Ред на номера в стандартна форма. Стандартна форма на положително число

Всяка десетична дроб може да бъде записана като a ,bc ... · 10 k . Такива записи често се срещат в научни изчисления. Смята се, че работата с тях е дори по-удобна, отколкото с обикновена десетична нотация.

Днес ще научим как да конвертираме всяка десетична дроб в тази форма. В същото време ще се уверим, че такова влизане вече е „прекомерно“ и в повечето случаи не предоставя никакви предимства.

Първо, малко повторение. Както е известно, десетични знациМожете да умножавате не само помежду си, но и с обикновени цели числа (вижте урока ""). Специален интереспредставлява умножение по степен на десет. Погледни:

Задача. Намерете стойността на израза: 25,81 10; 0,00005 1000; 8,0034 100.

Умножението се извършва по стандартната схема, като за всеки фактор се разпределя значимата част. Нека опишем накратко тези стъпки:

За първия израз: 25,81 10.

  1. Значими части: 25.81 → 2581 (преместване надясно с 2 цифри); 10 → 1 (преместване наляво с 1 цифра);
  2. Умножение: 2581 · 1 = 2581;
  3. Общо изместване: надясно с 2 − 1 = 1 цифра. Извършваме обратна смяна: 2581 → 258.1.

За втория израз: 0,00005 1000.

  1. Значими части: 0.00005 → 5 (преместване надясно с 5 цифри); 1000 → 1 (изместване наляво с 3 цифри);
  2. Умножение: 5 · 1 = 5;
  3. Общо изместване: надясно с 5 − 3 = 2 цифри. Извършваме обратното преместване: 5 → .05 = 0.05.

Последен израз: 8.0034 100.

  1. Значими части: 8.0034 → 80034 (изместване надясно с 4 цифри); 100 → 1 (преместване наляво с 2 цифри);
  2. Умножение: 80 034 · 1 = 80 034;
  3. Общо изместване: надясно с 4 − 2 = 2 цифри. Извършваме обратна смяна: 80 034 → 800,34.

Нека пренапишем малко оригиналните примери и да ги сравним с отговорите:

  1. 25,81 · 10 1 = 258,1;
  2. 0,00005 10 3 = 0,05;
  3. 8,0034 · 10 2 = 800,34.

Какво се случва? Оказва се, че умножаването на десетична дроб по числото 10 k (където k > 0) е еквивалентно на изместване на десетичната запетая надясно с k позиции. Надясно - защото броят се увеличава.

По същия начин, умножаването по 10 −k (където k > 0) е еквивалентно на деленето на 10 k, т.е. изместване с k цифри наляво, което води до намаляване на броя. Разгледайте примерите:

Задача. Намерете стойността на израза: 2,73 10; 25.008:10; 1,447 : 100;

Във всички изрази второто число е степен на десет, така че имаме:

  1. 2,73 · 10 = 2,73 · 10 1 = 27,3;
  2. 25,008: 10 = 25,008: 10 1 = 25,008 · 10 −1 = 2,5008;
  3. 1,447 : 100 = 1,447 : 10 2 = 1,447 10 −2 = 0,01447 = 0,01447.

От това следва, че една и съща десетична дроб може да бъде записана безкраен бройначини. Например: 137,25 = 13,725 10 1 = 1,3725 10 2 = 0,13725 10 3 = ...

Стандартен изгледчислата са изрази от формата a ,bc ... · 10 k , където a , b , c , ... са обикновени числа и a ≠ 0. Числото k е цяло число.

  1. 8,25 · 10 4 = 82 500;
  2. 3,6 · 10−2 = 0,036;
  3. 1,075 · 10 6 = 1 075 000;
  4. 9,8 · 10 −6 = 0,0000098.

За всяко число, записано в стандартна форма, до него е посочена съответната десетична дроб.

Превключване към стандартен изглед

Алгоритъмът за преход от обикновена десетична дроб към стандартна форма е много прост. Но преди да го използвате, не забравяйте да прегледате коя е значимата част от числото (вижте урока „Умножение и деление на десетични знаци“). И така, алгоритъмът:

  1. Изпишете значителна часторигиналното число и поставете десетична запетая след първата значима цифра;
  2. Намерете полученото изместване, т.е. Колко места се е преместила десетичната запетая в сравнение с оригиналната дроб? Нека това е числото k;
  3. Сравнете значителната част, която записахме в първата стъпка с оригиналното число. Ако значимата част (включително десетичната запетая) е по-малка от първоначалното число, добавете коефициент от 10 k. Ако е повече, добавете коефициент 10 −k. Този израз ще бъде стандартният изглед.

Задача. Напишете числото в стандартна форма:

  1. 9280;
  2. 125,05;
  3. 0,0081;
  4. 17 000 000;
  5. 1,00005.
  1. 9280 → 9.28. Преместете десетичната запетая с 3 позиции наляво, числото намалява (очевидно 9,28< 9280). Результат: 9,28 · 10 3 ;
  2. 125.05 → 1.2505. Shift - 2 цифри наляво, числото е намаляло (1.2505< 125,05). Результат: 1,2505 · 10 2 ;
  3. 0,0081 → 8,1. Този път изместването беше надясно с 3 цифри, така че числото се увеличи (8,1 > 0,0081). Резултат: 8,1 · 10 −3 ;
  4. 17000000 → 1.7. Изместването е 7 цифри наляво, числото е намаляло. Резултат: 1,7 · 10 7 ;
  5. 1,00005 → 1,00005. Няма смяна, така че k = 0. Резултат: 1,00005 · 10 0 (това също се случва!).

Както можете да видите, не само десетичните дроби са представени в стандартна форма, но и обикновените цели числа. Например: 812 000 = 8,12 · 10 5 ; 6 500 000 = 6,5 10 6.

Кога да използвате стандартна нотация

На теория стандартното записване на числа трябва да направи дробните изчисления още по-лесни. Но на практика забележима печалба се получава само при извършване на операция за сравнение. Тъй като сравняването на числа, записани в стандартна форма, се извършва по следния начин:

  1. Сравнете степени на десет. Най-големият брой ще бъде този с тази степен по-голям;
  2. Ако градусите са еднакви, започваме да сравняваме значещите цифри - както при обикновените десетични дроби. Сравнението е в ходотляво надясно, от най-значимото към най-малко значимото. Най-голямото число ще бъде това, в което следващата цифра е по-голяма;
  3. Ако степените на десет са равни и всички цифри са еднакви, тогава самите дроби също са равни.

Разбира се, всичко това е вярно само за положителни числа. За отрицателни числа всички знаци са обърнати.

Забележително свойство на дробите, записани в стандартна форма, е, че произволен брой нули могат да бъдат присвоени на значимата им част - както отляво, така и отдясно. Подобно правило съществува и за други десетични дроби (вижте урока „Десетични числа“), но те имат свои собствени ограничения.

Задача. Сравнете числата:

  1. 8,0382 10 6 и 1,099 10 25;
  2. 1,76 · 10 3 и 2,5 · 10 −4 ;
  3. 2,215 · 10 11 и 2,64 · 10 11 ;
  4. −1,3975 · 10 3 и −3,28 · 10 4 ;
  5. −1,0015 · 10 −8 и −1,001498 · 10 −8 .
  1. 8,0382 10 6 и 1,099 10 25. И двете числа са положителни, като първото има по-ниска степен от десет от второто (6< 25). Значит, 8,0382 · 10 6 < 1,099 · 10 25 ;
  2. 1,76 · 10 3 и 2,5 · 10 −4. Числата отново са положителни, като степента на десет за първото от тях е по-голяма от тази за второто (3 > −4). Следователно, 1,76 · 10 3 > 2,5 · 10 −4 ;
  3. 2,215 10 11 и 2,64 10 11. Числата са положителни, степените на десет са еднакви. Разглеждаме значимата част: първите цифри също съвпадат (2 = 2). Разликата започва от втората цифра: 2< 6, поэтому 2,215 · 10 11 < 2,64 · 10 11 ;
  4. −1,3975 · 10 3 и −3,28 · 10 4 . Това са отрицателни числа. Първият има степен десет по-малка (3< 4), поэтому (в силу отрицательности) само число будет больше: −1,3975 · 10 3 >−3,28 · 10 4 ;
  5. −1,0015 · 10 −8 и −1,001498 · 10 −8 . Отново отрицателни числа и степените на десет са същите. Първите 4 цифри на значимата част също са еднакви (1001 = 1001). От 5-та цифра започва разликата, а именно: 5 > 4. Тъй като оригиналните числа са отрицателни, заключаваме: −1,0015 10 −8< −1,001498 · 10 −8 .

















Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако си заинтересован тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Тип урок: урок за обясняване и първоначално затвърдяване на нови знания.

Оборудване: маршрутен лист(Г-Н) ( Приложение 1 ); техническо оборудване на урока - компютър, проектор за демонстриране на презентации, екран. Компютърна презентация в Microsoft PowerPoint.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

I. Организация на началото на урока

Здравейте! Моля, проверете наличността подръчни материалина бюрото ви и вашата готовност за урока.

II. Докладване на темата, целта и целите на урока

– Преди да започнете да изучавате нова тема, изпълнете задачите от първата страница на маршрутния лист (проверете на екрана). Ако сте изпълнили задачите правилно, тогава трябва да получите думата - СТАНДАРТ.
Какво е стандарт? Къде сте срещали тази дума? Какво означава? (ЕКРАН)
Стандарт (от английски - стандартен) Проба, стандарт, модел, с който се сравняват подобни обекти и процеси. (Универсален енциклопедичен речник). Тоест, когато се говори за стандарт, хората по-лесно си представят за какво става дума. Днес ще говорим за стандартната форма на числата. И така, това е темата на днешния урок.

III.Актуализиране на знанията на учениците. Подготовка за активна образователна и познавателна дейност в основния етап на урока

– Нека направим план на урока:

  1. Повторение
  2. Определяне на степени на число;
  3. Определяне на степен на число с отрицателен показател;
  4. Свойства на степен;
  5. Дефиниране на стандартен тип номер;
  6. Действия с числа, записани в стандартна форма;
  7. Приложение.

В света около нас срещаме много големи и много малки числа. Вече знаем как да пишем големи и малки числа с помощта на степени.

– Удобно ли е да се пишат числа в тази форма? Защо? (Заемат много място, губят много време и са трудни за запомняне.)
– Какъв според вас беше изходът от тази ситуация? (Напишете числата с помощта на степени.)

Напишете масата на Земята, като използвате степени. 598 10 25 g Сега запишете масата на водородния атом. 17 10 –20 Възможно ли е тези числа да бъдат записани по различен начин, като се използват степени? Опитай! 59.8 10 26, 5.98 10 27; 0,598 10 28; 5980 10 24.
17 10 –20 ; 1,7 10 –19 ; 0,17 10 –18 ; 170 10 –21 ;

– Всички резултати са верни. Но можем ли да говорим за стандартен запис? Какво трябва да направя? (Съгласете се за единичен запис на числа.)
– Опитайте се да обсъдите със съседа си какъв запис трябва да бъде единичен, стандартен?
– Какъв трябва да бъде множителят пред степен 10, за да е удобно да ЗАПОМНИМ числото и да го представим?

IV. Усвояване на нови знания

– Моля, отворете учебниците си, параграф 35 и намерете определението на стандартния вид число и го запишете в маршрутните листове.
– Стандартната форма на число е нотация на формата А 10n, където 1 < А < 10, n – целое. n – называют порядком числа.

– В стандартна форма можете да напишете всяко положително число!!!
Защо? (По дефиниция. Тъй като първият фактор е число, принадлежащ на интервалаот )