Матричен метод SLAU решенияприлага се за решаване на системи от уравнения, в които броят на уравненията съответства на броя на неизвестните. Методът се използва най-добре за решаване на системи от нисък ред. Матричният метод за решаване на системи от линейни уравнения се основава на прилагането на свойствата на матричното умножение.
Този метод, с други думи метод на обратната матрица,така наречено, защото решението се свежда до обикновено матрично уравнение, за да разрешите което трябва да намерите обратната матрица.
Матричен метод на решение SLAE с детерминанта, която е по-голяма или по-малка от нула, е както следва:
Да предположим, че има SLE (система от линейни уравнения) с пнеизвестно (над произволно поле):
Това означава, че може лесно да се преобразува в матрична форма:
AX=B, Къде А— основната матрица на системата, би X— колони с безплатни условия и съответно решения на системата:
Нека умножим това матрично уравнение отляво по A−1— обратна матрица към матрица A: A −1 (AX)=A −1 B.
защото A −1 A=E, означава, X=A −1 B. Дясната страна на уравнението дава колоната с решение на първоначалната система. Условието за приложимост на матричния метод е неизродеността на матрицата А. Необходимо и достатъчно условие за това е детерминантата на матрицата да не е равна на нула А:
detA≠0.
За хомогенна система от линейни уравнения, т.е. ако вектор B=0, важи обратното правило: системата AX=0има нетривиално (т.е. не равно на нула) решение само когато detA=0. Тази връзка между решенията на еднородни и нехомогенни системи от линейни уравнения се нарича Алтернатива на Фредхолм.
По този начин решението на SLAE с помощта на матричния метод се извършва съгласно формулата 
. Или решението на SLAE се намира с помощта на обратна матрица A−1.
Известно е, че за квадратна матрица Апоръчка пна пима обратна матрица A−1само ако неговата детерминанта е различна от нула. По този начин системата плинейни алгебрични уравнения с пРешаваме неизвестни чрез матричния метод само ако детерминантата на основната матрица на системата не е равна на нула.
Въпреки факта, че има ограничения за приложимостта на този метод и трудностите при изчисленията за големи стойности на коефициенти и системи от висок ред, методът може лесно да се приложи на компютър.
Пример за решаване на нехомогенен SLAE.
Първо, нека проверим дали детерминантата на матрицата на коефициента на неизвестни SLAE не е равна на нула.
Сега намираме обединителна матрица, транспонирайте го и го заместете във формулата, за да определите обратната матрица.
Заместете променливите във формулата:
Сега намираме неизвестните чрез умножаване на обратната матрица и колоната от свободни членове.
така че х=2; y=1; z=4.
Когато преминавате от обичайната форма на SLAE към матричната форма, внимавайте с реда на неизвестните променливи в уравненията на системата. например:
НЕ МОЖЕ да се напише като:
Необходимо е първо да подредите неизвестните променливи във всяко уравнение на системата и едва след това да преминете към матрично записване:
Освен това трябва да внимавате с обозначаването на неизвестни променливи х 1, x 2 , …, x nможе да има и други букви. например:
в матрична форма го записваме така:
Матричният метод е по-добър за решаване на системи от линейни уравнения, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата не е равна на нула. Когато има повече от 3 уравнения в една система, намирането на обратната матрица ще изисква повече изчислителни усилия, следователно в този случай е препоръчително да се използва методът на Гаус за решаване.
Тема 2. СИСТЕМИ ЛИНЕЙНИ АЛГЕБРИЧНИ УРАВНЕНИЯ.
Основни понятия.
Определение 1. система млинейни уравнения с пнеизвестни е система от вида:
където и са числа.
Определение 2. Решение на система (I) е набор от неизвестни, в които всяко уравнение на тази система става идентичност.
Определение 3. Система (I) се нарича съвместно, ако има поне едно решение и неставни, ако няма решения. Ставната система се нарича определени, ако има уникално решение и несигурениначе.
Определение 4. Уравнение на формата
наречен нула, а уравнението е от вида
наречен несъвместими. Очевидно система от уравнения, съдържаща несъвместимо уравнение, е непоследователна.
Определение 5. Наричат се две системи линейни уравнения еквивалент, ако всяко решение на една система служи като решение на друга и, обратно, всяко решение на втората система е решение на първата.
Матрично представяне на система от линейни уравнения.
Нека разгледаме система (I) (виж §1).
Да обозначим:
Коефициентна матрица за неизвестни
Матрица - колона свободни термини
Матрица – колона с неизвестни
.
Определение 1.Матрицата се нарича основната матрица на системата(I), а матрицата е разширената матрица на системата (I).
По дефиницията за равенство на матриците системата (I) съответства на матричното равенство:
.
Дясната страна на това равенство по дефиниция на произведението на матрици ( виж определение 3 § 5 глава 1) могат да бъдат факторизирани:
, т.е.
Равенство (2) наречен матрична нотация на система (I).
Решаване на система от линейни уравнения по метода на Крамер.
Нека в системата (I) (виж §1) m=n, т.е. броят на уравненията е равен на броя на неизвестните, а основната матрица на системата е неособена, т.е. . Тогава система (I) от §1 има единствено решение
където Δ = детайл Анаречен основен детерминанта на системата(I), Δ iсе получава от детерминантата Δ чрез замяна iта колона към колона със свободни членове на системата (I).
Пример: Решете системата с помощта на метода на Крамер:
.
По формули (3)
.
Ние изчисляваме детерминантите на системата:
,
,
.
За да получим детерминантата, заменихме първата колона в детерминантата с колона със свободни членове; замествайки 2-рата колона в детерминантата с колона със свободни членове, получаваме ; по подобен начин, замествайки 3-тата колона в детерминантата с колона със свободни членове, получаваме . Системно решение:
Решаване на системи от линейни уравнения с помощта на обратна матрица.
Нека в системата (I) (виж §1) m=nи основната матрица на системата е неособена. Нека напишем система (I) в матрична форма ( виж §2):
защото матрица Анеособено, то има обратна матрица ( виж теорема 1 §6 от глава 1). Нека умножим двете страни на равенството (2) към матрицата, тогава
По дефиниция на обратна матрица. От равенството (3) имаме
Решете системата с помощта на обратната матрица
.
Нека обозначим
В пример (§ 3) изчислихме детерминантата, следователно матрицата Аима обратна матрица. Тогава в сила (4) , т.е.
. (5)
Да намерим матрицата ( вижте §6 глава 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
Метод на Гаус.
Нека е дадена система от линейни уравнения:
. (аз)
Изисква се да се намерят всички решения на система (I) или да се уверите, че системата е непоследователна.
Определение 1.Нека наречем елементарното преобразуване на системата(I) някое от три действия:
1) зачеркване на нулевото уравнение;
2) добавяне към двете страни на уравнението на съответните части на друго уравнение, умножено по числото l;
3) размяна на членове в уравненията на системата, така че неизвестните с еднакви числа във всички уравнения да заемат еднакви места, т.е. ако, например, в 1-вото уравнение сме променили 2-рия и 3-тия член, тогава същото трябва да бъде направено във всички уравнения на системата.
Методът на Гаус се състои в това, че системата (I) с помощта на елементарни трансформации се свежда до еквивалентна система, решението на която се намира директно или се установява нейната неразрешимост.
Както е описано в §2, система (I) е уникално определена от своята разширена матрица и всяка елементарна трансформация на система (I) съответства на елементарна трансформация на разширената матрица:
.
Трансформация 1) съответства на изтриване на нулевия ред в матрицата, трансформация 2) е еквивалентна на добавяне на друг ред към съответния ред на матрицата, умножен по числото l, трансформация 3) е еквивалентна на пренареждане на колоните в матрицата.
Лесно се вижда, че напротив, всяко елементарно преобразуване на матрицата съответства на елементарно преобразуване на системата (I). Поради горното, вместо операции със система (I), ще работим с разширената матрица на тази система.
В матрицата 1-вата колона се състои от коефициенти за х 1, 2-ра колона - от коефициентите за х 2и т.н. Ако колоните са пренаредени, трябва да се има предвид, че това условие е нарушено. Например, ако разменим 1-ва и 2-ра колони, тогава 1-вата колона ще съдържа коефициентите за х 2, а във 2-ра колона - коефициентите за х 1.
Ще решим система (I), използвайки метода на Гаус.
1. Зачеркнете всички нулеви редове в матрицата, ако има такива (т.е. зачеркнете всички нулеви уравнения в система (I).
2. Да проверим дали сред редовете на матрицата има ред, в който всички елементи с изключение на последния са равни на нула (нека наречем такъв ред непоследователен). Очевидно такава линия съответства на непоследователно уравнение в система (I), следователно системата (I) няма решения и тук процесът приключва.
3. Нека матрицата не съдържа несъгласувани редове (системата (I) не съдържа несъгласувани уравнения). Ако a 11 =0, тогава намираме в 1-вия ред някакъв елемент (с изключение на последния), различен от нула, и пренареждаме колоните така, че в 1-вия ред да няма нула на 1-во място. Сега ще приемем, че (т.е. ще разменим съответните членове в уравненията на система (I)).
4. Умножете 1-ви ред по и добавете резултата с 2-ри ред, след това умножете 1-ви ред по и добавете резултата с 3-ти ред и т.н. Очевидно този процес е еквивалентен на елиминиране на неизвестното х 1от всички уравнения на система (I), с изключение на 1-во. В новата матрица получаваме нули в 1-вата колона под елемента а 11:
.
5. Да задраскаме всички нулеви редове в матрицата, ако има такива, и да проверим дали има непоследователен ред (ако има такъв, системата е несъвместима и решението свършва дотук). Да проверим дали ще има a 22 / =0, ако да, тогава намираме във втория ред елемент, различен от нула, и пренареждаме колоните така, че . След това умножете елементите на втория ред по 
и събираме със съответните елементи от 3-ти ред, след това - елементите от 2-ри ред и събираме със съответните елементи от 4-ти ред и т.н., докато получим нули под а 22/
.
Предприетите действия са еквивалентни на елиминиране на неизвестното х 2от всички уравнения на система (I), с изключение на 1-во и 2-ро. Тъй като броят на редовете е краен, следователно след краен брой стъпки получаваме, че или системата е несъвместима, или в крайна сметка получаваме стъпкова матрица ( виж дефиниция 2 §7 глава 1) :
,
Нека напишем системата от уравнения, съответстваща на матрицата . Тази система е еквивалентна на система (I)
.
От последното уравнение изразяваме; заместваме в предишното уравнение, намираме и т.н., докато получим .
Бележка 1.Така, когато решаваме система (I) по метода на Гаус, стигаме до един от следните случаи.
1. Система (I) е непоследователна.
2. Система (I) има уникално решение, ако броят на редовете в матрицата е равен на броя на неизвестните ().
3. Система (I) има безкраен брой решения, ако броят на редовете в матрицата е по-малък от броя на неизвестните ().
Следователно е валидна следната теорема.
Теорема.Система от линейни уравнения е или непоследователна, има уникално решение или има безкраен брой решения.
Примери. Решете системата от уравнения по метода на Гаус или докажете нейната несъвместимост:
б) 
;
а) Нека пренапишем дадената система във вида:
.
Разменихме първото и второто уравнения на оригиналната система, за да опростим изчисленията (вместо с дроби, ще работим само с цели числа, използвайки това пренареждане).
Нека създадем разширена матрица:
.
Няма нулеви редове; няма несъвместими линии, ; Нека изключим първото неизвестно от всички уравнения на системата с изключение на първото. За да направите това, умножете елементите от първия ред на матрицата по „-2“ и ги добавете със съответните елементи от втория ред, което е еквивалентно на умножаването на първото уравнение по „-2“ и добавянето му към второто уравнение. След това умножаваме елементите на 1-вия ред по “-3” и ги събираме със съответните елементи на третия ред, т.е. умножете второто уравнение на дадената система по „-3“ и го добавете към 3-то уравнение. получаваме
.
Матрицата съответства на система от уравнения). - (виж определение 3§7 от глава 1).
Този онлайн калкулатор решава система от линейни уравнения с помощта на матричния метод. Дадено е много подробно решение. За да решите система от линейни уравнения, изберете броя на променливите. Изберете метод за изчисляване на обратната матрица. След това въведете данните в клетките и кликнете върху бутона "Изчисли".
×
Предупреждение
Изчистване на всички клетки?
Затвори Изчисти
Инструкции за въвеждане на данни.Числата се въвеждат като цели числа (примери: 487, 5, -7623 и т.н.), десетични знаци (напр. 67., 102,54 и т.н.) или дроби. Дробта трябва да бъде въведена във формата a/b, където a и b са цели числа или десетични знаци. Примери 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.н.
Матричен метод за решаване на системи от линейни уравнения
Разгледайте следната система от линейни уравнения:
Като се има предвид определението за обратна матрица, имаме А −1 А=д, Къде д- идентична матрица. Следователно (4) може да се запише по следния начин:
По този начин, за да се реши системата от линейни уравнения (1) (или (2)), е достатъчно да се умножи обратното на Аматрица за вектор на ограничаване b.
Примери за решаване на система от линейни уравнения с помощта на матричния метод
Пример 1. Решете следната система от линейни уравнения, като използвате матричния метод:
Нека намерим обратното на матрица A, използвайки метода на Йордан-Гаус. От дясната страна на матрицата АНека напишем матрицата на идентичността:
Нека изключим елементите от 1-вата колона на матрицата под главния диагонал. За да направите това, добавете редове 2,3 с ред 1, умножени съответно по -1/3, -1/3:
Нека изключим елементите от 2-ра колона на матрицата под главния диагонал. За да направите това, добавете ред 3 с ред 2, умножен по -24/51:
Нека изключим елементите от 2-ра колона на матрицата над главния диагонал. За да направите това, добавете ред 1 с ред 2, умножен по -3/17:
Отделете дясната страна на матрицата. Получената матрица е обратната матрица на А :
Матрична форма на запис на система от линейни уравнения: Ax=b, Къде
Нека изчислим всички алгебрични допълнения на матрицата А:
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
Обратната матрица се изчислява от следния израз.
Уравненията като цяло, линейните алгебрични уравнения и техните системи, както и методите за тяхното решаване, заемат специално място в математиката, както теоретична, така и приложна.
Това се дължи на факта, че огромното мнозинство от физически, икономически, технически и дори педагогически проблеми могат да бъдат описани и решени с помощта на различни уравнения и техните системи. Напоследък математическото моделиране придоби особена популярност сред изследователи, учени и практици в почти всички предметни области, което се обяснява с неговите очевидни предимства пред други добре познати и доказани методи за изследване на обекти от различно естество, по-специално така наречените сложни системи. Съществува голямо разнообразие от различни дефиниции на математически модел, дадени от учени по различно време, но според нас най-успешното е следното твърдение. Математическият модел е идея, изразена чрез уравнение. По този начин способността за съставяне и решаване на уравнения и техните системи е неразделна характеристика на съвременния специалист.
За решаване на системи от линейни алгебрични уравнения най-често използваните методи са Крамер, Йордан-Гаус и матричният метод.
Методът на матрично решение е метод за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения с ненулев детерминант с помощта на обратна матрица.
Ако изпишем коефициентите за неизвестните величини xi в матрица A, съберем неизвестните величини във векторната колона X и свободните членове във векторната колона B, тогава системата от линейни алгебрични уравнения може да бъде записана под формата на след матрично уравнение A · X = B, което има уникално решение само когато детерминантата на матрица A не е равна на нула. В този случай решението на системата от уравнения може да се намери по следния начин X = А-1 · б, Къде А-1 е обратната матрица.
Методът на матрично решение е както следва.
Нека ни е дадена система от линейни уравнения с пнеизвестен:
Може да се пренапише в матрична форма: БРАВИЛА = б, Къде А- основната матрица на системата, би X- колони с безплатни условия и съответно решения на системата:
Нека умножим това матрично уравнение отляво по А-1 - матрица, обратна на матрица А: А -1 (БРАВИЛА) = А -1 б
защото А -1 А = д, получаваме X= А -1 б. Дясната страна на това уравнение ще даде колоната за решение на оригиналната система. Условието за приложимостта на този метод (както и общото съществуване на решение на нехомогенна система от линейни уравнения с брой уравнения, равен на броя на неизвестните) е неизродеността на матрицата А. Необходимо и достатъчно условие за това е детерминантата на матрицата да не е равна на нула А:дет А≠ 0.
За хомогенна система от линейни уравнения, т.е. когато векторът б = 0 , всъщност обратното правило: системата БРАВИЛА = 0 има нетривиално (т.е. ненулево) решение само ако det А= 0. Такава връзка между решенията на еднородни и нехомогенни системи от линейни уравнения се нарича алтернатива на Фредхолм.
Пример решения на нехомогенна система от линейни алгебрични уравнения.
Нека се уверим, че детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на неизвестните на системата от линейни алгебрични уравнения, не е равна на нула.
Следващата стъпка е да се изчислят алгебричните допълнения за елементите на матрицата, състояща се от коефициентите на неизвестните. Те ще са необходими за намиране на обратната матрица.
- изчислява се детерминантата на матрицата А;
- чрез алгебрични събирания се намира обратната матрица A -1;
- създава се шаблон за решение в Excel;
Инструкции. За да получите решение, използвайки метода на обратната матрица, трябва да посочите размерността на матрицата. След това в нов диалогов прозорец попълнете матрицата A и вектора на резултатите B.
Вижте също Решаване на матрични уравнения.Алгоритъм за решение
- Изчислява се детерминантата на матрицата А. Ако детерминантата е нула, тогава решението е приключило. Системата има безкраен брой решения.
- Когато детерминантата е различна от нула, обратната матрица A -1 се намира чрез алгебрични събирания.
- Векторът на решение X =(x 1, x 2, ..., x n) се получава чрез умножаване на обратната матрица по вектора на резултата B.
Алгебрични допълнения.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
преглед:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1