Събиране с равни правомощия. Степен и неговите свойства

Ако се умножат (или разделят) две степени, които имат различни основи, но едни и същи показатели, тогава техните бази могат да бъдат умножени (или разделени) и степента на резултата може да се остави същата като тази на множителите (или дивидентът и делител).

Най-общо на математически език тези правила се записват по следния начин:
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m

При разделянето b не може да бъде равно на 0, тоест второто правило трябва да бъде допълнено с условието b ≠ 0.

Примери:
2 3 × 3 3 = (2 × 3) 3 = 63 = 36 × 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32

Сега, използвайки тези конкретни примери, ще докажем, че правилата-свойства на степени с еднакви показатели са верни. Нека решим тези примери, сякаш не знаем за свойствата на степените:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Както виждаме, отговорите съвпадат с тези, получени при използване на правилата. Познаването на тези правила ви позволява да опростите изчисленията.

Обърнете внимание, че изразът 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 може да се запише по следния начин:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

Този израз от своя страна е нещо различно от (2 × 3) 3. тоест 6 3.

Разгледаните свойства на градуси със същите показатели могат да се използват и в обратна посока. Например, колко е 18 2?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

Свойствата на степените се използват и при решаване на примери:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664

Основни свойства на степените

"Свойства на степените"е доста популярна заявка в търсачките, която показва голям интерес към свойствата на степента. Събрахме за вас всички свойства на една степен (свойства на степен с естествен показател, свойства на степен с рационален показател, свойства на степен с цяло число) на едно място. Можете да изтеглите кратка версия на измамника "Свойства на степените"в .pdf формат, така че при необходимост лесно да ги запомните или да се запознаете с тях свойства на степенитедиректно на сайта. В детайли свойства на степените с примериобсъдени по-долу.

Изтеглете мамения лист "Свойства на градусите" (формат.pdf)

Свойства на степените (накратко)

а 0=1 ако а≠0

а 1=а

(−а)н=ан, Ако н- дори

(−а)н=−ан, Ако н- странно

(а⋅b)н=ан⋅млрд

(аб)н=anbn

а−н=1ан

(аб)−н=(ба)н

ан⋅сутринта=ан+м

анам=ан−м

(ан)м=ан⋅м

Свойства на степените (с примери)

Имот 1-ва степенВсяко число, различно от нула на нулева степен, е равно на единица. а 0=1 ако а≠0 Например: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1

Имот 2-ра степенВсяко число на първа степен е равно на самото число. а 1=а Например: 231=23, (−9,3)1=−9,3

Имот 3-та степенВсяко число на четна степен е положително. ан=ан, Ако н- четно (делимо на 2) цяло число (− а)н=ан, Ако н- четно (делимо на 2) цяло число Например: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1

Имот 4-та степенВсяко число на нечетна степен запазва знака си. ан=ан, Ако н- нечетно (неделимо на 2) цяло число (− а)н=−ан, Ако н- нечетно (неделимо на 2) цяло число Например: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1

Имот 5-та степенПроизведение от повдигнати числа охна степен, може да се представи като произведение на повдигнати числа с V това степен (и обратното). ( а⋅b)н=ан⋅млрд, при което а, b, н Например: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5

Имот 6-та степенЧастното (деление) на повдигнатите числа охна степен, може да бъде представено като частно от повдигнатите числа с V това степен (и обратното). ( аб)н=anbn, при което а, b, н- всякакви валидни (не непременно цели) числа Например: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1

Имот 7 степенВсяко число на отрицателна степен е равно на реципрочното му число на тази степен. (Реципрочното е числото, по което трябва да се умножи даденото число, за да се получи едно.) а−н=1ан, при което аИ н- всякакви валидни (не непременно цели) числа Например: 7−2=172=149

Имот 8 степенВсяка дроб на отрицателна степен е равна на реципрочната дроб на тази степен. ( аб)−н=(ба)н, при което а, b, н- всякакви валидни (не непременно цели) числа Например: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64

Имот 9-та степенПри умножаване на степени с една и съща основа степените се добавят, но основата остава същата. ан⋅сутринта=ан+м, при което а, н, м- всякакви валидни (не непременно цели) числа Например: 23⋅25=23+5=28, имайте предвид, че това свойство на степента се запазва за отрицателни стойности на степените 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+( −3)= 47−3=44

Имот 10 степенПри деление на степени с една и съща основа степените се изваждат, но основата остава същата. анам=ан−м, при което а, н, м- всякакви валидни (не непременно цели) числа Например:(1,4)2(1,4)3=1,42+3=1,45, забележете как това свойство на степен се прилага към отрицателни степени3−236=3−2−6=3−8, 474− 3=47−(−3 )=47+3=410

Имот 11 степенПри повишаване на степен на степен, степените се умножават. ( ан)м=ан⋅мНапример: (23)2=23⋅2=26=64

Таблица на степените до 10

Малко хора успяват да запомнят цялата таблица с градуси и кой има нужда от нея, когато е толкова лесна за намиране? Нашата таблица на степените включва както популярните таблици с квадрати и кубове (от 1 до 10), така и таблици с други степени, които са по-рядко срещани. Колоните на таблицата на степените показват основите на степента (числото, което трябва да се повдигне на степен), редовете показват експонентите (степента, на която трябва да се повиши числото), а в пресечната точка на желаната колона и желаният ред е резултат от повишаване на желаното число на дадена степен. Има няколко вида проблеми, които могат да бъдат решени с помощта на таблици за захранване. Непосредствената задача е да се изчисли н та степен на число. Обратната задача, която също може да бъде решена с помощта на таблица със степени, може да звучи така: „на каква степен трябва да се повиши числото? а за да получите номера b ?" или "Кое число на степен н дава число b ?".

Таблица на степените до 10

	1 н	2 н	3 н	4 н	5 н	6 н	7 н	8 н	9 н	10 н

Как да използвате градусната таблица

Нека да разгледаме няколко примера за използване на таблицата за мощност.

Пример 1. Какво число се получава от повишаване на числото 6 на 8-ма степен?В таблицата на градусите търсим колона 6 н, тъй като според условията на задачата числото 6 е повдигнато на степен. След това в таблицата на степените търсим ред 8, тъй като даденото число трябва да бъде повдигнато на степен 8. В пресечната точка гледаме отговора: 1679616.

Пример 2. На каква степен трябва да се повдигне числото 9, за да се получи 729?В таблицата на градусите търсим колона 9 ни го спускаме до числото 729 (третия ред от нашата таблица с градуси). Номерът на реда е необходимата степен, тоест отговорът: 3.

Пример 3. Кое число трябва да се повдигне на степен 7, за да се получи 2187?В таблицата на градусите търсим ред 7, след което се движим по него надясно до числото 2187. От намереното число се качваме нагоре и откриваме, че заглавието на тази колона е 3 н, което означава, че отговорът е: 3.

Пример 4. На каква степен трябва да повдигнете 2, за да получите 63?В таблицата на градусите намираме колона 2 ни слизаме по него, докато не срещнем 63... Но това няма да стане. Никога няма да видим числото 63 в тази колона или в която и да е друга колона на таблицата със степени, което означава, че никое цяло число от 1 до 10 не дава числото 63, когато е повдигнато на цяла степен от 1 до 10. Следователно няма отговор .

Всяка аритметична операция понякога става твърде тромава за писане и те се опитват да я опростят. Някога такъв беше случаят с операцията за добавяне. Хората трябваше да извършват многократно добавяне на един и същи тип, например, за да изчислят цената на сто персийски килима, чиято цена е 3 златни монети за всеки. 3+3+3+…+3 = 300. Поради неговата тромава природа беше решено нотацията да се съкрати до 3 * 100 = 300. Всъщност нотацията „три пъти по сто“ означава, че трябва да вземете една сто три и ги съберете. Умножението се улови и спечели обща популярност. Но светът не стои неподвижен и през Средновековието възниква необходимостта от многократно умножение от същия тип. Спомням си една стара индианска гатанка за мъдрец, който поискал житни зърна в следните количества като награда за свършената работа: за първото поле на шахматната дъска искал едно зърно, за второто - две, за третото - четири, за петата - осем и т.н. Така се появи първото умножение на степените, тъй като броят на зърната беше равен на две на степен на числото на клетката. Например в последната клетка ще има 2*2*2*...*2 = 2^63 зърна, което се равнява на число с дължина 18 знака, което всъщност е смисълът на загадката.

Операцията на степенуване се улови доста бързо и бързо се появи необходимостта от извършване на събиране, изваждане, деление и умножение на степени. Последното си струва да се разгледа по-подробно. Формулите за добавяне на степени са прости и лесни за запомняне. Освен това е много лесно да се разбере откъде идват, ако степенната операция се замени с умножение. Но първо трябва да разберете някои основни термини. Изразът a^b (да се чете „a на степен b“) означава, че числото a трябва да се умножи по себе си b пъти, като „a“ се нарича основа на степента, а „b“ е показателят на степента. Ако основите на градусите са еднакви, тогава формулите се извеждат съвсем просто. Конкретен пример: намерете стойността на израза 2^3 * 2^4. За да знаете какво трябва да се случи, трябва да намерите отговора на компютъра, преди да започнете решението. Въвеждането на този израз в който и да е онлайн калкулатор, търсачка, въвеждането на „умножаване на степени с различни бази и еднакви“ или математически пакет, резултатът ще бъде 128. Сега нека напишем този израз: 2^3 = 2*2*2, и 2^4 = 2 *2*2*2. Оказва се, че 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Оказва се, че произведението на степени с еднаква основа е равно на основата, повдигната на степен, равна на сумата от двете предишни степени.

Може би си мислите, че това е случайност, но не: всеки друг пример може само да потвърди това правило. Така най-общо формулата изглежда така: a^n * a^m = a^(n+m) . Има и правило, че всяко число на нулева степен е равно на единица. Тук трябва да запомним правилото за отрицателните степени: a^(-n) = 1 / a^n. Тоест, ако 2^3 = 8, тогава 2^(-3) = 1/8. Използвайки това правило, можете да докажете валидността на равенството a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n), a^ (n) може да се намали и остава едно. От тук се извлича правилото, че частното на степените с еднакви основи е равно на тази основа на степен, равна на частното на делителя и делителя: a^n: a^m = a^(n-m) . Пример: опростете израза 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Умножението е комутативна операция, следователно първо трябва да добавите степените на умножение: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. След това трябва да се справите с деленето на отрицателна степен. Необходимо е да извадите показателя на делителя от показателя на дивидента: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Оказва се, че операцията за деление на отрицателна степен е идентична с операцията за умножение с подобен положителен показател. Така че крайният отговор е 8.

Има примери, при които се извършва неканонично умножение на мощности. Умножаването на степени с различни основи често е много по-трудно, а понякога дори невъзможно. Трябва да се дадат някои примери за различни възможни техники. Пример: опростете израза 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Очевидно е, че има умножение на степени с различни основи. Но трябва да се отбележи, че всички бази са различни степени на три. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Използвайки правилото (a^n) ^m = a^(n*m) , трябва да пренапишете израза в по-удобна форма: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Отговор: 3^11. В случаите, когато има различни бази, правилото a^n * b^n = (a*b) ^n работи при равни показатели. Например 3^3 * 7^3 = 21^3. В противен случай, когато основите и показателите са различни, не може да се извърши пълно умножение. Понякога можете частично да опростите или да прибегнете до помощта на компютърните технологии.

Събиране и изваждане на степени

Очевидно е, че числата със степени могат да се събират като други количества , като ги добавяте един след друг с техните знаци.

И така, сумата от a 3 и b 2 е a 3 + b 2.
Сумата от a 3 - b n и h 5 -d 4 е a 3 - b n + h 5 - d 4.

Коефициенти равни степени на равни променливимогат да се добавят или изваждат.

И така, сборът от 2a 2 и 3a 2 е равен на 5a 2.

Също така е очевидно, че ако вземете два квадрата a, или три квадрата a, или пет квадрата a.

Но градуси различни променливиИ различни степени идентични променливи, трябва да се състави чрез събирането им с техните знаци.

И така, сборът от 2 и 3 е сборът от 2 + 3.

Очевидно е, че квадратът на a и кубът на a не е равен на удвоения квадрат от a, а на удвоения куб от a.

Сборът от a 3 b n и 3a 5 b 6 е a 3 b n + 3a 5 b 6.

Изважданестепените се извършват по същия начин като събирането, с изключение на това, че знаците на субтрахендите трябва да бъдат съответно променени.

Или:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Умножителни степени

Числата със степени могат да се умножават, подобно на други величини, като се записват едно след друго, със или без знак за умножение между тях.

Така резултатът от умножаването на a 3 по b 2 е a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Резултатът в последния пример може да бъде подреден чрез добавяне на идентични променливи.
Изразът ще приеме формата: a 5 b 5 y 3.

Чрез сравняване на няколко числа (променливи) със степени можем да видим, че ако произволни две от тях се умножат, тогава резултатът е число (променлива) със степен, равна на количествостепени на термини.

И така, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тук 5 е степента на резултата от умножението, която е равна на 2 + 3, сумата от степените на членовете.

И така, a n .a m = a m+n .

За a n, a се взема като фактор толкова пъти, колкото степента на n;

И a m се взема като фактор толкова пъти, на колкото е равна степента m;

Ето защо, степени с еднакви основи могат да се умножат чрез добавяне на показателите на степените.

И така, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Умножете (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Отговор: x 4 - y 4.
Умножете (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Това правило е вярно и за числа, чиито експоненти са отрицателен.

1. И така, a -2 .a -3 = a -5 . Това може да се запише като (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ако a + b се умножат по a - b, резултатът ще бъде a 2 - b 2: т.е

Резултатът от умножаването на сбора или разликата на две числа е равен на сбора или разликата на техните квадрати.

Ако сборът и разликата на две числа се повишат до квадрат, резултатът ще бъде равен на сбора или разликата на тези числа в четвъртостепени.

И така, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Деление на степени

Числата със степени могат да се разделят като други числа, като се извади от делителя или като се поставят във вид на дроб.

Така a 3 b 2 делено на b 2 е равно на a 3.

Записването на 5, разделено на 3, изглежда като $\frac $. Но това е равно на 2. В поредица от числа
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
всяко число може да бъде разделено на друго и показателят ще бъде равен на разликапоказатели на делимите числа.

При деление на степени с една и съща основа техните експоненти се изваждат..

И така, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Тоест $\frac = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n. Тоест $\frac = a^n$.

Или:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Правилото важи и за числата с отрицателенстойности на градусите.
Резултатът от разделянето на -5 на -3 е -2.
Освен това $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Необходимо е много добре да овладеете умножението и делението на степени, тъй като такива операции се използват много широко в алгебрата.

Примери за решаване на примери с дроби, съдържащи числа със степени

1. Намалете експонентите с $\frac $ Отговор: $\frac $.

2. Намалете експонентите с $\frac$. Отговор: $\frac$ или 2x.

3. Намалете показателите a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и ги приведете към общ знаменател.
a 2 .a -4 е a -2 първият числител.
a 3 .a -3 е a 0 = 1, вторият числител.
a 3 .a -4 е a -1 , общият числител.
След опростяване: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Редуцирайте показателите 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и ги приведете към общ знаменател.
Отговор: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2.

5. Умножете (a 3 + b)/b 4 по (a - b)/3.

6. Умножете (a 5 + 1)/x 2 по (b 2 - 1)/(x + a).

7. Умножете b 4 /a -2 по h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделете a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Отговор: a/y.

Свойства на степен

Напомняме ви, че в този урок ще разберем свойства на степенитес натурални показатели и нула. Степени с рационални показатели и техните свойства ще се разглеждат в уроците за 8. клас.

Степен с естествен показател има няколко важни свойства, които ни позволяват да опростим изчисленията в примери със степени.

Имот No1
Продукт на мощности

При умножаване на степени с еднакви основи, основата остава непроменена, а показателите на степените се добавят.

a m · a n = a m + n, където „a“ е произволно число, а „m“, „n“ са произволни естествени числа.

Това свойство на степените се отнася и за произведението на три или повече степени.

• Опростете израза.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Представете го като степен.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Представете го като степен.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Моля, обърнете внимание, че в посоченото свойство говорихме само за умножение на степени с еднакви основи. Не се отнася за добавянето им.

Не можете да замените сумата (3 3 + 3 2) с 3 5. Това е разбираемо, ако
пресметнете (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 и 3 5 = 243

Имот No2
Частични степени

При деление на степени с една и съща основа основата остава непроменена и показателят на делителя се изважда от показателя на делителя.

• Запишете частното като степен
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Изчисли.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Пример. Решете уравнението. Използваме свойството частни степени.
3 8: t = 3 4

Отговор: t = 3 4 = 81

Използвайки свойства № 1 и № 2, можете лесно да опростявате изрази и да извършвате изчисления.

Пример. Опростете израза.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Пример. Намерете стойността на израз, като използвате свойствата на експонентите.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Моля, обърнете внимание, че в Свойство 2 говорихме само за разделяне на степени с еднакви основи.

Не можете да замените разликата (4 3 −4 2) с 4 1. Това е разбираемо, ако изчислите (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 и 4 1 = 4

Имот No3
Повишаване на степен на степен

При повишаване на степен на степен основата на степента остава непроменена, а показателите се умножават.

(a n) m = a n · m, където „a“ е произволно число, а „m“, „n“ са произволни естествени числа.

Напомняме ви, че частното може да бъде представено като дроб. Затова ще се спрем по-подробно на темата за повдигане на дроб на степен на следващата страница.

Как да умножим мощностите

Как да умножим правомощията? Кои мощности могат да се умножават и кои не? Как да умножим число по степен?

В алгебрата можете да намерите произведение на степените в два случая:

1) ако степените имат еднакви бази;

2) ако степените са с еднакви показатели.

Когато се умножават степени с еднакви основи, основата трябва да остане същата и трябва да се добавят показателите:

При умножаване на градуси с едни и същи показатели общият показател може да бъде изваден от скоби:

Нека да разгледаме как да умножаваме степени, използвайки конкретни примери.

Единицата не е записана в експонента, но при умножаване на степени се вземат предвид:

При умножаване може да има произволен брой степени. Трябва да запомните, че не е нужно да пишете знака за умножение преди буквата:

В изразите степенуването се извършва първо.

Ако трябва да умножите число по степен, първо трябва да извършите степенуването и едва след това умножението:

Умножение на степени с еднакви основи

Този видео урок е достъпен чрез абонамент

Вече имате абонамент? Да вляза

В този урок ще изучаваме умножение на степени с подобни основи. Първо, нека си припомним определението за степен и формулираме теорема за валидността на равенството . След това ще дадем примери за приложението му върху конкретни числа и ще го докажем. Ще приложим теоремата и за решаване на различни задачи.

Тема: Степен с естествен показател и нейните свойства

Урок: Умножение на степени с еднакви основи (формула)

1. Основни определения

Основни определения:

н- показател,

— нта степен на число.

2. Изложение на теорема 1

Теорема 1.За произволен номер Аи всякакви естествени нИ кравенството е вярно:

С други думи: ако А– произволен брой; нИ кестествени числа, тогава:

Следователно правило 1:

3. Пояснителни задачи

Заключение:специални случаи потвърдиха правилността на теорема № 1. Нека го докажем в общия случай, тоест за всеки Аи всякакви естествени нИ к.

4. Доказателство на теорема 1

Дадено е число А– всякакви; числа нИ к –естествено. Докажи:

Доказателството се основава на определението за степен.

5. Решаване на примери с помощта на теорема 1

Пример 1:Мислете за това като степен.

За да разрешим следните примери, ще използваме теорема 1.

и)

6. Обобщение на теорема 1

Обобщение, използвано тук:

7. Решаване на примери с помощта на обобщение на теорема 1

8. Решаване на различни задачи с помощта на теорема 1

Пример 2:Изчислете (можете да използвате таблицата на основните степени).

а) (според таблицата)

б)

Пример 3:Запишете го като степен с основа 2.

а)

Пример 4:Определете знака на числото:

, А -отрицателно, тъй като показателят при -13 е странно.

Пример 5:Заменете (·) със степен на число с основа r:

Имаме, т.е.

9. Обобщаване

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.Алгебра 7. 6-то издание. М.: Просвещение. 2010 г

1. Училищен асистент (Източник).

1. Представяне като сила:

а б В Г Д)

3. Запишете като степен с основа 2:

4. Определете знака на числото:

а)

5. Заменете (·) със степен на число с основа r:

а) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6

Умножение и деление на степени с еднакви показатели

В този урок ще изучаваме умножение на степени с равни показатели. Първо, нека си припомним основните дефиниции и теореми за умножение и деление на степени с еднакви основи и повдигане на степени на степени. След това формулираме и доказваме теореми за умножение и деление на степени с еднакви показатели. И тогава с тяхна помощ ще решим редица типични проблеми.

Напомняне на основни определения и теореми

Тук а- основата на степента,

— нта степен на число.

Теорема 1.За произволен номер Аи всякакви естествени нИ кравенството е вярно:

При умножаване на степени с еднакви основи степените се събират, основата остава непроменена.

Теорема 2.За произволен номер Аи всякакви естествени нИ к,такова, че н > кравенството е вярно:

При деление на степени с еднакви основи показателите се изваждат, но основата остава непроменена.

Теорема 3.За произволен номер Аи всякакви естествени нИ кравенството е вярно:

Всички изброени теореми бяха за степени с еднакви причини, в този урок ще разгледаме степени със същото показатели.

Примери за умножение на степени с еднакви показатели

Разгледайте следните примери:

Нека запишем изразите за определяне на степента.

Заключение:От примерите се вижда, че , но това все още трябва да се докаже. Нека формулираме теоремата и я докажем в общия случай, тоест за всеки АИ bи всякакви естествени н.

Формулировка и доказателство на теорема 4

За всякакви числа АИ bи всякакви естествени нравенството е вярно:

ДоказателствоТеорема 4 .

По дефиниция на степен:

Така че ние сме го доказали .

За да умножите степени с едни и същи показатели, е достатъчно да умножите основите и да оставите степента непроменена.

Формулировка и доказателство на теорема 5

Нека формулираме теорема за деление на степени с еднакви показатели.

За произволен номер АИ b() и всякакви естествени нравенството е вярно:

ДоказателствоТеорема 5 .

Нека напишем определението за степен:

Изложение на теореми с думи

И така, ние сме го доказали.

За да разделите степени с еднакви експоненти една в друга, достатъчно е да разделите една основа на друга и да оставите степента непроменена.

Решаване на типични задачи с помощта на теорема 4

Пример 1:Присъства като продукт на правомощия.

За да решим следните примери, ще използваме теорема 4.

За да разрешите следния пример, припомнете си формулите:

Обобщение на теорема 4

Обобщение на теорема 4:

Решаване на примери с помощта на обобщена теорема 4

Продължаване на решаването на типични проблеми

Пример 2:Запишете го като мощност на продукта.

Пример 3:Запишете го като степен със степен 2.

Примери за изчисление

Пример 4:Изчислете по най-рационалния начин.

2. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: VENTANA-GRAF

3. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др.Алгебра 7.М.: Просвещение. 2006 г

2. Училищен асистент (Източник).

1. Представяне като продукт на мощности:

А) ; б) ; V) ; G) ;

2. Запишете като мощност на продукта:

3. Запишете като степен със степен 2:

4. Изчислете по най-рационалния начин.

Урок по математика на тема „Умножение и деление на степени“

Раздели:Математика

Педагогическа цел:

ученикът ще научиправи разлика между свойствата на умножение и деление на степени с естествен показател; прилагайте тези свойства в случай на същите основи;

студентът ще има възможностда може да извършва трансформации на степени с различни базиси и да може да извършва трансформации в комбинирани задачи.

Задачи:

организирайте работата на учениците чрез повтаряне на предварително изучен материал;

осигурете нивото на възпроизвеждане чрез извършване на различни видове упражнения;

организира проверка на самооценката на учениците чрез тестване.

Учебни единици от дейност:определяне на степен с натурален показател; компоненти на степента; определение за частно; комбиниран закон за умножение.

I. Организиране на демонстрация на овладяване на съществуващите знания от учениците. (етап 1)

а) Актуализиране на знанията:

2) Формулирайте дефиниция на степен с естествен показател.

a n =a a a a … a (n пъти)

b k =b b b b a… b (k пъти) Обосновете отговора.

II. Организиране на самооценка на степента на владеене на студента в текущия опит. (стъпка 2)

Самопроверка: (самостоятелна работа в два варианта.)

A1) Представете произведението 7 7 7 7 x x x като степен:

A2) Представете степента (-3) 3 x 2 като произведение

A3) Изчислете: -2 3 2 + 4 5 3

Подбирам броя на задачите в теста в съответствие с подготовката на класа.

Давам ви ключа към теста за самопроверка. Критерии: преминаване - без преминаване.

III. Учебно-практическа задача (стъпка 3) + стъпка 4. (учениците сами ще формулират свойствата)

изчислете: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Опростете: a 2 a 20 = ? b 30 b 10 b 15 =?

Докато решават задачи 1) и 2), учениците предлагат решение, а аз, като учител, организирам класа да намери начин за опростяване на степените при умножение с еднакви основи.

Учител: измислете начин за опростяване на степени при умножение с еднакви основи.

В клъстера се появява запис:

Темата на урока е формулирана. Умножение на степени.

Учител: измислете правило за деление на степени с еднакви основи.

Разсъждение: какво действие се използва за проверка на делението? a 5: a 3 = ? че a 2 a 3 = a 5

Връщам се към диаграмата - клъстер и добавям към записа - .. при деление изваждаме и добавяме темата на урока. ...и деление на степени.

IV. Съобщаване на учениците за границите на знанията (като минимум и като максимум).

Учител: минималната задача за днешния урок е да се научите да прилагате свойствата на умножението и делението на степени с еднакви основи, а максималната задача е да прилагате умножението и делението заедно.

Пишем на дъската : a m a n = a m+n ; a m: a n = a m-n

V. Организация на изучаване на нов материал. (стъпка 5)

а) По учебник: № 403 (а, в, д) задачи с различна формулировка

№ 404 (а, г, е) самостоятелна работа, след което организирам взаимна проверка, давам ключовете.

б) За каква стойност на m е валидно равенството? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Задача: измислете подобни примери за деление.

в) № 417 (а), № 418 (а) Капани за ученици: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 = a 2.

VI. Обобщаване на наученото, провеждане на диагностична работа (която насърчава учениците, а не учителя, да изучават тази тема) (стъпка 6)

Диагностична работа.

Тест(поставете ключовете на гърба на тестото).

Варианти на задачата: представете частното x 15 като степен: x 3; представи като степен произведението (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; за кое m е валидно равенството a 16 a m = a 32? намерете стойността на израза h 0: h 2 при h = 0,2; пресметнете стойността на израза (5 2 5 0) : 5 2 .

Обобщение на урока. Отражение.Разделям класа на две групи.

Намерете аргументи в група I: в полза на познаването на свойствата на степента и група II - аргументи, които ще кажат, че можете да правите без свойства. Изслушваме всички отговори и правим заключения. В следващите уроци можете да предложите статистически данни и да извикате рубриката „Не е за вярване!“

Средно човек изяжда 32 10 2 кг краставици през живота си.

Осата е в състояние да направи непрекъснат полет от 3,2 10 2 км.

Когато стъклото се напука, пукнатината се разпространява със скорост около 5 10 3 km/h.

Една жаба изяжда повече от 3 тона комари през живота си. Като използвате градуса, запишете в kg.

За най-плодовита се счита океанската риба - луната (Mola mola), която снася до 300 000 000 яйца с диаметър около 1,3 mm при едно хвърляне на хайвера. Напишете това число с помощта на степен.

VII. Домашна работа.

Историческа справка. Кои числа се наричат ​​числа на Ферма.

стр.19. № 403, № 408, № 417

Използвани книги:

Учебник "Алгебра-7", автори Ю.Н. Макаричев, Н.Г. Миндюк и др.

Дидактически материал за 7. клас, Л.В. Кузнецова, L.I. Звавич, С.Б. Суворов.

Енциклопедия по математика.

Списание "Квант".

Свойства на степени, формулировки, доказателства, примери.

След като се определи силата на едно число, е логично да се говори за степенни свойства. В тази статия ще дадем основните свойства на степента на число, като същевременно ще се докоснем до всички възможни степени. Тук ще предоставим доказателства за всички свойства на степените и ще покажем как тези свойства се използват при решаване на примери.

Навигация в страницата.

Свойства на степените с естествен показател

По дефиниция на степен с естествен показател, степента a n е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a. Въз основа на това определение, а също и с помощта свойства на умножението на реални числа, можем да получим и обосновем следното свойства на степен с естествен показател:

основното свойство на степента a m ·a n =a m+n, нейното обобщение a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k;

свойство на частни степени с еднакви основи a m:a n =a m−n ;

свойство на степента на произведение (a·b) n =a n ·b n , неговото разширение (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;

свойство на частното спрямо естествената степен (a:b) n =a n:b n ;

повдигане на степен на степен (a m) n =a m·n, нейното обобщение (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;

сравнение на степен с нула:

• ако a>0, тогава a n>0 за всяко естествено число n;
• ако a=0, тогава a n =0;
• ако a 2·m >0 , ако a 2·m−1 n ;
• ако m и n са естествени числа, така че m>n, тогава за 0m n и за a>0 неравенството a m >a n е вярно.

Нека веднага да отбележим, че всички написани равенства са идентиченпри посочените условия, дясната и лявата им част могат да се сменят. Например основното свойство на дробта a m ·a n =a m+n с опростяване на изразичесто се използва под формата a m+n =a m ·a n .

Сега нека разгледаме подробно всеки от тях.

Нека започнем със свойството на произведението на две степени с еднакви основи, което се нарича основното свойство на степента: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n е вярно равенството a m ·a n =a m+n.

Нека докажем основното свойство на степента. По дефиницията на степен с естествен показател, произведението на степени с еднакви основи от формата a m · a n може да бъде записано като произведението . Поради свойствата на умножението, полученият израз може да бъде записан като , и този продукт е степен на числото a с естествен показател m+n, тоест a m+n. Това завършва доказателството.

Нека дадем пример, потвърждаващ основното свойство на степента. Нека вземем степени с еднакви основи 2 и естествени степени 2 и 3, като използваме основното свойство на степените, можем да запишем равенството 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Нека проверим неговата валидност, като изчислим стойностите на изразите 2 2 · 2 3 и 2 5 . Извършвайки степенуване, имаме 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 и 2 5 =2 2 2 2 2 = 32 , тъй като получаваме равни стойности, тогава равенството 2 2 ·2 3 =2 5 е правилно и потвърждава основното свойство на степента.

Основното свойство на степента, базирано на свойствата на умножението, може да се обобщи до произведението на три или повече степени с еднакви основи и естествени показатели. Така че за произволно число k от естествените числа n 1 , n 2 , …, n k е вярно равенството a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Например (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Можем да преминем към следващото свойство на степените с естествен показател – свойство на частни степени с еднакви бази: за всяко ненулево реално число a и произволни естествени числа m и n, отговарящи на условието m>n, е вярно равенството a m:a n =a m−n.

Преди да представим доказателството за това свойство, нека обсъдим значението на допълнителните условия във формулировката. Условието a≠0 е необходимо, за да избегнем деленето на нула, тъй като 0 n =0, а когато се запознахме с деленето, се съгласихме, че не можем да делим на нула. Условието m>n е въведено, за да не излизаме извън естествените степени. Наистина, за m>n показателят a m−n е естествено число, в противен случай ще бъде или нула (което се случва за m−n), или отрицателно число (което се случва за m m−n ·a n =a (m−n) +n =a m. От полученото равенство a m−n ·a n =a m и от връзката между умножение и деление следва, че a m−n е частно на степени a m и a n. Това доказва свойството на частните на степени с същите бази.

Нека дадем пример. Да вземем две степени с еднакви основи π и естествени показатели 5 и 2, равенството π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 отговаря на разглежданото свойство на степента.

Сега нека помислим свойство мощност на продукта: естествената степен n на произведението на произволни две реални числа a и b е равна на произведението на степените a n и b n, тоест (a·b) n =a n ·b n.

Наистина, по дефиницията на степен с естествен показател имаме . Въз основа на свойствата на умножението, последният продукт може да бъде пренаписан като , което е равно на a n · b n .

Ето един пример: .

Това свойство се простира до степента на произведението на три или повече фактора. Тоест, свойството естествена степен n на произведение от k фактора се записва като (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

За по-голяма яснота ще покажем това свойство с пример. За произведението на три множителя на степен 7 имаме .

Следното свойство е свойство на частно в натура: частното на реалните числа a и b, b≠0 към естествената степен n е равно на частното на степените a n и b n, тоест (a:b) n =a n:b n.

Доказателството може да се извърши с помощта на предишното свойство. Така че (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n и от равенството (a:b) n ·b n =a n следва, че (a:b) n е частното от деление a n на bn.

Нека напишем това свойство, използвайки конкретни числа като пример: .

Сега нека го озвучим свойство за повдигане на степен на степен: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n степента на a m на степен n е равна на степента на числото a с показател m·n, тоест (a m) n =a m·n.

Например (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Доказателството за свойството степен към степен е следната верига от равенства: .

Разглежданото свойство може да бъде разширено до степен до степен до степен и т.н. Например, за всякакви естествени числа p, q, r и s, равенството . За по-голяма яснота нека дадем пример с конкретни числа: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10.

Остава да се спрем на свойствата на сравняване на степени с естествен показател.

Нека започнем с доказване на свойството за сравняване на нула и степен с естествен показател.

Първо, нека докажем, че a n >0 за всяко a>0.

Произведението на две положителни числа е положително число, както следва от определението за умножение. Този факт и свойствата на умножението предполагат, че резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа също ще бъде положително число. А степента на число a с естествен показател n по дефиниция е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a. Тези аргументи ни позволяват да твърдим, че за всяка положителна основа a степента a n е положително число. Поради доказаното свойство 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 и .

Съвсем очевидно е, че за всяко естествено число n с a=0 степента на a n е нула. Наистина, 0 n =0·0·…·0=0 . Например 0 3 =0 и 0 762 =0.

Нека преминем към отрицателните основи на степен.

Нека започнем със случая, когато показателят е четно число, нека го обозначим като 2·m, където m е естествено число. Тогава . Съгласно правилото за умножение на отрицателни числа всяко от произведенията от формата a·a е равно на произведението на абсолютните стойности на числата a и a, което означава, че е положително число. Следователно продуктът също ще бъде положителен и степен a 2·m. Нека дадем примери: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

И накрая, когато основата a е отрицателно число и показателят е нечетно число 2 m−1, тогава . Всички продукти a·a са положителни числа, произведението на тези положителни числа също е положително и неговото умножение по оставащото отрицателно число a води до отрицателно число. Поради това свойство (−5) 3 17 n n е произведението на лявата и дясната страна на n верни неравенства a свойства на неравенствата, доказуемо неравенство от вида a n n също е вярно. Например, поради това свойство, неравенствата 3 7 7 и .

Остава да докажем и последното от изброените свойства на степените с естествен показател. Нека го формулираме. От две степени с естествени показатели и еднакви положителни основи, по-малки от единица, тази, чийто показател е по-малък, е по-голяма; и от две степени с естествен показател и еднакви основи, по-големи от единица, тази, чийто степен е по-голяма, е по-голяма. Нека преминем към доказателството на това свойство.

Нека докажем, че за m>n и 0m n . За да направим това, записваме разликата a m − a n и я сравняваме с нула. Записаната разлика, след изваждане на n извън скобите, ще приеме формата a n ·(a m−n−1) . Полученият продукт е отрицателен като произведението на положително число a n и отрицателно число a m−n −1 (a n е положително като естествена степен на положително число, а разликата a m−n −1 е отрицателна, тъй като m−n >0 поради началното условие m>n, откъдето следва, че когато 0m−n е по-малко от единица). Следователно, a m −a n m n , което трябваше да бъде доказано. Като пример даваме правилното неравенство.

Остава да се докаже и втората част от имота. Нека докажем, че за m>n и a>1 a m >a n е вярно. Разликата a m −a n след изваждане на n извън скобите приема формата a n ·(a m−n −1) . Това произведение е положително, тъй като за a>1 степента a n е положително число, а разликата a m−n −1 е положително число, тъй като m−n>0 поради началното условие, а за a>1 степента a m−n е по-голямо от едно. Следователно, a m −a n >0 и a m >a n, което трябваше да бъде доказано. Това свойство се илюстрира от неравенството 3 7 >3 2.

Свойства на степени с цели показатели

Тъй като положителните цели числа са естествени числа, тогава всички свойства на степени с цели положителни показатели съвпадат точно със свойствата на степени с естествени показатели, изброени и доказани в предходния параграф.

Дефинирахме степен с цяло число отрицателен показател, както и степен с нулев показател, по такъв начин, че всички свойства на степени с естествени показатели, изразени чрез равенства, останаха валидни. Следователно, всички тези свойства са валидни както за нулев показател, така и за отрицателен показател, докато, разбира се, основите на степените са различни от нула.

И така, за всички реални и ненулеви числа a и b, както и за всички цели числа m и n, е вярно следното: свойства на степени с цели показатели:

• a m · a n = a m+n ;
• a m:a n =a m−n ;
• (a·b) n = a n · b n ;
• (a:b) n =a n:b n;
• (a m) n = a m·n;
• ако n е положително цяло число, a и b са положителни числа и a n n и a −n >b −n ;
• ако m и n са цели числа и m>n, тогава за 0m n и за a>1 е в сила неравенството a m >a n.

Когато a=0, степените a m и a n имат смисъл само когато и m, и n са цели положителни числа, тоест естествени числа. Така току-що записаните свойства са валидни и за случаите, когато a=0 и числата m и n са цели положителни числа.

Доказването на всяко от тези свойства не е трудно, достатъчно е да се използват дефинициите на степени с естествени и цели числа, както и свойствата на операциите с реални числа. Като пример, нека докажем, че свойството степен към степен е валидно както за положителни цели, така и за неположителни цели числа. За да направите това, трябва да покажете, че ако p е нула или естествено число и q е нула или естествено число, тогава равенствата (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) и (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Хайде да го направим.

За положителни p и q, равенството (a p) q =a p·q беше доказано в предишния параграф. Ако p=0, тогава имаме (a 0) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1, откъдето (a 0) q =a 0·q. По същия начин, ако q=0, тогава (a p) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1, откъдето (a p) 0 =a p·0. Ако и двете p=0 и q=0, тогава (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1, откъдето (a 0) 0 =a 0·0.

Сега доказваме, че (a −p) q =a (−p)·q . Тогава по дефиниция на степен с отрицателен цяло число . По свойството частни на степени имаме . Тъй като 1 p =1·1·…·1=1 и , тогава . Последният израз по дефиниция е степен от формата a −(p·q), която поради правилата за умножение може да бъде записана като a (−p)·q.

По същия начин .

И .

Използвайки същия принцип, можете да докажете всички други свойства на степен с цяло число, записани под формата на равенства.

В предпоследното от записаните свойства си струва да се спрем на доказателството на неравенството a −n >b −n, което е валидно за всяко отрицателно цяло число −n и всяко положително a и b, за които е изпълнено условието a . Нека запишем и трансформираме разликата между лявата и дясната страна на това неравенство: . Тъй като по условие а n n , следователно b n −a n >0 . Произведението a n · b n също е положително като произведението на положителните числа a n и b n . Тогава получената дроб е положителна като частно на положителните числа b n −a n и a n ·b n . Следователно, откъде a −n >b −n , което трябваше да се докаже.

Последното свойство на степени с цели показатели се доказва по същия начин като подобно свойство на степени с естествени показатели.

Свойства на степени с рационални показатели

Дефинирахме степен с дробен показател, като разширихме свойствата на степен с целочислен показател към него. С други думи, степени с дробни показатели имат същите свойства като степени с цели числа. а именно:

1. свойство на произведението на степени с еднакви бази за a>0 и ако и, тогава за a≥0;
2. свойство на частни степени с еднакви бази за a>0 ;
3. свойство на произведение на дробна степен за a>0 и b>0, и ако и, тогава за a≥0 и (или) b≥0;
4. свойство на частно на дробна степен за a>0 и b>0, и ако , тогава за a≥0 и b>0;
5. свойство на степен на степен за a>0 и ако и, тогава за a≥0;
6. свойство за сравняване на степени с равни рационални показатели: за всякакви положителни числа a и b, a 0 неравенството a p p е вярно и за p p >b p ;
7. свойството да се сравняват степени с рационални показатели и равни бази: за рационални числа p и q, p>q за 0p q, а за a>0 – неравенство a p >a q.

Доказателството на свойствата на степените с дробен показател се основава на дефиницията на степен с дробен показател, на свойствата на аритметичния корен от n-та степен и на свойствата на степен с цяло число. Нека предоставим доказателства.

По дефиниция на степен с дробен показател и , тогава . Свойствата на аритметичния корен ни позволяват да напишем следните равенства. Освен това, използвайки свойството на степен с цяло число, получаваме , от което, по дефиницията на степен с дробен показател, имаме , а показателят за получената степен може да се трансформира по следния начин: . Това завършва доказателството.

Второто свойство на степените с дробни показатели се доказва по абсолютно подобен начин:


Останалите равенства се доказват с помощта на подобни принципи:


Да преминем към доказване на следващото свойство. Нека докажем, че за всяко положително a и b, a 0 неравенството a p p е вярно и за p p >b p . Нека запишем рационалното число p като m/n, където m е цяло число, а n е естествено число. Условията p 0 в този случай ще бъдат съответно еквивалентни на условията m 0. За m>0 и am m . От това неравенство, по свойството на корените, имаме и тъй като a и b са положителни числа, тогава въз основа на дефиницията на степен с дробен показател, полученото неравенство може да бъде пренаписано като, тоест a p p .

По същия начин, за m m >b m , откъдето, тоест a p >b p .

Остава да докажем последното от изброените свойства. Нека докажем, че за рационални числа p и q, p>q за 0p q, а за a>0 – неравенството a p >a q. Винаги можем да сведем рационалните числа p и q до общ знаменател, дори ако получим обикновени дроби и , където m 1 и m 2 са цели числа, а n е естествено число. В този случай условието p>q ще съответства на условието m 1 >m 2, което следва от правилото за сравняване на обикновени дроби с еднакви знаменатели. След това, чрез свойството за сравняване на степени с еднакви основи и естествени показатели, за 0m 1 m 2 и за a>1, неравенството a m 1 >a m 2. Тези неравенства в свойствата на корените могат да бъдат пренаписани съответно като И . А дефиницията на степен с рационален показател ни позволява да преминем към неравенствата и съответно. Оттук правим крайния извод: за p>q и 0p q , а за a>0 – неравенството a p >a q .

Свойства на степени с ирационални показатели

От начина, по който се дефинира степен с ирационален показател, можем да заключим, че тя има всички свойства на степени с рационален показател. Така че за всяко a>0, b>0 и ирационални числа p и q е вярно следното свойства на степени с ирационални показатели:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p·q;
6. за всякакви положителни числа a и b, a 0 неравенството a p p е вярно и за p p >b p ;
7. за ирационални числа p и q, p>q за 0p q, а за a>0 – неравенството a p >a q.

От това можем да заключим, че степени с всякакви реални показатели p и q за a>0 имат същите свойства.

• Алгебра - 10 клас. Тригонометрични уравнения Урок и презентация по темата: "Решаване на най-простите тригонометрични уравнения" Допълнителни материали Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения! Всички материали […]
• Открит е конкурс за позицията „ПРОДАВАЧ - КОНСУЛТАНТ”: Отговорности: продажба на мобилни телефони и аксесоари за мобилни комуникации, обслужване на клиенти на абонати на Beeline, Tele2, MTS, свързване на тарифни планове и услуги на Beeline и Tele2, консултации на MTS [… ]
• Формула за паралелепипед Паралелепипедът е многостен с 6 лица, всяко от които е успоредник. Кубоидът е паралелепипед, всяка страна на който е правоъгълник. Всеки паралелепипед се характеризира с 3 […]
• Приемете закон за семейните имоти. Приемете федерален закон за безвъзмездното разпределение на парцел земя на всеки желаещ гражданин на Руската федерация или семейство от граждани за развитието на семейно имение върху него при следните условия: 1. Парцелът е разпределени за […]
• Общество за защита на правата на потребителите Астана За да получите пин код за достъп до този документ на нашия уебсайт, изпратете SMS съобщение с текст zan на номер Абонати на GSM оператори (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) от изпращане на SMS до номер, […]
• ИНСПЕКЦИЯ НА ГОСТЕХНАДЗОР НА БРЯНСКА ОБЛАСТ Квитанция за плащане на държавно мито (Изтегляне-12,2 kb) Заявления за регистрация за физически лица (Изтегляне-12 kb) Заявления за регистрация на юридически лица (Изтегляне-11,4 kb) 1. При регистрация на нов автомобил : 1.заявление 2.паспорт […]
• ПРАВОПИС N И NN В РАЗЛИЧНИ ЧАСТИ НА РЕЧТА S.G. ZELINSKAYA ДИДАКТИЧЕН МАТЕРИАЛ Теоретично упражнение 1. Кога се пише nn в прилагателни? 2. Посочете изключенията от тези правила. 3. Как да различим отглаголно прилагателно с наставка -n- от причастие с […]
• Пивоев В.М. Философия и методология на науката: учебник за магистри и докторанти Петрозаводск: Издателство PetrSU, 2013. - 320 стр. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Учебникът е предназначен за старши студенти, магистри и докторанти на социалните и […]

След като се определи силата на едно число, е логично да се говори за степенни свойства. В тази статия ще дадем основните свойства на степента на число, като същевременно ще се докоснем до всички възможни степени. Тук ще предоставим доказателства за всички свойства на степените и ще покажем как тези свойства се използват при решаване на примери.

Навигация в страницата.

Свойства на степените с естествен показател

По дефиниция на степен с естествен показател, степента a n е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a. Въз основа на това определение, а също и с помощта свойства на умножението на реални числа, можем да получим и обосновем следното свойства на степен с естествен показател:

1. основното свойство на степента a m ·a n =a m+n, нейното обобщение;
2. свойство на частни степени с еднакви основи a m:a n =a m−n ;
3. свойство мощност на продукта (a·b) n =a n ·b n, неговото разширение;
4. свойство на частното спрямо естествената степен (a:b) n =a n:b n ;
5. повдигане на степен на степен (a m) n =a m·n, нейното обобщение (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. сравнение на степен с нула:
   • ако a>0, тогава a n>0 за всяко естествено число n;
   • ако a=0, тогава a n =0;
   • ако<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ако a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. ако a и b са положителни числа и a
8. ако m и n са естествени числа, така че m>n, тогава при 0 0 неравенството a m >a n е вярно.

Нека веднага да отбележим, че всички написани равенства са идентиченпри посочените условия, дясната и лявата им част могат да се сменят. Например основното свойство на дробта a m ·a n =a m+n с опростяване на изразичесто се използва под формата a m+n =a m ·a n .

Сега нека разгледаме подробно всеки от тях.

Нека започнем със свойството на произведението на две степени с еднакви основи, което се нарича основното свойство на степента: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n е вярно равенството a m ·a n =a m+n.

Нека докажем основното свойство на степента. По дефиницията на степен с естествен показател, произведението на степени с еднакви основи от формата a m · a n може да бъде записано като произведение. Поради свойствата на умножението, полученият израз може да бъде записан като , и този продукт е степен на числото a с естествен показател m+n, тоест a m+n. Това завършва доказателството.

Нека дадем пример, потвърждаващ основното свойство на степента. Нека вземем степени с еднакви основи 2 и естествени степени 2 и 3, като използваме основното свойство на степените, можем да запишем равенството 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Нека проверим неговата валидност, като изчислим стойностите на изразите 2 2 · 2 3 и 2 5 . Извършвайки степенуване, имаме 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32и 2 5 =2·2·2·2·2=32, тъй като се получават равни стойности, то равенството 2 2 ·2 3 =2 5 е правилно и то потвърждава основното свойство на степента.

Основното свойство на степента, базирано на свойствата на умножението, може да се обобщи до произведението на три или повече степени с еднакви основи и естествени показатели. Така че за всяко число k от естествените числа n 1, n 2, …, n k равенството е вярно a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Например, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Можем да преминем към следващото свойство на степените с естествен показател – свойство на частни степени с еднакви бази: за всяко ненулево реално число a и произволни естествени числа m и n, отговарящи на условието m>n, е вярно равенството a m:a n =a m−n.

Преди да представим доказателството за това свойство, нека обсъдим значението на допълнителните условия във формулировката. Условието a≠0 е необходимо, за да избегнем деленето на нула, тъй като 0 n =0, а когато се запознахме с деленето, се съгласихме, че не можем да делим на нула. Условието m>n е въведено, за да не излизаме извън естествените степени. Наистина, за m>n показателят a m−n е естествено число, в противен случай ще бъде или нула (което се случва за m−n), или отрицателно число (което се случва за m

Доказателство. Основното свойство на дробта ни позволява да напишем равенството a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. От полученото равенство a m−n ·a n =a m и следва, че a m−n е частно от степените a m и a n . Това доказва свойството на частните степени с еднакви бази.

Нека дадем пример. Да вземем две степени с еднакви основи π и естествени показатели 5 и 2, равенството π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 отговаря на разглежданото свойство на степента.

Сега нека помислим свойство мощност на продукта: естествената степен n на произведението на произволни две реални числа a и b е равна на произведението на степените a n и b n, тоест (a·b) n =a n ·b n.

Наистина, по дефиницията на степен с естествен показател имаме . Въз основа на свойствата на умножението, последният продукт може да бъде пренаписан като , което е равно на a n · b n .

Ето един пример: .

Това свойство се простира до степента на произведението на три или повече фактора. Тоест, свойството естествена степен n на произведението от k фактора се записва като (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

За по-голяма яснота ще покажем това свойство с пример. За произведението на три множителя на степен 7 имаме .

Следното свойство е свойство на частно в натура: частното на реалните числа a и b, b≠0 към естествената степен n е равно на частното на степените a n и b n, тоест (a:b) n =a n:b n.

Доказателството може да се извърши с помощта на предишното свойство. Така (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, а от равенството (a:b) n ·b n =a n следва, че (a:b) n е частното от a n делено на b n .

Нека напишем това свойство, използвайки конкретни числа като пример: .

Сега нека го озвучим свойство за повдигане на степен на степен: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n степента на a m на степен n е равна на степента на числото a с показател m·n, тоест (a m) n =a m·n.

Например (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Доказателството за свойството степен към степен е следната верига от равенства: .

Разглежданото свойство може да бъде разширено до степен до степен до степен и т.н. Например, за всякакви естествени числа p, q, r и s, равенството . За по-голяма яснота ето пример с конкретни числа: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Остава да се спрем на свойствата на сравняване на степени с естествен показател.

Нека започнем с доказване на свойството за сравняване на нула и степен с естествен показател.

Първо, нека докажем, че a n >0 за всяко a>0.

Произведението на две положителни числа е положително число, както следва от определението за умножение. Този факт и свойствата на умножението предполагат, че резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа също ще бъде положително число. А степента на число a с естествен показател n по дефиниция е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a. Тези аргументи ни позволяват да твърдим, че за всяка положителна основа a степента a n е положително число. Поради доказаното свойство 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 и .

Съвсем очевидно е, че за всяко естествено число n с a=0 степента на a n е нула. Наистина, 0 n =0·0·…·0=0 . Например 0 3 =0 и 0 762 =0.

Нека преминем към отрицателните основи на степен.

Нека започнем със случая, когато показателят е четно число, нека го обозначим като 2·m, където m е естествено число. Тогава . За всяко от произведенията на формата a·a е равно на произведението на модулите на числата a и a, което означава, че е положително число. Следователно продуктът също ще бъде положителен и степен a 2·m. Нека дадем примери: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

И накрая, когато основата a е отрицателно число и показателят е нечетно число 2 m−1, тогава . Всички продукти a·a са положителни числа, произведението на тези положителни числа също е положително и неговото умножение по оставащото отрицателно число a води до отрицателно число. Поради това свойство (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Нека да преминем към свойството за сравняване на степени с еднакви естествени показатели, което има следната формулировка: от две степени с еднакви естествени показатели n е по-малко от тази, чиято основа е по-малка, а по-голяма е тази, чиято основа е по-голяма . Нека го докажем.

Неравенство a n свойства на неравенстватадоказуемо неравенство от формата a n също е вярно (2.2) 7 и .

Остава да докажем и последното от изброените свойства на степените с естествен показател. Нека го формулираме. От две степени с естествени показатели и еднакви положителни основи, по-малки от единица, тази, чийто показател е по-малък, е по-голяма; и от две степени с естествен показател и еднакви основи, по-големи от единица, тази, чийто степен е по-голяма, е по-голяма. Нека преминем към доказателството на това свойство.

Нека докажем, че за m>n и 0 0 поради първоначалното условие m>n, което означава, че при 0

Остава да се докаже и втората част от имота. Нека докажем, че за m>n и a>1 a m >a n е вярно. Разликата a m −a n след изваждане на n извън скобите приема формата a n ·(a m−n −1) . Това произведение е положително, тъй като за a>1 степента a n е положително число, а разликата a m−n −1 е положително число, тъй като m−n>0 поради началното условие, а за a>1 степента a m−n е по-голямо от едно. Следователно, a m −a n >0 и a m >a n, което трябваше да бъде доказано. Това свойство се илюстрира от неравенството 3 7 >3 2.

Свойства на степени с цели показатели

Тъй като положителните цели числа са естествени числа, тогава всички свойства на степени с цели положителни показатели съвпадат точно със свойствата на степени с естествени показатели, изброени и доказани в предходния параграф.

Дефинирахме степен с цяло число отрицателен показател, както и степен с нулев показател, по такъв начин, че всички свойства на степени с естествени показатели, изразени чрез равенства, останаха валидни. Следователно, всички тези свойства са валидни както за нулев показател, така и за отрицателен показател, докато, разбира се, основите на степените са различни от нула.

И така, за всички реални и ненулеви числа a и b, както и за всички цели числа m и n, е вярно следното: свойства на степени с цели показатели:

1. a m · a n = a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n = a n · b n ;
4. (a:b) n =a n:b n;
5. (a m) n = a m·n;
6. ако n е положително цяло число, a и b са положителни числа и a b−n ;
7. ако m и n са цели числа и m>n, тогава при 0 1 е в сила неравенството a m >a n.

Когато a=0, степените a m и a n имат смисъл само когато и m, и n са цели положителни числа, тоест естествени числа. Така току-що записаните свойства са валидни и за случаите, когато a=0 и числата m и n са цели положителни числа.

Доказването на всяко от тези свойства не е трудно, достатъчно е да се използват дефинициите на степени с естествени и цели числа, както и свойствата на операциите с реални числа. Като пример, нека докажем, че свойството степен към степен е валидно както за положителни цели, така и за неположителни цели числа. За да направите това, трябва да покажете, че ако p е нула или естествено число и q е нула или естествено число, тогава равенствата (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) и (a −p) −q =a (−p)·(−q). Хайде да го направим.

За положителни p и q, равенството (a p) q =a p·q беше доказано в предишния параграф. Ако p=0, тогава имаме (a 0) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1, откъдето (a 0) q =a 0·q. По същия начин, ако q=0, тогава (a p) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1, откъдето (a p) 0 =a p·0. Ако и двете p=0 и q=0, тогава (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1, откъдето (a 0) 0 =a 0·0.

Сега доказваме, че (a −p) q =a (−p)·q . Тогава по дефиниция на степен с отрицателен цяло число . По свойството частни на степени имаме . Тъй като 1 p =1·1·…·1=1 и , тогава . Последният израз по дефиниция е степен от формата a −(p·q), която поради правилата за умножение може да бъде записана като a (−p)·q.

По същия начин .

И .

Използвайки същия принцип, можете да докажете всички други свойства на степен с цяло число, записани под формата на равенства.

В предпоследното от записаните свойства си струва да се спрем на доказателството на неравенството a −n >b −n, което е валидно за всяко отрицателно цяло число −n и всяко положително a и b, за които е изпълнено условието a . Тъй като по условие а 0 . Произведението a n · b n също е положително като произведението на положителните числа a n и b n . Тогава получената дроб е положителна като частно на положителните числа b n −a n и a n ·b n . Следователно, откъде a −n >b −n , което трябваше да се докаже.

Последното свойство на степени с цели показатели се доказва по същия начин като подобно свойство на степени с естествени показатели.

Свойства на степени с рационални показатели

Дефинирахме степен с дробен показател, като разширихме свойствата на степен с целочислен показател към него. С други думи, степени с дробни показатели имат същите свойства като степени с цели числа. а именно:

Доказателството за свойствата на степени с дробен показател се основава на дефиницията на степен с дробен показател и върху свойствата на степен с цяло число. Нека предоставим доказателства.

По дефиниция на степен с дробен показател и , тогава . Свойствата на аритметичния корен ни позволяват да напишем следните равенства. Освен това, използвайки свойството на степен с цяло число, получаваме , от което, по дефиницията на степен с дробен показател, имаме , а показателят за получената степен може да се трансформира по следния начин: . Това завършва доказателството.

Второто свойство на степените с дробни показатели се доказва по абсолютно подобен начин:

Останалите равенства се доказват с помощта на подобни принципи:

Да преминем към доказване на следващото свойство. Нека докажем, че за всяко положително a и b, a b p . Нека запишем рационалното число p като m/n, където m е цяло число, а n е естествено число. Условия стр<0 и p>0 в този случай условията m<0 и m>0 съответно. За m>0 и a

По същия начин за m<0 имеем a m >b m , от където, т.е. и a p >b p .

Остава да докажем последното от изброените свойства. Нека докажем, че за рационални числа p и q, p>q при 0 0 – неравенство a p >a q . Винаги можем да сведем рационалните числа p и q до общ знаменател, дори ако получим обикновени дроби и , където m 1 и m 2 са цели числа, а n е естествено число. В този случай условието p>q ще съответства на условието m 1 >m 2, което следва от. След това, чрез свойството за сравняване на степени с еднакви основи и естествени показатели при 0 1 – неравенство a m 1 >a m 2. Тези неравенства в свойствата на корените могат да бъдат пренаписани съответно като И . А дефиницията на степен с рационален показател ни позволява да преминем към неравенствата и съответно. Оттук правим крайния извод: за p>q и 0 0 – неравенство a p >a q .

Свойства на степени с ирационални показатели

От начина, по който се дефинира степен с ирационален показател, можем да заключим, че тя има всички свойства на степени с рационален показател. Така че за всяко a>0, b>0 и ирационални числа p и q е вярно следното свойства на степени с ирационални показатели:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p·q;
6. за всякакви положителни числа a и b, a 0 неравенството a p b p ;
7. за ирационални числа p и q, p>q при 0 0 – неравенство a p >a q .

От това можем да заключим, че степени с всякакви реални показатели p и q за a>0 имат същите свойства.

Библиография.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник по математика за 5 клас. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 7. клас. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8. клас. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 9. клас. образователни институции.
• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10 - 11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (ръководство за постъпващите в технически училища).