet med at løse en differentialligning til det meget simplere problem med at løse en algebraisk ligning, som kaldes den karakteristiske ligning for en given differentialligning.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Vi har to rødder. Da denne differentialligning er lineær, er dens generelle løsning en lineær kombination af partielle løsninger. Da dette er en anden ordens ligning, ved vi, at det er det virkelig generel løsning, og der er ingen andre. En mere streng begrundelse for dette ligger i teoremer om eksistensen og unikheden af ​​en løsning, som kan findes i lærebøger.
   • En nyttig måde at kontrollere, om to løsninger er lineært uafhængige, er at beregne Wronskiana. Vronskian W (\displaystyle W) er determinanten for en matrix, hvis kolonner indeholder funktioner og deres successive afledte. Den lineære algebra-sætning siger, at de funktioner, der indgår i Wronskian, er lineært afhængige, hvis Wronskian er lig med nul. I dette afsnit kan vi kontrollere, om to løsninger er lineært uafhængige - for at gøre dette skal vi sikre os, at Wronskian ikke er nul. Wronskian er vigtig, når man løser inhomogene differentialligninger med konstante koefficienter ved hjælp af metoden med varierende parametre.
     • W = | y 1 y 2 y 1 "y 2" | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • Med hensyn til lineær algebra danner mængden af ​​alle løsninger til en given differentialligning et vektorrum, hvis dimension er lig med rækkefølgen af ​​differentialligningen. I dette rum kan man vælge et grundlag fra lineært uafhængig beslutninger fra hinanden. Dette er muligt på grund af det faktum, at funktionen y (x) (\displaystyle y(x)) gyldig lineær operator. Afledte er lineær operator, da den omdanner rummet af differentierbare funktioner til rummet for alle funktioner. Ligninger kaldes homogene i de tilfælde, hvor, for enhver lineær operator L (\displaystyle L) vi skal finde en løsning på ligningen L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Lad os nu gå videre til at overveje flere specifikke eksempler. Vi vil overveje tilfældet med multiple rødder af den karakteristiske ligning lidt senere i afsnittet om at reducere rækkefølgen.

   Hvis rødderne r ± (\displaystyle r_(\pm )) er forskellige reelle tal, har differentialligningen følgende løsning

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   To komplekse rødder. Af algebras grundlæggende sætning følger det, at løsninger til polynomieligninger med reelle koefficienter har rødder, der er reelle eller danner konjugerede par. Derfor, hvis et komplekst tal r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) er roden til den karakteristiske ligning, altså r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) er også roden til denne ligning. Således kan vi skrive løsningen i skemaet c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) det er dog et komplekst tal og er ikke ønskeligt til løsning af praktiske problemer.

   • I stedet kan du bruge Eulers formel e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), som giver dig mulighed for at skrive løsningen i form af trigonometriske funktioner:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Nu kan du i stedet for en konstant c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) Skriv ned c 1 (\displaystyle c_(1)), og udtrykket i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) erstattet af c 2. (\displaystyle c_(2).) Herefter får vi følgende løsning:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
   • Der er en anden måde at skrive løsningen i form af amplitude og fase, som er bedre egnet til fysikproblemer.
   • Eksempel 2.1. Lad os finde en løsning på differentialligningen nedenfor med de givne begyndelsesbetingelser. For at gøre dette skal du tage den resulterende løsning, såvel som dets afledte, og erstatte dem i de indledende betingelser, som vil give os mulighed for at bestemme vilkårlige konstanter.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )jeg)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\venstre(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Løsning af n. ordens differentialligninger med konstante koefficienter (optaget af Intuit - National Open University).

2. Faldende rækkefølge. Ordreduktion er en metode til at løse differentialligninger, når én lineært uafhængig løsning er kendt. Denne metode består i at sænke rækkefølgen af ​​ligningen med én, hvilket giver dig mulighed for at løse ligningen ved hjælp af metoderne beskrevet i det foregående afsnit. Lad løsningen være kendt. Hovedideen med ordrereduktion er at finde en løsning i nedenstående formular, hvor det er nødvendigt at definere funktionen v (x) (\displaystyle v(x)), substituere det i differentialligningen og finde v(x). (\displaystyle v(x).) Lad os se på, hvordan ordensreduktion kan bruges til at løse en differentialligning med konstante koefficienter og multiple rødder.

   
   

   Flere rødder homogen differentialligning med konstante koefficienter. Husk at en andenordensligning skal have to lineært uafhængige løsninger. Hvis den karakteristiske ligning har flere rødder, er mængden af ​​løsninger Ikke danner et rum, da disse løsninger er lineært afhængige. I dette tilfælde er det nødvendigt at bruge ordrereduktion for at finde en anden lineært uafhængig løsning.

   • Lad den karakteristiske ligning have flere rødder r (\displaystyle r). Lad os antage, at den anden løsning kan skrives i formen y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), og indsæt det i differentialligningen. I dette tilfælde er de fleste led, med undtagelse af udtrykket med den anden afledede af funktionen v , (\displaystyle v,) vil blive reduceret.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Eksempel 2.2. Lad følgende ligning gives, som har flere rødder r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Under substitution reduceres de fleste vilkår.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(justed)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned) )v""e^(-4x)&-(\annuller (8v"e^(-4x)))+(\annuller (16ve^(-4x)))\\&+(\annuller (8v"e ^(-4x)))-(\annuller (32ve^(-4x)))+(\annuller (16ve^(-4x)))=0\end(justeret)))
   • I lighed med vores ansatz for en differentialligning med konstante koefficienter, kan kun den anden afledede i dette tilfælde være lig med nul. Vi integrerer to gange og opnår det ønskede udtryk for v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Så kan den generelle løsning af en differentialligning med konstante koefficienter i det tilfælde, hvor den karakteristiske ligning har flere rødder, skrives på følgende form. For nemheds skyld kan du huske, at for at opnå lineær uafhængighed er det nok blot at gange det andet led med x (\displaystyle x). Dette sæt af løsninger er lineært uafhængigt, og dermed har vi fundet alle løsningerne til denne ligning.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Ordrereduktion er gældende, hvis løsningen er kendt y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), som kan findes eller angives i problemformuleringen.

   • Vi leder efter en løsning i form y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) og indsæt det i denne ligning:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Fordi y 1 (\displaystyle y_(1)) er en løsning på en differentialligning, alle led med v (\displaystyle v) bliver reduceret. Til sidst forbliver det første ordens lineære ligning. For at se dette mere klart, lad os lave en ændring af variabler w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Hvis integralerne kan beregnes, får vi den generelle løsning som en kombination af elementære funktioner. Ellers kan løsningen efterlades i integreret form.

3. Cauchy-Euler ligning. Cauchy-Euler ligningen er et eksempel på en andenordens differentialligning med variabler koefficienter, som har nøjagtige løsninger. Denne ligning bruges i praksis for eksempel til at løse Laplace-ligningen i sfæriske koordinater.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Karakteristisk ligning. Som du kan se, i denne differentialligning, indeholder hvert led en potensfaktor, hvis grad er lig med rækkefølgen af ​​den tilsvarende afledte.

   • Du kan således forsøge at lede efter en løsning i skemaet y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) hvor det er nødvendigt at bestemme n (\displaystyle n), ligesom vi ledte efter en løsning i form af en eksponentiel funktion for en lineær differentialligning med konstante koefficienter. Efter differentiering og substitution får vi
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • For at bruge den karakteristiske ligning må vi antage det x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Prik x = 0 (\displaystyle x=0) hedder regulært ental punkt differentialligning. Sådanne punkter er vigtige, når man løser differentialligninger ved hjælp af potensrækker. Denne ligning har to rødder, som kan være forskellige og reelle, multiple eller komplekse konjugater.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   To forskellige rigtige rødder. Hvis rødderne n ± (\displaystyle n_(\pm )) er reelle og anderledes, så har løsningen til differentialligningen følgende form:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   To komplekse rødder. Hvis den karakteristiske ligning har rødder n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), er løsningen en kompleks funktion.

   • For at transformere løsningen til en reel funktion laver vi en ændring af variable x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) det er t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) og brug Eulers formel. Lignende handlinger blev udført tidligere ved bestemmelse af vilkårlige konstanter.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Så kan den generelle løsning skrives som
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Flere rødder. For at opnå en anden lineært uafhængig løsning er det nødvendigt at reducere rækkefølgen igen.

   • Det kræver en del beregninger, men princippet forbliver det samme: vi erstatter y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) ind i en ligning, hvis første løsning er y 1 (\displaystyle y_(1)). Efter reduktioner opnås følgende ligning:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Dette er en første ordens lineær ligning mht v′ (x). (\displaystyle v"(x).) Hans løsning er v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Løsningen kan således skrives i følgende form. Dette er ret nemt at huske - for at opnå den anden lineært uafhængige løsning kræver det blot en ekstra term med ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Inhomogene lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Inhomogene ligninger har formen L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Hvor f (x) (\displaystyle f(x))- såkaldte gratis medlem. Ifølge teorien om differentialligninger er den generelle løsning af denne ligning en superposition privat løsning y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) Og ekstra løsning yc(x). (\displaystyle y_(c)(x).) Men i dette tilfælde betyder en bestemt løsning ikke en løsning givet af startbetingelserne, men snarere en løsning, der er bestemt af tilstedeværelsen af ​​heterogenitet (et frit udtryk). En yderligere løsning er en løsning til den tilsvarende homogene ligning, hvori f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Den samlede løsning er en overlejring af disse to løsninger, da L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), og siden L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) sådan en superposition er faktisk en generel løsning.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+af=f(x))
   

   Metode til ubestemte koefficienter. Metoden med ubestemte koefficienter bruges i tilfælde, hvor skæringsleddet er en kombination af eksponentielle, trigonometriske, hyperbolske eller potensfunktioner. Kun disse funktioner er garanteret at have et begrænset antal lineært uafhængige afledte. I dette afsnit vil vi finde en bestemt løsning på ligningen.

   • Lad os sammenligne vilkårene i f (x) (\displaystyle f(x)) med vilkår i uden at være opmærksom på konstante faktorer. Der er tre mulige tilfælde.
     • Ikke to medlemmer er ens. I dette tilfælde en særlig løsning y p (\displaystyle y_(p)) vil være en lineær kombination af udtryk fra y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) indeholder medlem x n (\displaystyle x^(n)) og medlem fra y c , (\displaystyle y_(c),) Hvor n (\displaystyle n) er nul eller et positivt heltal, og dette led svarer til en separat rod af den karakteristiske ligning. I dette tilfælde y p (\displaystyle y_(p)) vil bestå af en kombination af funktionen x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) dens lineært uafhængige derivater, såvel som andre udtryk f (x) (\displaystyle f(x)) og deres lineært uafhængige derivater.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) indeholder medlem h (x) , (\displaystyle h(x),) som er et værk x n (\displaystyle x^(n)) og medlem fra y c , (\displaystyle y_(c),) Hvor n (\displaystyle n) er lig med 0 eller et positivt heltal, og dette led svarer til mange roden af ​​den karakteristiske ligning. I dette tilfælde y p (\displaystyle y_(p)) er en lineær kombination af funktionen x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Hvor s (\displaystyle s)- multiplicitet af roden) og dens lineært uafhængige afledte, såvel som andre medlemmer af funktionen f (x) (\displaystyle f(x)) og dets lineært uafhængige derivater.
   • Lad os skrive det ned y p (\displaystyle y_(p)) som en lineær kombination af ovenstående udtryk. På grund af disse koefficienter i en lineær kombination kaldes denne metode for "metoden med ubestemte koefficienter". Når indeholdt i y c (\displaystyle y_(c)) medlemmer kan kasseres på grund af tilstedeværelsen af ​​vilkårlige konstanter i y c. (\displaystyle y_(c).) Herefter erstatter vi y p (\displaystyle y_(p)) ind i ligningen og sidestil lignende udtryk.
   • Vi bestemmer koefficienterne. På dette stadium opnås et system af algebraiske ligninger, som normalt kan løses uden problemer. Løsningen af ​​dette system giver os mulighed for at opnå y p (\displaystyle y_(p)) og derved løse ligningen.
   • Eksempel 2.3. Lad os betragte en inhomogen differentialligning, hvis frie led indeholder et endeligt antal lineært uafhængige afledte. En særlig løsning på en sådan ligning kan findes ved metoden med ubestemte koefficienter.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(aligned)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ ende(sager)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Lagrange metode. Lagrange-metoden, eller metoden til variation af vilkårlige konstanter, er en mere generel metode til at løse inhomogene differentialligninger, især i tilfælde hvor skæringsleddet ikke indeholder et endeligt antal lineært uafhængige afledte. For eksempel med frie vilkår tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) eller x − n (\displaystyle x^(-n)) for at finde en bestemt løsning er det nødvendigt at bruge Lagrange-metoden. Lagrange-metoden kan endda bruges til at løse differentialligninger med variable koefficienter, selvom den i dette tilfælde, med undtagelse af Cauchy-Euler-ligningen, bruges mindre hyppigt, da den ekstra løsning normalt ikke udtrykkes i form af elementære funktioner.

   • Lad os antage, at løsningen har følgende form. Dens afledte er angivet i anden linje.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Da den foreslåede løsning indeholder to ukendte mængder, er det nødvendigt at pålægge ekstra tilstand. Lad os vælge denne yderligere betingelse i følgende form:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Nu kan vi få den anden ligning. Efter substitution og omfordeling af medlemmer kan du gruppere medlemmer med v 1 (\displaystyle v_(1)) og medlemmer med v 2 (\displaystyle v_(2)). Disse vilkår reduceres pga y 1 (\displaystyle y_(1)) Og y 2 (\displaystyle y_(2)) er løsninger af den tilsvarende homogene ligning. Som et resultat får vi følgende ligningssystem
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(justed)))
   • Dette system kan omdannes til en matrixligning af formen A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) hvis løsning er x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Til matrix 2 × 2 (\displaystyle 2\time 2) den inverse matrix findes ved at dividere med determinanten, omarrangere de diagonale elementer og ændre tegnet for de ikke-diagonale elementer. Faktisk er determinanten for denne matrix en Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Udtryk for v 1 (\displaystyle v_(1)) Og v 2 (\displaystyle v_(2)) er angivet nedenfor. Som i ordensreduktionsmetoden vises der i dette tilfælde under integration en vilkårlig konstant, som inkluderer en ekstra løsning i den generelle løsning af differentialligningen.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Foredrag fra National Open University Intuit med titlen "Lineære differentialligninger af n. orden med konstante koefficienter."

Praktisk brug

Differentialligninger etablerer en sammenhæng mellem en funktion og en eller flere af dens afledte. Fordi sådanne forhold er ekstremt almindelige, har differentialligninger fundet bred anvendelse inden for en række områder, og da vi lever i fire dimensioner, er disse ligninger ofte differentialligninger i privat derivater. Dette afsnit dækker nogle af de vigtigste ligninger af denne type.

• Eksponentiel vækst og forfald. Radioaktivt henfald. Renters rente. Hastigheden af ​​kemiske reaktioner. Koncentration af lægemidler i blodet. Ubegrænset befolkningstilvækst. Newton-Richmanns lov. Der er mange systemer i den virkelige verden, hvor vækst- eller henfaldshastigheden på et givet tidspunkt er proportional med mængden på et givet tidspunkt eller kan godt tilnærmes af en model. Det skyldes, at løsningen på en given differentialligning, eksponentialfunktionen, er en af ​​de vigtigste funktioner i matematik og andre videnskaber. Mere generelt kan systemet med kontrolleret befolkningstilvækst omfatte yderligere vilkår, der begrænser væksten. I nedenstående ligning er konstanten k (\displaystyle k) kan enten være større eller mindre end nul.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Harmoniske vibrationer. I både klassisk og kvantemekanik er den harmoniske oscillator et af de vigtigste fysiske systemer på grund af dens enkelhed og udbredte anvendelse til at tilnærme mere komplekse systemer såsom et simpelt pendul. I klassisk mekanik beskrives harmoniske vibrationer ved en ligning, der relaterer positionen af ​​et materialepunkt til dets acceleration gennem Hookes lov. I dette tilfælde kan der også tages hensyn til dæmpning og drivkræfter. I udtrykket nedenfor x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- tidsafledt af x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )- parameter, der beskriver dæmpningskraften, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- systemets vinkelfrekvens, F (t) (\displaystyle F(t))- tidsafhængig drivkraft. Den harmoniske oscillator er også til stede i elektromagnetiske oscillatoriske kredsløb, hvor den kan implementeres med større nøjagtighed end i mekaniske systemer.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Bessels ligning. Bessel differentialligning bruges i mange områder af fysikken, herunder løsning af bølgeligningen, Laplaces ligning og Schrödingers ligning, især i nærvær af cylindrisk eller sfærisk symmetri. Denne andenordens differentialligning med variable koefficienter er ikke en Cauchy-Euler-ligning, så dens løsninger kan ikke skrives som elementære funktioner. Løsningerne til Bessel-ligningen er Bessel-funktionerne, som er velundersøgte på grund af deres anvendelse på mange områder. I udtrykket nedenfor α (\displaystyle \alpha )- en konstant, der svarer i orden Bessel funktioner.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Maxwells ligninger. Sammen med Lorentz-kraften danner Maxwells ligninger grundlaget for klassisk elektrodynamik. Dette er de fire partielle differentialligninger for elektrisk E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) og magnetisk B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) felter. I udtrykkene nedenfor ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- ladningstæthed, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- strømtæthed, og ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) Og μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- henholdsvis elektriske og magnetiske konstanter.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle \t\begin(aligned) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Schrödinger ligning. I kvantemekanikken er Schrödinger-ligningen den grundlæggende bevægelsesligning, som beskriver partiklernes bevægelse i overensstemmelse med en ændring i bølgefunktionen Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) med tiden. Bevægelsesligningen beskrives af adfærden Hamiltonian H^(\displaystyle (\hat (H))) - operatør, som beskriver systemets energi. Et af de velkendte eksempler på Schrödinger-ligningen i fysik er ligningen for en enkelt ikke-relativistisk partikel underlagt potentialet V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Mange systemer er beskrevet af den tidsafhængige Schrödinger-ligning, og i venstre side af ligningen er E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) Hvor E (\displaystyle E)- partikelenergi. I udtrykkene nedenfor ℏ (\displaystyle \hbar )- reduceret Planck konstant.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\venstre(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• Bølgeligning. Fysik og teknologi kan ikke forestilles uden bølger; de er til stede i alle typer systemer. Generelt er bølger beskrevet af nedenstående ligning, hvori u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) er den ønskede funktion, og c (\displaystyle c)- eksperimentelt bestemt konstant. d'Alembert var den første til at opdage, at for det endimensionelle tilfælde er løsningen til bølgeligningen nogen funktion med argument x − c t (\displaystyle x-ct), som beskriver en bølge af vilkårlig form, der forplanter sig til højre. Den generelle løsning for det endimensionelle tilfælde er en lineær kombination af denne funktion med en anden funktion med argument x + c t (\displaystyle x+ct), som beskriver en bølge, der forplanter sig til venstre. Denne løsning præsenteres i anden linje.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Navier-Stokes ligninger. Navier-Stokes-ligningerne beskriver væskers bevægelse. Fordi væsker er til stede i stort set alle områder inden for videnskab og teknologi, er disse ligninger ekstremt vigtige til at forudsige vejret, designe fly, studere havstrømme og løse mange andre anvendte problemer. Navier-Stokes-ligningerne er ikke-lineære partielle differentialligninger, og i de fleste tilfælde er de meget svære at løse, fordi ulineariteten fører til turbulens, og at opnå en stabil løsning med numeriske metoder kræver opdeling i meget små celler, hvilket kræver betydelig regnekraft. Til praktiske formål inden for hydrodynamik bruges metoder som tidsgennemsnit til at modellere turbulente strømme. Endnu mere basale spørgsmål som eksistensen og unikheden af ​​løsninger til ikke-lineære partielle differentialligninger er udfordrende, og at bevise eksistensen og unikheden af ​​en løsning til Navier-Stokes-ligningerne i tre dimensioner er blandt årtusindets matematiske problemer. Nedenfor er den inkompressible væskestrømsligning og kontinuitetsligningen.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u))) )(\delvis t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Mange differentialligninger kan simpelthen ikke løses ved hjælp af ovenstående metoder, især dem, der er nævnt i sidste afsnit. Dette gælder, når ligningen indeholder variable koefficienter og ikke er en Cauchy-Euler-ligning, eller når ligningen er ikke-lineær, undtagen i nogle få meget sjældne tilfælde. Ovenstående metoder kan dog løse mange vigtige differentialligninger, som man ofte støder på inden for forskellige videnskabsområder.
• I modsætning til differentiering, som giver dig mulighed for at finde den afledede af enhver funktion, kan integralet af mange udtryk ikke udtrykkes i elementære funktioner. Så spild ikke tid på at prøve at beregne et integral, hvor det er umuligt. Se på tabellen over integraler. Hvis løsningen af ​​en differentialligning ikke kan udtrykkes i form af elementære funktioner, kan den nogle gange repræsenteres i integralform, og i dette tilfælde er det ligegyldigt, om dette integral kan beregnes analytisk.

Advarsler

• Udseende differentialligning kan være misvisende. Nedenfor er for eksempel to førsteordens differentialligninger. Den første ligning kan let løses ved hjælp af metoderne beskrevet i denne artikel. Ved første øjekast en mindre ændring y (\displaystyle y) på y 2 (\displaystyle y^(2)) i den anden ligning gør den ikke-lineær og bliver meget svær at løse.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Jeg synes, vi skal starte med historien om et så herligt matematisk værktøj som differentialligninger. Som alle differential- og integralregninger blev disse ligninger opfundet af Newton i slutningen af ​​det 17. århundrede. Han anså netop denne opdagelse for at være så vigtig, at han endda krypterede en meddelelse, som i dag kan oversættes sådan her: "Alle naturlove er beskrevet af differentialligninger." Dette kan virke som en overdrivelse, men det er sandt. Enhver lov om fysik, kemi, biologi kan beskrives med disse ligninger.

Matematikere Euler og Lagrange ydede et stort bidrag til udviklingen og skabelsen af ​​teorien om differentialligninger. Allerede i det 18. århundrede opdagede og udviklede de det, de nu studerer på senioruniversitetskurser.

En ny milepæl i studiet af differentialligninger begyndte takket være Henri Poincaré. Han skabte den "kvalitative teori om differentialligninger", som kombineret med teorien om funktioner for en kompleks variabel ydede et væsentligt bidrag til grundlaget for topologi - videnskaben om rummet og dets egenskaber.

Hvad er differentialligninger?

Mange mennesker er bange for én sætning, men i denne artikel vil vi i detaljer skitsere hele essensen af ​​dette meget nyttige matematiske apparat, som faktisk ikke er så kompliceret, som det ser ud til ud fra navnet. For at begynde at tale om førsteordens differentialligninger, bør du først blive fortrolig med de grundlæggende begreber, der i sagens natur er forbundet med denne definition. Og vi starter med differentialet.

Differential

Mange mennesker har kendt dette koncept siden skolen. Lad os dog se nærmere på det. Forestil dig grafen for en funktion. Vi kan øge det i en sådan grad, at ethvert segment af det vil tage form af en lige linje. Lad os tage to punkter på det, der er uendeligt tæt på hinanden. Forskellen mellem deres koordinater (x eller y) vil være uendelig lille. Det kaldes differentialet og betegnes med tegnene dy (differential af y) og dx (differentiel af x). Det er meget vigtigt at forstå, at differentialet ikke er en endelig størrelse, og dette er dens betydning og hovedfunktion.

Nu skal vi overveje det næste element, som vil være nyttigt for os til at forklare konceptet med en differentialligning. Dette er et derivat.

Afledte

Vi har sikkert alle hørt dette koncept i skolen. Den afledte siges at være den hastighed, hvormed en funktion stiger eller falder. Men ud fra denne definition bliver meget uklart. Lad os prøve at forklare den afledte gennem differentialer. Lad os vende tilbage til et infinitesimalt segment af en funktion med to punkter, der er i minimum afstand fra hinanden. Men selv over denne afstand formår funktionen at ændre sig en del. Og for at beskrive denne ændring fandt de frem til en afledet, som ellers kan skrives som et forhold mellem differentialer: f(x)"=df/dx.

Nu er det værd at overveje derivatets grundlæggende egenskaber. Der er kun tre af dem:

1. Den afledte af en sum eller forskel kan repræsenteres som en sum eller forskel af afledte: (a+b)"=a"+b" og (a-b)"=a"-b".
2. Den anden egenskab er relateret til multiplikation. Den afledte af et produkt er summen af ​​produkterne af en funktion og den afledte af en anden: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Den afledte forskel kan skrives som følgende lighed: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Alle disse egenskaber vil være nyttige for os til at finde løsninger til førsteordens differentialligninger.

Der er også partielle derivater. Lad os sige, at vi har en funktion z, der afhænger af variablerne x og y. For at beregne den partielle afledede af denne funktion, f.eks. med hensyn til x, skal vi tage variablen y som en konstant og simpelthen differentiere.

Integral

Et andet vigtigt koncept er integral. Faktisk er dette det stik modsatte af et derivat. Der er flere typer integraler, men for at løse de enkleste differentialligninger har vi brug for de mest trivielle

Så lad os sige, at vi har en vis afhængighed af f på x. Vi tager integralet fra det og får funktionen F(x) (ofte kaldet antiderivatet), hvis afledte er lig med den oprindelige funktion. Således F(x)"=f(x). Det følger også, at integralet af den afledede er lig med den oprindelige funktion.

Når man løser differentialligninger, er det meget vigtigt at forstå betydningen og funktionen af ​​integralet, da man bliver nødt til at tage dem meget ofte for at finde løsningen.

Ligninger varierer afhængigt af deres natur. I det næste afsnit vil vi se på typerne af førsteordens differentialligninger og derefter lære at løse dem.

Klasser af differentialligninger

"Diffurs" er opdelt efter rækkefølgen af ​​de derivater, der er involveret i dem. Således er der første, anden, tredje og mere orden. De kan også opdeles i flere klasser: ordinære og partielle derivater.

I denne artikel vil vi se på første ordens almindelige differentialligninger. Vi vil også diskutere eksempler og måder at løse dem på i de følgende afsnit. Vi vil kun overveje ODE'er, fordi disse er de mest almindelige typer ligninger. Almindelige er opdelt i underarter: med adskillelige variabler, homogene og heterogene. Dernæst vil du lære, hvordan de adskiller sig fra hinanden og lære, hvordan du løser dem.

Derudover kan disse ligninger kombineres, så vi ender med et system af førsteordens differentialligninger. Vi vil også overveje sådanne systemer og lære at løse dem.

Hvorfor overvejer vi kun første ordre? For du skal starte med noget simpelt, og det er simpelthen umuligt at beskrive alt relateret til differentialligninger i én artikel.

Adskillelige ligninger

Disse er måske de enkleste førsteordens differentialligninger. Disse omfatter eksempler, der kan skrives som følger: y"=f(x)*f(y). For at løse denne ligning har vi brug for en formel til at repræsentere den afledede som et forhold mellem differentialer: y"=dy/dx. Ved at bruge det får vi følgende ligning: dy/dx=f(x)*f(y). Nu kan vi vende os til metoden til løsning af standardeksempler: vi opdeler variablerne i dele, det vil sige, vi flytter alt med variablen y til den del, hvor dy er placeret, og gør det samme med variablen x. Vi får en ligning på formen: dy/f(y)=f(x)dx, som løses ved at tage integraler fra begge sider. Glem ikke konstanten, der skal indstilles efter at have taget integralet.

Løsningen til enhver "diffure" er en funktion af afhængigheden af ​​x af y (i vores tilfælde) eller, hvis en numerisk betingelse er til stede, så svaret i form af et tal. Lad os se på hele løsningsprocessen ved hjælp af et specifikt eksempel:

Lad os flytte variablerne i forskellige retninger:

Lad os nu tage integralerne. Alle kan findes i en speciel tabel over integraler. Og vi får:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Om nødvendigt kan vi udtrykke "y" som en funktion af "x". Nu kan vi sige, at vores differentialligning er løst, hvis betingelsen ikke er specificeret. En betingelse kan angives, f.eks. y(n/2)=e. Så erstatter vi simpelthen værdierne af disse variable i løsningen og finder værdien af ​​konstanten. I vores eksempel er det 1.

Homogene differentialligninger af første orden

Lad os nu gå videre til den sværere del. Homogene differentialligninger af første orden kan skrives i generel form som følger: y"=z(x,y). Det skal bemærkes, at højrehåndsfunktionen af ​​to variable er homogen, og den kan ikke opdeles i to afhængigheder : z på x og z på y. Tjek , om ligningen er homogen eller ej er ret simpelt: vi foretager erstatningen x=k*x og y=k*y. Nu annullerer vi alle k. Hvis alle disse bogstaver annulleres , så er ligningen homogen, og du kan roligt begynde at løse den. Ser vi fremad, lad os sige: princippet om at løse disse eksempler er også meget enkelt.

Vi skal lave en erstatning: y=t(x)*x, hvor t er en bestemt funktion, der også afhænger af x. Så kan vi udtrykke den afledede: y"=t"(x)*x+t. Ved at indsætte alt dette i vores oprindelige ligning og forenkle den, får vi et eksempel med adskillelige variable t og x. Vi løser det og får afhængigheden t(x). Da vi modtog det, erstatter vi blot y=t(x)*x i vores tidligere erstatning. Så får vi afhængigheden af ​​y af x.

For at gøre det klarere, lad os se på et eksempel: x*y"=y-x*e y/x .

Ved kontrol med udskiftning er alt reduceret. Det betyder, at ligningen er virkelig homogen. Nu laver vi en anden erstatning, som vi talte om: y=t(x)*x og y"=t"(x)*x+t(x). Efter forenkling får vi følgende ligning: t"(x)*x=-e t. Vi løser det resulterende eksempel med adskilte variable og får: e -t =ln(C*x). Alt vi skal gøre er at erstatte t med y/x (hvis y =t*x trods alt, så t=y/x), og vi får svaret: e -y/x =ln(x*C).

Lineære differentialligninger af første orden

Det er tid til at se på et andet bredt emne. Vi vil analysere førsteordens inhomogene differentialligninger. Hvordan adskiller de sig fra de to foregående? Lad os finde ud af det. Lineære differentialligninger af første orden i generel form kan skrives som følger: y" + g(x)*y=z(x). Det er værd at præcisere, at z(x) og g(x) kan være konstante størrelser.

Og nu et eksempel: y" - y*x=x 2 .

Der er to løsninger, og vi vil se på begge i rækkefølge. Den første er metoden til at variere vilkårlige konstanter.

For at løse ligningen på denne måde skal du først sidestille højre side med nul og løse den resulterende ligning, som efter overførsel af delene vil have formen:

ln|y|=x2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C1 *e x2/2.

Nu skal vi erstatte konstanten C 1 med funktionen v(x), som vi skal finde.

Lad os erstatte den afledte:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2.

Og indsæt disse udtryk i den oprindelige ligning:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Du kan se, at to termer annullerer i venstre side. Hvis det i et eller andet eksempel ikke skete, så gjorde du noget forkert. Lad os fortsætte:

v"*e x2/2 = x 2 .

Nu løser vi den sædvanlige ligning, hvor vi skal adskille variablerne:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

For at udtrække integralet bliver vi nødt til at anvende integration efter dele her. Dette er dog ikke emnet for vores artikel. Hvis du er interesseret, kan du lære, hvordan du selv udfører sådanne handlinger. Det er ikke svært, og med tilstrækkelig dygtighed og omhu tager det ikke meget tid.

Lad os vende os til den anden metode til løsning af inhomogene ligninger: Bernoullis metode. Hvilken tilgang der er hurtigere og nemmere er op til dig at beslutte.

Så når vi løser en ligning ved hjælp af denne metode, skal vi lave en substitution: y=k*n. Her er k og n nogle x-afhængige funktioner. Så vil den afledede se sådan ud: y"=k"*n+k*n". Vi erstatter begge erstatninger i ligningen:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Gruppering:

k"*n+k*(n"+x*n)=x2.

Nu skal vi sætte lig med nul, hvad der står i parentes. Hvis vi nu kombinerer de to resulterende ligninger, får vi et system af førsteordens differentialligninger, der skal løses:

Vi løser den første ligning som en almindelig ligning. For at gøre dette skal du adskille variablerne:

Vi tager integralet og får: ln(n)=x 2 /2. Så hvis vi udtrykker n:

Nu erstatter vi den resulterende lighed i systemets anden ligning:

k"*e x2/2 =x2.

Og transformerer vi, får vi den samme lighed som i den første metode:

dk=x 2 /e x2/2 .

Vi vil heller ikke diskutere yderligere handlinger. Det er værd at sige, at først at løse førsteordens differentialligninger forårsager betydelige vanskeligheder. Men efterhånden som du dykker dybere ned i emnet, begynder det at fungere bedre og bedre.

Hvor bruges differentialligninger?

Differentialligninger bruges meget aktivt i fysik, da næsten alle de grundlæggende love er skrevet i differentialform, og de formler, vi ser, er løsninger til disse ligninger. I kemi bruges de af samme grund: grundlæggende love er afledt med deres hjælp. I biologi bruges differentialligninger til at modellere opførsel af systemer, såsom rovdyr og byttedyr. De kan også bruges til at skabe reproduktionsmodeller af for eksempel en koloni af mikroorganismer.

Hvordan kan differentialligninger hjælpe dig i livet?

Svaret på dette spørgsmål er enkelt: slet ikke. Hvis du ikke er videnskabsmand eller ingeniør, er det usandsynligt, at de er nyttige for dig. For generel udvikling vil det dog ikke skade at vide, hvad en differentialligning er, og hvordan den løses. Og så er sønnen eller datterens spørgsmål "hvad er en differentialligning?" vil ikke forvirre dig. Nå, hvis du er en videnskabsmand eller ingeniør, så forstår du selv vigtigheden af ​​dette emne i enhver videnskab. Men det vigtigste er, at nu spørgsmålet "hvordan løser man en førsteordens differentialligning?" du kan altid give et svar. Enig, det er altid rart, når man forstår noget, som folk endda er bange for at forstå.

Hovedproblemer med at studere

Hovedproblemet med at forstå dette emne er dårlige færdigheder i at integrere og differentiere funktioner. Hvis du ikke er god til derivater og integraler, så er det nok værd at studere mere, mestre forskellige metoder til integration og differentiering og først derefter begynde at studere det materiale, der blev beskrevet i artiklen.

Nogle mennesker bliver overraskede, når de erfarer, at dx kan overføres, fordi det tidligere (i skolen) blev oplyst, at brøken dy/dx er udelelig. Her skal du læse litteraturen om den afledede og forstå, at det er et forhold mellem uendelige små størrelser, der kan manipuleres, når man løser ligninger.

Mange mennesker indser ikke umiddelbart, at løsning af førsteordens differentialligninger ofte er en funktion eller et integral, der ikke kan tages, og denne misforståelse giver dem mange problemer.

Hvad kan du ellers studere for en bedre forståelse?

Det er bedst at begynde yderligere fordybelse i differentialregningens verden med specialiserede lærebøger, for eksempel om matematisk analyse for studerende med ikke-matematiske specialer. Så kan du gå videre til mere specialiseret litteratur.

Det er værd at sige, at der udover differentialligninger også er integralligninger, så du vil altid have noget at stræbe efter og noget at studere.

Konklusion

Vi håber, at du efter at have læst denne artikel har en idé om, hvad differentialligninger er, og hvordan du løser dem korrekt.

Under alle omstændigheder vil matematik være nyttig for os i livet på en eller anden måde. Det udvikler logik og opmærksomhed, uden hvilken enhver person er uden hænder.