Уравнение в общите диференциали. Диференциални уравнения в тотални диференциали Общ интеграл на диференциално уравнение в тотални диференциали

Диференциал наречено уравнение на формата

П(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 ,

където лявата страна е общият диференциал на всяка функция на две променливи.

Нека означим неизвестната функция на две променливи (това трябва да се намери при решаване на уравнения в общите диференциали) с Еи скоро ще се върнем към него.

Първото нещо, на което трябва да обърнете внимание е, че от дясната страна на уравнението трябва да има нула, а знакът, свързващ двата члена от лявата страна, трябва да е плюс.

Второ, трябва да се спазва известно равенство, което потвърждава, че това диференциално уравнение е уравнение в общите диференциали. Тази проверка е задължителна част от алгоритъма за решаване на уравнения в общи диференциали (тя е във втория параграф на този урок), така че процесът на намиране на функция Едоста трудоемко и е важно да се уверим в началния етап, че не губим време.

И така, неизвестната функция, която трябва да се намери, се обозначава с Е. Сумата от частичните диференциали за всички независими променливи дава общия диференциал. Следователно, ако уравнението е общо диференциално уравнение, лявата страна на уравнението е сумата от частичните диференциали. Тогава по дефиниция

dF = П(x,y)dx + Q(x,y)dy .

Нека си припомним формулата за изчисляване на общия диференциал на функция от две променливи:

Решавайки последните две равенства, можем да напишем

Разграничаваме първото равенство по отношение на променливата "y", второто - по отношение на променливата "x":

което е условие дадено диференциално уравнение наистина да бъде пълно диференциално уравнение.

Алгоритъм за решаване на диференциални уравнения в тотални диференциали

Етап 1.Уверете се, че уравнението е общо диференциално уравнение. За да се изрази беше общият диференциал на някаква функция Е(x, y) е необходимо и достатъчно, така че . С други думи, трябва да вземете частната производна по отношение на хи частната производна по отношение на гдруг член и, ако тези производни са равни, тогава уравнението е общо диференциално уравнение.

Стъпка 2.Запишете система от частични диференциални уравнения, които съставят функцията Е:

Стъпка 3.Интегрирайте първото уравнение на системата - чрез х (г Е:

,
г.

Алтернативен вариант (ако е по-лесно да се намери интегралът по този начин) е да се интегрира второто уравнение на системата - чрез г (хостава константа и се изважда от интегралния знак). По този начин се възстановява и функцията Е:

,
където е все още неизвестна функция на х.

Стъпка 4.Резултатът от стъпка 3 (намереният общ интеграл) се диференцира с г(алтернативно - според х) и се приравнява към второто уравнение на системата:

и в алтернативен вариант - към първото уравнение на системата:

От полученото уравнение определяме (алтернативно)

Стъпка 5.Резултатът от стъпка 4 е интегриране и намиране (алтернативно намиране).

Стъпка 6.Заместете резултата от стъпка 5 в резултата от стъпка 3 - във функцията, възстановена чрез частично интегриране Е. Произволна константа ° Счесто се записва след знака за равенство - от дясната страна на уравнението. Така получаваме общо решение на диференциалното уравнение в общи диференциали. Той, както вече беше споменато, има формата Е(x, y) = ° С.

Примери за решения на диференциални уравнения в общи диференциали

Пример 1.

Етап 1. уравнение в общи диференциали хедин член от лявата страна на израза

и частната производна по отношение на гдруг термин
уравнение в общи диференциали .

Стъпка 2. Е:

Стъпка 3.от х (гостава константа и се изважда от интегралния знак). Така възстановяваме функцията Е:

където е все още неизвестна функция на г.

Стъпка 4. г

Стъпка 5.

Стъпка 6. Е. Произволна константа ° С :
.

Каква грешка е най-вероятно да възникне тук? Най-честите грешки са да се вземе частичен интеграл върху една от променливите за обичайния интеграл на продукт от функции и да се опита да се интегрира по части или заместваща променлива, а също и да се вземе частната производна на два фактора като производна на произведение на функции и потърсете производната по съответната формула.

Това трябва да се помни: когато се изчислява частичен интеграл по една от променливите, другата е константа и се изважда от знака на интеграла, а когато се изчислява частичната производна по една от променливите, другата също е константа и производната на израза се намира като производната на „действащата“ променлива, умножена по константата.

Между уравнения в общи диференциали Не е необичайно да се намерят примери с експоненциална функция. Това е следващият пример. Забележително е и с факта, че решението му използва алтернативна опция.

Пример 2.Решете диференциално уравнение

Етап 1.Нека се уверим, че уравнението е уравнение в общи диференциали . За да направим това, намираме частната производна по отношение на хедин член от лявата страна на израза

и частната производна по отношение на гдруг термин
. Тези производни са равни, което означава, че уравнението е уравнение в общи диференциали .

Стъпка 2.Нека напишем система от частични диференциални уравнения, които съставят функцията Е:

Стъпка 3.Нека интегрираме второто уравнение на системата - по г (хостава константа и се изважда от интегралния знак). Така възстановяваме функцията Е:

където е все още неизвестна функция на х.

Стъпка 4.Ние диференцираме резултата от стъпка 3 (намерения общ интеграл) по отношение на х

и се приравнява към първото уравнение на системата:

От полученото уравнение определяме:
.

Стъпка 5.Интегрираме резултата от стъпка 4 и намираме:
.

Стъпка 6.Заместваме резултата от стъпка 5 в резултата от стъпка 3 - във функцията, възстановена чрез частично интегриране Е. Произволна константа ° Спишете след знака за равенство. Така получаваме общата сума решаване на диференциално уравнение в общи диференциали :
.

В следващия пример се връщаме от алтернативна опция към основната.

Пример 3.Решете диференциално уравнение

Етап 1.Нека се уверим, че уравнението е уравнение в общи диференциали . За да направим това, намираме частната производна по отношение на гедин член от лявата страна на израза

и частната производна по отношение на хдруг термин
. Тези производни са равни, което означава, че уравнението е уравнение в общи диференциали .

Стъпка 2.Нека напишем система от частични диференциални уравнения, които съставят функцията Е:

Стъпка 3.Нека интегрираме първото уравнение на системата - от х (гостава константа и се изважда от интегралния знак). Така възстановяваме функцията Е:

където е все още неизвестна функция на г.

Стъпка 4.Ние диференцираме резултата от стъпка 3 (намерения общ интеграл) по отношение на г

и се приравнява към второто уравнение на системата:

От полученото уравнение определяме:
.

Стъпка 5.Интегрираме резултата от стъпка 4 и намираме:

Пример 4.Решете диференциално уравнение

Етап 1.Нека се уверим, че уравнението е уравнение в общи диференциали . За да направим това, намираме частната производна по отношение на гедин член от лявата страна на израза

и частната производна по отношение на хдруг термин
. Тези производни са равни, което означава, че уравнението е общо диференциално уравнение.

Стъпка 2.Нека напишем система от частични диференциални уравнения, които съставят функцията Е:

където е все още неизвестна функция на г.

От полученото уравнение определяме:
.

Стъпка 5.Интегрираме резултата от стъпка 4 и намираме:

Пример 5.Решете диференциално уравнение

В тази тема ще разгледаме метода за възстановяване на функция от нейния пълен диференциал и ще дадем примери за задачи с пълен анализ на решението.

Случва се диференциалните уравнения (DE) от формата P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 да съдържат пълни диференциали на някои функции от лявата страна. Тогава можем да намерим общия интеграл на диференциалното уравнение, ако първо реконструираме функцията от нейния пълен диференциал.

Пример 1

Разгледайте уравнението P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Лявата страна съдържа диференциала на определена функция U(x, y) = 0. За да направите това, трябва да бъде изпълнено условието ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Общият диференциал на функцията U (x, y) = 0 има формата d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Като вземем предвид условието ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x получаваме:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Чрез трансформиране на първото уравнение от получената система от уравнения, можем да получим:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Можем да намерим функцията φ (y) от второто уравнение на получената по-рано система:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Ето как намерихме желаната функция U (x, y) = 0.

Пример 2

Намерете общото решение на диференциалното уравнение (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

Решение

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Нека проверим дали условието ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x е изпълнено:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Нашето условие е изпълнено.

Въз основа на изчисленията можем да заключим, че лявата страна на оригиналното диференциално уравнение е общият диференциал на някаква функция U (x, y) = 0. Трябва да намерим тази функция.

Тъй като (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y е общият диференциал на функцията U (x, y) = 0, тогава

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Нека интегрираме първото уравнение на системата по отношение на x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Сега диференцираме получения резултат по отношение на y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Преобразувайки второто уравнение на системата, получаваме: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Означава, че
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

където C е произволна константа.

Получаваме: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Общият интеграл на оригиналното уравнение е x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Нека да разгледаме друг метод за намиране на функция с помощта на известен общ диференциал. Това включва използването на криволинеен интеграл от фиксирана точка (x 0, y 0) до точка с променливи координати (x, y):

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

В такива случаи стойността на интеграла не зависи по никакъв начин от пътя на интегриране. За път на интегриране можем да приемем прекъсната линия, чиито връзки са разположени успоредно на координатните оси.

Пример 3

Намерете общото решение на диференциалното уравнение (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Решение

Нека проверим дали условието ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x е изпълнено:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Оказва се, че лявата страна на диференциалното уравнение е представена от общия диференциал на някаква функция U (x, y) = 0. За да се намери тази функция, е необходимо да се изчисли линейният интеграл на точката (1 ; 1) преди (x, y). Нека вземем като път на интегриране начупена линия, участъци от която ще минават по права линия y = 1от точка (1, 1) до (x, 1) и след това от точка (x, 1) до (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Получихме общо решение на диференциално уравнение от вида x y - x y 2 + C = 0.

Пример 4

Определете общото решение на диференциалното уравнение y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Решение

Нека проверим дали условието ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x е изпълнено.

Тъй като ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, тогава условието няма да бъде изпълнено. Това означава, че лявата страна на диференциалното уравнение не е пълният диференциал на функцията. Това е диференциално уравнение с разделими променливи и други решения са подходящи за решаването му.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Определение 8.4.Диференциално уравнение на формата

Където
се нарича пълно диференциално уравнение.

Обърнете внимание, че лявата страна на такова уравнение е общият диференциал на някаква функция
.

Най-общо уравнение (8.4) може да бъде представено като

Вместо уравнение (8.5), можем да разгледаме уравнението

чието решение е общият интеграл на уравнение (8.4). По този начин, за да се реши уравнение (8.4), е необходимо да се намери функцията
. В съответствие с дефиницията на уравнение (8.4) имаме

(8.6)

функция
ще търсим функция, която удовлетворява едно от тези условия (8.6):

Където - произволна функция, независима от .

функция
се дефинира така, че второто условие на израз (8.6) да е изпълнено

(8.7)

От израз (8.7) се определя функцията
. Замествайки го в израза за
и да получим общия интеграл на първоначалното уравнение.

Задача 8.3.Интегриране на уравнение

Тук
.

Следователно това уравнение принадлежи към типа диференциални уравнения в общите диференциали. функция
ще го търсим във формата

От друга страна,

В някои случаи състоянието
може да не се изпълни.

След това такива уравнения се свеждат до разглеждания тип чрез умножаване по така наречения интегриращ фактор, който в общия случай е само функция или .

Ако някое уравнение има интегриращ фактор, който зависи само от , тогава се определя по формулата

къде е връзката трябва да бъде само функция .

По същия начин интегриращият фактор зависи само от , се определя по формулата

къде е връзката
трябва да бъде само функция .

Отсъствие в дадените отношения, в първия случай, на променливата , а във втория - променливата , са знак за съществуването на интегриращ фактор за дадено уравнение.

Задача 8.4.Редуцирайте това уравнение до уравнение в общите диференциали.

Помислете за връзката:

Тема 8.2. Линейни диференциални уравнения

Определение 8.5. Диференциално уравнение
се нарича линейна, ако е линейна по отношение на желаната функция , негова производна и не съдържа произведението на търсената функция и нейната производна.

Общата форма на линейно диференциално уравнение е представена от следната връзка:

(8.8)

Ако във връзка (8.8) дясната страна
, тогава такова уравнение се нарича линейно хомогенно. В случай, че дясната страна
, тогава такова уравнение се нарича линейно нехомогенно.

Нека покажем, че уравнение (8.8) може да бъде интегрирано в квадратури.

На първия етап разглеждаме линейно хомогенно уравнение.

Такова уравнение е уравнение с разделими променливи. Наистина ли,

;

Последната връзка определя общото решение на линейно хомогенно уравнение.

За намиране на общо решение на линейно нехомогенно уравнение се използва методът за промяна на производната на константа. Идеята на метода е, че общото решение на линейно нехомогенно уравнение е в същата форма като решението на съответното хомогенно уравнение, но произволна константа заменен с някаква функция
да се определи. Така че имаме:

(8.9)

Замествайки във връзка (8.8) съответните изрази
И
, получаваме

Замествайки последния израз във връзка (8.9), получаваме общия интеграл на линейното нееднородно уравнение.

Така общото решение на линейно нехомогенно уравнение се определя от две квадратури: общото решение на линейно хомогенно уравнение и частно решение на линейно нехомогенно уравнение.

Задача 8.5.Интегриране на уравнение

По този начин изходното уравнение принадлежи към типа линейни нехомогенни диференциални уравнения.

На първия етап ще намерим общо решение на линейно хомогенно уравнение.

;

На втория етап определяме общото решение на линейното нехомогенно уравнение, което се намира във формата

Където
- функция за определяне.

Така че имаме:

Заместване на отношенията за И в първоначалното линейно нехомогенно уравнение получаваме:

;

Общото решение на линейно нехомогенно уравнение ще има формата:

Постановка на проблема в двумерен случай

Възстановяване на функция на няколко променливи от нейния общ диференциал

9.1. Постановка на проблема в двумерен случай. 72

9.2. Описание на решението. 72

Това е едно от приложенията на криволинейния интеграл от втори род.

Даден е изразът за общия диференциал на функция от две променливи:

Намиране на функция.

1. Тъй като не всеки израз на формата е пълен диференциал на някаква функция U(х,г), тогава е необходимо да се провери коректността на постановката на проблема, тоест да се провери необходимото и достатъчно условие за общия диференциал, който за функция от 2 променливи има формата . Това условие следва от еквивалентността на твърдения (2) и (3) в теоремата от предишния раздел. Ако посоченото условие е изпълнено, тогава проблемът има решение, тоест функция U(х,г) могат да бъдат възстановени; ако условието не е изпълнено, тогава проблемът няма решение, тоест функцията не може да бъде възстановена.

2. Можете да намерите функция от нейния пълен диференциал, например, като използвате криволинеен интеграл от втори вид, като го изчислите от линия, свързваща фиксирана точка ( х 0 ,г 0) и променлива точка ( x;y) (Ориз. 18):

Така се получава, че криволинейният интеграл от втория вид на общия диференциал dU(х,г) е равно на разликата между стойностите на функцията U(х,г) в крайната и началната точка на линията на интегриране.

Знаейки този резултат сега, трябва да заместим dUв криволинейния интегрален израз и изчислете интеграла по прекъснатата линия ( ACB), като се има предвид неговата независимост от формата на линията на интегриране:

На ( A.C.): На ( NE) :

(1)

Така се получава формула, с помощта на която се възстановява функция на 2 променливи от общия й диференциал.

3. Възможно е да се възстанови функция от нейния пълен диференциал само до постоянен член, тъй като д(U+ const) = dU. Следователно в резултат на решаването на проблема получаваме набор от функции, които се различават една от друга с постоянен термин.

Примери (възстановяване на функция на две променливи от нейния общ диференциал)

1. Намерете U(х,г), Ако dU = (х 2 – г 2)dx – 2xydy.

Проверяваме условието за общия диференциал на функция от две променливи:

Пълното диференциално условие е изпълнено, което означава функцията U(х,г) могат да бъдат възстановени.

Проверка: – вярно.

Отговор: U(х,г) = х 3 /3 – xy 2 + ° С.

2. Намерете функция, такава че

Проверяваме необходимите и достатъчни условия за пълния диференциал на функция от три променливи: , , , ако изразът е даден.

В проблема, който се решава

всички условия за пълен диференциал са изпълнени, следователно функцията може да бъде възстановена (задачата е формулирана правилно).

Ще възстановим функцията с помощта на криволинеен интеграл от втори род, като го изчислим по определена линия, свързваща фиксирана точка и променлива точка, тъй като

(това равенство се извежда по същия начин, както в двумерния случай).

От друга страна, криволинейният интеграл от втори вид от пълен диференциал не зависи от формата на линията на интегриране, така че е най-лесно да се изчисли по начупена линия, състояща се от сегменти, успоредни на координатните оси. В този случай като фиксирана точка можете просто да вземете точка със специфични числени координати, като следите само, че в тази точка и по цялата линия на интегриране е изпълнено условието за съществуване на криволинейна интегрална част (т.е. така че функциите и са непрекъснати). Като вземем предвид тази забележка, в тази задача можем да вземем например точката M 0 за неподвижна точка. Тогава на всяка от връзките на прекъснатата линия ще имаме

10.2. Изчисляване на повърхностен интеграл от първи род. 79

10.3. Някои приложения на повърхностния интеграл от първи род. 81

някои функции. Ако възстановим функция от нейния пълен диференциал, ще намерим общия интеграл на диференциалното уравнение. По-долу ще говорим за метод за възстановяване на функция от нейния пълен диференциал.

Лявата страна на диференциалното уравнение е общият диференциал на някаква функция U(x, y) = 0, ако условието е изпълнено.

защото пълна диференциална функция U(x, y) = 0Това , което означава, че когато условието е изпълнено, се посочва, че .

Тогава, .

От първото уравнение на системата получаваме . Намираме функцията, използвайки второто уравнение на системата:

Така ще намерим желаната функция U(x, y) = 0.

Пример.

Нека намерим общо решение на DE .

Решение.

В нашия пример. Условието е изпълнено, защото:

Тогава лявата страна на първоначалното диференциално уравнение е общият диференциал на някаква функция U(x, y) = 0. Трябва да намерим тази функция.

защото е общият диференциал на функцията U(x, y) = 0, означава:

Ние се интегрираме от х 1-во уравнение на системата и диференцирайте по отношение на грезултат:

От второто уравнение на системата получаваме . означава:

Където СЪС- произволна константа.

Така общият интеграл на даденото уравнение ще бъде .

Има и втори метод за изчисляване на функция от нейния пълен диференциал. Състои се от вземане на линейния интеграл от фиксирана точка (x 0, y 0)до точка с променливи координати (x, y): . В този случай стойността на интеграла не зависи от пътя на интегриране. Удобно е като път на интегриране да се вземе прекъсната линия, чиито връзки са успоредни на координатните оси.

Пример.

Нека намерим общо решение на DE .

Решение.

Проверяваме изпълнението на условието:

Така лявата страна на диференциалното уравнение е пълният диференциал на някаква функция U(x, y) = 0. Нека намерим тази функция, като изчислим криволинейния интеграл на точката (1; 1) преди (x, y). Като път на интеграция приемаме начупена линия: първият участък на начупената линия се прекарва по права линия y = 1от точка (1, 1) преди (x, 1), вторият участък от пътя отнема сегмент от права линия от точката (x, 1)преди (x, y):

И така, общото решение на дистанционното управление изглежда така: .

Пример.

Нека определим общото решение на DE.

Решение.

защото , което означава, че условието не е изпълнено, тогава лявата страна на диференциалното уравнение няма да бъде пълен диференциал на функцията и трябва да използвате втория метод на решение (това уравнение е диференциално уравнение с разделими променливи).