Популярна теория на вероятностите за манекени. Класическа дефиниция на вероятността

Мама изми рамката

В края на дългите летни ваканции е време бавно да се върнем към висшата математика и тържествено да отворим празния файл Verdov, за да започнем да създаваме нов раздел - . Признавам, първите редове не са лесни, но първата стъпка е половината път, така че предлагам на всички внимателно да проучат уводната статия, след което овладяването на темата ще бъде 2 пъти по-лесно! Изобщо не преувеличавам. …В навечерието на поредния първи септември си спомням за първи клас и буквара…. Буквите образуват срички, сричките образуват думи, думите образуват кратки изречения - мама изми рамката. Овладяването на оборотна и математическа статистика е толкова лесно, колкото да се научите да четете! За целта обаче трябва да знаете ключови термини, понятия и обозначения, както и някои специфични правила, които са предмет на този урок.

Но първо, моля, приемете моите поздравления за началото (продължение, завършване, отбележете като подходящо) на учебната година и приемете подаръка. Най-добрият подарък е книга, а за самостоятелна работа препоръчвам следната литература:

1) Гмурман В.Е. Теория на вероятностите и математическа статистика

Легендарен учебник, претърпял повече от десет преиздания. Отличава се с разбираемост и изключително просто представяне на материала, а първите глави са напълно достъпни, мисля, вече за ученици от 6-7 клас.

2) Гмурман В.Е. Ръководство за решаване на задачи по теория на вероятностите и математическа статистика

Книга с решения от същия Владимир Ефимович с подробни примери и задачи.

НЕОБХОДИМОизтеглете и двете книги от интернет или вземете хартиените им оригинали! Версията от 60-те и 70-те години също ще работи, което е още по-добре за манекени. Въпреки че фразата „теория на вероятностите за манекени“ звучи доста нелепо, тъй като почти всичко е ограничено до елементарни аритметични операции. Прескачат обаче на места производниИ интеграли, но това е само на места.

Ще се опитам да постигна същата яснота на изложението, но трябва да предупредя, че курсът ми е насочен към решаване на проблемии теоретичните изчисления са сведени до минимум. Така че, ако имате нужда от подробна теория, доказателства на теореми (теореми-теореми!), моля, вижте учебника. Е, кой иска научете се да решавате проблемипо теория на вероятностите и математическа статистика в най-кратки срокове, последвай ме!

Стига като за начало =)

Докато четете статиите, препоръчително е да се запознаете (поне накратко) с допълнителни задачи от разглежданите видове. На страницата Готови решения по висша математикаЩе бъдат публикувани съответните pdf файлове с примери за решения. Ще бъде предоставена и значителна помощ IDZ 18.1 Рябушко(по-просто) и решен IDZ според колекцията на Чудесенко(по-трудно).

1) Сумадве събития и събитието се нарича, което е, че ще се случи илисъбитие илисъбитие илидвете събития едновременно. В случай, че събитията несъвместими, последната опция изчезва, тоест може да се появи илисъбитие илисъбитие .

Правилото важи и за по-голям брой термини, например събитието е какво ще се случи поне единот събития , А ако събитията са несъвместими – тогава едно нещо и само едно нещосъбитие от тази сума: илисъбитие, илисъбитие, илисъбитие, илисъбитие, илисъбитие .

Има много примери:

Събития (при хвърляне на зар, 5 точки няма да се появят) е това, което ще се появи или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 точки.

Събитие (ще падне не повечедве точки) е, че ще се появи 1 или 2точки.

Събитие (ще има четен брой точки) е това, което се появява или 2 или 4 или 6 точки.

Събитието е, че от тестето ще бъде изтеглен червен картон (сърце). илитамбура) и събитието – че „картината“ ще бъде извлечена (жак илидама иликрал илиасо).

Малко по-интересен е случаят със съвместните събития:

Събитието е, че ще бъде изтеглен клуб от тестето илиседем илиседем клуба Според дефиницията, дадена по-горе, поне нещо- или който и да е клуб или която и да е седморка или тяхната "пресечна точка" - седморка от клубове. Лесно е да се изчисли, че това събитие съответства на 12 елементарни изхода (9 клубни карти + 3 оставащи седмици).

Събитието е, че утре в 12.00 ще дойде ПОНЕ ЕДНО от сумираните съвместни събития, а именно:

– или ще има само дъжд / само гръмотевична буря / само слънце;
– или ще се случи само някаква двойка събития (дъжд + гръмотевична буря / дъжд + слънце / гръмотевична буря + слънце);
– или и трите събития ще се появят едновременно.

Тоест събитието включва 7 възможни изхода.

Вторият стълб на алгебрата на събитията:

2) Работатадве събития и наричаме събитие, което се състои в съвместното възникване на тези събития, с други думи, умножаването означава, че при определени обстоятелства ще има Исъбитие, Исъбитие . Подобно твърдение е вярно за по-голям брой събития, например произведението предполага, че при определени условия ще се случи Исъбитие, Исъбитие, Исъбитие, …, Исъбитие .

Помислете за тест, при който се хвърлят две монети и следните събития:

– главите ще се появят на 1-вата монета;
– първата монета ще приземи глави;
– глави ще се появят на 2-ра монета;
– втората монета ще приземи глави.

След това:
Ина 2-ри) ще се появят глави;
– събитието е, че и на двете монети (на 1-ви Ина 2-ри) ще бъдат глави;
– събитието е, че 1-вата монета ще приземи глави И 2-рата монета е опашки;
– събитието е, че 1-вата монета ще приземи глави Ина 2-та монета има орел.

Лесно се вижда, че събитията несъвместими (защото, например, не може да има 2 глави и 2 опашки едновременно)и форма пълна група (тъй като взети под внимание Всичкивъзможни резултати от хвърляне на две монети). Нека обобщим тези събития: . Как да тълкуваме този запис? Много просто - умножението означава логическа връзка И, и допълнение – ИЛИ. Така сумата се чете лесно на разбираем човешки език: „ще се появят две глави илидве глави или 1-вата монета ще приземи глави Ина 2-ри опашки или 1-вата монета ще приземи глави Ина 2-ра монета има орел"

Това беше пример, когато в един тестучастват няколко предмета, в случая две монети. Друга често срещана схема в практическите задачи е повторно тестване , когато например един и същи зар се хвърля 3 пъти подред. Като демонстрация разгледайте следните събития:

– при 1-во хвърляне ще получите 4 точки;
– при 2-ро хвърляне ще получите 5 точки;
– при 3-то хвърляне ще получите 6 точки.

Тогава събитието е, че при първото хвърляне ще получите 4 точки Ипри второто хвърляне ще получите 5 точки Ипри 3-то хвърляне ще получите 6 точки. Очевидно в случай на куб ще има значително повече комбинации (резултати), отколкото ако хвърляме монета.

...Разбирам, че може би примерите, които анализираме, не са много интересни, но това са неща, които често се срещат при проблеми и от тях няма спасение. В допълнение към монета, куб и тесте карти ви очакват урни с разноцветни топки, няколко анонимни хора, стрелящи по мишена, и неуморен работник, който непрекъснато шлифова някои детайли =)

Вероятност за събитие

Вероятност за събитие е централната концепция на теорията на вероятностите. ...Убийствено логично нещо, но трябваше да започнем отнякъде =) Има няколко подхода към дефинирането му:

;
Геометрично определение на вероятността ;
Статистическа дефиниция на вероятността .

В тази статия ще се съсредоточа върху класическата дефиниция на вероятността, която е най-широко използвана в образователни задачи.

Наименования. Вероятността за определено събитие се обозначава с главна латинска буква, а самото събитие се взема в скоби, действайки като вид аргумент. Например:

Освен това малката буква се използва широко за означаване на вероятност. По-специално, можете да се откажете от тромавите обозначения на събития и техните вероятности в полза на следния стил::

– вероятността хвърлянето на монета да доведе до глави;
– вероятността хвърлянето на зара да доведе до 5 точки;
– вероятността от тестето да бъде изтеглена карта от трефата.

Тази опция е популярна при решаване на практически проблеми, тъй като ви позволява значително да намалите записването на решението. Както в първия случай, тук е удобно да използвате „говорещи“ индекси/горни индекси.

Всички отдавна познаха числата, които току-що записах по-горе, а сега ще разберем как се оказаха:

Класическа дефиниция на вероятността:

Вероятността за възникване на събитие при определен тест се нарича съотношение , където:

– общ брой на всички еднакво възможно, елементаренрезултатите от този тест, които формират пълна група от събития;

- количество елементаренрезултати, благоприятен събитие.

При хвърляне на монета могат да паднат или глави, или опашки - тези събития се формират пълна група, следователно, общият брой резултати; същевременно всеки от тях елементаренИ еднакво възможно. Събитието се облагодетелства от резултата (глави). Според класическата дефиниция на вероятността: .

По същия начин, в резултат на хвърляне на зар, могат да се появят елементарни еднакво възможни резултати, образуващи пълна група, и събитието се облагодетелства от един изход (хвърляне на петица). Ето защо: ТОВА НЕ Е ПРИЕТО ДА СЕ ПРАВИ (въпреки че не е забранено да изчислявате проценти наум).

Обичайно е да се използват дроби от единица, и очевидно вероятността може да варира в рамките на . Освен това, ако , тогава събитието е невъзможно, ако - надежден, а ако , тогава говорим за случаенсъбитие.

! Ако при решаване на някакъв проблем получите друга стойност на вероятността, потърсете грешката!

В класическия подход за определяне на вероятността екстремните стойности (нула и едно) се получават чрез абсолютно същите разсъждения. Нека 1 топка бъде изтеглена на случаен принцип от определена урна, съдържаща 10 червени топки. Помислете за следните събития:

в единичен опит няма да се случи събитие с малка вероятност.

Ето защо няма да спечелите джакпота в лотарията, ако вероятността за това събитие е, да речем, 0,00000001. Да, да, това си ти – с единствения билет в определен тираж. По-големият брой билети и по-големият брой тиражи обаче няма да ви помогнат много. ...Когато разказвам на другите за това, почти винаги чувам в отговор: „но някой печели“. Добре, тогава нека направим следния експеримент: моля, купете билет за която и да е лотария днес или утре (не отлагайте!). И ако спечелите... е, поне повече от 10 килорубли, не забравяйте да се регистрирате - ще обясня защо се случи това. За процент разбира се =) =)

Но няма нужда да бъдете тъжни, защото има обратен принцип: ако вероятността за някое събитие е много близка до единица, тогава в едно изпитание ще почти сигурноще се случи. Ето защо, преди да скочите с парашут, няма нужда да се страхувате, напротив, усмихнете се! В крайна сметка трябва да възникнат напълно немислими и фантастични обстоятелства, за да се провалят и двата парашута.

Въпреки че всичко това е лирика, тъй като в зависимост от съдържанието на събитието първият принцип може да се окаже весел, а вторият - тъжен; или дори и двете са успоредни.

Може би това е достатъчно за сега, в час Класически вероятностни проблемище извлечем максимума от формулата. В последната част на тази статия ще разгледаме една важна теорема:

Сумата от вероятностите за събития, които образуват пълна група, е равна на единица. Грубо казано, ако събитията образуват пълна група, тогава със 100% вероятност едно от тях ще се случи. В най-простия случай пълна група се формира от противоположни събития, например:

– в резултат на хвърляне на монета ще се появят глави;
– резултатът от хвърляне на монета ще бъде опашка.

Според теоремата:

Абсолютно ясно е, че тези събития са еднакво възможни и вероятностите им са еднакви .

Поради равенството на вероятностите често се наричат еднакво възможни събития еднакво вероятно . А ето и усукване на езика за определяне на степента на интоксикация =)

Пример с куб: събитията са противоположни, следователно .

Разглежданата теорема е удобна с това, че ви позволява бързо да намерите вероятността от обратното събитие. Така че, ако е известна вероятността петицата да бъде хвърлена, лесно е да се изчисли вероятността тя да не бъде хвърлена:

Това е много по-просто от сумирането на вероятностите за пет елементарни изхода. За елементарни резултати, между другото, тази теорема също е вярна:
. Например, ако е вероятността стрелецът да уцели целта, тогава е вероятността той да пропусне.

! В теорията на вероятностите е нежелателно да се използват букви за други цели.

В чест на Деня на знанието няма да задавам домашна =), но е много важно да можете да отговорите на следните въпроси:

– Какви видове събития съществуват?
– Какво е случайност и равна възможност за събитие?
– Как разбирате термините съвместимост/несъвместимост на събитията?
– Какво е пълна група от събития, противоположни събития?
– Какво означава събиране и умножение на събития?
– Каква е същността на класическата дефиниция на вероятността?
– Защо е полезна теоремата за събиране на вероятностите за събития, които образуват пълна група?

Не, не е нужно да тъпчете нищо, това са само основите на теорията на вероятностите - един вид буквар, който бързо ще се побере в главата ви. И за да се случи това възможно най-скоро, ви предлагам да се запознаете с уроците

Теорията на вероятностите е дял от математиката, който изучава моделите на случайни явления: случайни събития, случайни променливи, техните свойства и операции върху тях.

Дълго време теорията на вероятностите нямаше ясна дефиниция. Той е формулиран едва през 1929 г. Възникването на теорията на вероятностите като наука датира от Средновековието и първите опити за математически анализ на хазарта (флейк, зарове, рулетка). Френските математици от 17-ти век Блез Паскал и Пиер Ферма, докато изучават прогнозирането на печалбите в хазарта, откриват първите вероятностни модели, които възникват при хвърляне на зарове.

Теорията на вероятностите възниква като наука от убеждението, че определени модели са в основата на масовите случайни събития. Теорията на вероятностите изучава тези модели.

Теорията на вероятностите се занимава с изучаването на събития, чието възникване не е известно със сигурност. Тя ви позволява да прецените степента на вероятност за настъпване на някои събития в сравнение с други.

Например: невъзможно е да се определи недвусмислено резултатът от „глави“ или „опашки“ в резултат на хвърляне на монета, но при многократно хвърляне се появяват приблизително еднакъв брой „глави“ и „опашки“, което означава, че вероятността "глави" или "опашки" да паднат ", е равна на 50%.

Теств този случай се нарича прилагането на определен набор от условия, тоест в този случай хвърлянето на монета. Предизвикателството може да се играе неограничен брой пъти. В този случай наборът от условия включва случайни фактори.

Резултатът от теста е събитие. Събитието се случва:

Надеждно (винаги възниква в резултат на тестване).
Невъзможно (никога не се случва).
Случаен (може или не може да възникне в резултат на теста).

Например, когато хвърляте монета, невъзможно събитие - монетата ще кацне на ръба си, случайно събитие - появата на „глави“ или „опашки“. Конкретният резултат от теста се извиква елементарно събитие. В резултат на теста възникват само елементарни събития. Извиква се множеството от всички възможни, различни, специфични резултати от теста пространство на елементарни събития.

Основни понятия на теорията

Вероятност- степента на вероятност за настъпване на събитие. Когато причините за реално възникване на някакво възможно събитие надвишават противоположните причини, тогава това събитие се нарича вероятно, в противен случай - малко вероятно или невероятно.

Случайна променлива- това е величина, която в резултат на тестване може да приеме една или друга стойност, като не е известно предварително каква. Например: брой на пожарна на ден, брой попадения с 10 изстрела и т.н.

Случайните променливи могат да бъдат разделени на две категории.

Дискретна случайна променливае количество, което в резултат на тестване може да приеме определени стойности с определена вероятност, образувайки изброимо множество (набор, чиито елементи могат да бъдат номерирани). Това множество може да бъде крайно или безкрайно. Например броят на изстрелите преди първото попадение в целта е дискретна случайна променлива, т.к. това количество може да приеме безкраен, макар и изброим брой стойности.
Непрекъсната случайна променливае количество, което може да приеме произволна стойност от някакъв краен или безкраен интервал. Очевидно броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкраен.

Вероятностно пространство- концепция, въведена от A.N. Колмогоров през 30-те години на 20-ти век, за да формализира понятието вероятност, което доведе до бързото развитие на теорията на вероятностите като строга математическа дисциплина.

Вероятностното пространство е тройка (понякога оградена в ъглови скоби: , където

Това е произволно множество, чиито елементи се наричат елементарни събития, резултати или точки;
- сигма алгебра на подмножества, наречени (случайни) събития;
- вероятностна мярка или вероятност, т.е. сигма-добавена крайна мярка, така че .

Теорема на Моавр-Лаплас- една от граничните теореми на теорията на вероятностите, създадена от Лаплас през 1812 г. Той гласи, че броят на успехите при повтаряне на един и същ случаен експеримент отново и отново с два възможни резултата е приблизително нормално разпределен. Позволява ви да намерите приблизителна стойност на вероятността.

Ако за всеки от независимите опити вероятността за възникване на някакво случайно събитие е равна на () и е броят на опитите, в които то действително се случва, тогава вероятността неравенството да е вярно е близка (за големи стойности) до стойност на интеграла на Лаплас.

Функция на разпределение в теорията на вероятностите- функция, характеризираща разпределението на случайна променлива или случаен вектор; вероятността случайна променлива X да приеме стойност, по-малка или равна на x, където x е произволно реално число. Ако са изпълнени известни условия, той напълно определя случайната променлива.

Очакване- средната стойност на случайна променлива (това е вероятностното разпределение на случайна променлива, разглеждано в теорията на вероятностите). В англоезичната литература се обозначава с , в руската - . В статистиката нотацията често се използва.

Нека е дадено вероятностно пространство и произволна променлива, дефинирана върху него. Това е, по дефиниция, измерима функция. Тогава, ако има интеграл на Лебег от над пространството, тогава той се нарича математическо очакване или средна стойност и се обозначава .

Дисперсия на случайна променлива- мярка за разпространението на дадена случайна величина, т.е. нейното отклонение от математическото очакване. Обозначава се в руската и чуждестранната литература. В статистиката често се използва обозначението или. Корен квадратен от дисперсията се нарича стандартно отклонение, стандартно отклонение или стандартен спред.

Нека е случайна променлива, дефинирана в някакво вероятностно пространство. Тогава

където символът означава математическото очакване.

В теорията на вероятностите се наричат две случайни събития независима, ако възникването на едно от тях не променя вероятността за възникване на другото. По същия начин се извикват две случайни променливи зависим, ако стойността на един от тях влияе върху вероятността от стойностите на другия.

Най-простата форма на закона за големите числа е теоремата на Бернули, която гласи, че ако вероятността за събитие е една и съща във всички опити, тогава с увеличаване на броя на опитите честотата на събитието клони към вероятността за събитието и престава да бъде случаен.

Законът за големите числа в теорията на вероятностите гласи, че средната аритметична стойност на крайна извадка от фиксирано разпределение е близка до теоретичната средна стойност на това разпределение. В зависимост от вида на конвергенцията се прави разлика между слабия закон на големите числа, когато конвергенцията възниква по вероятност, и силния закон на големите числа, когато конвергенцията е почти сигурна.

Общото значение на закона за големите числа е, че съвместното действие на голям брой еднакви и независими случайни фактори води до резултат, който в крайна сметка не зависи от случайността.

На това свойство се основават методи за оценка на вероятността, базирани на анализ на ограничена извадка. Ярък пример е прогнозата за изборните резултати въз основа на проучване на извадка от избиратели.

Централни гранични теореми- клас теореми в теорията на вероятностите, заявяващи, че сумата от достатъчно голям брой слабо зависими случайни променливи, които имат приблизително еднакви мащаби (нито един от термините не доминира или не прави определящ принос към сумата) има разпределение, близко до нормалното.

Тъй като много случайни променливи в приложенията се формират под въздействието на няколко слабо зависими случайни фактора, тяхното разпределение се счита за нормално. В този случай трябва да е изпълнено условието нито един от факторите да не е доминиращ. Централните гранични теореми в тези случаи оправдават използването на нормалното разпределение.

„Инцидентите не са случайни“... Звучи като нещо, казано от философ, но всъщност изучаването на случайността е съдбата на великата наука математика. В математиката случайността се разглежда от теорията на вероятностите. В статията ще бъдат представени формули и примери за задачи, както и основните определения на тази наука.

Какво е теория на вероятностите?

Теорията на вероятностите е една от математическите дисциплини, които изучават случайни събития.

За да стане малко по-ясно, нека дадем малък пример: ако хвърлите монета нагоре, тя може да падне върху глави или опашки. Докато монетата е във въздуха, и двете от тези вероятности са възможни. Тоест вероятността от възможни последствия е 1:1. Ако една бъде изтеглена от тесте от 36 карти, тогава вероятността ще бъде посочена като 1:36. Изглежда, че тук няма какво да се изследва и прогнозира, особено с помощта на математически формули. Въпреки това, ако повторите определено действие много пъти, можете да идентифицирате определен модел и въз основа на него да предскажете изхода от събития в други условия.

За да обобщим всичко по-горе, теорията на вероятностите в класическия смисъл изучава възможността за настъпване на едно от възможните събития в числова стойност.

От страниците на историята

Теорията на вероятностите, формулите и примерите за първите задачи се появяват в далечното Средновековие, когато за първи път се появяват опити за предсказване на резултата от игрите с карти.

Първоначално теорията на вероятностите нямаше нищо общо с математиката. Обосновава се с емпирични факти или свойства на дадено събитие, които могат да бъдат възпроизведени на практика. Първите трудове в тази област като математическа дисциплина се появяват през 17 век. Основатели са Блез Паскал и Пиер Ферма. Те изучаваха хазарта дълго време и видяха определени модели, за които решиха да разкажат на обществеността.

Същата техника е изобретена от Кристиан Хюйгенс, въпреки че той не е бил запознат с резултатите от изследванията на Паскал и Ферма. Понятието „теория на вероятностите“, формули и примери, които се считат за първите в историята на дисциплината, са въведени от него.

Трудовете на Якоб Бернули, теоремите на Лаплас и Поасон също са от немалко значение. Те направиха теорията на вероятностите по-скоро като математическа дисциплина. Теорията на вероятностите, формулите и примерите за основни задачи получиха сегашния си вид благодарение на аксиомите на Колмогоров. В резултат на всички промени теорията на вероятностите се превърна в един от математическите клонове.

Основни понятия на теорията на вероятностите. събития

Основната концепция на тази дисциплина е „събитие“. Има три вида събития:

Надежден.Тези, които така или иначе ще се случат (монетата ще падне).
Невъзможно.Събития, които няма да се случат при никакви обстоятелства (монетата ще остане да виси във въздуха).
Случаен.Тези, които ще се случат или няма да се случат. Те могат да бъдат повлияни от различни фактори, които са много трудни за прогнозиране. Ако говорим за монета, тогава има случайни фактори, които могат да повлияят на резултата: физическите характеристики на монетата, нейната форма, първоначалната й позиция, силата на хвърляне и т.н.

Всички събития в примерите са посочени с главни латински букви, с изключение на P, което има друга роля. Например:

A = „студентите дойдоха на лекция.“
Ā = „студентите не дойдоха на лекцията.“

В практическите задачи събитията обикновено се записват с думи.

Една от най-важните характеристики на събитията е тяхната равна възможност. Тоест, ако хвърлите монета, всички варианти на първоначалното падане са възможни, докато не падне. Но събитията също не са еднакво възможни. Това се случва, когато някой умишлено повлияе на резултата. Например „маркирани“ карти за игра или зарове, в които центърът на тежестта е изместен.

Събитията също могат да бъдат съвместими и несъвместими. Съвместимите събития не изключват взаимното си появяване. Например:

A = „студентът дойде на лекцията.“
B = „студентът дойде на лекцията.“

Тези събития са независими едно от друго и настъпването на едно от тях не влияе на настъпването на другото. Несъвместимите събития се определят от факта, че появата на едно изключва появата на друго. Ако говорим за една и съща монета, тогава загубата на „опашки“ прави невъзможно появата на „глави“ в същия експеримент.

Действия върху събития

Събитията могат да се умножават и съответно добавят, в дисциплината са въведени логически връзки „И” и „ИЛИ”.

Сумата се определя от факта, че събитие А или Б, или две, могат да се случат едновременно. Ако те са несъвместими, последната опция е невъзможна или A, или B ще бъдат хвърлени.

Умножаването на събития се състои в появата на A и B едновременно.

Сега можем да дадем няколко примера, за да запомним по-добре основите, теорията на вероятностите и формулите. Примери за решаване на проблеми по-долу.

Задача 1: Фирмата участва в конкурс за получаване на договори за три вида работа. Възможни събития, които могат да възникнат:

A = „фирмата ще получи първия договор.“
A 1 = „фирмата няма да получи първия договор.“
B = „фирмата ще получи втори договор.“
B 1 = „фирмата няма да получи втори договор“
C = „фирмата ще получи трети договор.“
C 1 = „фирмата няма да получи трети договор.“

Използвайки действия върху събития, ще се опитаме да изразим следните ситуации:

K = „компанията ще получи всички договори.“

В математическа форма уравнението ще има следната форма: K = ABC.

M = „компанията няма да получи нито един договор.“

M = A 1 B 1 C 1.

Нека усложним задачата: H = "компанията ще получи един договор." Тъй като не е известно кой договор ще получи компанията (първи, втори или трети), е необходимо да се запише цялата гама от възможни събития:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

И 1 пр. н. е. 1 е поредица от събития, при които фирмата не получава първия и третия договор, но получава втория. Други възможни събития бяха записани с помощта на подходящия метод. Символът υ в дисциплината означава свързващото „ИЛИ“. Ако преведем горния пример на човешки език, компанията ще получи или третия договор, или втория, или първия. По подобен начин можете да запишете други условия в дисциплината „Теория на вероятностите“. Формулите и примерите за решаване на проблеми, представени по-горе, ще ви помогнат да направите това сами.

Всъщност вероятността

Може би в тази математическа дисциплина вероятността за събитие е централната концепция. Има 3 определения за вероятност:

класически;
статистически;
геометричен.

Всеки има своето място в изследването на вероятностите. Теория на вероятностите, формули и примери (9 клас) използват основно класическата дефиниция, която звучи така:

Вероятността за ситуация А е равна на съотношението на броя на резултатите, които благоприятстват нейното възникване, към броя на всички възможни резултати.

Формулата изглежда така: P(A)=m/n.

А всъщност е събитие. Ако се появи падеж, противоположен на A, той може да бъде записан като Ā или A 1 .

m е броят на възможните благоприятни случаи.

n - всички събития, които могат да се случат.

Например A = „изтеглете карта с цвят на сърцето“. В едно стандартно тесте има 36 карти, 9 от които са със сърца. Съответно формулата за решаване на проблема ще изглежда така:

P(A)=9/36=0.25.

В резултат на това вероятността от тестето да бъде изтеглена карта с цвят на сърцето ще бъде 0,25.

Към висшата математика

Сега стана малко известно какво е теория на вероятностите, формули и примери за решаване на проблеми, които се срещат в училищната програма. Теорията на вероятностите обаче се среща и във висшата математика, която се преподава в университетите. Най-често оперират с геометрични и статистически определения на теорията и сложни формули.

Теорията на вероятностите е много интересна. По-добре е да започнете да изучавате формули и примери (висша математика) малки - със статистическата (или честотна) дефиниция на вероятността.

Статистическият подход не противоречи на класическия, а леко го разширява. Ако в първия случай беше необходимо да се определи с каква вероятност ще се случи събитие, тогава в този метод е необходимо да се посочи колко често ще се случи. Тук се въвежда нова концепция за „относителна честота“, която може да бъде означена с W n (A). Формулата не се различава от класическата:

Ако класическата формула се изчислява за прогнозиране, то статистическата се изчислява според резултатите от експеримента. Да вземем например една малка задача.

Отделът за технологичен контрол проверява качеството на продуктите. От 100 продукта 3 са с лошо качество. Как да намерим честотната вероятност на качествен продукт?

A = „вид на качествен продукт“.

W n (A)=97/100=0,97

Така честотата на качествен продукт е 0,97. От къде взе 97? От 100 проверени продукта 3 са с лошо качество. От 100 изваждаме 3 и получаваме 97, това е количеството качествени стоки.

Малко за комбинаториката

Друг метод на теорията на вероятностите се нарича комбинаторика. Неговият основен принцип е, че ако даден избор A може да бъде направен по m различни начина, а избор B може да бъде направен по n различни начина, тогава изборът на A и B може да бъде направен чрез умножение.

Например има 5 пътя, водещи от град А до град Б. Има 4 пътеки от град B до град C. По колко начина можете да стигнете от град А до град В?

Просто е: 5x4=20, тоест по двадесет различни начина можете да стигнете от точка А до точка С.

Нека да усложним задачата. Колко начина има за подреждане на карти в пасианса? В тестето има 36 карти - това е началната точка. За да разберете броя на начините, трябва да „изваждате“ една карта наведнъж от началната точка и да умножавате.

Тоест, 36x35x34x33x32...x2x1= резултатът не се побира на екрана на калкулатора, така че може просто да бъде обозначен като 36!. Знак "!" до числото показва, че цялата поредица от числа се умножава заедно.

В комбинаториката има такива понятия като пермутация, поставяне и комбинация. Всеки от тях има своя собствена формула.

Подредено множество от елементи на множество се нарича подреждане. Разположенията могат да се повтарят, тоест един елемент може да се използва няколко пъти. И без повторение, когато елементите не се повтарят. n са всички елементи, m са елементи, които участват в поставянето. Формулата за поставяне без повторение ще изглежда така:

A n m =n!/(n-m)!

Връзките на n елемента, които се различават само по реда на разположение, се наричат пермутации. В математиката изглежда така: P n = n!

Комбинации от n елемента от m са тези съединения, в които е важно какви елементи са били и какъв е общият им брой. Формулата ще изглежда така:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула на Бернули

В теорията на вероятностите, както във всяка дисциплина, има трудове на изключителни изследователи в своята област, които са я издигнали на ново ниво. Една от тези работи е формулата на Бернули, която ви позволява да определите вероятността определено събитие да се случи при независими условия. Това предполага, че появата на А в експеримент не зависи от появата или липсата на същото събитие в по-ранни или следващи опити.

Уравнение на Бернули:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Вероятността (p) за възникване на събитие (A) е постоянна за всеки опит. Вероятността ситуацията да се случи точно m пъти в n брой експеримента ще бъде изчислена по формулата, представена по-горе. Съответно възниква въпросът как да разберете числото q.

Ако събитие А се появи p брой пъти, то съответно може да не се случи. Единицата е число, което се използва за обозначаване на всички резултати от ситуация в дадена дисциплина. Следователно q е число, което означава възможността дадено събитие да не се случи.

Сега знаете формулата на Бернули (теория на вероятностите). По-долу ще разгледаме примери за решаване на проблеми (първо ниво).

Задача 2:Посетител на магазина ще направи покупка с вероятност 0,2. 6 посетители са влезли самостоятелно в магазина. Каква е вероятността посетител да направи покупка?

Решение: Тъй като не е известно колко посетители трябва да направят покупка, един или всичките шест, е необходимо да се изчислят всички възможни вероятности, като се използва формулата на Бернули.

A = „посетителят ще направи покупка“.

В този случай: p = 0,2 (както е посочено в задачата). Съответно q=1-0.2=0.8.

n = 6 (тъй като в магазина има 6 клиента). Числото m ще варира от 0 (нито един клиент няма да направи покупка) до 6 (всички посетители на магазина ще закупят нещо). В резултат на това получаваме решението:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Нито един от купувачите няма да направи покупка с вероятност 0,2621.

Как иначе се използва формулата на Бернули (теория на вероятностите)? Примери за решаване на проблеми (второ ниво) по-долу.

След горния пример възникват въпроси за това къде са отишли C и r. Спрямо p, число на степен 0 ще бъде равно на едно. Що се отнася до C, той може да бъде намерен по формулата:

C n m = n! /m!(n-m)!

Тъй като в първия пример m = 0, съответно C = 1, което по принцип не влияе на резултата. Използвайки новата формула, нека се опитаме да разберем каква е вероятността двама посетители да закупят стоки.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Теорията на вероятностите не е толкова сложна. Формулата на Бернули, чиито примери са представени по-горе, е пряко доказателство за това.

Формула на Поасон

Уравнението на Поасон се използва за изчисляване на случайни ситуации с ниска вероятност.

Основна формула:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

В този случай λ = n x p. Ето една проста формула на Поасон (теория на вероятностите). По-долу ще разгледаме примери за решаване на проблеми.

Задача 3: Фабриката е произвела 100 000 части. Поява на дефектна част = 0,0001. Каква е вероятността да има 5 дефектни части в партида?

Както можете да видите, бракът е малко вероятно събитие и затова формулата на Поасон (теория на вероятностите) се използва за изчисление. Примери за решаване на задачи от този вид не се различават от другите задачи по дисциплината; ние заместваме необходимите данни в дадената формула:

A = „произволно избрана част ще бъде дефектна.“

p = 0,0001 (според условията на задачата).

n = 100000 (брой части).

m = 5 (дефектни части). Заменяме данните във формулата и получаваме:

R 100 000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Точно като формулата на Бернули (теория на вероятностите), примери за използване на които са написани по-горе, уравнението на Поасон има неизвестно e. Всъщност то може да се намери по формулата:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

Има обаче специални таблици, които съдържат почти всички стойности на e.

Теорема на Моавр-Лаплас

Ако в схемата на Бернули броят на опитите е достатъчно голям и вероятността за възникване на събитие А във всички схеми е една и съща, тогава вероятността за възникване на събитие А определен брой пъти в поредица от тестове може да се намери чрез Формула на Лаплас:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

За да запомните по-добре формулата на Лаплас (теория на вероятностите), примерите за проблеми са дадени по-долу, за да ви помогнат.

Първо, нека намерим X m, заместим данните (всички са изброени по-горе) във формулата и получим 0,025. Използвайки таблици, намираме числото ϕ(0,025), чиято стойност е 0,3988. Сега можете да замените всички данни във формулата:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Така вероятността флаерът да работи точно 267 пъти е 0,03.

Формула на Бейс

Формулата на Байс (теория на вероятностите), примери за решаване на проблеми, с помощта на които ще бъдат дадени по-долу, е уравнение, което описва вероятността от събитие въз основа на обстоятелствата, които могат да бъдат свързани с него. Основната формула е следната:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

А и Б са определени събития.

P(A|B) е условна вероятност, тоест събитие A може да се случи, при условие че събитие B е вярно.

P (B|A) - условна вероятност за събитие B.

И така, последната част от краткия курс „Теория на вероятностите“ е формулата на Байс, примери за решения на проблеми с които са по-долу.

Задача 5: В склада са докарани телефони от три фирми. В същото време делът на телефоните, които се произвеждат в първия завод, е 25%, във втория - 60%, в третия - 15%. Известно е също, че средният процент на дефектни продукти в първата фабрика е 2%, във втората - 4%, а в третата - 1%. Трябва да намерите вероятността произволно избран телефон да бъде дефектен.

A = „случайно избран телефон“.

B 1 - телефонът, който произвежда първата фабрика. Съответно ще се появят въвеждащи B 2 и B 3 (за втория и третия завод).

В резултат получаваме:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0.15 - така намерихме вероятността за всяка опция.

Сега трябва да намерите условните вероятности на желаното събитие, тоест вероятността за дефектни продукти в компаниите:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Сега нека заместим данните във формулата на Bayes и да получим:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Статията представя теория на вероятностите, формули и примери за решаване на проблеми, но това е само върхът на айсберга на една обширна дисциплина. И след всичко написано ще бъде логично да зададем въпроса дали теорията на вероятностите е необходима в живота. За обикновен човек е трудно да отговори; по-добре е да попитате някой, който го е използвал, за да спечели джакпота повече от веднъж.

ВЪВЕДЕНИЕ

Много неща са неразбираеми за нас не защото концепциите ни са слаби;
но тъй като тези неща не са включени в кръга на нашите понятия.
Козма Прутков

Основната цел на изучаването на математика в средните специализирани учебни заведения е да даде на учениците набор от математически знания и умения, необходими за изучаване на други програмни дисциплини, които използват математиката в една или друга степен, за способността да извършват практически изчисления, за формирането и развитието на на логическото мислене.

В тази работа всички основни понятия на раздела по математика „Основи на теорията на вероятностите и математическата статистика“, предвидени в програмата и Държавните образователни стандарти за средно професионално образование (Министерство на образованието на Руската федерация. М., 2002 г. ), въведени са последователно, формулирани са основните теореми, повечето от които не са доказани. Разглеждат се основните проблеми и методи за тяхното решаване и технологии за прилагане на тези методи за решаване на практически задачи. Презентацията е придружена с подробни коментари и множество примери.

Методическите указания могат да се използват за първоначално запознаване с изучавания материал, при записване на лекции, за подготовка за практически занятия, за затвърждаване на придобитите знания, умения и способности. В допълнение, наръчникът ще бъде полезен и за студенти като справочен инструмент, който им позволява бързо да си припомнят изучаваното преди това.

В края на работата има примери и задачи, които учениците могат да изпълняват в режим на самоконтрол.

Насоките са предназначени за задочни и редовни студенти.

ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ

Теорията на вероятностите изучава обективните модели на масови случайни събития. Това е теоретичната основа на математическата статистика, която се занимава с разработването на методи за събиране, описание и обработка на резултатите от наблюденията. Чрез наблюдения (тестове, експерименти), т.е. опит в широкия смисъл на думата, възниква познание за явленията от реалния свят.

В нашата практическа дейност ние често се сблъскваме с явления, чийто резултат не може да бъде предвиден, чийто резултат зависи от случайността.

Случайното явление може да се характеризира чрез съотношението на броя на неговите събития към броя на опитите, във всяко от които, при еднакви условия на всички опити, то може да се случи или да не се случи.

Теорията на вероятностите е клон на математиката, в който се изучават случайни явления (събития) и се идентифицират модели, когато те се повтарят масово.

Математическата статистика е дял от математиката, който се занимава с изучаването на методите за събиране, систематизиране, обработка и използване на статистически данни за получаване на научно обосновани заключения и вземане на решения.

В този случай статистическите данни се разбират като набор от числа, които представляват количествените характеристики на характеристиките на изследваните обекти, които ни интересуват. Статистическите данни се получават в резултат на специално разработени експерименти и наблюдения.

Статистическите данни по своята същност зависят от много случайни фактори, поради което математическата статистика е тясно свързана с теорията на вероятностите, която е нейната теоретична основа.

I. ВЕРОЯТНОСТ. ТЕОРЕМИ ЗА СЪБИРАНЕ И УМНОЖЕНИЕ НА ВЕРОЯТНОСТИ

1.1. Основни понятия на комбинаториката

В клона на математиката, който се нарича комбинаторика, се решават някои проблеми, свързани с разглеждането на множества и съставянето на различни комбинации от елементи на тези множества. Например, ако вземем 10 различни числа 0, 1, 2, 3,: , 9 и направим комбинации от тях, ще получим различни числа, например 143, 431, 5671, 1207, 43 и т.н.

Виждаме, че някои от тези комбинации се различават само по реда на цифрите (например 143 и 431), други - по цифрите, включени в тях (например 5671 и 1207), а трети също се различават по броя на цифрите (например 143 и 43).

Така получените комбинации отговарят на различни условия.

В зависимост от правилата за съставяне могат да се разграничат три вида комбинации: пермутации, разположения, комбинации.

Нека първо се запознаем с концепцията факториел.

Произведението на всички естествени числа от 1 до n включително се нарича n-факториал и пиши.

Пресметнете: а) ; б) ; V) .

Решение. А) .

б) Тъй като , тогава можем да го извадим от скоби

Тогава получаваме

V) .

Пренареждания.

Комбинация от n елемента, които се различават един от друг само по реда на елементите, се нарича пермутация.

Пермутациите са обозначени със символа P n , където n е броят на елементите, включени във всяка пермутация. ( Р- първа буква на френска дума пермутация- пренареждане).

Броят на пермутациите може да се изчисли с помощта на формулата

или използвайки факториел:

Нека помним това 0!=1 и 1!=1.

Пример 2. По колко начина могат да се подредят шест различни книги на един рафт?

Решение. Необходимият брой начини е равен на броя на пермутациите на 6 елемента, т.е.

Разположения.

Публикации от мелементи в пвъв всеки се наричат такива съединения, които се различават едно от друго или по самите елементи (поне един), или по реда на тяхното подреждане.

Разположенията са обозначени със символа, където м- броя на всички налични елементи, п- броя на елементите във всяка комбинация. ( а-първата буква на френска дума подреждане, което означава „поставяне, подреждане“).

В същото време се смята, че nm.

Броят на разположенията може да се изчисли по формулата

тези. брой на всички възможни разположения от мелементи от пе равно на произведението ппоследователни цели числа, от които е най-голямото м.

Нека запишем тази формула във факторна форма:

Пример 3. Колко опции за разпределяне на три ваучера на санаториуми от различни профили могат да бъдат съставени за петима кандидати?

Решение. Необходимият брой опции е равен на броя на поставянията на 5 елемента от 3 елемента, т.е.

Комбинации.

Комбинациите са всички възможни комбинации от мелементи от п, които се различават един от друг с поне един елемент (тук мИ п-естествени числа и n m).

Брой комбинации от мелементи от псе означават с ( СЪС- първата буква на френска дума комбинация- комбинация).

Като цяло броят на мелементи от правен на броя разположения от мелементи от п, разделено на броя пермутации от пелементи:

Използвайки факториални формули за броя на разположенията и пермутациите, получаваме:

Пример 4. В екип от 25 души трябва да разпределите четирима, които да работят в определена област. По колко начина може да стане това?

Решение. Тъй като редът на избраните четирима души няма значение, има начини да направите това.

Намираме с помощта на първата формула

Освен това при решаване на задачи се използват следните формули, изразяващи основните свойства на комбинациите:

(по дефиниция предполагат и);

1.2. Решаване на комбинаторни задачи

Задача 1. Във факултета се изучават 16 дисциплини. Трябва да поставите 3 предмета в графика си за понеделник. По колко начина може да стане това?

Решение. Има толкова много начини да планирате три елемента от 16, колкото можете да подредите разположението на 16 елемента по 3.

Задача 2. От 15 обекта трябва да изберете 10 обекта. По колко начина може да стане това?

Задача 3. В състезанието участваха четири отбора. Колко варианта за разпределяне на местата между тях са възможни?

Задача 4. По колко начина може да се сформира патрул от трима войници и един офицер, ако има 80 войника и 3 офицера?

Решение. Можете да изберете войник на патрул

начини и служители по пътища. Тъй като всеки офицер може да върви с всеки екип от войници, има толкова много начини.

Задача 5. Намерете , ако е известно, че .

От , получаваме

От дефиницията на комбинация следва, че , . това. .

1.3. Концепцията за случайно събитие. Видове събития. Вероятност за събитие

Всяко действие, явление, наблюдение с няколко различни резултата, реализирани при даден набор от условия, ще се нарича тест.

Резултатът от това действие или наблюдение се нарича събитие .

Ако дадено събитие при дадени условия може или не може да се случи, то се извиква случаен . Когато едно събитие е сигурно, че ще се случи, то се нарича надежден , а в случай, че това очевидно не може да се случи, - невъзможно.

Събитията се наричат несъвместими , ако всеки път е възможно да се появява само един от тях.

Събитията се наричат съвместно , ако при дадени условия настъпването на едно от тези събития не изключва настъпването на друго по време на същия тест.

Събитията се наричат противоположност , ако при условията на теста те, като единствените му резултати, са несъвместими.

Събитията обикновено се обозначават с главни букви на латинската азбука: A, B, C, D, : .

Пълна система от събития A 1 , A 2 , A 3 , : , A n е набор от несъвместими събития, настъпването на поне едно от които е задължително по време на даден тест.

Ако пълната система се състои от две несъвместими събития, тогава такива събития се наричат противоположни и се означават с A и .

Пример. Кутията съдържа 30 номерирани топки. Определете кои от следните събития са невъзможни, надеждни или противоположни:

извади номерирана топка (A);

има топка с четно число (IN);

получи топка с нечетно число (СЪС);

получи топка без номер (D).

Кои от тях образуват пълна група?

Решение . А- надеждно събитие; г- невъзможно събитие;

В и СЪС- противоположни събития.

Пълната група от събития се състои от АИ Д, ВИ СЪС.

Вероятността за събитие се разглежда като мярка за обективната възможност за настъпване на случайно събитие.

1.4. Класическа дефиниция на вероятността

Нарича се число, което изразява мярката на обективната възможност за настъпване на събитие вероятност това събитие и се обозначава със символа R(A).

Определение. Вероятност за събитието Ае отношението на броя на резултатите m, които благоприятстват настъпването на дадено събитие А, към броя пвсички резултати (непоследователни, само възможни и еднакво възможни), т.е. .

Следователно, за да се намери вероятността за събитие, е необходимо, като се вземат предвид различни резултати от теста, да се изчислят всички възможни противоречиви резултати n,изберете броя на резултатите m, които ни интересуват, и изчислете съотношението мдо п.

От това определение следват следните свойства:

Вероятността за всеки тест е неотрицателно число, което не надвишава единица.

Наистина, броят m на необходимите събития е в рамките на . Разделяне на двете части на п, получаваме

2. Вероятността за надеждно събитие е равна на единица, т.к .

3. Вероятността за невъзможно събитие е нула, тъй като .

Задача 1. В лотария от 1000 билета има 200 печеливши. Един билет се вади на случаен принцип. Каква е вероятността този билет да е печеливш?

Решение. Общият брой различни резултати е п=1000. Броят на благоприятните резултати за победа е m=200. Според формулата получаваме

Задача 2. В партида от 18 части има 4 дефектни. На случаен принцип се избират 5 части. Намерете вероятността две от тези 5 части да бъдат дефектни.

Решение. Брой на всички еднакво възможни независими резултати правен на броя на комбинациите от 18 по 5 т.е.

Нека преброим числото m, което благоприятства събитие А. Сред 5 произволно взети части трябва да има 3 добри и 2 дефектни. Броят на начините за избор на две дефектни части от 4 съществуващи дефектни е равен на броя на комбинациите от 4 на 2:

Броят на начините за избор на три качествени части от 14 налични качествени части е равен на

Всяка група от добри части може да се комбинира с всяка група от дефектни части, така че общият брой комбинации мвъзлиза на

Необходимата вероятност за събитие А е равна на отношението на броя на резултатите m, благоприятни за това събитие, към броя n на всички еднакво възможни независими резултати:

Сумата от краен брой събития е събитие, състоящо се от настъпването на поне едно от тях.

Сумата от две събития се обозначава със символа A+B, а сумата псъбития със символ A 1 +A 2 + : +A n.

Теорема за добавяне на вероятности.

Вероятността за сумата от две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития.

Следствие 1. Ако събитието A 1, A 2, :,A n образуват пълна система, тогава сумата от вероятностите на тези събития е равна на единица.

Следствие 2. Сумата от вероятностите за противоположни събития и е равна на единица.

Задача 1. Има 100 лотарийни билета. Известно е, че 5 билета печелят 20 000 рубли, 10 билета печелят 15 000 рубли, 15 билета печелят 10 000 рубли, 25 билета печелят 2000 рубли. и нищо за останалото. Намерете вероятността закупеният билет да получи печалба от поне 10 000 рубли.

Решение. Нека A, B и C са събития, състоящи се в това, че закупеният билет получава печалба, равна съответно на 20 000, 15 000 и 10 000 рубли. тъй като събития A, B и C са несъвместими, тогава

Задача 2. Кореспондентският отдел на техникум получава тестове по математика от градовете А, БИ СЪС. Вероятност за получаване на тест от града Аравна на 0,6, от гр IN- 0,1. Намерете вероятността следващият тест да дойде от града СЪС.

Някои програмисти, след като работят в областта на разработването на обикновени комерсиални приложения, мислят да овладеят машинното обучение и да станат анализатори на данни. Те често не разбират защо определени методи работят, а повечето методи за машинно обучение изглеждат като магия. Всъщност машинното обучение се основава на математическа статистика, която от своя страна се основава на теория на вероятностите. Ето защо в тази статия ще обърнем внимание на основните понятия на теорията на вероятностите: ще се докоснем до определенията за вероятност, разпределение и ще анализираме няколко прости примера.

Може би знаете, че теорията на вероятностите условно е разделена на 2 части. Дискретната теория на вероятностите изучава явления, които могат да бъдат описани чрез разпределение с краен (или изброим) брой възможни варианти на поведение (хвърляне на зарове, монети). Непрекъснатата теория на вероятностите изучава явления, разпределени в някакъв плътен набор, например в сегмент или в кръг.

Можем да разгледаме предмета на теорията на вероятностите, използвайки прост пример. Представете си себе си като разработчик на шутъри. Неразделна част от развитието на игрите в този жанр е механиката на стрелба. Ясно е, че стрелецът, в който всички оръжия стрелят абсолютно точно, няма да представлява голям интерес за играчите. Следователно е наложително да добавите разпространение към оръжието си. Но простото рандомизиране на точките за удар на оръжие няма да позволи фина настройка, така че коригирането на баланса на играта ще бъде трудно. В същото време използването на произволни променливи и техните разпределения може да анализира как едно оръжие ще работи с дадено разпространение и да помогне да се направят необходимите корекции.

Пространство на елементарни резултати

Да кажем, че от някакъв случаен експеримент, който можем да повторим много пъти (например хвърляне на монета), можем да извлечем някаква формализируема информация (глави или опашки). Тази информация се нарича елементарен резултат и е полезно да се разгледа наборът от всички елементарни резултати, често означавани с буквата Ω (Омега).

Структурата на това пространство зависи изцяло от характера на експеримента. Например, ако разгледаме стрелба по достатъчно голяма кръгла мишена, пространството на елементарните резултати ще бъде кръг, за удобство, поставен с център на нула, а резултатът ще бъде точка в този кръг.

Освен това се разглеждат набори от елементарни резултати - събития (например попадение в десетката е концентричен кръг с малък радиус с цел). В дискретния случай всичко е съвсем просто: можем да получим всяко събитие, включително или без елементарни резултати за крайно време. В непрекъснатия случай всичко е много по-сложно: имаме нужда от доста добро семейство от множества, които да разгледаме, наречени алгебра по аналогия с прости реални числа, които могат да се събират, изваждат, делят и умножават. Наборите в алгебрата могат да се пресичат и комбинират и резултатът от операцията ще бъде в алгебрата. Това е много важно свойство за математиката, която стои зад всички тези концепции. Минималното семейство се състои само от две множества - празното множество и пространството на елементарните резултати.

Мярка и вероятност

Вероятността е начин да се правят изводи за поведението на много сложни обекти, без да се разбира как работят. По този начин вероятността се определя като функция на събитие (от това много добро семейство набори), което връща число - някаква характеристика за това колко често такова събитие може да се случи в действителност. За да бъде сигурно, математиците се съгласиха, че това число трябва да е между нула и едно. Освен това тази функция има изисквания: вероятността за невъзможно събитие е нула, вероятността за целия набор от резултати е единица и вероятността за комбиниране на две независими събития (несвързани набори) е равна на сумата от вероятностите. Друго име за вероятност е вероятностна мярка. Най-често се използва мярка на Лебег, която обобщава понятията дължина, площ, обем до всякакви измерения (n-мерен обем) и по този начин е приложима за широк клас множества.

Заедно колекцията от набор от елементарни резултати, семейство набори и вероятностна мярка се нарича вероятностно пространство. Нека разгледаме как можем да конструираме вероятностно пространство за примера на стрелба по мишена.

Помислете за стрелба по голяма кръгла цел с радиус R, която е невъзможно да пропуснете. Чрез набор от елементарни събития задаваме окръжност с център в началото на координатите с радиус R. Тъй като ще използваме площ (мярката на Лебег за двумерни множества), за да опишем вероятността от дадено събитие, ще използваме семейство от измерими (за които тази мярка съществува) множества.

Забележка Всъщност това е технически момент и при прости задачи процесът на определяне на мярка и семейство от множества не играе специална роля. Но е необходимо да се разбере, че тези два обекта съществуват, защото в много книги по теория на вероятностите теоремите започват с думите: „ Нека (Ω,Σ,P) е вероятностно пространство...».

Както бе споменато по-горе, вероятността за цялото пространство от елементарни резултати трябва да бъде равна на единица. Площта (двумерна мярка на Лебег, която обозначаваме с λ 2 (A), където A е събитие) на окръжност, според добре позната формула от училище, е равна на π *R 2. Тогава можем да въведем вероятността P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) и тази стойност вече ще лежи между 0 и 1 за всяко събитие A.

Ако приемем, че уцелването на която и да е точка от целта е еднакво вероятно, търсенето на вероятността стрелецът да уцели някаква област от целта се свежда до намиране на областта на този набор (от тук можем да заключим, че вероятността на удряне на конкретна точка е нула, тъй като площта на точката е нула).

Например, искаме да разберем каква е вероятността стрелецът да попадне в челната десетка (събитие А - стрелецът да уцели желания набор). В нашия модел "десетката" е представена от кръг с център нула и радиус r. Тогава вероятността да попаднете в този кръг е P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2.

Това е един от най-простите видове задачи за "геометрична вероятност" - повечето от тези задачи изискват намиране на област.

Случайни променливи

Случайна променлива е функция, която преобразува елементарни резултати в реални числа. Например в разглежданата задача можем да въведем случайна величина ρ(ω) - разстоянието от точката на удара до центъра на целта. Простотата на нашия модел ни позволява изрично да дефинираме пространството на елементарните резултати: Ω = (ω = (x,y) такива числа, че x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Тогава случайната променлива ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Средства за абстракция от вероятностното пространство. Функция на разпределение и плътност

Хубаво е, когато структурата на пространството е добре позната, но в действителност това не винаги е така. Дори ако структурата на едно пространство е известна, тя може да бъде сложна. За да се опишат случайни променливи, ако техният израз е неизвестен, съществува концепцията за функция на разпределение, която се означава с F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Функцията на разпределение има няколко свойства:

Първо, тя е между 0 и 1.
Второ, той не намалява, когато неговият аргумент x нараства.
Трето, когато числото -x е много голямо, функцията на разпределение е близка до 0, а когато самото x е голямо, функцията на разпределение е близо до 1.

Вероятно значението на тази конструкция не е много ясно при първо четене. Едно полезно свойство е, че функцията за разпределение ви позволява да търсите вероятността дадено количество да приеме стойност от интервал. И така, P (случайната променлива ξ приема стойности от интервала) = F ξ (b) -F ξ (a). Въз основа на това равенство можем да проучим как се променя тази стойност, ако границите a и b на интервала са близки.

Нека d = b-a, тогава b = a+d. И следователно, F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . За малки стойности на d горната разлика също е малка (ако разпределението е непрекъснато). Има смисъл да се разглежда отношението p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d. Ако за достатъчно малки стойности на d това съотношение се различава малко от някаква константа p ξ (a), независимо от d, тогава в този момент случайната променлива има плътност, равна на p ξ (a).

Забележка Читателите, които преди са се сблъсквали с концепцията за производна, може да забележат, че p ξ (a) е производната на функцията F ξ (x) в точка a. Във всеки случай можете да изучавате концепцията за производна в статия по тази тема на уебсайта на Mathprofi.

Сега значението на функцията на разпределение може да се дефинира по следния начин: нейната производна (плътност p ξ, която дефинирахме по-горе) в точка a описва колко често една случайна променлива ще попадне в малък интервал с център в точка a (околността на точка a ) в сравнение с кварталите на други точки. С други думи, колкото по-бързо расте функцията на разпределение, толкова по-вероятно е такава стойност да се появи в случаен експеримент.

Да се върнем към примера. Можем да изчислим функцията на разпределение за случайната променлива, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , която обозначава разстоянието от центъра до произволната точка на попадение върху целта. По дефиниция F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Можем да намерим плътността p ρ на тази случайна променлива. Нека веднага да отбележим, че извън интервала е нула, т.к функцията на разпределение в този интервал остава непроменена. В края на този интервал плътността не се определя. Вътре в интервала може да се намери с помощта на таблица с производни (например от уебсайта на Mathprofi) и елементарни правила за диференциране. Производната на t 2 /R 2 е равна на 2t/R 2. Това означава, че намерихме плътността по цялата ос на реалните числа.

Друго полезно свойство на плътността е вероятността дадена функция да вземе стойност от интервал, изчислена с помощта на интеграла на плътността върху този интервал (можете да разберете какво е това в статиите за правилни, неправилни и неопределени интеграли в Mathprofi уебсайт).

При първо четене интегралът върху интервал от функцията f(x) може да се разглежда като площта на извит трапец. Страните му са фрагмент от оста Ox, празнина (хоризонтална координатна ос), вертикални сегменти, свързващи точки (a,f(a)), (b,f(b)) на кривата с точки (a,0), (b,0) върху оста Ox. Последната страна е фрагмент от графиката на функцията f от (a,f(a)) до (b,f(b)) . Можем да говорим за интеграл върху интервала (-∞; b], когато за достатъчно големи отрицателни стойности, a, стойността на интеграла върху интервала ще се промени незначително в сравнение с промяната на числото a. Интегралът върху интервалите е определени по подобен начин)