Математическо очакване и неговите свойства.

Числени характеристики на случайни величини.

Характерна функция.

Лекция No5

Раздел 2. Случайни променливи.

Тема 1. Функция на разпределение, плътност на вероятността и числени характеристики на случайна променлива.

Цел на лекцията:дават знания за начините за описание на случайни променливи.

Въпроси на лекцията:

Литература:

L1 - Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория на вероятностите. Математическа статистика. - 2-ро изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 296 с.

L2 - Gmurman, V. E. Теория на вероятностите и математическа статистика: Учебник. ръководство за ВУЗ/V. Е. Гмурман. - 9-то изд., изтрито. - М.: Висше. училище, 2005. - 479 с.: ил.

L3 - Нахман А.Д., Косенкова И.В. Редове. Теория на вероятностите и математическа статистика. Методически разработки. – Тамбов: Издателство TSTU, 2009.

L4 - Плотникова С.В. Математическа статистика. Методически разработки. – Тамбов: Издателство TSTU, 2005. (pdf файл)

При решаване на много задачи, вместо функцията на разпределение F(x)и п.в. p(x)се прилага характеристичната функция. С помощта на тази характеристика се оказва целесъобразно например да се определят някои числови характеристики на думата. и з.р. функции s.v.

Характерна функциясл.в. се нарича преобразуване на Фурие на неговата a.e. p(x):

, (2.6.1)

където е параметърът, който е аргумент на характеристичната функция, - m.o. сл.в. (вижте § 2.8.).

Прилагайки обратното преобразуване на Фурие, получаваме формула, която определя а.е. сл.в. по своята характерна функция

. (2.6.2)

Тъй като измерението p(x)обратно на измерение х, тогава количеството , и следователно са безразмерни. Аргументът има обратното измерение х.

Използване на представяне (2.5.7) a.e. p(x)под формата на сума от делта функции, можем да разширим формула (1) до дискретни r.v.

. (2.6.3)

Понякога вместо характеристичната функция се оказва удобно да се използва нейният логаритъм:

Y. (2.6.4)

функция Yможе да се нарече втори ( логаритмичен)характерна функциясл.в. .

Нека отбележим най-важните свойства на характеристичната функция.

1. Характеристичната функция отговаря на следните условия:

. (2.6.5)

2. За симетрично разпределение, когато p(x)= p(-x), имагинерната част в (1) е нула и следователно характеристичната функция е реална четна функция . Напротив, ако приема само реални стойности, то е равномерно и съответното разпределение е симетрично.

3. Ако с.в. е линейна функция на r.v. , то неговата характеристична функция се определя от израза

, (2.6.6)

Къде аи b- постоянен.

4. Характеристична функция на сумата независима с.в. е равно на произведението на характеристичните функции на термините, т.е. ако

. (2.6.7)

Това свойство е особено полезно, тъй като в противен случай намирането на a.e. количество сл.в. е свързано с многократни повторения на навиване, което понякога причинява затруднения.

По този начин, като се вземе предвид недвусмислената връзка между функцията на разпределение, плътността на вероятността и характеристичната функция, последната може еднакво да се използва за описание на r.v.

Пример 2.6.1.Чрез комуникационен канал със смущения се предава кодова комбинация от два импулса. Поради независимото влияние на смущенията върху тези импулси, всеки от тях може да бъде потиснат с вероятност р=0,2. Необходимо е да се определи: I) серията на разпространение на c.v. - брой импулси, потиснати от смущения; 2) разпределителна функция; 3) плътност на вероятността; 4) характерна функция на р.в. .

Дискретни s.v. може да приеме три стойности (нито един от импулсите не се потиска), (един импулс се потиска), (двата импулса се потискат). Вероятностите на тези стойности са съответно равни:

Между другото, току-що се застъпихте ученикът да не знае нищо за равномерната непрекъснатост, а сега му предлагате делта функции? Адекватно, няма да кажа нищо.

Радвам се да ви видя отново по темата с желание за дискусия независимо от характеристиките, които ме вълнуват лично. интересувам се от теб Студентът трябва да знае всичко, за което може да бъде попитан, но преди всичко той трябва да владее системата от понятия, тяхната характеристика и връзките между тях и не трябва да се ограничава в тесния кръг на раздела от дисциплината, който той изучава. учи в момента и също не трябва да бъде ходещ справочник, който постоянно помни голям брой функции, които не отговарят на едно или друго условие.
В първоначалния проблем се изискваше да се установи дали дадената HF функция е някаква случайна променлива. Студентът получава такава задача, когато се въведе понятието HF. И целта на решаването на такива проблеми е да се консолидира разбирането за връзката между CP и PR, както и да се консолидират знанията за свойствата на CP.
Има два начина да се покаже, че дадена функция е HF: или трябва да намерите съответстващата й функция според Фурие и да проверите дали тя удовлетворява условието за нормализиране и е положителна, или трябва да докажете неотрицателната определеност на дадената функция и се обърнете към теоремата на Бохнер-Хинчин. В същото време използването на теореми за представяне на SV под формата на линейна комбинация от други Rademacher SV по никакъв начин не допринася за разбирането на основните свойства на HF; освен това, както посочих по-горе, вашето решение съдържа завоалирана серия на Фурие, тоест всъщност съответства на първия метод.
Когато се изисква да се покаже, че дадена функция не може да бъде HF на който и да е SV, тогава е достатъчно да се установи неуспехът на едно от свойствата на HF: единична стойност при нула, ограничен модул с единица, получаване на правилни стойности ​за моментите на PDF, равномерна непрекъснатост. Проверката на коректността на стойностите на моментите, изчислени чрез дадена функция, е математически еквивалентна проверка на еднаква непрекъснатост в смисъл, че неспазването на някое от тези свойства може да служи като същата основа за признаване на неподходящата функция. Проверката на правилността на моментните стойности обаче е формализирана: диференцирайте и проверете. Равномерната приемственост в общия случай трябва да бъде доказана, което прави успеха на решаването на дадена задача зависим от творческия потенциал на ученика, от способността му да „отгатва“.
Като част от дискусията за „конструкцията“ на SV, предлагам да разгледаме прост проблем: нека конструираме SV с HF от формата: Къде

α k	(y)=	M[Y				+∞∫ ϕ k	(х)			(x) dx;
µk(y)				∫ (ϕ (x)						f(x)dx.
Характеристична функция на случайна величина
Нека Y = e itX, където			X –	случайна величина с известен закон
разпределение, t – параметър, i =				− 1.
Характерна функция случайна променливаНаречен
математическо очакване на функцията Y = e itX:
					∑ e itx k p k , за DSV,
				k = 1
υ X (t )= M =
					∫ e itX f (x )dx , за NSV.
По този начин, характеристиката								υ X(t)		и закона за разпределение

случайните променливи са уникално свързани Преобразуване на Фурие. Например, плътността на разпределение f (x) на случайна променлива X е уникално изразена чрез нейната характеристична функция, използвайки обратно преобразуване на Фурие:

	f(x)=		+∞ υ (t) e− itX dt.
		2 π−∞ ∫
Основни свойства на характеристичната функция:
	Характеристична функция на величината Z = aX + b, където X е случаен
стойността на характеристичната функция υ X (t) е равна на
	υ Z (t) = M [ e it(aX+ b) ] = e itbυ X (at) .
	Началният момент на k-ти ред на случайната променлива X е равен на
	α k (x )= υ X (k ) (0)i − k ,

където υ X (k) (0) е стойността на k-тата производна на характеристичната функция при t = 0.

3. Характеристична функция на сумата	Y = ∑ X k независими
	k = 1

случайни променливи е равно на произведението на характеристичните функции на термините:

υ Y(t ) = ∏ υ Xi		(t).
i = 1
4. Характерна функция на нормата			случайна променлива с
параметри m и σ е равно на:
υ X (t) = eitm −	t 2 σ 2

ЛЕКЦИЯ 8 Двумерни случайни променливи. Двумерен закон на разпределение

Двумерна случайна променлива (X,Y) е набор от две едномерни случайни променливи, които приемат стойности в резултат на един и същ експеримент.

Двумерните случайни променливи се характеризират с набори от стойности Ω X , Ω Y на техните компоненти и съвместен (двуизмерен) закон за разпределение. В зависимост от вида на компонентите X,Y се разграничават дискретни, непрекъснати и смесени двумерни случайни величини.

Двумерна случайна променлива (X, Y) може да бъде геометрично представена като произволна точка (X, Y) в равнината x0y или като случаен вектор, насочен от началото към точката (X, Y).

Двумерна функция на разпределение двумерна случайна променлива

(X,Y) е равна на вероятността за съвместно изпълнение на две събития (X<х } и {Y < у }:

F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .

Геометрично двумерна функция на разпределение F(x, y)

удар на произволна точка (X,Y) в
безкраен		квадрант с	отгоре
точка (x,y), разположена вляво и под нея.
Компонент X прие стойностите
по-малко от реалното число x, това е
	разпространение		F X (x) и
компонент Y – по-малък от реалния
числата y,			разпространение
FY(y).

Свойства на двумерната функция на разпределение:

1. 0 ≤ F (x ,y ) ≤ 1.

е вероятността

. (x,y)

Доказателство. Свойството следва от дефиницията на функцията на разпределение като вероятност: вероятността е неотрицателно число, което не надвишава 1.

2. F (–∞, y) = F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.

3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), ако x 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), ако y 2 >y 1 .

Доказателство. Нека докажем, че F (x,y) е ненамаляваща функция по отношение на

променлива x. Помислете за вероятността

p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .

Тъй като p(X< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то

F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).

По същия начин за y.

4. Преход към едномерни характеристики:

	F (x,∞)= p (X< x ,Y < ∞ )= p (X < x )= F X (x );
	F (∞,y)= p (X< ∞ ,Y < y )= p (Y < y )= F Y (y ).
5. Вероятност за попадение в правоъгълна област
p (α≤ X ≤ β; δ≤ Υ≤ γ) =
F (β,γ) −F (β,δ) −F (α,γ) +F (α,δ).										(β,γ)
Разпределителна функция – най
универсален
разпространение
използвани		описания на това как								(β,δ)
непрекъснато,		и дискретни						(α,δ)
двумерни случайни променливи.

Матрица на разпределение

Двумерна случайна променлива (X,Y) е дискретна, ако множествата от стойности на нейните компоненти Ω X и Ω Y са изброими множества. За описание на вероятностните характеристики на такива величини се използват двумерна функция на разпределение и матрица на разпределение.

Матрица на разпределениее правоъгълна таблица, която съдържа стойностите на компонента X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ), стойностите на компонента Y − Ω Y =( y 1 ,y 2 , …,y m ) и вероятностите на всички възможни двойки стойности p ij =p (X =x i,Y =y j),i = 1, …,n,j = 1, …,m.

xi\yj
	X i )= ∑ p ij ,i = 1, ...,n .
	j= 1
3. Преход към серията на вероятностното разпределение на компонента Y:
	p j = p (Y = y j )= ∑ p ij ,j = 1, ...,m .

i= 1

Двумерна плътност на разпределение

Двумерна случайна променлива (X,Y) е непрекъсната, ако тя

функцията на разпределение F (x,y) е непрекъсната, диференцируема функция за всеки от аргументите и има втори

смесена производна ∂ 2 F (x, y).

∂ x ∂y

Двумерна плътност на разпределение f(x, y ) характеризира плътността на вероятността в близост до точка с координати ( x, y ) и е равно на втората смесена производна на функцията на разпределение:

∫∫ f(x, y) dxdy.

Свойства на двумерната плътност:

1. f (x,y)≥ 0.

2. Условие за нормализиране:

∞ ∞

∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .

Дадено на цялата числова ос по формулата

X. f. случайната променлива X по дефиниция е X. f. неговото разпределение на вероятностите

Методът, свързан с използването на X. f, е използван за първи път от А. М. Ляпунов и по-късно става един от основните аналитични. методи на теория на вероятностите. Използва се особено ефективно при доказване на гранични теореми в теорията на вероятностите, например. централната гранична теорема за независими еднакво разпределени случайни променливи с 2 момента се свежда до елементарната връзка

Основни свойства на X. f. 1) и положително определени, т.е.

За всяка крайна колекция от комплексни числа и аргументи

2) равномерно непрекъснато по цялата ос

4)по-специално, приема само реални стойности (и е четна функция), ако и само ако съответната вероятност е симетрична, т.е. където

5) X. f. недвусмислено определя мярката; има обжалване:

За всеки интервал (a, 6), чиито краища имат нулева m-мярка. Ако е интегрируема (абсолютно, ако се разбира в риманов смисъл), тогава съответната функция на разпределение има ri

6) X. f. конволюцията на две вероятностни мерки (сумата от две независими случайни променливи) е техният X. f.

Следните три свойства изразяват връзката между съществуването на моменти на случайна променлива и степента на гладкост на нейната X. функция.

7) Ако за някои естествени п,тогава за всички естествени съществуват производни от ред r от X. f. случайна променлива X и равенството е в сила

8) Ако съществува тогава

9) Ако за всички

тогава важи за всички

С помощта на метода X.f се основава главно на горните свойства на X. функции, както и на следните две теореми.
Теорема на Бохнер (описание на класа от X. функции). Нека функцията f е дадена на и f(0)=1. За да бъде f X. f. определена вероятностна мярка, е необходимо и достатъчно тя да бъде непрекъсната и положително определена.
Теорема на Леви (съответствие). Нека е последователност от вероятностни мерки и нека е последователност от техните X.f. Тогава слабо се сходи към определена вероятностна мярка (т.е. за произволна непрекъсната ограничена функция, ако и само ако във всяка точка тя се сближава към определена непрекъсната функция f; в случай на сходимост, функцията. От това следва, че относителната (в смисъл на слаба конвергенция) на семейство от вероятностни мерки е еквивалентно на равнопоставеност при нула на семейството от съответните X. функции.
Теоремата на Бохнер ни позволява да разгледаме трансформацията на Фурие-Стилтьес като между полугрупа (по отношение на операцията на навиване) от вероятностни мерки в и полугрупа (по отношение на точково умножение) на положително определени непрекъснати функции, равни на нула при нула върху единица .Теоремата на Леви гласи, че тази алгебрична. изоморфизмът също е топологичен. хомеоморфизъм, ако в полугрупата на вероятностните мерки имаме предвид топологията на слабата сходимост, а в полугрупата на положително определени функции - топологията на равномерната сходимост върху ограничени множества.
Известни са изрази на X. f. основни вероятностни заболявания (виж,), например X. f. Гаусовата мярка със средна дисперсия е
За неотрицателни цели числа случайни променливи X,Заедно с X. f. се използва неговият аналог -

Свързан с X. f. съотношение
X. f. вероятностна мярка в крайномерно пространство се дефинира по подобен начин:

Къде x>означава . Формулираните по-горе факти важат и за X. f. вероятностни мерки в

Лит.: Лукач Е., Характерни функции, прев. от англ., М., 1979; Feller V., Въведение в теорията на вероятностите и нейните приложения, том 2. прев. от англ., М., 1967; Прохоров Ю., Розанов Ю., Теория на вероятностите. Основни понятия. Пределни теореми. Случайни процеси, 2-ро изд., М., 1973; 3олотарев В. М., Едномерни устойчиви разпределения, Москва, 1983 г.
Н.Х. Вахания.

Математическа енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия.

И. М. Виноградов.

1977-1985 г.

Вижте какво е "ХАРАКТЕРИСТИЧНА ФУНКЦИЯ" в други речници: Характеристична функция: Характеристичната функция в термодинамиката е функция, чрез която се определят термодинамичните свойства на дадена система. Характеристичната функция на множество е функция, която установява принадлежността на даден елемент към множество ... ... Wikipedia

В термодинамиката, функция на състоянието на независими параметри, които определят състоянието на термодинамиката. системи. Към X. f. включват термодинамични и ентропийни потенциали. Чрез X...Физическа енциклопедия характерна функция

- Функция на състоянието на термодинамична система на съответните независими термодинамични параметри, характеризираща се с факта, че чрез тази функция и нейните производни по отношение на тези параметри, всички термодинамични ... ...Ръководство за технически преводач Характерна функция

В термодинамиката, функция на състоянието на независими параметри, които определят състоянието на термодинамиката. системи. Към X. f. включват термодинамични и ентропийни потенциали. Чрез X...- в теорията на кооперативните игри съотношение, което определя размера на минималните печалби за всяка коалиция в играта. Когато две коалиции се обединят, стойността на H.f. ще бъде не по-малко от сбора на тези функции за некомбинирани... ... Икономико-математически речник

В термодинамиката, функция на състоянието на независими параметри, които определят състоянието на термодинамиката. системи. Към X. f. включват термодинамични и ентропийни потенциали. Чрез X...- būdingoji funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsenos funkcija, kurios diferencialinėmis išraiškomis galima nusakyti visas termodinaminės sistemos savybes. атитикменйс: англ. характерна функция рус. характерна функция... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas - būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. характерна функция вок. Charakteristische Funktion, ф рус. характерна функция, f пранц. характерна функция, е…