Цилиндърът (произлиза от гръцки език, от думите „ролка“, „валяк“) е геометрично тяло, ограничено отвън от повърхност, наречена цилиндрична и две равнини. Тези равнини пресичат повърхността на фигурата и са успоредни една на друга.
Цилиндрична повърхност е повърхност, която е образувана от права линия в пространството. Тези движения са такива, че избраната точка от тази права линия се движи по крива от равнинен тип. Такава права линия се нарича образуваща, а крива линия се нарича водач.
Цилиндърът се състои от двойка основи и странична цилиндрична повърхност. Има няколко вида цилиндри:
1. Кръгъл, прав цилиндър. Такъв цилиндър има основа и водач, перпендикулярен на генериращата линия, и има
2. Наклонен цилиндър. Неговият ъгъл между образуващата права и основата не е прав.
3. Цилиндър с различна форма. Хиперболични, елиптични, параболични и др.
Площта на цилиндъра, както и общата повърхност на всеки цилиндър, се намират чрез добавяне на площите на основите на тази фигура и площта на страничната повърхност.
Формулата за изчисляване на общата площ на цилиндъра за кръгъл, прав цилиндър:
Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).
Установено е, че площта на страничната повърхност е малко по-сложна от площта на целия цилиндър, тя се изчислява чрез умножаване на дължината на линията на генератора по периметъра на сечението, образувано от равнина, която е перпендикулярна; към линията на образуващата.
Даденият цилиндър за кръгъл, прав цилиндър се разпознава от развитието на този обект.
Развитието е правоъгълник с височина h и дължина P, която е равна на периметъра на основата.
От това следва, че страничната площ на цилиндъра е равна на площта на почистване и може да се изчисли по тази формула:
Ако вземем кръгъл прав цилиндър, тогава за него:
P = 2p R и Sb = 2p Rh.
Ако цилиндърът е наклонен, тогава площта на страничната повърхност трябва да бъде равна на произведението на дължината на неговата генерираща линия и периметъра на сечението, което е перпендикулярно на тази генерираща линия.
За съжаление, няма проста формула за изразяване на страничната повърхност на наклонен цилиндър по отношение на неговата височина и параметрите на неговата основа.
За да изчислите цилиндър, трябва да знаете няколко факта. Ако едно сечение със своята равнина пресича основите, то такова сечение винаги е правоъгълник. Но тези правоъгълници ще бъдат различни в зависимост от позицията на секцията. Една от страните на аксиалното сечение на фигурата, която е перпендикулярна на основите, е равна на височината, а другата е равна на диаметъра на основата на цилиндъра. И площта на такова сечение, съответно, е равна на произведението на едната страна на правоъгълника от другата, перпендикулярна на първата, или произведението на височината на дадена фигура и диаметъра на нейната основа.
Ако сечението е перпендикулярно на основите на фигурата, но не минава през оста на въртене, тогава площта на това сечение ще бъде равна на произведението на височината на този цилиндър и определена хорда. За да получите акорд, трябва да построите кръг в основата на цилиндъра, да начертаете радиус и да начертаете върху него разстоянието, на което се намира секцията. И от тази точка трябва да начертаете перпендикуляри на радиуса от пресечната точка с кръга. Пресечните точки са свързани с центъра. А основата на триъгълника е желаната, която се търси със звуци по следния начин: „Сумата от квадратите на два крака е равна на хипотенузата на квадрат“:
C2 = A2 + B2.
Ако сечението не засяга основата на цилиндъра, а самият цилиндър е кръгъл и прав, тогава площта на този участък се намира като площта на кръга.
Площта на кръга е:
S env. = 2п R2.
За да намерите R, трябва да разделите неговата дължина C на 2n:
R = C\2n, където n е pi, математическа константа, изчислена за работа с кръгови данни и равна на 3,14.
Стереометрията е дял от геометрията, в който се изучават фигури в пространството. Основните фигури в пространството са точка, права и равнина. В стереометрията се появява нов тип относително разположение на линиите: кръстосани линии. Това е една от малкото съществени разлики между стереометрията и планиметрията, тъй като в много случаи проблемите в стереометрията се решават чрез разглеждане на различни равнини, в които са изпълнени планиметричните закони.
В природата около нас има много обекти, които са физически модели на тази фигура. Например много машинни части имат формата на цилиндър или са комбинация от тях, а величествените колони на храмове и катедрали, направени във формата на цилиндър, подчертават тяхната хармония и красота.
гръцки − килиндрос. Древен термин. В ежедневието - папирусов свитък, ролка, ролка (глагол - усуквам, търкалям).
За Евклид цилиндър се получава чрез завъртане на правоъгълник. В Cavalieri - чрез движението на генератора (с произволен водач - "цилиндър").
Целта на това есе е да се разгледа геометрично тяло – цилиндър.
За постигането на тази цел е необходимо да се разгледат следните задачи:
− дават определения за цилиндър;
− разгледайте елементите на цилиндъра;
− изучаване на свойствата на цилиндъра;
− разгледайте видовете цилиндрови секции;
− изведете формулата за площта на цилиндър;
− изведете формулата за обем на цилиндър;
− решаване на задачи с помощта на цилиндър.
1.1. Дефиниция на цилиндър
Нека разгледаме някаква права (крива, начупена или смесена) l, лежаща в някаква равнина α, и някаква права S, пресичаща тази равнина. През всички точки на дадена права l прекарваме прави, успоредни на права S; повърхността α, образувана от тези прави линии, се нарича цилиндрична повърхност. Правата l се нарича водеща на тази повърхност, линиите s 1, s 2, s 3,... са нейните образуващи.
Ако водачът е счупен, тогава такава цилиндрична повърхност се състои от множество плоски ленти, затворени между двойки успоредни прави линии, и се нарича призматична повърхност. Образуващите, минаващи през върховете на водещата начупена линия, се наричат ръбове на призматичната повърхност, плоските ивици между тях са нейните лица.
Ако разчленим всяка цилиндрична повърхност с произволна равнина, която не е успоредна на нейните образуващи, ще получим линия, която също може да се приеме като ориентир за тази повърхност. Сред водачите се откроява този, който се получава чрез разрязване на повърхността с равнина, перпендикулярна на образуващите на повърхността. Такъв участък се нарича нормален участък, а съответната направляваща се нарича нормална направляваща.
Ако водачът е затворена (изпъкнала) линия (начупена или крива), тогава съответната повърхност се нарича затворена (изпъкнала) призматична или цилиндрична повърхност. Най-простата от цилиндричните повърхности има кръг като нормален водач. Нека разчленим затворена изпъкнала призматична повърхност с две равнини, успоредни една на друга, но не успоредни на образуващите.
В секциите получаваме изпъкнали многоъгълници. Сега частта от призматичната повърхност, затворена между равнините α и α" и двете получени многоъгълни плочи в тези равнини ограничават тяло, наречено призматично тяло - призма.
Цилиндрично тяло - цилиндърът се дефинира подобно на призмата:
Цилиндърът е тяло, ограничено отстрани от затворена (изпъкнала) цилиндрична повърхност, а от краищата от две плоски успоредни основи. Двете основи на цилиндъра са равни и всички съставни части на цилиндъра също са равни, т.е. сегменти от образуващите на цилиндрична повърхнина между равнините на основите.
Цилиндърът (по-точно кръгъл цилиндър) е геометрично тяло, което се състои от две окръжности, които не лежат в една равнина и са комбинирани чрез паралелна транслация, и всички сегменти, свързващи съответните точки на тези окръжности (фиг. 1) .
Окръжностите се наричат основи на цилиндъра, а отсечките, свързващи съответните точки от обиколките на окръжностите, се наричат образуващи на цилиндъра.
Тъй като паралелното преместване е движение, основите на цилиндъра са равни.
Тъй като по време на паралелна транслация равнината се трансформира в успоредна равнина (или в себе си), тогава основите на цилиндъра лежат в успоредни равнини.
Тъй като по време на паралелна транслация точките се изместват по успоредни (или съвпадащи) прави на същото разстояние, тогава генераторите на цилиндъра са успоредни и равни.
Повърхността на цилиндъра се състои от основа и странична повърхност. Страничната повърхност е съставена от образуващи.
Цилиндърът се нарича прав, ако неговите генератори са перпендикулярни на равнините на основите.
Правият цилиндър може да се представи нагледно като геометрично тяло, което описва правоъгълник, когато се върти около страната му като ос (фиг. 2).
ориз. 2 − Прав цилиндър
По-нататък ще разгледаме само правия цилиндър, като за краткост ще го наречем просто цилиндър.
Радиусът на цилиндър е радиусът на неговата основа. Височината на цилиндъра е разстоянието между равнините на неговите основи. Оста на цилиндъра е права линия, минаваща през центровете на основите. Той е успореден на генераторите.
Цилиндърът се нарича равностранен, ако височината му е равна на диаметъра на основата.
Ако основите на цилиндъра са плоски (и следователно равнините, които ги съдържат, са успоредни), тогава се казва, че цилиндърът стои върху равнина. Ако основите на цилиндър, стоящ върху равнина, са перпендикулярни на генератора, тогава цилиндърът се нарича прав.
По-специално, ако основата на цилиндър, стоящ върху равнина, е кръг, тогава говорим за кръгов (кръгъл) цилиндър; ако е елипса, значи е елипсовидна.
1. 3. Сечения на цилиндъра
Напречното сечение на цилиндър с равнина, успоредна на оста му, е правоъгълник (фиг. 3, а). Двете му страни са образуващите на цилиндъра, а другите две са успоредни хорди на основите.
а) 
б)
V) G)
ориз. 3 – Секции на цилиндъра
По-специално, правоъгълникът е аксиалното сечение. Това е сечение на цилиндър с равнина, минаваща през неговата ос (фиг. 3, b).
Напречното сечение на цилиндър с равнина, успоредна на основата, е кръг (Фигура 3, c).
Напречното сечение на цилиндър с равнина, която не е успоредна на основата, а оста му е овал (фиг. 3d).
Теорема 1. Равнина, успоредна на равнината на основата на цилиндъра, пресича неговата странична повърхност по окръжност, равна на обиколката на основата.
Доказателство. Нека β е равнина, успоредна на равнината на основата на цилиндъра. Паралелно преместване в посока на оста на цилиндъра, съчетаващо равнината β с равнината на основата на цилиндъра, комбинира сечението на страничната повърхност с равнина β с обиколката на основата. Теоремата е доказана.
Страничната повърхност на цилиндъра.
Площта на страничната повърхност на цилиндъра се приема за границата, към която се стреми площта на страничната повърхност на правилна призма, вписана в цилиндъра, когато броят на страните на основата на тази призма се увеличава неограничено.
Теорема 2. Площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на произведението на обиколката на основата му и височината (S side.c = 2πRH, където R е радиусът на основата на цилиндъра, H е височината на цилиндъра).
а) 
б) 
ориз. 4 − Площ на страничната повърхност на цилиндъра
Доказателство.
Нека P n и H са съответно периметърът на основата и височината на правилна n-ъгълна призма, вписана в цилиндъра (фиг. 4, а). Тогава площта на страничната повърхност на тази призма е S страна.c − P n H. Да приемем, че броят на страните на многоъгълника, вписан в основата, нараства неограничено (фиг. 4, b). Тогава периметърът P n клони към обиколката C = 2πR, където R е радиусът на основата на цилиндъра, а височината H не се променя. По този начин площта на страничната повърхност на призмата клони към границата на 2πRH, т.е. площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на S страна.c = 2πRH. Теоремата е доказана.
Общата повърхност на цилиндъра.
Общата повърхност на цилиндъра е сумата от площите на страничната повърхност и двете основи. Площта на всяка основа на цилиндъра е равна на πR 2, следователно площта на общата повърхност на цилиндъра S общо се изчислява по формулата S страна.c = 2πRH+ 2πR 2.
|
|
|
|
|
|
|
|
ориз. 5 − Обща повърхност на цилиндъра
Ако страничната повърхност на цилиндъра се разреже по протежение на генератора FT (фиг. 5, а) и се разгъне така, че всички генератори да са в една и съща равнина, тогава в резултат получаваме правоъгълник FTT1F1, който се нарича развитие на страничната повърхност на цилиндъра. Страната FF1 на правоъгълника е развитието на окръжността на основата на цилиндъра, следователно FF1 = 2πR, а неговата страна FT е равна на образуващата на цилиндъра, т.е. FT = H (фиг. 5, b). По този начин площта FT∙FF1=2πRH на развитието на цилиндъра е равна на площта на неговата странична повърхност.
1.5. Обем на цилиндъра
Ако геометричното тяло е просто, т.е. може да бъде разделено на краен брой триъгълни пирамиди, тогава неговият обем е равен на сумата от обемите на тези пирамиди. За произволно тяло обемът се определя по следния начин.
Дадено тяло има обем V, ако има прости тела, които го съдържат, и прости тела, съдържащи се в него, с обеми, които са толкова малко различни от V, колкото желаете.
Нека приложим това определение за намиране на обема на цилиндър с радиус на основата R и височина H.
При извеждането на формулата за площта на кръг са конструирани два n-ъгълника (единият съдържа кръга, другият се съдържа в кръга), така че техните области, с неограничено увеличение на n, се доближават до площта на кръгът без ограничение. Нека построим такива многоъгълници за кръга в основата на цилиндъра. Нека P е многоъгълник, съдържащ окръжност, а P" е многоъгълник, съдържащ се в окръжност (фиг. 6).
ориз. 7 − Цилиндър с описана и вписана в него призма
Нека построим две прави призми с основи P и P" и височина H, равна на височината на цилиндъра. Първата призма съдържа цилиндър, а втората призма се съдържа в цилиндър. Тъй като при неограничено увеличение на n, площите на основите на призмите неограничено се приближават до площта на основата на цилиндъра S, тогава техните обеми се приближават до SH за неопределено време
V = SH = πR 2 H.
И така, обемът на цилиндъра е равен на произведението на площта на основата и височината.
Задача 1.
Аксиалното сечение на цилиндъра е квадрат с площ Q.
Намерете площта на основата на цилиндъра.
Дадено е: цилиндър, квадрат - аксиално сечение на цилиндъра, S квадрат = Q.
Намерете: S главен цилиндър
Страната на квадрата е . Той е равен на диаметъра на основата. Следователно площта на основата е 
.
Отговор: S главен цилиндър.
=
Задача 2.
В цилиндър е вписана правилна шестоъгълна призма. Намерете ъгъла между диагонала на страничната му страна и оста на цилиндъра, ако радиусът на основата е равен на височината на цилиндъра.
Дадени са: цилиндър, правилна шестоъгълна призма, вписана в цилиндъра, радиус на основата = височина на цилиндъра.
Решение: Страничните стени на призмата са квадрати, тъй като страната на правилен шестоъгълник, вписан в окръжност, е равна на радиуса.
Ръбовете на призмата са успоредни на оста на цилиндъра, така че ъгълът между диагонала на лицето и оста на цилиндъра е равен на ъгъла между диагонала и страничния ръб. И този ъгъл е 45°, тъй като лицата са квадрати.
Отговор: ъгълът между диагонала на страничната му страна и оста на цилиндъра = 45°.
Задача 3.
Височината на цилиндъра е 6 cm, радиусът на основата е 5 cm.
Намерете площта на сечение, начертано успоредно на оста на цилиндъра на разстояние 4 cm от него.
Дадено: H = 6cm, R = 5cm, OE = 4cm.
Намерете: S сек.
S сек. = KM × KS,
OE = 4 см, KS = 6 см.
Триъгълник OKM - равнобедрен (OK = OM = R = 5 cm),
триъгълник OEK е правоъгълен триъгълник.
От триъгълника OEK, според Питагоровата теорема:
KM = 2EK = 2×3 = 6,
S сек. = 6×6 = 36 cm 2.
Целта на това есе е изпълнена; разгледано е геометрично тяло като цилиндър.
Разглеждат се следните задачи:
− дадено е определение за цилиндър;
− разглеждат се елементите на цилиндъра;
− изследвани са свойствата на цилиндъра;
− разглеждат се видовете цилиндрови сечения;
− извежда се формулата за площта на цилиндър;
− изведена е формулата за обем на цилиндър;
− решени задачи с помощта на цилиндър.
1. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник за 10 – 11 клас на учебните заведения, 1995 г.
2. Бескин Л.Н. Стереометрия. Ръководство за учители в средното училище, 1999 г.
3. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Киселева Л. С., Позняк Е. Г. Геометрия: Учебник за 10 - 11 клас на учебните заведения, 2000 г.
4. Александров A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Геометрия: учебник за 10-11 клас в общообразователните институции, 1998 г.
5. Киселев А. П., Рибкин Н. А. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 клас: Учебник и проблемна книга, 2000.
Площта на всяка основа на цилиндъра е π r 2, площта на двете основи ще бъде 2π r 2 (фиг.).Площта на страничната повърхност на цилиндър е равна на площта на правоъгълник, чиято основа е 2π r, а височината е равна на височината на цилиндъра ч, т.е. 2π rh.
Общата повърхност на цилиндъра ще бъде: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ ч).
Площта на страничната повърхност на цилиндъра се приема за зона за почистваненеговата странична повърхност.
Следователно площта на страничната повърхност на десен кръгъл цилиндър е равна на площта на съответния правоъгълник (фиг.) И се изчислява по формулата
S пр.н.е. = 2πRH, (1)
Ако добавим площта на двете му основи към площта на страничната повърхност на цилиндъра, получаваме общата повърхност на цилиндъра
S пълен =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).
Обем на прав цилиндър
Теорема. Обемът на прав цилиндър е равен на произведението от площта на основата му и височината му , т.е.където Q е площта на основата, а H е височината на цилиндъра.
Тъй като площта на основата на цилиндъра е Q, тогава има последователности от описани и вписани многоъгълници с области Q пи Q' птакова, че
\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) В п= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ п= Q.
Нека построим последователност от призми, чиито основи са описаните и вписани многоъгълници, разгледани по-горе, а страничните ръбове са успоредни на образуващата на дадения цилиндър и имат дължина H. Тези призми са описани и вписани за дадения цилиндър. Техните обеми се намират по формулите
V п= Q п H и V' п= Q' пз.
следователно
V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q п H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ п H = QH.
Последица.
Обемът на прав кръгов цилиндър се изчислява по формулата
V = π R 2 H
където R е радиусът на основата, а H е височината на цилиндъра.
Тъй като основата на кръгъл цилиндър е кръг с радиус R, тогава Q = π R 2 и следователно
Цилиндърът (кръгъл цилиндър) е тяло, което се състои от два кръга, комбинирани чрез паралелна транслация, и всички сегменти, свързващи съответните точки на тези кръгове. Окръжностите се наричат основи на цилиндъра, а отсечките, свързващи съответните точки от обиколките на окръжностите, се наричат образуващи на цилиндъра.
Основите на цилиндъра са равни и лежат в успоредни равнини, а образуващите на цилиндъра са успоредни и равни. Повърхността на цилиндъра се състои от основа и странична повърхност. Страничната повърхност е изградена от образуващи.
Цилиндърът се нарича прав, ако неговите генератори са перпендикулярни на равнините на основата. Цилиндърът може да се разглежда като тяло, получено чрез въртене на правоъгълник около една от страните му като ос. Има и други видове цилиндри - елиптични, хиперболични, параболични. Призмата също се счита за вид цилиндър.
Фигура 2 показва наклонен цилиндър. Окръжности с центрове O и O 1 са неговите основи.
Радиусът на цилиндър е радиусът на неговата основа. Височината на цилиндъра е разстоянието между равнините на основите. Оста на цилиндъра е права линия, минаваща през центровете на основите. Той е успореден на генераторите. Напречното сечение на цилиндър с равнина, минаваща през оста на цилиндъра, се нарича аксиално сечение. Равнината, минаваща през генератора на прав цилиндър и перпендикулярна на аксиалното сечение, начертано през този генератор, се нарича допирателна равнина на цилиндъра.
Равнина, перпендикулярна на оста на цилиндъра, пресича страничната му повърхност по окръжност, равна на обиколката на основата.
Призма, вписана в цилиндър, е призма, чиито основи са равни многоъгълници, вписани в основите на цилиндъра. Неговите странични ребра образуват цилиндъра. Казва се, че призма е описана около цилиндър, ако нейните основи са равни многоъгълници, описани около основите на цилиндъра. Равнините на лицата му докосват страничната повърхност на цилиндъра.
Площта на страничната повърхност на цилиндъра може да се изчисли чрез умножаване на дължината на генератора по периметъра на сечението на цилиндъра с равнина, перпендикулярна на генератора.
Площта на страничната повърхност на прав цилиндър може да се намери чрез неговото развитие. Развитието на цилиндър е правоъгълник с височина h и дължина P, която е равна на периметъра на основата. Следователно площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на площта на неговото развитие и се изчислява по формулата:
По-специално, за прав кръгъл цилиндър:
P = 2πR и S b = 2πRh.
Общата повърхност на цилиндъра е равна на сумата от площите на неговата странична повърхност и неговите основи.
За прав кръгъл цилиндър:
S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)
Има две формули за намиране на обема на наклонен цилиндър.
Можете да намерите обема, като умножите дължината на генератора по площта на напречното сечение на цилиндъра с равнина, перпендикулярна на генератора.
Обемът на наклонен цилиндър е равен на произведението на площта на основата и височината (разстоянието между равнините, в които лежат основите):
V = Sh = S l sin α,
където l е дължината на образуващата, а α е ъгълът между образуващата и равнината на основата. За прав цилиндър h = l.
Формулата за намиране на обема на кръгъл цилиндър е следната:
V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,
където d е диаметърът на основата.
blog.site, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към първоизточника.