Tyngdepunktet for en uregelmæssig figur ved beregning. Positioner af tyngdepunktet for nogle figurer

Bemærk. Tyngdepunktet for en symmetrisk figur er på symmetriaksen.

Stangens tyngdepunkt er i midten af ​​højden. Følgende metoder bruges til at løse problemer:

1. symmetrimetode: tyngdepunktet for symmetriske figurer er på symmetriaksen;

2. separationsmetode: komplekse sektioner er opdelt i flere enkle dele, hvor tyngdepunkternes position er let at bestemme;

3. negativ arealmetode: hulrum (huller) betragtes som en del af et afsnit med negativt areal.

Eksempler på problemløsning

Eksempel 1. Bestem placeringen af ​​tyngdepunktet på figuren vist i fig. 8.4.

Løsning

Vi opdeler figuren i tre dele:

Defineret på samme måde på C = 4,5 cm.

Eksempel 2. Find placeringen af ​​tyngdepunktet for en symmetrisk stang ADBE(Fig. 116), hvis dimensioner er som følger: AB = 6m, DE = 3 m og EF = 1m.

Løsning

Da spærværket er symmetrisk, ligger dets tyngdepunkt på symmetriaksen D.F. Med det valgte (fig. 116) koordinataksesystem, abscissen af ​​tyngdepunktet af spærværket

Derfor er kun ordinaten ukendt hos C gårdens tyngdepunkt. For at bestemme det opdeler vi truss i separate dele (stænger). Deres længder bestemmes ud fra de tilsvarende trekanter.

Fra ΔAEF vi har

Fra ΔADF vi har

Tyngdepunktet for hver stang ligger i midten, koordinaterne for disse centre kan let bestemmes ud fra tegningen (fig. 116).

De fundne længder og ordinater af tyngdepunkterne for de enkelte dele af bindingsværket indtastes i tabellen og i henhold til formlen

bestemme ordinaten y s tyngdepunktet for en given flad bindingsværk.

Derfor tyngdepunktet MED hele bindingsværket ligger på aksen DF symmetri af bindingsværket i en afstand af 1,59 m fra punktet F.

Eksempel 3. Bestem koordinaterne for tyngdepunktet for den sammensatte sektion. Sektionen består af en plade og rullede profiler (fig. 8.5).

Bemærk. Ofte svejses rammer fra forskellige profiler for at skabe den nødvendige struktur. Således reduceres metalforbruget, og der dannes en højstyrkestruktur.

For standardvalsede profiler er deres egne geometriske karakteristika kendt. De er angivet i de relevante standarder.

Løsning

1. Lad os udpege tallene med tal og skrive de nødvendige data ud fra tabellerne:

1 - kanal nr. 10 (GOST 8240-89); højde h = 100 mm; hylde bredde b= 46 mm; Tværsnitsareal A 1= 10,9 cm2;

2 - I-bjælke nr. 16 (GOST 8239-89); højde 160 mm; hyldebredde 81 mm; tværsnitsareal A2 - 20,2 cm2;

3 - ark 5x100; tykkelse 5 mm; bredde 100 mm; tværsnitsareal A 3 = 0,5 10 = 5 cm 2.

2. Koordinaterne for hver figurs tyngdepunkter kan bestemmes ud fra tegningen.

Den sammensatte sektion er symmetrisk, så tyngdepunktet er på symmetriaksen og koordinaten x C = 0.

3. Bestemmelse af tyngdepunktet for en sammensat sektion:

Eksempel 4. Bestem koordinaterne for tyngdepunktet for sektionen vist i fig. 8, EN. Sektionen består af to vinkler 56x4 og kanal nr. 18. Kontroller rigtigheden af ​​at bestemme tyngdepunktets position. Angiv dens position på afsnittet.

Løsning

1. : to hjørner 56 x 4 og kanal nr. 18. Lad os betegne dem 1, 2, 3 (se fig. 8, EN).

2. Vi angiver tyngdepunkterne hver profil, ved hjælp af tabel 1 og 4 adj. I, og betegne dem C 1, C 2, C 3.

3. Vælg et system af koordinatakser. Akse på kompatibel med symmetriaksen og aksen x trække gennem hjørnernes tyngdepunkter.

4. Bestem koordinaterne for hele sektionens tyngdepunkt. Siden aksen på falder sammen med symmetriaksen, så passerer den gennem sektionens tyngdepunkt, derfor x s= 0. Koordinat y s vi vil bestemme ved formlen

Ved hjælp af tabellerne i tillægget bestemmer vi områderne for hvert profil og koordinaterne for tyngdepunkterne:

Koordinater ved 1 Og kl 2 er lig med nul, da aksen x passerer gennem hjørnernes tyngdepunkter. Lad os erstatte de opnåede værdier i formlen for at bestemme y s:

5. Lad os angive tyngdepunktet for sektionen i fig. 8, a og benævn det med bogstavet C. Lad os vise afstanden y C = 2,43 cm fra aksen x til punkt C.

Da hjørnerne er symmetrisk placeret og har samme areal og koordinater, så A 1 = A 2, y 1 = y 2. Derfor formlen til at bestemme hos C kan forenkles:

6. Lad os tjekke. Til dette formål aksen x Lad os tegne langs den nederste kant af hjørnehylden (fig. 8, b). Akse på Lad os lade det være som i den første løsning. Formler til bestemmelse x C Og hos C ikke skift:

Profilernes områder forbliver de samme, men koordinaterne for vinklernes og kanalernes tyngdepunkter ændres. Lad os skrive dem ned:

Find koordinaten for tyngdepunktet:

Ifølge de fundne koordinater x s Og y s tegn punkt C på tegningen Positionen af ​​tyngdepunktet fundet på to måder er på samme punkt. Lad os tjekke det ud. Forskel mellem koordinater y s, fundet i den første og anden løsning er: 6,51 - 2,43 = 4,08 cm.

Dette er lig med afstanden mellem x-aksen i den første og anden løsning: 5,6 - 1,52 = 4,08 cm.

Svar: s= 2,43 cm, hvis x-aksen passerer gennem hjørnernes tyngdepunkter, eller y c = 6,51 cm, hvis x-aksen løber langs underkanten af ​​hjørneflangen.

Eksempel 5. Bestem koordinaterne for tyngdepunktet for sektionen vist i fig. 9, EN. Sektionen består af I-bjælke nr. 24 og kanal nr. 24a. Vis placeringen af ​​tyngdepunktet på sektionen.

Løsning

1.Lad os opdele sektionen i rullede profiler: I-stråle og kanal. Lad os betegne dem med tallene 1 og 2.

3. Vi angiver tyngdepunkterne for hver profil C 1 og C 2 ved hjælp af anvendelsestabeller.

4. Vælg et system af koordinatakser. X-aksen er kompatibel med symmetriaksen, og y-aksen er trukket gennem I-strålens tyngdepunkt.

5. Bestem koordinaterne for sektionens tyngdepunkt. Koordinat y c = 0, siden aksen x falder sammen med symmetriaksen. Vi bestemmer x-koordinaten med formlen

Ifølge tabellen 3 og 4 adj. I og tværsnitsdiagrammet bestemmer vi

Lad os erstatte de numeriske værdier i formlen og få

5. Lad os plotte punkt C (sektionens tyngdepunkt) ved hjælp af de fundne værdier af x c og y c (se fig. 9, a).

Løsningen skal kontrolleres uafhængigt med akserne placeret som vist i fig. 9, b. Som et resultat af løsningen får vi x c = 11,86 cm. Forskellen mellem værdierne af x c for den første og anden løsning er 11,86 - 6,11 = 5,75 cm, hvilket er lig med afstanden mellem y-akserne for samme løsninger b dv /2 = 5,75 cm.

Svar: x c = 6,11 cm, hvis y-aksen passerer gennem I-bjælkens tyngdepunkt; x c = 11,86 cm, hvis y-aksen passerer gennem I-bjælkens venstre yderpunkter.

Eksempel 6. Jernbanekranen hviler på skinner, hvor afstanden mellem er AB = 1,5 m (fig. 1.102). Kranvognens tyngdekraft er G r = 30 kN, vognens tyngdepunkt er i punktet C, der ligger på linjen KL i skæringspunktet mellem vognens symmetriplan og tegningens plan. Kranspillets tyngdekraft Q l = 10 kN påføres på punktet D. Tyngdekraften af ​​kontravægten G„=20 kN påføres i punkt E. Tyngdekraften fra bommen G c = 5 kN påføres i punkt H. Kranens rækkevidde i forhold til linjen KL er 2 m. Bestem stabilitetskoefficient for kranen i ubelastet tilstand og hvilken belastning F kan løftes med denne kran, forudsat at stabilitetskoefficienten skal være mindst to.

Løsning

1. Ved aflæsning er kranen i fare for at vælte, når den drejer rundt om skinnen EN. Derfor i forhold til punktet EN stabilitetsmoment

2. Væltemoment i forhold til et punkt EN skabes af tyngdekraften fra modvægten, dvs.

3. Derfor stabilitetskoefficienten for kranen i ubelastet tilstand

4. Ved lastning af kranbommen med last F der er fare for at kranen vælter ved vending nær skinne B. Derfor i forhold til punktet I stabilitetsmoment

5. Væltemoment i forhold til skinnen I

6. I henhold til problemets betingelser er betjening af kranen tilladt med en stabilitetskoefficient k B ≥ 2, dvs.

Test spørgsmål og opgaver

1. Hvorfor kan tiltrækningskræfterne til Jorden, der virker på punkter i kroppen, opfattes som et system af parallelle kræfter?

2. Nedskriv formler til bestemmelse af tyngdepunktets position af uhomogene og homogene legemer, formler til bestemmelse af tyngdepunktets position af flade sektioner.

3. Gentag formlerne for at bestemme placeringen af ​​tyngdepunktet af simple geometriske former: rektangel, trekant, trapez og halvcirkel.

4.
Hvad er arealets statiske moment?

5. Beregn det statiske moment for denne figur omkring aksen Okse. h= 30 cm; b= 120 cm; Med= 10 cm (fig. 8.6).

6. Bestem koordinaterne for tyngdepunktet for den skraverede figur (fig. 8.7). Mål er angivet i mm.

7. Bestem koordinaten på figur 1 af det sammensatte snit (fig. 8.8).

Når du beslutter dig, skal du bruge referencedataene fra GOST-tabellerne "Varmvalset stål" (se bilag 1).

Fysik lektionsnoter, klasse 7

Emne: Bestemmelse af tyngdepunktet

Fysiklærer, Argayash Secondary School nr. 2

Khidiyatulina Z.A.

Laboratoriearbejde:

"Bestemmelse af tyngdepunktet for en flad plade"

Mål : finde tyngdepunktet for en flad plade.

Teoretisk del:

Alle legemer har et tyngdepunkt. Et legemes tyngdepunkt er det punkt i forhold til hvilket det samlede tyngdemoment, der virker på kroppen, er nul. For eksempel, hvis du hænger et objekt i dets tyngdepunkt, vil det forblive i ro. Det vil sige, at dens position i rummet ikke ændres (den vil ikke vende på hovedet eller på siden). Hvorfor vælter nogle kroppe, mens andre ikke gør? Hvis du tegner en linje vinkelret på gulvet fra kroppens tyngdepunkt, så vil kroppen falde, hvis linjen går ud over grænserne for kroppens støtte. Jo større støtteområdet er, jo tættere er kroppens tyngdepunkt på det centrale punkt i støtteområdet og tyngdepunktets midterlinje, jo mere stabil vil kroppens position være . For eksempel ligger tyngdepunktet i det berømte skæve tårn i Pisa kun to meter fra midten af ​​dets støtte. Og faldet vil først ske, når denne afvigelse er omkring 14 meter. Den menneskelige krops tyngdepunkt er cirka 20,23 centimeter under navlen. En imaginær linje tegnet lodret fra tyngdepunktet passerer nøjagtigt mellem fødderne. For en tumblerdukke ligger hemmeligheden også i kroppens tyngdepunkt. Dens stabilitet forklares ved, at tumblerens tyngdepunkt er helt nederst, den står faktisk på den. Betingelsen for at opretholde balancen i et legeme er passagen af ​​den lodrette akse af dets fælles tyngdepunkt inden for området for kroppens støtte. Hvis kroppens lodrette tyngdepunkt forlader støtteområdet, mister kroppen balancen og falder. Derfor, jo større støtteområdet er, jo tættere kroppens tyngdepunkt er placeret på det centrale punkt i støtteområdet og den centrale linje i tyngdepunktet, jo mere stabil er positionen af krop vil være. Støtteområdet, når en person er i lodret stilling, er begrænset af pladsen, der er under sålerne og mellem fødderne. Midtpunktet af den lodrette linje af tyngdepunktet på foden er 5 cm foran hælknolden. Støtteområdets sagittale størrelse råder altid over det frontale, derfor sker forskydningen af ​​tyngdepunktets lodrette linje lettere til højre og venstre end bagud, og er især vanskelig fremad. I denne henseende er stabiliteten under sving under hurtigt løb betydeligt mindre end i den sagittale retning (fremad eller bagud). En fod i sko, især med en bred hæl og en hård sål, er mere stabil end uden sko, da den får et større støtteområde.

Praktisk del:

Formål med arbejdet: Find ved hjælp af det foreslåede udstyr eksperimentelt placeringen af ​​tyngdepunktet for to figurer lavet af pap og en trekant.

Udstyr:Stativ, tykt pap, trekant fra et skolesæt, lineal, tape, tråd, blyant...

Opgave 1: Bestem placeringen af ​​tyngdepunktet for en flad figur med vilkårlig form

Brug en saks til at skære en tilfældig form ud fra pap. Fastgør tråden til den ved punkt A med tape. Hæng figuren i tråden til stativfoden. Brug en lineal og blyant til at markere den lodrette linje AB på pappet.

Flyt trådfastgørelsespunktet til position C. Gentag ovenstående trin.

Punkt O i skæringspunktet mellem linjerne AB ogCDgiver den ønskede placering af figurens tyngdepunkt.

Opgave 2: Brug kun en lineal og blyant til at finde tyngdepunktet for en flad figur

Brug en blyant og lineal til at dele formen i to rektangler. Ved konstruktion skal du finde positionerne O1 og O2 for deres tyngdepunkter. Det er tydeligt, at tyngdepunktet for hele figuren er på O1O2-linjen

Del figuren i to rektangler på en anden måde. Ved konstruktion skal du finde positionerne for tyngdepunkterne O3 og O4 for hver af dem. Forbind punkterne O3 og O4 med en linje. Skæringspunktet mellem linjerne O1O2 og O3O4 bestemmer placeringen af ​​figurens tyngdepunkt

Opgave 2: Bestem placeringen af ​​trekantens tyngdepunkt

Brug tape, fastgør den ene ende af tråden i toppen af ​​trekanten og hæng den fra stativbenet. Brug en lineal til at markere retningen AB af tyngdekraftslinjen (lav et mærke på den modsatte side af trekanten)

Gentag den samme procedure, hvor du hænger trekanten fra toppunktet C. På den modsatte toppunkt C-side af trekanten skal du lave et mærkeD.

Ved hjælp af tape, fastgør stykker af tråd AB ogCD. Punkt O i deres skæringspunkt bestemmer placeringen af ​​trekantens tyngdepunkt. I dette tilfælde er figurens tyngdepunkt uden for selve kroppen.

III . Løsning af kvalitetsproblemer

1. Til hvilket formål holder cirkusartister tunge stænger i hænderne, når de går på stram reb?

2. Hvorfor læner en person, der bærer en tung byrde på ryggen, sig frem?

3. Hvorfor kan du ikke rejse dig fra en stol, medmindre du vipper din krop fremad?

4.Hvorfor tipper kranen ikke mod den last, der løftes? Hvorfor tipper kranen ikke mod kontravægten uden last?

5. Hvorfor gør biler og cykler mv. Er det bedre at sætte bremser på baghjulene frem for forhjulene?

6. Hvorfor vælter en lastbil læsset med hø lettere end den samme lastbil læsset med sne?

Rektangel. Da et rektangel har to symmetriakser, er dets tyngdepunkt i skæringspunktet mellem symmetriakserne, dvs. i skæringspunktet mellem rektanglets diagonaler.

Trekant. Tyngdepunktet ligger i skæringspunktet mellem dets medianer. Fra geometrien ved man, at medianerne af en trekant skærer hinanden i et punkt og deles i forholdet 1:2 fra basen.

Cirkel. Da en cirkel har to symmetriakser, er dens tyngdepunkt i skæringspunktet mellem symmetriakserne.

Halvcirkel. En halvcirkel har en symmetriakse, så ligger tyngdepunktet på denne akse. En anden koordinat for tyngdepunktet beregnes ved formlen:.

Mange strukturelle elementer er lavet af standardvalsede produkter - vinkler, I-bjælker, kanaler og andre. Alle dimensioner såvel som geometriske karakteristika for valsede profiler er tabeldata, der kan findes i referencelitteratur i tabeller med normalt sortiment (GOST 8239-89, GOST 8240-89).

Eksempel 1. Bestem placeringen af ​​tyngdepunktet for figuren vist på figuren.

Løsning:

Vi vælger koordinatakserne, så Ox-aksen løber langs den nederste overordnede dimension, og Oy-aksen går langs den overordnede dimension længst til venstre.

Vi deler en kompleks figur op i et minimum antal simple figurer:

rektangel 20x10;

trekant 15x10;

cirkel R=3 cm.

Vi beregner arealet af hver enkel figur og dens koordinater for tyngdepunktet. Beregningsresultaterne indtastes i tabellen

Figur nr.	Arealet af figur A,	Tyngdepunktskoordinater

Svar: C(14,5; 4,5)

Eksempel 2 . Bestem koordinaterne for tyngdepunktet for en sammensat sektion bestående af et ark og rullede sektioner.

Løsning.

Vi vælger koordinatakserne som vist på figuren.

Lad os udpege tallene med tal og skrive de nødvendige data ud fra tabellen:

Figur nr.	Arealet af figur A,	Tyngdepunktskoordinater

Vi beregner koordinaterne for figurens tyngdepunkt ved hjælp af formlerne:

Svar: C(0; 10)

Laboratoriearbejde nr. 1 "Bestemmelse af tyngdepunktet for sammensatte flade figurer"

Mål: Bestem tyngdepunktet for en given flad kompleks figur ved hjælp af eksperimentelle og analytiske metoder og sammenlign deres resultater.

Arbejdsordre

Tegn din flade figur i dine notesbøger i størrelse, med angivelse af koordinatakserne.

Bestem tyngdepunktet analytisk.

1. Opdel figuren i det mindste antal figurer, hvis tyngdepunkter vi ved, hvordan man bestemmer.

   Angiv arealnumrene og koordinaterne for hver figurs tyngdepunkt.

   Beregn koordinaterne for tyngdepunktet for hver figur.

   Beregn arealet af hver figur.

   Beregn koordinaterne for hele figurens tyngdepunkt ved hjælp af formlerne (tyngdepunktets position er plottet på tegningen af ​​figuren):

Installationen til eksperimentel bestemmelse af tyngdepunktets koordinater ved hjælp af ophængningsmetoden består af et lodret stativ 1 (se figur), som nålen er fastgjort til 2 . Flad figur 3 Fremstillet i pap, som er let at slå huller i. Huller EN Og I gennemboret på tilfældigt placerede punkter (helst i længst afstand fra hinanden). En flad figur er ophængt på en nål, først ved et punkt EN , og så på punktet I . Brug af et lod 4 , fastgjort til den samme nål, tegn en lodret linje på figuren med en blyant svarende til tråden i lodlinjen. Tyngdepunkt MED figuren vil være placeret i skæringspunktet mellem de lodrette linjer, der er tegnet, når figuren hænges i punkterne EN Og I .

6.1. Generel information

Center for Parallelle Kræfter
Lad os overveje to parallelle kræfter rettet i én retning, og , påført kroppen på punkter EN 1 og EN 2 (fig. 6.1). Dette kraftsystem har en resultant, hvis handlingslinje går gennem et bestemt punkt MED. Punktposition MED kan findes ved hjælp af Varignons sætning:

Hvis du drejer kræfterne og nærmer dig punkterne EN 1 og EN 2 i én retning og i samme vinkel, så får vi et nyt system med parallelle salaer med de samme moduler. I dette tilfælde vil deres resultant også passere gennem punktet MED. Dette punkt kaldes midten af ​​parallelle kræfter.
Lad os betragte et system af parallelle og identisk rettede kræfter påført et fast legeme på punkter. Dette system har et resultat.
Hvis hver kraft i systemet roteres nær påføringspunkterne i samme retning og i samme vinkel, vil der blive opnået nye systemer med identisk rettede parallelle kræfter med de samme moduler og påføringspunkter. Resultatet af sådanne systemer vil have samme modul R, men hver gang en anden retning. Efter at have foldet min styrke F 1 og F 2 finder vi, at deres resulterende R 1, som altid vil passere gennem punktet MED 1, hvis stilling bestemmes af ligestillingen . Foldes yderligere R 1 og F 3, finder vi deres resultant, som altid vil passere gennem punktet MED 2 liggende på en lige linje EN 3 MED 2. Efter at have afsluttet processen med at tilføje kræfter til slutningen, vil vi komme til den konklusion, at resultatet af alle kræfter faktisk altid vil passere gennem det samme punkt MED, hvis position i forhold til punkterne vil være uændret.
Prik MED, gennem hvilken virkningslinien for det resulterende system af parallelle kræfter passerer for enhver rotation af disse kræfter nær de punkter, hvor de påføres i samme retning i samme vinkel, kaldes midten af ​​parallelle kræfter (fig. 6.2).

Fig.6.2

Lad os bestemme koordinaterne for midten af ​​parallelle kræfter. Siden punktets position MED i forhold til kroppen er uændret, så afhænger dens koordinater ikke af valget af koordinatsystem. Lad os vende alle kræfterne rundt om deres anvendelse, så de bliver parallelle med aksen OU og anvende Varignons teorem på roterede kræfter. Fordi R" er resultanten af ​​disse kræfter, så har vi ifølge Varignons teorem , fordi , , vi får

Herfra finder vi koordinaten for centrum af parallelle kræfter zc:

For at bestemme koordinaterne xc Lad os skabe et udtryk for kræfternes øjeblik omkring aksen Oz.

For at bestemme koordinaterne yc lad os dreje alle kræfterne, så de bliver parallelle med aksen Oz.

Placeringen af ​​midten af ​​parallelle kræfter i forhold til oprindelsen (fig. 6.2) kan bestemmes af dens radiusvektor:

6.2. Tyngdepunkt for en stiv krop

Tyngdepunkt af en stiv krop er et punkt uvægerligt forbundet med denne krop MED, hvorigennem virkningslinjen for de resulterende tyngdekræfter i et givet legeme passerer, for en hvilken som helst position af kroppen i rummet.
Tyngdepunktet bruges til at studere stabiliteten af ​​ligevægtspositioner af legemer og kontinuerlige medier under påvirkning af tyngdekraften og i nogle andre tilfælde, nemlig: i materialers styrke og i strukturel mekanik - når man bruger Vereshchagins regel.
Der er to måder at bestemme et legemes tyngdepunkt på: analytisk og eksperimentel. Den analytiske metode til bestemmelse af tyngdepunktet følger direkte af begrebet parallelle kræfters centrum.
Koordinaterne for tyngdepunktet, som centrum for parallelle kræfter, bestemmes af formlerne:

Hvor R- hele kropsvægt; pk- vægt af kropspartikler; xk, yk, zk- koordinater af kropspartikler.
For en homogen krop er vægten af ​​hele kroppen og enhver del af den proportional med volumenet P=Vy, pk =vk γ, Hvor γ - vægt pr volumenhed, V- kropsvolumen. Erstatning af udtryk P, pk ind i formlen til at bestemme koordinaterne for tyngdepunktet og reducere med en fælles faktor γ , vi får:

Prik MED, hvis koordinater er bestemt af de resulterende formler, kaldes volumenets tyngdepunkt.
Hvis kroppen er en tynd homogen plade, bestemmes tyngdepunktet af formlerne:

Hvor S- området af hele pladen; sk- område af sin del; xk, yk- koordinater for pladedelenes tyngdepunkt.
Prik MED i dette tilfælde kaldes det tyngdepunktsområdet.
Tællerne af udtryk, der bestemmer koordinaterne for tyngdepunktet for plane figurer, kaldes med statiske momenter af området i forhold til akserne på Og x:

Så kan områdets tyngdepunkt bestemmes ved formlerne:

For kroppe, hvis længde er mange gange større end tværsnitsdimensionerne, skal du bestemme linjens tyngdepunkt. Koordinaterne for linjens tyngdepunkt bestemmes af formlerne:

Hvor L- linjelængde; lk- længden af ​​dens dele; xk, yk, zk- koordinat for tyngdepunktet for dele af linjen.

6.3. Metoder til at bestemme koordinaterne for legemers tyngdepunkter

Baseret på de opnåede formler er det muligt at foreslå praktiske metoder til bestemmelse af legemers tyngdepunkter.
1. Symmetri. Hvis et legeme har et symmetricentrum, så er tyngdepunktet i symmetricentret.
Hvis kroppen har et symmetriplan. For eksempel XOU-planet, så ligger tyngdepunktet i dette plan.
2. Opsplitning. For legemer, der består af legemer med enkel form, anvendes spaltningsmetoden. Kroppen er opdelt i dele, hvis tyngdepunkt bestemmes af symmetrimetoden. Hele kroppens tyngdepunkt bestemmes af formlerne for volumenets tyngdepunkt (areal).

Eksempel. Bestem tyngdepunktet for pladen vist i nedenstående figur (fig. 6.3). Pladen kan opdeles i rektangler på forskellige måder, og koordinaterne for hvert rektangels tyngdepunkt og deres areal kan bestemmes.

Fig.6.3

Svar: xc=17,0 cm; yc= 18,0 cm.

3. Tilføjelse. Denne metode er et specialtilfælde af partitioneringsmetoden. Den bruges, når kroppen har udskæringer, skiver osv., hvis koordinaterne for kroppens tyngdepunkt uden udskæringen er kendt.

Eksempel. Bestem tyngdepunktet for en cirkulær plade med en udskæringsradius r = 0,6 R(Fig. 6.4).

Fig.6.4

En rund plade har et symmetricenter. Lad os placere oprindelsen af ​​koordinater i midten af ​​pladen. Pladeområde uden udskæring, udskæringsområde. Firkantet plade med udskæring; .
Pladen med en udskæring har en symmetriakse О1 x, derfor, yc=0.

4. Integration. Hvis legemet ikke kan opdeles i et begrænset antal dele, hvis positioner af tyngdepunkterne er kendte, opdeles legemet i vilkårlige små volumener, for hvilke formlen ved hjælp af opdelingsmetoden har formen: .
Så går de til grænsen og dirigerer de elementære volumener til nul, dvs. kontrahering af mængder til point. Summerne erstattes af integraler udvidet til hele kroppens volumen, så har formlerne til bestemmelse af koordinaterne for volumenets tyngdepunkt formen:

Formler til bestemmelse af koordinaterne for et områdes tyngdepunkt:

Koordinaterne for områdets tyngdepunkt skal bestemmes, når man studerer pladernes ligevægt, ved beregning af Mohr-integralet i strukturmekanik.

Eksempel. Bestem tyngdepunktet for en cirkulær bue med radius R med midtervinkel AOB= 2α (fig. 6.5).

Ris. 6.5

En cirkelbue er symmetrisk med aksen Åh derfor ligger buens tyngdepunkt på aksen Åh, yс = 0.
Ifølge formlen for tyngdepunktet af en linje:

6.Eksperimentel metode. Tyngdepunkterne for inhomogene legemer med kompleks konfiguration kan bestemmes eksperimentelt: ved metoden til ophængning og vejning. Den første metode er at ophænge kroppen på et kabel på forskellige punkter. Retningen af ​​kablet, hvorpå kroppen er ophængt, vil give tyngdekraftens retning. Skæringspunktet mellem disse retninger bestemmer kroppens tyngdepunkt.
Vejningsmetoden går ud på først at bestemme vægten af ​​en krop, såsom en bil. Derefter bestemmes trykket af køretøjets bagaksel på støtten på vægten. Ved at tegne en ligevægtsligning i forhold til et punkt, f.eks. forhjulenes akse, kan man beregne afstanden fra denne akse til bilens tyngdepunkt (fig. 6.6).

Fig.6.6

Nogle gange, når man løser problemer, er det nødvendigt samtidig at bruge forskellige metoder til at bestemme koordinaterne for tyngdepunktet.

6.4. Tyngdepunkter for nogle simple geometriske figurer

For at bestemme tyngdepunkterne for legemer med hyppigt forekommende former (trekant, cirkulær bue, sektor, segment) er det praktisk at bruge referencedata (tabel 6.1).

Tabel 6.1

Koordinater for tyngdepunktet for nogle homogene legemer

№	Navn på figuren	Tegning
	Cirkelbue: tyngdepunktet af en bue af en ensartet cirkel er på symmetriaksen (koordinat uc=0). R- radius af cirklen.
	Homogen cirkulær sektor uc=0). hvor α er halvdelen af ​​den centrale vinkel; R- radius af cirklen.
	Segment: tyngdepunktet er placeret på symmetriaksen (koordinat uc=0). hvor α er halvdelen af ​​den centrale vinkel; R- radius af cirklen.
	Halvcirkel:
	Trekant: tyngdepunktet i en homogen trekant er i skæringspunktet mellem dens medianer. Hvor x1, y1, x2, y2, x3, y3- koordinater for trekantens toppunkter
	Kegle: tyngdepunktet af en ensartet cirkulær kegle ligger i højden og er placeret i en afstand af 1/4 af højden fra keglens bund.

Foredrag 4. Tyngdepunkt.

Dette foredrag dækker følgende emner

1. Tyngdepunkt for et fast legeme.

2. Koordinater for tyngdepunkterne for inhomogene legemer.

3. Koordinater for homogene legemers tyngdepunkter.

4. Metoder til bestemmelse af koordinaterne for tyngdepunkter.

5. Tyngdepunkter for nogle homogene legemer.

Studiet af disse spørgsmål er nødvendigt i fremtiden for at studere dynamikken i kroppens bevægelse under hensyntagen til glidende og rullende friktion, dynamikken i bevægelsen af ​​et mekanisk systems massecenter, kinetiske momenter, for at løse problemer i disciplin "Materialernes styrke".

At bringe parallelle kræfter.

Efter at vi har overvejet at bringe et fladt system og et vilkårligt rumligt system af kræfter til centrum, vender vi tilbage til at betragte det særlige tilfælde med et system af parallelle kræfter.

Medbringer to parallelle kræfter.

Under overvejelse af et sådant styrkesystem er følgende tre tilfælde af reduktion mulige.

1. System af to collineære kræfter. Lad os betragte et system af to parallelle kræfter rettet i én retning P Og Q, anvendt på punkter EN Og I. Vi vil antage, at kræfterne er vinkelrette på dette segment (fig. 1, EN).

MED, der tilhører segmentet AB og opfylder betingelsen:

AC/NE = Q/P.(1)

Systemets hovedvektor R C = P + Q er lig i modul med summen af ​​disse kræfter: R C = P + Q.

MED under hensyntagen til (1) er lig nul:MC = P ∙ AC- Q∙ CB = 0.

Som et resultat af castingen fik vi således: R C ≠ 0, MC= 0. Dette betyder, at hovedvektoren er ækvivalent med den resulterende, der passerer gennem reduktionscentret, dvs.

Resultanten af ​​kollineære kræfter er lig i modul til deres sum, og dens aktionslinje opdeler segmentet, der forbinder punkterne for deres anvendelse, i omvendt proportion til modulerne af disse kræfter på en intern måde.

Bemærk, at punktets position MED vil ikke ændre sig, hvis kræfterne R Og Q dreje en vinkelα. Prik MED, som har denne egenskab kaldes centrum af parallelle kræfter.

2. System af to antikollineær og kræfter, der ikke er lige store. Må styrken P Og Q, anvendt på punkter EN Og I, parallel, rettet i modsatte retninger og ulige i størrelse (fig. 1, b).

Lad os vælge et punkt som reduktionscenter MED, som stadig opfylder relation (1) og ligger på samme linje, men uden for segmentet AB.

Hovedvektoren af ​​dette system R C = P + Q modulet vil nu være lig med forskellen mellem modulerne af vektorerne: R C = Q - P.

Hovedpunktet vedrørende centrum MED er stadig nul:MC = P ∙ AC- Q∙ NE= 0, altså

Resulterende antikollineær og kræfter, der ikke er lige store, er lig med deres forskel, rettet mod den større kraft, og dens virkelinje opdeler segmentet, der forbinder punkterne for deres anvendelse, i omvendt proportion til disse kræfters ydre moduli.

Fig.1

3. System af to antikollineær og kræfter af samme størrelse. Lad os tage det tidligere tilfælde af reduktion som det indledende. Lad os fikse kraften R og styrke Q lad os rette modulet til kraften R.

Så kl Q → R i formel (1) forholdet AC/NE → 1. Det betyder, at AC → NE, altså afstanden AC →∞ .

I dette tilfælde modulet af hovedvektoren R C → 0, og hovedmomentets modul afhænger ikke af reduktionscentrets position og forbliver lig med den oprindelige værdi:

MC = P ∙ AC- Q∙ NE = P ∙ ( AC- NE) =P ∙ ENB.

Så i grænsen har vi fået et system af kræfter, som R C = 0, MC≠ 0, og reduktionens centrum fjernes til det uendelige, som ikke kan erstattes af resultanten. Det er ikke svært at genkende et par kræfter i dette system, så et par kræfter har ingen resultat.

Center for systemet af parallelle kræfter.

Overvej systemet n styrke P i, anvendt på punkterA i (x i , y i , z i) og parallelt med aksenOv med orth l(Fig. 2).

Hvis vi på forhånd udelukker tilfældet med et system svarende til et par kræfter, er det ikke svært, baseret på det foregående afsnit, at bevise eksistensen af ​​dets resulterendeR.

Lad os bestemme koordinaterne for midtenC(x c, y c, z c) parallelle kræfter, det vil sige koordinaterne for anvendelsespunktet for resultanten af ​​dette system.

Til dette formål bruger vi Varignons teorem, baseret på hvilken:

M0 (R) = Σ M0(P i).

Fig.2

Vektormomentet af en kraft kan repræsenteres som et vektorprodukt, derfor:

M 0 (R) = r c× R = Σ M0i(P i) = Σ ( r i× P i ).

Overvejer det R = Rv ∙ l, A P i = P vi ∙ l og ved at bruge egenskaberne for vektorproduktet får vi:

r c × Rv ∙ l = Σ ( r i × P vi ∙ l),

r c ∙ R v× l = Σ ( r i ∙ P vi × l) = Σ ( r i ∙ P vi ) × l,

eller:

[ r c R v - Σ ( r i P vi )] × l= 0.

Det sidste udtryk er kun gyldigt, hvis udtrykket i firkantede parenteser er lig med nul. Derfor udelades indeksetvog under hensyntagen til, at det resulterendeR = Σ P i , herfra får vi:

r c = (Σ P i r i )/(Σ P i ).

Ved at projicere den sidste vektorlighed på koordinataksen får vi den nødvendige udtryk for koordinaterne for centrum af parallelle kræfter:

x c = (Σ P i x i)/(Σ P i );

y c = (Σ P i y i )/(Σ P i );(2)

z c = (Σ P i z i )/(Σ P i ).

Kroppens tyngdepunkt.

Koordinater for tyngdepunkterne i et homogent legeme.

Overvej en stiv kropsvejning P og volumen V i koordinatsystemet Oxyz, hvor er akserne x Og y forbundet med jordens overflade og aksen z rettet mod zenit.

Hvis vi bryder kroppen i elementære dele med et volumen∆ V jeg , så vil tiltrækningskraften virke på hver del af den∆ P i, rettet mod Jordens centrum. Lad os antage, at kroppens dimensioner er væsentligt mindre end Jordens dimensioner, så kan systemet af kræfter påført de elementære dele af kroppen betragtes som ikke konvergerende, men parallelt (fig. 3), og alle konklusionerne i det foregående kapitel gælder for det.

Fig.3

Definition . Tyngdepunktet for et fast legeme er centrum for parallelle tyngdekræfter i de elementære dele af dette legeme.

Lad os minde dig om det specifik vægt af en elementær del af kroppen kaldes forholdet mellem dens vægt∆ P i til volumen ∆ V jeg : γ jeg = ∆ P i/ ∆ V jeg . For en homogen krop er denne værdi konstant:γ jeg = γ = P/ V.

Udskiftning af ∆ i (2) P i = γ jeg ∙∆ V jeg i stedet for P i, idet der tages hensyn til den sidste bemærkning og reducerer tælleren og nævneren medg, vi får udtryk for koordinaterne for et homogent legemes tyngdepunkt:

x c = (Σ ∆ V i∙ x i)/(Σ ∆ V i);

y c = (Σ ∆ V i∙ y i )/(Σ ∆ V i);(3)

z c = (Σ ∆ V i∙ z i )/(Σ ∆ V i).

Flere teoremer er nyttige til at bestemme tyngdepunktet.

1) Hvis et homogent legeme har et symmetriplan, så er dets tyngdepunkt i dette plan.

Hvis akserne x Og på placeret i dette symmetriplan, derefter for hvert punkt med koordinater. Og koordinaten ifølge (3), vil være lig med nul, fordi i alt Alle medlemmer med modsatte fortegn ødelægges parvis. Det betyder, at tyngdepunktet er placeret i symmetriplanet.

2) Hvis et homogent legeme har en symmetriakse, så er kroppens tyngdepunkt på denne akse.

Faktisk, i dette tilfælde, hvis aksenztegne langs symmetriaksen for hvert punkt med koordinaterdu kan finde et punkt med koordinater og koordinater og , beregnet ved hjælp af formlerne (3), vil være lig med nul.

Den tredje sætning er bevist på lignende måde.

3) Hvis et homogent legeme har et symmetricenter, så er kroppens tyngdepunkt på dette punkt.

Og et par kommentarer mere.

Først. Hvis kroppen kan opdeles i dele, for hvilke vægten og positionen af ​​tyngdepunktet er kendt, er der ingen grund til at overveje hvert punkt, og i formlerne (3) P i – bestemt som vægten af ​​den tilsvarende del og– som koordinaterne for dets tyngdepunkt.

Anden. Hvis kroppen er homogen, så vægten af ​​en individuel del af den, Hvor - vægtfylde af det materiale, som kroppen er lavet af, og V i - volumen af ​​denne del af kroppen. Og formlerne (3) vil have en mere bekvem form. For eksempel,

Og tilsvarende, hvor - volumen af ​​hele kroppen.

Tredje note. Lad kroppen have form som en tynd plade med et areal F og tykkelse t, liggende i flyet Oxy. Erstatter i (3)∆ V jeg =t ∙ ∆F jeg , vi får koordinaterne for tyngdepunktet for en homogen plade:

x c = (Σ ∆ F i∙ x i) / (Σ ∆ F i);

y c = (Σ ∆ F i∙ y i ) / (Σ ∆ F i).

z c = (Σ ∆ F i∙ z jeg ) / (Σ ∆ F i).

Hvor – koordinater for tyngdepunktet for individuelle plader;– samlet kropsareal.

Fjerde note. For en krop i form af en tynd buet stang af længde L med tværsnitsareal -en elementært volumen∆ V jeg = -en ∙∆ L jeg , Derfor koordinater for tyngdepunktet af en tynd buet stang vil være lige:

x c = (Σ ∆ L i∙ x i)/(Σ ∆ L i);

y c = (Σ ∆ L i∙ y i )/(Σ ∆ L i);(4)

z c = (Σ ∆ L i∙ z i )/(Σ ∆ L i).

Hvor – tyngdepunktets koordinaterjeg-th sektion; .

Bemærk, at tyngdepunktet ifølge definitionen er et geometrisk punkt; den kan også ligge uden for en given krops grænser (for eksempel for en ring).

Bemærk.

I dette afsnit af kurset skelner vi ikke mellem tyngdekraft, tyngdekraft og kropsvægt. I virkeligheden er tyngdekraften forskellen mellem Jordens tyngdekraft og centrifugalkraften forårsaget af dens rotation.

Koordinater for tyngdepunkterne for inhomogene legemer.

Tyngdepunktskoordinater uhomogent fast stof(Fig.4) i det valgte referencesystem bestemmes som følger:

Fig.4

Hvor - vægt pr. volumenenhed af et legeme (vægtfylde)

- hele kropsvægt.

uensartet overflade(Fig. 5), så bestemmes koordinaterne for tyngdepunktet i det valgte referencesystem som følger:

Fig.5

Hvor - vægt pr. kropsarealenhed,

- hele kropsvægt.

Hvis det faste er uensartet linje(Fig. 6), så bestemmes koordinaterne for tyngdepunktet i det valgte referencesystem som følger:

Fig.6

Hvor - vægt pr kropslængde,

Hel kropsvægt.

Metoder til bestemmelse af koordinaterne for tyngdepunktet.

Baseret på de generelle formler opnået ovenfor er det muligt at angive specifikke metoder at bestemme koordinaterne for legemers tyngdepunkter.

1. Symmetri. Hvis et homogent legeme har et plan, en akse eller et symmetricenter (fig. 7), så ligger dets tyngdepunkt henholdsvis i symmetriplanet, symmetriaksen eller i symmetriens centrum.

Fig.7

2. Opsplitning. Legemet er opdelt i et endeligt antal dele (fig. 8), for hver af dem kendes tyngdepunktets og arealets placering.

Fig.8

S=S1+S2.

3.Negativt område metode. Et særligt tilfælde af opdelingsmetoden (fig. 9). Det gælder for kroppe, der har udskæringer, hvis kroppens tyngdepunkter uden udskæringen og udskæringsdelen er kendt. Et legeme i form af en plade med en udskæring er repræsenteret af en kombination af en solid plade (uden en udskæring) med et område S 1 og arealet af den afskårne del S2.

Fig.9

S = S 1 - S 2.

4.Grupperingsmetode. Det er et godt supplement til de sidste to metoder. Efter at have opdelt en figur i dens komponentelementer, er det praktisk at kombinere nogle af dem igen for derefter at forenkle løsningen ved at tage hensyn til denne gruppes symmetri.

Tyngdepunkter for nogle homogene legemer.

1) Tyngdepunktet for en cirkelbue. Overvej buen AB radiusR med midtervinkel. På grund af symmetri ligger denne bues tyngdepunkt på aksenOkse(Fig. 10).

Fig.10

Lad os finde koordinaten efter formlen . For at gøre dette skal du vælge på buen AB element MM ’ længde, hvis position bestemmes af vinklen. Koordinere x element MM' vilje. Udskiftning af disse værdier x Og d l og med tanke på, at integralet skal strækkes over hele buens længde, får vi:

hvor L er længden af ​​buen AB, lig med .

Herfra finder vi endelig, at tyngdepunktet af en cirkelbue ligger på dens symmetriakse i en afstand fra centrum O lige

hvor er vinklen målt i radianer.

2) Tyngdepunktet for trekantens areal. Overvej en trekant, der ligger i flyet Oxy, hvis koordinater for hjørnerne er kendt: A i (x i,y i ), (jeg= 1,2,3). Bryd trekanten i smalle strimler parallelt med siden EN 1 EN 2, kommer vi frem til, at trekantens tyngdepunkt må tilhøre medianen EN 3 M 3 (fig. 11).

Fig.11

At bryde en trekant i strimler parallelt med siden EN 2 EN 3, kan vi verificere, at den skal ligge på medianen EN 1 M 1 . Dermed, tyngdepunktet for en trekant ligger i skæringspunktet mellem dens medianer, der, som bekendt, adskiller en tredje del fra hver median, regnet fra den tilsvarende side.

Især for medianen EN 1 M 1 opnår vi under hensyntagen til, at punktets koordinater M 1 - dette er det aritmetiske middelværdi af koordinaterne for hjørnerne EN 2 og EN 3 :

x c = x 1 + (2/3) ∙ (xM 1 - x 1 ) = x 1 + (2/3) ∙ [(x 2 + x 3 )/2 - x 1 ] = (x 1 + x 2 + x 3 )/3.

Således er koordinaterne for trekantens tyngdepunkt det aritmetiske middelværdi af koordinaterne for dens toppunkter:

x c =(1/3) Σ x i ; y c =(1/3) Σ y i .

3) Tyngdepunktet for området af en cirkulær sektor. Betragt en sektor af en cirkel med radius R med midtervinkel 2α , placeret symmetrisk om aksen Okse (Fig. 12).

Det er indlysende y c = 0, og afstanden fra midten af ​​cirklen, hvorfra denne sektor er skåret til dens tyngdepunkt, kan bestemmes ved formlen:

Fig.12

Den nemmeste måde at beregne dette integral på er ved at opdele integrationsdomænet i elementære sektorer med en vinkel dφ . Nøjagtig til infinitesimals af første orden kan en sådan sektor erstattes af en trekant med en base lig med R × dφ og højde R. Arealet af en sådan trekant dF =(1/2)R 2 ∙ dφ , og dens tyngdepunkt er i en afstand på 2/3 R fra toppunktet, derfor sætter vi i (5). x = (2/3)R∙ cosφ. Erstatter i (5) F= α R 2 får vi:

Ved hjælp af den sidste formel beregner vi især afstanden til tyngdepunktet halvcirkel.

Ved at erstatte α = π /2 i (2), får vi: x c = (4 R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Eksempel 1.Lad os bestemme tyngdepunktet for det homogene legeme vist i fig. 13.

Fig.13

Løsning.Kroppen er homogen og består af to dele med en symmetrisk form. Koordinater for deres tyngdepunkter:

Deres mængder:

Derfor er koordinaterne for kroppens tyngdepunkt

Eksempel 2. Lad os finde tyngdepunktet for en plade bøjet i en ret vinkel. Mål er på tegningen (fig. 14).

Fig.14

Løsning. Koordinater for tyngdepunkter:

0.

Områder:

Derfor:

Eksempel 3. På et firkantet ark cm firkantet hul skåret cm (fig. 15). Lad os finde arkets tyngdepunkt. Eksempel 4. Find placeringen af ​​tyngdepunktet for pladen vist i fig. 16. Mål er angivet i centimeter.

Fig.16

Løsning. Lad os opdele pladen i figurer (fig. 17), centre hvis sværhedsgrad er kendt.

Områderne af disse figurer og koordinaterne for deres tyngdepunkter:

1) et rektangel med siderne 30 og 40 cm,S 1 =30 ∙ 40=1200 cm 2 ; x 1=15 cm; på 1 = 20 cm.

2) en retvinklet trekant med en base på 50 cm og en højde på 40 cm;S 2 =0,5 ∙ 50 ∙ 40 = 1000 cm 2 ; x 2 =30+50/3=46,7 cm; y 2 =40/3 =13,3 cm;

3) halvcirkel radius cirkel r = 20 cm;S 3 =0,5 ∙π∙ 202 =628 cm 2 ; x 3 =4 R /3 π =8,5 cm; på

Løsning. Husk på, at i fysik tætheden af ​​en kropρ og dens vægtfyldeger forbundet med relationen:γ = ρ g , Hvorg - tyngdeacceleration. For at finde massen af ​​en sådan homogen krop skal du gange massefylden med dens volumen.

Fig.19

Udtrykket "lineær" eller "lineær" tæthed betyder, at for at bestemme massen af ​​en truss-stang skal den lineære densitet ganges med længden af ​​denne stang.

For at løse problemet kan du bruge partitioneringsmetoden. Ved at repræsentere en given truss som en sum af 6 individuelle stænger opnår vi:

HvorL i længdejeg truss stang, ogx i , y i - koordinaterne for dets tyngdepunkt.

Løsningen på dette problem kan forenkles ved at gruppere de sidste 5 stænger af truss. Det er let at se, at de danner en figur med et symmetricentrum placeret i midten af ​​den fjerde stang, hvor tyngdepunktet for denne gruppe af stænger er placeret.

Således kan en given truss repræsenteres af en kombination af kun to grupper af stænger.

Den første gruppe består af den første stang, til denL 1 = 4 m,x 1 = 0 m,y 1 = 2 m. Den anden gruppe stænger består af fem stænger, til denL 2 = 20 m,x 2 = 3 m,y 2 = 2 m.

Koordinaterne for tyngdepunktet for bindingsværket findes ved hjælp af formlen:

x c = (L 1 ∙ x 1 + L 2 ∙ x 2 )/(L 1 + L 2 ) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

y c = (L 1 ∙ y 1 + L 2 ∙ y 2 )/(L 1 + L 2 ) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Bemærk, at midten MED ligger på den lige linje, der forbinder MED 1 og MED 2 og deler segmentet MED 1 MED 2 om: MED 1 MED/SS 2 = (x c - x 1 )/(x 2 - x c ) = L 2 / L 1 = 2,5/0,5.

Selvtest spørgsmål

- Hvad kaldes centrum af parallelle kræfter?

- Hvordan bestemmes koordinaterne for centrum af parallelle kræfter?

- Hvordan bestemmer man midten af ​​parallelle kræfter, hvis resultant er nul?

- Hvilke egenskaber har centrum af parallelle kræfter?

- Hvilke formler bruges til at beregne koordinaterne for centrum af parallelle kræfter?

- Hvad kaldes et legemes tyngdepunkt?

- Hvorfor kan Jordens gravitationskræfter, der virker på et punkt på et legeme, opfattes som et system af parallelle kræfter?

- Skriv ned formlen til bestemmelse af tyngdepunktets position af inhomogene og homogene legemer, formlen til bestemmelse af tyngdepunktets position af flade sektioner?

- Skriv formlen ned for at bestemme placeringen af ​​tyngdepunktet af simple geometriske figurer: rektangel, trekant, trapez og en halv cirkel?

- Hvad kaldes det statiske arealmoment?

- Giv et eksempel på et legeme, hvis tyngdepunkt er placeret uden for kroppen.

- Hvordan bruges symmetriens egenskaber til at bestemme kroppens tyngdepunkter?

- Hvad er essensen af ​​metoden med negative vægte?

- Hvor er tyngdepunktet for en cirkelbue placeret?

- Hvilken grafisk konstruktion kan bruges til at finde tyngdepunktet i en trekant?

- Skriv formlen ned, der bestemmer tyngdepunktet for en cirkulær sektor.

- Ved hjælp af formler, der bestemmer tyngdepunkterne for en trekant og en cirkulær sektor, udled en lignende formel for et cirkulært segment.

- Hvilke formler bruges til at beregne koordinaterne for tyngdepunkterne for homogene legemer, flade figurer og linjer?

- Hvad kaldes det statiske moment af arealet af en plan figur i forhold til aksen, hvordan beregnes det, og hvilken dimension har det?

- Hvordan bestemmer man placeringen af ​​tyngdepunktet for et område, hvis tyngdepunktets placering af dets enkelte dele er kendt?

- Hvilke hjælpesætninger bruges til at bestemme tyngdepunktets position?