Системата се нарича несигурна. §1

Система от m линейни уравнения с n неизвестнинаречена система на формата

Където a ijИ b i (i=1,…,м; b=1,…,н) са някои известни числа и x 1 ,…,x n– неизвестен. При обозначаването на коеф a ijпърви индекс iобозначава номера на уравнението, а второто й– числото на неизвестното, на което се намира този коефициент.

Коефициентите за неизвестните ще запишем под формата на матрица , което ще извикаме матрица на системата.

Числата от дясната страна на уравненията са b 1 ,…,b mса наречени безплатни членове.

Тоталност нчисла c 1 ,…,c nНаречен решениена дадена система, ако всяко уравнение на системата стане равенство след заместване на числа в него c 1 ,…,c nвместо съответните неизвестни x 1 ,…,x n.

Нашата задача ще бъде да намерим решения на системата. В този случай могат да възникнат три ситуации:

Нарича се система от линейни уравнения, която има поне едно решение става. В противен случай, т.е. ако системата няма решения, тогава тя се извиква неставни.

Нека разгледаме начини за намиране на решения на системата.

МАТРИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА СИСТЕМИ ОТ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ

Матриците позволяват накратко да се напише система от линейни уравнения. Нека е дадена система от 3 уравнения с три неизвестни:

Помислете за матрицата на системата и матрици колони от неизвестни и свободни термини

Да намерим работата

тези. в резултат на произведението получаваме лявата страна на уравненията на тази система. След това, използвайки дефиницията на матрично равенство, тази система може да бъде записана във формата

или по-кратко А∙X=B.

Ето и матриците АИ бса известни, а матрицата хнеизвестен. Необходимо е да се намери, защото... неговите елементи са решението на тази система. Това уравнение се нарича матрично уравнение.

Нека детерминантата на матрицата е различна от нула | А| ≠ 0. Тогава матричното уравнение се решава по следния начин. Умножете двете страни на уравнението отляво по матрицата А-1, обратна на матрицата А: . Тъй като A -1 A = EИ д∙X = X, тогава получаваме решение на матричното уравнение във формата X = A -1 B .

Имайте предвид, че тъй като обратната матрица може да бъде намерена само за квадратни матрици, матричният метод може да реши само онези системи, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните. Въпреки това, матричен запис на системата е възможен и в случай, че броят на уравненията не е равен на броя на неизвестните, тогава матрицата Аняма да бъде квадрат и следователно е невъзможно да се намери решение на системата във формата X = A -1 B.

Примери.Решаване на системи от уравнения.

ПРАВИЛОТО НА КРЕЙМЪР

Да разгледаме система от 3 линейни уравнения с три неизвестни:

Детерминант от трети ред, съответстващ на системната матрица, т.е. съставен от коефициенти за неизвестни,

Наречен детерминанта на системата.

Нека съставим още три детерминанти, както следва: заместваме последователно 1, 2 и 3 колони в детерминанта D с колона от свободни членове

Тогава можем да докажем следния резултат.

Теорема (правило на Крамер).Ако детерминантата на системата Δ ≠ 0, тогава разглежданата система има едно и само едно решение и

Доказателство. И така, нека разгледаме система от 3 уравнения с три неизвестни. Нека умножим първото уравнение на системата по алгебричното допълнение А 11елемент а 11, 2-ро уравнение – на А 21и 3-то – на А 31:

Нека добавим тези уравнения:

Нека разгледаме всяка от скобите и дясната страна на това уравнение. По теоремата за разлагането на детерминантата в елементи от 1-ва колона

По същия начин може да се покаже, че и .

И накрая, това е лесно да се забележи

Така получаваме равенството: .

Следователно, .

Равенствата и се извеждат аналогично, от което следва твърдението на теоремата.

По този начин отбелязваме, че ако детерминантата на системата Δ ≠ 0, тогава системата има уникално решение и обратно. Ако детерминантата на системата е равна на нула, тогава системата или има безкраен брой решения, или няма решения, т.е. несъвместими.

Примери.Решете система от уравнения

МЕТОД НА ГАУС

Разгледаните по-горе методи могат да се използват за решаване само на онези системи, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните и детерминантата на системата трябва да е различна от нула. Методът на Гаус е по-универсален и подходящ за системи с произволен брой уравнения. Състои се в последователно елиминиране на неизвестни от уравненията на системата.

Разгледайте отново система от три уравнения с три неизвестни:

Първото уравнение ще оставим непроменено, а от 2-ро и 3-то ще изключим членовете, съдържащи х 1. За да направите това, разделете второто уравнение на А 21 и умножете по – А 11 и след това го добавете към първото уравнение. По същия начин разделяме третото уравнение на А 31 и умножете по – А 11 и след това го съберете с първия. В резултат на това оригиналната система ще приеме формата:

Сега от последното уравнение елиминираме члена, съдържащ х 2. За да направите това, разделете третото уравнение на, умножете по и добавете с второто. Тогава ще имаме система от уравнения:

От тук, от последното уравнение е лесно да се намери х 3, след това от 2-ро уравнение х 2и накрая, от 1-ви - х 1.

Когато се използва методът на Гаус, уравненията могат да се разменят, ако е необходимо.

Често, вместо да напишат нова система от уравнения, те се ограничават до написването на разширената матрица на системата:

и след това го приведете в триъгълна или диагонална форма с помощта на елементарни трансформации.

ДА СЕ елементарни трансформацииматриците включват следните трансформации:

пренареждане на редове или колони;
умножаване на низ по число, различно от нула;
добавяне на други редове към един ред.

Примери:Решаване на системи от уравнения по метода на Гаус.

Така системата има безкраен брой решения.

Да се изследва система от линейни възрастови уравнения (SLAE) за последователност означава да се установи дали тази система има решения или не. Е, ако има решения, тогава посочете колко са.

Ще ни е необходима информация от темата "Система от линейни алгебрични уравнения. Основни термини. Матрична форма на запис". По-специално са необходими понятия като системна матрица и разширена системна матрица, тъй като формулировката на теоремата на Кронекер-Капели се основава на тях. Както обикновено, ще обозначим системната матрица с буквата $A$, а разширената матрица на системата с буквата $\widetilde(A)$.

Теорема на Кронекер-Капели

Система от линейни алгебрични уравнения е последователна тогава и само ако рангът на системната матрица е равен на ранга на разширената матрица на системата, т.е. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

Нека ви напомня, че една система се нарича съвместна, ако има поне едно решение. Теоремата на Кронекер-Капели казва следното: ако $\rang A=\rang\widetilde(A)$, тогава има решение; ако $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, тогава този SLAE няма решения (непоследователен). Отговорът на въпроса за броя на тези решения се дава от следствие от теоремата на Кронекер-Капели. Във формулировката на следствието се използва буквата $n$, която е равна на броя на променливите на дадения SLAE.

Следствие от теоремата на Кронекер-Капели

Ако $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, тогава SLAE е непоследователен (няма решения).
Ако $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
Ако $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, тогава SLAE е определен (има точно едно решение).

Моля, обърнете внимание, че формулираната теорема и нейното следствие не показват как да се намери решение на SLAE. С тяхна помощ можете само да разберете дали тези решения съществуват или не, и ако съществуват, тогава колко.

Пример №1

Разгледайте SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned )\right.$ за съвместимост Ако SLAE е съвместим, посочете броя на решенията.

За да открием съществуването на решения на даден SLAE, ние използваме теоремата на Kronecker-Capelli. Ще ни трябват матрицата на системата $A$ и разширената матрица на системата $\widetilde(A)$, ще ги запишем:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(масив) \right). $$

Трябва да намерим $\rang A$ и $\rang\widetilde(A)$. Има много начини да направите това, някои от които са изброени в раздела Matrix Rank. Обикновено се използват два метода за изследване на такива системи: „Изчисляване на ранга на матрица по дефиниция“ или „Изчисляване на ранга на матрица по метода на елементарните трансформации“.

Метод №1. Изчисляването се класира по дефиниция.

Според дефиницията рангът е най-високият порядък на второстепенните елементи на матрица, сред които има поне един, който е различен от нула. Обикновено изследването започва с минор от първи ред, но тук е по-удобно веднага да започнем да изчисляваме минор от трети ред на матрицата $A$. Малките елементи от трети ред се намират в пресечната точка на три реда и три колони на въпросната матрица. Тъй като матрицата $A$ съдържа само 3 реда и 3 колони, минорът от трети порядък на матрицата $A$ е детерминантата на матрицата $A$, т.е. $\Делта A$. За да изчислим детерминантата, прилагаме формула № 2 от темата „Формули за изчисляване на детерминанти от втори и трети ред“:

$$ \Delta A=\left| \begin(масив) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(масив) \right|=-21. $$

И така, има минор от трети порядък на матрицата $A$, който не е равен на нула. Невъзможно е да се създаде минор от четвърти ред, тъй като той изисква 4 реда и 4 колони, а матрицата $A$ има само 3 реда и 3 колони. И така, най-високият ред на минорите на матрицата $A$, сред които има поне един, който не е равен на нула, е 3. Следователно $\rang A=3$.

Също така трябва да намерим $\rang\widetilde(A)$. Нека да разгледаме структурата на матрицата $\widetilde(A)$. До реда в матрицата $\widetilde(A)$ има елементи от матрицата $A$ и открихме, че $\Delta A\neq 0$. Следователно матрицата $\widetilde(A)$ има минор от трети ред, който не е равен на нула. Не можем да конструираме минори от четвърти ред на матрицата $\widetilde(A)$, така че заключаваме: $\rang\widetilde(A)=3$.

Тъй като $\rang A=\rang\widetilde(A)$, то според теоремата на Кронекер-Капели системата е последователна, т.е. има решение (поне едно). За да посочим броя на решенията, вземаме предвид, че нашият SLAE съдържа 3 неизвестни: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Тъй като броят на неизвестните е $n=3$, заключаваме: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, следователно, съгласно следствието от теоремата на Кронекер-Капели, системата е определена, т.е. има уникално решение.

Проблемът е решен. Какви недостатъци и предимства има този метод? Първо, нека поговорим за предимствата. Първо, трябваше да намерим само една детерминанта. След това веднага направихме заключение за броя на решенията. Обикновено стандартните стандартни изчисления дават системи от уравнения, които съдържат три неизвестни и имат уникално решение. За такива системи този метод е много удобен, тъй като ние знаем предварително, че има решение (в противен случай примерът нямаше да бъде в стандартното изчисление). Тези. Всичко, което трябва да направим, е да покажем наличието на решение по най-бързия начин. Второ, изчислената стойност на детерминантата на системната матрица (т.е. $\Delta A$) ще бъде полезна по-късно: когато започнем да решаваме дадена система, използвайки метода на Крамер или използвайки обратната матрица.

Въпреки това, методът за изчисляване на ранга по дефиниция е нежелателен за използване, ако матрицата на системата $A$ е правоъгълна. В този случай е по-добре да използвате втория метод, който ще бъде разгледан по-долу. Освен това, ако $\Delta A=0$, тогава не можем да кажем нищо за броя на решенията на даден нехомогенен SLAE. Може би SLAE има безкраен брой решения, а може би нито едно. Ако $\Delta A=0$, тогава е необходимо допълнително изследване, което често е тромаво.

За да обобщя казаното, отбелязвам, че първият метод е добър за тези SLAE, чиято системна матрица е квадратна. Освен това самият SLAE съдържа три или четири неизвестни и се взема от стандартни стандартни изчисления или тестове.

Метод номер 2. Изчисляване на ранг по метода на елементарните трансформации.

Този метод е описан подробно в съответната тема. Ще започнем да изчисляваме ранга на матрицата $\widetilde(A)$. Защо матрици $\widetilde(A)$, а не $A$? Факт е, че матрицата $A$ е част от матрицата $\widetilde(A)$, следователно, като изчислим ранга на матрицата $\widetilde(A)$, ние едновременно ще намерим ранга на матрицата $A$ .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(разменете първия и втория ред)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(масив) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (масив) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(масив) \right) \begin(масив) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(масив) \right) \end(aligned)

Редуцирахме матрицата $\widetilde(A)$ до трапецовидна форма. На главния диагонал на получената матрица $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ съдържа три ненулеви елемента: -1, 3 и -7. Извод: рангът на матрицата $\widetilde(A)$ е 3, т.е. $\rang\widetilde(A)=3$. При извършване на трансформации с елементите на матрицата $\widetilde(A)$, ние едновременно трансформирахме елементите на матрицата $A$, разположени до линията. Матрицата $A$ също се редуцира до трапецовидна форма: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \вдясно )$. Заключение: рангът на матрицата $A$ също е 3, т.е. $\rang A=3$.

Тъй като $\rang A=\rang\widetilde(A)$, то според теоремата на Кронекер-Капели системата е последователна, т.е. има решение. За да посочим броя на решенията, вземаме предвид, че нашият SLAE съдържа 3 неизвестни: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Тъй като броят на неизвестните е $n=3$, заключаваме: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, следователно, съгласно следствието от теоремата на Кронекер-Капели, системата е дефинирана, т.е. има уникално решение.

Какви са предимствата на втория метод? Основното предимство е неговата универсалност. За нас няма значение дали матрицата на системата е квадратна или не. В допълнение, ние всъщност извършихме предни трансформации на метода на Гаус. Остават само няколко стъпки и можем да получим решение на този SLAE. Честно казано, вторият метод ми харесва повече от първия, но изборът е въпрос на вкус.

Отговор: Даденият SLAE е последователен и дефиниран.

Пример №2

Разгледайте SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4. \end(aligned) \right.$ за съвместимост.

Ще намерим ранговете на системната матрица и разширената системна матрица с помощта на метода на елементарните трансформации. Разширена системна матрица: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Нека намерим необходимите рангове чрез трансформиране на разширената матрица на системата:

Разширената матрица на системата е сведена до стъпаловидна форма. Ако една матрица е редуцирана до ешелонна форма, тогава нейният ранг е равен на броя на ненулевите редове. Следователно $\rang A=3$. Матрицата $A$ (до реда) се редуцира до трапецовидна форма и нейният ранг е 2, $\rang A=2$.

Тъй като $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, то според теоремата на Кронекер-Капели системата е непоследователна (т.е. няма решения).

Отговор: Системата е непоследователна.

Пример №3

Разгледайте SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(aligned) \right.$ за съвместимост.

Разширената матрица на системата има формата: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$. Нека разменим първия и втория ред на тази матрица, така че първият елемент от първия ред да стане едно: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$.

Редуцирахме разширената матрица на системата и матрицата на самата система до трапецовидна форма. Рангът на разширената матрица на системата е равен на три, рангът на матрицата на системата също е равен на три. Тъй като системата съдържа $n=5$ неизвестни, т.е. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Отговор: Системата е несигурна.

Във втората част ще анализираме примери, които често се включват в стандартни изчисления или тестове по висша математика: изследване на консистенцията и решение на SLAE в зависимост от стойностите на параметрите, включени в него.

Най-общо линейното уравнение има формата:

Уравнението има решение: ако поне един от коефициентите на неизвестните е различен от нула. В този случай всеки -мерен вектор се нарича решение на уравнението, ако при заместване на неговите координати уравнението става идентичност.

Обща характеристика на разрешената система от уравнения

Пример 20.1

Опишете системата от уравнения.

Решение:

1. Има ли включено противоречиво уравнение?(Ако коефициентите, в този случай уравнението има формата: и се нарича спорен.)

Ако една система съдържа нещо противоречиво, тогава такава система е непоследователна и няма решение.

2. Намерете всички разрешени променливи. (Неизвестното се наричаразрешеноза система от уравнения, ако е включена в едно от уравненията на системата с коефициент +1, но не е включена в останалите уравнения (т.е. включена е с коефициент, равен на нула).

3. Решена ли е системата от уравнения? (Системата от уравнения се нарича разрешена, ако всяко уравнение на системата съдържа разрешено неизвестно, сред които няма съвпадащи)

Формират се разрешените неизвестни, взети по едно от всяко уравнение на системата пълен набор от разрешени неизвестнисистеми. (в нашия пример това е)

Позволените неизвестни, включени в пълния набор, също се наричат основен(), и не са включени в комплекта - Безплатно ().

В общия случай разрешената система от уравнения има формата:

На този етап основното е да разберете какво е то решен неизвестен(включени в основата и безплатни).

Общи Специални Основни решения

Общо решениеразрешена система от уравнения е набор от изрази на разрешени неизвестни чрез свободни членове и свободни неизвестни:

Частно решениесе нарича решение, което се получава от общо решение за конкретни стойности на свободни променливи и неизвестни.

Основно решениее частно решение, получено от общото за нулеви стойности на свободните променливи.

Основното решение (вектор) се нарича изродени, ако броят на неговите ненулеви координати е по-малък от броя на разрешените неизвестни.
Основното решение се нарича неизродени, ако броят на неговите ненулеви координати е равен на броя на разрешените неизвестни на системата, включени в пълния набор.

Теорема (1)

Разрешената система от уравнения винаги е последователна(защото има поне едно решение); Освен това, ако системата няма свободни неизвестни,(тоест в система от уравнения всички разрешени са включени в основата) тогава се определя(има уникално решение); ако има поне една свободна променлива, тогава системата не е дефинирана(има безкраен брой решения).

Пример 1. Намерете общото, основното и всяко конкретно решение на системата от уравнения:

Решение:

1. Проверяваме дали системата е оторизирана?

Системата е разрешена (тъй като всяко от уравненията съдържа разрешено неизвестно)

2. Включваме позволените неизвестни в набора - по една от всяко уравнение.

3. Записваме общото решение в зависимост от това какви разрешени неизвестни сме включили в множеството.

4. Намиране на конкретно решение. За да направим това, приравняваме свободните променливи, които не сме включили в набора, с произволни числа.

Отговор: частно решение(един от вариантите)

5. Намиране на основното решение. За да направим това, ние приравняваме свободните променливи, които не сме включили в набора, на нула.

Елементарни преобразувания на линейни уравнения

Системите от линейни уравнения се свеждат до еквивалентни разрешени системи с помощта на елементарни трансформации.

Теорема (2)

Ако някой умножете уравнението на системата по някакво ненулево числои оставете останалите уравнения непроменени, след което . (тоест, ако умножите лявата и дясната страна на уравнението по едно и също число, получавате уравнение, еквивалентно на това)

Теорема (3)

Ако добавете друго към всяко уравнение на систематаи оставете всички други уравнения непроменени получаваме система, еквивалентна на тази. (тоест, ако добавите две уравнения (като добавите лявата и дясната им страна), ще получите уравнение, еквивалентно на данните)

Следствие от теореми (2 и 3)

Ако добавете друго уравнение към уравнение, умножено по определено числои оставете всички други уравнения непроменени, тогава получаваме система, еквивалентна на тази.

Формули за преизчисляване на системните коефициенти

Ако имаме система от уравнения и искаме да я трансформираме в разрешена система от уравнения, методът на Йордан-Гаус ще ни помогне с това.

Трансформация на Джорданс разрешаващ елемент ви позволява да получите за система от уравнения разрешеното неизвестно в уравнението с число. (пример 2).

Трансформацията на Йордан се състои от елементарни трансформации от два вида:

Да кажем, че искаме да направим неизвестното в долното уравнение разрешено неизвестно. За да направим това, трябва да разделим на , така че сумата да е .

Пример 2 Нека преизчислим коефициентите на системата

При разделяне на уравнение с число на , неговите коефициенти се преизчисляват по формулите:

За да изключите от уравнението с число, трябва да умножите уравнението с число по и да добавите към това уравнение.

Теорема (4) За намаляване на броя на уравненията на системата.

Ако система от уравнения съдържа тривиално уравнение, тогава то може да бъде изключено от системата и ще се получи система, еквивалентна на оригиналната.

Теорема (5) За несъвместимостта на системата от уравнения.

Ако система от уравнения съдържа противоречиво уравнение, тогава тя е непоследователна.

Алгоритъм на метода на Джордан-Гаус

Алгоритъмът за решаване на системи от уравнения по метода на Йордан-Гаус се състои от няколко подобни стъпки, при всяка от които действията се извършват в следния ред:

Проверява дали системата е непоследователна. Ако една система съдържа противоречиво уравнение, то тя е непоследователна.
Проверява се възможността за намаляване на броя на уравненията. Ако системата съдържа тривиално уравнение, то се зачертава.
Ако системата от уравнения е разрешена, тогава запишете общото решение на системата и, ако е необходимо, частни решения.
Ако системата не е разрешена, тогава в уравнение, което не съдържа разрешено неизвестно, се избира разрешаващ елемент и се извършва трансформация на Йордан с този елемент.
След това се върнете към точка 1

Пример 3 Решете система от уравнения, като използвате метода на Йордан-Гаус.

намирам: две общи и две съответни основни решения

Решение:

Изчисленията са показани в таблицата по-долу:

Отдясно на таблицата са действия върху уравнения. Стрелките показват към кое уравнение се добавя уравнението с разделящия елемент, умножено по подходящ коефициент.

Първите три реда на таблицата съдържат коефициентите на неизвестните и десните части на оригиналната система. Резултатите от първото преобразуване на Йордан с разделителен елемент, равен на единица, са дадени в редове 4, 5, 6. Резултатите от второто преобразуване на Йордан с разделителен елемент, равен на (-1), са дадени в редове 7, 8, 9 Тъй като третото уравнение е тривиално, то може да бъде пропуснато.

В този урок ще разгледаме методите за решаване на система от линейни уравнения. В курса по висша математика системите от линейни уравнения трябва да бъдат решени както под формата на отделни задачи, например „Решете системата с помощта на формулите на Крамер“, така и в хода на решаването на други проблеми. Системите от линейни уравнения трябва да се разглеждат в почти всички клонове на висшата математика.

Първо, малко теория. Какво означава математическата дума „линеен“ в този случай? Това означава, че уравненията на системата всичковключени променливи в първа степен: без никакви изискани неща като и т.н., от които са възхитени само участниците в математически олимпиади.

Във висшата математика за означаване на променливи се използват не само букви, познати от детството.
Доста популярна опция са променливите с индекси: .
Или началните букви на латинската азбука, малки и големи:
Не е толкова рядко да се намерят гръцки букви: - известни на мнозина като "алфа, бета, гама". А също и набор с индекси, да речем, с буквата „mu“:

Използването на един или друг набор от букви зависи от раздела на висшата математика, в който се сблъскваме със система от линейни уравнения. Така например в системи от линейни уравнения, срещащи се при решаване на интеграли и диференциални уравнения, е традиционно да се използва нотацията

Но без значение как са обозначени променливите, принципите, методите и методите за решаване на система от линейни уравнения не се променят. Така че, ако попаднете на нещо страшно като , не бързайте да затворите проблемната книга от страх, в края на краищата можете да нарисувате вместо това слънце, птица вместо това и лице (учителя). И, колкото и смешно да изглежда, система от линейни уравнения с тези означения също може да бъде решена.

Имам чувството, че статията ще се окаже доста дълга, така че малко съдържание. И така, последователният „дебрифинг“ ще бъде така:

– Решаване на система от линейни уравнения по метода на заместване („училищен метод“);
– Решаване на системата чрез почленно събиране (изваждане) на уравненията на системата;
– Решение на системата с помощта на формулите на Крамер;
– Решаване на системата чрез обратна матрица;
– Решаване на системата по метода на Гаус.

Всеки е запознат със системи от линейни уравнения от училищните курсове по математика. По същество започваме с повторение.

Решаване на система от линейни уравнения чрез метода на заместване

Този метод може да се нарече още „училищен метод“ или метод за елиминиране на неизвестни. Образно казано може да се нарече и „незавършен метод на Гаус“.

Пример 1

Тук ни е дадена система от две уравнения с две неизвестни. Обърнете внимание, че свободните членове (номера 5 и 7) са разположени от лявата страна на уравнението. Най-общо казано, няма значение къде се намират, отляво или отдясно, просто в задачите от висшата математика те често са разположени по този начин. И такъв запис не трябва да води до объркване, ако е необходимо, системата винаги може да бъде написана „както обикновено“: . Не забравяйте, че когато премествате член от част в част, той трябва да промени знака си.

Какво означава да се реши система от линейни уравнения? Решаването на система от уравнения означава намирането на много от нейните решения. Решението на една система е набор от стойности на всички променливи, включени в нея, което превръща ВСЯКО уравнение на системата в истинско равенство. Освен това системата може да бъде неставни (нямам решения).Не се срамувайте, това е обща дефиниция =) Ще имаме само една стойност „x“ и една стойност „y“, които удовлетворяват всяко c-we уравнение.

Има графичен метод за решаване на системата, с който можете да се запознаете в час. Най-простите задачи с линия. Там говорих за геометричен смисълсистеми от две линейни уравнения с две неизвестни. Но сега е ерата на алгебрата и числата-числа, действия-действия.

Нека решим: от първото уравнение изразяваме:
Заместваме получения израз във второто уравнение:

Отваряме скобите, добавяме подобни термини и намираме стойността:

След това си спомняме за какво танцувахме:
Вече знаем стойността, остава само да намерим:

Отговор:

След като ВСЯКАКВА система от уравнения е решена по КАКЪВТО и да е начин, горещо препоръчвам проверка (устно, на чернова или на калкулатор). За щастие това става лесно и бързо.

1) Заместете намерения отговор в първото уравнение:

– получава се правилното равенство.

2) Заместете намерения отговор във второто уравнение:

– получава се правилното равенство.

Или по-просто казано „всичко се нареди“

Разгледаният метод на решение не е единственият, от първото уравнение е възможно да се изрази , а не .
Можете да направите обратното - да изразите нещо от второто уравнение и да го замените в първото уравнение. Между другото, имайте предвид, че най-неблагоприятният от четирите метода е да се изрази от второто уравнение:

Резултатът е дроби, но защо? Има по-рационално решение.

В някои случаи обаче все още не можете без дроби. В тази връзка искам да ви обърна внимание КАК записах израза. Не така: и в никакъв случай така: .

Ако във висшата математика имате работа с дробни числа, опитайте се да извършите всички изчисления в обикновени неправилни дроби.

Точно така, а не или!

Запетая може да се използва само понякога, особено ако това е окончателният отговор на някакъв проблем и не е необходимо да се извършват допълнителни действия с това число.

Много читатели вероятно са си помислили „защо толкова подробно обяснение като за корекционен клас, всичко е ясно“. Нищо подобно, изглежда толкова прост училищен пример, но има толкова много МНОГО важни изводи! Ето още един:

Трябва да се стремите да изпълнявате всяка задача по най-рационалния начин. Макар и само защото спестява време и нерви, а също така намалява вероятността от грешка.

Ако в задача по висша математика попаднете на система от две линейни уравнения с две неизвестни, тогава винаги можете да използвате метода на заместване (освен ако не е посочено, че системата трябва да бъде решена по друг метод). мислите, че сте глупаци и ще ви намалят оценката за използване на „училищния метод“ "
Освен това в някои случаи е препоръчително да се използва методът на заместване с по-голям брой променливи.

Пример 2

Решете система от линейни уравнения с три неизвестни

Подобна система от уравнения често възниква, когато се използва така нареченият метод на неопределените коефициенти, когато намираме интеграла на дробна рационална функция. Въпросната система е взета от мен от там.

При намиране на интеграла целта е бързнамерете стойностите на коефициентите, вместо да използвате формулите на Cramer, метода на обратната матрица и т.н. Следователно в този случай методът на заместване е подходящ.

Когато е дадена някаква система от уравнения, първо е желателно да разберете дали е възможно да я опростите ВЕДНАГА? Анализирайки уравненията на системата, забелязваме, че второто уравнение на системата може да бъде разделено на 2, което правим:

Справка:математическият знак означава „от това следва това“ и често се използва при решаване на проблеми.

Сега нека анализираме уравненията; трябва да изразим една променлива по отношение на другите. Кое уравнение да избера? Вероятно вече се досещате, че най-лесният начин за целта е да вземете първото уравнение на системата:

Тук, без значение каква променлива да изразите, човек може също толкова лесно да изрази или .

След това заместваме израза за във второто и третото уравнения на системата:

Отваряме скобите и представяме подобни условия:

Разделете третото уравнение на 2:

От второто уравнение изразяваме и заместваме в третото уравнение:

Почти всичко е готово, от третото уравнение намираме:
От второто уравнение:
От първото уравнение:

Проверка: Заместете намерените стойности на променливите в лявата страна на всяко уравнение на системата:

1)
2)
3)

Получават се съответните десни части на уравненията, така че решението се намира правилно.

Пример 3

Решете система от линейни уравнения с 4 неизвестни

Това е пример, който можете да решите сами (отговорете в края на урока).

Решаване на системата чрез почленно събиране (изваждане) на уравненията на системата

Когато решавате системи от линейни уравнения, трябва да се опитате да използвате не „училищния метод“, а метода на добавяне (изваждане) на член по член на уравненията на системата. Защо? Това спестява време и опростява изчисленията, но сега всичко ще стане по-ясно.

Пример 4

Решете система от линейни уравнения:

Взех същата система като в първия пример.
Анализирайки системата от уравнения, забелязваме, че коефициентите на променливата са еднакви по големина и противоположни по знак (–1 и 1). В такава ситуация уравненията могат да се добавят член по член:

Действията, оградени в червено, се извършват УМСТВЕНО.
Както можете да видите, в резултат на добавяне на член по член загубихме променливата. Това всъщност е какво същността на метода е да се отървем от една от променливите.

Методът на Гаус има редица недостатъци: невъзможно е да се знае дали системата е последователна или не, докато не бъдат извършени всички трансформации, необходими в метода на Гаус; Методът на Гаус не е подходящ за системи с буквени коефициенти.

Нека разгледаме други методи за решаване на системи от линейни уравнения. Тези методи използват концепцията за ранг на матрицата и редуцират решението на всяка последователна система до решението на система, към която се прилага правилото на Крамър.

Пример 1.Намерете общо решение на следната система от линейни уравнения, като използвате основната система от решения на редуцираната хомогенна система и конкретно решение на нехомогенната система.

1. Изработване на матрица Аи разширена системна матрица (1)

2. Разгледайте системата (1) за заедност. За да направим това, намираме ранговете на матриците Аи https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ако се окаже, че , тогава системата (1) несъвместими. Ако получим това , тогава тази система е последователна и ние ще я разрешим. (Проучването за съвместимост се основава на теоремата на Кронекер-Капели).

а. Намираме rA.

Да намеря rA, ще разгледаме последователно ненулеви минори от първи, втори и т.н. ред на матрицата Аи непълнолетните около тях.

M1=1≠0 (взимаме 1 от горния ляв ъгъл на матрицата А).

Ние граничим M1втория ред и втората колона на тази матрица. . Продължаваме към границата M1втория ред и третата колона..gif" width="37" height="20 src=">. Сега граничим с ненулевия минор M2′втора поръчка.

Ние имаме: (тъй като първите две колони са еднакви)

(тъй като вторият и третият ред са пропорционални).

Виждаме това rA=2, a е базисният минор на матрицата А.

b. Намираме.

Съвсем основен минор M2′матрици Аграница с колона със свободни термини и всички редове (имаме само последния ред).

. Следва, че М3′′остава основният минор на матрицата https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

защото M2′- базис минор на матрицата Асистеми (2) , тогава тази система е еквивалентна на системата (3) , състояща се от първите две уравнения на системата (2) (за M2′е в първите два реда на матрица A).

(3)

Тъй като основният минор https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

В тази система има две свободни неизвестни ( x2 И x4 ). Ето защо FSR системи (4) се състои от две решения. За да ги намерим, присвояваме безплатни неизвестни (4) първо ценностите х2=1 , х4=0 , и тогава - х2=0 , х4=1 .

При х2=1 , х4=0 получаваме:

Тази система вече има единственото нещо решение (може да се намери с помощта на правилото на Cramer или друг метод). Като извадим първото от второто уравнение, получаваме:

Нейното решение ще бъде x1= -1 , х3=0 . Предвид стойностите x2 И x4 , което добавихме, получаваме първото фундаментално решение на системата (2) : .

Сега вярваме в (4) х2=0 , х4=1 . Получаваме:

Решаваме тази система с помощта на теоремата на Крамър:

Получаваме второто фундаментално решение на системата (2) : .

Решения β1 , β2 и се гримирайте FSR системи (2) . Тогава общото му решение ще бъде

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Тук C1 , C2 – произволни константи.

4. Да намерим такъв частен решение разнородна система(1) . Както в параграф 3 , вместо системата (1) Нека разгледаме еквивалентна система (5) , състояща се от първите две уравнения на системата (1) .

(5)

Нека преместим свободните неизвестни надясно x2И x4.

(6)

Нека даваме безплатни неизвестни x2 И x4 произволни стойности, напр. х2=2 , х4=1 и ги сложете (6) . Да вземем системата

Тази система има уникално решение (тъй като нейният детерминант M2′0). Решавайки го (използвайки теоремата на Крамер или метода на Гаус), получаваме х1=3 , х3=3 . Дадени са стойностите на свободните неизвестни x2 И x4 , получаваме частно решение на нехомогенна система(1)α1=(3,2,3,1).

5. Сега остава само да го запишете общо решение α на нехомогенна система(1) : равно е на сумата частно решениетази система и общо решение на неговата редуцирана хомогенна система (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Това означава: (7)

6. Преглед.За да проверите дали сте решили системата правилно (1) , имаме нужда от общо решение (7) заместник в (1) . Ако всяко уравнение се превърне в идентичността ( C1 И C2 трябва да бъде унищожен), тогава решението е намерено правилно.

Ще заместим (7) например само последното уравнение на системата (1) (х1 + х2 + х3 ‑9 х4 =‑1) .

Получаваме: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Където –1=–1. Имаме самоличност. Правим това с всички останали уравнения на системата (1) .

Коментирайте.Проверката обикновено е доста тромава. Може да се препоръча следната „частична проверка”: в общото решение на системата (1) присвоете някои стойности на произволни константи и заменете полученото частично решение само в отхвърлените уравнения (т.е. в тези уравнения от (1) , които не бяха включени в (5) ). Ако получите самоличности, тогава по-вероятно, системно решение (1) намерени правилно (но такава проверка не дава пълна гаранция за коректност!). Например, ако в (7) слагам C2=- 1 , C1=1, тогава получаваме: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Замествайки в последното уравнение на системата (1), имаме: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , т.е. –1=–1. Имаме самоличност.

Пример 2.Намерете общо решение на система от линейни уравнения (1) , изразяващи основните неизвестни чрез свободни.

Решение.Както в пример 1, съставяне на матрици Аи https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> от тези матрици. Сега оставяме само тези уравнения на системата (1) , чиито коефициенти са включени в този основен минор (т.е. имаме първите две уравнения) и разглеждаме система, състояща се от тях, еквивалентна на система (1).

Нека прехвърлим свободните неизвестни в дясната страна на тези уравнения.

система (9) Решаваме по метода на Гаус, като разглеждаме десните части като свободни членове.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Вариант 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Вариант 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Вариант 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Вариант 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">