Решаването на физически задачи или примери по математика е напълно невъзможно без познаване на производната и методите за нейното изчисляване. Производната е едно от най-важните понятия в математическия анализ. Решихме да посветим днешната статия на тази основна тема. Какво е производна, какво е нейното физично и геометрично значение, как се изчислява производната на функция? Всички тези въпроси могат да бъдат комбинирани в един: как да разберем производната?
Геометрично и физическо значение на производната
Нека има функция f(x) , посочени в определен интервал (а, б) . Точките x и x0 принадлежат на този интервал. Когато x се промени, самата функция се променя. Промяна на аргумента - разликата в стойностите му х-х0 . Тази разлика се записва като делта х и се нарича увеличение на аргумента. Промяна или увеличение на функция е разликата между стойностите на функция в две точки. Дефиниция на производна:
Производната на функция в точка е границата на отношението на нарастването на функцията в дадена точка към нарастването на аргумента, когато последният клони към нула.
Иначе може да се напише така:
Какъв е смисълът да се намери такава граница? И ето какво е то:
производната на функция в точка е равна на тангенса на ъгъла между оста OX и допирателната към графиката на функцията в дадена точка.
Физическо значение на производната: производната на пътя по време е равна на скоростта на праволинейно движение.
Всъщност още от ученическите дни всеки знае, че скоростта е особен път x=f(t) и време T . Средна скорост за определен период от време:
За да разберете скоростта на движение в даден момент t0 трябва да изчислите лимита:
Правило едно: задайте константа
Константата може да бъде извадена от знака за производна. Освен това това трябва да се направи. Когато решавате примери по математика, вземете го за правило - Ако можете да опростите израз, не забравяйте да го опростите .
Пример. Нека изчислим производната:
Второ правило: производна на сумата от функции
Производната на сумата от две функции е равна на сумата от производните на тези функции. Същото важи и за производната на разликата на функциите.
Няма да даваме доказателство на тази теорема, а по-скоро ще разгледаме практически пример.
Намерете производната на функцията:
Трето правило: производна на произведението на функциите
Производната на произведението на две диференцируеми функции се изчислява по формулата:
Пример: намерете производната на функция:
Решение: 
Тук е важно да говорим за изчисляване на производни на сложни функции. Производната на сложна функция е равна на произведението на производната на тази функция по отношение на междинния аргумент и производната на междинния аргумент по отношение на независимата променлива.
В горния пример срещаме израза:
В този случай междинният аргумент е 8x на пета степен. За да изчислим производната на такъв израз, първо изчисляваме производната на външната функция по отношение на междинния аргумент и след това умножаваме по производната на самия междинен аргумент по отношение на независимата променлива.
Четвърто правило: производна на частното на две функции
Формула за определяне на производната на частното на две функции:
Опитахме се да говорим за производни за манекени от нулата. Тази тема не е толкова проста, колкото изглежда, така че бъдете предупредени: в примерите често има клопки, така че бъдете внимателни, когато изчислявате производни.
С всякакви въпроси по тази и други теми можете да се свържете със студентската служба. За кратко време ще ви помогнем да решите най-трудния тест и да разберете задачите, дори ако никога преди не сте правили производни изчисления.
Операцията за намиране на производната се нарича диференциране.
В резултат на решаването на задачи за намиране на производни на най-простите (и не много прости) функции чрез дефиниране на производната като граница на съотношението на увеличението към увеличението на аргумента, се появи таблица с производни и точно определени правила за диференциране . Първите, които работят в областта на намирането на производни, са Исак Нютон (1643-1727) и Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716).
Следователно, в наше време, за да намерите производната на която и да е функция, не е необходимо да изчислявате горепосочената граница на съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента, а трябва само да използвате таблицата на производни и правилата за диференциране. Следният алгоритъм е подходящ за намиране на производната.
За намиране на производната, имате нужда от израз под главния знак разделят прости функции на компонентии определя какви действия (продукт, сбор, частно)тези функции са свързани. След това намираме производните на елементарни функции в таблицата с производни, а формулите за производните на произведението, сумата и частното - в правилата за диференциране. Таблицата за производни и правилата за диференциране са дадени след първите два примера.
Пример 1.Намерете производната на функция
Решение. От правилата за диференциране откриваме, че производната на сума от функции е сумата от производните на функциите, т.е.
От таблицата на производните откриваме, че производната на “X” е равна на единица, а производната на синус е равна на косинус. Ние заместваме тези стойности в сумата от производните и намираме производната, изисквана от условието на проблема:
Пример 2.Намерете производната на функция
Решение. Ние диференцираме като производна на сума, в която вторият член има постоянен фактор, той може да бъде изваден от знака на производната:
Ако все пак възникнат въпроси за това откъде идва нещо, те обикновено се изясняват след запознаване с таблицата на производните и най-простите правила за диференциране. В момента преминаваме към тях.
Таблица с производни на прости функции
| 1. Производна на константа (число). Всяко число (1, 2, 5, 200...), което е в израза на функцията. Винаги равно на нула. Това е много важно да запомните, тъй като се изисква много често | |
| 2. Производна на независимата променлива. Най-често "Х". Винаги равно на едно. Това също е важно да запомните за дълго време | |
| 3. Производна на степен. Когато решавате задачи, трябва да преобразувате неквадратни корени в степени. | |
| 4. Производна на променлива на степен -1 | |
| 5. Производна на квадратен корен | |
| 6. Производна на синус | |
| 7. Производна на косинус |  |
| 8. Производна на тангенс |  |
| 9. Производна на котангенс |  |
| 10. Производна на арксинус |  |
| 11. Производна на аркосинус |  |
| 12. Производна на арктангенс |  |
| 13. Производна на аркотангенс |  |
| 14. Производна на натурален логаритъм | |
| 15. Производна на логаритмична функция |  |
| 16. Производна на показателя | |
| 17. Производна на експоненциална функция |
Правила за диференциране
| 1. Производна на сбор или разлика |  |
| 2. Производна на продукта |  |
| 2а. Производна на израз, умножен по постоянен множител | |
| 3. Производна на частното |  |
| 4. Производна на сложна функция |  |
Правило 1.Ако функциите
са диференцируеми в дадена точка, тогава функциите са диференцируеми в същата точка
и
тези. производната на алгебрична сума от функции е равна на алгебричната сума на производните на тези функции.
Последица. Ако две диференцируеми функции се различават с постоянен член, тогава техните производни са равни, т.е.
Правило 2.Ако функциите
са диференцируеми в дадена точка, тогава техният продукт е диференцируем в същата точка
и
тези. Производната на произведението на две функции е равна на сумата от произведенията на всяка от тези функции и производната на другата.
Следствие 1. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната:
Следствие 2. Производната на произведението на няколко диференцируеми функции е равна на сумата от произведенията на производната на всеки фактор и всички останали.
Например за три множителя:
Правило 3.Ако функциите
диференцируеми в даден момент И , тогава в тази точка тяхното частно също е диференцируемоu/v и
тези. производната на частното на две функции е равна на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменателя, а знаменателят е квадратът на бившият числител.
Къде да търсите неща на други страници
При намиране на производната на произведение и частно в реални задачи винаги е необходимо да се прилагат няколко правила за диференциране наведнъж, така че в статията има повече примери за тези производни"Производна на произведение и частно на функции".
Коментирайте.Не трябва да бъркате константа (т.е. число) като член в сума и като постоянен фактор! При член производната му е равна на нула, а при постоянен множител се изважда от знака на производните. Това е типична грешка, която се случва в началния етап на изучаване на производни, но когато средностатистическият ученик реши няколко примера от една и две части, той вече не допуска тази грешка.
И ако, когато диференцирате продукт или коефициент, имате член u"v, в който u- число, например 2 или 5, тоест константа, тогава производната на това число ще бъде равна на нула и следователно целият термин ще бъде равен на нула (този случай е разгледан в пример 10).
Друга често срещана грешка е механичното решаване на производната на сложна функция като производна на проста функция. Ето защо производна на сложна функцияе посветена отделна статия. Но първо ще се научим да намираме производни на прости функции.
По пътя не можете да правите без трансформиране на изрази. За да направите това, може да се наложи да отворите ръководството в нови прозорци. Действия със сили и корениИ Действия с дроби .
Ако търсите решения за производни на дроби със степени и корени, т.е. когато функцията изглежда като 
, след това следвайте урока „Производна на суми от дроби със степени и корени.“
Ако имате задача като 
, тогава ще вземете урока „Производни на прости тригонометрични функции“.
Примери стъпка по стъпка - как да намерим производната
Пример 3.Намерете производната на функция
Решение. Дефинираме частите на израза на функцията: целият израз представлява продукт, а неговите множители са суми, във втория от които един от членовете съдържа постоянен множител. Прилагаме правилото за диференциране на продукта: производната на произведението на две функции е равна на сумата от произведенията на всяка от тези функции по производната на другата:
След това прилагаме правилото за диференциране на сумата: производната на алгебричната сума от функции е равна на алгебричната сума на производните на тези функции. В нашия случай във всяка сума вторият член има знак минус. Във всяка сума виждаме както независима променлива, чиято производна е равна на единица, така и константа (число), чиято производна е равна на нула. И така, "X" се превръща в едно, а минус 5 се превръща в нула. Във втория израз "x" се умножава по 2, така че ние умножаваме две по същата единица като производната на "x". Получаваме следните производни стойности:
Заместваме намерените производни в сумата от продуктите и получаваме производната на цялата функция, изисквана от условието на проблема:
Пример 4.Намерете производната на функция
Решение. От нас се изисква да намерим производната на частното. Прилагаме формулата за диференциране на частното: производната на частното на две функции е равна на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменател, а знаменателят е квадрат на предишния числител. Получаваме:
Вече намерихме производната на множителите в числителя в пример 2. Нека също така не забравяме, че произведението, което е вторият множител в числителя в настоящия пример, се приема със знак минус:
Ако търсите решения на задачи, в които трябва да намерите производната на функция, където има непрекъсната купчина корени и степени, като например 
, тогава добре дошли в класа "Производна на суми от дроби със степени и корени" .
Ако трябва да научите повече за производните на синусите, косинусите, тангенсите и други тригонометрични функции, т.е. когато функцията изглежда като , тогава урок за вас "Производни на прости тригонометрични функции" .
Пример 5.Намерете производната на функция
Решение. В тази функция виждаме произведение, един от множителите на което е корен квадратен от независимата променлива, с чиято производна се запознахме в таблицата с производни. Използвайки правилото за диференциране на произведението и табличната стойност на производната на корен квадратен, получаваме:
Пример 6.Намерете производната на функция
Решение. В тази функция виждаме частно, чийто дивидент е корен квадратен от независимата променлива. Използвайки правилото за диференциране на частните, което повторихме и приложихме в пример 4, и табличната стойност на производната на корен квадратен, получаваме:
За да се отървете от дроб в числителя, умножете числителя и знаменателя по .
Какво е дериват?
Дефиниция и значение на производна функция
Мнозина ще бъдат изненадани от неочакваното поставяне на тази статия в моя авторски курс за производната на функция на една променлива и нейните приложения. В края на краищата, както е от училище: стандартният учебник първо дава дефиницията на производната, нейното геометрично, механично значение. След това учениците намират производни на функции по дефиниция и всъщност едва тогава усъвършенстват техниката на диференциране, използвайки производни таблици.
Но от моя гледна точка следният подход е по-прагматичен: на първо място е препоръчително да РАЗБЕРЕТЕ ДОБРЕ граница на функция, и по-специално, безкрайно малки количества. Факт е, че определението за производна се основава на концепцията за лимит, което е слабо разгледано в училищния курс. Ето защо значителна част от младите потребители на гранита на знанието не разбират самата същност на производното. По този начин, ако имате малко разбиране за диференциално смятане или мъдър мозък успешно се е отървал от този багаж в продължение на много години, моля, започнете с функционални граници. В същото време овладейте/запомнете тяхното решение.
Същият практически смисъл диктува, че първо е изгодно научете се да намирате производни, включително производни на сложни функции. Теорията си е теория, но, както се казва, винаги искаш да правиш разлика. В това отношение е по-добре да работите през изброените основни уроци и може би майстор на диференциациятабез дори да осъзнават същността на действията си.
Препоръчвам да започнете с материалите на тази страница, след като прочетете статията. Най-прости задачи с производни, където по-специално се разглежда проблемът за допирателната към графиката на функция. Но можете да почакате. Факт е, че много приложения на производното не изискват разбирането му и не е изненадващо, че теоретичният урок се появи доста късно - когато трябваше да обясня намиране на нарастващи/намаляващи интервали и екстремумифункции. Освен това той беше по темата доста дълго време. Функции и графики”, докато най-накрая реших да го сложа по-рано.
Затова, мили чайници, не бързайте да поглъщате есенцията на производното като гладни животни, защото насищането ще е безвкусно и непълно.
Концепцията за нарастване, намаляване, максимум, минимум на функция
Много учебници въвеждат понятието производни с помощта на някои практически задачи и аз също излязох с интересен пример. Представете си, че ни предстои пътуване до град, до който може да се стигне по различни начини. Нека веднага да отхвърлим кривите криволичещи пътеки и да разгледаме само правите магистрали. Правите посоки обаче също са различни: можете да стигнете до града по гладка магистрала. Или по хълмиста магистрала - нагоре-надолу, нагоре-надолу. Друг път върви само нагоре, а друг се спуска през цялото време. Екстремните ентусиасти ще изберат маршрут през дефиле със стръмна скала и стръмно изкачване.
Но каквито и да са вашите предпочитания, препоръчително е да познавате района или поне да имате топографска карта за него. Ами ако такава информация липсва? В крайна сметка можете да изберете например гладка пътека, но в резултат да се натъкнете на ски писта с весели финландци. Не е факт, че навигатор или дори сателитно изображение ще предостави надеждни данни. Следователно би било хубаво да формализираме релефа на пътя с помощта на математика.
Нека да разгледаме някакъв път (изглед отстрани): 
За всеки случай напомням един елементарен факт: пътуванията се случват от ляво на дясно. За простота приемаме, че функцията непрекъснатов разглеждания район.
Какви характеристики има тази графика?
На интервали 
функция се увеличава, тоест всяка следваща негова стойност Повече ▼предишното. Грубо казано, графикът върви надолу нагоре(изкачваме хълма). И на интервала функцията намалява– всяка следваща стойност по-малкопредишен и графикът ни е в сила отгоре надолу(слизаме по склона).
Нека обърнем внимание и на специални точки. В точката, до която достигаме максимум, това е съществуватакъв участък от пътя, където стойността ще бъде най-голямата (най-високата). В същата точка се постига минимум, И съществуванеговия квартал, в който стойността е най-малка (най-ниска).
Ще разгледаме по-строга терминология и дефиниции в клас. относно екстремумите на функцията, но засега нека проучим друга важна характеристика: на интервали 
функцията се увеличава, но се увеличава на различни скорости. И първото нещо, което хваща окото ви е, че графиката се издига по време на интервала много по-готино, отколкото на интервала . Възможно ли е да се измери стръмността на пътя с помощта на математически инструменти?
Скорост на промяна на функцията
Идеята е следната: нека вземем някаква стойност (прочетете "делта x"), което ще извикаме увеличение на аргументаи нека започнем да го „пробваме“ на различни точки по нашия път: 
1) Нека погледнем най-лявата точка: преминавайки разстоянието, се изкачваме по склона до височина (зелена линия). Количеството се нарича увеличение на функцията, и в този случай това увеличение е положително (разликата в стойностите по оста е по-голяма от нула). Нека създадем отношение, което ще бъде мярка за стръмността на нашия път. Очевидно това е много конкретно число и тъй като и двете увеличения са положителни, тогава .
внимание! Обозначенията са ЕДНОсимвол, тоест не можете да „откъснете“ „делтата“ от „X“ и да разгледате тези букви отделно. Разбира се, коментарът се отнася и до символа за увеличаване на функцията.
Нека изследваме естеството на получената дроб по-смислено. Нека първоначално сме на височина 20 метра (в лявата черна точка). След като изминахме разстоянието от метри (лявата червена линия), ще се окажем на надморска височина от 60 метра. Тогава увеличението на функцията ще бъде 
метри (зелена линия) и: . По този начин, на всеки метъртози участък от пътя височината се увеличава средно аритметичнос 4 метра...забравихте оборудването си за катерене? =) С други думи, изградената връзка характеризира СРЕДНАТА СКОРОСТ НА ПРОМЕНЯНЕ (в случая растеж) на функцията.
Забележка : Числените стойности на въпросния пример съответстват само приблизително на пропорциите на чертежа.
2) Сега нека отидем на същото разстояние от най-дясната черна точка. Тук нарастването е по-плавно, така че увеличението (пурпурна линия) е относително малко и съотношението в сравнение с предишния случай ще бъде много скромно. Относително казано, 
метри и темп на растеж на функциятае . Тоест тук за всеки метър от пътеката има средно аритметичнополовин метър височина.
3) Малко приключение на планинския склон. Нека погледнем горната черна точка, разположена на ординатната ос. Да приемем, че това е знакът от 50 метра. Отново преодоляваме разстоянието, в резултат на което се озоваваме по-ниско - на ниво 30 метра. Тъй като движението се извършва отгоре надолу(в посока „контра“ на оста), след това финал увеличението на функцията (височината) ще бъде отрицателно: 
метра (кафяв сегмент на чертежа). И в този случай вече говорим за темп на намаляванеХарактеристика: 
, тоест за всеки метър от пътя на този участък височината намалява средно аритметичнос 2 метра. Погрижете се за дрехите си в петата точка.
Сега нека си зададем въпроса: каква стойност на „измервателния стандарт” е най-добре да използваме? Това е напълно разбираемо, 10 метра е много грубо. На тях лесно могат да се поберат добра дузина хълмове. Независимо от неравностите, отдолу може да има дълбока клисура, а след няколко метра другата му страна с още едно стръмно изкачване. По този начин с десет метра няма да получим разбираемо описание на такива участъци от пътя чрез съотношението .
От горната дискусия следва следното заключение: толкова по-ниска е стойността, толкова по-точно описваме топографията на пътя. Освен това следните факти са верни:
– За всекиповдигащи точки 
можете да изберете стойност (дори и много малка), която се вписва в границите на определено увеличение. Това означава, че съответното нарастване на височината ще бъде гарантирано положително и неравенството ще показва правилно растежа на функцията във всяка точка от тези интервали.
- По същия начин, за всякаквиточка на наклон има стойност, която ще пасне напълно на този наклон. Следователно, съответното увеличение на височината е очевидно отрицателно и неравенството ще покаже правилно намаляването на функцията във всяка точка от дадения интервал.
– Особено интересен случай е, когато скоростта на изменение на функцията е нула: . Първо, нулево увеличение на височината () е знак за плавен път. И второ, има и други интересни ситуации, примери за които виждате на фигурата. Представете си, че съдбата ни е довела до самия връх на хълм с реещи се орли или дъното на дере с квакащи жаби. Ако направите малка стъпка в която и да е посока, промяната във височината ще бъде незначителна и можем да кажем, че скоростта на промяна на функцията всъщност е нула. Точно такава картина се наблюдава по точките.
Така стигнахме до невероятна възможност да характеризираме съвършено точно скоростта на промяна на функция. В края на краищата, математическият анализ позволява да се насочи нарастването на аргумента към нула: , т.е. безкрайно малък.
В резултат на това възниква друг логичен въпрос: възможно ли е да се намери за пътя и неговия график друга функция, който ще ни уведомиза всички равнинни участъци, изкачвания, спускания, върхове, долини, както и скоростта на растеж/намаляване във всяка точка по пътя?
Какво е дериват? Дефиниция на производна.
Геометричен смисъл на производна и диференциал
Моля, прочетете внимателно и не прекалено бързо - материалът е прост и достъпен за всеки! Няма проблем, ако на някои места нещо не изглежда много ясно, винаги можете да се върнете към статията по-късно. Ще кажа повече, че е полезно да изучавате теорията няколко пъти, за да разберете напълно всички точки (съветът е особено подходящ за „технически“ студенти, за които висшата математика играе важна роля в образователния процес).
Естествено, в самата дефиниция на производната в точка я заместваме с:
До какво стигнахме? И стигнахме до извода, че за функцията по закон 
се поставя в съответствие друга функция, което се нарича производна функция(или просто производна).
Производната характеризира темп на промянафункции как? Идеята минава като червена нишка от самото начало на статията. Нека разгледаме някои точки област на дефиницияфункции Нека функцията е диференцируема в дадена точка. Тогава:
1) Ако , тогава функцията нараства в точката . И очевидно има интервал(дори много малка), съдържаща точка, в която функцията расте, а графиката й върви „отдолу нагоре“.
2) Ако , тогава функцията намалява в точката . И има интервал, съдържащ точка, в която функцията намалява (графиката върви „отгоре надолу“).
3) Ако , тогава безкрайно близоблизо до точка функцията поддържа скоростта си постоянна. Това се случва, както беше отбелязано, с постоянна функция и в критичните точки на функцията, в частност при минимални и максимални точки.
Малко семантика. Какво означава глаголът „диференцирам“ в широк смисъл? Да се разграничи означава да се подчертае дадена характеристика. Чрез диференциране на функция ние "изолираме" скоростта на нейното изменение под формата на производна на функцията. Какво, между другото, се разбира под думата "производно"? функция се случиот функция.
Термините много сполучливо се интерпретират от механичния смисъл на производното
:
Нека разгледаме закона за промяна на координатите на тялото в зависимост от времето и функцията на скоростта на движение на дадено тяло. Функцията характеризира скоростта на промяна на координатите на тялото, следователно е първата производна на функцията по отношение на времето: . Ако понятието „движение на тялото“ не съществуваше в природата, тогава нямаше да има производнапонятието "скорост на тялото".
Ускорението на тялото е скоростта на промяна на скоростта, следователно: 
. Ако първоначалните концепции за „движение на тялото“ и „скорост на тялото“ не съществуваха в природата, тогава нямаше да съществуват производнапонятието „ускорение на тялото“.
Ако следвате дефиницията, тогава производната на функция в точка е границата на съотношението на увеличението на функцията Δ гкъм увеличението на аргумента Δ х:
Всичко изглежда ясно. Но опитайте да използвате тази формула, за да изчислите, да речем, производната на функцията f(х) = х 2 + (2х+ 3) · д хгрях х. Ако правите всичко по дефиниция, тогава след няколко страници изчисления просто ще заспите. Следователно има по-прости и по-ефективни начини.
Като начало отбелязваме, че от цялото разнообразие от функции можем да различим така наречените елементарни функции. Това са относително прости изрази, чиито производни отдавна са изчислени и таблични. Такива функции са доста лесни за запомняне - заедно с техните производни.
Производни на елементарни функции
Елементарни функции са всички изброени по-долу. Производните на тези функции трябва да се знаят наизуст. Освен това не е никак трудно да ги запомните - затова са елементарни.
И така, производни на елементарни функции:
| Име | функция | Производна |
| Константа | f(х) = ° С, ° С ∈ Р | 0 (да, нула!) |
| Степен с рационален показател | f(х) = х н | н · х н − 1 |
| синусите | f(х) = грях х | cos х |
| Косинус | f(х) = cos х | − грях х(минус синус) |
| Допирателна | f(х) = tg х | 1/cos 2 х |
| Котангенс | f(х) = ctg х | − 1/грех 2 х |
| Натурален логаритъм | f(х) = дневник х | 1/х |
| Произволен логаритъм | f(х) = дневник а х | 1/(хвътре а) |
| Експоненциална функция | f(х) = д х | д х(Нищо не се промени) |
Ако една елементарна функция се умножи по произволна константа, тогава производната на новата функция също се изчислява лесно:
(° С · f)’ = ° С · f ’.
По принцип константите могат да бъдат извадени от знака на производната. Например:
(2х 3)’ = 2 · ( х 3)’ = 2 3 х 2 = 6х 2 .
Очевидно елементарните функции могат да се добавят една към друга, умножават, разделят - и много повече. Така ще се появят нови функции, вече не особено елементарни, но и диференцирани по определени правила. Тези правила са обсъдени по-долу.
Производна на сбор и разлика
Нека функциите са дадени f(х) И ж(х), чиито производни са ни известни. Например можете да вземете елементарните функции, обсъдени по-горе. След това можете да намерите производната на сбора и разликата на тези функции:
- (f + ж)’ = f ’ + ж ’
- (f − ж)’ = f ’ − ж ’
И така, производната на сумата (разликата) на две функции е равна на сумата (разликата) на производните. Възможно е да има повече термини. Например, ( f + ж + ч)’ = f ’ + ж ’ + ч ’.
Строго погледнато, в алгебрата няма концепция за „изваждане“. Съществува понятието „отрицателен елемент“. Следователно разликата f − жможе да се пренапише като сума f+ (−1) ж, и тогава остава само една формула - производната на сумата.
f(х) = х 2 + sin x; ж(х) = х 4 + 2х 2 − 3.
функция f(х) е сумата от две елементарни функции, следователно:
f ’(х) = (х 2 + грях х)’ = (х 2)’ + (грех х)’ = 2х+ cos x;
Разсъждаваме по подобен начин за функцията ж(х). Само че вече има три термина (от гледна точка на алгебрата):
ж ’(х) = (х 4 + 2х 2 − 3)’ = (х 4 + 2х 2 + (−3))’ = (х 4)’ + (2х 2)’ + (−3)’ = 4х 3 + 4х + 0 = 4х · ( х 2 + 1).
Отговор:
f ’(х) = 2х+ cos x;
ж ’(х) = 4х · ( х
2 + 1).
Производно на продукта
Математиката е логическа наука, така че много хора вярват, че ако производната на дадена сума е равна на сумата от производните, тогава производната на произведението стачка">равно на произведението на производните. Но майната ви! Производната на продукт се изчислява по напълно различна формула. А именно:
(f · ж) ’ = f ’ · ж + f · ж ’
Формулата е проста, но често се забравя. И не само ученици, но и студенти. Резултатът е неправилно решени задачи.
Задача. Намерете производни на функции: f(х) = х 3 cos x; ж(х) = (х 2 + 7х− 7) · д х .
функция f(х) е продукт на две елементарни функции, така че всичко е просто:
f ’(х) = (х 3 cos х)’ = (х 3)’ cos х + х 3 (cos х)’ = 3х 2 cos х + х 3 (-грех х) = х 2 (3 cos х − хгрях х)
функция ж(х) първият множител е малко по-сложен, но общата схема не се променя. Очевидно първият фактор на функцията ж(х) е полином и неговата производна е производната на сумата. Ние имаме:
ж ’(х) = ((х 2 + 7х− 7) · д х)’ = (х 2 + 7х− 7)’ · д х + (х 2 + 7х− 7) ( д х)’ = (2х+ 7) · д х + (х 2 + 7х− 7) · д х = д х· (2 х + 7 + х 2 + 7х −7) = (х 2 + 9х) · д х = х(х+ 9) · д х .
Отговор:
f ’(х) = х 2 (3 cos х − хгрях х);
ж ’(х) = х(х+ 9) · д
х
.
Моля, обърнете внимание, че в последната стъпка производната се факторизира. Формално това не е необходимо да се прави, но повечето производни не се изчисляват самостоятелно, а за изследване на функцията. Това означава, че по-нататък производната ще бъде приравнена на нула, нейните знаци ще бъдат определени и т.н. За такъв случай е по-добре да имате факторизиран израз.
Ако има две функции f(х) И ж(х), и ж(х) ≠ 0 на множеството, което ни интересува, можем да дефинираме нова функция ч(х) = f(х)/ж(х). За такава функция можете също да намерите производната:
Не е слаб, а? Откъде дойде минусът? Защо ж 2? И така! Това е една от най-сложните формули - не можете да я разберете без бутилка. Затова е по-добре да го изучавате с конкретни примери.
Задача. Намерете производни на функции:
Числителят и знаменателят на всяка дроб съдържат елементарни функции, така че всичко, от което се нуждаем, е формулата за производната на частното:
Според традицията, нека разложим числителя на множители - това значително ще опрости отговора:
Сложната функция не е непременно дълга половин километър формула. Например, достатъчно е да вземете функцията f(х) = грях хи заменете променливата х, да речем, на х 2 + ин х. Ще се получи f(х) = грях ( х 2 + ин х) - това е сложна функция. Той също има производно, но няма да е възможно да го намерите с помощта на обсъдените по-горе правила.
Какво трябва да направя? В такива случаи замяната на променлива и формула за производна на сложна функция помага:
f ’(х) = f ’(T) · T', Ако хсе заменя с T(х).
По правило ситуацията с разбирането на тази формула е още по-тъжна, отколкото с производната на коефициента. Затова е по-добре да го обясните с конкретни примери, с подробно описание на всяка стъпка.
Задача. Намерете производни на функции: f(х) = д 2х + 3 ; ж(х) = грях ( х 2 + ин х)
Имайте предвид, че ако във функцията f(х) вместо израз 2 х+ 3 ще бъде лесно х, тогава получаваме елементарна функция f(х) = д х. Затова правим замяна: нека 2 х + 3 = T, f(х) = f(T) = д T. Търсим производната на сложна функция по формулата:
f ’(х) = f ’(T) · T ’ = (д T)’ · T ’ = д T · T ’
А сега - внимание! Извършваме обратната замяна: T = 2х+ 3. Получаваме:
f ’(х) = д T · T ’ = д 2х+ 3 (2 х + 3)’ = д 2х+ 3 2 = 2 д 2х + 3
Сега нека да разгледаме функцията ж(х). Очевидно трябва да се смени х 2 + ин х = T. Ние имаме:
ж ’(х) = ж ’(T) · T’ = (грех T)’ · T’ = cos T · T ’
Обратна замяна: T = х 2 + ин х. Тогава:
ж ’(х) = cos ( х 2 + ин х) · ( х 2 + ин х)’ = cos ( х 2 + ин х) · (2 х + 1/х).
Това е всичко! Както се вижда от последния израз, цялата задача е сведена до изчисляване на производната сума.
Отговор:
f ’(х) = 2 · д
2х + 3 ;
ж ’(х) = (2х + 1/х) защото ( х 2 + ин х).
Много често в уроците си, вместо термина „производна“, използвам думата „просто“. Например ударът на сбора е равен на сбора от ударите. Това по-ясно ли е? Е, това е добре.
По този начин изчисляването на производната се свежда до премахване на същите тези удари съгласно правилата, обсъдени по-горе. Като последен пример, нека се върнем към производната степен с рационален показател:
(х н)’ = н · х н − 1
Малко хора знаят това в ролята нможе и да е дробно число. Например коренът е х 0,5. Ами ако има нещо фантастично под корена? Отново резултатът ще е сложна функция - те обичат да дават такива конструкции на контролни и изпити.
Задача. Намерете производната на функцията:
Първо, нека пренапишем корена като степен с рационален показател:
f(х) = (х 2 + 8х − 7) 0,5 .
Сега правим замяна: нека х 2 + 8х − 7 = T. Намираме производната по формулата:
f ’(х) = f ’(T) · T ’ = (T 0,5)’ · T’ = 0,5 · T−0,5 · T ’.
Нека направим обратната замяна: T = х 2 + 8х− 7. Имаме:
f ’(х) = 0,5 · ( х 2 + 8х− 7) −0,5 · ( х 2 + 8х− 7)’ = 0,5 · (2 х+ 8) ( х 2 + 8х − 7) −0,5 .
И накрая, обратно към корените:
Създайте съотношение и изчислете лимита.
Откъде дойде? таблица с производни и правила за диференциране? Благодарение на единствения лимит. Изглежда като магия, но в действителност е ловкост, а не измама. На урока Какво е дериват?Започнах да разглеждам конкретни примери, където, използвайки определението, намерих производните на линейна и квадратична функция. За целите на когнитивната загрявка ще продължим да безпокоим таблица с производни, усъвършенстване на алгоритъма и техническите решения:
Пример 1
По същество трябва да докажете специален случай на производна на степенна функция, който обикновено се появява в таблицата: .
Решениетехнически формализиран по два начина. Нека започнем с първия, вече познат подход: стълбата започва с дъска, а производната функция започва с производната в точка.
Нека помислим някои(конкретна) точка, принадлежаща на област на дефиницияфункция, в която има производна. Нека зададем увеличението в тази точка (разбира се, в обхватао/о
-аз)и съставете съответното нарастване на функцията:
Нека изчислим лимита:
Несигурността 0:0 се елиминира чрез стандартна техника, разглеждана още през първи век пр.н.е. Умножете числителя и знаменателя по спрегнатия израз 
:
Техниката за решаване на такава граница е разгледана подробно във въвеждащия урок. за границите на функциите.
Тъй като можете да изберете ВСЯКА точка от интервала като качество, тогава, след като направихме замяната, получаваме:
Отговор
Още веднъж да се порадваме на логаритмите:
Пример 2
Намерете производната на функция, като използвате определението за производна
Решение: Нека разгледаме различен подход за популяризиране на същата задача. Той е абсолютно същият, но по-рационален по отношение на дизайна. Идеята е да се отървете от индекса в началото на решението и да използвате буквата вместо буквата.
Нека помислим произволенточка, принадлежаща на област на дефиницияфункция (интервал) и задайте приращението в нея. Но тук, между другото, както в повечето случаи, можете да направите без никакви резерви, тъй като логаритмичната функция е диференцируема във всяка точка от областта на дефиницията.
Тогава съответното увеличение на функцията:
Нека намерим производната:
Простотата на дизайна е балансирана от объркването, което може да възникне за начинаещи (и не само). В крайна сметка сме свикнали с факта, че буквата „X“ се променя в лимита! Но тук всичко е различно: - антична статуя и - жив посетител, бързо крачещ по коридора на музея. Тоест "x" е "като константа".
Ще коментирам премахването на несигурността стъпка по стъпка:
(1) Използваме свойството на логаритъма 
.
(2) В скоби разделете числителя на знаменателя термин по термин.
(3) В знаменателя ние изкуствено умножаваме и делим на „x“, за да се възползваме от забележителен лимит 
, докато като безкрайно малъкоткроява.
Отговор: по дефиниция на производна:
Или накратко:
Предлагам сами да изградите още две формули за таблици:
Пример 3
В този случай е удобно веднага да намалите компилираното увеличение до общ знаменател. Приблизителна извадка на задачата в края на урока (първи метод).
Пример 3:Решение
: помислете за някакъв момент
, принадлежащи към областта на дефиниране на функцията
. Нека зададем увеличението в тази точка
и съставете съответното нарастване на функцията:
Нека намерим производната в точката
:
Тъй като като a
можете да изберете всяка точка
функционална област
, Че
И
Отговор
:
по дефиниция на производна
Пример 4
Намерете производна по дефиниция
И тук всичко трябва да се сведе до прекрасен лимит. Решението се формализира по втория начин.
Редица други таблични производни. Пълният списък може да бъде намерен в училищния учебник или, например, 1-ви том на Фихтенхолц. Не виждам много смисъл да копирам доказателства за правилата за диференциация от книги - те също се генерират от формулата.
Пример 4:Решение
, принадлежи на
и задайте увеличението в него
Нека намерим производната:
Използване на чудесен лимит
Отговор
:
а-приорен
Пример 5
Намерете производната на функция 
, използвайки дефиницията за производна
Решение: използваме първия стил на дизайн. Нека разгледаме някаква точка, принадлежаща на , и уточним увеличението на аргумента в нея. Тогава съответното увеличение на функцията:
Може би някои читатели все още не са разбрали напълно принципа, по който трябва да се правят увеличения. Вземете точка (число) и намерете стойността на функцията в нея: 
, тоест във функцията вместо„X“ трябва да се замени. Сега също вземаме много конкретно число и също го заместваме във функцията вместо"икса": . Записваме разликата и тя е необходима постави в скоби напълно.
Увеличаване на компилираната функция Може да бъде полезно незабавното опростяване. За какво? Улеснете и съкратете решението до по-нататъшна граница.
Използваме формули, отваряме скобите и съкращаваме всичко, което може да се съкрати: 
Пуйката е изкормена, няма проблем с печеното:
В крайна сметка: 
Тъй като можем да изберем всяко реално число като стойност, правим замяната и получаваме 
.
Отговор: а-приорен.
За целите на проверката, нека намерим производната с помощта правила и таблици за диференциране:
Винаги е полезно и приятно да знаете правилния отговор предварително, така че е по-добре да разграничите предложената функция по „бърз“ начин, мислено или в чернова, в самото начало на решението.
Пример 6
Намерете производната на функция по дефиниция на производната
Това е пример, който можете да решите сами. Резултатът е очевиден:
Пример 6:Решение
: помислете за някакъв момент
, принадлежи на
и задайте увеличението на аргумента в него
. Тогава съответното увеличение на функцията:
Нека изчислим производната:
По този начин: 
Защото като
тогава можете да изберете всяко реално число
И
Отговор
:
а-приорен.
Да се върнем към стил #2:
Пример 7
Нека разберем веднага какво трябва да се случи. от правило за диференциране на сложни функции:
Решение: разгледайте произволна точка, принадлежаща на , задайте нарастването на аргумента в нея и съставете увеличението на функцията:
Нека намерим производната: 
(1) Използвайте тригонометрична формула 
.
(2) Под синуса отваряме скобите, под косинуса представяме подобни членове.
(3) Под синус намаляваме членовете, под косинус разделяме числителя на знаменателя член по член.
(4) Поради нечетността на синуса изваждаме „минуса“. Под косинуса показваме, че терминът .
(5) Извършваме изкуствено умножение в знаменателя, за да използваме първата прекрасна граница. Така несигурността е елиминирана, нека подредим резултата.
Отговор: а-приорен
Както можете да видите, основната трудност на разглеждания проблем се основава на сложността на самия лимит + лека уникалност на опаковката. На практика се срещат и двата метода на проектиране, така че описвам и двата подхода възможно най-подробно. Еквивалентни са, но все пак по мое субективно впечатление е по-препоръчително за манекените да се придържат към вариант 1 с „X-нула“.
Пример 8
Използвайки определението, намерете производната на функцията
Пример 8:Решение
: разгледайте произволна точка
, принадлежи на
, нека зададем увеличението в него
и съставете увеличението на функцията:
Нека намерим производната:
Използваме тригонометричната формула
и първото забележително ограничение:
Отговор
:
а-приорен
Нека да разгледаме по-рядка версия на проблема:
Пример 9
Намерете производната на функцията в точката, като използвате определението за производна.
Първо, какъв трябва да бъде крайният резултат? Номер
Нека изчислим отговора по стандартния начин: 
Решение: от гледна точка на яснота, тази задача е много по-проста, тъй като вместо това формулата взема предвид конкретна стойност.
Нека зададем увеличението в точката и съставим съответното увеличение на функцията:
Нека изчислим производната в точката:
Използваме много рядка формула за тангенс разлика 
и още веднъж намаляваме решението до първата прекрасна граница:
Отговор: по дефиниция на производна в точка.
Проблемът не е толкова труден за решаване „като цяло“ - достатъчно е да се замени с или просто в зависимост от метода на проектиране. В този случай е ясно, че резултатът няма да бъде число, а производна функция.
Пример 10
Използвайки определението, намерете производната на функцията 
в точка (една от които може да се окаже безкрайна), която вече описах в общи линии теоретичен урок за производната.
Някои дефинирани на части функции също могат да бъдат диференцирани в точките на „свързване“ на графиката, например catdog 
има обща производна и обща допирателна (ос x) в точката. Крива, но диференцируема с ! Тези, които се интересуват, могат да проверят това сами, като използват току-що решения пример.
©2015-2019 сайт
Всички права принадлежат на техните автори. Този сайт не претендира за авторство, но предоставя безплатно използване.
Дата на създаване на страницата: 2017-06-11