Използване на интеграли за намиране на обемите на телата на въртене

Практическата полезност на математиката се дължи на факта, че без

Специфичните математически познания затрудняват разбирането на принципите на устройството и използването на съвременни технологии. Всеки човек в живота си трябва да извършва доста сложни изчисления, да използва често използвано оборудване, да намира необходимите формули в справочници и да създава прости алгоритми за решаване на проблеми. В съвременното общество все повече специалности, които изискват високо ниво на образование, се свързват с директното приложение на математиката. Така математиката се превръща в професионално значим предмет за ученика. Водещата роля принадлежи на математиката във формирането на алгоритмично мислене, тя развива способността да се действа по даден алгоритъм и да се конструират нови алгоритми.

При изучаване на темата за използване на интеграла за изчисляване на обемите на телата на въртене, предлагам на учениците в избираемите часове да разгледат темата: „Обеми на телата на въртене с помощта на интеграли“. По-долу са дадени методически препоръки за разглеждане на тази тема:

1. Площ на плоска фигура.

От курса по алгебра знаем, че задачи от практическо естество са довели до концепцията за определен интеграл..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

За да намерим обема на ротационно тяло, образувано от въртенето на криволинейния трапец около оста Ox, ограничено от начупена линия y=f(x), оста Ox, прави x=a и x=b, изчисляваме използвайки формулата

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Обем на цилиндъра.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Конусът се получава чрез завъртане на правоъгълния триъгълник ABC (C = 90) около оста Ox, върху която лежи катетът AC.

Отсечката AB лежи на правата линия y=kx+c, където https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Нека a=0, b=H (H е височината на конуса), тогава Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Обем на пресечен конус.

Пресечен конус може да се получи чрез завъртане на правоъгълен трапец ABCD (CDOx) около оста Ox.

Отсечката AB лежи на правата y=kx+c, където , c=r.

Тъй като правата минава през точка A (0;r).

Така правата линия изглежда така https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Нека a=0, b=H (H е височината на пресечения конус), тогава https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Обем на топката.

Топката може да бъде получена чрез завъртане на кръг с център (0;0) около оста Ox. Полукръгът, разположен над оста Ox, е даден от уравнението

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Как да изчислим обема на ротационно тяло
използвайки определен интеграл?

Като цяло има много интересни приложения в интегралното смятане, като използвате определен интеграл, можете да изчислите площта на фигурата, обема на ротационното тяло, дължината на дъгата, повърхността на въртене и много други. Така че ще бъде забавно, моля, бъдете оптимисти!

Представете си някаква плоска фигура в координатната равнина. Въведени? ... Интересно кой какво е представил... =))) Вече намерихме района му. Но освен това тази фигура може да се върти и то по два начина:

- около абсцисната ос;
- около ординатната ос.

Тази статия ще разгледа и двата случая. Вторият метод на въртене е особено интересен, той причинява най-много трудности, но всъщност решението е почти същото като при по-често срещаното въртене около оста x. Като бонус ще се върна към проблем за намиране на площта на фигура, и ще ви кажа как да намерите района по втория начин - по оста. Това не е толкова бонус, колкото материалът се вписва добре в темата.

Нека започнем с най-популярния тип ротация.

плоска фигура около ос

Изчислете обема на тяло, получено при завъртане на фигура, ограничена с прави около ос.

Решение: Както в задачата за намиране на областта, решението започва с чертеж на плоска фигура. Тоест, в равнината е необходимо да се изгради фигура, ограничена от линиите, и не забравяйте, че уравнението определя оста. Как да завършите чертеж по-ефективно и бързо можете да намерите на страниците Графики и свойства на елементарни функцииИ . Това е китайско напомняне и на този етап няма да се спирам повече.

Чертежът тук е доста прост:

Желаната плоска фигура е оцветена в синьо; в резултат на въртенето се получава леко яйцевидна летяща чиния, която е симетрична спрямо оста. Всъщност тялото има математическо име, но ме мързи да изясня нещо в справочника, така че продължаваме нататък.

Как да изчислим обема на въртеливото тяло?

Обемът на въртеливото тяло може да се изчисли по формулата:

Във формулата числото трябва да присъства преди интеграла. Така се случи - всичко, което се върти в живота, е свързано с тази константа.

Мисля, че е лесно да се досетите как да зададете границите на интеграция „a“ и „be“ от завършения чертеж.

Функция... каква е тази функция? Да погледнем чертежа. Равнинната фигура е ограничена от графиката на параболата отгоре. Това е функцията, която се подразбира във формулата.

В практически задачи понякога плоска фигура може да бъде разположена под оста. Това не променя нищо - интегрантът във формулата е на квадрат: , следователно интегралът винаги е неотрицателен, което е много логично.

Нека изчислим обема на въртящо се тяло по тази формула:

Както вече отбелязах, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да внимавате.

отговор:

В отговора си трябва да посочите размерността - кубични единици. Тоест в нашето тяло на въртене има приблизително 3,35 „кубчета“. Защо кубичен единици? Тъй като най-универсалната формулировка. Може да има кубични сантиметри, може да има кубични метри, може да има кубични километри и т.н., ето колко зелени човечета вашето въображение може да постави в летяща чиния.

Намерете обема на тяло, образувано от въртене около оста на фигура, ограничена от линии , ,

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

Нека разгледаме два по-сложни проблема, които също често се срещат в практиката.

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане около абсцисната ос на фигурата, ограничена от линиите , и

Решение: Нека изобразим на чертежа плоска фигура, ограничена от линиите , , , , без да забравяме, че уравнението определя оста:

Желаната фигура е оцветена в синьо. Когато се завърти около оста си, се оказва сюрреалистична поничка с четири ъгъла.

Нека изчислим обема на тялото на въртене като разлика в обемите на телата.

Първо, нека разгледаме фигурата, оградена в червено. При въртенето му около ос се получава пресечен конус. Нека означим обема на този пресечен конус с .

Помислете за фигурата, която е оградена в зелено. Ако завъртите тази фигура около оста, ще получите и пресечен конус, само малко по-малък. Нека обозначим неговия обем с .

И очевидно разликата в обемите е точно обемът на нашата „поничка“.

Използваме стандартната формула, за да намерим обема на ротационно тяло:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обем на желаното тяло на въртене:

отговор:

Интересно е, че в този случай решението може да се провери с помощта на училищната формула за изчисляване на обема на пресечен конус.

Самото решение често се пише по-кратко, нещо подобно:

Сега нека да си починем малко и да ви разкажем за геометричните илюзии.

Хората често имат илюзии, свързани с обеми, което беше забелязано от Перелман (друг) в книгата Занимателна геометрия. Погледнете плоската фигура в решената задача - тя изглежда малка по площ, а обемът на тялото на въртене е малко над 50 кубични единици, което изглежда твърде голямо. Между другото, средностатистическият човек изпива еквивалента на стая от 18 квадратни метра течност през целия си живот, което, напротив, изглежда твърде малък обем.

След лирично отклонение е подходящо да решите творческа задача:

Да се ​​изчисли обемът на тяло, образувано от въртене около оста на плоска фигура, ограничена от линиите , , където .

Това е пример, който можете да решите сами. Моля, имайте предвид, че всички случаи се срещат в лентата, с други думи, действително са дадени готови граници на интеграция. Начертайте правилно графиките на тригонометричните функции, позволете ми да ви припомня материала за урока геометрични трансформации на графики: ако аргументът е разделен на две: , тогава графиките се разтягат два пъти по оста. Препоръчително е да намерите поне 3-4 точки според тригонометричните таблициза по-точно завършване на чертежа. Пълно решение и отговор в края на урока. Между другото, задачата може да бъде решена рационално и не много рационално.

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртене
плоска фигура около ос

Вторият параграф ще бъде още по-интересен от първия. Задачата за изчисляване на обема на ротационно тяло около ординатната ос също е доста често срещан гост в тестовата работа. По пътя ще бъде разгледано проблем за намиране на площта на фигуравторият метод е интеграция по оста, това ще ви позволи не само да подобрите уменията си, но и ще ви научи да намерите най-печелившия път на решение. В това има и практически житейски смисъл! Както моята учителка по методика на преподаване на математика си спомня с усмивка, много възпитаници й благодариха с думите: „Вашият предмет ни помогна много, сега сме ефективни мениджъри и оптимално управляваме персонала.“ Използвайки случая, аз също изказвам своята голяма благодарност към нея, особено след като използвам придобитите знания по предназначение =).

Препоръчвам го на всички, дори и на пълни манекени. Освен това материалът, научен във втория параграф, ще предостави безценна помощ при изчисляването на двойни интеграли.

Дадена е плоска фигура, ограничена от линиите , , .

1) Намерете площта на плоска фигура, ограничена от тези линии.
2) Намерете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

внимание!Дори ако искате да прочетете само втората точка, не забравяйте първо да прочетете първата!

Решение: Задачата се състои от две части. Да започнем с квадрата.

1) Да направим рисунка:

Лесно се вижда, че функцията определя горния клон на параболата, а функцията определя долния клон на параболата. Пред нас е тривиална парабола, която „лежи на една страна“.

Желаната фигура, чиято площ трябва да се намери, е оцветена в синьо.

Как да намерите площта на фигура? Може да се намери по „обичайния“ начин, който беше обсъден в клас Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура. Освен това площта на фигурата се намира като сбор от площите:
- на сегмента ;
- на сегмента.

Ето защо:

Защо обикновеното решение е лошо в този случай? Първо, имаме два интеграла. Второ, има корени под интегралите, а корените в интегралите не са подарък и освен това можете да се объркате при заместването на границите на интегрирането. Всъщност интегралите, разбира се, не са убийствени, но на практика всичко може да бъде много по-тъжно, просто избрах „по-добри“ функции за проблема.

Има по-рационално решение: то се състои в преминаване към обратни функции и интегриране по оста.

Как да стигнем до обратни функции? Грубо казано, трябва да изразите "x" чрез "y". Първо, нека да разгледаме параболата:

Това е достатъчно, но нека се уверим, че същата функция може да бъде извлечена от долния клон:

По-лесно е с права линия:

Сега погледнете оста: моля, периодично накланяйте главата си надясно на 90 градуса, докато обяснявате (това не е шега!). Фигурата, от която се нуждаем, лежи върху сегмента, който е обозначен с червена пунктирана линия. В този случай на сегмента правата линия е разположена над параболата, което означава, че площта на фигурата трябва да се намери с помощта на формулата, която вече ви е позната: . Какво се промени във формулата? Само едно писмо и нищо повече.

! Забележка: Трябва да се зададат границите на интегриране по оста строго отдолу нагоре!

Намиране на областта:

Следователно в сегмента:

Моля, обърнете внимание как съм извършил интеграцията, това е най-рационалният начин, а в следващия параграф на задачата ще стане ясно защо.

За читателите, които се съмняват в правилността на интеграцията, ще намеря производни:

Получава се оригиналната интегрална функция, което означава, че интегрирането е извършено правилно.

отговор:

2) Нека изчислим обема на тялото, образувано от въртенето на тази фигура около оста.

Ще преначертая чертежа в малко по-различен дизайн:

И така, фигурата, оцветена в синьо, се върти около оста. Резултатът е „витаеща пеперуда“, която се върти около оста си.

За да намерим обема на ротационно тяло, ще интегрираме по оста. Първо трябва да преминем към обратни функции. Това вече беше направено и описано подробно в предишния параграф.

Сега отново накланяме главата си надясно и изучаваме фигурата си. Очевидно обемът на едно въртящо се тяло трябва да се намери като разликата в обемите.

Завъртаме фигурата, оградена в червено около оста, което води до пресечен конус. Нека обозначим този обем с .

Завъртаме фигурата, оградена в зелено, около оста и я обозначаваме с обема на полученото тяло на въртене.

Обемът на нашата пеперуда е равен на разликата в обемите.

Използваме формулата, за да намерим обема на ротационно тяло:

Каква е разликата от формулата в предишния параграф? Само в писмото.

Но предимството на интеграцията, за което наскоро говорих, е много по-лесно за намиране , вместо първо да повдигнем интегранта на 4-та степен.

отговор:

Обърнете внимание, че ако една и съща плоска фигура се завърти около оста, ще получите съвсем различно тяло на въртене, с различен обем, естествено.

Дадена е плоска фигура, ограничена от линии и ос.

1) Отидете на обратни функции и намерете площта на равнинна фигура, ограничена от тези линии, чрез интегриране върху променливата.
2) Изчислете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

Това е пример, който можете да решите сами. Заинтересованите могат също да намерят площта на фигура по „обичайния“ начин, като по този начин проверяват точка 1). Но ако, повтарям, завъртите плоска фигура около оста, ще получите съвсем различно тяло на въртене с различен обем, между другото, правилният отговор (също и за тези, които обичат да решават проблеми).

Пълното решение на двете предложени точки от задачата е в края на урока.

Да, и не забравяйте да наклоните главата си надясно, за да разберете телата на въртене и границите на интеграция!

Тъкмо щях да завърша статията, но днес дадоха интересен пример само за намиране на обема на въртеливо тяло около ординатната ос. прясно:

Изчислете обема на тяло, образувано от въртене около оста на фигура, ограничена от криви и .

Решение: Да направим рисунка:

По пътя се запознаваме с графиките на някои други функции. Ето една интересна графика на четна функция...

Нека T е въртящо се тяло, образувано от въртене около абсцисната ос на криволинеен трапец, разположен в горната полуравнина и ограничен от абсцисната ос, прави x=a и x=b и графиката на непрекъсната функция y= f(x) .

Нека докажем, че това е така тялото на въртене е кубично и обемът му се изразява с формулата

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Първо, ние доказваме, че това тяло на въртене е редовно, ако изберем равнината Oyz, перпендикулярна на оста на въртене като \Pi. Забележете, че сечението, разположено на разстояние x от равнината Oyz, е окръжност с радиус f(x) и нейната площ S(x) е равна на \pi f^2(x) (фиг. 46). Следователно функцията S(x) е непрекъсната поради непрекъснатостта на f(x). На следващо място, ако S(x_1)\leqslant S(x_2), тогава това означава, че . Но проекциите на сеченията върху равнината Oyz са окръжности с радиуси f(x_1) и f(x_2) с център O, и от f(x_1)\leqslant f(x_2)следва, че кръг с радиус f(x_1) се съдържа в кръг с радиус f(x_2) .

И така, тялото на революцията е редовно. Следователно той е кубичен и обемът му се изчислява по формулата

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Ако криволинейният трапец е ограничен както отдолу, така и отгоре от кривите y_1=f_1(x), y_2=f_2(x), тогава

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Формула (3) може да се използва и за изчисляване на обема на ротационно тяло в случай, че границата на въртяща се фигура е зададена с параметрични уравнения. В този случай трябва да използвате промяна на променлива под определен интегрален знак.

В някои случаи се оказва удобно да се разложат телата на въртене не на прави кръгли цилиндри, а на фигури от различен тип.

Например, да намерим обем на тяло, получен чрез завъртане на извит трапец около ординатната ос. Първо, нека намерим обема, получен чрез завъртане на правоъгълник с височина y#, в основата на който лежи отсечката . Този обем е равен на разликата в обемите на два прави кръгли цилиндъра

\Делта V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Но сега е ясно, че необходимият обем се оценява отгоре и отдолу, както следва:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Делта x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Делта x_k\,.

Оттук следва лесно формула за обема на въртящо се тяло около ординатната ос:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Пример 4.Нека намерим обема на топка с радиус R.

Решение.Без загуба на общост, ще разгледаме окръжност с радиус R с център в началото. Този кръг, въртящ се около оста Ox, образува топка. Уравнението на окръжност е x^2+y^2=R^2, така че y^2=R^2-x^2. Като вземем предвид симетрията на кръга спрямо ординатната ос, първо намираме половината от необходимия обем

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Следователно обемът на цялата топка е равен на \frac(4)(3)\pi R^3.

Пример 5.Изчислете обема на конус с височина h и радиус на основата r.

Решение.Нека изберем координатна система така, че оста Ox да съвпада с височината h (фиг. 47) и да вземем върха на конуса за начало на координатите. Тогава уравнението на права линия OA ще бъде записано във формата y=\frac(r)(h)\,x.

Използвайки формула (3), получаваме:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Пример 6.Нека намерим обема на тялото, получено чрез въртене около оста x на астроида \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(фиг. 48).

Решение.Да построим астроид. Нека разгледаме половината от горната част на астроида, разположена симетрично спрямо ординатната ос. Използвайки формула (3) и променяйки променливата под знака на определен интеграл, намираме границите на интегриране за новата променлива t.

Ако x=a\cos^3t=0, тогава t=\frac(\pi)(2) и ако x=a\cos^3t=a, тогава t=0. Като се има предвид, че y^2=a^2\sin^6t и dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, получаваме:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Обемът на цялото тяло, образувано от въртенето на астроида, ще бъде \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Пример 7.Нека намерим обема на тялото, получено при въртене около ординатната ос на криволинейния трапец, ограничен от оста x и първата дъга на циклоидата \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

Решение.Нека използваме формула (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, и заменете променливата под знака за интеграл, като вземете предвид, че първата дъга на циклоидата се формира, когато променливата t се промени от 0 на 2\pi. по този начин

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2) )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\right)= 6\pi^3a^3. \край (подравнено)

Javascript е деактивиран във вашия браузър.
За да извършвате изчисления, трябва да активирате ActiveX контролите!

Тема: „Изчисляване на обемите на телата на въртене с помощта на определен интеграл“

Тип урок:комбинирани.

Цел на урока:научете се да изчислявате обемите на телата на въртене с помощта на интеграли.

Задачи:

консолидират способността за идентифициране на криволинейни трапеци от редица геометрични фигури и развиват умението за изчисляване на площите на криволинейни трапеци;

запознават се с понятието триизмерна фигура;

научете се да изчислявате обемите на телата на въртене;

насърчаване на развитието на логическо мислене, компетентна математическа реч, точност при конструиране на чертежи;

да култивира интерес към предмета, да работи с математически понятия и образи, да култивира воля, независимост и постоянство за постигане на крайния резултат.

Напредък на урока

I. Организационен момент.

Поздрави от групата. Комуникирайте целите на урока на учениците.

Бих искал да започна днешния урок с една притча. „Имало едно време един мъдър човек, който знаел всичко. Един човек искаше да докаже, че мъдрецът не знае всичко. Държейки пеперуда в ръцете си, той попита: „Кажи ми, мъдрец, коя пеперуда е в ръцете ми: мъртва или жива?“ И си мисли: „Ако каже живата, ще я убия, ако каже мъртвата, ще я пусна.” Мъдрецът, след като помисли, отговори: "Всичко е във вашите ръце."

Затова нека днес да работим ползотворно, да придобием нов запас от знания и ще приложим придобитите умения и умения в бъдещия живот и в практически дейности „Всичко е във вашите ръце“.

II. Повторение на предварително изучен материал.

Нека си припомним основните моменти от изучения по-рано материал. За да направите това, нека изпълним задачата „Премахване на допълнителната дума“.

(Учениците казват допълнителна дума.)

вярно "Диференциал".Опитайте се да назовете останалите думи с една обща дума. (Интегрално смятане.)

Нека си припомним основните етапи и концепции, свързани с интегралното смятане.

Упражнение.Възстановете празнините. (Ученикът излиза и пише с маркер необходимите думи.)

Работа в тетрадки.

Формулата на Нютон-Лайбниц е изведена от английския физик Исак Нютон (1643-1727) и немския философ Готфрид Лайбниц (1646-1716). И това не е изненадващо, защото математиката е езикът, на който говори самата природа.

Нека разгледаме как тази формула се използва за решаване на практически проблеми.

Пример 1: Изчислете площта на фигура, ограничена от линии

Решение:Нека построим графики на функции в координатната равнина . Нека изберем областта на фигурата, която трябва да бъде намерена.

III. Учене на нов материал.

Обърнете внимание на екрана. Какво е показано на първата снимка? (Фигурата показва плоска фигура.)

Какво е показано на втората снимка? Тази фигура плоска ли е? (Фигурата показва триизмерна фигура.)

В космоса, на земята и в ежедневието срещаме не само плоски фигури, но и триизмерни, но как да изчислим обема на такива тела? Например: обемът на планета, комета, метеорит и др.

Хората мислят за обема както когато строят къщи, така и когато преливат вода от един съд в друг. Трябваше да се появят правила и техники за изчисляване на обемите, друг въпрос доколко те бяха точни и оправдани.

1612 година е много плодородна за жителите на австрийския град Линц, където е живял известният астроном Йоханес Кеплер, особено за гроздето. Хората приготвяха бъчви за вино и искаха да знаят как на практика да определят обемите им.

По този начин разглежданите трудове на Кеплер бележат началото на цял поток от изследвания, който кулминира през последната четвърт на 17 век. дизайн в произведенията на И. Нютон и Г.В. Лайбниц на диференциалното и интегралното смятане. От този момент нататък математиката на променливите заема водещо място в системата на математическите знания.

Днес вие и аз ще се занимаваме с такива практически дейности, следователно,

Темата на нашия урок: „Изчисляване на обемите на телата на въртене с помощта на определен интеграл.“

Ще научите определението за тяло на въртене, като изпълните следната задача.

„Лабиринт“.

Упражнение.Намерете изход от конфузната ситуация и запишете определението.

IVИзчисляване на обеми.

С помощта на определен интеграл можете да изчислите обема на определено тяло, по-специално на ротационно тяло.

Тялото на въртене е тяло, получено чрез въртене на извит трапец около основата му (фиг. 1, 2)

Обемът на въртеливото тяло се изчислява по една от формулите:

1. около оста OX.

2. , ако въртенето на извит трапец около оста на операционния усилвател.

Учениците записват основни формули в тетрадка.

Учителят обяснява решенията на примерите на дъската.

1. Намерете обема на тялото, получено чрез въртене около ординатната ос на криволинейния трапец, ограничен от линии: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Решение.

Отговор: 1163 cm3.

2. Намерете обема на тялото, получено чрез завъртане на параболичен трапец около оста x y = , x = 4, y = 0.

Решение.

V. Математически симулатор.

2. Множеството от всички първоизводни на дадена функция се нарича

А) неопределен интеграл,

Б) функция,

Б) диференциация.

7. Намерете обема на тялото, получено чрез въртене около оста на абсцисата на криволинейния трапец, ограничен от линии:

D/Z. Затвърдяване на нов материал

Изчислете обема на тялото, образувано от въртенето на венчелистчето около оста x y = x2, y2 = x.

Нека изградим графики на функцията. y = x2, y2 = x. Нека преобразуваме графиката y2 = x във формата y = .

Имаме V = V1 - V2 Нека изчислим обема на всяка функция:

Заключение:

Определеният интеграл е определена основа за изучаване на математиката, която има незаменим принос за решаването на практически проблеми.

Темата „Интеграл” ясно демонстрира връзката между математика и физика, биология, икономика и технологии.

Развитието на съвременната наука е немислимо без използването на интеграла. В тази връзка е необходимо да започне изучаването му в рамките на средното специално образование!

VI. Класиране.(С коментар.)

Великият Омар Хаям - математик, поет, философ. Той ни насърчава да бъдем господари на собствената си съдба. Нека чуем откъс от неговото творчество:

Казвате, този живот е един миг.
Оценявайте го, черпете вдъхновение от него.
Както го похарчиш, така ще мине.
Не забравяйте: тя е вашето творение.

Определение 3. Въртящо тяло е тяло, получено чрез въртене на плоска фигура около ос, която не пресича фигурата и лежи в една равнина с нея.

Оста на въртене може да пресича фигурата, ако е оста на симетрия на фигурата.

Теорема 2.
, ос
и прави сегменти
И

се върти около ос
. Тогава обемът на полученото тяло на въртене може да се изчисли по формулата

(2)

Доказателство. За такова тяло напречното сечение с абсцисата е кръг с радиус
, Средства
и формула (1) дава търсения резултат.

Ако фигурата е ограничена от графиките на две непрекъснати функции
И
, и сегменти от линия
И
, и
И
, то при въртене около оста x получаваме тяло, чийто обем

Пример 3. Изчислете обема на тор, получен чрез въртене на окръжност, ограничена от окръжност

около абсцисната ос.

Р решение. Посочената окръжност е ограничена отдолу от графиката на функцията
, а отгоре –
. Разликата на квадратите на тези функции:

Необходим обем

(графиката на интегранд е горният полукръг, така че интегралът, написан по-горе, е площта на полукръга).

Пример 4. Параболичен сегмент с основа
, и височина , се върти около основата. Изчислете обема на полученото тяло („лимон” на Кавалиери).

Р решение. Поставете параболата, както е показано на фигурата. Тогава неговото уравнение
, и
. Нека намерим стойността на параметъра :
. И така, необходимият обем:

Теорема 3. Нека криволинейният трапец е ограничен от графиката на непрекъсната неотрицателна функция
, ос
и прави сегменти
И
, и
, се върти около ос
. Тогава обемът на полученото тяло на въртене може да се намери с помощта на формулата

(3)

Идеята за доказателство. Разделяме сегмента
точки

, на части и начертайте прави линии
. Целият трапец ще бъде разложен на ленти, които могат да се считат приблизително за правоъгълници с основа
и височина
.

Изрязваме получения цилиндър, като завъртаме такъв правоъгълник по неговата генератриса и го разгъваме. Получаваме "почти" паралелепипед с размери:
,
И
. Обемът му
. Така че за обема на едно въртящо се тяло ще имаме приблизително равенство

За да се получи точно равенство, трябва да се стигне до границата при
. Сумата, написана по-горе, е интегралната сума за функцията
, следователно в границата получаваме интеграла от формула (3). Теоремата е доказана.

Бележка 1. В теореми 2 и 3 условието
може да се пропусне: формула (2) обикновено е нечувствителна към знака
, а във формула (3) е достатъчно
замени с
.

Пример 5. Параболичен сегмент (основа
, височина ) се върти около височината. Намерете обема на полученото тяло.

Решение. Нека поставим параболата, както е показано на фигурата. И въпреки че оста на въртене пресича фигурата, тя - оста - е ос на симетрия. Следователно трябва да разгледаме само дясната половина на сегмента. Уравнение на парабола
, и
, Средства
. Имаме за обем:

Бележка 2. Ако криволинейната граница на криволинейния трапец е дадена чрез параметрични уравнения
,
,
И
,
тогава можете да използвате формули (2) и (3) със замяната на
И
на
при смяна tот
към .

Пример 6. Фигурата е ограничена от първата дъга на циклоидата
,
,
, и оста x. Намерете обема на тялото, получено при завъртане на тази фигура около: 1) ос
; 2) оси
.

Решение. 1) Обща формула
В нашия случай:

2) Обща формула
За нашата фигура:

Каним учениците сами да извършат всички изчисления.

Бележка 3. Нека извит сектор, ограничен от непрекъсната линия
и лъчи
,

, се върти около полярна ос. Обемът на полученото тяло може да се изчисли по формулата.

Пример 7. Част от фигура, ограничена от кардиоида
, лежащ извън кръга
, се върти около полярна ос. Намерете обема на полученото тяло.

Решение. И двете линии, а следователно и фигурата, която те ограничават, са симетрични спрямо полярната ос. Следователно е необходимо да се разгледа само тази част, за която
. Кривите се пресичат при
И

при
. Освен това фигурата може да се разглежда като разликата на два сектора и следователно обемът може да се изчисли като разликата на два интеграла. Ние имаме:

Задачи за самостоятелно решение.

1. Окръжен сегмент, чиято основа
, височина , се върти около основата. Намерете обема на тялото на въртене.

2. Намерете обема на параболоид на въртене, чиято основа , а височината е .

3. Фигура, ограничена от астроид
,
се върти около абсцисната ос. Намерете обема на полученото тяло.

4. Фигура, ограничена с линии
И
се върти около оста x. Намерете обема на тялото на въртене.