Уравнения с разделени променливи. Разделими уравнения

Често самото споменаване на диференциални уравнения създава у учениците неприятно усещане. Защо се случва това? Най-често, защото при изучаването на основите на материала възниква пропуск в знанията, поради което по-нататъшното изучаване на дифузьорите става просто мъчение. Не е ясно какво да правите, как да решите, откъде да започнете?

Ние обаче ще се опитаме да ви покажем, че дифузьорите не са толкова трудни, колкото изглежда.

Основни понятия от теорията на диференциалните уравнения

От училище знаем най-простите уравнения, в които трябва да намерим неизвестното x. Всъщност диференциални уравнениясамо малко по-различен от тях - вместо променлива х трябва да намерите функция в тях y(x) , което ще превърне уравнението в идентичност.

Диференциалните уравнения имат голямо практическо значение. Това не е абстрактна математика, която няма връзка със света около нас. Много реални природни процеси се описват с диференциални уравнения. Например, вибрациите на струна, движението на хармоничен осцилатор, използвайки диференциални уравнения в задачите на механиката, намерете скоростта и ускорението на тялото. Също DUнамират широко приложение в биологията, химията, икономиката и много други науки.

Диференциално уравнение (DU) е уравнение, съдържащо производни на функцията y(x), самата функция, независими променливи и други параметри в различни комбинации.

Има много видове диференциални уравнения: обикновени диференциални уравнения, линейни и нелинейни, хомогенни и нехомогенни, диференциални уравнения от първи и по-висок ред, частични диференциални уравнения и т.н.

Решението на диференциално уравнение е функция, която го превръща в идентичност. Има общи и частни решения на дистанционното управление.

Общо решение на диференциално уравнение е общ набор от решения, които трансформират уравнението в идентичност. Частично решение на диференциално уравнение е решение, което отговаря на допълнителни условия, определени първоначално.

Редът на диференциалното уравнение се определя от най-високия ред на неговите производни.

Обикновени диференциални уравнения

Обикновени диференциални уравненияса уравнения, съдържащи една независима променлива.

Нека разгледаме най-простото обикновено диференциално уравнение от първи ред. Изглежда като:

Такова уравнение може да бъде решено чрез просто интегриране на дясната му страна.

Примери за такива уравнения:

Разделими уравнения

Най-общо този тип уравнение изглежда така:

Ето един пример:

Когато решавате такова уравнение, трябва да разделите променливите, като ги приведете във формата:

След това остава да интегрирате двете части и да получите решение.

Линейни диференциални уравнения от първи ред

Такива уравнения изглеждат така:

Тук p(x) и q(x) са някои функции на независимата променлива, а y=y(x) е желаната функция. Ето пример за такова уравнение:

При решаването на такова уравнение най-често те използват метода на промяна на произволна константа или представят желаната функция като произведение на две други функции y(x)=u(x)v(x).

За решаването на такива уравнения е необходима известна подготовка и ще бъде доста трудно да ги вземете „с един поглед“.

Пример за решаване на диференциално уравнение с разделими променливи

Така че разгледахме най-простите видове дистанционно управление. Сега нека разгледаме решението на един от тях. Нека това е уравнение с разделими променливи.

Първо, нека пренапишем производната в по-позната форма:

След това разделяме променливите, тоест в едната част на уравнението събираме всички „I“, а в другата – „X“:

Сега остава да интегрираме и двете части:

Ние интегрираме и получаваме общо решение на това уравнение:

Разбира се, решаването на диференциални уравнения е вид изкуство. Трябва да можете да разберете какъв тип уравнение е това и също така да се научите да виждате какви трансформации трябва да бъдат направени с него, за да доведете до една или друга форма, да не говорим само за способността за диференциране и интегриране. А за да успееш да решиш DE ти трябва практика (както във всичко). И ако в момента нямате време да разберете как се решават диференциалните уравнения, или проблемът на Коши е заседнал като кост в гърлото ви, или не знаете как правилно да подготвите презентация, свържете се с нашите автори. В кратки срокове ще Ви предоставим готово и детайлно решение, с чиито детайли можете да се запознаете по всяко удобно за Вас време. Междувременно предлагаме да гледате видеоклип на тема „Как да решаваме диференциални уравнения“:

Разглежда се метод за решаване на диференциални уравнения, които могат да бъдат сведени до уравнения с разделими променливи. Даден е пример за подробно решение на диференциално уравнение, което се свежда до уравнение с разделими променливи.

Съдържание

Формулиране на проблема

Разгледайте диференциалното уравнение
(i) ,
където f е функция, a, b, c са константи, b ≠ 0 .
Това уравнение се свежда до уравнение с разделими променливи.

Метод на решение

Нека направим замяна:
u = брадва + by + c
Тук y е функция на променливата x. Следователно u също е функция на променливата x.
Разграничете по отношение на x
u′ = (ax + by + c)′ = a + by′
Да заместим (i)
u′ = a + by′ = a +b f(ax + by + c) = a + b f (ф)
Или:
(ii)
Нека разделим променливите. Умножете по dx и разделете на a + b f (ф). Ако a + b f (u) ≠ 0, Че

Интегрирайки, получаваме общия интеграл на първоначалното уравнение (i)в квадратури:
(iii) .

В заключение, разгледайте случая
(iv) a + b f (u) = 0.
Да предположим, че това уравнение има n корена u = r i , a + b f (ri) = 0, i = 1, 2, ... н. Тъй като функцията u = r i е постоянна, нейната производна по x е равна на нула. Следователно u = r i е решение на уравнението (ii).
Въпреки това, ур. (ii)не съвпада с първоначалното уравнение (i)и може би не всички решения u = r i, изразени чрез променливите x и y, удовлетворяват първоначалното уравнение (i).

По този начин решението на първоначалното уравнение е общият интеграл (iii)и някои корени на уравнението (iv).

Пример за решаване на диференциално уравнение, което се свежда до уравнение с разделими променливи

Решете уравнението
(1)

Нека направим замяна:
u = x - y
Ние диференцираме по отношение на x и извършваме трансформации:
;

Умножете по dx и разделете на u 2 .

Ако u ≠ 0, тогава получаваме:

Нека интегрираме:

Прилагаме формулата от таблицата на интегралите:

Изчислете интеграла

Тогава
;
, или

Общо решение:
.

Сега разгледайте случая u = 0 , или u = x - y = 0 , или
y = x.
Тъй като y′ = (x)′ = 1, тогава y = x е решение на първоначалното уравнение (1) .

;
.

Препратки:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, “Лан”, 2003 г.

Диференциално уравнение с разделени променливи се записва като: (1). В това уравнение един член зависи само от x, а другият зависи само от y. Интегрирайки това уравнение член по член, получаваме:
е неговият общ интеграл.

Пример: намерете общия интеграл на уравнението:
.

Решение: Това уравнение е отделно диференциално уравнение. Ето защо
или
Нека обозначим
. Тогава
– общ интеграл на диференциално уравнение.

Разделимото уравнение има формата (2). Уравнение (2) може лесно да се сведе до уравнение (1), като се раздели член по член
. Получаваме:

– общ интеграл.

Пример:Решете уравнението .

Решение: преобразувайте лявата страна на уравнението: . Разделете двете страни на уравнението на


Решението е изразът:
тези.

Хомогенни диференциални уравнения. Уравнения на Бернули. Линейни диференциални уравнения от първи ред.

Уравнение от вида се нарича хомогенен, Ако
И
– еднородни функции от един и същи ред (размерности). функция
се нарича хомогенна функция от първи ред (измерване), ако, когато всеки от нейните аргументи се умножи по произволен коефициент цялата функция се умножава по , т.е.
=
.

Хомогенното уравнение може да се сведе до вида
. Използване на заместване
(
) хомогенното уравнение се свежда до уравнение с разделими променливи по отношение на новата функция .

Диференциалното уравнение от първи ред се нарича линеен, ако може да се напише във формата
.

Метод на Бернули

Решаване на уравнението
се търси като продукт на две други функции, т.е. използвайки заместване
(
).

Пример:интегрирайте уравнението
.

Ние вярваме
. Тогава, т.е. . Първо решаваме уравнението
=0:


.

Сега решаваме уравнението
тези.


. И така, общото решение на това уравнение е
тези.

Уравнение на Й. Бернули

Уравнение от формата , където
Наречен Уравнение на Бернули. Това уравнение се решава с помощта на метода на Бернули.

Хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

Хомогенното линейно диференциално уравнение от втори ред е уравнение от вида (1) , Където И постоянен.

Ще търсим частични решения на уравнение (1) във формата
, Където Да се– определено число. Диференциране на тази функция два пъти и заместване на изрази за
в уравнение (1), получаваме това е, или
(2) (
).

Уравнение 2 се нарича характеристично уравнение на диференциалното уравнение.

При решаване на характеристичното уравнение (2) са възможни три случая.

Случай 1.корени И уравнения (2) са реални и различни:

И

.

Случай 2.корени И уравнения (2) са реални и равни:
. В този случай частични решения на уравнение (1) са функциите
И
. Следователно общото решение на уравнение (1) има формата
.

Случай 3.корени И уравнения (2) са сложни:
,
. В този случай частични решения на уравнение (1) са функциите
И
. Следователно общото решение на уравнение (1) има формата

Пример.Решете уравнението
.

Решение:Нека създадем характеристично уравнение:
. Тогава
. Общо решение на това уравнение
.

Екстремум на функция на няколко променливи. Условен екстремум.

Екстремум на функция на няколко променливи

Определение.Точка M (x О ,г О ) е нареченмаксимална (минимална) точка функцииz= f(х, y), ако има околност на точката M такава, че за всички точки (x, y) от тази околност неравенството
(
)

На фиг. 1 точка А
- има минимална точка и точка IN
- максимална точка.

Необходимоусловието за екстремум е многомерен аналог на теоремата на Ферма.

Теорема.Нека точката
– е точката на екстремума на диференцируемата функцияz= f(х, y). След това частните производни
И
Vв този момент са равни на нула.

Точки, в които са изпълнени необходимите условия за екстремума на функцията z= f(х, y),тези. частични производни z" х И z" г са равни на нула се наричат критиченили стационарен.

Равенството на частните производни на нула изразява само необходимо, но не и достатъчно условие за екстремума на функция на няколко променливи.

На фиг. така нареченият седловина M (x О ,г О ). Частични производни
И
са равни на нула, но очевидно няма екстремум в точката M(x О ,г О ) Не.

Такива седлови точки са двумерни аналози на инфлексни точки на функции на една променлива. Предизвикателството е да ги отделите от крайните точки. С други думи, трябва да знаете достатъчноекстремно състояние.

Теорема (достатъчно условие за екстремум на функция на две променливи).Нека функциятаz= f(х, y):а) определена в някаква околност на критичната точка (x О ,г О ), при което
=0 и
=0 ;

б) има непрекъснати частни производни от втори ред в тази точка
;

;
Тогава, ако ∆=AC-B 2 >0, след това в точка (x О ,г О ) функцияz= f(х, y) има екстремум и акоА<0 - максимум ако A>0 - минимум. В случай ∆=AC-B 2 <0, функция z= f(х, y) няма екстремум. Ако ∆=AC-B 2 =0, то въпросът за наличието на екстремум остава открит.

Изследване на функция на две променливи при екстремумпрепоръчва се да се извърши следното диаграма:

Намерете частични производни на функция z" х И z" г .

Решете система от уравнения z" х =0, z" г =0 и намерете критичните точки на функцията.

Намерете частични производни от втори ред, изчислете техните стойности във всяка критична точка и, като използвате достатъчно условие, заключавайте за наличието на екстремуми.

Намерете екстремуми (крайни стойности) на функцията.

Пример.Намерете екстремумите на функцията

Решение. 1. Намиране на частни производни

2. Намираме критичните точки на функцията от системата от уравнения:

има четири решения (1; 1), (1; -1), (-1; 1) и (-1; -1).

3. Намерете частичните производни от втори ред:

;
;
, изчисляваме техните стойности във всяка критична точка и проверяваме изпълнението на достатъчно екстремално условие в нея.

Например в точка (1; 1) А= z"(1; 1)= -1; B=0; C= -1. защото ∆ =AC-B 2 = (-1) 2 -0=1 >0 и A=-1<0, тогава точка (1; 1) е максимална точка.

По същия начин установяваме, че (-1; -1) е минималната точка и в точки (1; -1) и (-1; 1), при които ∆ =AC-B 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. Намерете екстремумите на функцията z max = z(l; 1) = 2, z min = z(-l; -1) = -2,

Условен екстремум. Метод на умножителя на Лагранж.

Нека разгледаме задача, специфична за функции на няколко променливи, когато нейният екстремум се търси не върху цялата област на дефиниция, а върху множество, което удовлетворява определено условие.

Нека разгледаме функцията z = f(х, г), аргументи хИ прикоито отговарят на условието ж(x,y)= С,Наречен уравнение на връзката.

Определение.Точка
наречена точкаусловен максимум (минимум), ако има околност на тази точка, така че за всички точки (x,y) от тази околност, отговарящи на условиетож (х, г) = C, неравенството е в сила

(
).

На фиг. е показана условната максимална точка
. Очевидно това не е безусловната екстремна точка на функцията z = f(х, г) (на фигурата това е точка
).

Най-простият начин да се намери условният екстремум на функция на две променливи е да се намали проблема до намиране на екстремума на функция на една променлива. Нека приемем уравнението на връзката ж (х, г) = СЪСуспя да разреши по отношение на една от променливите, например да изрази припрез Х:
. Замествайки получения израз във функция на две променливи, получаваме z = f(х, г) =
, тези. функция на една променлива. Неговият екстремум ще бъде условният екстремум на функцията z = f(х, г).

Пример. х 2 + г 2 предвид това 3x +2y = 11.

Решение. От уравнението 3x + 2y = 11 изразяваме променливата y чрез променливата x и заместваме полученото
да функционира z. Получаваме z= х 2 +2
или z =
. Тази функция има уникален минимум при = 3. Съответна стойност на функцията
Така (3; 1) е условна точка на екстремум (минимум).

В разглеждания пример уравнението на свързване ж(х, y) = Cсе оказа линеен, така че беше лесно разрешен по отношение на една от променливите. В по-сложни случаи обаче това не може да стане.

За да намерим условен екстремум в общия случай, използваме Метод на умножителя на Лагранж.

Да разгледаме функция на три променливи

Тази функция се нарича функция на Лагранж,А - Множител на Лагранж.Следната теорема е вярна.

Теорема.Ако точката
е условната екстремна точка на функциятаz = f(х, г) предвид товаж (х, г) = C, тогава има стойност такава точка
е екстремната точка на функциятаЛ{ х, г, ).

По този начин, за да намерите условния екстремум на функцията z = f(x,y)предвид това ж(х, г) = Cтрябва да се намери решение на системата

На фиг. е показан геометричният смисъл на условията на Лагранж. Линия ж(x,y)= С пунктирана, равна линия ж(х, г) = Q функции z = f(х, г) твърдо.

От фиг. следва това в условната екстремна точка линията на функционалното ниво z = f(х, г) докосва линиятаж(х, г) = S.

Пример.Намерете максималните и минималните точки на функцията z = х 2 + г 2 предвид това 3x +2y = 11 с помощта на метода на умножителя на Лагранж.

Решение. Компилиране на функцията на Лагранж Л= х 2 + 2у 2 +

Приравнявайки неговите частни производни на нула, получаваме система от уравнения

Единственото му решение (x=3, y=1, =-2). Така условната точка на екстремума може да бъде само точка (3;1). Лесно е да се провери, че в този момент функцията z= f(х, г) има условен минимум.

Английски: Wikipedia прави сайта по-сигурен. Използвате стар уеб браузър, който няма да може да се свързва с Wikipedia в бъдеще. Моля, актуализирайте вашето устройство или се свържете с вашия ИТ администратор.

中文: 的浏览器，这在将来无法连接维基百科。请更新IT ）。

испански: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrator informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Френски: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: 利用のブラウザはバージョン??? IT情報は以下に英語で提供しています。

Немски: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät or sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

италиански: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Останете в уеб браузъра, който не ви позволява да свържете Wikipedia в бъдеще. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

маджарски: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

шведска: Wikipedia отидете на тази страница. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia in framtiden. Актуализирайте din enhet или contacta din IT-administrator. Det finns en längre och mer tehnicsk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Премахваме поддръжката за несигурни версии на протокол TLS, по-специално TLSv1.0 и TLSv1.1, на които софтуерът на вашия браузър разчита, за да се свърже с нашите сайтове. Това обикновено се причинява от остарели браузъри или по-стари смартфони с Android. Или може да е намеса от корпоративен или личен софтуер за „Уеб сигурност“, който всъщност намалява сигурността на връзката.

Трябва да надстроите вашия уеб браузър или по друг начин да коригирате този проблем, за да получите достъп до нашите сайтове. Това съобщение ще остане до 1 януари 2020 г. След тази дата вашият браузър няма да може да установи връзка с нашите сървъри.

Определение 7.Уравнение от формата се нарича уравнение с разделими променливи.

Това уравнение може да бъде приведено до формата чрез разделяне на всички членове на уравнението на произведението.

Например, решете уравнението

Решение. Производната е равна, което означава

Разделяйки променливите, получаваме:

.

Сега нека интегрираме:

Решете диференциално уравнение

Решение. Това е уравнение от първи ред с разделими променливи. За да разделим променливите на това уравнение във формата и го разделете термин по термин в продукта. В резултат на това получаваме или

интегрирайки двете страни на последното уравнение, получаваме общото решение

arcsin y = arcsin x + C

Нека сега намерим конкретно решение, което удовлетворява началните условия. Замествайки началните условия в общото решение, получаваме

; откъдето C=0

Следователно конкретното решение има формата arc sin y=arc sin x, но синусите на еднакви дъги са равни един на друг

sin(arcsin y) = sin(arcsin x).

От което, по дефиницията на арксинуса, следва, че y = x.

Хомогенни диференциални уравнения

Определение 8.Диференциално уравнение на формата, което може да се сведе до формата, се нарича хомогенен.

За да се интегрират такива уравнения, се прави промяна на променливите, като се приеме . Това заместване води до диференциално уравнение за x и t, в което променливите са разделени, след което уравнението може да бъде интегрирано. За да получите окончателния отговор, променливата t трябва да бъде заменена с .

Например,реши уравнението

Решение. Нека пренапишем уравнението така:

получаваме:

След съкращаване с x 2 имаме:

Заменете t с:

Въпроси за преглед

1 Кое уравнение се нарича диференциално?

2 Назовете видовете диференциални уравнения.

3 Обяснете алгоритмите за решаване на всички посочени уравнения.

Пример 3

Решение:Пренаписваме производната във формата, от която се нуждаем:

Оценяваме дали е възможно да разделим променливите? Мога. Преместваме втория член от дясната страна с промяна на знака:

И прехвърляме множителите според правилото на пропорцията:

Променливите са разделени, нека интегрираме двете части:

Трябва да ви предупредя, че денят на страшния съд наближава. Ако не сте учили добре неопределени интеграли, са решили няколко примера, тогава няма къде да отидете - ще трябва да ги усвоите сега.

Интегралът на лявата страна е лесен за намиране; ние работим с интеграла на котангенса, използвайки стандартната техника, която разгледахме в урока Интегриране на тригонометрични функцииминалата година:

От дясната страна имаме логаритъм, според първата ми техническа препоръка, в този случай константата също трябва да бъде записана под логаритъма.

Сега се опитваме да опростим общия интеграл. Тъй като имаме само логаритми, е напълно възможно (и необходимо) да се отървем от тях. Ние „опаковаме“ логаритмите колкото е възможно повече. Опаковането се извършва с помощта на три свойства:

Моля, копирайте тези три формули в работната си тетрадка; те се използват много често при решаване на дифузи.

Ще опиша решението много подробно:

Опаковането е завършено, премахнете логаритмите:

Може ли да се изрази „игра“? Мога. Необходимо е да квадратирате и двете части. Но не е нужно да правите това.

Трети технически съвет:Ако за получаване на общо решение е необходимо да се повиши на степен или да се вкоренят, тогава В повечето случаитрябва да се въздържате от тези действия и да оставите отговора под формата на общ интеграл. Факт е, че общото решение ще изглежда претенциозно и ужасно - с големи корени, знаци.

Затова записваме отговора под формата на общ интеграл. Счита се за добра практика да представите общия интеграл във формата , тоест от дясната страна, ако е възможно, оставете само константа. Не е необходимо да правите това, но винаги е полезно да угодите на професора ;-)

Отговор:общ интеграл:

Забележка: Общият интеграл на всяко уравнение може да бъде записан по повече от един начин. Следователно, ако вашият резултат не съвпада с предварително известен отговор, това не означава, че сте решили уравнението неправилно.

Общият интеграл също е доста лесен за проверка, основното е да можете да намерите производни на функция, зададена имплицитно. Нека разграничим отговора:

Умножаваме двата члена по:

И разделете на:

Оригиналното диференциално уравнение е получено точно, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 4

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие. Извършете проверка.

Това е пример, който можете да решите сами. Позволете ми да ви напомня, че проблемът на Коши се състои от два етапа:
1) Намиране на общо решение.
2) Намиране на конкретно решение.

Проверката също се извършва на два етапа (вижте също Пример 2), трябва да:
1) Уверете се, че конкретното намерено решение наистина удовлетворява първоначалното условие.
2) Проверете дали конкретното решение като цяло удовлетворява диференциалното уравнение.

Пълно решение и отговор в края на урока.

Пример 5

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение , отговарящи на началното условие. Извършете проверка.

Решение:Първо, нека намерим общо решение. Това уравнение вече съдържа готови диференциали и следователно решението е опростено. Разделяме променливите:

Нека интегрираме уравнението:

Интегралът отляво е табличен, интегралът отдясно е взет метод за поставяне на функция под диференциалния знак:

Общият интеграл е получен; възможно ли е да се изрази успешно общото решение? Мога. Ние окачваме логаритми:

(Надявам се всички да разберат трансформацията, такива неща вече трябва да се знаят)

И така, общото решение е:

Нека намерим конкретно решение, отговарящо на даденото начално условие. В общото решение вместо „X“ заместваме нула, а вместо „Y“ заместваме логаритъма от две:

По-познат дизайн:

Заместваме намерената стойност на константата в общото решение.

Отговор:лично решение:

Проверка: Първо, нека проверим дали е изпълнено първоначалното условие:
- всичко е наред.

Сега нека проверим дали намереното конкретно решение изобщо удовлетворява диференциалното уравнение. Намиране на производната:

Нека да разгледаме оригиналното уравнение: – представя се в диференциали. Има два начина за проверка. Възможно е да се изрази диференциала от намерената производна:

Нека заместим намереното конкретно решение и получения диференциал в първоначалното уравнение :

Използваме основната логаритмична идентичност:

Получава се правилното равенство, което означава, че конкретното решение е намерено правилно.

Вторият метод за проверка е огледален и по-познат: от уравнението Нека изразим производната, за да направим това, разделяме всички части на:

И в преобразуваното DE заместваме полученото частично решение и намерената производна. В резултат на опростявания трябва да се получи и правилното равенство.

Пример 6

Решете диференциално уравнение. Представете отговора под формата на общ интеграл.

Това е пример, който можете да решите сами, пълно решение и отговор в края на урока.

Какви трудности чакат при решаването на диференциални уравнения с разделими променливи?

1) Не винаги е очевидно (особено за чайник), че променливите могат да бъдат разделени. Нека разгледаме един условен пример: . Тук трябва да извадите факторите от скоби: и да разделите корените: . Ясно е какво да правим по-нататък.

2) Трудности със самата интеграция. Интегралите често не са най-простите и ако има недостатъци в уменията за намиране неопределен интеграл, тогава ще е трудно с много дифузори. В допълнение, логиката „тъй като диференциалното уравнение е просто, нека интегралите да бъдат по-сложни“ е популярна сред съставителите на колекции и ръководства за обучение.

3) Трансформации с константа. Както всички са забелязали, можете да правите почти всичко с константа в диференциалните уравнения. И такива трансформации не винаги са разбираеми за начинаещ. Нека да разгледаме друг условен пример: . Препоръчително е да умножите всички термини по 2: . Получената константа също е някакъв вид константа, която може да бъде означена с: . Да, и тъй като от дясната страна има логаритъм, тогава е препоръчително да пренапишете константата под формата на друга константа: .

Проблемът е, че те често не се занимават с индекси и използват една и съща буква. И в резултат на това записът на решението приема следната форма:

Какво по дяволите е това? Има и грешки. Формално, да. Но неофициално - няма грешка; разбира се, че при преобразуване на константа все пак се получава някаква друга константа.

Или този пример, да предположим, че в хода на решаването на уравнението се получава общ интеграл. Този отговор изглежда грозен, така че е препоръчително да промените знаците на всички фактори: . Формално според записа пак има грешка, трябваше да се запише. Но неофициално се разбира, че това все още е някаква друга константа (нещо повече, тя може да приеме всякаква стойност), така че промяната на знака на константа няма смисъл и можете да използвате същата буква.

Ще се опитам да избегна небрежен подход и все пак ще присвоя различни индекси на константите, когато ги преобразувам.

Пример 7

Решете диференциално уравнение. Извършете проверка.

Решение:Това уравнение позволява разделяне на променливи. Разделяме променливите:

Нека интегрираме:

Не е необходимо да дефинирате константата тук като логаритъм, тъй като нищо полезно няма да излезе от това.

Отговор:общ интеграл:

Проверка: Разграничете отговора (имплицитна функция):

Отърваваме се от дроби, като умножим двата члена по:

Получено е оригиналното диференциално уравнение, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 8

Намерете конкретно решение на DE.
,

Това е пример, който можете да решите сами. Единственият коментар е, че тук получавате общ интеграл и, по-правилно казано, трябва да се опитате да намерите не конкретно решение, а частичен интеграл. Пълно решение и отговор в края на урока.

Както вече беше отбелязано, в дифузи с разделими променливи често се появяват не най-простите интеграли. И ето още няколко такива примера, които можете да решите сами. Препоръчвам на всички да решат примери № 9-10, независимо от нивото на подготовка, това ще им позволи да актуализират уменията си за намиране на интеграли или да попълнят пропуските в знанията.

Пример 9

Решете диференциално уравнение

Пример 10

Решете диференциално уравнение

Не забравяйте, че има повече от един начин да напишете общ интеграл и външният вид на вашите отговори може да се различава от външния вид на моите отговори. Кратко решение и отговори в края на урока.

Честита промоция!

Решения и отговори:

Пример 4:Решение: Нека намерим общо решение. Разделяме променливите:


Нека интегрираме:



Общият интеграл е получен; опитваме се да го опростим. Нека опаковаме логаритми и да се отървем от тях:

Ние изразяваме функцията изрично с помощта на .
Общо решение:

Нека намерим конкретно решение, което удовлетворява началното условие .
Метод първи, вместо „X“ заместваме 1, вместо „Y“ заместваме „e“:
.
Метод втори:

Заместете намерената стойност на константата в общо решение.
Отговор: лично решение:

Проверка: Проверяваме дали първоначалното условие наистина е изпълнено:
, да, първоначално състояние Свършен.
Проверяваме дали конкретното решение удовлетворява диференциално уравнение. Първо намираме производната:

Нека заместим полученото конкретно решение и намерената производна в първоначалното уравнение :

Получава се правилното равенство, което означава, че решението е намерено правилно.

Пример 6:Решение: Това уравнение позволява разделяне на променливи. Разделяме променливите и интегрираме:




Отговор: общ интеграл:

Забележка: тук можете да получите общо решение:

Но според третия ми технически съвет не е препоръчително да правите това, защото изглежда доста скапан отговор.

Пример 8:Решение: Това дистанционно управление дава възможност за разделяне на променливи. Разделяме променливите:



Нека интегрираме:


Общ интеграл:
Нека намерим частно решение (частичен интеграл), съответстващо на даденото начално условие . Заместете в общия разтвор И :

Отговор: Частичен интеграл:
По принцип отговорът може да бъде разресван и да получите нещо по-компактно. .