При разрязване на конична повърхнина с равнина се получават криви от втори ред - окръжност, елипса, парабола и хипербола. В чест случай при определено място на сечащата равнина и когато тя преминава през върха на конуса (S∈γ), окръжността и елипсата се израждат в точка или една или две образуващи на конуса попадат в сечението.

Дава - окръжност, когато режещата равнина е перпендикулярна на нейната ос и пресича всички генериращи повърхности.

Дава - елипса, когато сечащата равнина не е перпендикулярна на оста си и пресича всички генериращи повърхности.

Нека построим елиптика ω самолет α , заемащ генералска длъжност.

Решаване на проблема на напречно сечение на прав кръгов конусравнина е значително опростена, ако режещата равнина заема изпъкнала позиция.

Използвайки метода за промяна на проекционните равнини, превеждаме равнината α от общото положение към частното - фронтално изпъкнало. На фронталната равнина на проекциите V 1нека изградим следа от самолета α и проекция на повърхността на конуса ω равнина дава елипса, тъй като режещата равнина пресича всички образуващи на конуса. Елипса се проектира върху проекционната равнина като крива от втори ред.
По следите на самолета αVвземете произволна точка 3" измерваме разстоянието му от проекционната равнина зи го поставете по протежение на комуникационната линия вече в самолета V 1, получаване на точка 3" 1 . Пътеката ще минава през него αV 1. Линия на конично сечение ω - точки А" 1, Е" 1тук съвпада със следата на равнината. След това ще конструираме спомагателна режеща равнина γ3, като начертаем челната равнина на проекциите V 1нейната следа γ 3V 1. Спомагателна равнина, пресичаща конична повърхност ω ще даде окръжност и пресичаща се с равнина α ще даде хоризонтална права линия h3. На свой ред, правата линия, пресичаща се с окръжността, дава необходимите точки C` и K`равнинни пресичания α с конична повърхност ω . Фронтални проекции на необходимите точки C" и K"конструират като точки, принадлежащи на сечащата равнина α .

Да намериш точка E(E`, E")секционни линии, начертайте хоризонтално изпъкнала равнина през върха на конуса γ 2 H, която ще пресече равнината α по права линия 1-2(1`-2`, 1"-2") . Пресечна точка 1"-2" с комуникационната линия дава точка Е"- най-високата точка на линията на сечението.

За да намерите точката, указваща границата на видимост на фронталната проекция на линията на сечението, начертайте хоризонтално проектирана равнина през върха на конуса γ 5 Hи намерете хоризонталната проекция F`желаната точка. Освен това самолет γ 5 Hще пресече равнината α фронтално f(f`, f"). Пресечна точка е"с комуникационната линия дава точка F". Свързваме точките, получени върху хоризонталната проекция, с гладка крива, като маркираме върху нея най-лявата точка G - една от характерните точки на пресечната линия.
След това изграждаме проекциите G върху фронталните равнини на проекциите V1 и V. Свързваме всички построени точки от линията на сечение върху фронталната равнина на проекциите V с гладка линия.

Дава - парабола, когато сечащата равнина е успоредна на една от образуващите на конуса.

Когато конструирате проекции на криви - конични сечения, е необходимо да запомните теоремата: ортогоналната проекция на плосък участък от конус на въртене върху равнина, перпендикулярна на неговата ос, е крива от втори ред и един от нейните фокуси има ортогонален проекция на върха на конуса върху тази равнина.

Нека разгледаме изграждането на секционни проекции, когато режещата равнина α успоредна на едната образуваща на конуса (SD).

Напречното сечение ще доведе до парабола с върха в точката A(A`, A"). Според теоремата върхът на конуса Спроектирани на фокус S`. Според известното =R S`определяне на позицията на директрисата на параболата. След това точките на кривата се изчертават с помощта на уравнението p=R.

Конструиране на секционни проекции, когато сечещата равнина α успоредно на една образуваща на конуса може да се направи следното:

С помощта на спомагателни хоризонтално изпъкнали равнини, минаващи през върха на конуса γ 1 HИ γ 2 H.

Първо се определят фронталните проекции на точките F", G"- в пресечната точка на генераторите S"1", S"2"и следата на сечащата равнина αV. На пресечната точка на комуникационните линии с γ 1 HИ γ 2 Hбъдете определени F`, G`.

Други точки от линията на сечението могат да бъдат определени по подобен начин, например D", E"И D`, E`.

Използване на спомагателни фронтални проекционни равнини ⊥ ос на конуса γ 3 VИ γ 4 V.

Проекции на сечение от спомагателни равнини и конус върху равнина з, ще има кръгове. Линии на пресичане на спомагателни равнини със сечещата равнина α ще има стърчащи отпред прави линии.

Дава - хипербола, когато сечащата равнина е успоредна на двете образуващи на конуса.

Общинско учебно заведение

СОУ No4

Конични сечения

Завършено

Спиридонов Антон

ученик от 11А клас

Проверено

Коробейникова А. Т.

Тоболск - 2006 г

Въведение

Концепцията за коничните сечения

Видове конични сечения

Проучване

Изграждане на конични сечения

Аналитичен подход

Приложение

Приложение

Референции

Въведение.

Цел: изучаване на конични сечения.

Цели: научете се да правите разлика между видовете конични сечения, да конструирате кинетични сечения и да прилагате аналитичен подход.

Коничните сечения са предложени за първи път да се използват от древногръцкия геометър Менехмус, живял през 4 век пр.н.е., при решаването на задачата за удвояване на куб. Тази задача е свързана със следната легенда.

Един ден на остров Делос избухнала епидемия от чума. Жителите на острова се обърнаха към оракула, който каза, че за спиране на епидемията е необходимо да се удвои златният олтар, който имаше формата на куб и се намираше в храма на Аполон в Атина. Островитяните направиха нов олтар, чиито ребра бяха два пъти по-големи от ребрата на предишния. Чумата обаче не спря. Разгневените жители чули от оракула, че не са разбрали инструкциите му - не ръбовете на куба трябвало да се удвоят, а обемът му, тоест ръбовете на куба трябвало да се удвоят. От гледна точка на геометричната алгебра, която е била използвана от гръцките математици, проблемът означаваше: даден сегмент a, намерете сегменти x и y така, че a: x = x: y = y: 2a. Тогава дължината на отсечката x ще бъде равна на .

Дадената пропорция може да се разглежда като система от уравнения:

Но x 2 =ay и y 2 =2ax са уравнения на параболи. Следователно, за да се реши задачата, трябва да се намерят техните пресечни точки. Ако вземем предвид, че уравнението на хиперболата xy=2a 2 също може да бъде получено от системата, тогава същата задача може да бъде решена чрез намиране на пресечните точки на параболата и хиперболата.

За да получи конични сечения, Менехм пресича конус - остър, правоъгълен или тъп - с равнина, перпендикулярна на една от образуващите. За остроъгълен конус сечението с равнина, перпендикулярна на неговата образуваща, има формата на елипса. Тъпият конус дава хипербола, а правоъгълният конус дава парабола.

Оттук идват имената на кривите, които са въведени от Аполоний от Перга, живял през 3 век пр. н. е.: елипса (έλλείψίς), което означава недостатък, недостатък (на ъгъла на конус към права линия) ; хипербола (ύπέρβωλη) - преувеличение, превес (на ъгъл на конус над права линия); парабола (παραβολη) - приближение, равенство (на ъгъл на конус с прав ъгъл). По-късно гърците забелязали, че и трите криви могат да бъдат получени на един конус чрез промяна на наклона на режещата равнина. В този случай трябва да вземете конус, състоящ се от две кухини и да смятате, че те се простират до безкрайност (фиг. 1).

Ако начертаем участък от кръгъл конус, перпендикулярен на неговата ос, и след това завъртим режещата равнина, оставяйки една точка от нейното пресичане с конуса неподвижна, ще видим как кръгът първо ще се разтегне, превръщайки се в елипса. Тогава вторият връх на елипсата ще отиде в безкрайност и вместо елипса ще получите парабола, а след това равнината ще пресече и втората кухина на конуса и ще получите хипербола.

Концепцията за коничните сечения.

Коничните сечения са равнинни криви, които се получават при пресичане на прав кръгов конус с равнина, която не минава през неговия връх. От гледна точка на аналитичната геометрия, коничното сечение е геометричното място на точките, удовлетворяващи уравнение от втори ред. С изключение на изродените случаи, обсъдени в последния раздел, коничните сечения са елипси, хиперболи или параболи (фиг. 2).

Когато правоъгълен триъгълник се върти около един от краката му, хипотенузата с нейните разширения описва конична повърхност, наречена повърхност на прав кръгов конус, която може да се разглежда като непрекъсната поредица от линии, минаващи през върха и наречени генератори, всички генератори почиващи върху същия кръг, наречен произвеждащ. Всяка от генераторите представлява хипотенузата на въртящ се триъгълник (в известното му положение), удължена в двете посоки до безкрайност. Така всяка генератрикса се простира от двете страни на върха, в резултат на което повърхността има две кухини: те се събират в една точка в общ връх. Ако такава повърхност се пресече от равнина, тогава сечението ще произведе крива, която се нарича конично сечение. Може да бъде от три вида:

1) ако равнина пресича конична повърхност по всички генератори, тогава се разрязва само една кухина и в сечението се получава затворена крива, наречена елипса;

2) ако сечещата равнина пресича двете кухини, тогава се получава крива, която има два клона и се нарича хипербола;

3) ако режещата равнина е успоредна на една от образуващите, тогава се получава парабола.

Ако сечещата равнина е успоредна на образуващата окръжност, тогава се получава окръжност, която може да се разглежда като частен случай на елипса. Режеща равнина може да пресича конична повърхност само в един връх, тогава сечението създава точка, като специален случай на елипса.

Ако равнина, минаваща през върха, пресича двете кухини, тогава сечението произвежда двойка пресичащи се линии, разглеждани като специален случай на хипербола.

Ако върхът е безкрайно отдалечен, тогава коничната повърхност става цилиндрична и нейното сечение с равнина, успоредна на образуващите, дава двойка успоредни прави като частен случай на парабола. Коничните сечения се изразяват с уравнения от 2-ри ред, чиято обща форма е

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

и се наричат ​​криви от 2-ри ред.

Видове конични сечения.

Коничните сечения могат да бъдат от три вида:

1) режещата равнина пресича всички генератори на конуса в точки на една от неговите кухини; пресечната линия е затворена овална крива - елипса; кръг като частен случай на елипса се получава, когато сечащата равнина е перпендикулярна на оста на конуса.

2) Режещата равнина е успоредна на една от допирателните равнини на конуса; в напречно сечение резултатът е отворена крива, която отива до безкрайност - парабола, лежаща изцяло върху една кухина.

3) Режещата равнина пресича двете кухини на конуса; линията на пресичане - хипербола - се състои от две еднакви отворени части, простиращи се до безкрайност (клонове на хиперболата), лежащи върху двете кухини на конуса.

Проучване.

В случаите, когато коничното сечение има център на симетрия (център), т.е. е елипса или хипербола, неговото уравнение може да бъде намалено (чрез преместване на началото на координатите към центъра) до формата:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Допълнителни изследвания на такива (наречени централни) конични сечения показват, че техните уравнения могат да бъдат намалени до още по-проста форма:

Ax 2 + Wu 2 = C,

ако за посоки на координатните оси изберем главните посоки - посоките на главните оси (оси на симетрия) на конични сечения. Ако A и B имат еднакви знаци (съвпадащи със знака на C), тогава уравнението определя елипса; ако A и B са с различни знаци, тогава това е хипербола.

Уравнението на парабола не може да се сведе до формата (Ax 2 + By 2 = C). При правилен избор на координатни оси (едната координатна ос е единствената ос на симетрия на параболата, другата е права линия, перпендикулярна на нея, минаваща през върха на параболата), нейното уравнение може да се сведе до формата:

КОНСТРУКЦИЯ НА КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ.

Изучавайки коничните сечения като пресечни точки на равнини и конуси, древногръцките математици ги разглеждат и като траектории на точки в равнина. Установено е, че елипсата може да се дефинира като геометрично място на точки, сумата от разстоянията от които до две дадени точки е постоянна; парабола - като геометрично място на точки, равноотдалечени от дадена точка и дадена права линия; хипербола - като геометрично място на точките, разликата в разстоянията от която до две дадени точки е постоянна.

Тези дефиниции на конични сечения като равнинни криви също предполагат метод за конструирането им с помощта на опъната струна.

Елипса. Ако краищата на нишка с дадена дължина са фиксирани в точки F 1 и F 2 (фиг. 3), тогава кривата, описана от точката на молив, плъзгаща се по плътно опъната нишка, има формата на елипса. Точките F 1 и F 2 се наричат ​​фокуси на елипсата, а сегментите V 1 V 2 и v 1 v 2 между точките на пресичане на елипсата с координатните оси - голяма и малка ос. Ако точките F 1 и F 2 съвпадат, тогава елипсата се превръща в кръг (фиг. 3).

Хипербола. При конструирането на хипербола, точка P, върхът на молив, е фиксиран върху нишка, която се плъзга свободно по колчета, монтирани в точки F 1 и F 2, както е показано на фигура 4, а, разстоянията са избрани така, че сегментът PF 2 е по-дълъг от сегмента PF 1 с фиксирана стойност, по-малка от разстоянието F 1 F 2 . В този случай единият край на конеца минава под колчето F 1, а двата края на конеца минават над колчето F 2. (Върхът на молива не трябва да се плъзга по конеца, така че трябва да се закрепи, като се направи малка примка върху конеца и се прокара през него.) Начертаваме един клон на хиперболата (PV 1 Q), като се уверяваме, че нишката остава опъната през цялото време и, като издърпате двата края на конеца надолу след точка F 2 и когато точка P е под сегмента F 1 F 2, хванете конеца за двата края и внимателно го отпуснете. Начертаваме второто разклонение на хиперболата, като първо сменим щифтовете F 1 и F 2 (фиг. 4).

Клоните на хиперболата се приближават до две прави линии, които се пресичат между клоните. Тези прави линии, наречени асимптоти на хиперболата, са конструирани, както е показано на фигура 4, b. Ъгъл

коефициентите на тези прави са равни на къде е сегментът на ъглополовящата на ъгъла между асимптотите, перпендикулярен на сегмента F 2 F 1 ; сегментът v 1 v 2 се нарича спрегната ос на хиперболата, а сегментът V 1 V 2 е нейната напречна ос. Така асимптотите са диагоналите на правоъгълник със страни, минаващи през четири точки v 1, v 2, V 1, V 2, успоредни на осите. За да конструирате този правоъгълник, трябва да посочите местоположението на точки v 1 и v 2. Те са на еднакво разстояние, равни

от пресечната точка на осите O предполага построяването на правоъгълен триъгълник с катети Ov 1 и V 2 O и хипотенуза F 2 O.

Ако асимптотите на хипербола са взаимно перпендикулярни, тогава хиперболата се нарича равностранна. Две хиперболи, които имат общи асимптоти, но с пренаредени напречни и спрегнати оси, се наричат ​​взаимно спрегнати.

Парабола. Фокусите на елипсата и хиперболата са били известни на Аполоний, но фокусът на параболата очевидно е установен за първи път от Пап (втората половина на 3-ти век), който дефинира тази крива като геометрично място на точки, равноотдалечени от дадена точка (фокус) и дадена права линия, която се нарича директорка. Конструкцията на парабола с помощта на опъната нишка, базирана на дефиницията на Пап, е предложена от Исидор от Милет (VI век) (фиг. 5).

Нека позиционираме линийката така, че ръбът й да съвпадне с директрисата и да прикрепим катета AC на чертожния триъгълник ABC към този ръб. Нека закрепим единия край на нишка с дължина AB във върха B на триъгълника, а другият във фокуса на параболата F. След като издърпате конеца с върха на молив, натиснете върха в променливата точка P към свободен катет AB на чертожния триъгълник. Докато триъгълникът се движи по линийката, точка P ще описва дъгата на парабола с фокус F и директриса, тъй като общата дължина на нишката е равна на AB, парчето нишка е в съседство със свободния крак на триъгълника и следователно останалата част от резбата PF трябва да бъде равна на останалата част крак AB, тоест PA. Пресечната точка на V на параболата с оста се нарича връх на параболата, правата линия, минаваща през F и V, е оста на параболата. Ако през фокуса е начертана права линия, перпендикулярна на оста, тогава сегментът от тази права линия, отрязан от параболата, се нарича фокален параметър. За елипса и хипербола фокусният параметър се определя по подобен начин.

АНАЛИТИЧЕН ПОДХОД

Алгебрична класификация. В алгебрични термини коничните сечения могат да се дефинират като равнинни криви, чиито координати в декартовата координатна система отговарят на уравнение от втора степен. С други думи, уравнението на всички конични сечения може да бъде написано в общ вид като

където не всички коефициенти A, B и C са равни на нула. Използвайки паралелно преместване и въртене на осите, уравнение (1) може да бъде намалено до формата

брадва 2 + по 2 + c = 0

Първото уравнение се получава от уравнение (1) за B 2 > AC, второто - за B 2 = AC. Коничните сечения, чиито уравнения се свеждат до първата форма, се наричат ​​централни. Коничните сечения, определени от уравнения от втори тип с q > 0, се наричат ​​нецентрални. В тези две категории има девет различни вида конични сечения в зависимост от знаците на коефициентите.

1) Ако коефициентите a, b и c са с еднакъв знак, то няма реални точки, чиито координати да удовлетворяват уравнението. Такова конично сечение се нарича въображаема елипса (или въображаема окръжност, ако a = b).

2) Ако a и b имат еднакъв знак, а c има противоположен знак, то коничното сечение е елипса; когато a = b – кръг.

3) Ако a и b имат различни знаци, то коничното сечение е хипербола.

4) Ако a и b имат различни знаци и c = 0, тогава коничното сечение се състои от две пресичащи се прави.

5) Ако a и b имат еднакъв знак и c = 0, тогава има само една реална точка на кривата, която удовлетворява уравнението, а коничното сечение е две въображаеми пресичащи се прави. В този случай също говорим за елипса, свързана с точка или, ако a = b, окръжност, свързана с точка.

6) Ако a или b е равно на нула, а другите коефициенти имат различни знаци, тогава коничното сечение се състои от две успоредни прави.

7) Ако a или b е равно на нула и останалите коефициенти имат същия знак, тогава няма реална точка, която да удовлетворява уравнението. В този случай те казват, че коничното сечение се състои от две въображаеми успоредни прави.

8) Ако c = 0 и a или b също е нула, тогава коничното сечение се състои от две реални съвпадащи прави. (Уравнението не определя никакво конично сечение за a = b = 0, тъй като в този случай оригиналното уравнение (1) не е от втора степен.)

9) Уравнения от втори тип определят параболи, ако p и q са различни от нула. Ако p > 0 и q = 0, получаваме кривата от стъпка 8. Ако p = 0, тогава уравнението не определя никакво конично сечение, тъй като оригиналното уравнение (1) не е от втора степен.

Приложение

Коничните сечения често се срещат в природата и техниката. Например орбитите на планетите, въртящи се около Слънцето, имат формата на елипси. Кръгът е специален случай на елипса, в която голямата ос е равна на малката ос. Параболичното огледало има свойството, че всички падащи лъчи, успоредни на неговата ос, се събират в една точка (фокус). Това се използва в повечето рефлекторни телескопи, които използват параболични огледала, както и в радарни антени и специални микрофони с параболични рефлектори. Сноп от успоредни лъчи излиза от източник на светлина, поставен във фокуса на параболичен рефлектор. Ето защо параболичните огледала се използват в мощни прожектори и фарове на автомобили. Хиперболата е графика на много важни физически зависимости, като закона на Бойл (свързващ налягането и обема на идеален газ) и закона на Ом, който определя електрическия ток като функция на съпротивлението при постоянно напрежение

Приложение

Референции.

1. Алексеев. Теорема на Абел в задачи и решения. 2001 г

2. Базилев В. Т., Дуничев К. И., Иваницкая В. П.. Учебник за студенти от 1-ва година на физико-математическите факултети на педагогическите институти. Московско "просвещение" 1974 г

3. Верещагин Н.К., А. Шен. Лекции по математическа логика и теория на алгоритмите. 1999 г

4. Гелфанд И. М. Лекции по линейна алгебра. 1998 г.

5. Gladky A.V. Въведение в съвременната логика. 2001 г

6. М. Е. Казарян.Курс по диференциална геометрия (2001-2002).

7. Прасолов В.В.. Геометрия на Лобачевски 2004

8. Прасолов В.В.. Проблеми по планиметрия 2001г

9. Sheinman O.K.. Основи на теорията на представителството. 2004 г

ДЪРЖАВЕН БЮДЖЕТ

ПРОФЕСИОНАЛНА ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ

ГРАДОВЕ НА МОСКВА

"ПОЛИЦЕЙСКИ КОЛЕЖ"

Реферат по дисциплината Математика

По темата: „Конични сечения и техните приложения в техниката“

Завършено

Кадет от 15-ти взвод

Алексеева А.И.

Учител

Зайцева O.N.

Москва

2016

Съдържание:

Въведение

1. Концепцията за конични сечения…………………………………………………………5

2. Видове конични сечения……………………………………………...7

3. Изследвания………………………………………………………………..8

4. Свойства на коничните сечения.... ……………………………………….9

5. Изграждане на конични сечения…………………………………….10

6. Аналитичен подход………………………………………………………………14

7. Приложение………………………………………………………………….16

8. През конуса…………………………………………………………..17

Списък на използваната литература

Въведение

Коничните сечения са предложени за първи път да се използват от древногръцкия геометър Менехмус, живял през 4 век пр.н.е., при решаването на задачата за удвояване на куб. Тази задача е свързана със следната легенда.

Един ден на остров Делос избухнала епидемия от чума. Жителите на острова се обърнаха към оракула, който каза, че за спиране на епидемията е необходимо да се удвои златният олтар, който имаше формата на куб и се намираше в храма на Аполон в Атина. Островитяните направиха нов олтар, чиито ребра бяха два пъти по-големи от ребрата на предишния. Чумата обаче не спря. Разгневените жители чули от оракула, че не са разбрали инструкциите му - не ръбовете на куба трябвало да се удвоят, а обемът му, тоест ръбовете на куба трябвало да се удвоят.

За да получи конични сечения, Менехм пресича конус - остър, правоъгълен или тъп - с равнина, перпендикулярна на една от образуващите. За остроъгълен конус сечението с равнина, перпендикулярна на неговата образуваща, има формата на елипса. Тъпият конус дава хипербола, а правоъгълният конус дава парабола.

Оттук идват имената на кривите, които са въведени от Аполоний от Перга, живял през 3 век пр. н. е.: елипса, което означава недостатък, недостатък (ъгълът на конус към права линия); хипербола - преувеличение, превъзходство (на ъгъл на конус над права линия); парабола - приближение, равенство (на ъгъл на конус с прав ъгъл). По-късно гърците забелязали, че и трите криви могат да бъдат получени на един конус чрез промяна на наклона на режещата равнина. В този случай трябва да вземете конус, състоящ се от две кухини и да мислите, че те се простират до безкрайност (фиг. 1)

Ако начертаем участък от кръгъл конус, перпендикулярен на неговата ос, и след това завъртим режещата равнина, оставяйки една точка от нейното пресичане с конуса неподвижна, ще видим как кръгът първо ще се разтегне, превръщайки се в елипса. Тогава вторият връх на елипсата ще отиде в безкрайност и вместо елипса ще получите парабола, а след това равнината ще пресече и втората кухина на конуса и ще получите хипербола.

Дълго време коничните сечения не намират приложение, докато астрономите и физиците не се заинтересуват сериозно от тях. Оказа се, че тези линии се срещат в природата (пример за това са траекториите на небесните тела) и графично описват много физически процеси (тук водеща е хиперболата: да си припомним закона на Ом и закона на Бойл-Мариот), да не говорим приложението им в механиката и оптиката. На практика най-често в инженерството и строителството се налага да се работи с елипса и парабола.

Фиг.1

диаграма

Концепцията за коничните сечения

Коничните сечения са равнинни криви, които се получават при пресичане на прав кръгов конус с равнина, която не минава през неговия връх. От гледна точка на аналитичната геометрия, коничното сечение е геометричното място на точките, удовлетворяващи уравнение от втори ред. С изключение на изродените случаи, обсъдени в последния раздел, коничните сечения са елипси, хиперболи или параболи (фиг. 2).

Фиг.2

Когато правоъгълен триъгълник се върти около един от краката му, хипотенузата с нейните разширения описва конична повърхност, наречена повърхност на прав кръгов конус, която може да се разглежда като непрекъсната поредица от линии, минаващи през върха и наречени генератори, всички генератори почиващи върху същия кръг, наречен произвеждащ. Всяка от генераторите представлява хипотенузата на въртящ се триъгълник (в известното му положение), удължена в двете посоки до безкрайност. Така всяка генератрикса се простира от двете страни на върха, в резултат на което повърхността има две кухини: те се събират в една точка в общ връх. Ако такава повърхност се пресече от равнина, тогава сечението ще произведе крива, която се нарича конично сечение. Може да бъде от три вида:

1) ако равнина пресича конична повърхност по всички генератори, тогава се разрязва само една кухина и в сечението се получава затворена крива, наречена елипса;

2) ако сечещата равнина пресича двете кухини, тогава се получава крива, която има два клона и се нарича хипербола;

3) ако режещата равнина е успоредна на една от образуващите, тогава се получава парабола.

Ако сечещата равнина е успоредна на образуващата окръжност, тогава се получава окръжност, която може да се разглежда като частен случай на елипса. Режеща равнина може да пресича конична повърхност само в един връх, тогава сечението създава точка, като специален случай на елипса.

Ако равнина, минаваща през връх, пресича двете равнини, тогава сечението произвежда двойка пресичащи се прави, разглеждани като специален случай на хипербола.

Ако върхът е безкрайно отдалечен, тогава коничната повърхност става цилиндрична и нейното сечение с равнина, успоредна на образуващите, дава двойка успоредни прави като частен случай на парабола. Коничните сечения се изразяват с уравнения от 2-ри ред, чиято обща форма е

брадва 2 +Уау+В + Dx + Ей + Е= 0 и се наричат ​​криви от 2-ри ред.
(конично сечение)

Видове конични секции .

Коничните сечения могат да бъдат от три вида:

1) режещата равнина пресича всички генератори на конуса в точки на една от неговите кухини; пресечната линия е затворена овална крива - елипса; кръг като частен случай на елипса се получава, когато сечащата равнина е перпендикулярна на оста на конуса.

2) Режещата равнина е успоредна на една от допирателните равнини на конуса; в напречно сечение резултатът е отворена крива, която отива до безкрайност - парабола, лежаща изцяло върху една кухина.

3) Режещата равнина пресича двете кухини на конуса; линията на пресичане - хипербола - се състои от две еднакви отворени части, простиращи се до безкрайност (клонове на хиперболата), лежащи върху двете кухини на конуса.

(фиг. 1) парабола (фиг. 2) елипса (фиг. 3) хипербола

Проучване

В случаите, когато коничното сечение има център на симетрия (център), т.е. е елипса или хипербола, неговото уравнение може да бъде намалено (чрез преместване на началото на координатите към центъра) до формата:

а 11 х 2 +2xy+a 22 г 2 = а 33 .

Допълнителни изследвания на такива (наречени централни) конични сечения показват, че техните уравнения могат да бъдат намалени до още по-проста форма:

о 2 + Ву 2 = C,

ако за посоки на координатните оси изберем главните посоки - посоките на главните оси (оси на симетрия) на конични сечения. Ако A и B имат еднакви знаци (съвпадащи със знака на C), тогава уравнението определя елипса; ако A и B са с различни знаци, тогава това е хипербола.

Редуцирайте уравнението на параболата до формата (Ah 2 + Ву 2 = C) невъзможно е. При правилен избор на координатни оси (едната координатна ос е единствената ос на симетрия на параболата, другата е права линия, перпендикулярна на нея, минаваща през върха на параболата), нейното уравнение може да се сведе до формата:

г 2 = 2px.

СВОЙСТВА НА КОНИЧНИТЕ СЕЧЕНИЯ

Дефиниции на Pappus. Установяването на фокуса на парабола даде на Pappus идеята да даде алтернативна дефиниция на коничните сечения като цяло. Нека F е дадена точка (фокус), а L е дадена права линия (директриса), която не минава през F, а DF и DL разстоянията от движещата се точка P съответно до фокуса F и директрисата L. След това, както показа Пап, коничните сечения се дефинират като геометрично място на точки P, за които съотношението DF:DL е неотрицателна константа. Това отношение се нарича ексцентричност e на коничното сечение. Когато e< 1 коническое сечение - эллипс; при e >1 - хипербола; когато e = 1 - парабола. Ако F лежи върху L, тогава локусите имат формата на линии (реални или въображаеми), които са изродени конични сечения. Поразителната симетрия на елипсата и хиперболата предполага, че всяка от тези криви има две директриси и два фокуса и това обстоятелство навежда Кеплер през 1604 г. на идеята, че параболата също има втори фокус и втора директриса - точка в безкрайност и права . По същия начин кръгът може да се разглежда като елипса, чиито фокуси съвпадат с центъра, а директрисите са в безкрайност. Ексцентричността e в този случай е нула.

Свойства. Свойствата на коничните сечения са наистина неизчерпаеми и всяко от тях може да се приеме за определящо. Важно място в Математическата колекция на Папус, Геометрията на Декарт (1637) и Принципите на Нютон (1687) заема проблемът за геометричното местоположение на точките спрямо четири прави линии. Ако на равнината са дадени четири прави L 1 , Л 2 , Л 3 и L4 (две от които може да съвпадат) и точката P е такава, че произведението на разстоянията от P до L 1 и Л 2 пропорционално на произведението на разстоянията от P до L 3 и Л 4 , то геометричното място на точките P е конично сечение.

КОНСТРУКЦИЯ НА КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ

Изучавайки коничните сечения като пресечни точки на равнини и конуси, древногръцките математици ги разглеждат и като траектории на точки в равнина. Установено е, че елипсата може да се дефинира като геометрично място на точки, сумата от разстоянията от които до две дадени точки е постоянна; парабола - като геометрично място на точки, равноотдалечени от дадена точка и дадена права линия; хипербола - като геометрично място на точките, разликата в разстоянията от която до две дадени точки е постоянна.

Тези дефиниции на конични сечения като равнинни криви също предполагат метод за конструирането им с помощта на опъната струна.

Елипса. Ако краищата на нишка с дадена дължина са фиксирани в точки F 1 и Ф 2 (фиг. 3), тогава кривата, описана от върха на молив, плъзгащ се по плътно опъната нишка, има формата на елипса. F точки 1 и F2 се наричат ​​фокуси на елипсата, а сегментите V 1 V 2 и v 1 v 2 между точките на пресичане на елипсата с координатните оси - голямата и малката ос. Ако точки F 1 и Ф 2 съвпадат, тогава елипсата се превръща в кръг (фиг. 3).

Фиг.3

Хипербола. Когато конструирате хипербола, точка P, върхът на молив, е фиксиран върху нишка, която се плъзга свободно по колчета, монтирани в точки F 1 и Ф 2 , както е показано на фигура 4, а, разстоянията са избрани така, че сегментът PF 2 по-дълъг от сегмента PF 1 с фиксирана стойност, по-малка от разстоянието F 1 Е 2 . В този случай единият край на резбата минава под щифта F 1 , и двата края на резбата минават над щифта F 2 . (Върхът на молива не трябва да се плъзга по конеца, така че трябва да се закрепи, като се направи малка примка на конеца и се прокара през него.) Един клон на хиперболата (PV 1 Q) теглим, като се уверяваме, че конецът остава опънат през цялото време и като издърпаме двата края на конеца надолу след точка F 2 , и когато точка P е под сегмент F 1 Е 2 , като държите конеца в двата края и внимателно го отпускате. Начертаваме второто разклонение на хиперболата, като първо сменим щифтовете F 1 и Ф 2 (фиг. 4).

Фиг.4

Клоните на хиперболата се приближават до две прави линии, които се пресичат между клоните. Тези линии се наричат ​​асимптоти на хипербола. Ъгловите коефициенти на тези прави са равни на къде е отсечката от ъглополовящата на ъгъла между асимптотите, перпендикулярна на отсечката F 2 Е 1 ; сегмент v 1 v 2 се нарича спрегната ос на хиперболата, а сегментът V 1 V 2 – напречната му ос. По този начин асимптотите са диагоналите на правоъгълник със страни, минаващи през четири точки v 1 ,v 2 , В 1 , В 2 успоредни на осите. За да построите този правоъгълник, трябва да посочите местоположението на точките v 1 и v 2 . Те са на едно и също разстояние, равно на пресечната точка на осите O. Тази формула предполага изграждането на правоъгълен триъгълник с катети Ov 1 и В 2 O и хипотенуза F 2 О.

Ако асимптотите на хипербола са взаимно перпендикулярни, тогава хиперболата се нарича равностранна. Две хиперболи, които имат общи асимптоти, но с пренаредени напречни и спрегнати оси, се наричат ​​взаимно спрегнати.

Парабола. Фокусите на елипсата и хиперболата са били известни на Аполоний, но фокусът на параболата очевидно е установен за първи път от Пап (втората половина на 3-ти век), който дефинира тази крива като геометрично място на точки, равноотдалечени от дадена точка (фокус) и дадена права линия, която се нарича директорка. Конструкцията на парабола с помощта на опъната нишка, базирана на дефиницията на Пап, е предложена от Исидор от Милет (VI век) (фиг. 5).

Фиг.5

АНАЛИТИЧЕН ПОДХОД

Алгебрична класификация. В алгебрични термини коничните сечения могат да се дефинират като равнинни криви, чиито координати в декартовата координатна система отговарят на уравнение от втора степен. С други думи, уравнението на всички конични сечения може да бъде написано в общ вид като където не всички коефициенти A, B и C са равни на нула. Използвайки паралелно преместване и въртене на осите, уравнение (1) може да бъде намалено до формата

брадва 2 +от 2 + c = 0

или

px 2 +q г = 0.

Първото уравнение се получава от уравнение (1) за B2 > AC, второто - за B 2 = AC. Коничните сечения, чиито уравнения се свеждат до първата форма, се наричат ​​централни. Коничните сечения, определени от уравнения от втори тип с q > 0, се наричат ​​нецентрални. В тези две категории има девет различни вида конични сечения в зависимост от знаците на коефициентите.

1) Ако коефициентите a, b и c са с еднакъв знак, то няма реални точки, чиито координати да удовлетворяват уравнението. Такова конично сечение се нарича въображаема елипса (или въображаема окръжност, ако a = b).

2) Ако a и b имат еднакъв знак, а c има противоположен знак, то коничното сечение е елипса; когато a = b - кръг.

3) Ако a и b имат различни знаци, то коничното сечение е хипербола.

4) Ако a и b имат различни знаци и c = 0, тогава коничното сечение се състои от две пресичащи се прави.

5) Ако a и b имат еднакъв знак и c = 0, тогава има само една реална точка на кривата, която удовлетворява уравнението, а коничното сечение е две въображаеми пресичащи се прави. В този случай също говорим за елипса, свързана с точка или, ако a = b, окръжност, свързана с точка.

6) Ако a или b е равно на нула, а другите коефициенти имат различни знаци, тогава коничното сечение се състои от две успоредни прави.

7) Ако a или b е равно на нула и останалите коефициенти имат същия знак, тогава няма реална точка, която да удовлетворява уравнението. В този случай те казват, че коничното сечение се състои от две въображаеми успоредни прави.

8) Ако c = 0 и a или b също е нула, тогава коничното сечение се състои от две реални съвпадащи прави. (Уравнението не определя никакво конично сечение за a = b = 0, тъй като в този случай оригиналното уравнение (1) не е от втора степен.)

9) Уравнения от втори тип определят параболи, ако p и q са различни от нула. Ако p > 0 и q = 0, получаваме кривата от стъпка 8. Ако p = 0, тогава уравнението не определя никакво конично сечение, тъй като оригиналното уравнение (1) не е от втора степен.

Приложение

Коничните сечения често се срещат в природата и техниката. Например орбитите на планетите, въртящи се около Слънцето, имат формата на елипси. Кръгът е специален случай на елипса, в която голямата ос е равна на малката ос. Параболичното огледало има свойството, че всички падащи лъчи, успоредни на неговата ос, се събират в една точка (фокус). Това се използва в повечето рефлекторни телескопи, които използват параболични огледала, както и в радарни антени и специални микрофони с параболични рефлектори. Сноп от успоредни лъчи излиза от източник на светлина, поставен във фокуса на параболичен рефлектор. Ето защо параболичните огледала се използват в мощни прожектори и фарове на автомобили. Хиперболата е графика на много важни физически зависимости, като закона на Бойл (свързващ налягането и обема на идеален газ) и закона на Ом, който определя електрическия ток като функция на съпротивлението при постоянно напрежение.

Всички тела в Слънчевата система се движат около Слънцето по елипси. Небесните тела, влизащи в Слънчевата система от други звездни системи, се движат около Слънцето по хиперболична орбита и ако движението им не се влияе значително от планетите от Слънчевата система, те напускат същата орбита. Нейните изкуствени спътници и нейният естествен спътник, Луната, се движат в елипси около Земята, а космическите кораби, изстреляни към други планети, се движат, след като двигателите приключат да работят по параболи или хиперболи (в зависимост от скоростта), докато гравитацията на други планети или Слънцето започне става сравнима с гравитацията (фиг. 3).

През конуса

Елипса и нейният частен случай - окръжността, параболата и хиперболата се получават лесно експериментално. Например, фунийка за сладолед би била доста подходяща за ролята на фунийка. Начертайте мислено една от нейните образуващи и изрежете рога под различни ъгли спрямо нея. Задачата е да направите само четири опита и да получите всички възможни конични сечения на срезовете. Още по-лесно е да извършите експеримента с фенерче: в зависимост от позицията си в пространството конусът от светлина ще произведе петна с различна форма по стената на стаята. Границата на всяко петно ​​е едно от коничните сечения. Като завъртите фенерчето във вертикална равнина, ще видите как една крива заменя друга: кръгът се разтяга в елипса, след това се превръща в парабола, а тя от своя страна в хипербола.

Математик решава същата задача теоретично, като сравнява два ъгъла: α - между оста на конуса и образуващата и β - между сечащата равнина и оста на конуса. И ето резултата: за α< β в сечении получится эллипс или окружность, при α = β - парабола, а при α >β е разклонение на хипербола. Ако приемем, че генераторите са прави линии, а не сегменти, тоест да разгледаме неограничена симетрична фигура от два конуса с общ връх, ще стане ясно, че елипсата е затворена крива, параболата се състои от един безкраен клон, а хиперболата се състои от две.

Най-простото конично сечение - кръг - може да бъде начертано с конец и пирон. Достатъчно е да завържете единия край на конеца за пирон, забит в хартията, а другия - за молив и да го затегнете. След пълно завъртане моливът ще очертае кръг. Или можете да използвате компас: като промените решението му, можете лесно да начертаете цяло семейство кръгове.

СПИСЪК НА ИЗПОЛЗВАНАТА ЛИТЕРАТУРА

1.Верещагин Н.К., А.Шен. Лекции по математическа логика и теория на алгоритмите. 1999 г

2. Прасолов В.В.. Геометрия на Лобачевски 2004

4. Прасолов В.В.. Геометрия на Лобачевски 2004

Общинско учебно заведение

СОУ No4

Завършено

Спиридонов Антон

ученик от 11А клас

Проверено

Коробейникова А. Т.

Тоболск - 2006 г

Въведение

Концепцията за коничните сечения

Видове конични сечения

Проучване

Изграждане на конични сечения

Аналитичен подход

Приложение

Приложение

Референции

Въведение.

Цел: изучаване на конични сечения.

Цели: научете се да правите разлика между видовете конични сечения, да конструирате кинетични сечения и да прилагате аналитичен подход.

Коничните сечения са предложени за първи път да се използват от древногръцкия геометър Менехмус, живял през 4 век пр.н.е., при решаването на задачата за удвояване на куб. Тази задача е свързана със следната легенда.

Един ден на остров Делос избухнала епидемия от чума. Жителите на острова се обърнаха към оракула, който каза, че за спиране на епидемията е необходимо да се удвои златният олтар, който имаше формата на куб и се намираше в храма на Аполон в Атина. Островитяните направиха нов олтар, чиито ребра бяха два пъти по-големи от ребрата на предишния. Чумата обаче не спря. Разгневените жители чули от оракула, че не са разбрали инструкциите му - не ръбовете на куба трябвало да се удвоят, а обемът му, тоест ръбовете на куба трябвало да се удвоят. От гледна точка на геометричната алгебра, която е била използвана от гръцките математици, проблемът означаваше: даден сегмент a, намерете сегменти x и y така, че a: x = x: y = y: 2a. Тогава дължината на отсечката x ще бъде равна.

Дадената пропорция може да се разглежда като система от уравнения:

Но x 2 =ay и y 2 =2ax са уравнения на параболи. Следователно, за да се реши задачата, трябва да се намерят техните пресечни точки. Ако вземем предвид, че уравнението на хиперболата xy=2a 2 също може да бъде получено от системата, тогава същата задача може да бъде решена чрез намиране на пресечните точки на параболата и хиперболата.

За да получи конични сечения, Менехм пресича конус - остър, правоъгълен или тъп - с равнина, перпендикулярна на една от образуващите. За остроъгълен конус сечението с равнина, перпендикулярна на неговата образуваща, има формата на елипса. Тъпият конус дава хипербола, а правоъгълният конус дава парабола.

Оттук идват имената на кривите, които са въведени от Аполоний от Перга, живял през 3 век пр. н. е.: елипса (έλλείψίς), което означава недостатък, недостатък (на ъгъла на конус към права линия) ; хипербола (ύπέρβωλη) - преувеличение, превес (на ъгъл на конус над права линия); парабола (παραβολη) - приближение, равенство (на ъгъл на конус с прав ъгъл). По-късно гърците забелязали, че и трите криви могат да бъдат получени на един конус чрез промяна на наклона на режещата равнина. В този случай трябва да вземете конус, състоящ се от две кухини и да смятате, че те се простират до безкрайност (фиг. 1).

и се наричат ​​криви от 2-ри ред.

Видове конични сечения.

Коничните сечения могат да бъдат от три вида:

1) режещата равнина пресича всички генератори на конуса в точки на една от неговите кухини; пресечната линия е затворена овална крива - елипса; кръг като частен случай на елипса се получава, когато сечащата равнина е перпендикулярна на оста на конуса.

2) Режещата равнина е успоредна на една от допирателните равнини на конуса; в напречно сечение резултатът е отворена крива, която отива до безкрайност - парабола, лежаща изцяло върху една кухина.

3) Режещата равнина пресича двете кухини на конуса; линията на пресичане - хипербола - се състои от две еднакви отворени части, простиращи се до безкрайност (клонове на хиперболата), лежащи върху двете кухини на конуса.

Проучване.

В случаите, когато коничното сечение има център на симетрия (център), т.е. е елипса или хипербола, неговото уравнение може да бъде намалено (чрез преместване на началото на координатите към центъра) до формата:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Допълнителни изследвания на такива (наречени централни) конични сечения показват, че техните уравнения могат да бъдат намалени до още по-проста форма:

Ax 2 + Wu 2 = C,

ако за посоки на координатните оси изберем главните посоки - посоките на главните оси (оси на симетрия) на конични сечения. Ако A и B имат еднакви знаци (съвпадащи със знака на C), тогава уравнението определя елипса; ако A и B са с различни знаци, тогава това е хипербола.

Уравнението на парабола не може да се сведе до формата (Ax 2 + By 2 = C). При правилен избор на координатни оси (едната координатна ос е единствената ос на симетрия на параболата, другата е права линия, перпендикулярна на нея, минаваща през върха на параболата), нейното уравнение може да се сведе до формата:

КОНСТРУКЦИЯ НА КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ.

Изучавайки коничните сечения като пресечни точки на равнини и конуси, древногръцките математици ги разглеждат и като траектории на точки в равнина. Установено е, че елипсата може да се дефинира като геометрично място на точки, сумата от разстоянията от които до две дадени точки е постоянна; парабола - като геометрично място на точки, равноотдалечени от дадена точка и дадена права линия; хипербола - като геометрично място на точките, разликата в разстоянията от които до две дадени точки е постоянна.

Тези дефиниции на конични сечения като равнинни криви също предполагат метод за конструирането им с помощта на опъната струна.

Елипса.Ако краищата на нишка с дадена дължина са фиксирани в точки Е 1 и Е 2 (фиг. 3), то кривата, описана от върха на молив, плъзгащ се по плътно опъната нишка, има формата на елипса. Точки Е 1 и Е 2 се наричат ​​фокуси на елипсата, а сегментите V 1 V 2 и v 1 v 2 между пресечните точки на елипсата с координатните оси - голямата и малката ос. Ако точки Е 1 и Е 2 съвпадат, тогава елипсата се превръща в кръг (фиг. 3).

Хипербола.При построяването на хипербола точката П, върхът на молив, е фиксиран върху конец, който се плъзга свободно по колчета, монтирани на точки Е 1 и Е 2, както е показано на фигура 4, а, разстоянията са избрани така, че сегментът PF 2 е по-дълъг от сегмента PF 1 с фиксирана стойност, по-малка от разстоянието Е 1 Е 2. В този случай единият край на конеца минава под колчето Е 1, като двата края на конеца минават върху колчето Е 2. (Върхът на молива не трябва да се плъзга по конеца, така че трябва да се закрепи, като се направи малка примка на конеца и се прокара през него.) Един клон на хиперболата ( PV 1 Q) рисуваме, като се уверяваме, че конецът остава опънат през цялото време и като издърпаме двата края на конеца надолу през върха Е 2 и когато точка Пще бъде под сегмента Е 1 Е 2, като държите конеца в двата края и внимателно го отпускате. Начертаваме второто разклонение на хиперболата, като първо сменим колчетата Е 1 и Е 2 (фиг. 4).

Клоните на хиперболата се приближават до две прави линии, които се пресичат между клоните. Тези линии, наречени асимптоти на хипербола, са изградени, както е показано на фигура 4, b. Ъгъл

коефициентите на тези прави са равни на къде е отсечката от ъглополовящата на ъгъла между асимптотите, перпендикулярни на отсечката Е 2 Е 1 ; сегмент v 1 v 2 се нарича спрегната ос на хиперболата, а сегментът V 1 V 2 - неговата напречна ос. По този начин асимптотите са диагоналите на правоъгълник със страни, минаващи през четири точки v 1 , v 2 , V 1 , V 2 успоредни на осите. За да построите този правоъгълник, трябва да посочите местоположението на точките v 1 и v 2. Те са на еднакво разстояние, равни

от точката на пресичане на осите О. Тази формула включва изграждането на правоъгълен триъгълник с крака Ов 1 и V 2 Ои хипотенуза Е 2 О.

Ако асимптотите на хипербола са взаимно перпендикулярни, тогава хиперболата се нарича равностранен. Две хиперболи, които имат общи асимптоти, но с пренаредени напречни и спрегнати оси, се наричат взаимно конюгирани.

Парабола.Триковете на елипсата и хиперболата са били известни на Аполоний, но фокус на парабола, очевидно е установен за първи път от Пап (втората половина на 3-ти век), който дефинира тази крива като геометрично място на точки, еднакво отдалечени от дадена точка (фокус) и дадена права линия, която се нарича директорка. Конструкцията на парабола с помощта на опъната нишка, базирана на дефиницията на Пап, е предложена от Исидор от Милет (VI век) (фиг. 5).

Нека позиционираме линийката така, че ръбът й да съвпада с директрисата и да прикрепим крака към този ръб A.C.триъгълник за рисуване ABC. Закрепваме единия край на конеца с дължина ABна върха бтриъгълник, а другият във фокуса на параболата Е. Като използвате върха на молив, за да опънете конеца, натиснете върха в различна точка Пкъм свободния крак ABчертежен триъгълник. Докато триъгълникът се движи по линийката, точката Пще опише дъгата на парабола с фокус Еи директриса, тъй като общата дължина на нишката е AB, парче конец е в съседство със свободния крак на триъгълника и следователно останалото парче конец PFтрябва да е равна на останалата част от крака AB, т.е PA. Пресечна точка Vпарабола с ос се нарича върха на параболата, права линия, минаваща през ЕИ V, - оста на параболата. Ако през фокуса е начертана права линия, перпендикулярна на оста, тогава сегментът от тази права линия, отрязан от параболата, се нарича фокусен параметър. За елипса и хипербола фокусният параметър се определя по подобен начин.

АНАЛИТИЧЕН ПОДХОД

Алгебрична класификация. В алгебрични термини коничните сечения могат да се дефинират като равнинни криви, чиито координати в декартовата координатна система отговарят на уравнение от втора степен. С други думи, уравнението на всички конични сечения може да бъде написано в общ вид като

където не всички коефициенти A, B и C са равни на нула. Използвайки паралелно преместване и въртене на осите, уравнение (1) може да бъде намалено до формата

брадва 2 + по 2 + c = 0

Първото уравнение се получава от уравнение (1) за B 2 > AC, второто - за B 2 = AC. Коничните сечения, чиито уравнения се свеждат до първата форма, се наричат ​​централни. Коничните сечения, определени от уравнения от втори тип с q > 0, се наричат ​​нецентрални. В тези две категории има девет различни вида конични сечения в зависимост от знаците на коефициентите.

1) Ако коефициентите a, b и c са с еднакъв знак, то няма реални точки, чиито координати да удовлетворяват уравнението. Такова конично сечение се нарича въображаема елипса (или въображаема окръжност, ако a = b).

2) Ако a и b имат еднакъв знак, а c има противоположен знак, то коничното сечение е елипса; когато a = b - кръг.

3) Ако a и b имат различни знаци, то коничното сечение е хипербола.

4) Ако a и b имат различни знаци и c = 0, тогава коничното сечение се състои от две пресичащи се прави.

5) Ако a и b имат еднакъв знак и c = 0, тогава има само една реална точка на кривата, която удовлетворява уравнението, а коничното сечение е две въображаеми пресичащи се прави. В този случай също говорим за елипса, свързана с точка или, ако a = b, окръжност, свързана с точка.

6) Ако a или b е равно на нула, а другите коефициенти имат различни знаци, тогава коничното сечение се състои от две успоредни прави.

7) Ако a или b е равно на нула и останалите коефициенти имат същия знак, тогава няма реална точка, която да удовлетворява уравнението. В този случай те казват, че коничното сечение се състои от две въображаеми успоредни прави.

8) Ако c = 0 и a или b също е нула, тогава коничното сечение се състои от две реални съвпадащи прави. (Уравнението не определя никакво конично сечение за a = b = 0, тъй като в този случай оригиналното уравнение (1) не е от втора степен.)

9) Уравнения от втори тип определят параболи, ако p и q са различни от нула. Ако p > 0 и q = 0, получаваме кривата от стъпка 8. Ако p = 0, тогава уравнението не определя никакво конично сечение, тъй като оригиналното уравнение (1) не е от втора степен.

Приложение

Коничните сечения често се срещат в природата и техниката. Например орбитите на планетите, въртящи се около Слънцето, имат формата на елипси. Кръгът е специален случай на елипса, в която голямата ос е равна на малката ос. Параболичното огледало има свойството, че всички падащи лъчи, успоредни на неговата ос, се събират в една точка (фокус). Това се използва в повечето рефлекторни телескопи, които използват параболични огледала, както и в радарни антени и специални микрофони с параболични рефлектори. Сноп от успоредни лъчи излиза от източник на светлина, поставен във фокуса на параболичен рефлектор. Ето защо параболичните огледала се използват в мощни прожектори и фарове на автомобили. Хиперболата е графика на много важни физически зависимости, като закона на Бойл (свързващ налягането и обема на идеален газ) и закона на Ом, който определя електрическия ток като функция на съпротивлението при постоянно напрежение

Приложение

Референции.

1. Алексеев. Теорема на Абел в задачи и решения. 2001 г

2. Базилев В. Т., Дуничев К. И., Иваницкая В. П.. Учебник за студенти от 1-ва година на физико-математическите факултети на педагогическите институти. Московско "просвещение" 1974 г

3. Верещагин Н.К., А. Шен. Лекции по математическа логика и теория на алгоритмите. 1999 г

4. Гелфанд И. М. Лекции по линейна алгебра. 1998 г.

5. Gladky A.V. Въведение в съвременната логика. 2001 г

6. М. Е. Казарян.Курс по диференциална геометрия (2001-2002).

7. Прасолов В.В.. Геометрия на Лобачевски 2004

8. Прасолов В.В.. Проблеми по планиметрия 2001г

9. Sheinman O.K.. Основи на теорията на представителството. 2004 г

(cm.) (чийто водач е окръжност) от равнини, които не минават през нейния връх.
Ако режещата равнина не е успоредна на нито една от образуващите на коничната повърхност, тогава коничното сечение е елипса, по-специално кръг (фиг. 107). Ако режещата равнина е успоредна само на една от образуващите на коничната повърхност, тогава коничното сечение е парабола (фиг. 108). Ако секущата равнина е успоредна на две образуващи на конична повърхност, тогава коничното сечение е хипербола (фиг. 109).
При елипса и парабола сечащата равнина пресича само една кухина на коничната повърхнина, а при хипербола сечащата равнина пресича и двете кухини на коничната повърхнина.
Коничните сечения иначе се наричат ​​криви от 2-ри ред. Коничните сечения вече са били изучавани от математиците на древна Гърция (например Менаехмус през 4 век пр. н. е. решава проблема с (вижте) използването на конични сечения). Най-пълното изследване на коничните сечения е извършено от Аполоний от Перга (III век пр.н.е.).

Коничните сечения се използват в техниката, например в елиптични зъбни колела, в инсталации за прожектори (параболични огледала) и др. Планетите на Слънчевата система се движат по елипси, кометите се движат по параболи и хиперболи.
Изследването на конични сечения с помощта на сфери, вписани в конична повърхност, е извършено от белгийския геометър Дж. Данделин (19 век).

Уравнението на конично сечение в полярни координати има формата:

където r е векторът на фокусния радиус (фиг. 110, F е десният фокус на коничното сечение);

p - фокусен параметър;
e - ексцентричност;
φ - полярен ъгъл.

Ако e 1, тогава това уравнение определя (виж); в този случай за ъгъл φ, вариращ от φ 0 до 2π - φ 0 (където 2 φ 0 е ъгълът между асимптотите tan φ 0 =b/a), получаваме десния клон на хиперболата, а за ъгли φ, вариращи от - φ 0 до φ 0, получаваме левия клон на хиперболата.

Името на коничните сечения (елипса, парабола и хипербола) се обяснява от древните геометри с техния метод за решаване на проблеми, които се свеждат до решаване на линейни или квадратни уравнения - методът на прилагане на площи или параболичният метод, който също се нарича метод на геометричната алгебра.

Нека AB = 2a - диаметърът на елипсата (фиг. 111), AE = 2p, CF - перпендикуляр на AB; тогава квадратът, построен върху CD, ще бъде равен на площта на правоъгълника (AF):

Като поставим AC=x, CB=2a - x, CD=y, получаваме:

По същия начин за хипербола ще имаме:

В случай на елипса, формулата съдържа знак минус, т.е. площта на правоъгълника (CE) се използва с недостатък (гръцки ελλειψιζ - недостатък). В случай на хипербола, формулата съдържа знак плюс, т.е. площта на правоъгълника (CE) се използва в излишък (гръцки υπερβολη - излишък, излишък).
Ако има просто равенство между площта на квадрат и площта на правоъгълник (CE) (във формулата няма минус или плюс - нито излишък, нито недостатък), т.е. y² = 2pх, тогава кривата (конично сечение) се нарича парабола (παραβολη - площи на приложение, изравняване).

Министерство на образованието на Руската федерация

Държавен педагогически университет в Калуга

тях. К.Е. Циолковски

"Конични сечения"

1. Съчинения на Аполоний

2. „Конични сечения” от Аполоний.

2.1 Извеждане на уравнението на кривата за сечение от правоъгълен конус на въртене

2.2 Извеждане на уравнението за парабола

2.3 Извеждане на уравнението за елипса и хипербола

2.4 Инвариантност на коничните сечения

2.5 Допълнително изследване на коничните сечения в произведенията на Аполоний

2.6 По-нататъшно развитие на теорията на коничните сечения

3. Заключение

4. Препратки

Съчинения на Аполоний

Аполоний е роден в Пергия в Мала Азия. Разцветът на дейността му пада около 210г. пр.н.е По това време той живее в Александрия, където се премества като млад и където учи под ръководството на математици от школата на Евклид. Аполоний става известен като геометър и астроном. Умира около 170 г. пр.н.е д.

В математиката Аполоний е най-известен със своите Конични сечения, в които дава пълно изложение на теорията и развива аналитични и проективни методи. Аполоний написа трактат „За вмъкванията“, посветен на класификацията на проблемите, които могат да бъдат решени с помощта на вмъквания. Такива задачи могат да се окажат разрешими с пергел и линийка (равнинни задачи), с помощта на конични сечения (плътни задачи) и с помощта на други криви (линейни). Идентифицирането към кой клас принадлежи определен проблем може да отбележи началото на тяхната алгебрична класификация. Интересът на Аполоний към алгебричните проблеми се проявява и в другата му работа „За неподредените ирационалности“, в която той продължава класификацията на Евклид.

Чисто геометричните трудове на Аполоний са: произведението „За спираловидните линии“, в което той разглежда спирали върху повърхността на цилиндър, „На допир“, където се анализира известната задача на Аполоний: „Дадени са три неща, всяко от които може да бъде точка, права линия или кръг; изисква се да се начертае окръжност, която да минава през всяка от дадените точки и да докосва всяка от дадените линии или окръжности.“

От съчиненията „За равнинните геометрични места” можем да заключим, че Аполоний разглежда трансформацията на равнина върху себе си, което превръща прави линии и кръгове в прави линии и кръгове. Специален случай на тези трансформации са трансформациите по подобие и инверсии на определена точка.

Някои от произведенията на Аполоний са изгубени и не са оцелели до наши дни.

„Конични сечения” от Аполоний

Conic Sections се състои от осем книги. Първите четири, които според автора излагат елементите на теорията, са достигнали до нас на гръцки, следващите три са в арабския превод на Сабит ибн Кора, последната - осмата книга - е изгубена. Съществува реконструкция на неговия текст, принадлежаща на английския астроном Е. Халей (XVIII век).

Кривите от втори ред са разгледани за първи път във връзка с проблема за удвояването на куба; Това стереометрично представяне гарантира съществуването и непрекъснатостта на въпросните криви. Тогава Менехм пристъпи към извеждането на основното планиметрично свойство на сечението, което древните наричаха симптом (уравнение на крива).

Извеждане на уравнението на кривата за сечение от правоъгълен конус на въртене

Нека OAB е сечението на този конус с равнина, минаваща през оста OL, а PLK е следата на равнината, перпендикулярна на образуващата на този конус (фиг. 1). Тогава KM 2 = AK KB, тъй като AMB е полукръг. Но AK=PP′=√2LP 2 и KB=√2KP 2, така че KM 2 =2LP KP.

ориз. 1

Нека означим KM с y, KP с p, тогава получаваме

Това е уравнение или симптом на крива, което се записва с помощта на буквени знаци, а древните са го записали в словесно-геометрична форма: квадратът на полухордата KM във всяка точка е равен на правоъгълника PKSR, изграден върху отсечката PK на оста към върха (x) и върху постоянната отсечка PR (фиг. 2).

ориз. 2

Аналогично е изведено уравнението за сеченията на остроъгълни и тъпоъгълни конуси, т.е. елипса и хипербола:

= и =, (2)

където 2a е голямата ос на елипсата или реалната ос на хиперболата,

и p е константа.

В случай, че р=а, уравненията (2) приемат формата

y 2 =x(2a-x) и y 2 =x(2a+x) (3)

първото от които е уравнението на окръжност с радиус a, а второто е уравнението на равностранна хипербола. Елипса и хипербола (2) могат да бъдат получени от окръжност и хипербола (3) чрез компресиране към абсцисната ос в отношение √p/a.

Аполоний преди всичко дава по-общо определение. Първо, той взема произволен кръгъл конус; второ, той изследва и двете му кухини (което му дава възможност да изследва и двата клона на хиперболата); накрая, той чертае разрез с равнина, разположена под произволен ъгъл спрямо образуващата.

На обичайния език на аналитичната геометрия можем да кажем, че преди Аполоний коничните сечения са се разглеждали във връзка с правоъгълна координатна система, като една от осите съвпада с главния диаметър, а втората минава перпендикулярно на него през върха на крива; Аполоний свързва кривите с всеки диаметър на допирателна, начертана в един от нейните краища, т.е. към някаква наклонена координатна система.

След стереометричното определение Аполоний дава и извод на симптоми – уравнения на криви. В същото време той класифицира получените криви според вида на уравнението, което ги определя, т.е. Основата е гледната точка, характерна за аналитичната геометрия.

Извеждане на уравнението за парабола

Нека BAC е сечението на кръгъл конус от равнина, минаваща през оста (фиг. 3), и нека равнината GHD е начертана така, че DE да е перпендикулярна на BC, а GH да е успоредна на AB (GH може да бъде избрана като успореден на AC). Нека намерим уравнението на DGE кривата, получена в секцията.

ориз. 3

Нека K е произволна точка на тази крива. Нека начертаем KL успоредно на DE и MN успоредно на BC. Равнината, минаваща през KL и MN, ще бъде успоредна на равнината на основата и, както Аполоний беше доказал по-рано, ще пресича конуса в окръжност. Следователно KL 2 =ML LN.

Отсечката GL е променливо разстояние на проекцията на точка D от върха, членовете са постоянни. Аполоний избира сегмент GF така, че

Тогава KL 2 =GF LG. Това е симптомът – уравнението на напречното сечение.

Ако означим KL=y, LG=x, GF=2p, тогава получаваме уравнението в обичайната форма: y 2 =2px.

При Аполоний уравнението също е написано устно - на гръцки: ако GH е един от диаметрите на параболата, а KL е полухордата, спрегната на този диаметър, тогава Аполоний поставя GR = 2p перпендикулярно на GH. След това се посочва, че във всяка точка квадратът, построен върху LK (фиг. 4), трябва да бъде равен на правоъгълника GRSL, т.е. GL GR.

Името „парабола“ идва от името на Аполоний παραβολή (приложение), тъй като проблемът за конструиране на точка на тази крива се свежда до проблема за приложението (преди Аполоний параболата се наричаше сечение от правоъгълен конус на въртене).

ориз. 4

Извеждане на уравнението за елипса и хипербола

По подобен начин Аполоний получава уравнението на елипсата и хиперболата.

Така за елипса се доказва, че LK 2 = pl. GLL′G′ (фиг. 5), където GH=2a е определен диаметър на елипсата, LK е спрегнатата към нея полухорда, GR=2p е константа, а GR е перпендикулярна на GH. За да преминете към по-позната форма на нотация, обърнете внимание на това

ориз. 5

По този начин проблемът за конструиране на точките на елипса се свежда до проблема за приложение с недостатък („елиптичен проблем“), което обяснява името „елипса“ (έλλειψις - недостатък). Това име е въведено от Аполоний, преди него елипсата се наричаше част от остроъгълен конус на въртене.

Аналогично за хиперболата (фиг. 6) получаваме уравнението

LK 2 = квадрат GLL′G′, т.е. , или.

Следователно проблемът за конструиране на точки на хипербола се свежда до проблема с приложението с излишък („хиперболичен проблем“), което обяснява името „хипербола“ (ύπερβολή - излишък). Това име също беше въведено от Аполоний преди него, хипербола се наричаше разрез на тъп конус на въртене.

Построената отсечка GR=2p, разположена перпендикулярно на диаметъра GH, е наречена от Аполоний „права страна”.

ориз. 6

Понастоящем стойността p се нарича параметър на каноничното сечение (в случай на елипса и хипербола с полуоси a и b, p=b 2 /a и факторът на компресия √p/a, трансформиращ кръг или равностранна хипербола в дадена елипса или хипербола, е равно на b/a) .

Класификацията на коничните сечения на Аполоний е по същество алгебрична.

Инвариантност на коничните сечения

Аполоний разбираше отлично (и това го доближаваше до геометрите на Новото време), че такава класификация е легитимна само ако формата на уравнението не се променя, когато кривата се присвои на другия й диаметър и спрегнатите й хорди.

В първата книга той изследва този въпрос. За да направите това, беше необходимо да се определи посоката на акордите, свързани с всеки диаметър. При стереометрично определяне спрегнатите посоки се получават автоматично. Въпреки това, за да се реши проблемът, поставен от Аполоний, е необходима дефиниция, независима от стереометрията. Аполоний прави това: той доказва, че правата, прекарана през точка А на каноничното сечение, успоредна на посоката на хордите, спрегнати на диаметъра, минаващ през А, е допирателна. След това той конструира допирателна към парабола, елипса, окръжност и хипербола.

Нека P е някаква точка на параболата и AA′ е един от диаметрите (фиг. 7). Аполоний доказва, че допирателната PR ще отреже сегмента AR=AQ от продължението на диаметъра, ако PL е хорда, спрегната на AA′. За хипербола, елипса и окръжност той получава връзката (фиг. 8, за елипса)

ориз. 7

RA:RA′=QA:QA′.

След това Аполоний трансформира уравнението на елипсата и хиперболата, така че началото на координатите да е в центъра на кривата, и уравнението на параболата, така че началото на координатите да съвпада с върха на тази крива.

По този начин тук координатните оси са два спрегнати диаметъра. След това той показва, че формата на уравнението не се променя, ако някой от диаметрите на кривата и допирателната, начертана в един от нейните краища, се вземат за нови оси.

ориз. 8

В първата книга Аполоний разглежда различни координатни системи в зависимост от един параметър, тъй като тези координатни системи се определят от една точка на кривата - края на диаметъра, и доказва инвариантността на уравненията на елипсата, хиперболата и параболата по отношение на трансформациите на съответните координатни системи.

В края на първата книга Аполоний показва, че е възможно да се избере диаметър, който е перпендикулярен на акордите, свързани с него. Тогава разглежданата крива може да бъде представена като сечение на всеки тъп, или остроъгълен, или правоъгълен конус на въртене от равнина, перпендикулярна на образуващата. Това установява идентичността на кривите, въведени от Аполоний, с каноничните сечения, които бяха разгледани преди него.

Основната идея на първата книга е да се вземат като основа за класификацията на кривите свойствата на техните алгебрични уравнения и точно тези, които остават инвариантни при допустими координатни трансформации. Едва през 19в. Тази идея беше напълно разбрана, когато Клайн, в програмата Ерланген, установи нов възглед за геометрията като наука за инвариантите на определени групи трансформации на равнина или пространство.

По-нататъшно изследване на коничните сечения в произведенията на Аполоний

В следващите три книги Аполоний развива теорията на коничните сечения: той изяснява основните свойства на спрегнатите диаметри на асимптотите, получава уравнението на хиперболата по отношение на асимптотите (xy=const) и установява основните свойства на фокуси на елипсата и хиперболата. Тук за първи път се появяват полюси и поляри по отношение на конични сечения: ако от една точка е възможно да се начертаят две допирателни към конично сечение, тогава правата линия, свързваща точките на допиране, се нарича полярна на дадена точка , а точката е полюсът на тази права линия. Ако преместите полюса по права линия, пресичаща участъка, тогава полярата ще се върти около полюса на тази права линия, но ако преместите полюса по права линия, която не пресича участъка, тогава полярната също ще се върти около някаква точка и в този случай точката, около която се върти полюсът, и правата линия, по която се движи полюсът, се нарича още полюс и полюс. В четвъртата книга Аполоний разглежда въпроса за броя на пресечните точки на две конични сечения.

В петата книга Аполоний определя всички нормали към конично сечение (перпендикуляри към допирателната, възстановени в точката на допиране). Шестата книга изучава подобни конични сечения.

Седмата книга съдържа известните теореми на Аполоний:

а) сумата от квадратите на спрегнатите диаметри на елипсата е равна на сумата от квадратите на главните оси;

б) разликата на квадратите на два спрегнати диаметъра на хипербола е равна на разликата на квадратите на главните оси;

в) успоредник, построен върху два спрегнати диаметъра на елипса или хипербола, има постоянна площ.

По-нататъшно развитие на теорията на коничните сечения

В древни времена методите за изследване на кривите, създадени от Аполоний, не са разработени, въпреки че до началото на 5 век. AD произведенията му са изучавани и коментирани. Що се отнася до самите конични сечения, те са били използвани от Архимед за решаване и изследване на кубичното уравнение. За същите цели коничните сечения са използвани от по-късните древни геометри и учени от ислямските страни.

Дълго време те не са получавали никакво приложение в математическото естествознание, освен за изучаване на отразяването на светлината от параболични огледала. Едва през 17в. Имаше възраждане на идеите на Аполоний: Ферма и Декарт преведоха неговия метод на езика на нова алгебра, основавайки аналитичната геометрия, а Нютон приложи тези методи за описание и изследване на криви от трети ред. Но още по-рано теорията за коничните сечения получи най-широко приложение в механиката на земните и небесните тела: Кеплер установи, че планетите на нашата слънчева система се движат в елипси, в един от фокусите на които се намира Слънцето; Галилей показа, че хвърлен камък лети през пространството по парабола. Накрая през 80-те години на 17в. Нютон създава своите "Математически принципи на естествената философия" директно въз основа на трудовете на Аполоний.

Заключение

Коничните сечения на Аполоний са пример за математическа теория, създадена много преди да е необходима. По този повод А. Айнщайн пише: „Възхищението от този прекрасен човек (говорим за Кеплер) е друго чувство на възхищение и страхопочитание, но отнасящо се не до човека, а до тайнствената хармония на природата, която съответства на най-простите закони. Наред с правата линия и кръга, те включват елипса и хипербола. Виждаме последното приложено в орбитите на небесните тела, поне с добро приближение.

препратки:

1. Пътеки и лабиринти. Есета по история на математиката. Daan – Dalmedico A., Peiffer J. Trans. от френски – М.: Мир, 1986.

2. История на математиката от древността до началото на 19 век. Юшкевич А.П. – М.: Наука, 1970.

Посетих новооткритата „Стара книга“ на 2-ра Советская. Впечатленията са много благоприятни: универсален магазин, много художествена литература, добра селекция от техническа и научна литература. Тъй като процесът на подреждане все още не е завършен, все още не е изложена цялата техническа литература (през следващите дни е обещано значително попълване) и е в известен безпорядък. Отношението към клиентите е „най-галантерийно“, те ви канят да дойдете отново и ви молят да разкажете на приятелите си за новия магазин.
Изпълнявам последната си молба:

Естествено, беше просто невъзможно да си тръгнете, без да закупите книга:

Л. Карпински, професор в Мичиганския университет, Г. Бенедикт, професор в Тексаския университет, Дж. Калгун, професор в Тексаския университет
Единна математика
Авторизиран превод от английски с бележки и промени от проф. Д. А. Крижановски
Научно-техническата секция на Държавния академичен съвет е одобрена като ръководство за техникуми и технически колежи; препоръчва се като ръководство за учители
М.-Л.: Държавно издателство, 1926. XVI, 596 с.
(Ръководства и ръководства за техникуми и колежи)

От предговора на преводача:

Сред почти огромната образователна математическа литература от различни страни, колективният труд на трима американски професори „Unified Mathematics“ се откроява както с оригиналния си избор на материал, така и особено с методите на обработка и представяне. Основната тенденция на авторите е да свържат целия представен материал, като органично преплитат отделните му части, в едно цяло - е в пълна хармония с принципите на нашата школа. Ако математиката, като предмет на училищното обучение, трябва да бъде тясно свързана с изучаването на природата и обществото и с изискванията на живота, тогава не може да има схоластично разделение на изолирани, самодостатъчни дисциплини и глави. Физиката, технологията и икономиката не адаптират проблемите си към категориите, на които обикновено се разделят колекциите от математически задачи. Следователно, колкото по-рано ученикът се научи да комбинира техниките и резултатите от различни клонове на математиката, толкова по-добре. И за това най-сигурният начин е да се въведе този метод на комбиниране в самия процес на изучаване на математика.

Друга отличителна черта на книгата, органично свързана с нейната обща тенденция, отбелязана по-горе, е изключителното богатство и разнообразие на приложен материал (взет от физика, астрономия, техника, артилерия, биология, статистика, търговска аритметика и др.) както в текста, така и в текста. и в задачи - също напълно отговаря на нуждите на нашето училище. Този материал е разпръснат с щедра ръка във всички глави и по-специално изпълва изцяло глави XXII, XXVI („колебателно движение“) и XXVII („закони на органичния растеж“). В тази последна (XXVII) глава специално внимание се обръща на новостта на темата „кривата на зарастване на рани“ - резултат от болнични наблюдения по време на последната война. Благодарение на това изобилие от примери и задачи, „Единна математика” може да бъде полезно ръководство за тези учебни заведения, в които теорията се преподава с помощта на други ръководства.
Безспорните предимства на „Единната математика” включват и многобройни, интересно съставени „исторически бележки”.

Предговор от проф. Л. Карпински към руския превод:

Централната идея на „Unified Mathematics“ е не толкова да се отклони от традиционната математика, нашето голямо наследство от миналото, а да покаже каква жизненоважна, реална роля играе математиката в съвременния свят. За гърците е било достатъчно да знаят, че една парабола има такива и такива прекрасни геометрични свойства. Съвременният ученик трябва да покаже поразителна връзка с елементарните алгебрични уравнения и особено с полета на снаряд, с различни видове мостови конструкции, с формата на концертни зали и дори с автомобилни прожектори. Практическите приложения са не по-малко прекрасни от чисто теоретичните.
Съвременният свят изисква умствена работа на не по-малко от древния свят, но изисква умът да бъде в контакт с реалността. В математиката това може да се направи, като се запазят голяма част от постиженията на миналото.

Четенето на книга като тази е много забавно. Много от примерите, дадени в него, вече имат почти историческа стойност. Освен това някои раздели, без знанието за които преди осемдесет до деветдесет години беше невъзможно за математиците и инженерите, сега практически са изчезнали и откриването им е изключително интересно. Някои коментари се приемат с тъжна усмивка, особено когато се мисли за настоящи студенти.

През последните години широкото използване на изчислителни машини, извършващи умножение и деление на петнадесет и дори двадесет цифри, отчасти измести логаритмичните таблици в офисите на големите застрахователни компании, а също и до известна степен в обсерваториите.

ОТ ГЛАВА VII: ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ

§ 10. Произход на функциите тангенс и котангенс.- В наблюдателната астрономия важна роля играе ъгълът на наклона на слънцето и другите небесни тела към хоризонта. Съотношението на дължината на сянката, хвърлена от някакъв вертикален обект, към дължината на самия обект дава котангенса на ъгъла на наклона на слънцето. Тази ъглова функция се появява преди тангентата в писанията на арабския астроном Ал-Батани през 10 век след Христа и се нарича сянка, а по-късно директна сянка или втора сянка. Допирателната функция, която представлява отношението на дължината на сянката, хвърлена върху вертикална стена от прът, перпендикулярен на стената, към дължината на самия прът, по-късно беше наречена първа сянка. Арабите приемат дължината на пръта като 12 единици.

ОТ ГЛАВА XIX: ПАРАБОЛА

§ 1. Определение.- Дефинирахме елипса (Глава XVIII, § 3) като местоположението на точка, която се движи по такъв начин, че нейното разстояние от фиксирана точка, фокусът, е в постоянно съотношение по-малко от 1 към нейното разстояние от фиксирана линия, директрисата. Ако това постоянно съотношение е 1, тогава кривата, описана от движещата се точка, се нарича парабола. Ако това отношение, тъй като е постоянно, надвишава 1, тогава кривата се нарича хипербола.

Състояние: ,at, се определя елипса.
Условие: определена е парабола.
Състояние: , at, е дефинирана хипербола.

[СЪС. 345–346.]

ОТ ГЛАВА XXI: ТАНГЕНТИ И НОРМАЛИ КЪМ КРИВИ ОТ ВТОРИ РЕД

§ 2. Уравнение от втора степен от общ вид изобразява конично сечение.- Ако е даден прав кръгов конус, тогава може да се покаже, като се използват геометричните методи на евклидовата геометрия, че разрезът на повърхността на конуса от която и да е равнина представлява една от кривите, споменати по-горе; например равнина, успоредна на основата на конус, дава окръжност в напречно сечение или окръжност (окръжност с нулев радиус), ако минава през върха.
Под конус тук разбираме цялата конична повърхност, образувана от образуващите на конуса, неограничено удължени в двете посоки от точката на тяхното пресичане.
Равнина, успоредна само на един генериращ елемент (образуващата на конуса), пресича конуса по парабола или по две съвпадащи прави линии, ако режещата равнина в същото време минава през една от образуващите и докосва кръговата основа на конус.
Равнина, пресичаща на крайно разстояние всички образуващи на конуса, дава елипса в напречно сечение; последната се превръща в точка на елипса, когато равнината преминава през върха на конуса.
Равнина, която е едновременно успоредна на всеки две образуващи на конуса, пресича последния по хиперболата, но ако равнината минава през върха, тогава хиперболата се изражда в двойка прави линии.

§ 3. Историческа бележка за коничните сечения.- Основните свойства на коничните сечения са открити от гръцките математици почти две хиляди години преди изобретяването на аналитичната геометрия от френските математици от седемнадесети век Декарт и Ферма. Трактат за коничните сечения е написан от Евклид (ок. 320 г. пр.н.е.), но е решително надминат от трактат, написан век по-късно Аполоний Пергамски(около 250 г. пр.н.е.); този последен трактат съдържа повечето от основните свойства, които сме изучавали.
Свойствата на парабола, пряко свързани с фокуса и директрисата, не са включени в осемте книги (глави), написани от Аполоний за конични сечения; той също не използва директрисата в случай на централни сечения (т.е. криви с център на симетрия - елипса и хипербола). Въведе тези понятия в своя Математически сборници Пап от Александрия(ок. 300 г. сл. Хр.), може би последният от всички значими гръцки математици.
Древногръцките математици се интересуват от тези криви от чисто геометрична гледна точка. Те не знаеха, че пътеките на планетите са конични сечения; Те също не знаеха никакво практическо приложение на тези криви. Но само защото гръцките геометри са изучавали свойствата на тези криви, Йоханес Кеплер и Исак Нютон са успели да установят законите на планетарното движение във Вселената, в която живеем. Споменатите учени, както и Николай Коперник, който възстановява хелиоцентричната теория за света, са дълбоки експерти в чистата геометрия на гърците; техните нови теории са изградени директно на базата на тази чиста геометрия.

[СЪС. 374–376.]

ОТ ГЛАВА XXII: ПРИЛОЖЕНИЯ НА КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ

§ 1. Общи бележки.- Многобройни приложения на конични сечения - кръг, елипса, парабола и хипербола - вече са частично посочени в проблемите, съпътстващи изследването на всяка от тези криви. Такива обширни и разнообразни полезни приложения на тези криви се дължат главно на техните тангенциални свойства и други геометрични характеристики. Фактът, че простите геометрични свойства принадлежат именно на криви, които са изразени чрез алгебрични уравнения с две променливи от първа и втора степен, изглежда показва съществуването на известна хармония в света на алгебрата и геометрията.

§ 2. Закони на Вселената.- През 1529 г. полският астроном и математик Коперник (1473 - 1543) преоткрива и установява факта, известен още на древните гърци, че слънцето представлява центърът на Вселената, в която живеем; той вярваше, че планетите се движат около слънцето по кръгови орбити.
Около век след това великият немски астроном Кеплер (1571 - 1630) установява следните закони на Вселената:
1. Орбитите на планетите са елипси, като слънцето е в един от фокусите.
2. Радиус векторът, свързващ слънцето с движеща се планета, описва равни площи за равни периоди от време (за всяка планета поотделно).
3. Квадратът на времето на пълно въртене на всяка планета е пропорционален на куба на нейното средно разстояние от слънцето, т.е.
,
където и са орбиталните периоди на двете планети и и са диаметрите на техните орбити.
Кеплер може да направи своите открития само благодарение на работата на всички свои предшественици, особено на гръцките математици, които извършват толкова пълно изследване на свойствата на коничните сечения, както и на датчанина Тихо Брахе (1546 - 1601), чиито внимателни наблюдения осигуряват необходимите фактически данни за движението на планетите.
Нютон (1642 - 1727) завършва работата по кодифицирането на законите на движението в света около нас, показвайки, че взаимното привличане на всеки две тела е обратно пропорционално на квадрата на разстоянието между тях и право пропорционално на техните маси. Освен това Нютон показа, че това предположение води до елиптично движение в случая на слънцето и всяка планета.
Пътеките на кометите, които се появяват само веднъж в Слънчевата система, са, както е известно, параболи или, може би, хиперболи, чийто ексцентричност е близо до 1.

[СЪС. 391–392.]

§ 6. Приложение на коничните сечения в архитектурата и мостовото строителство.- Така нареченото „Златно сечение” несъмнено дава добра илюстрация за наличието на тясна връзка между красотата на формата и числовите отношения.

Според единодушното признание на специалисти в тази област, размерите на правоъгълника са най-задоволителни от художествена гледна точка в случая, когато дългата страна на правоъгълника е свързана с късата страна приблизително по същия начин, както късата страна страна е свързана с разликата между двете страни. С други думи, ако е дадена основата на правоъгълник, тогава ще намерим желаната височина - в смисъла на най-голямата красота на формата - като използваме "златното сечение", т.е. разделяйки дадения сегмент в екстремни и средни съотношения . Така, например, с основа, равна на 40, височината се определя от уравнението:
;
това води до квадратно уравнение по отношение на. Забележително е, че като изрежем от получения правоъгълник квадрат, построен върху късата страна на правоъгълника, получаваме правоъгълник, подобен на оригиналния; подобен правоъгълник ще се получи, ако към оригиналния се добави квадрат, построен върху дългата страна на оригиналния правоъгълник.
Вече се сблъскахме с примери за връзката, която очевидно съществува между простотата на формуляр и простотата на съответното алгебрично уравнение. Така една права линия е представена от най-простото алгебрично уравнение с две променливи, а именно уравнение от първа степен; окръжност, най-простата крива по отношение на дизайна, е представена от квадратно уравнение от особено прост тип; Всички други типове квадратни уравнения с две променливи съответстват само на три допълнителни класа криви, а именно елипси, параболи и хиперболи. Усещането за художествено удовлетворение, което ни дава формата на тези криви от втори ред - конични сечения - се потвърждава от широкото използване, което тези форми намират както сред старите, така и сред новите художници.
При конструирането на арки беше установено, че красотата на геометричната форма е най-тясно свързана с простотата на съответното алгебрично уравнение. Параболата и елипсата се използват широко в сводести конструкции, не само поради красотата на тяхната форма, но и поради тяхната чисто механична адаптивност към напреженията и деформациите, причинени от тежестта на тези конструкции. Един признат експерт * по въпроса за изграждането на мостове казва, че „арките трябва да представляват идеални криви“, предупреждавайки срещу използването на така наречените „фалшиви“ елипси.

Фактът, че правилните елипси и параболи се срещат толкова често в много от най-големите мостове в света, показва колко широко приета е теорията, приписваща красотата на формата на елиптичните и параболичните арки.
На гигантския мост Hell-Gate Bridge в Ню Йорк главната арка представлява геометрично правилна парабола (вижте задача 11, глава XIX, § 11). На Лондонския мост основната част от конструкцията се състои от пет елипсовидни арки. Дори хиперболата, макар и много рядко, намира приложение в мостостроенето. Трябва да се отбележи, че - отчасти поради по-голямата лекота на рисуване - кръглите (полукръглите) арки са много по-разпространени, както и приближенията на елипса или парабола, конструирани с помощта на няколко кръгови дъги с различни центрове.
При използването на параболична дъга в конструкцията на мостове и покривни плочи могат да се разграничат най-малко четири различни типа. Първият тип е представен от висящи (верижни) мостове с кабели, провиснали по параболична крива. Вторият тип включва случая, когато върхът на параболичната дъга се намира под пътното платно. При мостове от трети тип параболична дъга пресича пътното платно. И накрая, към четвъртия тип принадлежат конструкции, в които параболичната арка е разположена изцяло над пътя, както при таваните.
Елипсовидните или по-рядко параболичните дъги обикновено се използват при проектирането на големи театрални и други зали.
Параболичните и чисто елипсовидни арки също се използват, но не толкова често, колкото кръглите и подковообразните, при проектиране на улуци. Понякога се използват дори пълни геометрично правилни елипси (вижте задача 6 по-долу).

1. Решете квадратното уравнение от последния параграф и проверете решението, като начертаете кривата.
2. Каква е ширината на правоъгълник, чиято височина е 40, ако тази височина се получава в резултат на „златното сечение“ на ширината, съответстваща на най-красивата форма на правоъгълника?
3. Мостът в Питсбърг, Америка, има параболична арка, с размах от 108 метра и височина от 13,5 метра. Начертайте тази парабола. Ако приемем, че вертикалните стълбове са разделени от панели с дължина 6 метра и се издигат на 4,5 метра над върха на арката, намерете какви са дължините им.
4. По-малките арки, водещи до самия мост, описани в предишната задача, изглеждат с елипсовидна форма. Техните разстояния са 8,4 метра, а височините на самите сводове са около 2,4 метра. Нарисувай ги.
5. В един дренаж параболичният свод е широк 1,8 метра и висок 1,2 метра. Конструирайте десет точки на тази арка.
6. Един от канализационните канали в Чикаго, построен през 1910 г., е вертикална елипса в напречно сечение с размери 3,6 × 4,2 метра. Начертайте формата на този участък.
7. Начертайте елипсовидна и параболична арка, всяка с обхват 30 метра и височина 9 метра. Сравнете ги един с друг.
8. Използвайки мащаб, изградете параболична дъга на висящия мост Уилямсборг (фиг. 153) с обхват от 488 метра и отклонение от 55 метра. Напишете уравнението му в най-простата му форма, като изберете осите по подходящ начин. Каква е дължината на четирите стълба от кабела до тангентата на върха на параболата?

* Г. Х. Тирел, Художествен дизайн на мост, Чикаго, 1912 г.

[СЪС. 399–403.]

ОТ ГЛАВА XXVI: ВИБРАЦИОННО ДВИЖЕНИЕ

В повечето случаи се оказва удобно да се приложи времето на пълен цикъл към обикновеното влакно под формата на цяло число единици, като стойността на единицата зависи от стойността на периода. В случай на въртене с период от една минута, единица на абсцисната ос може да се приеме за 10 секунди, а същата единица на ординатната ос - като дължина на радиуса. Получената крива се различава много малко от синусоида с равни единици за дължина по двете координатни оси. Най-високата и най-ниската точка се намират на абсцисите 15 и 45. Моменти: 0, 5, 7,5, 10, 15, 20 и 30 секунди съответстват на ъгли 0, 30°, 45°, 60°, 90°, 120° и 180° .

Физиците и инженерите обикновено използват следната чисто графична техника, за да начертаят често срещани синусоидални криви. Първо, начертайте кръг с център в началото, чийто диаметър е равен на желаната амплитуда. Ъглите между осите се разделят наполовина и след това отново и отново наполовина (колкото пъти желаете). На хоризонталната ос се очертава сегмент с подходяща дължина, за да изобрази пълния цикъл и се разделя на толкова (обикновено 16) равни части, на колкото кръгът е разделен от осите и ъглополовящите.

[СЪС. 466–467.]

ОТ ГЛАВА XXVII: ЗАКОНИТЕ НА РАСТЕЖА

§ 5. Крива на напредъка на заздравяването на рани.- Тясно свързан с формулите, изразяващи закона за органичния растеж и закона за „органичното намаляване“, е наскоро открит закон, който свързва, както алгебрично под формата на уравнение, така и графично под формата на крива, повърхностната площ на ​рана с време, изразено в дни, която е настъпила, откакто раната е станала стерилна или асептична. Когато се постигне асептично състояние, благодарение на измиване и изплакване с антисептични разтвори, тогава на базата на две наблюдения, обикновено направени 4 дни след другото, се изчислява т. нар. „персонален индекс”; този индекс, заедно с две измервания на площта на раната, позволява на клинициста да определи нормалната прогресия на намаляване на повърхността на раната за даден индивид. Контурите на раната се скицират внимателно върху прозрачна хартия и след това нейната площ се измерва с помощта на математически инструмент, наречен планиметър.

Времето за наблюдение, изразено в дни, се нанася по оста x, а площта на раната се нанася като ордината. След всяко наблюдение и изчисляване на площта така получената точка се нанася върху същата система от оси, в която се изгражда идеалната или пророческата крива (кривата на прогнозиране). Две такива идеални криви, както и реално наблюдавани криви, са показани на нашите диаграми.
Ако наблюдаваната зона е значително по-голяма от площта, определена от идеалната крива, това е индикация, че все още има инфекция в раната. Такъв случай е представен на втората диаграма. Често се наблюдава следният изключително поразителен и все още необясним феномен: ако повърхността на раната зараства много по-бързо, отколкото показва идеалната крива, тогава се развиват вторични язви, които връщат кривата към нормалното. Първата ни диаграма е от този тип.

Това приложение на математиката в медицината до голяма степен се дължи на д-р Алексис Карел от Института за медицински изследвания Рокфелер. Той забеляза, че колкото по-голяма е повърхността на раната, толкова по-бързо тя заздравява и че скоростта на заздравяване изглежда пропорционална на площта на раната. Но коефициентът на тази пропорционалност не е еднакъв за всички стойности на площта на раната, в противен случай би имало уравнение от формата
,
където означава зоната на раната в момента, в който тя стане стерилна и когато започват наблюденията, записани на диаграмата.
В действителност (за начертаване на идеални криви) се използват следните формули, предложени от Dr. Льоконт дю Нуйи(Нойи показа, че има нормална стойност на коефициента в зависимост от възрастта на индивида и размера на раната и че личният индекс, определен от две наблюдения, несъмнено разкрива факти, свързани с общото здравословно състояние на индивида *.

[СЪС. 486–489.]

Общинско учебно заведение

СОУ No4

Конични сечения

Завършено

Спиридонов Антон

ученик от 11А клас

Проверено

Коробейникова А. Т.

Тоболск - 2006 г

Въведение

Концепцията за коничните сечения

Видове конични сечения

Проучване

Изграждане на конични сечения

Аналитичен подход

Приложение

Приложение

Референции

Въведение.

Цел: изучаване на конични сечения.

Цели: научете се да правите разлика между видовете конични сечения, да конструирате кинетични сечения и да прилагате аналитичен подход.

Коничните сечения са предложени за първи път да се използват от древногръцкия геометър Менехмус, живял през 4 век пр.н.е., при решаването на задачата за удвояване на куб. Тази задача е свързана със следната легенда.

Един ден на остров Делос избухнала епидемия от чума. Жителите на острова се обърнаха към оракула, който каза, че за спиране на епидемията е необходимо да се удвои златният олтар, който имаше формата на куб и се намираше в храма на Аполон в Атина. Островитяните направиха нов олтар, чиито ребра бяха два пъти по-големи от ребрата на предишния. Чумата обаче не спря. Разгневените жители чули от оракула, че не са разбрали инструкциите му - не ръбовете на куба трябвало да се удвоят, а обемът му, тоест ръбовете на куба трябвало да се удвоят. От гледна точка на геометричната алгебра, която е била използвана от гръцките математици, проблемът означаваше: даден сегмент a, намерете сегменти x и y така, че a: x = x: y = y: 2a. Тогава дължината на отсечката x ще бъде равна.

Дадената пропорция може да се разглежда като система от уравнения:

Но x 2 =ay и y 2 =2ax са уравнения на параболи. Следователно, за да се реши задачата, трябва да се намерят техните пресечни точки. Ако вземем предвид, че уравнението на хиперболата xy=2a 2 също може да бъде получено от системата, тогава същата задача може да бъде решена чрез намиране на пресечните точки на параболата и хиперболата.

За да получи конични сечения, Менехм пресича конус - остър, правоъгълен или тъп - с равнина, перпендикулярна на една от образуващите. За остроъгълен конус сечението с равнина, перпендикулярна на неговата образуваща, има формата на елипса. Тъпият конус дава хипербола, а правоъгълният конус дава парабола.

Оттук идват имената на кривите, които са въведени от Аполоний от Перга, живял през 3 век пр. н. е.: елипса (έλλείψίς), което означава недостатък, недостатък (на ъгъла на конус към права линия) ; хипербола (ύπέρβωλη) - преувеличение, превес (на ъгъл на конус над права линия); парабола (παραβολη) - приближение, равенство (на ъгъл на конус с прав ъгъл). По-късно гърците забелязали, че и трите криви могат да бъдат получени на един конус чрез промяна на наклона на режещата равнина. В този случай трябва да вземете конус, състоящ се от две кухини и да смятате, че те се простират до безкрайност (фиг. 1).

Ако начертаем участък от кръгъл конус, перпендикулярен на неговата ос, и след това завъртим режещата равнина, оставяйки една точка от нейното пресичане с конуса неподвижна, ще видим как кръгът първо ще се разтегне, превръщайки се в елипса. Тогава вторият връх на елипсата ще отиде в безкрайност и вместо елипса ще получите парабола, а след това равнината ще пресече и втората кухина на конуса и ще получите хипербола.

Концепцията за коничните сечения.

Коничните сечения са равнинни криви, които се получават при пресичане на прав кръгов конус с равнина, която не минава през неговия връх. От гледна точка на аналитичната геометрия, коничното сечение е геометричното място на точките, удовлетворяващи уравнение от втори ред. С изключение на изродените случаи, обсъдени в последния раздел, коничните сечения са елипси, хиперболи или параболи (фиг. 2).

Когато правоъгълен триъгълник се върти около един от краката му, хипотенузата с нейните разширения описва конична повърхност, наречена повърхност на прав кръгов конус, която може да се разглежда като непрекъсната поредица от линии, минаващи през върха и наречени генератори, всички генератори почиващи върху същия кръг, наречен произвеждащ. Всяка от образуващите е въртящ се триъгълник (в известното му положение), удължен в двете посоки до безкрайност. Така всяка генератрикса се простира от двете страни на върха, в резултат на което повърхността има две кухини: те се събират в една точка в общ връх. Ако такава повърхност се пресече от равнина, тогава сечението ще произведе крива, която се нарича конично сечение. Може да бъде от три вида:

1) ако равнина пресича конична повърхност по всички генератори, тогава се разрязва само една кухина и в сечението се получава затворена крива, наречена елипса;

2) ако сечещата равнина пресича двете кухини, тогава се получава крива, която има два клона и се нарича хипербола;

3) ако режещата равнина е успоредна на една от образуващите, тогава се получава парабола.

Ако сечещата равнина е успоредна на образуващата окръжност, тогава се получава окръжност, която може да се разглежда като частен случай на елипса. Режеща равнина може да пресича конична повърхност само в един връх, тогава сечението създава точка, като специален случай на елипса.

Ако равнина, минаваща през върха, пресича двете кухини, тогава разрезът произвежда двойка пресичащи се линии, разглеждани като специален случай.

Ако върхът е безкрайно отдалечен, тогава коничната повърхност се превръща в цилиндрична, а сечението й с равнина, успоредна на образуващите, дава двойка успоредни прави като частен случай. Коничните сечения се изразяват с уравнения от 2-ри ред, чиято обща форма е

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

и се наричат ​​криви от 2-ри ред.

Видове конични сечения.

Коничните сечения могат да бъдат от три вида:

1) режещата равнина пресича всички генератори на конуса в точки на една от неговите кухини; пресечната линия е затворена овална крива - ; кръг като частен случай на елипса се получава, когато сечащата равнина е перпендикулярна на оста на конуса.

2) Режещата равнина е успоредна на една от допирателните равнини на конуса; в напречно сечение резултатът е отворена крива, която отива до безкрайност - парабола, лежаща изцяло върху една кухина.

3) Режещата равнина пресича двете кухини на конуса; линията на пресичане - хипербола - се състои от две еднакви отворени части, простиращи се до безкрайност (клонове на хиперболата), лежащи върху двете кухини на конуса.

Проучване.

В случаите, когато коничното сечение има център на симетрия (център), т.е. е елипса или хипербола, неговото уравнение може да бъде намалено (чрез преместване на началото на координатите към центъра) до формата:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Допълнителни изследвания на такива (наречени централни) конични сечения показват, че техните уравнения могат да бъдат намалени до още по-проста форма:

Ax 2 + Wu 2 = C,

ако за посоки на координатните оси изберем главните посоки - посоките на главните оси (оси на симетрия) на конични сечения. Ако A и B имат еднакви знаци (съвпадащи със знака на C), тогава уравнението определя елипса; ако A и B са с различни знаци, тогава това е хипербола.

Уравнението на парабола не може да се сведе до формата (Ax 2 + By 2 = C). При правилен избор на координатни оси (едната координатна ос е единствената ос на симетрия на параболата, другата е права линия, перпендикулярна на нея, минаваща през върха на параболата), нейното уравнение може да се сведе до формата:

КОНСТРУКЦИЯ НА КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ.

Изучавайки коничните сечения като пресечни точки на равнини и конуси, древногръцките математици ги разглеждат и като траектории на точки в равнина. Установено е, че елипсата може да се дефинира като геометрично място на точки, сумата от разстоянията от които до две дадени точки е постоянна; парабола - като геометрично място на точки, равноотдалечени от дадена точка и дадена права линия; хипербола - като геометрично място на точките, разликата в разстоянията от която до две дадени точки е постоянна.

Тези дефиниции на конични сечения като равнинни криви също предполагат метод за конструирането им с помощта на опъната струна.

Елипса. Ако краищата на нишка с дадена дължина са фиксирани в точки F 1 и F 2 (фиг. 3), тогава кривата, описана от точката на молив, плъзгаща се по плътно опъната нишка, има формата на елипса. Точките F 1 и F 2 се наричат ​​фокуси на елипсата, а сегментите V 1 V 2 и v 1 v 2 между точките на пресичане на елипсата с координатните оси - голяма и малка ос. Ако точките F 1 и F 2 съвпадат, тогава елипсата се превръща в кръг (фиг. 3).

Хипербола. При конструирането на хипербола, точка P, върхът на молив, е фиксиран върху нишка, която се плъзга свободно по колчета, монтирани в точки F 1 и F 2, както е показано на фигура 4, а, разстоянията са избрани така, че сегментът PF 2 е по-дълъг от сегмента PF 1 с фиксирана стойност, по-малка от разстоянието F 1 F 2 . В този случай единият край на конеца минава под колчето F 1, а двата края на конеца минават над колчето F 2. (Върхът на молива не трябва да се плъзга по конеца, така че трябва да се закрепи, като се направи малка примка върху конеца и се прокара през него.) Начертаваме един клон на хиперболата (PV 1 Q), като се уверяваме, че нишката остава опъната през цялото време и, като издърпате двата края на конеца надолу след точка F 2 и когато точка P е под сегмента F 1 F 2, хванете конеца за двата края и внимателно го отпуснете. Начертаваме второто разклонение на хиперболата, като първо сменим щифтовете F 1 и F 2 (фиг. 4).

Клоните на хиперболата се приближават до две прави линии, които се пресичат между клоните. Тези прави линии, наречени асимптоти на хиперболата, са конструирани, както е показано на фигура 4, b. Ъгъл

коефициентите на тези прави са равни на къде е сегментът на ъглополовящата на ъгъла между асимптотите, перпендикулярен на сегмента F 2 F 1 ; сегментът v 1 v 2 се нарича спрегната ос на хиперболата, а сегментът V 1 V 2 е нейната напречна ос. Така асимптотите са диагоналите на правоъгълник със страни, минаващи през четири точки v 1, v 2, V 1, V 2, успоредни на осите. За да конструирате този правоъгълник, трябва да посочите местоположението на точки v 1 и v 2. Те са на еднакво разстояние, равни

от пресечната точка на осите O предполага построяването на правоъгълен триъгълник с катети Ov 1 и V 2 O и хипотенуза F 2 O.

Ако асимптотите на хипербола са взаимно перпендикулярни, тогава хиперболата се нарича равностранна. Две хиперболи, които имат общи асимптоти, но с пренаредени напречни и спрегнати оси, се наричат ​​взаимно спрегнати.

Парабола. Фокусите на елипсата и хиперболата са били известни на Аполоний, но фокусът на параболата очевидно е установен за първи път от Пап (втората половина на 3-ти век), който дефинира тази крива като геометрично място на точки, равноотдалечени от дадена точка (фокус) и дадена права линия, която се нарича директорка. Конструкцията на парабола с помощта на опъната нишка, базирана на дефиницията на Пап, е предложена от Исидор от Милет (VI век) (фиг. 5).

Нека позиционираме линийката така, че ръбът й да съвпадне с директрисата и да прикрепим катета AC на чертожния триъгълник ABC към този ръб. Нека закрепим единия край на нишка с дължина AB във върха B на триъгълника, а другият във фокуса на параболата F. След като издърпате конеца с върха на молив, натиснете върха в променливата точка P към свободен катет AB на чертожния триъгълник. Докато триъгълникът се движи по линийката, точка P ще описва дъгата на парабола с фокус F и директриса, тъй като общата дължина на нишката е равна на AB, парчето нишка е в съседство със свободния крак на триъгълника и следователно останалата част от резбата PF трябва да бъде равна на останалата част крак AB, тоест PA. Пресечната точка на V на параболата с оста се нарича връх на параболата, правата линия, минаваща през F и V, е оста на параболата. Ако през фокуса е начертана права линия, перпендикулярна на оста, тогава сегментът от тази права линия, отрязан от параболата, се нарича фокален параметър. За елипса и хипербола фокусният параметър се определя по подобен начин.

АНАЛИТИЧЕН ПОДХОД

Алгебрична класификация. В алгебрични термини коничните сечения могат да се дефинират като равнинни криви, чиито координати в декартовата координатна система отговарят на уравнение от втора степен. С други думи, уравнението на всички конични сечения може да бъде написано в общ вид като

където не всички коефициенти A, B и C са равни на нула. Използвайки паралелно преместване и въртене на осите, уравнение (1) може да бъде намалено до формата

брадва 2 + по 2 + c = 0

Първото уравнение се получава от уравнение (1) за B 2 > AC, второто - за B 2 = AC. Коничните сечения, чиито уравнения се свеждат до първата форма, се наричат ​​централни. Коничните сечения, определени от уравнения от втори тип с q > 0, се наричат ​​нецентрални. В тези две категории има девет различни вида конични сечения в зависимост от знаците на коефициентите.

1) Ако коефициентите a, b и c са с еднакъв знак, то няма реални точки, чиито координати да удовлетворяват уравнението. Такова конично сечение се нарича въображаема елипса (или въображаема окръжност, ако a = b).

2) Ако a и b имат еднакъв знак, а c има противоположен знак, то коничното сечение е елипса; когато a = b – кръг.

3) Ако a и b имат различни знаци, то коничното сечение е хипербола.

4) Ако a и b имат различни знаци и c = 0, тогава коничното сечение се състои от две пресичащи се прави.

5) Ако a и b имат еднакъв знак и c = 0, тогава има само една реална точка на кривата, която удовлетворява уравнението, а коничното сечение е две въображаеми пресичащи се прави. В този случай също говорим за елипса, свързана с точка или, ако a = b, окръжност, свързана с точка.

6) Ако a или b е равно на нула, а другите коефициенти имат различни знаци, тогава коничното сечение се състои от две успоредни прави.

7) Ако a или b е равно на нула и останалите коефициенти имат същия знак, тогава няма реална точка, която да удовлетворява уравнението. В този случай те казват, че коничното сечение се състои от две въображаеми успоредни прави.

8) Ако c = 0 и a или b също е нула, тогава коничното сечение се състои от две реални съвпадащи прави. (Уравнението не определя никакво конично сечение за a = b = 0, тъй като в този случай оригиналното уравнение (1) не е от втора степен.)

КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ

- равнинни криви, които се получават при пресичане на прав кръгов конус с равнина, която не минава през неговия връх. От гледна точка на аналитичната геометрия, коничното сечение е геометричното място на точките, удовлетворяващи уравнение от втори ред. Освен в изродени случаи, коничните сечения са елипси, хиперболи или параболи.

Коничните сечения често се срещат в природата и техниката. Например орбитите на планетите, въртящи се около Слънцето, имат формата на елипси. Кръгът е специален случай на елипса, в която голямата ос е равна на малката ос. Параболичното огледало има свойството, че всички падащи лъчи, успоредни на неговата ос, се събират в една точка (фокус). Това се използва в повечето рефлекторни телескопи, които използват параболични огледала, както и в радарни антени и специални микрофони с параболични рефлектори. Сноп от успоредни лъчи излиза от източник на светлина, поставен във фокуса на параболичен рефлектор. Ето защо параболичните огледала се използват в мощни прожектори и фарове на автомобили. Хиперболата е графика на много важни физически зависимости, като закона на Бойл (свързващ налягането и обема на идеален газ) и закона на Ом, който определя електрическия ток като функция на съпротивлението при постоянно напрежение.

Предполага се, че откривателят на коничните сечения е Менехмус (4 век пр.н.е.), ученик на Платон и учител на Александър Велики. Menaechmus използва парабола и равностранна хипербола, за да реши проблема с удвояването на куб. Трактати за конични сечения, написани от Аристей и Евклид в края на 4 век. пр. н. е., са изгубени, но материали от тях са включени в известните конични разрези на Аполоний от Перга (ок. 260-170 г. пр. н. е.), които са оцелели до наши дни. Аполоний изостави изискването секущата на образуващата на конуса да е перпендикулярна и чрез промяна на ъгъла на нейния наклон получи всички конични сечения от един кръгъл конус, прав или наклонен. На Аполоний дължим и съвременните имена на криви - елипса, парабола и хипербола. В своите конструкции Аполоний използва двулистов кръгъл конус, така че за първи път става ясно, че хиперболата е крива с два клона. От времето на Аполоний коничните сечения се разделят на три вида в зависимост от наклона на сечащата равнина към образуващата на конуса. Елипса се образува, когато режеща равнина пресича всички образуващи на конуса в точки в една от неговите кухини; парабола - когато сечащата равнина е успоредна на една от допирателните равнини на конуса; хипербола - когато сечещата равнина пресича двете кухини на конуса.

Изучавайки коничните сечения като пресечни точки на равнини и конуси, древногръцките математици ги разглеждат и като траектории на точки в равнина. Установено е, че елипсата може да се дефинира като геометрично място на точки, сумата от разстоянията от които до две дадени точки е постоянна; парабола - като геометрично място на точки, равноотдалечени от дадена точка и дадена права линия; хипербола - като геометрично място на точките, разликата в разстоянията от които до две дадени точки е постоянна. Тези дефиниции на конични сечения като равнинни криви също предполагат метод за конструирането им с помощта на опъната струна.

Фокусите на елипсата и хиперболата са били известни на Аполоний, но фокусът на параболата очевидно е установен за първи път от Пап (2-ра половина на 3-ти век), който дефинира тази крива като геометрично място на точки, равноотдалечени от дадена точка (фокус) и дадена права линия, която се нарича директор. Конструкцията на парабола с помощта на опъната нишка, базирана на дефиницията на Pappus, е предложена от Исидор от Милет (6 век).

Установяването на фокуса на парабола даде на Pappus идеята да даде алтернативна дефиниция на коничните сечения като цяло. Нека F е дадена точка (фокус), а L е дадена права линия (директриса), която не минава през F, а DF и DL разстоянията от движещата се точка P съответно до фокуса F и директрисата L. След това, както показа Пап, коничните сечения се дефинират като геометрично място на точки P, за които съотношението DF/DL е неотрицателна константа. Това отношение се нарича ексцентричност e на коничното сечение. Когато e< 1 коническое сечение - эллипс; при e >1 - хипербола; когато e = 1 - парабола. Ако F лежи върху L, тогава локусите имат формата на линии (реални или въображаеми), които са изродени конични сечения. Поразителната симетрия на елипсата и хиперболата предполага, че всяка от тези криви има две директриси и два фокуса и това обстоятелство навежда Кеплер през 1604 г. на идеята, че параболата също има втори фокус и втора директриса - точка в безкрайност и права . По същия начин кръгът може да се разглежда като елипса, чиито фокуси съвпадат с центъра, а директрисите са в безкрайност. Ексцентричността e в този случай е нула.

ЛИТЕРАТУРА
Van der Waerden B.L. Пробуждане на науката. М., 1959 Александров П.С. Лекции по аналитична геометрия. М., 1968