Добре знаете, че в зависимост от формата на траекторията движението се дели на праволинейнаИ криволинейна. Научихме как да работим с праволинейно движение в предишните уроци, а именно да решим основната задача на механиката за този тип движение.
Ясно е обаче, че в реалния свят най-често имаме работа с криволинейно движение, когато траекторията е крива линия. Примери за такова движение са траекторията на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, движението на Земята около Слънцето и дори траекторията на движението на вашите очи, които сега следват тази бележка.
Този урок ще бъде посветен на въпроса как се решава основният проблем на механиката в случай на криволинейно движение.
Като начало, нека да определим какви фундаментални разлики съществуват в криволинейното движение (фиг. 1) спрямо праволинейното движение и до какво водят тези разлики.
Ориз. 1. Траектория на криволинейно движение
Нека да поговорим за това как е удобно да се опише движението на тялото по време на криволинейно движение.
Движението може да бъде разделено на отделни участъци, във всеки от които движението може да се счита за праволинейно (фиг. 2).
Ориз. 2. Разделяне на криволинейното движение на участъци от праволинейно движение
Следният подход обаче е по-удобен. Ще си представим това движение като комбинация от няколко движения по кръгови дъги (фиг. 3). Моля, имайте предвид, че има по-малко такива дялове, отколкото в предишния случай, освен това движението по кръга е криволинейно. Освен това в природата много често се срещат примери за движение в кръг. От това можем да заключим:
За да опишете криволинейно движение, трябва да се научите да описвате движение в кръг и след това да представите произволно движение под формата на набори от движения по кръгови дъги.
Ориз. 3. Разделяне на криволинейното движение на движение по кръгови дъги
И така, нека започнем изучаването на криволинейното движение, като изучаваме равномерното движение в кръг. Нека да разберем какви са основните разлики между криволинейното и праволинейното движение. Като начало нека си припомним, че в девети клас изучавахме факта, че скоростта на тялото при движение в кръг е насочена по допирателна към траекторията (фиг. 4). Между другото, можете да наблюдавате този факт експериментално, ако наблюдавате как се движат искри, когато използвате камък за заточване.
Да разгледаме движението на тяло по дъга от окръжност (фиг. 5).
Ориз. 5. Скорост на тялото при движение в кръг
Моля, обърнете внимание, че в този случай модулът на скоростта на тялото в точка е равен на модула на скоростта на тялото в точката:
Обаче векторът не е равен на вектор. И така, имаме вектор на разликата в скоростта (фиг. 6):
Ориз. 6. Вектор на разликата в скоростите
Освен това промяната в скоростта настъпи след известно време. Така получаваме познатата комбинация:
Това не е нищо повече от промяна в скоростта за определен период от време или ускорение на тялото. Може да се направи един много важен извод:
Движението по крива пътека се ускорява. Природата на това ускорение е непрекъсната промяна в посоката на вектора на скоростта.
Нека отбележим още веднъж, че дори да се каже, че тялото се движи равномерно в кръг, това означава, че модулът на скоростта на тялото не се променя. Такова движение обаче винаги се ускорява, тъй като посоката на скоростта се променя.
В девети клас сте учили на какво е равно това ускорение и как е насочено (фиг. 7). Центростремителното ускорение винаги е насочено към центъра на окръжността, по която се движи тялото.
Ориз. 7. Центростремително ускорение
Модулът на центростремителното ускорение може да се изчисли по формулата:
Нека преминем към описанието на равномерното движение на тяло в окръжност. Нека се съгласим, че скоростта, която сте използвали, докато описвате постъпателното движение, сега ще се нарича линейна скорост. А под линейна скорост ще разбираме моментната скорост в точката на траекторията на въртящо се тяло.
Ориз. 8. Движение на дискови точки
Помислете за диск, който се върти по часовниковата стрелка за определеност. На радиуса му отбелязваме две точки и (фиг. 8). Нека разгледаме тяхното движение. С течение на времето тези точки ще се преместят по дъгите на окръжността и ще станат точки и. Очевидно е, че точката се е преместила повече от точката. От това можем да заключим, че колкото по-далеч е една точка от оста на въртене, толкова по-голяма е линейната скорост, която се движи
Въпреки това, ако се вгледате внимателно в точките и , можем да кажем, че ъгълът, под който те се обърнаха спрямо оста на въртене, остана непроменен. Именно ъгловите характеристики ще използваме, за да опишем движението в кръг. Обърнете внимание, че за да опишем кръгово движение, можем да използваме ъгълхарактеристики.
Нека започнем да разглеждаме движението в кръг с най-простия случай - равномерно движение в кръг. Нека припомним, че равномерното постъпателно движение е движение, при което тялото извършва равни движения за всякакви равни периоди от време. По аналогия можем да дадем определението за равномерно движение в окръжност.
Равномерното кръгово движение е движение, при което тялото се върти на равни ъгли за всякакви равни интервали от време.
Подобно на концепцията за линейна скорост се въвежда концепцията за ъглова скорост.
Ъглова скорост на равномерно движение (е физическа величина, равна на съотношението на ъгъла, на който тялото се е завъртяло, към времето, през което е извършено това завъртане.
Във физиката най-често се използва мярката за ъгъл в радиан. Например ъгъл b е равен на радиани. Ъгловата скорост се измерва в радиани в секунда:
Нека намерим връзката между ъгловата скорост на въртене на точка и линейната скорост на тази точка.
Ориз. 9. Връзка между ъглова и линейна скорост
При въртене точка преминава през дъга с дължина , завъртаща се под ъгъл . От дефиницията на радианова мярка на ъгъл можем да запишем:
Нека разделим лявата и дясната страна на равенството на периода от време, през който е извършено движението, след което използваме определението за ъглови и линейни скорости:
Моля, обърнете внимание, че колкото по-далеч е дадена точка от оста на въртене, толкова по-висока е нейната линейна скорост. А точките, разположени на самата ос на въртене, са неподвижни. Пример за това е въртележката: колкото по-близо сте до центъра на въртележката, толкова по-лесно ви е да останете върху нея.
Тази зависимост на линейните и ъгловите скорости се използва в геостационарните спътници (сателити, които винаги се намират над една и съща точка на земната повърхност). Благодарение на такива сателити ние можем да приемаме телевизионни сигнали.
Нека си припомним, че по-рано въведохме понятията период и честота на въртене.
Периодът на въртене е времето на един пълен оборот.Периодът на въртене се обозначава с буква и се измерва в SI секунди:
Честотата на въртене е физическа величина, равна на броя обороти, които тялото прави за единица време.
Честотата се обозначава с буква и се измерва в реципрочни секунди:
Те са свързани с отношението:
Съществува връзка между ъгловата скорост и честотата на въртене на тялото. Ако си спомним, че пълен оборот е равен на , лесно се вижда, че ъгловата скорост е:
Замествайки тези изрази във връзката между ъгловата и линейната скорост, можем да получим зависимостта на линейната скорост от периода или честотата:
Нека запишем също връзката между центростремителното ускорение и тези величини:
По този начин ние знаем връзката между всички характеристики на равномерното кръгово движение.
Нека да обобщим. В този урок започнахме да описваме криволинейно движение. Разбрахме как можем да свържем криволинейното движение с кръговото движение. Кръговото движение винаги е ускорено, а наличието на ускорение определя факта, че скоростта винаги променя посоката си. Това ускорение се нарича центростремително. Накрая си спомнихме някои характеристики на кръговото движение (линейна скорост, ъглова скорост, период и честота на въртене) и намерихме връзките между тях.
Библиография
- Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Соцки. Физика 10. - М.: Образование, 2008.
- А.П. Римкевич. Физика. Проблемник 10-11. - М .: Дропла, 2006.
- О.Я. Савченко. Проблеми по физика. - М.: Наука, 1988.
- А.В. Перишкин, В.В. Крауклис. Курс по физика. Т. 1. - М.: Държава. учител изд. мин. образование на РСФСР, 1957г.
- Аyp.ru ().
- Уикипедия ().
Домашна работа
След като решите задачите за този урок, ще можете да се подготвите за въпроси 1 от държавния изпит и въпроси A1, A2 от Единния държавен изпит.
- Задачи 92, 94, 98, 106, 110 - сб. проблеми A.P. Римкевич, изд. 10
- Изчислете ъгловата скорост на минутната, секундната и часовата стрелка на часовника. Изчислете центростремителното ускорение, действащо върху върховете на тези стрелки, ако радиусът на всяка от тях е един метър.
4.1. Кръгово движение с постоянна скорост.
Кръговото движение е най-простият тип криволинейно движение.
4.1.1. Криволинейното движение е движение, чиято траектория е крива линия.
За кръгово движение с постоянна скорост:
1) траектория на движение - кръг;
2) векторът на скоростта е насочен тангенциално към окръжността;
3) векторът на скоростта постоянно променя посоката си;
4) ускорението, наречено центростремително (или нормално) ускорение, е отговорно за промяната на посоката на скоростта;
5) центростремителното ускорение променя само посоката на вектора на скоростта, докато модулът на скоростта остава непроменен;
6) центростремителното ускорение е насочено към центъра на окръжността, по която се извършва движението (центростремителното ускорение винаги е перпендикулярно на вектора на скоростта).
4.1.2. Месечен цикъл ( T) е времето за един пълен оборот около кръга.
Това е постоянна величина, тъй като обиколката е постоянна и скоростта на движение е постоянна.
4.1.3 Честота - броят на пълните обороти за 1 s.
По същество честотата отговаря на въпроса: колко бързо се върти тялото?
4.1.4. Линейна скорост - показва колко разстояние изминава тялото за 1 s (това е същата скорост, обсъждана в предишни теми)
Където Р- радиус на окръжността.
4.1.5. Ъгловата скорост показва ъгъла, под който тялото се завърта за 1 s.
където е ъгълът, под който тялото се е обърнало през времето
4.1.6. Центростремително ускорение
Нека си припомним, че центростремителното ускорение е отговорно само за въртенето на вектора на скоростта. Освен това, тъй като скоростта е постоянна, стойността на ускорението също е постоянна.
4.1.7. Закон за ъгъла на завъртане
Това е пълен аналог на закона за движение с постоянна скорост:
Ролята на координатите хъгълът играе ролята на начална координата, скоростта играе - ъглова скорост И трябва да работите с формулата по същия начин, както преди работихте с формулата за закона за равномерното движение.
4.2. Кръгово движение с постоянно ускорение.
4.2.1. Тангенциално ускорение
Центростремителното ускорение е отговорно за промяната на посоката на вектора на скоростта, но ако се променя и модулът на скоростта, тогава е необходимо да въведете стойността, отговорна за това - тангенциално ускорение
От формата на формулата става ясно, че това е обичайното ускорение, което беше споменато по-рано. Ако тогава са валидни формулите за равномерно ускорено движение:
Където С- пътят, изминат от тялото около окръжност.
Така че, нека подчертаем още веднъж, той е отговорен за промяната на скоростния модул.
4.2.2. Ъглово ускорение
Въведохме аналог на скоростта за движение в кръг - ъглова скорост. Ще бъде естествено да се въведе аналог на ускорението - ъглово ускорение
Ъгловото ускорение е свързано с тангенциалното ускорение:
От формулата става ясно, че ако тангенциалното ускорение е постоянно, тогава и ъгловото ускорение ще бъде постоянно. Тогава можем да напишем:
Формулата е пълен аналог на закона за равномерно редуващо се движение, така че вече знаем как да работим с тази формула.
4.2.3. Пълно ускорение
Центростремителното (или нормалното) и тангенциалното ускорение не са независими. Всъщност това са проекции на общото ускорение върху нормалната (насочена по радиуса на окръжността, тоест перпендикулярна на скоростта) и тангенциална (насочена допирателна към окръжността в посоката, където е насочен векторът на скоростта) оси. Ето защо
Нормалните и тангенциалните оси винаги са перпендикулярни, следователно модулът на абсолютното ускорение абсолютно винаги може да се намери с помощта на формулата:
4.4. Движение по крива пътека.
Кръговото движение е специален вид криволинейно движение. В общия случай, когато траекторията е произволна крива (виж фигурата), цялата траектория може да бъде разделена на участъци: ABИ DE- прави участъци, за които са валидни всички формули за движение по права линия; и за всеки участък, който не може да се разглежда като права линия, ние изграждаме допирателна окръжност (окръжност, която докосва траекторията само в тази точка) - в точки ° СИ д. Радиусът на допирателната окръжност се нарича радиус на кривината. Във всяка точка от траекторията радиусът на кривината има своя собствена стойност.
Формула за намиране на радиуса на кривината:
където е нормалното ускорение в дадена точка (проекцията на пълното ускорение върху оста, перпендикулярна на вектора на скоростта).
Тъй като линейната скорост равномерно променя посоката, кръговото движение не може да се нарече равномерно, то е равномерно ускорено.
Ъглова скорост
Нека изберем точка от окръжността 1 . Нека изградим радиус. За единица време точката ще се премести в точка 2 . В този случай радиусът описва ъгъла. Ъгловата скорост е числено равна на ъгъла на завъртане на радиуса за единица време.
Период и честота
Период на въртене T- това е времето, през което тялото прави един оборот.
Честотата на въртене е броят на оборотите в секунда.
Честотата и периодът са взаимосвързани чрез връзката
Връзка с ъгловата скорост
Линейна скорост
Всяка точка от кръга се движи с определена скорост. Тази скорост се нарича линейна. Посоката на вектора на линейната скорост винаги съвпада с допирателната към окръжността.Например, искри изпод шлифовъчна машина се движат, повтаряйки посоката на моментната скорост.
Помислете за точка от окръжност, която прави едно завъртане, изразходваното време е периодът T. Пътят, който една точка изминава, е обиколката.
Центростремително ускорение
При движение в кръг векторът на ускорението винаги е перпендикулярен на вектора на скоростта, насочен към центъра на кръга.
Използвайки предишните формули, можем да изведем следните зависимости
Точките, лежащи на една и съща права линия, излизаща от центъра на кръга (например, това могат да бъдат точки, които лежат върху спиците на колело), ще имат еднакви ъглови скорости, период и честота. Тоест те ще се въртят по същия начин, но с различни линейни скорости. Колкото по-далеч е една точка от центъра, толкова по-бързо ще се движи.
Законът за събиране на скоростите е валиден и за въртеливото движение. Ако движението на тяло или референтна система не е равномерно, тогава законът се прилага за моментните скорости. Например, скоростта на човек, който върви по ръба на въртяща се въртележка, е равна на векторната сума на линейната скорост на въртене на ръба на въртележката и скоростта на човека.
Земята участва в две основни въртеливи движения: денонощно (около оста си) и орбитално (около Слънцето). Периодът на въртене на Земята около Слънцето е 1 година или 365 дни. Земята се върти около оста си от запад на изток, периодът на това въртене е 1 ден или 24 часа. Географската ширина е ъгълът между равнината на екватора и посоката от центъра на Земята към точка на нейната повърхност.
Според втория закон на Нютон причината за всяко ускорение е силата. Ако движещо се тяло изпитва центростремително ускорение, тогава природата на силите, които причиняват това ускорение, може да бъде различна. Например, ако едно тяло се движи в кръг по въже, вързано за него, тогава действащата сила е еластичната сила.
Ако тяло, лежащо върху диск, се върти с диска около оста си, тогава такава сила е силата на триене. Ако силата спре своето действие, тогава тялото ще продължи да се движи по права линия
Помислете за движението на точка по окръжност от A до B. Линейната скорост е равна на vAИ v Бсъответно. Ускорението е промяната на скоростта за единица време. Нека намерим разликата между векторите.
Движение на тяло по окръжност с постоянна абсолютна скорост- това е движение, при което тялото описва еднакви дъги през всякакви равни интервали от време.
Определя се позицията на тялото върху кръга радиус вектор\(~\vec r\), изтеглен от центъра на кръга. Модулът на радиус вектора е равен на радиуса на окръжността Р(Фиг. 1).
През времето Δ Tтяло, движещо се от точка Аточно IN, прави изместване \(~\Delta \vec r\), равно на хордата AB, и изминава път, равен на дължината на дъгата л.
Радиус векторът се завърта на ъгъл Δ φ . Ъгълът се изразява в радиани.
Скоростта \(~\vec \upsilon\) на движение на тялото по траектория (окръжност) е насочена допирателно към траекторията. Нарича се линейна скорост. Модулът на линейната скорост е равен на отношението на дължината на кръговата дъга лкъм интервала от време Δ Tза които тази дъга е завършена:
\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)
Скаларна физическа величина, числено равна на съотношението на ъгъла на завъртане на радиус вектора към периода от време, през който е настъпило това завъртане, се нарича ъглова скорост:
\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)
Единицата SI за ъглова скорост е радиан за секунда (rad/s).
При равномерно движение в кръг ъгловата скорост и модулът на линейната скорост са постоянни величини: ω = const; υ = конст.
Позицията на тялото може да се определи, ако модулът на радиус вектора \(~\vec r\) и ъгълът φ , която съставя с оста вол(ъглова координата). Ако в началния момент от време T 0 = 0 ъглова координата е φ 0 , и по време Tто е равно φ , тогава ъгълът на завъртане Δ φ радиус вектор за време \(~\Delta t = t - t_0 = t\) е равен на \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). Тогава от последната формула, която можем да получим кинематично уравнение на движение на материална точка по окръжност:
\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)
Позволява ви да определите позицията на тялото по всяко време T. Като се има предвид, че \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\), получаваме\[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) \Дясна стрелка\]
\(~\upsilon = \omega R\) - формула за връзката между линейната и ъгловата скорост.
Времеви интервал Τ през който тялото прави един пълен оборот се нарича период на въртене:
\(~T = \frac(\Delta t)(N),\)
Където н- брой обороти, направени от тялото за време Δ T.
През времето Δ T = Τ тялото изминава пътя \(~l = 2 \pi R\). следователно
\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \\omega = \frac(2 \pi)(T) .\)
величина ν , обратната на периода, показваща колко оборота прави едно тяло за единица време, се нарича скорост на въртене:
\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)
следователно
\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \\omega = 2 \pi \nu .\)
Литература
Аксенович Л. А. Физика в средното училище: теория. Задачи. Тестове: Учебник. ползи за институции, осигуряващи общо образование. среда, образование / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракина, К. С. Фарино; Ед. К. С. Фарино. - Мн.: Адукация и вяхване, 2004. - С. 18-19.
Теми на кодификатора на Единния държавен изпит: движение в кръг с постоянна абсолютна скорост, центростремително ускорение.
Равномерно движение около кръг - Това е доста прост пример за движение с вектор на ускорение, който зависи от времето.
Нека точката се върти по окръжност с радиус . Скоростта на точката е постоянна по абсолютна стойност и равна на . Скоростта се нарича линейна скоростточки.
Период на обръщение - това е времето на една пълна революция. За периода имаме очевидна формула:
. (1)
Честота е реципрочната стойност на периода:
Честотата показва колко пълни оборота прави една точка в секунда. Честотата се измерва в rps (обороти в секунда).
Нека, например,. Това означава, че през времето точката прави един завършен
оборот Тогава честотата е равна на: r/s; в секунда върхът прави 10 пълни оборота.
Ъглова скорост.
Нека разгледаме равномерното въртене на точка в декартова координатна система. Нека поставим началото на координатите в центъра на окръжността (фиг. 1).
 |
| Ориз. 1. Равномерно движение в кръг |
Нека е началната позиция на точката; с други думи, в точката имаше координати. Оставете точката да се завърти под ъгъл и да заеме позиция.
Съотношението на ъгъла на въртене към времето се нарича ъглова скорост въртене на точки:
. (2)
Ъгълът обикновено се измерва в радиани, така че ъгловата скорост се измерва в rad/s. За време, равно на периода на въртене, точката се завърта на ъгъл. Ето защо
. (3)
Сравнявайки формули (1) и (3), получаваме връзката между линейната и ъгловата скорост:
. (4)
Закон за движението.
Нека сега намерим зависимостта на координатите на въртящата се точка от времето. Виждаме от фиг. 1 това
Но от формула (2) имаме: . следователно
. (5)
Формули (5) са решението на основната задача на механиката за равномерното движение на точка по окръжност.
Центростремително ускорение.
Сега се интересуваме от ускорението на точката на въртене. Може да се намери чрез диференциране на отношения (5) два пъти:
Като се вземат предвид формули (5) имаме:
(6)
Получените формули (6) могат да бъдат записани като едно векторно равенство:
(7)
където е радиус векторът на въртящата се точка.
Виждаме, че векторът на ускорението е насочен срещуположно на радиус вектора, т.е. към центъра на окръжността (виж фиг. 1). Следователно се нарича ускорението на точка, движеща се равномерно около окръжност центростремителен.
Освен това от формула (7) получаваме израз за модула на центростремителното ускорение:
(8)
Нека изразим ъгловата скорост от (4)
и го заместете в (8). Нека получим друга формула за центростремително ускорение.