Формула за стереометричен конус. Свойства на правилната призма

Видео курсът „Вземете A“ включва всички теми, необходими за успешно полагане на Единния държавен изпит по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профилния единен държавен изпит по математика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи решения, клопки и тайни на Единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове задачи от Единния държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни концепции. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от част 2 на Единния държавен изпит.

Някои определения:

Многостене геометрично тяло, ограничено от краен брой равнинни многоъгълници, всеки два от които с обща страна не лежат в една и съща равнина. В този случай самите многоъгълници се наричат лица, страните им се наричат ръбове на многостена, а върховете им се наричат върхове на многостена.
Фигурата, образувана от всички лица на полиедър, се нарича негова повърхност ( пълна повърхност), а сумата от площите на всички негови лица е (обща) повърхностна площ.
е многостен с шест лица, които са равни квадрати. Страните на квадратите се наричат ръбове на куба, а върховете се наричат върхове на куба.
е многостен с шест лица и всяко от тях е успоредник. Страните на успоредника се наричат ръбове на паралелепипеда, а върховете им се наричат върхове на паралелепипеда. Двете лица на паралелепипеда се наричат противоположност, ако нямат общ ръб, а тези с общ ръб се наричат съседен. Понякога някои две противоположни лица на паралелепипед се подчертават и извикват причини, тогава останалите лица са странични лица, а техните страни, свързващи върховете на основите на паралелепипеда, са неговите странични ребра.
Прав паралелепипед- това е паралелепипед, чиито странични лица са правоъгълници. е паралелепипед, чиито лица са правоъгълници. Имайте предвид, че всеки правоъгълен паралелепипед е прав паралелепипед, но не всеки прав паралелепипед е правоъгълен.
противоположност. Сегментът, свързващ противоположните върхове на паралелепипед, се нарича диагоналнопаралелепипед. Паралелепипедът има само четири диагонала.
призма ( н- въглища)е многостен с две равни лица н-gons и останалите нлицата са успоредници. Равно на н-гоновете се наричат причини, а успоредниците – странични стени на призмата- Това е призма, чиито странични стени са правоъгълници. Правилно н- въглеродна призма- това е призма, в която всички странични лица са правоъгълници, а основите й са правилни н-gons.
Сумата от площите на страничните стени на призмата се нарича неговата странична повърхност(означено Сстрана). Сумата от площите на всички лица на призмата се нарича повърхност на призмата(означено Спълен).
пирамида ( н- въглища)- това е многостен, който има едно лице - някои н-гон и останалите нлица – триъгълници с общ връх; н- квадрат се нарича база; триъгълници, които имат общ връх се наричат странични лица, а общият им връх се нарича върха на пирамидата. Страните на стените на пирамидата се наричат нейни ребра, а ръбовете, събиращи се във връх, се наричат страничен.
Сумата от площите на страничните стени на пирамидата се нарича странична повърхност на пирамидата(означено Сстрана). Сумата от площите на всички лица на пирамидата се нарича повърхността на пирамидата(обозначава се повърхността Спълен).
Правилнон- въглищна пирамида- това е пирамида, чиято основа е правилна н-gon и всички странични ръбове са равни един на друг. Правилната пирамида има странични лица, които са равни една на друга равнобедрени триъгълници.
Триъгълната пирамида се нарича тетраедър, ако всичките му лица са равни правилни триъгълници. Тетраедърът е специален случай на правилна триъгълна пирамида (т.е. не всяка правилна триъгълна пирамида ще бъде тетраедър).

Аксиоми на стереометрията:

През всеки три точки, които не лежат на една права, има една равнина.
Ако две точки от една права лежат в една равнина, то всички точки от правата лежат в тази равнина.
Ако две равнини имат обща точка, то те имат обща права, на която лежат всички общи точки на тези равнини.

Следствия от аксиомите на стереометрията:

Теорема 1.Една равнина минава през права линия и точка, която не лежи върху нея.
Теорема 2.Една равнина минава през две пресичащи се прави.
Теорема 3.Една равнина минава през две успоредни прави.

Построяване на сечения в стереометрията

За решаване на проблеми в стереометрията е спешно необходимо да можете да конструирате секции от полиедри (например пирамиди, паралелепипеди, кубове, призми) в чертеж с помощта на определена равнина. Нека дадем няколко дефиниции, за да обясним какво е раздел:

Режеща равнинапирамида (призма, паралелепипед, куб) е такава равнина, от двете страни на която има точки на дадена пирамида (призма, паралелепипед, куб).
Напречно сечение на пирамида(призма, паралелепипед, куб) е фигура, състояща се от всички точки, които са общи за пирамидата (призма, паралелепипед, куб) и режещата равнина.
Режещата равнина пресича лицата на пирамидата (паралелепипед, призма, куб) по сегменти, следователно разделима многоъгълник, лежащ в сечащата равнина, страните на който са посочените сегменти.

За да построите сечение на пирамида (призма, паралелепипед, куб), можете и трябва да построите пресечните точки на режещата равнина с ръбовете на пирамидата (призма, паралелепипед, куб) и да свържете всеки две от тях, лежащи на едно и също лице. Обърнете внимание, че последователността на конструиране на върховете и страните на сечението не е от значение. Изграждането на сечения от полиедри се основава на две конструктивни задачи:

Линии на пресичане на две равнини.

Да се построи права, по която се пресичат две равнини α И β (например секуща равнина и лицева равнина на полиедър), трябва да конструирате две от техните общи точки, тогава правата линия, минаваща през тези точки, е линията на пресичане на равнините α И β .

Пресечни точки на права и равнина.

Да се построи пресечната точка на права ли самолети α трябва да се изгради пресечната точка на линията ли прав л 1, по която се пресича равнината α и всяка равнина, съдържаща права л.

Относителното положение на прави линии и равнини в стереометрията

определение:При решаване на задачи по стереометрия се наричат две прави линии в пространството паралелен, ако лежат в една равнина и не се пресичат. Ако прав АИ b, или ABИ CDса успоредни, тогава пишат:

Няколко теореми:

Теорема 1.През всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава една права, успоредна на дадената права.
Теорема 2.Ако една от двете успоредни прави пресича дадена равнина, то другата права също пресича тази равнина.
Теорема 3(знак за успоредни прави). Ако две прави са успоредни на трета права, тогава те са успоредни една на друга.
Теорема 4(около пресечната точка на диагоналите на паралелепипед). Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се разполовяват от тази точка.

Има три възможни случая на взаимно разположение на права линия и равнина в стереометрията:

Правата лежи в равнината (всяка точка от правата лежи в равнината).
Права и равнина се пресичат (имат една обща точка).
Правата и равнината нямат една обща точка.

определение:Права линия и равнина се наричат паралелен, ако нямат общи точки. Ако прав Ауспоредна на равнината β , тогава пишат:

Теореми:

Теорема 1(знак за успоредност между права и равнина). Ако права, която не лежи в дадена равнина, е успоредна на някаква права, лежаща в тази равнина, то тя е успоредна на дадената равнина.
Теорема 2.Ако самолетът (на фигурата – α ) преминава през права линия (на фигурата – с), успоредна на друга равнина (на фигурата – β ), и пресича тази равнина, след това линията на пресичане на равнините (на фигурата - д) е успореден на тази права:

Ако две различни прави лежат в една и съща равнина, тогава те или се пресичат, или са успоредни. Но в пространството (т.е. в стереометрията) е възможен и трети случай, когато няма равнина, в която да лежат две прави линии (и те нито се пресичат, нито са успоредни).

определение:Две прави се наричат кръстосване, ако няма равнина, в която да лежат и двете.

Теореми:

Теорема 1(знак за пресичане на линии). Ако една от двете прави лежи в определена равнина, а другата права пресича тази равнина в точка, която не принадлежи на първата права, тогава тези прави се пресичат.
Теорема 2.През всяка от двете пресичащи се прави минава една равнина, успоредна на другата права.

Сега нека въведем концепцията за ъгъл между наклонени линии. Позволявам аИ b Ов пространството и начертайте прави линии през него а 1 и b 1, успоредни на прави линии аИ bсъответно. Ъгъл между пресичащи се прави аИ bнаречен ъгъл между построените пресичащи се прави а 1 и b 1 .

Въпреки това, на практика точката Опо-често избират така, че да принадлежи към една от линиите. Това обикновено е не само по-удобно, но и по-рационално и правилно от гледна точка на конструиране на чертеж и решаване на задача. Следователно за ъгъла между пресичащите се прави даваме следната дефиниция:

определение:Позволявам аИ b- две пресичащи се прави линии. Нека вземем произволна точка Она един от тях (в нашия случай, на правата линия b) и начертайте през него права линия, успоредна на другата от тях (в нашия случай а 1 паралел а). Ъгъл между пресичащи се прави аИ bе ъгълът между построената права и правата, съдържаща точката О(в нашия случай това е ъгълът β между прави линии а 1 и b).

определение:Две прави се наричат взаимно перпендикулярни(перпендикуляр), ако ъгълът между тях е 90°. Перпендикулярни могат да бъдат както прави, които се пресичат, така и прави, лежащи и пресичащи се в една и съща равнина. Ако прав аперпендикулярно на права линия b, тогава пишат:

определение:Двата самолета се наричат паралелен, ако не се пресичат, т.е. нямат допирни точки. Ако два самолета α И β са успоредни, тогава, както обикновено, те пишат:

Теореми:

Теорема 1(знак за успоредни равнини). Ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две прави от друга равнина, то тези равнини са успоредни.
Теорема 2(за свойството на противоположните лица на паралелепипед). Противоположните лица на паралелепипед лежат в успоредни равнини.
Теорема 3(за правите линии на пресичане на две успоредни равнини с трета равнина). Ако две успоредни равнини са пресечени от трета, тогава техните пресечни линии са успоредни една на друга.
Теорема 4.Отсечките от успоредни прави, разположени между успоредни равнини, са равни.
Теорема 5(за съществуването на единствена равнина, успоредна на дадена равнина и минаваща през точка извън нея). През точка, която не лежи в дадена равнина, минава една равнина, успоредна на дадената.

определение:Права, пресичаща равнина, се нарича перпендикулярна на равнината, ако е перпендикулярна на всяка права, лежаща в тази равнина. Ако прав аперпендикулярна на равнината β , след което пишат, както обикновено:

Теореми:

Теорема 1.Ако една от двете успоредни прави е перпендикулярна на третата права, то другата права също е перпендикулярна на тази права.
Теорема 2.Ако една от двете успоредни прави е перпендикулярна на равнина, то другата права също е перпендикулярна на тази равнина.
Теорема 3(за успоредността на прави, перпендикулярни на равнина). Ако две прави са перпендикулярни на една и съща равнина, тогава те са успоредни.
Теорема 4(знак за перпендикулярност на права и равнина). Ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в равнина, то тя е перпендикулярна на тази равнина.
Теорема 5(за равнина, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на дадена права). През всяка точка от пространството минава една равнина, перпендикулярна на дадена права.
Теорема 6(за права, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на дадена равнина). През всяка точка от пространството минава една права, перпендикулярна на дадена равнина.
Теорема 7(за свойството на диагонала на правоъгълен паралелепипед). Квадратът на дължината на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на дължините на трите му ръба, които имат общ връх:

Последица:И четирите диагонала на правоъгълен паралелепипед са равни един на друг.

Теорема за три перпендикуляра

Нека точката Ане лежи в самолет α . Нека начертаем през точката Аправа линия, перпендикулярна на равнината α , и означете с буквата ОТНОСНОпресечната точка на тази права с равнината α . Перпендикуляр, прекаран от точка Адо самолета α , наречен сегмент АД, точка ОТНОСНОнаречена основа на перпендикуляра. Ако АД– перпендикулярна на равнината α , А М– произволна точка от тази равнина, различна от точката ОТНОСНО, след това сегмента сутринтанаречена наклонена, изтеглена от точка Адо самолета α , и точка М– наклонена основа. Линеен сегмент ОМ– ортогонална проекция (или накратко проекция) наклонена сутринтадо самолета α . Сега представяме теорема, която играе важна роля при решаването на много проблеми.

Теорема 1 (за три перпендикуляра): Права линия, начертана в равнина и перпендикулярна на проекцията на наклонена върху тази равнина, също е перпендикулярна на наклонената. Обратното също е вярно:

Теорема 2 (за три перпендикуляра): Права линия, начертана в равнина и перпендикулярна на наклонена, също е перпендикулярна на своята проекция върху тази равнина. Тези теореми, за обозначението от чертежа по-горе, могат да бъдат формулирани накратко, както следва:

Теорема:Ако от една точка, взета извън равнината, се начертаят перпендикуляр и два наклонени към тази равнина, тогава:

две коси с равни проекции са равни;
От двете наклонени по-голяма е тази, чиято проекция е по-голяма.

Определяне на разстояния от обекти в пространството:

Разстоянието от точка до равнина е дължината на перпендикуляр, прекаран от тази точка към дадена равнина.
Разстоянието между успоредните равнини е разстоянието от произволна точка на една от успоредните равнини до другата равнина.
Разстоянието между права линия и успоредна на нея равнина е разстоянието от произволна точка на правата до равнината.
Разстоянието между пресичащите се прави е разстоянието от една от пресичащите се прави до равнина, минаваща през друга права и успоредна на първата права.

определение:В стереометрията, ортогонална проекция на права линия адо самолета α проекцията на тази права върху равнината се нарича α ако правата линия, определяща посоката на проектиране, е перпендикулярна на равнината α .

коментар:Както може да се види от предишното определение, има много прогнози. Други (с изключение на ортогоналните) проекции на права върху равнина могат да бъдат конструирани, ако правата, определяща посоката на проекцията, не е перпендикулярна на равнината. Но това е ортогоналната проекция на права върху равнина, с която ще се сблъскаме в бъдещи проблеми. И просто ще наречем ортогоналната проекция проекция (както е на чертежа).

определение:Ъгълът между права линия, която не е перпендикулярна на равнина, и тази равнина е ъгълът между права линия и нейната ортогонална проекция върху дадена равнина (ъгъл AOA“ на чертежа по-горе).

Теорема:Ъгълът между права и равнина е най-малкият от всички ъгли, които дадена права образува с прави, лежащи в дадена равнина и минаващи през пресечната точка на правата и равнината.

Дефиниции:

Двустенен ъгъле фигура, образувана от две полуравнини с обща гранична линия и част от пространството, за която тези полуравнини служат като граница.
Линеен двустенен ъгъле ъгъл, чиито страни са лъчи с общ произход на ръба на двустенен ъгъл, които са начертани в лицата му, перпендикулярни на ръба.

По този начин линейният ъгъл на двустенен ъгъл е ъгълът, образуван от пресечната точка на двустенен ъгъл с равнина, перпендикулярна на неговия ръб. Всички линейни ъгли на двустенния ъгъл са равни един на друг. Градусната мярка на двустенния ъгъл е градусната мярка на неговия линеен ъгъл.

Двустенният ъгъл се нарича прав (остър, тъп), ако градусната му мярка е 90° (по-малко от 90°, по-голямо от 90°). В бъдеще, когато решаваме задачи в стереометрията, под двустенен ъгъл винаги ще разбираме този линеен ъгъл, чиято градусна мярка отговаря на условието:

Дефиниции:

Двустенен ъгъл при ръб на полиедър е двустенен ъгъл, чийто ръб съдържа ребро на многостена, а лицата на двустенния ъгъл съдържат лица на многостена, които се пресичат по даден ръб на многостена.
Ъгълът между пресичащите се равнини е ъгълът между прави линии, начертани съответно в тези равнини, перпендикулярни на тяхната пресечна линия през определена точка.
Две равнини се наричат перпендикулярни, ако ъгълът между тях е 90°.

Теореми:

Теорема 1(знак за перпендикулярност на равнините). Ако една от двете равнини минава през права, перпендикулярна на другата равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни.
Теорема 2.Права, лежаща в една от двете перпендикулярни равнини и перпендикулярна на линията, по която те се пресичат, е перпендикулярна на другата равнина.

Симетрия на фигурите

Дефиниции:

Точки МИ М 1 се наричат симетричен спрямо точката О , Ако Ое средата на сегмента ММ 1 .
Точки МИ М 1 се наричат симетричен спрямо права линия л , ако е прав л ММ 1 и перпендикулярна на него.
Точки МИ М 1 се наричат симетричен спрямо равнината α , ако самолетът α минава през средата на сегмента ММ 1 и перпендикулярна на този сегмент.
Точка О(направо л, самолет α ) е наречен център (ос, равнина) на симетрияфигура, ако всяка точка от фигурата е симетрична спрямо точката О(направо л, самолет α ) в дадена точка на същата фигура.
Изпъкнал многостен се нарича правилно, ако всичките му лица са равни правилни многоъгълници и във всеки връх се събират еднакъв брой ръбове.

Призма

Дефиниции:

Призма– многостен, две от чиито лица са равни многоъгълници, лежащи в успоредни равнини, а останалите лица са успоредници, имащи общи страни с тези многоъгълници.
Основания –това са две лица, които са равни многоъгълници, лежащи в успоредни равнини. На чертежа е: А Б В Г ДИ KLMNP.
Странични лица– всички ръбове с изключение на основите. Всяка странична страна е задължително успоредник. На чертежа е: ABLK, BCML, CDNM, DEPNИ EAKP.
Странична повърхност– обединение на странични лица.
Пълна повърхност– комбинация от основи и странична повърхност.
Странични ребра– общи страни на страничните лица. На чертежа е: А.К., Б.Л., СМ., DNИ Е.П..
Височина– отсечка, свързваща основите на призмата и перпендикулярна на тях. На чертежа това е напр. KR.
Диагонал– отсечка, свързваща два върха на призма, които не принадлежат на едно и също лице. На чертежа това е напр. Б.П..
Диагонална равнина– равнина, минаваща през страничния ръб на призмата и диагонала на основата. Друго определение: диагонална равнина– равнина, минаваща през два странични ръба на призмата, които не принадлежат на едно и също лице.
Диагонално сечение– пресечна точка на призма и диагонална равнина. В напречното сечение се образува паралелограм, включително понякога и неговите специални случаи - ромб, правоъгълник, квадрат. На чертежа това е напр. EBLP.
Перпендикулярно (ортогонално) сечение– пресечната точка на призма и равнина, перпендикулярна на нейния страничен ръб.

Свойства и формули за призма:

Основите на призмата са равни многоъгълници.
Страничните стени на призмата са успоредници.
Страничните ръбове на призмата са успоредни и равни.
Обем на призматаравна на произведението на нейната височина и площта на нейната основа:

Където: Соснова – основна площ (на чертежа това е напр. А Б В Г Д), ч– височина (на чертежа това е MN).

Обща повърхност на призматаравна на сумата от площта на неговата странична повърхност и удвоената площ на основата:

Перпендикулярното сечение е перпендикулярно на всички странични ръбове на призмата (на чертежа по-долу перпендикулярното сечение е А 2 б 2 ° С 2 д 2 д 2).
Ъглите на перпендикулярното сечение са линейните ъгли на двустенните ъгли със съответните странични ръбове.
Перпендикулярно (ортогонално) сечение е перпендикулярно на всички странични лица.
Обем на наклонена призмаравно на произведението на площта на перпендикулярното напречно сечение и дължината на страничния ръб:

Където: Ссек – площ на перпендикулярно сечение, л– дължина на страничното ребро (на чертежа по-долу това е напр. А.А. 1 или BB 1 и така нататък).

Площ на страничната повърхностна произволна призма е равна на произведението на периметъра на перпендикулярното сечение и дължината на страничния ръб:

Където: П sec – периметър на перпендикулярно сечение, л– дължина на страничното ребро.

Видове призми в стереометрията:

Ако страничните ръбове не са перпендикулярни на основата, тогава се нарича такава призма наклонен(на снимката по-горе). Основите на такава призма, както обикновено, са разположени в успоредни равнини, страничните ребра не са перпендикулярни на тези равнини, а успоредни една на друга. Страничните стени са успоредници.
- призма, в която всички странични ръбове са перпендикулярни на основата. В права призма страничните ръбове са височините. Страничните стени на права призма са правоъгълници. А площта и периметърът на основата са равни съответно на площта и периметъра на перпендикулярното сечение (в права призма, най-общо казано, перпендикулярното сечение е изцяло същата фигура като основата). Следователно площта на страничната повърхност на права призма е равна на произведението на периметъра на основата и дължината на страничния ръб (или в този случай височината на призмата):

Където: Поснова – периметър на основата на права призма, л– дължина на страничния ръб, равна на височината в права призма ( ч). Обемът на права призма се намира по общата формула: V = Сосновен ∙ ч = Сосновен ∙ л.

Правилна призма– призма, в основата на която лежи правилен многоъгълник (т.е. такъв, в който всички страни и всички ъгли са равни помежду си), а страничните ръбове са перпендикулярни на равнините на основата. Примери за правилни призми:

Свойства на правилната призма:

Основите на правилната призма са правилни многоъгълници.
Страничните стени на правилната призма са равни правоъгълници.
Страничните ръбове на правилната призма са равни един на друг.
Правилната призма е права.

Определение: паралелепипед –Това е призма, чиито основи са успоредници. В това определение ключовата дума е "призма". По този начин паралелепипедът е специален случай на призма, който се различава от общия случай само по това, че в основата си няма произволен многоъгълник, а по-скоро успоредник. Следователно всички горни свойства, формули и дефиниции по отношение на призма остават уместни за паралелепипед. Въпреки това могат да бъдат идентифицирани няколко допълнителни свойства, характерни за паралелепипед.

Други свойства и определения:

Две лица на паралелепипед, които нямат общ ръб, се наричат противоположност, и с общ ръб – съседен.
Наричат се два върха на паралелепипед, които не принадлежат на едно и също лице противоположност.
Нарича се отсечка, свързваща противоположни върхове диагоналнопаралелепипед.
Паралелепипедът има шест лица и всички те са успоредници.
Противоположните лица на паралелепипед са равни и успоредни по двойки.
Паралелепипедът има четири диагонала; всички те се пресичат в една точка и всяка от тях е разделена наполовина от тази точка.
Ако четирите странични стени на паралелепипед са правоъгълници (а основите са произволни успоредници), тогава той се нарича директен(в този случай, като права призма, всички странични ръбове са перпендикулярни на основите). Всички свойства и формули за права призма са приложими за прав паралелепипед.
Паралелепипедът се нарича наклонен, ако не всички негови странични лица са правоъгълници.
Обем на прав или наклонен паралелепипедсе изчислява по общата формула за обема на призмата, т.е. равно на произведението на площта на основата на паралелепипеда и неговата височина ( V = Сосновен ∙ ч).
Прав паралелепипед, в който всичките шест лица са правоъгълници (т.е. освен страничните лица, основите също са правоъгълници), се нарича правоъгълен. За правоъгълен паралелепипед са приложими всички свойства на прав паралелепипед, както и:
- ди ребрата му а, b, ° Сса свързани с отношението:

д 2 = а 2 + b 2 + ° С 2 .

- От общата формула за обема на призмата можем да получим следната формула за обем на правоъгълен паралелепипед:

Нарича се правоъгълен паралелепипед, чиито лица са равни квадрати куб. Освен всичко друго, кубът е правилна четириъгълна призма и като цяло правилен многостен. За куб са валидни всички свойства на правоъгълния паралелепипед и свойствата на правилните призми, както и:
- Абсолютно всички ръбове на куба са равни един на друг.
- Диагонал на куб ди дължината на ръба му аса свързани с отношението:

От формулата за обема на правоъгълен паралелепипед можем да получим следната формула за обем на куба:

Пирамида

Дефиниции:

Пирамида– многостен, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх. Въз основа на броя на ъглите на основата пирамидите се класифицират като триъгълни, четириъгълни и т.н. Фигурата показва примери: четириъгълни и шестоъгълни пирамиди.

База– многоъгълник, който не принадлежи на върха на пирамидата. На чертежа основата е BCDE.
Лица, различни от основата, се наричат страничен. На чертежа е: ABC, ACD, ADEИ AEB.
Общият връх на страничните лица се нарича върха на пирамидата(именно върха на цялата пирамида, а не само върха, както всички останали върхове). На чертежа е така А.
Ръбовете, свързващи върха на пирамидата с върховете на основата, се наричат страничен. На чертежа е: AB, A.C., ADИ А.Е..
Когато обозначавате пирамида, първо назовете нейния връх, а след това върховете на основата. За пирамидата от чертежа обозначението ще бъде както следва: А Б В Г Д.

Височинапирамидисе нарича перпендикуляр, прекаран от върха на пирамидата към нейната основа. Дължината на този перпендикуляр е обозначена с буквата з. На чертежа височината е А.Г.. Забележка: само ако пирамидата е правилна четириъгълна пирамида (както е на чертежа) височината на пирамидата пада върху диагонала на основата. В други случаи това не е така. По принцип за произволна пирамида пресечната точка на височината и основата може да бъде навсякъде.
апотема –височина на страничния ръб правилнопирамида, начертана от върха й. На чертежа това е напр. А.Ф..
Диагонално сечение на пирамида- разрез на пирамида, минаващ през върха на пирамидата и диагонала на основата. На чертежа това е напр. ACE.

Друг стереометричен чертеж със символи за по-добро запаметяване(картинката показва правилна триъгълна пирамида):

Ако всички странични ръбове ( S.A., С.Б., S.C., SDна чертежа по-долу) пирамидите са равни, тогава:

Може да се опише кръг около основата на пирамидата, като върхът на пирамидата е проектиран към нейния център (точка О). С други думи, височина (сегмент ТАКА), спусната от върха на такава пирамида до основата ( ABCD), попада в центъра на описаната около основата окръжност, т.е. в точката на пресичане на бисекторалните перпендикуляри на основата.
Страничните ребра образуват равни ъгли с равнината на основата (на чертежа по-долу това са ъглите SAO, SBO, SCO, S.D.O.).

Важно:Обратното също е вярно, т.е. ако страничните ръбове образуват равни ъгли с равнината на основата или ако може да се опише кръг около основата на пирамидата, като върхът на пирамидата е проектиран в нейния център, тогава всички страничните ръбове на пирамидата са равни.

Ако страничните стени са наклонени към основната равнина под един ъгъл (ъгли DMN, DKN, DLNна чертежа по-долу са равни), тогава:

В основата на пирамидата може да се впише кръг, а върхът на пирамидата да се проектира в нейния център (точка н). С други думи, височина (сегмент DN), спусната от върха на такава пирамида до основата, попада в центъра на кръга, вписан в основата, т.е. в точката на пресичане на ъглополовящите на основата.
Височините на страничните лица (апотемите) са равни. На чертежа по-долу DK, Д.Л., DM– равни апотеми.
Площта на страничната повърхност на такава пирамидаравна на половината от произведението на периметъра на основата и височината на страничната повърхност (апотема).

Където: П– периметър на основата, а– дължина на апотемата.

Важно:Обратното също е вярно, т.е. ако в основата на пирамидата може да се впише кръг и върхът на пирамидата се проектира в центъра й, тогава всички странични стени са наклонени към равнината на основата едновременно ъгъл и височините на страничните лица (апотемата) са равни.

Правилна пирамида

определение:Пирамидата се нарича правилно, ако основата му е правилен многоъгълник, а върхът му е проектиран в центъра на основата. Тогава той има следните свойства:

Всички странични ръбове на правилната пирамида са равни.
Всички странични стени на правилната пирамида са наклонени към равнината на основата под един и същ ъгъл.

Важна забележка:Както можете да видите, правилните пирамиди са едни от онези пирамиди, които включват свойствата, очертани точно по-горе. Наистина, ако основата на правилна пирамида е правилен многоъгълник, тогава центърът на вписаната и описаната окръжност съвпадат и върхът на правилната пирамида се проектира точно в този център (по дефиниция). Важно е обаче да разберете това не само правилнопирамидите могат да имат свойствата, обсъдени по-горе.

В правилната пирамида всички странични лица са еднакви равнобедрени триъгълници.
Можете или да поставите сфера във всяка правилна пирамида, или да опишете сфера около нея.
Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата.

Формули за обем и площ на пирамида

Теорема(за обема на пирамиди с равни височини и равни основни площи). Две пирамиди, които имат равни височини и равни основни площи, имат равни обеми (Разбира се, вероятно вече знаете формулата за обема на пирамида или я виждате няколко реда по-долу и това твърдение изглежда очевидно за вас, но всъщност , ако прецените око", тогава тази теорема не е толкова очевидна (вижте фигурата по-долу). Това важи, между другото, и за други полиедри и геометрични фигури: външният им вид е измамен, следователно, наистина, в математиката трябва да вярвайте само на формули и правилни изчисления).

Обем на пирамидатаможе да се изчисли по формулата:

Където: Сбаза - площта на основата на пирамидата, ч– височина на пирамидата.

Странична повърхност на пирамидатаравна на сумата от площите на страничните лица. За площта на страничната повърхност на пирамида можем формално да напишем следната стереометрична формула:

Където: Сстранична – странична площ, С 1 , С 2 , С 3 – области на страничните лица.

Пълна повърхност на пирамидатаравна на сумата от площта на страничната повърхност и площта на основата:

Дефиниции:

- най-простият многостен, чиито лица са четири триъгълника, с други думи, триъгълна пирамида. За тетраедър всяко от лицата му може да служи като основа. Общо тетраедърът има 4 лица, 4 върха и 6 ръба.
Тетраедърът се нарича правилно, ако всичките му лица са равностранни триъгълници. За правилен тетраедър:
1. Всички ръбове на правилния тетраедър са равни един на друг.
2. Всички лица на правилен тетраедър са равни едно на друго.
3. Периметрите, площите, височините и всички други елементи на всички лица са съответно равни помежду си.

Чертежът показва правилен тетраедър с триъгълници ABC, ADC, CBD, ЛОШО- равен. От общите формули за обема и площта на пирамидата, както и знанията от планиметрията, не е трудно да се получат формули за обем и площ на правилен тетраедър(А– дължина на ребрата):

определение:При решаване на задачи по стереометрия се нарича пирамида правоъгълен, ако един от страничните ръбове на пирамидата е перпендикулярен на основата. В този случай този ръб е височината на пирамидата. По-долу са дадени примери за триъгълни и петоъгълни правоъгълни пирамиди. На снимката вляво S.A.– ръб, който е и височина.

Пресечена пирамида

Дефиниции и свойства:

Пресечена пирамидасе нарича полиедър, затворен между основата на пирамидата и режеща равнина, успоредна на нейната основа.
Фигурата, получена в пресечната точка на режещата равнина и оригиналната пирамида, също се нарича базапресечена пирамида. И така, пресечената пирамида на чертежа има две основи: ABCИ А 1 б 1 ° С 1 .
Страничните стени на пресечената пирамида са трапецовидни. На чертежа това е напр. А.А. 1 Б 1б.
Страничните ребра на пресечена пирамида са частите от ребрата на оригиналната пирамида, затворени между основите. На чертежа това е напр. А.А. 1 .
Височината на пресечена пирамида е перпендикуляр (или дължината на този перпендикуляр), прекаран от някаква точка в равнината на една основа към равнината на друга основа.
Пресечена пирамида се нарича правилно, ако е полиедър, който е отсечен от равнина, успоредна на основата правилнопирамиди.
Основите на правилната пресечена пирамида са правилни многоъгълници.
Страничните стени на правилната пресечена пирамида са равнобедрени трапеци.
Апотемана правилна пресечена пирамида е височината на нейното странично лице.
Площта на страничната повърхност на пресечена пирамида е сумата от площите на всичките й странични лица.

Формули за пресечена пирамида

Обемът на пресечена пирамида е равен на:

Където: С 1 и С 2 – основна площ, ч– височината на пресечената пирамида. На практика обаче е по-удобно да търсите обема на пресечена пирамида по този начин: можете да изградите пресечена пирамида в пирамида, като разширите страничните ребра, докато се пресекат. Тогава обемът на пресечената пирамида може да се намери като разликата между обемите на цялата пирамида и завършената част. Площта на страничната повърхност може също да се търси като разликата между площите на страничната повърхност на цялата пирамида и завършената част. Странична повърхност на правилна пресечена пирамидае равно на полупродукта от сумата от периметрите на основите и апотемата:

Където: П 1 и П 2 – периметри на основите правилнопресечена пирамида, А– дължина на апотемата. Общата площ на всяка пресечена пирамида очевидно се намира като сумата от площите на основите и страничната повърхност:

Пирамида и топка (сфера)

Теорема:В близост до пирамидата можете опишете районакогато в основата на пирамидата лежи вписан многоъгълник (т.е. многоъгълник, около който може да се опише сфера). Това условие е необходимо и достатъчно. Центърът на сферата ще бъде пресечната точка на равнините, минаващи през средните точки на ръбовете на пирамидата, перпендикулярни на тях.

Забележка: От тази теорема следва, че сфера може да бъде описана както около всяка триъгълна, така и около всяка правилна пирамида. Но списъкът с пирамиди, около които може да се опише сферата, не се ограничава до тези видове пирамиди. На чертежа вдясно, на височина SHтрябва да изберете точка ОТНОСНО, на еднакво разстояние от всички върхове на пирамидата: ТАКА = ОВ = операционна система = O.D. = О.А.. След това точка ОТНОСНО– център на описаната сфера.

Теорема:Можете да влезете в пирамидата влезте в сфератакогато симетралните равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.

коментар:Явно не си разбрал прочетеното в горния ред. Основното нещо, което трябва да запомните обаче е, че всяка правилна пирамида е тази, в която може да се впише сфера. Освен това списъкът с пирамиди, в които сферата може да бъде въведена, не се ограничава до правилните.

Определение: Симетрална равнинаразделя двустенния ъгъл наполовина и всяка точка от равнината на ъглополовящата е на еднакво разстояние от лицата, образуващи двустенния ъгъл. На фигурата вдясно самолетът γ е равнината на ъглополовящата на двустенния ъгъл, образуван от равнините α И β .

Стереометричният чертеж по-долу показва топка, вписана в пирамида (или пирамида, описана около топка), докато точката ОТНОСНО– центъра на вписаната сфера. Тази точка ОТНОСНОна еднакво разстояние от всички лица на топката, например:

ОМ = ОО 1

Пирамида и конус

В стереометрията се казва, че конус е вписан в пирамида, ако върховете им съвпадат и основата й е вписана в основата на пирамидата. Освен това е възможно да се постави конус в пирамида само когато апотемите на пирамидата са равни една на друга (необходимо и достатъчно условие).

Конусът се нарича описан около пирамидата, когато върховете им съвпадат, а основата му е описана близо до основата на пирамидата. Освен това е възможно да се опише конус в близост до пирамида само когато всички странични ръбове на пирамидата са равни един на друг (необходимо и достатъчно условие).

Важно свойство:

Пирамида и цилиндър

За цилиндър се казва, че е вписан в пирамида, ако едната му основа съвпада с окръжността, вписана в сечението на пирамидата от равнина, успоредна на основата, а другата основа принадлежи на основата на пирамидата.

Цилиндърът се нарича описан около пирамидата, ако върхът на пирамидата принадлежи на една от нейните основи, а другата й основа е описана близо до основата на пирамидата. Освен това е възможно да се опише цилиндър близо до пирамида само ако в основата на пирамидата има вписан многоъгълник (необходимо и достатъчно условие).

Сфера и топка

Дефиниции:

Сфера– затворена повърхнина, геометричното място на точките в пространството, еднакво отдалечени от дадена точка, т.нар център на сферата. Сферата също е тяло на въртене, образувано от въртене на полукръг около диаметъра си. Радиус на сфератанарича сегмент, свързващ центъра на сферата с произволна точка от сферата.
хордойсферата е сегмент, свързващ две точки от сферата.
Диаметърна сфера се нарича хорда, минаваща през нейния център. Центърът на сферата разделя всеки от нейните диаметри на два равни сегмента. Всеки диаметър на сфера с радиус Ре равно на 2 Р.
Топка– геометрично тяло; съвкупността от всички точки в пространството, които се намират на разстояние не по-голямо от дадено от някакъв център. Това разстояние се нарича радиус на топката. Топката се формира чрез въртене на полукръг около фиксирания й диаметър. Забележка:повърхността (или границата) на топката се нарича сфера. Можем да дадем и следното определение за топка: топката е геометрично тяло, състоящо се от сфера и част от пространството, ограничено от тази сфера.
Радиус, акордИ диаметърна топка се наричат радиус, хорда и диаметър на сферата, която е границата на тази топка.
Разликата между топка и сфера е подобна на разликата между кръг и кръг. Кръгът е права, а окръжността също е всички точки вътре в тази права. Сферата е обвивка, а топката също са всички точки вътре в тази обвивка.
Равнината, минаваща през центъра на сферата (топката), се нарича централна равнина.
Сечението на сфера (топка) от диаметралната равнина се нарича голям кръг (голям кръг).

Теореми:

Теорема 1(за сечението на сфера с равнина). Сечението на сфера с равнина е окръжност. Обърнете внимание, че теоремата остава вярна дори ако равнината минава през центъра на сферата.
Теорема 2(за сечението на топка с равнина). Сечението на топка с равнина е окръжност, а основата на перпендикуляра, прекаран от центъра на топката към равнината на сечението, е центърът на окръжността, получена в сечението.

Най-големият кръг, който може да се получи в сечение на дадена топка от равнина, лежи в сечение, минаващо през центъра на топката ОТНОСНО. Това е, което се нарича големият кръг. Неговият радиус е равен на радиуса на топката. Всякакви две големи окръжности се пресичат по диаметъра на топката AB. Този диаметър също е диаметърът на пресичащите се големи окръжности. През две точки от сферичната повърхност, разположени в краищата на същия диаметър (на фиг. АИ б), можете да нарисувате безброй големи кръгове. Например, безкраен брой меридиани могат да бъдат начертани през полюсите на Земята.

Дефиниции:

Допирателна равнина към сфератае равнина, която има само една обща точка със сфера, а тяхната обща точка се нарича точка на допиране между равнината и сферата.
Допирателна равнина към топкатасе нарича допирателната равнина към сферата, която е границата на тази топка.
Всяка права, лежаща в допирателната равнина на сфера (топка) и минаваща през точката на контакт, се нарича допирателна към сферата (топката). По дефиниция допирателната равнина има само една обща точка със сферата, следователно допирателната права също има само една обща точка със сферата - точката на допиране.

Теореми:

Теорема 1(признак на допирателна равнина към сфера). Равнина, перпендикулярна на радиуса на сферата и минаваща през нейния край, лежащ върху сферата, докосва сферата.
Теорема 2(за свойството на допирателна равнина към сфера). Допирателната равнина към сферата е перпендикулярна на радиуса, прекаран до точката на допиране.

Полиедри и сфера

определение:В стереометрията се нарича полиедър (например пирамида или призма). включени в сферата, ако всичките му върхове лежат на сферата. В този случай се казва, че сферата е описана около многостен (пирамида, призма). По същия начин: полиедър се нарича вписан в топка, ако всичките му върхове лежат на границата на тази топка. В този случай се казва, че топката е описана около полиедъра.

Важно свойство: Центърът на сфера, описана около полиедър, се намира на разстояние, равно на радиуса Рсфери, от всеки връх на полиедъра.Ето примери за полиедри, вписани в сфера:

определение:Полиедърът се нарича описан около сфера (топка), ако сферата (топката) се докосне всекилица на полиедър. В този случай се казва, че сферата и топката са вписани в полиедъра.

Важно: Центърът на сфера, вписана в многостен, се намира на разстояние, равно на радиуса rсфери, от всяка от равнините, съдържащи лицата на многостена.Ето примери за полиедри, описани в близост до сфера:

Обем и повърхност на сфера

Теореми:

Теорема 1(около площта на сфера). Площта на сферата е:

Където: Р– радиус на сферата.

Теорема 2(относно обема на топката). Обем на сфера с радиус Ризчислено по формулата:

Топка сегмент, пласт, сектор

В стереометрията топка сегментЧастта от топката, отсечена от сечащата равнина, се нарича. В този случай връзката между височината, радиуса на основата на сегмента и радиуса на топката:

Където: ч− височина на сегмента, r− радиус на основата на сегмента, Р− радиус на топката. Основна площ на сегмента на топката:

Площ на външната повърхност на сегмента на топката:

Обща площ на сегмента на топката:

Обем на сегмента на топката:

В стереометрията сферичен слойе част от сфера, затворена между две успоредни равнини. Площ на външната повърхност на сферичния слой:

Където: ч− височина на сферичния слой, Р− радиус на топката. Обща повърхност на сферичния слой:

Където: ч− височина на сферичния слой, Р− радиус на топката, r 1 , r 2 – радиуси на основите на сферичния слой, С 1 , С 2 – площи на тези бази. Най-лесният начин да намерите обема на сферичен слой е като разликата в обемите на два сферични сегмента.

В стереометрията сферичен секторнарича част от топка, състояща се от сферичен сегмент и конус с върха в центъра на топката и основата, съвпадаща с основата на сферичния сегмент. Това означава, че сферичният сегмент е по-малък от половин топка. Обща площ на сферичния сектор:

Където: ч− височина на съответния сферичен сегмент, r− радиус на основата на сферичния сегмент (или конус), Р− радиус на топката. Обемът на сферичния сектор се изчислява по формулата:

Дефиниции:

В определена равнина разгледайте кръг с център Ои радиус Р. През всяка точка от окръжността начертаваме права линия, перпендикулярна на равнината на окръжността. Цилиндрична повърхностсе нарича фигурата, образувана от тези линии, а самите линии се наричат образувайки цилиндрична повърхност. Всички образуващи на цилиндрична повърхност са успоредни една на друга, тъй като са перпендикулярни на равнината на окръжността.

Прав кръгъл цилиндърили просто цилиндъре геометрично тяло, ограничено от цилиндрична повърхност и две успоредни равнини, които са перпендикулярни на образуващите на цилиндричната повърхност. Неформално можете да мислите за цилиндър като за права призма с кръг в основата си. Това ще ви помогне лесно да разберете и, ако е необходимо, да извлечете формули за обема и страничната повърхност на цилиндъра.
Странична повърхност на цилиндърасе нарича част от цилиндрична повърхност, разположена между секущи равнини, които са перпендикулярни на нейните генератори, и части (окръжности), отрязани от цилиндрична повърхност на успоредни равнини, се наричат цилиндрови основи. Основите на цилиндъра са две равни окръжности.
Генератор на цилиндъранарича сегмент (или дължината на този сегмент) от генератора на цилиндрична повърхност, разположена между успоредните равнини, в които лежат основите на цилиндъра. Всички образуващи на цилиндъра са успоредни и равни една на друга, а също и перпендикулярни на основите.
Ос на цилиндъранарича сегмент, свързващ центровете на окръжностите, които са основите на цилиндъра.
Височина на цилиндърасе нарича перпендикуляр (или дължината на този перпендикуляр), прекаран от някаква точка в равнината на една основа на цилиндъра към равнината на друга основа. В цилиндър височината е равна на генератора.
Радиус на цилиндърасе нарича радиус на неговите основи.
Цилиндърът се нарича равностранен, ако височината му е равна на диаметъра на основата.
Цилиндър може да се получи чрез завъртане на правоъгълник около една от страните му на 360°.
Ако секущата равнина е успоредна на оста на цилиндъра, то сечението на цилиндъра е правоъгълник, две страни на който са образуващи, а другите две са хорди на основите на цилиндъра.
Аксиално сечениеСечение на цилиндъра се нарича сечение на цилиндъра от равнина, минаваща през неговата ос. Аксиалното сечение на цилиндъра е правоъгълник, две страни на който са образуващите на цилиндъра, а другите две са диаметрите на неговите основи.
Ако режещата равнина е перпендикулярна на оста на цилиндъра, тогава в сечението се образува кръг, равен на основите. На чертежа по-долу: вляво - аксиален разрез; в центъра - сечение, успоредно на оста на цилиндъра; отдясно е разрез, успореден на основата на цилиндъра.

Цилиндър и призма

Казва се, че призмата е вписана в цилиндър, ако основите му са вписани в основите на цилиндъра. В този случай се казва, че цилиндърът е описан около призмата. Височината на призмата и височината на цилиндъра в този случай ще бъдат равни. Всички странични ръбове на призмата ще принадлежат на страничната повърхност на цилиндъра и ще съвпадат с неговите образуващи. Тъй като под цилиндър имаме предвид само прав цилиндър, тогава в такъв цилиндър може да бъде вписана само права призма. Примери:

Призмата се нарича описана около цилиндъра, ако основите му са описани близо до основите на цилиндъра. В този случай се казва, че цилиндърът е вписан в призма. Височината на призмата и височината на цилиндъра в този случай също ще бъдат равни. Всички странични ръбове на призмата ще бъдат успоредни на образуващите на цилиндъра. Тъй като под цилиндър имаме предвид само прав цилиндър, тогава такъв цилиндър може да бъде вписан само в права призма. Примери:

Цилиндър и сфера

Казва се, че сфера (топка) е вписана в цилиндър, ако докосва основите на цилиндъра и всяка негова образуваща. В този случай се казва, че цилиндърът е описан около сфера (топка). Сфера може да бъде вписана в цилиндър само ако е равностранен цилиндър, т.е. диаметърът на основата и височината му са равни. Центърът на вписаната сфера ще бъде средата на оста на цилиндъра, а радиусът на тази сфера ще съвпадне с радиуса на цилиндъра. Пример:

За цилиндър се казва, че е вписан в сфера, ако окръжностите на основите на цилиндъра са сечения на сфера. Казва се, че цилиндър е вписан в сфера, ако основите на цилиндъра са секции на сферата. В този случай топката (сферата) се нарича описана около цилиндъра. Около всеки цилиндър може да се опише сфера. Центърът на описаната сфера ще бъде и средата на оста на цилиндъра. Пример:

Въз основа на Питагоровата теорема е лесно да се докаже следната формула, свързваща радиуса на описаната сфера ( Р), височина на цилиндъра ( ч) и радиус на цилиндъра ( r):

Обем и площ на страничните и пълните повърхности на цилиндъра

Теорема 1(за площта на страничната повърхност на цилиндъра): Площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на произведението на обиколката на основата му и височината му:

Където: Р– радиус на основата на цилиндъра, ч- неговото високо. Тази формула лесно се извлича (или доказва) въз основа на формулата за страничната повърхност на права призма.

Обща повърхност на цилиндъра, както обикновено в стереометрията, е сумата от площите на страничната повърхност и двете основи. Площта на всяка основа на цилиндъра (т.е. просто площта на кръга) се изчислява по формулата:

Следователно общата повърхност на цилиндъра е Спълен цилиндър се изчислява по формулата:

Теорема 2(за обема на цилиндър): Обемът на цилиндър е равен на произведението на площта на основата и височината:

Където: РИ чса съответно радиуса и височината на цилиндъра. Тази формула също така лесно се извежда (доказва) въз основа на формулата за обем на призма.

Теорема 3(Архимед): Обемът на една сфера е един и половина пъти по-малък от обема на цилиндъра, описан около нея, а повърхността на такава сфера е един и половина пъти по-малка от общата повърхност на същият цилиндър:

Конус

Дефиниции:

Конус (по-точно кръгъл конус)наречено тяло, което се състои от кръг (нар основата на конуса), точка, която не лежи в равнината на тази окръжност (нар върха на конуса) и всички възможни сегменти, свързващи върха на конуса с точките на основата. Неформално можете да мислите за конуса като за правилна пирамида с кръг в основата си. Това ще ви помогне лесно да разберете и, ако е необходимо, да извлечете формули за обема и площта на страничната повърхност на конуса.

Отсечките (или техните дължини), свързващи върха на конуса с точките на основната окръжност, се наричат образувайки конус. Всички образуващи на прав кръгов конус са равни една на друга.
Повърхнината на конуса се състои от основата на конуса (кръг) и страничната повърхност (съставена от всички възможни образуващи).
Обединението на образуващите на конус се нарича образуваща (или странична) повърхност на конуса. Образуващата повърхност на конуса е конична повърхност.
Конусът се нарича директен, ако правата линия, свързваща върха на конуса с центъра на основата, е перпендикулярна на равнината на основата. По-нататък ще разгледаме само правия конус, като за краткост ще го наричаме просто конус.
Нагледно прав кръгов конус може да си представим като тяло, получено чрез въртене на правоъгълен триъгълник около катета му като ос. В този случай страничната повърхност на конуса се образува от въртенето на хипотенузата, а основата се образува от въртенето на крака, който не е ос.
Радиус на конусасе нарича радиус на основата му.
Височина на конусанаречен перпендикуляр (или неговата дължина), спуснат от неговия връх към равнината на основата. За прав конус основата на височината съвпада с центъра на основата. Оста на прав кръгов конус е права, съдържаща неговата височина, т.е. права линия, минаваща през центъра на основата и горната част.
Ако секущата равнина минава през оста на конуса, то сечението е равнобедрен триъгълник, чиято основа е диаметърът на основата на конуса, а страните са образуващите на конуса. Този раздел се нарича аксиален.

Ако режещата равнина минава през вътрешната точка на височината на конуса и е перпендикулярна на нея, тогава сечението на конуса е кръг, чийто център е пресечната точка на височината и тази равнина.
Височина ( ч), радиус ( Р) и дължината на образуващата ( л) на прав кръгов конус отговарят на очевидното съотношение:

Обем и площ на страничните и пълните повърхности на конуса

Теорема 1(около площта на страничната повърхност на конуса). Площта на страничната повърхност на конуса е равна на произведението на половината от обиколката на основата и генератора:

Където: Р– радиус на основата на конуса, л– дължина на образуващата на конуса. Тази формула лесно се извлича (или доказва) въз основа на формулата за страничната повърхност на правилна пирамида.

Обща повърхност на конусасе нарича сбор от площта на страничната повърхност и площта на основата. Площта на основата на конуса (т.е. просто площта на кръга) е равна на: Сосновно = πR 2. Следователно общата повърхност на конуса е Спълен конус се изчислява по формулата:

Теорема 2(около обема на конус). Обемът на конус е равен на една трета от произведението на площта на основата и височината:

Където: Р– радиус на основата на конуса, ч- неговото високо. Тази формула също така лесно се извежда (доказва) въз основа на формулата за обема на пирамидата.

Дефиниции:

Равнина, успоредна на основата на конуса и пресичаща конуса, отрязва по-малък конус от него. Останалата част се нарича пресечен конус.

Основата на първоначалния конус и окръжността, получена от сечението на този конус с равнина, се наричат причини, а отсечката, свързваща центровете им е височина на пресечен конус.
Права линия, минаваща през височината на пресечен конус (т.е. през центровете на основите му), е неговата ос.
Частта от страничната повърхност на конуса, която ограничава пресечения конус, се нарича странична повърхност, а сегментите от образуващите на конуса, разположени между основите на пресечения конус, се наричат негови формиране.
Всички образуващи на пресечен конус са равни една на друга.
Пресечен конус може да се получи чрез завъртане на правоъгълен трапец на 360° около страната му, перпендикулярна на основите.

Формули за пресечен конус:

Обемът на пресечен конус е равен на разликата между обемите на пълния конус и на конуса, отсечен от равнина, успоредна на основата на конуса. Обемът на пресечен конус се изчислява по формулата:

Където: С 1 = π r 1 2 и С 2 = π r 2 2 – площ на основите, ч– височина на пресечения конус, r 1 и r 2 – радиуси на горната и долната основа на пресечения конус. Въпреки това, на практика все още е по-удобно да се търси обемът на пресечен конус като разликата между обемите на оригиналния конус и отрязаната част. Площта на страничната повърхност на пресечен конус може също да се търси като разликата между площите на страничната повърхност на оригиналния конус и отрязаната част.

Всъщност площта на страничната повърхност на пресечен конус е равна на разликата между площите на страничните повърхности на пълния конус и конуса, отрязан от равнина, успоредна на основата на конуса. Площ на страничната повърхност на пресечен конусизчислено по формулата:

Където: П 1 = 2π r 1 и П 2 = 2π r 2 – периметри на основите на пресечен конус, л– дължина на образуващата. Обща площ на пресечен конус, очевидно, се намира като сума от площите на основите и страничната повърхност:

Моля, обърнете внимание, че формулите за обема и страничната повърхност на пресечен конус са получени от формули за подобни характеристики на правилна пресечена пирамида.

Конус и сфера

За конус се казва, че е вписан в сфера(топка), ако нейният връх принадлежи на сферата (границата на топката), а обиколката на основата (самата основа) е сечение на сферата (топката). В този случай се казва, че сферата (топката) е описана около конуса. Около прав кръгов конус винаги може да се опише сфера. Центърът на описаната сфера ще лежи на правата линия, съдържаща височината на конуса, а радиусът на тази сфера ще бъде равен на радиуса на окръжността, описана около аксиалното сечение на конуса (този участък е равнобедрен триъгълник) . Примери:

За сфера (топка) се казва, че е вписана в конус, ако сферата (топката) докосва основата на конуса и всяка негова образуваща. В този случай се казва, че конусът е описан около сфера (топка). Винаги можете да поставите сфера в прав кръгъл конус. Центърът му ще лежи на височината на конуса, а радиусът на вписаната сфера ще бъде равен на радиуса на окръжността, вписана в аксиалното сечение на конуса (това сечение е равнобедрен триъгълник). Примери:

Конус и пирамида

Конус се нарича вписан в пирамида (пирамида е описана около конус), ако основата на конуса е вписана в основата на пирамидата и върховете на конуса и пирамидата съвпадат.
Пирамидата се нарича вписана в конус (конус е описан около пирамида), ако нейната основа е вписана в основата на конуса, а страничните ръбове образуват конуса.
Височините на такива конуси и пирамиди са равни една на друга.

Забележка: Повече подробности за това как в стереометрията един конус се вписва в пирамида или как се описва около пирамида, вече бяха обсъдени в

Как да се подготвим успешно за КТ по физика и математика?

За да се подготвите успешно за CT по физика и математика, освен всичко друго, е необходимо да изпълните три най-важни условия:

Проучете всички теми и изпълнете всички тестове и задачи, дадени в учебните материали на този сайт. За да направите това, не ви трябва абсолютно нищо, а именно: отделяйте три до четири часа всеки ден за подготовка за CT по физика и математика, изучаване на теория и решаване на задачи. Факт е, че CT е изпит, при който не е достатъчно само да знаете физика или математика, трябва също така да можете бързо и без грешки да решавате голям брой задачи по различни теми и с различна сложност. Последното може да се научи само чрез решаване на хиляди проблеми.
Научете всички формули и закони във физиката, както и формули и методи в математиката. Всъщност това също е много лесно да се направи; във физиката има само около 200 необходими формули и дори малко по-малко в математиката. Във всеки от тези предмети има около дузина стандартни методи за решаване на проблеми с основно ниво на сложност, които също могат да бъдат научени и по този начин напълно автоматично и без затруднения да се решават повечето от КТ в точното време. След това ще трябва да мислите само за най-трудните задачи.
Явете се и на трите етапа на репетиционното изпитване по физика и математика. Всеки RT може да бъде посетен два пъти, за да се вземе решение за двете опции. Отново, на CT, в допълнение към способността за бързо и ефективно решаване на проблеми и познаване на формули и методи, вие също трябва да можете правилно да планирате времето, да разпределяте силите и най-важното, правилно да попълвате формуляра за отговор, без объркване на номерата на отговорите и проблемите или собственото ви фамилно име. Освен това по време на RT е важно да свикнете със стила на задаване на въпроси в проблемите, което може да изглежда много необичайно за неподготвен човек в DT.

Успешното, усърдно и отговорно изпълнение на тези три точки ще ви позволи да покажете отличен резултат на CT, максимума от това, на което сте способни.

Намерихте грешка?

Ако смятате, че сте открили грешка в учебните материали, моля, пишете за това по имейл. Можете също да съобщите за грешка в социалната мрежа (). В писмото посочете предмета (физика или математика), името или номера на темата или теста, номера на задачата или мястото в текста (страницата), където според вас има грешка. Също така опишете каква е предполагаемата грешка. Писмото ви няма да остане незабелязано, грешката или ще бъде коригирана, или ще ви бъде обяснено защо не е грешка.

У дома

Как да се подготвим за решаване на задачи за единен държавен изпит № 14 по стереометрия | 1C: Учител

Както показват резултатите от профилиран изпит по математика, задачите по геометрия са сред най-трудните за зрелостниците. Въпреки това е възможно да ги разрешите поне частично и следователно да спечелите допълнителни точки към общия резултат. За да направите това, разбира се, трябва да знаете доста за „поведението“ на геометричните фигури и да можете да прилагате тези знания за решаване на проблеми. Тук ще се опитаме да дадем някои препоръки как да се подготвим за решаване на задача по стереометрия.

Какво трябва да знаете за стереометричния проблем № 14 от опцията за единен държавен изпит KIM

Тази задача обикновено се състои от две части:

доказателство, в който ще бъдете помолени да докажете определено твърдение за дадена конфигурация от геометрични тела;

изчисления, в която трябва да намерите определена стойност въз основа на твърдението, което доказахте в първата част на задачата.

За решаването на тази задача на изпита по математика през 2018 г. можете да получите максимума две основни точки. Разрешено е да се реши само „доказателствената“ или само „изчислителната“ част от задачата и в този случай да се спечели една основна точка.

Много ученици на изпит дори не започвайза решаване на задача № 14, въпреки че е много по-проста, например задача № 16 - по планиметрия.

Задача № 14 традиционно включва само няколко въпроса от всички възможни за стереометрични задачи:

намиране на разстояния в пространството;

намиране на ъгли в пространството;

построяване на сечение на полиедри с равнина;

намиране на площта на този участък или обемите на полиедрите, на които тази равнина раздели оригиналния полиедър.
В съответствие с тези въпроси, подготовка за решаване на проблема.

Първо, разбира се, трябва да научите всички необходими аксиоми и теореми, които ще са необходими за доказателствената част на проблема. В допълнение към факта, че познаването на аксиоми и теореми ще ви помогне на изпита директно при решаване на задача, тяхното повторение ще ви позволи да систематизирате и обобщите знанията си по стереометрия като цяло, тоест да създадете вид холистична картина от това знание.

И така, какво трябва да научите?

Методи определяне на равнина в пространството, взаимното разположение на прави и равнини в пространството.

успоредни прави и равнинив космоса.

Определения, характеристики и свойства перпендикулярни прави и равнинив космоса.

След като прегледате теорията, можете да започнете да обмисляте методи за решаване на проблеми. Курсът „1C:Tutor“ включва: видео лекции с теория, симулатори с поетапно решаване на задачи, самопроверки, интерактивни модели, които позволяват на учениците от 10 и 11 клас да изследват визуално методи за решаване на задачи в стереометрията, включително примери за проблеми Единен държавен изпит 2017.

Препоръчваме да решавате проблеми в следната последователност:

Ъгли в пространството (между пресичащи се прави, между права и равнина, между равнини);
Разстояния в пространството (между две точки, между точка и права, между точка и равнина, между пресичащи се прави);
Решаване на полиедри, тоест намиране на ъгли между ръбове и лица, разстояния между ръбове, повърхнини, обеми според елементите, посочени в постановката на проблема;
Раздели на полиедри - методи за конструиране на сечения (например метод на проследяване) и намиране на секционните площи и обеми на получените полиедри след конструиране на сечението (например използване на свойствата на перпендикулярната проекция и метода на обема).

За всички тези видове проблеми има различни методи за разрешаване:

класически (въз основа на определения и характеристики);

проекционен метод;

метод за заместване на точки;

обемен метод.

Трябва да знаете тези методи и да можете да ги прилагате, тъй като има проблеми, които са доста трудни за решаване с един метод и много по-лесно с друг.

При решаване на стереометрични задачи векторно-координатният метод често е по-ефективен от класическия метод. Класическият метод за решаване на проблеми изисква отлично познаване на аксиомите и теоремите на стереометрията, способността да ги прилагате на практика, изграждат чертежи на пространствени тела и намаляват стереометричен проблем до верига от планиметрични. Класическият метод, като правило, води до желания резултат по-бързо от векторно-координатния метод, но изисква известна гъвкавост на мисленето. Векторно-координатният метод е набор от готови формули и алгоритми, но изисква по-продължителни изчисления; обаче, за някои задачи, напр. намиране на ъгли в пространството, тя е за предпочитане пред класическата.

Много кандидати не могат да се справят със стереометричната задача неразвито пространствено въображение. В този случай препоръчваме да използвате интерактивни симулатори с динамични модели на пространствени тела за самообучение. на портала „1C:Tutor“ (за да започнете да ги използвате, трябва да се регистрирате): работейки с тях, вие не само ще можете да „изградите“ решение на проблема „стъпка по стъпка“, но и на три- размерен модел, за да видите всички етапи на конструиране на чертеж от различни ъгли.

Използвайки същите динамични чертежи, препоръчваме да се научите да конструирате секции от полиедри. В допълнение към факта, че моделът автоматично ще провери правилността на вашата конструкция, вие сами можете, като разгледате участъка от различни страни, да се уверите дали е построен правилно или неправилно и ако е неправилно, тогава каква точно е грешката. Конструирането на разрез на хартия с помощта на молив и линийка, разбира се, не предоставя такива възможности. Вижте пример за конструиране на разрез на пирамида с помощта на равнина с помощта на този модел (Щракнете върху снимката, за да отидете на симулатора):

Последният въпрос, на който трябва да обърнете внимание, е намиране на площи или обеми на напречно сечение, получен след построяване на сечение от полиедри. Съществуват и подходи и теореми, които позволяват, в общия случай, значително намаляване на разходите за трудда намерим решение и да получим отговор. В курса 1C:Tutor ви запознаваме с тези техники.

Ако последвахте нашия съвет, разгледахте всички въпроси, повдигнати тук, и решихте достатъчен брой задачи, тогава има голяма вероятност да сте почти готови да решите задачата по стереометрия на специализирания Единен държавен изпит по математика през 2018 г. Тогава просто трябва да се поддържате „във форма“ до самия изпит, тоест да решавате, решавате и решавате проблеми, подобрявайки уменията си прилагат научени техники и методив различни ситуации. Късмет!

Практикувайте редовно решаване на проблеми

За да започнете да учите на портала 1C:Tutor, всичко, от което се нуждаете, е .
Можеш:

учат самостоятелно и безплатноизползване на образователни материали, включително набор от видео уроци, симулатори стъпка по стъпка и онлайн тестове по всяка тема от Единния държавен изпит;
възползвайте се от по-ефективно (като вземете предвид особеностите на възприятието на учениците) средство: вземете, където теорията и методите за решаване на USE задачи по математика ще бъдат разгледани подробно.

През 2017 г. проведохме поредица от уебинари, посветени на рационални уравнения и неравенства. Записите от уеб семинари ще бъдат достъпни за потребители, които се абонират за целия курс 9900₽ 7900₽. За тестване можете купете достъп за един месец за 990 ₽

Ето ключовите фрази, които да помогнат на роботите за търсене да намират по-добре нашите съвети:
Как да решите задача 14 на Единния държавен изпит, задачи по геометрия, решаване на задачи, стереометрия, методи за решаване на проблеми, симулатори, видеоклипове, Единен държавен изпит KIM 2017, подготовка за Единен държавен изпит, профилна математика, профилна математика, решаване на задача върху наклонена триъгълна призма, лица, взаимно перпендикулярни, общ ръб, равнини, точки, равен ръб, странична повърхнина, решаване на задачи върху сечението на многостен, перпендикулярно сечение, изчисляване на обема на фигура, лежи в основата на права триъгълна призма, признаци на равенство и подобие на триъгълници, примери за решаване на USE задачи по геометрия, изчислителни секции, задачи по математика на ниво профил, приложение на методи на сечения, решаване на задачи с площ, USE 2017 задачи по стереометрия, подготовка за Единен държавен изпит, завършили 11 клас през 2018 г., влизащи в технически университет.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Формула за стереометричен конус. Свойства на правилната призма

Построяване на сечения в стереометрията

Относителното положение на прави линии и равнини в стереометрията

Теорема за три перпендикуляра

Симетрия на фигурите

Призма

Пирамида

Правилна пирамида

Формули за обем и площ на пирамида

Пресечена пирамида

Формули за пресечена пирамида

Пирамида и топка (сфера)

Пирамида и конус

Пирамида и цилиндър

Сфера и топка

Полиедри и сфера

Обем и повърхност на сфера

Топка сегмент, пласт, сектор

Цилиндър и призма

Цилиндър и сфера

Обем и площ на страничните и пълните повърхности на цилиндъра

Конус

Обем и площ на страничните и пълните повърхности на конуса

Формули за пресечен конус:

Конус и сфера

Конус и пирамида

Как да се подготвим успешно за КТ по ​​физика и математика?

Намерихте грешка?

Как да се подготвим за решаване на задачи за единен държавен изпит № 14 по стереометрия | 1C: Учител

Какво трябва да знаете за стереометричния проблем № 14 от опцията за единен държавен изпит KIM

Много ученици на изпит дори не започвайза решаване на задача № 14, въпреки че е много по-проста, например задача № 16 - по планиметрия.

Практикувайте редовно решаване на проблеми

Как да се подготвим успешно за КТ по физика и математика?