Силата на всемирната гравитация. Закон за гравитацията

В началото на 17 век хелиоцентричната система на света е призната от повечето учени. По това време обаче причините и законите, по които се движат планетите, не са били разбрани.

И. Кеплер обработва резултатите от много свои наблюдения и тези на своя колега Т. Брахе и формулира законите за движението на планетите около Слънцето. Стана ясно, че за да се обяснят законите на Кеплер, е необходимо да се определи какви сили действат на планетите. Но Кеплер и неговите съвременници не успяха да постигнат това. Проблемът е решен от И. Нютон.

Приблизително можем да приемем, че планетите се движат равномерно по орбити, близки до окръжности. При този тип движение на материална точка тя има центростремително ускорение, което е насочено към центъра на орбитата (за планета центростремителното ускорение е насочено към Слънцето). От втория закон на Нютон следва, че върху планетата действа определена сила, която генерира нормално ускорение. Оказва се, че Слънцето действа на всяка планета със сила, насочена към нейния център. В съответствие с третия закон на Нютон планетата действа върху Слънцето със сила, равна по големина на предишната сила, но в обратна посока.

Закон за гравитацията

Знаем, че Луната се върти около Земята. Луната привлича Земята, Земята привлича Луната. И. Нютон предположи, че силата на гравитацията, с която Земята привлича всички тела в близост до нейната повърхност, и силата, с която привлича Луната, имат един и същи произход. Нютон сравнява гравитационното ускорение ($g=9.81\ \frac(m)(s^(2\ ))$ близо до повърхността на Земята) и центростремителното ускорение ($a_n$), които Луната има, докато се движи по своята орбита. Нютон установи, че нормалното ускорение на Луната е равно на $a_n=2,72\cdot (10)^(-3)\frac(m)(s^2)$. Нютон обясни несъответствието в стойностите с факта, че силата на гравитацията намалява с увеличаване на разстоянието между привличащите се тела. Ускорението, причинено от гравитацията, намалява обратно пропорционално на квадрата на разстоянието ($r$) между телата:

където $K=const$.

Формулиране на закона за всемирното привличане

Анализът на нормалното ускорение на Луната при движение близо до Земята позволи на И. Нютон да заключи, че всички тела в природата се привличат от определени сили, които се наричат гравитационни сили.

Да приемем, че имаме две тела, чиито маси са равни на $m_1$ и $m_2$. Те са разположени на разстояние $r$ едно от друго. Тези тела взаимодействат помежду си със сили:

\[\ F_1=m_1a_1и\ F_2=m_2a_2\вляво(2\вдясно)\]

Според третия закон на Нютон имаме:

\[\left|F_1\right|=\left|F_2\right|\left(3\right).\]

Като вземем предвид израз (1), получаваме:

Израз (4) ще бъде изпълнен, ако $K_1=\gamma m_2,$ и $K_2=\gamma m_1,$ където $\gamma $ =const. Тоест получихме това:

Формула (5) е математически израз на закона за всемирното притегляне: Силата на гравитацията между две материални точки е право пропорционална на техните маси и обратно пропорционална на квадрата на разстоянието между тях.

За точно изчисляване на силата на взаимно привличане формула (5) може да се приложи само ако телата са хомогенни топки, чиито маси са равни на $m_(1\ ) и\ m_2$, а $r$ е разстоянието между центровете им.

Гравитационна константа

Коефициентът $\gamma $ се нарича гравитационна константа. В Международната система от единици (система SI) е равно на $\gamma \приблизително 6,67\cdot (10)^(-11)\frac(m^3)(s^2\cdot kg).\ $ Гравитационният константа е числено равна на силата на взаимодействие на материални точки с маса един килограм, разположени на разстояние един метър. Гравитационната константа се намира експериментално.

Един от първите експерименти за измерване на силата на гравитацията в лабораторни условия е извършен от Кавендиш. Така е определена гравитационната константа.

Примери за задачи с решения

Пример

Упражнение.Каква е същността на експеримента на Кавендиш за измерване на силата на гравитацията?

Решение.Да направим рисунка.

За да проведе експеримента, Кавендиш използва торсионна везна (фиг. 1). Лек прът беше окачен на тънка кварцова нишка.

Малко огледало беше здраво закрепено към конеца. Лъч светлина удари огледалото, отрази се от него и падна върху кантара. Ако прътът се въртеше, лъчът се движеше по скалата. Така се отбелязва ъгълът на усукване на конеца. Две оловни топки, всяка с маса $m$, бяха прикрепени към краищата на пръта. Към тези топки бяха донесени две симетрично разположени оловни топки с маси $M$. Нишката се усуква до момента, в който еластичната сила на деформираната нишка не балансира силата на гравитационното взаимодействие между топките. Силата на взаимодействие се измерва чрез ъгъла на усукване на нишката. Познавайки масите на топките и разстоянието между центровете им, се изчислява гравитационната константа.

Упражнение.Две еднакви хомогенни железни топки се допират една в друга (фиг. 2). Радиусът на всяка топка е $R=0,1$ m. Каква е гравитационната сила, действаща между тези топки?

Решение.Да направим рисунка.

Основата за решаването на проблема е законът за всемирното привличане:

където $m_1=m_2=m$ са масите на всяка от топките, тогава записваме закона за гравитацията във формата:

Разстоянието между центровете на топките (фиг. 2) е равно на: $r=2R.$ Намираме масите на топките като:

Преобразуваме формула (2.2), както следва:

За да изчислим силата на гравитацията, намираме в справочниците плътността на желязото ($\rho =7800\ \frac(kg)(m^3)$). Гравитационната константа е равна на: $\gamma =6,67\cdot (10)^(-11)\frac(m^3)(s^2\cdot kg).$ Нека извършим изчисленията:

отговор.$F=1,78\cdot (10)^(-6)$Н

Нека първо дефинираме закона на Нютон за всемирното привличане и основните величини, използвани в него, а след това да помислим какво точно е довело до откриването на този закон и дали наистина дължим появата на това най-голямо откритие на ябълката.

1. Между всеки две материални точки съществуват сили на взаимно привличане, право пропорционални на произведението на масите на тези точки и обратно пропорционални на квадрата на разстоянието между тях

Е 12 = g (m 1 m 2 /R 2) Р 12/R

Къде Е 12 - гравитационна сила, действаща върху точка с маса m 1, Р 12 - радиус вектор, изтеглен от тази точка до точка с маса m 2, R = | Р 12 | - разстояние между точките. Коефициентът  се нарича гравитационна константа (константа на гравитацията).Числено е равна на силата на взаимно привличане между две материални точки, които имат еднакви маси, равни на единица маса и разположени една от друга на разстояние, равно на единица дължина. Гравитационната константа се определя експериментално. Числената му стойност зависи само от избора на системата от мерни единици:

g = 6,67*10 -11 N*m 2 /kg 2 = g = 6,67*10 -8 dynes*cm 2 /g 2

Според третия закон на Нютон силата Е 21, действаща върху материална точка с маса m 2 е числено равна на силата Е 12, но насочен в обратна посока:

Е 12 = - Е 21

2. Теглотяло се нарича силата P, с която тяло, неподвижно спрямо Земята, притиска опората поради привличането си към Земята. Теглото на тялото е равно на разликата на векторната сила Егравитация на тялото към Земята и центростремителна сила Е c, което определя участието на тялото в дневното въртене на Земята:

П = Е - ЕВ

F c = mw 2 Rcos j,

където m - телесна маса, w е ъгловата скорост на дневното въртене на Земята, R е радиусът на Земята и j е географската ширина на мястото на наблюдение А.

На географските полюси (j = 90°) F C = 0 и теглото на тялото е равно на силата на привличането му към Земята. Поради факта, че радиусът и центростремителната сила на Земята зависят от географската ширина, теглото на телата е максимално на полюсите и минимално на екватора. Тази разлика обаче не надвишава 0,55%. Следователно в много технически проблеми може да се пренебрегне влиянието на ежедневното въртене на Земята върху теглото на тялото и разликата във формата му от сферична.

Център на тежесттана тяло се нарича точка на приложение на резултантните сили на теглото на всички частици на това тяло. Центърът на тежестта на тялото съвпада с неговия инерционен център.

3. Свободно паданее движение на тяло под действието на една сила, равна на теглото му. Ускорението на свободното падане е еднакво за всички тела и, подобно на теглото им, зависи от географската ширина и надморската височина. Стандартна (нормална) g стойност,се приема за барометрични изчисления и при конструиране на системи от единици е равна на 9,80665 m/s 2 .

Законът за всемирното притегляне е открит от англичанина И. Нютон през 1666 г. Законът гласи така: силата на гравитационното привличане между две материални точки е право пропорционална на произведението на техните маси и обратно пропорционална на квадрата на разстоянието между тях.

Законът е валиден и за разширени тела със сферично симетрично разпределение на масата, като r е разстоянието между центровете на симетрия на телата. При несферичните тела законът се спазва приблизително и колкото по-голямо е разстоянието между телата (между центровете им на маса) спрямо размера на телата, толкова по-точно.

Ние знаем всичко това добре и изглежда, че без математически изчисления няма какво повече да се добави. Но това не е вярно. В астрономията например е много важно да се проследят определени явления и да се направят определени изводи и следствия от този закон.

Според формулата F = G*m 1 *m 2 /r 2

където r е разстоянието между телата, а G е гравитационната константа, силата на привличане е пропорционална на масите и обратно пропорционална на квадрата на разстоянието. Но масата е пропорционална на куба на линейния размер на тялото. Това означава, че ако размерите на телата и разстоянията между тях (при запазване на тяхната плътност) се увеличат пропорционално, например 10 пъти, тогава масите им ще се увеличат 1000 пъти, а квадратът на разстоянието - само 100, така силата на привличане ще се увеличи 10 пъти! Тоест, когато мащабът се увеличава, масата нараства с порядък по-бързо от квадрата на разстоянието! Поради незначителната стойност на гравитационната константа, силата на привличане между отделните обекти на повърхността на Земята е изключително малка в сравнение със силата на привличане на самата Земя, но вече в междупланетен мащаб (стотици милиони километри) увеличаването на масата компенсира G и гравитацията става основна сила.

При намаляване на мащаба се появява обратният ефект, въпреки че това вече е от биологията. Ако например намалите човек до размера на мравка, т.е. приблизително 100 пъти, тогава масата му ще намалее с 1 000 000 пъти. И тъй като силата на мускулите е приблизително пропорционална на тяхното напречно сечение, т.е. квадрат с линеен размер, тогава той ще намалее само 10 000 пъти, т.е. ще има 100x печеливша сила! Не е трудно да се досетите, че насекомите всъщност живеят в условия на гравитация, която е значително намалена в сравнение с по-големите животни. Следователно въпросът колко тежест може да вдигне една мравка, ако беше с размерите на слон, просто няма смисъл. Структурата на тялото на насекомите и като цяло на всички малки животни е оптимална точно за ниска гравитация, а краката на мравка просто не могат да издържат теглото на тялото, да не говорим за допълнително натоварване. По този начин гравитацията налага ограничения върху размера на сухоземните животни и най-големите от тях (например динозаврите) очевидно прекарват значителна част от времето си във вода.

Летателните способности в животинското царство също са ограничени от телесната маса. Не само мускулната сила, но и площта на крилата нараства пропорционално на квадрата на линейните размери, т.е. При определена максимална телесна маса полетите стават невъзможни. Тази критична маса е приблизително 15-20 кг, което съответства на теглото на най-тежките птици на земята. Следователно е много съмнително, че древните гигантски гущери наистина са можели да летят; най-вероятно крилата им са им позволявали само да се плъзгат от дърво на дърво.

И забележката не е съвсем по темата. Има доста широко разпространено схващане, че вдигането на тежести забавя растежа на спортистите, поради което се предполага, че сред щангистите има толкова много ниски хора. Всъщност ниският ръст при щангистите се среща, но само в ограничени теглови класове, особено сред леките. Една книга за атлетизма дори обяснява, че ниските хора печелят по-често, защото трябва да вдигнат щангата на по-ниска височина. Според мен подобен аргумент е напълно неубедителен. Но се предлага и следното обяснение. Всеки вид тъкан (мускулна, костна, кожа, мастна тъкан и т.н.), която изгражда тялото, съставлява определен процент от общото му тегло. И ако приемем, че тези пропорции са еднакви за двама души с различна височина, тогава по-ниският човек естествено ще тежи по-малко. Въпреки това, ако той спечели същото телесно тегло като висок човек поради мускули, това ще означава, че той има повече абсолютна мускулна маса (тъй като той просто има по-малко немускулна тъкан по дефиниция). И повече мускулна маса означава повече мускулно напречно сечение и следователно при тези условия, с еднакво телесно тегло, ниският щангист всъщност е по-силен от високия, така че последните просто се елиминират.

ориз. 1 Приливни сили.

Да се върнем обаче към астрономията. Ако разгледаме действието на гравитационната сила на тяло O (условно ще го представим като точка) върху разширено тяло с център Q (фиг. 1), тогава можем да забележим, че различни сили действат върху различни части на тяло. По този начин най-близката точка B ще бъде привлечена по-силно от най-далечната A (поради разликите в разстоянията), следователно по линията QO, свързваща центровете на тежестта на двете тела, тялото O ще се стреми да разтегне сегмента AB. В точки C и D, отдалечени от линията OQ, силата на привличане ще действа под ъгъл спрямо линията QO и тази сила може да се разложи на две компоненти: едната е насочена успоредно на посоката QO, а другата е перпендикулярна на нея. - към центъра на тялото Q. Тоест върху точките, които не лежат на оста OQ, действа сила, стремяща се да компресира тялото в посока, перпендикулярна на посоката на привличащото тяло O. Тези сили на опън и компресия се наричат приливни сили. Тяхното действие върху Земята от Луната и Слънцето причинява (както можете да се досетите от името) приливи и отливи.

За да се оцени височината на приливна вълна на Земята, могат да се направят изчисления, подобни на оценката на компресията на Земята. За простота, нека забравим за ежедневното въртене на Земята и приемем, че цялата й несферичност е причинена от привличането на Луната. Приравнявайки теглото на всеки елементарен обем, разположен на разстояние r от центъра на Земята при неговия радиус, перпендикулярен на посоката към Луната и насочен към Луната, получаваме:

m*g p (r) = m*g l (r) - G*m*M l /b 2

където g p (r) е ускорението на гравитацията при радиус, перпендикулярен на посоката към Луната, g l (r) е ускорението при радиус, насочен към Луната, M l е масата на Луната, b е разстоянието до Луната, равна на разликата между голямата полуос a на орбитата на Луната и радиус вектора r. Зависимостта на ускорението на гравитацията при двата радиуса е една и съща: g p (r) = g l (r) = GM/r 2, където M е масата, съдържаща се в радиуса r: M(r) = *4* *r 3 / 3, където  е плътността на веществото. Ако поставим всичко това в уравнението, намалим го с m и G и го интегрираме по целия радиус на Земята, получаваме:

R p 2 = R l 2 - M l /2//*(1/a - 1/(a-R l)). Ако заместим тук стойностите на радиуса на Земята, масата и голямата полуос на Луната, получаваме R l - R p ~ 7,3 m, което е много по-голямо от височината на истинската приливна вълна , обаче, може да се предположи, че в действителност, поради въртенето, твърдата обвивка на Земята няма време да промени формата си и в действителност приливната вълна се формира главно от водна и въздушна обвивка, а общата амплитуда на вибрации на твърдата кора не надвишава един метър.

За планетите приливните сили ограничават минималното разстояние, на което достатъчно голямо тяло, като сателит, може да се приближи до тях. Това беше демонстрирано много ефективно по време на скорошното падане на кометата Шумейкър-Леви върху Юпитер, когато ядрото на кометата беше разкъсано на много части, чието падане предизвика толкова много реакции в научния свят. Минималният радиус на кръгова орбита, в която спътникът не се унищожава от приливните сили на централното тяло, се нарича Лимит на Рош. Ако масата на спътника е много по-малка от масата на планетата, тогава зависимостта на границата на Рош a R от радиуса на планетата R, плътностите на спътника  s и планетата  p е както следва:

a R = 2,46*( s / p) 1/3 *R (5)

Вътре в сфера с радиус a R също е невъзможна гравитационна кондензация на материя за образуване на едно тяло. Вероятно това е причината за образуването на пръстени от гигантски планети.

Сега нека се обърнем към историята и да разгледаме събитията от онези далечни времена в зората на науката. Законът за всемирното притегляне е открит от Исак Нютон през 1682 г. Още през 1665 г. 23-годишният И. Нютон предполага, че силите, които държат Луната в нейната орбита, са от същото естество като силите, които карат една ябълка да падне Земята. Според неговата хипотеза между всички тела на Вселената действат притегателни сили (гравитационни сили), насочени по линията, свързваща центровете на масата. За тяло под формата на хомогенна топка центърът на масата съвпада с центъра на топката. През следващите години Нютон се опитва да намери физическо обяснение на законите на движението на планетите, открити от астронома Йоханес Кеплер в началото на 17 век, и да осигури количествен израз за гравитационните сили. Знаейки как се движат планетите, Нютон искаше да определи какви сили действат върху тях. Този път се нарича обратна задача на механиката. Ако основната задача на механиката е да определи координатите на тяло с известна маса и неговата скорост във всеки момент от времето въз основа на известни сили, действащи върху тялото, и дадени начални условия (пряката задача на механиката), тогава при решаването на обратната задача проблем е необходимо да се определят силите, действащи върху тялото, ако се знае как се движи. Решението на този проблем доведе Нютон до откриването на закона за всемирното привличане.

На фона на впечатляващите успехи на съвременната физика, гравитацията остава най-загадъчният природен феномен. Величието на гравитацията се състои в това, че всичко, което съществува в света, е подчинено на нея, като се започне от самата Вселена и се стигне до нейните съставни елементи. За първи път най-пълно това осъзнава великият английски учен Исак Нютон (1643...1727). През 1687 г. Нютон публикува известната си работа „Математически принципи на естествената философия“, която разкрива на човечеството за първи път теориите за движението на планетите и принципите на гравитацията. Законът за всеобщото привличане на Нютон, който стана първият научен закон, валиден във Вселената, гласи: всеки две частици материя се привличат взаимно или гравитират една към друга със сила, право пропорционална на произведението на техните маси и обратно пропорционална на квадрат на разстоянието между тях:

(1)

Съвременниците на Нютон не осъзнават веднага величието на гравитацията. Кристиан Хюйгенс, когото самият Нютон нарече велик учен, пише: „Идеята на Нютон за взаимно привличане смятам за абсурдна и съм изненадан как човек като Нютон може да направи толкова трудни изследвания на изчисления, които нямат нищо по-добро като основа от това идея.”

Идеята, че небесните тела имат свойството да привличат, е изразена преди Нютон от Николай Кузански, Леонардо да Винчи, Коперник и Кеплер. „Гравитацията е взаимна склонност между сродни тела, които се стремят да се слеят, обединят заедно... На което и място да поставим Земята, тежките тела, поради естествената си способност, винаги ще се движат към нея... Ако на някое място в света има бяха два камъка на близко разстояние един от друг и извън сферата на действие на което и да е свързано тяло, тогава тези камъни биха се стремели да се свържат един с друг като два магнита...” – пише Кеплер в книгата си “Нова астрономия”. Брилянтните изявления на Кеплер бяха само началото на дълго пътуване, което все още трябваше да бъде преодоляно. От многото изследователи, Нютон е предопределен да премине през този труден път.

Триумфалното шествие на закона за всемирното привличане беше предшествано от труден период на неговото формиране. Робърт Хук (1635...1703) стигна до идеята за всемирната гравитация малко по-рано от Нютон. Имаше дълъг спор между Хук и Нютон относно приоритета в откриването на закона за всемирното привличане. За разлика от твърденията на Хук, Нютон развива математическа теория за гравитацията и доказва действието на закона за гравитацията, използвайки числени методи. Нютон отразява възгледите за гравитацията на своите предшественици в една формула (1), която е математически модел на гравитационното взаимодействие на две материални тела.

След смъртта на Исак Нютон (1727 г.) законът за всемирното привличане е подложен на нови тестове. Последното сериозно възражение срещу закона за всемирното привличане се счита за публикация на френския математик и астроном Алексис-Клод Клеро през 1745 г. Някои подробности за изчислената от него орбита на Луната според него изискват корекция на закона за универсална гравитация.

A. Clairaut счита за един от най-важните проблеми теорията за движението на Луната, основана на закона на Нютон за всеобщото привличане, или по-точно, изследването на това неравенство, „което получи най-мрачното развитие от Нютон, а именно движението на лунния перигей." Първоначалният независим път на изследване на А. Клеро води до същата стойност, която самият Нютон е получил по негово време, която се отклонява от наблюдаваните данни почти два пъти. Друг изследовател, Жан Лерон д'Аламбер (1717...1783), стига независимо до същите изводи. Той, подобно на А. Клеро, стигна до извода, че под влиянието на Нютоново привличане перигеят на орбитата на Луната трябва да е извършил едно завъртане за 18 години, а не за 9 години, както всъщност се случва.

Независимо един от друг, A. Clairaut и J. d'Alembert, занимаващи се с изследвания в областта на Нютоновата механика и теорията на гравитацията, стигат до едно и също заключение, че теорията на Нютон не е в състояние да обясни движението на перигея на Луна и изисква корекции. Самият Нютон предложи този път.

Малка поправка от A. Clairaut във формата на универсалния закон на гравитацията на Нютон беше представена в следната форма:

Къде Ми м– маси на две тела;

Р– разстоянието между тях;

γ – гравитационна константа;

α е малка стойност, избрана експериментално.

Изявлението на J. d’Alembert също показва необходимостта от допълнителен термин: „Луната е привлечена от Земята от друга, малка сила, която не действа според закона за обратната пропорционалност на квадратите на разстоянията.“

Известният френски натуралист Жорж Бюфон (1707...1783) се противопоставя на заключението на А. Клеро и Ж. Д'Аламбер. Със своя авторитет той спаси формулата на Нютон от корекция, заявявайки, че те ни предлагат нещо произволно, вместо да възпроизведат истината. Според него след първата промяна впоследствие безпрепятствено могат да възникнат последващи членове. „Всеки физически закон е закон само защото изразът му има уникалност и простота“, каза Дж. Буфон.

И до ден днешен се смята, че Клеро е проверил отново резултатите си и е открил грешка. Не можем да се съгласим с тази гледна точка. В рамките на своя чисто аналитичен модел той всъщност коригира противоречията в своя модел и оставя незасегнати несъвършенствата в закона на Нютон за всемирното привличане. Според нас А. Клеро не се противопоставя на авторитета на самия Нютон или неговите последователи и тръгва по самостоятелен път на изследване. Той не изясни формулата на закона за всемирното притегляне и по този начин избегна възможните разгорещени дискусии, които го очакваха в бъдеще. Както историята ще покаже, тази стратегия се изплати. А. Клеро ще спечели конкурса, обявен през 1750 г. от Академията в Санкт Петербург, ще получи възторжени отзиви от съвременниците си, ще публикува книгата „Теорията за движението на Луната, получена от единния принцип на привличането, обратно пропорционална на квадратите на разстоянията” през 1752 г. и ще бъде избран за член-кореспондент на Петербургската академия на науките през 1754 г.

Всички сили на А. Клеро бяха съсредоточени върху изпълнението на собствената му изследователска програма: „След много размисли върху теорията на Нютон и не постигнах степента на убеденост, която очаквах, реших да не заимствам нищо друго от него и да потърся самостоятелно дефиниции на движението на небесните тела, с едно предположение за тяхното взаимно привличане." Този подход му позволи да изгради чисто аналитичен модел на гравитационното взаимодействие.

Оттогава са изминали 350 години. Законът за всемирното притегляне в оригиналната си форма успешно посрещна 2-ро хилядолетие. Съмненията на A. Clairaut и J. d'Alembert относно закона на Нютон за всемирното привличане според нас не са разсеяни. Последователността на следните разсъждения ни води до неочаквани резултати.

Нека разгледаме така наречения прецизиран закон за всемирното привличане.

Две материални тела Ми мпривличат се взаимно с еднаква сила Е. Гравитационно поле на масата Мпредизвиква ускоряване м :

ж = γ · ( М / Р 2).

Съответно масата мпредизвиква ускоряване М :

ж = γ · ( м / Р 2).

Относително ускорение на две тела Ми м жот равно на разлика жМ – жм и оттогава жМ и ж m са насочени в противоположни посоки, тогава жот е равна на сумата от ускоренията жМ и жм:

Следователно ускорението по време на относителното движение на две привличащи се материални тела Ми мможем да приемем, че силата идва от неподвижен център и можем да изследваме движението само на едно тяло.

Нека обясним това със следния пример и да проверим на практика адекватността на формула (3) към заобикалящата действителност. На повърхността на Земята, тоест на разстояние 6371,032 km от нейния център, ускорението жЗемя = 9,81 m/s 2. Ускорение, причинено от земната гравитация на разстояние r= 384400 км до Луната трябва да намалее с 384400 2 / 6371.032 2 = 3640.38 пъти. Ускорението на Луната, причинено от гравитацията на Земята, е равно на:

жЗемя-Луна = 9,81 m/s2 / 3640,38 = 0,2695 cm/s2.

Съответно, на повърхността на Луната, на разстояние r= 1738 км от центъра му, ускорение жЛуна = 1,62 m/s 2. Това е ускорението, причинено от привличането на Луната на разстояние r= 384400 км до Земята трябва да намалее с 384400 2 / 1738 2 = 48917,83 пъти.

Ускорението на Земята, причинено от гравитацията на Луната, е:

жЛуна-Земя = 1,62 m/s2 / 48917,83 = 0,0033 cm/s2.

Относително ускорение на Луната жот ще бъде равна на сумата от ускоренията

жот = жЗемя-Луна + жЛуна-Земя = 0,2695 cm/s2 + 0,0033 cm/s2 = 0,2728 cm/s2.

Получената стойност на относителното ускорение на Луната жможете да го проверите по следния начин. Ако приемем, че Луната се движи в кръг, изчисляваме нейното действително ускорение по формулата:

Жот = V 2 / r ,

Къде V– скоростта на орбитата на Луната;

r– разстояние от Земята до Луната.

Скоростта на орбитата на Луната Vможе да се изчисли по формулата:

V= (2π r) / Т ,

Къде Т– сидеричен период на революцията на Луната, Т= 27,3 дни;

r– разстояние от Земята до Луната ( r= 384400 км).

Нека изчислим стойността Vи Жот:

V= (2 · 3,14 · 384400 км) / 2358720 сек = 1,02345 км/сек

Жот = (1,02345 км/сек) 2 / 384400 км = 0,2725 см/сек 2 .

Изчисленията показват това Жот = жот и относителната грешка на тези два показателя е Жот – жот = 0.2728 cm/sec 2 – 0.2725 cm/sec 2 = 0.0003 cm/sec 2 или 0.12%.

Числени изчисления жВъз основа на реални данни от Земята и Луната, те потвърждават адекватността на формула (3) към околния свят.

Нека сега разгледаме движението на тялото мотносително М. Големината на силата Едействащ между ми Мравна на произведението на масата мза относително ускорение жот:

(4)

Формула (4) може да бъде представена като сбор от два члена:

(5)

Първият член съвпада с формула (1) - законът за всемирното привличане, а като цяло формула (5) прилича на формула (2), предложена някога от А. Клеро, за да коригира универсалния закон на Нютон.

Ако мзначително по-малко от М, т.е. м << М, тогава стойността на втория член спрямо първия е незначима. Както е известно, J. Buffon навремето отхвърли формула (2) поради факта, че A. Clairaut произволно добави втория член, но в нашия случай във формула (5) първият и вторият член са получени от света около нас . Следователно имаме право да кажем, че законът на Нютон за всемирното привличане е частен случай на формули (4) и (5).

Първият член на формула (5) не повдига никакви въпроси. Това е законът на Нютон за всемирното привличане. Нека да преминем към анализа на втория член. Защо числителят на втория член е произведението м · м, не М · М? Действие Мвече се прояви в първия член, той генерира гравитационния потенциал (γ · М) / Р 2 и там нейната роля приключи. Вторият член разкрива същността на гравитационния потенциал на второто тяло ми е равно на (γ · м) / Р 2. Сега остава да се изчисли силата във втория член и за това, според традиционната схема, е необходимо (γ · м) / Р 2 пъти М, т.е. получаваме (γ · м · М) / Р 2 отново универсалния закон на Нютон за гравитацията! Но това противоречи на формула (4), която получихме аналитично от изчисления на ускоренията между Земята и Луната. Всъщност реалната сила ще бъде равна на (γ · м · м) / Р 2. Тук стигаме до факта, че гравитационният потенциал се генерира от тялото мпредизвиква ускорено движение на самото тяло мнастрани М. И това не противоречи на третия закон на Нютон. Тяло м Ми съответстващи Мсе движи равномерно ускорено настрани м. Но тъй като мзначително по-малко от M сила, изразена във формата (γ · м · м) / Р 2 обективно отразява силата, генерирана от масата м. маса Мможе да се опише като централно тяло, около което тялото се движи м. Тялото, което се движи спрямо централното тяло, ще бъде критерият за избора му във втория член.

Сега нека формулираме нов, прецизиран закон за всемирното привличане:

всеки две частици материя се привличат взаимно или гравитират една към друга със сила, право пропорционална на произведението на сумата от двете маси и масата на тялото, движещо се спрямо централната маса и обратно пропорционална на квадрата на разстоянието между тях (4).

От гледна точка на теорията и методологията за изучаване на закона за гравитацията преходът от формула (1) към (4) най-пълно разкрива същността на закона за всемирното гравитация. От формула (1) виждаме само гравитационното действие на едно тяло Мили м, в същото време формула (4) отразява взаимното гравитационно действие на две тела Ми медновременно.

Една малка поправка в закона на Нютон за всемирното привличане води до интересни последствия. Какво следва от формула (4)? За да направим това, трябва да побързаме до известната наклонена кула в Пиза, преди да е паднала, и да повторим експеримента на Галилей. Резултатът ще бъде следният - противно на общоприетото схващане, по-тежкото тяло ще стигне по-бързо до Земята! Експериментът не е труден за провеждане, само неприятности ще създадат тълпи от туристи, които не са съществували през 16 век.

Тази корекция е още по-силно изразена, когато м = М. Силна стойност Еизчислено по формула (4) Е= γ 2 М 2 / r 2 е два пъти по-голяма от стойността на силата, изчислена по формула (1) Е = γ · М 2 / r 2 .

Аристотел беше прав, като твърдеше, че падането на масата на златото или оловото, или всяко друго тяло, става толкова по-бързо, колкото по-голям е размерът му! До този извод стига и Леонардо да Винчи. Великият художник и учен хвърлял тела с различно тегло и стигнал до един и същ резултат: скоростта на падане на тялото зависи от теглото на тялото.

От формула (4) следва, че силата на гравитацията е неадитивна. Нека разгледаме това като използваме примера за гравитацията на две тела м 1 и м 2 спрямо земята. Тяло м 1 упражнява сила върху земята Е 1-во и второ тяло м 2 действа съответно със сила Е 2. Събиране на масите на две тела м 1 и м 2 получаваме третото тяло м 3 където м 3 = м 1 + м 2. Действа и върху земята със сила, равна на Е 3. За нашия пример нарушаването на адитивността на гравитацията означава:

Е 1 + Е 2 < Е 3

Ако се придържаме към традиционната формула (1), тогава адитивността не се нарушава и условието за гравитация е изпълнено:

Е 1 + Е 2 = Е 3

С появата на формула (4) равенството (7) отстъпва място на неравенството (6), като следствие от нов научен факт.

Гениалният физик Айнщайн придава изключително значение на свойството на гравитацията, следвайки Галилей и твърдейки, че всички тела в дадена точка на пространството попадат в гравитационното поле с еднакво ускорение. Това твърдение в класическата физика беше един от фактите - в известен смисъл дори случайно и не играеше висока роля в това, което представляваше идеологическата основа на механиката на Галилей-Нютон. Айнщайн обаче придава изключително важно и най-общо значение на това свойство, определя му място сред „фундаменталните неща” на съвременната физика и го поставя до принципа на относителността.

Интересът на Айнщайн към гравитацията не е случаен, тъй като е пряко свързан с принципа на еквивалентността. Както е известно, масите във физиката се разглеждат в две форми: инертна и гравитационна. Падането на всички тела с еднакво ускорение е достатъчно условие за равенство на гравитационната и инертната маса. Това равенство е издигнато от Айнщайн в ранг на основен принцип на неговата теория. Съвпадение – еквивалентността на тези маси е съдържанието на принципа на Айнщайн за еквивалентност.

Това предположение е погрешно от наша гледна точка. От формули (4) и (7) следва, че различни тела в дадена точка на пространството падат в гравитационното поле с различни ускорения и съответно принципът на еквивалентност е нарушен.

За да изясним твърденията си, ще използваме мисловните експерименти на самия Айнщайн. Нека поставим нашата лаборатория за изпитване в асансьорна кабина. Нека си представим, следвайки Айнщайн, „огромен асансьор в кула на небостъргач... Изведнъж въжето, поддържащо асансьора, се къса и асансьорът пада свободно към земята. Експериментаторът в своята лаборатория провежда следния експеримент: „вади носна кърпичка и часовник от джоба си и ги пуска от ръцете си“. Спрямо небостъргача падат асансьор с лаборатория, експериментатор, часовник и шал.

Нека да видим как и двата наблюдателя, вътрешни и външни, описват случващото се в асансьора.

Вътрешният наблюдател е експериментатор. Подът на асансьора бавно започва да изчезва изпод краката ви. Часовникът с носната кърпичка бавно се придвижва нагоре спрямо експериментатора. Кърпичката се движи нагоре по-бързо от часовник. Експериментаторът заключава: всички тела се движат към земята с различни ускорения. Най-бързото ускорение е при асансьора, след това при себе си, следван от часовника и носната кърпичка, които падат най-бавно от всички. Извод – системата е безинерционна.

Външен наблюдател. И четирите тела: асансьорът, експериментаторът, часовникът и носната кърпичка падат с различни ускорения към земята. Изводът му съвпада и с мнението на вътрешния наблюдател – системата е неинерционна.

Вътрешният и външният наблюдател на Айнщайн твърди по различен начин: „Външен наблюдател забелязва движението на асансьора и всички тела в него и намира, че то съответства на закона за гравитацията на Нютон. За него движението не е равномерно, а ускорено, поради гравитационното поле на земята.

Но едно поколение физици, родени и израснали в асансьор, биха мислили по съвсем различен начин. Би било уверено, че има инерционна рамка и би свързало всички закони на природата със своя асансьор, заявявайки с увереност, че законите приемат особено проста форма в тяхната референтна система. Би било естествено те да смятат своя асансьор за покой, а координатната им система за инерционна.

Невъзможно е да се установи фундаментална разлика между външния и вътрешния наблюдател. Всеки от тях може да претендира за правото да приписва всички събития на собствената си координатна система. И двата описания на събитията могат да бъдат еднакво последователни. От този пример виждаме, че е възможно последователно описание на физически явления в две различни координатни системи, дори ако те не се движат праволинейно и равномерно една спрямо друга. Но за такова описание трябва да вземем предвид гравитацията, която създава, така да се каже, „мост“, който ни позволява да се движим от една координатна система в друга. Гравитационното поле съществува за външния наблюдател, но за вътрешния не съществува. Ускореното движение на асансьора в гравитационното поле съществува за външен наблюдател, но за вътрешния има покой и отсъствие на гравитационно поле. Но „мостът”, т.е. гравитационното поле, което прави възможно описанието в двете координатни системи, се основава на много важна опора: еквивалентността на тежките и инертните маси. Без тази водеща идея, останала незабелязана в класическата механика, сегашните ни разсъждения биха изчезнали напълно. Но от формула (4) следва, че принципът на еквивалентност на тежки и инертни маси е нарушен и следователно „мостът“ на Айнщайн, водещ към красивия замък на общата теория на относителността, се срива.

Това заключение може да се потвърди и от следния мисловен експеримент. От класическата механика следва, че тялото поддържа състояние на покой или равномерно праволинейно движение, ако върху него не действат външни сили.

Помислете за тялото м, който е в покой. Това тяло е пример за инерционна маса по дефиниция. Тяло мможе да се счита и за гравитационна маса, т.е. маса, която има гравитационно поле и е в покой.

Сега нека погледнем тялото М, който е в покой на разстояние Рот м. Нека направим подобно разсъждение и стигнем до същото заключение: тялото Ме гравитационна и инерционна маса. Докато разглеждахме всяко тяло поотделно, в разсъжденията ни не възникнаха противоречия.

При разглеждане на две тела Ми мВ същото време реалната картина ще се промени. Тела Ми м, които смятахме за покойни, всъщност са в ускорено движение един към друг поради гравитационното си взаимодействие. Те, както и преди, са гравитационни маси, но вече не са инертни маси, т.к движейки се бързо.

За разрешаване на възникналото противоречие е необходимо да се направят следните изводи. Първо, физическата картина на света се състои от множество гравитационни маси, които не могат да бъдат в покой и по правило се движат с равномерно ускорение. Второ, в природата няма истински инертни маси. Инерционната маса във физиката е идеален модел - абстракция.

Всяка маса е гравитационна и е постоянно във взаимодействие с околния свят. Само чрез мисловен експеримент можем да премахнем гравитационното поле от маса и след това тя може да се счита за инерционна маса, която може да бъде в покой или да се движи равномерно и праволинейно.

От тези позиции всички усилия, както теоретични, така и практически, за обосноваване на принципа на еквивалентността се свеждат до безполезен опит да се установи еквивалентността на реална гравитационна и идеална инертна маса, каквато не съществува в природата.

Както е известно, с помощта на метода на Кавендиш константата γ, която е включена във формула (1) на закона за всемирното привличане, беше числено определена. Днес тази константа е известна до четвъртата цифра. В.Д. Ляховец в статията си „Проблеми на метрологичната поддръжка на измерванията на гравитационната константа“ предоставя таблица:

Таблица 1

Според В.Д. Ляховец, гравитационната константа γ остава една от най-малко точно измерените фундаментални константи. От таблицата следва, че въпреки че относителната грешка на отделните измервания по държави е 10 –4, самата гравитационна стойност се определя с грешка от 10 –3. Задачата за по-точно определяне на γ все още далеч не е премахната от дневния ред. Тази ситуация ни кара да се замислим за възможните фактори, влияещи върху измерената стойност на гравитационната константа. Според много учени едно от тях е изменение (4) на формула (1) - законът за всемирното привличане.

Но действа ли законът на всемирното притегляне на субмилиметрови разстояния?

Преди няколко години във физиката на елементарните частици се появиха редица теоретични конструкции, които предсказваха аномални гравитационни ефекти на разстояния от порядъка на фракции от милиметър. Причините за такива аномалии могат да бъдат различни: от допълнителни пространствени измерения, компактифицирани в мащаб от порядъка на милиметър, до дилатонни взаимодействия в същите мащаби в някои струнни теории. По един или друг начин, всички тези теории неизбежно предвиждат отклонения от 1/r 2 закона за всемирното притегляне в субмилиметровата скала.

Досега законът за всемирното притегляне е потвърден само на разстояния от порядъка на 1 cm или повече. Следователно, за да се тестват необичайните прогнози на теориите, беше необходим нов, миниатюрен експеримент, който да тества зависимостта 1/r 2 на силата на гравитационното привличане на субмилиметрови разстояния. Такъв експеримент е проведен във Вашингтонския университет в Сиатъл.

Силата на гравитационното взаимодействие се измерва с помощта на торсионно махало: метален пръстен, окачен на тънка нишка над привличаща плоча („привличащ“). Разпределението на масите по повърхността на плочата и по дължината на пръстена беше неравномерно поради 10 симетрично разположени дупки, поради което въртенето на долната привличаща плоча доведе до появата на въртящ момент, действащ върху торсионното махало, и следователно до неговото отклонение. Чрез изучаване на зависимостта на ъгъла на отклонение от времето при различни пролуки между пръстена и плочата, експериментаторите биха могли по този начин да измерят как силата на гравитационното привличане се променя с размера на пролуката, тоест с разстоянието между привличащите повърхности.

Експерименталните резултати показаха, че при дебелина на междината до 218 μm, измерената зависимост на силата от разстоянието се възпроизвежда напълно от закона за всемирното привличане. По този начин не са открити нови гравитационни ефекти в субмилиметров мащаб. Освен това бяха получени сериозни ограничения на параметрите, присъстващи в теориите, споменати по-горе.

Референции

А. Айнщайн, А. Инфелд. Еволюция на физиката. – М.: Наука, 1965.

О.А. Биковски. Проблеми на съвременната физика. – Алма-Ата: Гюлым. 1995 г.

П.И. Бакулин, Е.В. Кононович, В.И. Замръзване. Общ курс по астрономия. – М.: Наука, 1966.

Ю.А. Рябов. Движение на небесните тела. – М.: Наука, 1988.

Периодични издания и по-специално „Научни новини“

Естествен мързеливец!
Седи, не прави нищо,
учи физика цял ден!

Мислите на съпругата на глас

Къде Ми м– маси на частиците;
Р– разстоянието между тях;
γ – гравитационна константа.

Къде Ми м– маси на две тела;
Р– разстоянието между тях;
γ – гравитационна константа;
п – п> 2 (например, п = 3, п = 4);
α е малка стойност, избрана експериментално.

Оттогава са изминали 350 години. Законът за всемирното привличане (1) в оригиналната си форма успешно отбеляза 2000-годишнината. Съмненията на A. Clairaut и J. d'Alembert относно закона на Нютон за всемирното привличане според нас не са разсеяни. Последователността на следните разсъждения ни води до неочаквани резултати.

Две материални тела Ми мпривличат се взаимно с еднаква сила Е. Гравитационно поле на масата Мпредизвиква ускоряване м:
ж = γ · ( М/ Р 2).

Съответно масата мпредизвиква ускоряване М:
ж = γ · ( м/ Р 2).

жЗемя-Луна = 9,81 m/s2 / 3640,38 = 0,2695 cm/s2.

Ускорението на Земята, причинено от гравитацията на Луната, е:

жЛуна-Земя = 1,62 m/s2 / 48917,83 = 0,0033 cm/s2.

Относително ускорение на Луната жот ще бъде равна на сумата от ускоренията

жот = жЗемя-Луна + жЛуна-Земя = 0,2695 cm/s2 + 0,0033 cm/s2 = 0,2728 cm/s2.

Жот = V 2 / r ,

Къде V– скоростта на орбитата на Луната;
r– разстояние от Земята до Луната.

Скоростта на орбитата на Луната Vможе да се изчисли по формулата:

V= (2π r) / Т ,

Къде Т– сидеричен период на революцията на Луната, Т= 27,3 дни;
r– разстояние от Земята до Луната ( r= 384400 км).

Нека изчислим стойността Vи Жот:

V= (2 · 3,14 · 384400 км) / 2358720 сек = 1,02345 км/сек

Жот = (1,02345 км/сек) 2 / 384400 км = 0,2725 см/сек 2 .

Числени изчисления жВъз основа на реални данни от Земята и Луната те потвърждават адекватността на формула (3) към заобикалящия свят.

Ако мзначително по-малко от М, т.е. м M, тогава стойността на втория член спрямо първия е незначима. Както е известно, J. Buffon навремето отхвърли формула (2) поради факта, че A. Clairaut произволно добави втория член, но в нашия случай във формула (5) първият и вторият член са получени от света около нас . Следователно имаме право да кажем, че законът на Нютон за всемирното привличане е частен случай на формули (4) и (5).

Сега нека формулираме нов, прецизиран закон за всемирното привличане:
всеки две частици материя се привличат взаимно или гравитират една към друга със сила, право пропорционална на произведението на сумата от двете маси и масата на тялото, движещо се спрямо централната маса и обратно пропорционална на квадрата на разстоянието между тях(4).

Нашата корекция е още по-изразена, когато м = М. Силна стойност Еизчислено по формула (4) Е= γ 2 М 2 / r 2 е два пъти по-голяма от стойността на силата, изчислена по формула (1) Е = γ · М 2 / r 2 .

С появата на формула (4) равенството (7) отстъпва място на неравенството (6), като следствие от нов научен факт.

Нека да видим как и двата наблюдателя, вътрешни и външни, описват случващото се в асансьора.

Невъзможно е да се установи фундаментална разлика между външния и вътрешния наблюдател. Всеки от тях може да претендира за правото да приписва всички събития на собствената си координатна система. И двата описания на събитията могат да бъдат еднакво последователни. От този пример виждаме, че е възможно последователно описание на физически явления в две различни координатни системи, дори ако те не се движат праволинейно и равномерно една спрямо друга. Но за такова описание трябва да вземем предвид гравитацията, която създава, така да се каже, „мост“, който ни позволява да се движим от една координатна система в друга. Гравитационното поле съществува за външния наблюдател, но за вътрешния не съществува. Ускореното движение на асансьора в гравитационното поле съществува за външен наблюдател, но за вътрешния има покой и отсъствие на гравитационно поле. Но „мостът”, т.е. гравитационното поле, което прави възможно описанието в двете координатни системи, се основава на много важна опора: еквивалентността на тежките и инертните маси. Без тази водеща идея, останала незабелязана в класическата механика, сегашните ни разсъждения биха изчезнали напълно." Но от формула (4) следва, че принципът на еквивалентност на тежки и инертни маси е нарушен и следователно „мостът“ на Айнщайн, водещ към красивия замък на общата теория на относителността, се срива.

Нашето заключение може да бъде потвърдено и от следния мисловен експеримент. От класическата механика следва, че тялото поддържа състояние на покой или равномерно праволинейно движение, ако върху него не действат външни сили.

Таблица 1

Според В.Д. Ляховец, гравитационната константа γ остава една от най-малко точно измерените фундаментални константи. От таблицата следва, че въпреки че относителната грешка на отделните измервания по държави е 10 –4, самата гравитационна стойност се определя с грешка от 10 –3. Задачата за по-точно определяне на γ все още далеч не е премахната от дневния ред. Тази ситуация ни кара да се замислим за възможните фактори, влияещи върху измерената стойност на гравитационната константа. Според нас едно от тях е изменение (4) на формула (1) - законът за всемирното привличане.

Завършвайки нашата малка работа върху голямата гравитация, подчертаваме решаващата роля на експериментите за разбирането на гравитацията. Доста трудно е да се постави активен гравитационен експеримент, защото... Гравитационните маси в земната лаборатория са твърде малки. Затова неслучайно вниманието ни беше насочено към Земята и Луната, като естествени лаборатории, които могат да служат като еталон на всички изследователи за проверка на всякакви хипотези в областта на гравитацията.

Литература:

Ю.А. Рябов. Движение на небесните тела. – М.: Наука, 1988. – 238 с.
В.А. Бронщен. Как се движи Луната? – М.: Наука, 1990. – 205 с.
П.И. Бакулин, Е.В. Кононович, В.И. Замръзване. Общ курс по астрономия. – М.: Наука, 1966. – 527 с.
А. Айнщайн, А. Инфелд. Еволюция на физиката. – М.: Наука, 1965. – 326 с.
О.А. Биковски. Проблеми на съвременната физика. – Алма-Ата: Гюлым. 1995. – 128 с.