Какъв ъгъл (в градуси) образуват минутната и часовата стрелка, когато часовникът показва точно 8 часа?
Решението на проблема
Този урок показва как да използвате свойствата на кръг в задачи с часовников циферблат (определяне на ъглите между часовата и минутната стрелка). Когато решаваме задачата, използваме свойството на окръжност: пълното завъртане на окръжност е 360 градуса. Имайки предвид, че циферблатът е разделен на 12 равни часа, можете лесно да определите колко градуса отговарят на един час. По-нататъшното решение се свежда до правилно определяне на разликата в часовете между минутната и часовата стрелка и извършване на просто умножение. Когато решаваме задачи, трябва ясно да се разбере, че ние разглеждаме позицията на часовата и минутната стрелка спрямо позицията им спрямо прекъсванията на часовника, т.е. от 1 до 12.
Решението на тази задача се препоръчва за ученици от 7 клас при изучаване на темата „Триъгълници“ („Окръжност. Типични задачи“), за ученици от 8 клас при изучаване на темата „Окръжност“ („Относително положение на права линия и окръжност“ , „Централен ъгъл. Градусна мярка на дъгата на окръжност“), за ученици от 9 клас при изучаване на темата „Дължина на окръжност и площ на окръжност“ („Окръжност, описана около правилен многоъгълник“). Когато се подготвяте за OGE, урокът се препоръчва за преглед на темите „Обиколка“, „Дължина на кръга и площ на кръга“.
Часов ъгъл
двустенен ъгъл между равнините на небесния меридиан и кръга на деклинацията, една от екваториалните координати в астрономията. Обикновено се брои в часови единици в двете посоки от южната част на небесния меридиан (от 0 до +12 часа на запад и до -12 часа на изток).
Астрономически речник. EdwART. 2010 г.
Вижте какво е „часов ъгъл“ в други речници:
Голям енциклопедичен речник
Небесната координатна система се използва в астрономията, за да опише положението на светилата в небето или точките върху въображаема небесна сфера. Координатите на светилата или точките се определят от две ъглови стойности (или дъги), които еднозначно определят позицията... ... Wikipedia
Двустенният ъгъл между равнините на небесния меридиан и кръга на деклинацията, една от екваториалните координати в астрономията. Обикновено се брои в часови единици в двете посоки от южната част на небесния меридиан (от 0 до +12 часа на запад и до 12 часа до ... ... енциклопедичен речник
часови ъгъл- valandų kampas statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. часови ъгъл вок. Стюнденвинкел, м рус. часов ъгъл, м пранц. angle horaire, m … Fizikos terminų žodynas
Двустенният ъгъл между равнините на небесния меридиан и кръга на деклинацията, една от екваториалните координати в астрономията. Обикновено се измерва на час в двете посоки от юг. части от небесния меридиан (от 0 до + 12 часа до 3. и до 12 часа до E.) ... Естествени науки. енциклопедичен речник
Една от координатите в екваториалната небесна координатна система; стандартно обозначение t. Вижте небесните координати... Велика съветска енциклопедия
Вижте небесните координати... Голям енциклопедичен политехнически речник
Нека отново се обърнем към училищните задачи и задачите за разузнаване. Една от тези задачи е да разберете какъв ъгъл образуват минутната и часовата стрелка помежду си на механичен часовник в 16 часа 38 минути или една от вариациите е да разберете колко време ще има след началото на първия ден когато часовата и минутната стрелка образуват ъгъл от 70 градуса.
Или най-общо казано "намерете ъгъла между часовата и минутната стрелка"(със)
Най-простият въпрос, на който много хора успяват да дадат грешен отговор. Какъв е ъгълът между часовата и минутната стрелка на часовник в 15:15?
Отговорът нула градуса не е правилният отговор :)
Нека да го разберем.
За 60 минути минутната стрелка прави пълен оборот около циферблата, тоест завърта се на 360 градуса. За същото време (60 минути) часовата стрелка ще измине само една дванадесета от кръга, тоест ще се премести с 360/12 = 30 градуса
Що се отнася до минутата, всичко е много просто. Компилиране пропорция минутите са свързани с изминатия ъгъл, тъй като пълното завъртане (60 минути) е на 360 градуса.
По този начин ъгълът, изминат от минутната стрелка, ще бъде минути/60*360 = минути*6
В резултат на това заключението Всяка изминала минута премества стрелката за минути с 6 градуса
Страхотен! Сега какво да кажем за часовия. Но принципът е същият, само че трябва да намалите времето (часове и минути) до части от час.
Например 2 часа и 30 минути са 2,5 часа (2 часа и половина), 8 часа и 15 минути са 8,25 (8 часа и една четвърт час), 11 часа 45 минути са 11 часа и три четвърти час, т.е. е 8,75)
По този начин ъгълът, изминат от стрелката на часовника, ще бъде часове (в части от час) * 360,12 = часове * 30
И като следствие заключението Всеки изминал час премества часовата стрелка с 30 градуса
ъгъл между стрелките = (час+(минути /60))*30 минути*6
Където час+(минути /60)- това е позицията по часовниковата стрелка
Така отговорът на проблема: какъв ъгъл ще направят стрелките, когато часовникът показва 15 часа и 15 минути, ще бъде както следва:
15 часа и 15 минути е еквивалентно на позицията на стрелките на 3 часа и 15 минути и по този начин ъгълът ще бъде (3+15/60)*30-15*6=7,5 градуса
Определете времето по ъгъла между стрелките
Тази задача е по-трудна, тъй като ще я решим в обща форма, тоест ще определим всички двойки (час и минута), когато образуват даден ъгъл.
И така, нека си припомним. Ако времето е изразено като ЧЧ:ММ (час:минута), тогава ъгълът между стрелките се изразява по формулата
Сега, ако означим ъгъла с буквата Uи преобразуваме всичко в алтернативна форма, получаваме следната формула
Или, като се отървем от знаменателя, получаваме основната формула, свързваща ъгъла между две стрелки и позициите на тези стрелки върху циферблата.
имайте предвид, че ъгълът може да бъде и отрицателен, т.е. о, в рамките на един час можем да срещнем същия ъгъл два пъти, например ъгъл от 7,5 градуса може да бъде в 15 часа 15 минути и 15 часа и 17,72727272 минути
Ако, както в първата задача, ни е даден ъгъл, тогава получаваме уравнение с две променливи. По принцип не може да бъде решен, освен ако не се приеме условието, че часът и минутата могат да бъдат само цели числа.
При това условие получаваме класическото диофантиново уравнение. Решението на което е много просто. Засега няма да ги разглеждаме, а веднага ще представим окончателните формули
където k е произволно цяло число.
Естествено вземаме резултата от часовете по модул 24 и резултата от минутите по модул 60
Нека преброим всички опции, когато часовата и минутната стрелка съвпадат? Тоест, когато ъгълът между тях е 0 градуса.
Знаем най-малко две такива точки: 0 часа и 0 минути и 12 часа на обяд 0 минути. Ами останалите??
Нека създадем таблица, показваща позициите на стрелките, когато ъгълът между тях е нула градуса
Опа! на третия ред имаме грешка на 10 часа, стрелките не съвпадат Това се вижда като се погледне циферблата. Какъв е проблема?? Изглежда, че всичко е изчислено правилно.
Но целият въпрос е, че в интервала между 10 и 11 часа, за да съвпаднат минутната и часовата стрелка, минутната стрелка трябва да е някъде в дробната част на минутата.
Това може лесно да се провери с помощта на формулата, като замените числото нула вместо ъгъла и числото 10 вместо часа
получаваме, че минутната стрелка ще се намира между (!!) деления 54 и 55 (точно на позиция 54.545454 минути).
Ето защо последните ни формули не проработиха, тъй като предположихме, че часовете и минутите са цели числа(!).
Проблеми, които се появяват на Единния държавен изпит
Ще разгледаме проблеми, чиито решения са налични в интернет, но ще поемем по различен път. Може би това ще улесни тази част от учениците, които търсят прост и лесен начин за решаване на проблеми.
В крайна сметка, колкото повече различни варианти за решаване на проблеми, толкова по-добре.
Значи знаем само една формула и ще използваме само нея.
Часовникът със стрелки показва 1 час и 35 минути. След колко минути минутната стрелка ще се изравни с часовата за десети път?
Разсъжденията на „решаващите“ на други интернет ресурси ме направиха малко уморен и объркан. За тези „уморени“ като мен, ние решаваме този проблем по различен начин.
Нека да определим кога през първия (1) час минутната и часовата стрелка съвпадат (ъгъл 0 градуса)? Заместваме известните числа в уравнението и получаваме
тоест 1 час и почти 5,5 минути. по-рано ли е от 1 час и 35 минути? да Чудесно, тогава не вземаме предвид този час при по-нататъшни изчисления.
Трябва да намерим 10-то съвпадение на минутната и часовата стрелка, започваме да анализираме:
за първи път часовата стрелка ще бъде на 2 часа и колко минути,
втория път в 3 часа и колко минути
за осми път в 9 часа и няколко минути
за девети път в 10 часа и няколко минути
за девети път в 11 часа и няколко минути
Сега остава само да намерим къде ще бъде минутната стрелка на 11 часа, така че стрелките да съвпадат
И сега умножаваме 10 пъти оборота (което е всеки час) по 60 (преобразувайки в минути) и получаваме 600 минути. и изчислете разликата между 60 минути и 35 минути (които са посочени)
Крайният отговор беше 625 минути.
Q.E.D. Няма нужда от уравнения, пропорции или коя от стрелките с каква скорост се е движила. Всичко е сърма. Достатъчно е да знаете една формула.
Една по-интересна и сложна задача звучи така. В 20 часа ъгълът между часовата и минутната стрелка е 31 градуса. Колко време стрелката ще показва времето, след като минутната и часовата стрелка образуват прав ъгъл 5 пъти?
Така че в нашата формула два от трите параметъра отново са известни: 8 и 31 градуса. Определяме минутната стрелка с помощта на формулата и получаваме 38 минути.
Кога е най-близкият момент, когато стрелките ще образуват прав (90 градуса) ъгъл?
Тоест в 8 часа 27,27272727 минути това е първият прав ъгъл в този час, а в 8 часа и 60 минути това е вторият прав ъгъл в този час.
Първият прав ъгъл вече е изминал спрямо даденото време, така че не го броим.
Първите 90 градуса в 8 часа 60 минути (можем да кажем точно в 9-00) - веднъж
в 9 часа и колко минути - това са две
в 10 часа и колко минути са три
отново в 10 и колко минути са 4, така че има две съвпадения в 10 часа
и в 11 часа и колко минути са пет.
Още по-лесно е, ако използваме бот. Въведете 90 градуса и получете следната таблица
| Време на циферблата, когато ще бъде посоченият ъгъл | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
т.е. в 11 часа 10.90 минути ще има едва пети път, когато отново се образува прав ъгъл между часовата и минутната стрелка.