Центростремително ускорение- компонент на ускорението на точка, характеризиращ скоростта на промяна на посоката на вектора на скоростта за траектория с кривина (вторият компонент, тангенциално ускорение, характеризира промяната в модула на скоростта). Насочен към центъра на кривината на траекторията, откъдето идва и терминът. Стойността е равна на квадрата на скоростта, разделена на радиуса на кривината. Терминът "центростремително ускорение" е еквивалентен на термина " нормално ускорение" Този компонент на сумата от сили, който причинява това ускорение, се нарича центростремителна сила.
Най-простият пример за центростремително ускорение е векторът на ускорението при равномерно движение в кръг (насочен към центъра на кръга).
Бързо ускорениев проекция върху равнина, перпендикулярна на оста, изглежда като центростремителна.
Енциклопедичен YouTube
-
1 / 5
A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) a n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)
Къде a n (\displaystyle a_(n)\ )- нормално (центростремително) ускорение, v (\displaystyle v\ )- (моментна) линейна скорост на движение по траекторията, ω (\displaystyle \omega \ )- (моментна) ъглова скорост на това движение спрямо центъра на кривината на траекторията, R (\displaystyle R\ )- радиус на кривина на траекторията в дадена точка. (Връзката между първата формула и втората е очевидна, като се има предвид v = ω R (\displaystyle v=\omega R\ )).
Горните изрази включват абсолютни стойности. Те могат лесно да бъдат записани във векторна форма чрез умножаване по e R (\displaystyle \mathbf (e)_(R))- единичен вектор от центъра на кривината на траекторията до дадената й точка:
a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) a n = ω 2 R .Тези формули са еднакво приложими както за случай на движение с постоянна (по абсолютна стойност) скорост, така и за произволен случай. Във втория обаче трябва да се има предвид, че центростремителното ускорение не е пълният вектор на ускорението, а само неговият компонент, перпендикулярен на траекторията (или, което е същото, перпендикулярен на вектора на моментната скорост); тогава векторът на пълното ускорение включва и тангенциален компонент ( тангенциално ускорение) a τ = d v / d t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\ ), в посока, съвпадаща с допирателната към траекторията (или, което е същото, с моментната скорост).
Мотивация и заключение
Фактът, че разлагането на вектора на ускорението на компоненти - един по допирателната към векторната траектория (тангенциално ускорение) и другият, ортогонален на него (нормално ускорение) - може да бъде удобно и полезно, е съвсем очевиден сам по себе си. При движение с постоянна модулна скорост тангенциалната компонента става равна на нула, т.е. в този важен частен случай остава самонормален компонент. Освен това, както може да се види по-долу, всеки от тези компоненти има ясно определени свойства и структура, а нормалното ускорение съдържа доста важно и нетривиално геометрично съдържание в структурата на своята формула. Да не говорим за важния специален случай на кръгово движение.
Официално заключение
Разлагането на ускорението на тангенциални и нормални компоненти (вторият от които е центростремително или нормално ускорение) може да се намери чрез диференциране по отношение на времето на вектора на скоростта, представен във формата v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau ))през единичния допирателен вектор e τ (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau )):
a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\displaystyle \mathbf (a) =(\frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( n)\ ,)Тук използваме нотацията за единичния вектор, нормален към траекторията и l (\displaystyle l\ )- за текущата дължина на траекторията ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); последният преход също използва очевидното
d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ )и от геометрични съображения,
d e τ d l = e n R . (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))=(\frac (\mathbf (e) _(n))(R)).)v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ ) Нормално (центростремително) ускорение. Нещо повече, неговото значение, значението на обектите, включени в него, както и доказателство за факта, че той наистина е ортогонален на допирателния вектор (т.е. e n (\displaystyle \mathbf (e)_(n)\ ) - наистина нормален вектор) - ще следва от геометрични съображения (обаче, фактът, че производната на всеки вектор с постоянна дължина по отношение на времето е перпендикулярна на самия този вектор, е доста прост факт; в този случай прилагаме това твърдение за
d e τ d t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))
Бележки
Лесно се забелязва, че абсолютната стойност на тангенциалното ускорение зависи само от земното ускорение, съвпадащо с неговата абсолютна стойност, за разлика от абсолютната стойност на нормалното ускорение, което не зависи от земното ускорение, а зависи от земна скорост. Методите, представени тук, или техни варианти, могат да се използват за въвеждане на понятия като кривина на крива и радиус на крива на крива (тъй като в случая, когато кривата е кръг, R (\displaystyle R) съвпада с радиуса на такава окръжност; не е много трудно да се покаже, че кръгът е в равнината e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau ),\,e_(n)) с център в посока e n (\displaystyle e_(n)\ ) Методите, представени тук, или техни варианти, могат да се използват за въвеждане на понятия като кривина на крива и радиус на крива на крива (тъй като в случая, когато кривата е кръг,от дадена точка на разстояние
от нея - ще съвпадне с дадената крива - траектория - до втори порядък на малкост по разстоянието до дадената точка).
История
Първият, който получи правилни формули за центростремително ускорение (или центробежна сила), очевидно беше Хюйгенс. Почти от този момент нататък разглеждането на центростремителното ускорение е станало част от обичайната техника за решаване на механични проблеми и т.н.
Малко по-късно тези формули изиграха значителна роля в откриването на закона за всемирното притегляне (формулата на центростремителното ускорение беше използвана за получаване на закона за зависимостта на гравитационната сила от разстоянието до източника на гравитация, въз основа на третия закон на Кеплер получени от наблюдения).
Равномерното кръгово движение се характеризира с движение на тялото по окръжност. В този случай се променя само посоката на скоростта, а нейната величина остава постоянна.
Като цяло тялото се движи по крива пътека и е трудно да се опише. За да се опрости описанието на криволинейното движение, то е разделено на по-прости видове движение. По-специално, един от тези видове е равномерно движение в кръг. Всяка извита траектория на движение може да бъде разделена на участъци с достатъчно малък размер, в които тялото приблизително ще се движи по дъга, която е част от кръг.
Когато тялото се движи в кръг, линейната скорост е насочена тангенциално. Следователно, дори ако тялото се движи по дъга с постоянна абсолютна скорост, посоката на движение във всяка точка ще бъде различна. Така всяко движение в кръг е движение с ускорение.
Представете си кръг, по който се движи материална точка. В нулевия момент от време той е в позиция A. След определен интервал от време той завършва в точка B. Ако начертаем два радиус вектора от центъра на окръжността към точка A и точка B, тогава определен ъгъл ще да се получи между тях. Нека го наречем ъгъл фи. Ако за равни периоди от време една точка се завърти на същия ъгъл фи, тогава такова движение се нарича равномерно, а скоростта се нарича ъглова.
Фигура 1 - ъглова скорост.
Ъгловата скорост се измерва в обороти в секунда. Едно завъртане в секунда е, когато точка преминава по цялата окръжност и се връща в първоначалното си положение за една секунда. Този оборот се нарича период на обръщение. Реципрочната стойност на периода на въртене се нарича честота на въртене. Тоест колко оборота успява да направи върхът за една секунда. Ъгълът, образуван от два радиус вектора, се измерва в радиани. Радианът е ъгълът между два радиус вектора, които пресичат дъга с дължина на радиуса върху повърхността на кръг.
Скоростта на движение на точка около кръг може да се измери и в радиани в секунда. В този случай движението на точка с един радиан за секунда се нарича скорост. Тази скорост се нарича ъглова скорост. Тоест колко единични ъгли успява да завърти радиус векторът в рамките на една секунда? При равномерно движение в кръг ъгловата скорост е постоянна.
За да определим ускорението на движението в кръг, на фигурата нанасяме векторите на скоростта на точките А и В. Ъгълът между тези вектори е равен на ъгъла между радиус векторите. Тъй като ускорението е разликата между скоростите, взети за определен интервал от време, разделена на този интервал. След това, използвайки паралелна транслация, ще прехвърлим началото на вектора на скоростта в точка А в точка В. Разликата между тези вектори ще бъде вектор делта V. Ако го разделим на хордата, свързваща точките А и В, при условие че разстоянието между точките е безкрайно малко, тогава ще получим вектора на ускорението, насочен към центъра на окръжността. Което също се нарича центростремително ускорение.
Тъй като линейната скорост равномерно променя посоката си, кръговото движение не може да се нарече равномерно, то е равномерно ускорено.
Ъглова скорост
Нека изберем точка от окръжността 1 . Нека изградим радиус. За единица време точката ще се премести в точка 2 . В този случай радиусът описва ъгъла. Ъгловата скорост е числено равна на ъгъла на завъртане на радиуса за единица време.
Период и честота
Период на въртене Т- това е времето, през което тялото прави един оборот.
Честотата на въртене е броят на оборотите в секунда.
Честотата и периодът са взаимосвързани чрез връзката
Връзка с ъгловата скорост
Линейна скорост
Всяка точка от кръга се движи с определена скорост. Тази скорост се нарича линейна. Посоката на вектора на линейната скорост винаги съвпада с допирателната към окръжността.Например, искри изпод шлифовъчна машина се движат, повтаряйки посоката на моментната скорост.
Помислете за точка от окръжност, която прави едно завъртане, изразходваното време е периодът Т. Пътят, който една точка изминава, е обиколката.
Центростремително ускорение
При движение в кръг векторът на ускорението винаги е перпендикулярен на вектора на скоростта, насочен към центъра на кръга.
Използвайки предишните формули, можем да изведем следните зависимости
Точките, лежащи на една и съща права линия, излизаща от центъра на кръга (например, това могат да бъдат точки, които лежат върху спиците на колело), ще имат еднакви ъглови скорости, период и честота. Тоест те ще се въртят по същия начин, но с различни линейни скорости. Колкото по-далеч е една точка от центъра, толкова по-бързо ще се движи.
Законът за събиране на скоростите е валиден и за въртеливото движение. Ако движението на тяло или референтна система не е равномерно, тогава законът се прилага за моментните скорости. Например, скоростта на човек, който върви по ръба на въртяща се въртележка, е равна на векторната сума на линейната скорост на въртене на ръба на въртележката и скоростта на човека.
Земята участва в две основни въртеливи движения: денонощно (около оста си) и орбитално (около Слънцето). Периодът на въртене на Земята около Слънцето е 1 година или 365 дни. Земята се върти около оста си от запад на изток, периодът на това въртене е 1 ден или 24 часа. Географската ширина е ъгълът между равнината на екватора и посоката от центъра на Земята към точка на нейната повърхност.
Според втория закон на Нютон причината за всяко ускорение е силата. Ако движещо се тяло изпитва центростремително ускорение, тогава природата на силите, които причиняват това ускорение, може да бъде различна. Например, ако едно тяло се движи в кръг по въже, вързано за него, тогава действащата сила е еластичната сила.
Ако тяло, лежащо върху диск, се върти с диска около оста си, тогава такава сила е силата на триене. Ако силата престане да действа, тогава тялото ще продължи да се движи по права линия
Помислете за движението на точка по окръжност от A до B. Линейната скорост е равна на v AИ v Бсъответно. Ускорението е промяната на скоростта за единица време. Нека намерим разликата между векторите.
Източник на работа: Решение 3553.-20. OGE 2016 Математика, I.V. Ященко. 36 опции.
Задача 18.Диаграмата показва разпределението на земята по категории в Уралския, Волжския, Южния и Далекоизточния федерален окръг. Определете от диаграмата коя област е с най-малък дял земеделска земя.
1) Уралски федерален окръг
2) Приволжки федерален окръг
3) Южен федерален окръг
4) Далекоизточен федерален окръг
Решение.
Земеделските земи са оцветени със сектор под формата на хоризонтални линии (виж фигурата). Трябва да изберете район, в който площта на такъв сектор е минимална. Анализът на фигурата показва, че това е Далекоизточният федерален окръг.
отговор: 4.
Задача 19.Баба има 20 чаши: 10 с червени цветя, останалите със сини. Баба налива чай в произволно избрана чаша. Намерете вероятността това да е чаша със сини цветя.
Решение.
Тъй като има точно 20-10 = 10 чаши със сини цветя и има общо 20 чаши, тогава вероятността да се избере произволно чаша със сини цветя ще бъде равна на
.отговор: 0,5.
Задача 20.Центростремителното ускорение при движение в кръг (в m/s2) може да се изчисли по формулата a=w^2*R, където w е ъгловата скорост (в s-1), а R е радиусът на кръга. Използвайки тази формула, намерете радиуса R (в метри), ако ъгловата скорост е 7,5 s-1 и центростремителното ускорение е 337,5 m/s2.
Решение.
От формулата изразяваме радиуса на окръжността, получаваме:
и го изчислете, като заместите данните , , във формулата, която имаме.
В природата движението на тялото често се случва по извити линии. Почти всяко криволинейно движение може да бъде представено като последователност от движения по кръгови дъги. По принцип при движение в кръг скоростта на тялото се променя като по размер,така и в посока.
Равномерно движение около кръг
Кръговото движение се нарича равномерно, ако скоростта остава постоянна.
Според третия закон на Нютон всяко действие предизвиква еднаква и противоположна реакция. На центростремителната сила, с която връзката действа върху тялото, се противодейства еднаква по големина и противоположно насочена сила, с която тялото действа върху връзката. Тази власт Е 6 наименуван центробежен,тъй като е насочен радиално от центъра на кръга. Центробежната сила е равна по големина на центростремителната сила:
Примери
Помислете за случая, когато спортист върти предмет, вързан за края на връв около главата си. Спортистът усеща сила, приложена към ръката и я издърпва навън. За да задържи предмета върху кръга, атлетът (с помощта на конец) го издърпва навътре. Следователно, според третия закон на Нютон, обектът (отново чрез нишка) действа върху ръката с еднаква и противоположна сила и това е силата, която ръката на атлета усеща (фиг. 3.23). Силата, действаща върху обект, е вътрешното напрежение на нишката.
Друг пример: върху спортно оборудване „чук“ се въздейства от кабел, държан от спортиста (фиг. 3.24).
Нека припомним, че центробежната сила действа не върху въртящо се тяло, а върху нишка. Ако е действала центробежна сила върху тялототогава, ако нишката се скъса, тя ще отлети радиално от центъра, както е показано на фиг. 3.25, а. Всъщност обаче, когато нишката се скъса, тялото започва да се движи тангенциално (Фигура 3.25, b) в посока на скоростта, която е имала в момента на скъсване на нишката.
Центробежните сили се използват широко.
Центрофугата е устройство, предназначено за обучение и тестване на пилоти, спортисти и астронавти. Големият радиус (до 15 m) и високата мощност на двигателя (няколко MW) позволяват да се създаде центростремително ускорение до 400 m/s 2 . Центробежната сила притиска телата със сила, превишаваща нормалната сила на гравитацията на Земята повече от 40 пъти. Човек може да издържи временно претоварване от 20-30 пъти, ако лежи перпендикулярно на посоката на центробежната сила, и 6 пъти, ако лежи по посоката на тази сила.
3.8. Елементи за описание на човешкото движение
Човешките движения са сложни и трудни за описване. Въпреки това, в редица случаи е възможно да се идентифицират важни точки, които отличават един тип движение от друг. Помислете например за разликата между бягане и ходене.
Елементи на стъпаловидни движения при ходене са показани на фиг. 3.26. При движенията при ходене всеки крак се редува между поддържане и носене. Периодът на опора включва амортизация (спиране на движението на тялото към опората) и отблъскване, докато периодът на прехвърляне включва ускорение и спиране.
Последователните движения на човешкото тяло и краката му при ходене са показани на фиг. 3.27.
Линии A и B осигуряват висококачествено изображение на движението на краката по време на ходене. Горната линия A се отнася за единия крак, долната линия B за другия. Правите участъци съответстват на моментите на опора на краката върху земята, дъгообразните участъци съответстват на моментите на движение на краката. През определен период от време (а) двата крака са на земята; тогава б)- крак A е във въздуха, крак B продължава да се навежда; и след това (със)- отново двата крака опират на земята. Колкото по-бързо вървите, толкова по-кратки стават интервалите. (АИ С).
На фиг. Фигура 3.28 показва последователните движения на човешкото тяло при бягане и графично представяне на движенията на краката. Както можете да видите на фигурата, при бягане има интервали от време { b, d, /), когато двата крака са във въздуха и няма интервали между краката, които едновременно докосват земята. Това е разликата между бягане и ходене.
Друг често срещан тип движение е отблъскването от опората по време на различни скокове. Оттласкването се осъществява чрез изправяне на избутващия крак и махови движения на ръцете и торса. Задачата на отблъскването е да осигури максималната стойност на вектора на началната скорост на общия център на масата на спортиста и неговата оптимална посока. На фиг. Показани са 3.29 фази
\ Глава 4
ДИНАМИКА НА ШОФИРАНЕМАТЕРИАЛНА ТОЧКА
Динамика е дял от механиката, който изучава движението на тялото, като взема предвид взаимодействието му с други тела.
В раздела „Кинематика” бяха въведени понятията скоростИ ускорениематериална точка. За реални тела тези понятия се нуждаят от изясняване, тъй като за различни реални точки на тялототези характеристики на движение могат да варират. Например извитата футболна топка не само се движи напред, но и се върти. Точките на въртящо се тяло се движат с различни скорости. Поради тази причина първо се разглежда динамиката на материална точка, а след това получените резултати се разширяват към реални тела.