1. Предавателни функции и честотни характеристики
Електрическа верига с всякаква сложност, имаща две двойки клеми за свързване към източник и приемник на електрическа енергия, се нарича в комуникационните технологии четириполюсник. Извикват се клемите, към които е свързан източникът вход, а клемите, към които е свързан приемника (товара) са изходни клеми (полюси).
Като цяло четириполюсникът е изобразен, както е показано на фиг. 1.1. Източник на електрическа енергия с комплексна ефективна стойност на напрежението и вътрешно съпротивление е свързан към входа на мрежата с четири клеми 1–1". Към изходните клеми 2–2" е свързан товар със съпротивление. Напрежение с комплексна ефективна стойност се прилага към входните клеми, а напрежение с комплексна ефективна стойност се прилага към изходните клеми. През входните клеми протича ток с комплексна ефективна стойност, а през изходните - ток с комплексна ефективна стойност. Обърнете внимание, че други мрежи с четири терминала могат да действат като източник и приемник на електрическа енергия.
На фиг. 1.1 се използват символични обозначения за напрежения и токове. Това означава, че анализът на електрическа верига се извършва за хармонична вибрация с определена честота. За дадено хармонично трептене може да се определи предавателна функция на натоварена мрежа с четири порта, което ще бъде съотношението на комплексната ефективна стойност на изходната електрическа величина към комплексната ефективна стойност на входната електрическа величина.
Ако входното влияние се счита за генераторно напрежение с комплексна ефективна стойност и реакцията на двутерминална мрежа към това влияние е напрежение с комплексна ефективна стойност или ток с комплексна ефективна стойност, тогава получаваме сложни предавателни функции от общ вид:
, (1.1)
. (1.2)
В частни случаи, когато посочените влияния са напрежението на входните клеми на четириполюсника или тока, протичащ през тези клеми, се получават следните четири вида предавателни функции:
– комплексен коефициент на пренос на напрежение (за активни двуизводни мрежи, например усилватели, се нарича усилване по напрежение);
– комплексен коефициент на пренос на ток (за активни вериги – усилване по ток);
– сложно преносно съпротивление;
– сложна трансферна проводимост.
Често се използва в теорията на веригата нормализирана или работеща предавателна функциячетириполюсник:
, (1.3)
което се получава чрез нормализиране на (1.1) с фактора .
Като всяка сложна величина н могат да бъдат представени в демонстративна форма:
, (1.4)
където е модулът на комплексната трансферна функция, а j е нейният аргумент.
Разгледайте сложната функция за пренос на напрежение
Заместване в (1.5) на обозначението на комплексните ефективни стойности
.
От сравнението на този израз с (1.4) става ясно, че
,
т.е. модулът на комплексната функция за предаване на напрежението (или комплексното усилване на напрежението) показва колко пъти се променя ефективната стойност (амплитудата) на хармоничното колебание на напрежението на изхода на веригата в сравнение със същата стойност на входа на веригата, и аргументът на тази функция определя фазовото изместване между хармоничните колебания на напрежението на входа и изхода.
По същия начин можете да намерите:
.
Всичко казано по-горе за коефициента на пренос на напрежение е вярно и за коефициента на пренос на ток.
Ако променим честотата на хармоничното трептене, тогава изразът (1.4) трябва да бъде записан във формата:
. (1.6)
Честотната функция се нарича амплитудно-честотна характеристика на веригата(AFC). Той показва какви промени прави веригата в амплитудите на хармоничните трептения при всяка честота.
Честотната функция се нарича фазово-честотната характеристика на веригата(FCHH). Съответно, тази характеристика показва какво фазово изместване придобива хармоничното трептене на всяка честота, докато се разпространява през веригата.
Комплексната трансферна функция може да бъде представена и в алгебрична форма:
където Re и Im означават реалната и имагинерната част на комплексното количество.
От теорията на комплексните величини е известно, че
Пример 1.1
Определете коефициента на предаване на напрежението, честотната характеристика и фазовата характеристика на веригата, показана на фиг. 1.2, А.
Съгласно (1.5) пишем
Нека намерим комплексната функция на изхода на веригата:
Замествайки във формулата за , получаваме сложна трансферна функция:
;
Чрез промяна на честотата w от 0 до Ґ можем да покажем графики на честотната характеристика и фазовата характеристика на веригата (фиг. 1.2, bИ V).
Честотната характеристика и фазовата характеристика на веригата могат да бъдат представени с една графика, ако начертаем зависимостта на комплексната трансферна функция от честотата w върху комплексната равнина. В този случай краят на вектора ще опише определена крива, която се нарича ходографсложна предавателна функция (фиг. 1.3).
Експертите често използват концепцията логаритмична амплитудно-честотна характеристика(LAH):
.
Стойности ДА СЕсе измерват в децибели (dB). В активни вериги, съдържащи усилватели, стойността ДА СЕсъщо наричан логаритмична печалба. За пасивни вериги, вместо коефициент на усилване, се въвежда концепцията отслабване на веригата:
, (1.7)
което също се измерва в децибели.
Пример 1.2
Известно е, че модулът на коефициента на предаване на напрежението на веригата приема следните стойности:
f= 0 kHz н(f) = 1
f= 1 kHz н(f) = 0,3
f= 2 kHz н(f) = 0,01
f= 4 kHz н(f) = 0,001
f= 8 kHz н(f) = 0,0001
Начертайте графика на отслабването на веригата.
Стойностите на затихване на веригата, изчислени с помощта на (1.7), са дадени в таблицата:
|
f, kHz |
|||||
|
А(f), dB |
График А(f) е показано на фиг. 1.4.
Ако вместо комплексните съпротивления на капацитета и индуктивността се занимаваме с операторните съпротивления на капацитета и индуктивността pL, тогава в израза, с който трябва да го замените Р.
Операторната трансферна функция на веригата може да бъде записана в общ вид като дробно-рационална функция с реални коефициенти:
или във формата
Където 
– нули; 
– полюси на предавателната функция; .
Замяна на оператора в (1.8) РНа jw, отново получаваме комплексната трансферна функция на веригата
,
където е честотната характеристика на веригата
Като се има предвид какво е ирационална функция, обикновено при анализиране и синтезиране на схеми се занимаваме с квадрата на честотната характеристика:
където коефициентите се получават чрез комбиниране на коефициентите при еднакви степени на променливата w.
Пример 1.3
Намерете коефициента на пренос на напрежението и квадрата на честотната характеристика на веригата, показана на фиг. 1,5, А.
Коефициентът на пренос на напрежението на тази верига е равен на
Където н = 1, 
, .
Корените на числителя на тази рационална дроб, т.е. нулите на трансферната функция,
.
Корените на знаменателя или полюсите на трансферната функция,
.
На фиг. 1,5, bпоказва местоположението на нулите и полюсите на функцията при 
.
По теоремата на Виета
.
Амплитудно-честотната характеристика се определя чрез замяна Рвърху и изчисляване на модула на получената функция
.
Квадратът на честотната характеристика ще бъде записан във формата
Където 
; 
;
.
Честотната характеристика на веригата е показана на фиг. 1,5, V.
Нека изброим основните свойства на операторските трансферни функции и квадратната честотна характеристика на пасивните вериги:
1. Предавателната функция е дробно-рационална функция с реални коефициенти. Съществеността на коефициентите се обяснява с факта, че те се определят от елементите на веригата.
2. Полюсите на предавателната функция са разположени в лявата полуравнина на комплексната променлива Р. Няма ограничения за местоположението на нулите. Нека докажем това свойство, като използваме трансферната функция като пример. Нека изберем действието за въвеждане или под формата на оператор. Изображението на изходното напрежение в този случай е числено равно, т.е.
където е полиномът на числителя на предавателната функция; 
– коефициенти на разлагане на дробна рационална функция в сбор от прости дроби.
Нека преминем от изображението към оригинала:
където в общия случай .
При пасивните и стабилни активни четириполюсници трептенията на изхода на четириполюсника след прекратяване на въздействието трябва да имат затихващ характер. Това означава, че в (1.13) реалните части на полюсите трябва да са отрицателни, т.е. полюсите трябва да са в лявата полуравнина на променливата Р.
3. Степените на полиномите на числителите на предавателната функция и квадрата на честотната характеристика не надвишават степените на полиномите на знаменателите, т.е. нЕ м. Ако това свойство не беше изпълнено, тогава при безкрайно високи честоти честотната характеристика би придобила безкрайно голяма стойност (тъй като числителят ще расте с увеличаване на честотата по-бързо от знаменателя), т.е. веригата ще има безкрайно усилване, което противоречи на физическия смисъл .
4. Квадратът на честотната характеристика е равномерна рационална функция на променливата w с реални коефициенти. Това свойство ясно следва от метода за получаване на квадрата на честотната характеристика от трансферната функция.
5. Квадратът на честотната характеристика не може да приема отрицателни и безкрайно големи стойности за w > 0. Неотрицателността следва от свойствата на квадратния модул на комплексна величина. Крайността на стойностите на честотната характеристика при реални честоти се обяснява по същия начин, както в свойство 3.
Повечето вериги на зависим източник имат поне два пътя на сигнала: прав (от вход към изход) и обратен (от изход към вход). Пътят на обратния сигнал се реализира с помощта на специална схема обратна връзка(ОПЕРАЦИОННА СИСТЕМА). Може да има няколко такива пътища и следователно схеми на ОС. Наличието на ОС в схеми със зависими източници им дава нови ценни качества, които схемите без ОС не притежават. Например, с помощта на OS вериги е възможно да се постигне температурна стабилизация на режима на работа на веригата, да се намалят нелинейните изкривявания, които възникват в схеми с нелинейни елементи и т.н.
Всяка верига за обратна връзка може да бъде представена като състояща се от две четиритерминални мрежи (фиг. 1.6).
Активна линейна двупортова мрежа с функция за пренос на напрежение е усилвател. Понякога се нарича основен елемент на веригата и се казва, че образува канала за директно усилване.
Пасивна четиритерминална мрежа с функция за пренос на напрежение се нарича верига за обратна връзка. На входа на веригата входното напрежение и напрежението на обратната връзка се сумират.
Нека изведем формулата за предавателната функция за напрежението на веригата, показана на фиг. 1.6. Нека се приложи напрежение към входа. Изображението му от камерата. На изхода на веригата се появява напрежение. Според фиг. 1.6 неговото изображение от камерата
Изображението на оператора може да бъде записано чрез трансферната функция на веригата за обратна връзка
Тогава израз (1.14) може да бъде пренаписан като
Функция за предаване на оператора за верига на напрежение с OS (виж фиг. 1.6).
. (1.16)
Пример 1.4
На фиг. Фигура 1.7 показва схема на операционен усилвател (OPA), предназначена за мащабиране на напрежението. Намерете предавателната функция на тази верига.
Нека получим предавателната функция на тази верига като верига за обратна връзка, използвайки формула (1.16).
Веригата за обратна връзка в диаграмата на фиг. 1.7 служи като L-образен делител на напрежение, съставен от резистори и. Изходното напрежение на усилвателя се подава към входа на OS веригата; OS напрежението се отстранява от резистора. Предавателна функция за напрежение на OS верига
Нека използваме формула (1.16) и вземем предвид, че входното напрежение и напрежението на обратната връзка не се сумират, а се изваждат. След това получаваме трансферната функция на мащабния усилвател:
.
Като се има предвид, че в реалните оп-усилватели стойността >> 1, накрая имаме:
Пример 1.5
Връзка на операционен усилвател с обратна връзка, зависима от честотата, е показана на фиг. 1.8. Намерете трансферната функция на тази връзка.
За да се анализира директният сигнален път и OS сигналният път, е необходимо да се използва методът на суперпозиция. За да направите това, трябва последователно да премахнете източниците на входно напрежение и напрежение за обратна връзка, като ги замените с вътрешно съпротивление. При идеалните източници на напрежение тяхното вътрешно съпротивление е нула. Напрежението, приложено към връзката, се отслабва от входната верига, която е L-образен делител на напрежение със съпротивления в рамената. Функцията за предаване на напрежението на такъв делител е равна на
Веригата за обратна връзка също е L-образна мрежа с четири порта с трансферна функция.
Усилване на операционния усилвател.
В съответствие с формула (1.16) получаваме функцията за предаване на връзката:
Като се има предвид, че >> 1, получаваме:
.
Тази връзка може да изпълнява различни функции в зависимост от вида на съпротивлението и. При и връзката се превръща в инвертиращ мащабен усилвател; при и – към интегратора; при и – в диференциатора.
Пример 1.6
Връзка от втори ред с регулируемо усилване е показана на фиг. 1.9, А. Намерете трансферната функция на тази връзка.
Анализът на преминаването на входния сигнал и сигнала в OS веригата показва, че връзката има входна верига, показана на фиг. 1.9, bи OS веригата, показана на фиг. 1.9, V. Предавателните функции на тези вериги могат да бъдат получени с помощта на матричния метод, например, като се разглежда всяка верига като каскадна връзка на съответните L-образни четириполюсници.
За входна верига
За OS схема
. (1.18)
Като вземем предвид (1.16), получаваме функцията за предаване на връзката
. (1.19)
Печалба на усилвател. Тогава, замествайки (1.17) и (1.18) в (1.19), след трансформацията имаме
.
Преминаване към (1.16) от оператора Ркъм оператора, получаваме сложна предавателна функция
. (1.20)
Продуктът е сложната предавателна функция на усилвателя и веригата за обратна връзка, при условие че обратната връзка е прекъсната (фиг. 1.10). Функцията се нарича OS loop transfer function или усилване на цикъла. Нека въведем понятията положителна и отрицателна обратна връзка. Тези концепции играят важна роля в теорията на веригите за обратна връзка.
Нека първо приемем, че трансферните функции , , не зависят от честотата и са реални числа. Тази ситуация е възможна, когато няма L.C.- елементи. Може да бъде или положително, или отрицателно число. В първия случай фазовото отместване между входното и изходното напрежение или, с други думи, фазовото отместване по обратната връзка е нула или . к= 0, 1, 2, ... Във втория случай, когато , фазовото отместване по този контур е равно на или .
Ако във верига с обратна връзка фазовото изместване по контура е нула, тогава се нарича обратна връзка положителен, ако фазовото изместване е равно на , тогава се нарича такава обратна връзка отрицателен.
Трансферната функция може да бъде представена като вектори и показана на комплексната равнина. При положителна обратна връзка векторът е върху положителната реална полуос, а при отрицателна обратна връзка - върху отрицателната реална полуос.
Кривата, която краят на вектора описва при промяна на честотата w (фиг. 1.11), както е известно, се нарича ходограф.
Представянето под формата на ходограф позволява да се определи вида на обратната връзка в случай на честотно зависима обратна връзка.
Нека въведем понятията стабилни и нестабилни вериги. Веригата се нарича устойчиви, ако свободните колебания клонят към нула с течение на времето. В противен случай веригата се нарича нестабилен. От теорията на преходните процеси следва, че веригата е стабилна, ако корените на характеристичното уравнение лежат в лявата полуравнина на комплексната променлива p. Ако корените на такова уравнение лежат в дясната полуравнина, тогава веригата е нестабилна, тоест тя е в режим на самовъзбуждане. По този начин, за да се определят условията за стабилност на веригата, е достатъчно да се намерят характеристичното уравнение и неговите корени. Както виждаме, условията на стабилност могат да бъдат определени без въвеждане на концепцията за обратна връзка. Тук обаче възникват редица проблеми. Факт е, че извличането на характеристичното уравнение и определянето на неговите корени е тромава процедура, особено за вериги от висок порядък. Въвеждането на концепцията за обратна връзка улеснява получаването на характеристичното уравнение или дори прави възможно да се направи без него. Също така е изключително важно концепцията за обратна връзка да е адекватна на физическите процеси, протичащи във веригата, така че те да станат по-ясни. Дълбокото разбиране на физическите процеси улеснява работата по създаването на автоосцилатори, усилватели и др.
Нека разгледаме веригата (виж Фиг. 1.6) и изведем нейното характеристично уравнение. Нека и, следователно, . Тогава от (1.15) следва:
. (1.22)
Ако запишем предавателната функция на главната верига във формата 
, а OS веригите са , тогава уравнение (1.22) ще бъде пренаписано, както следва:
Това равенство е в сила, когато
Изразът от лявата страна на това равенство е полином, следователно (1.23) може да се запише в общ вид:
Това е характерното уравнение на веригата.
Корените на уравнение (1.24) в общия случай са комплексни величини
Където 
. Познавайки корените на характеристичното уравнение, можем да напишем изходното напрежение:
Така че напрежението не нараства безкрайно, всички корени 
Характеристичното уравнение трябва да има отрицателни реални части, т.е. корените трябва да са разположени в лявата полуравнина на комплексната променлива. Верига с операционна система, която има такива свойства, се нарича абсолютно стабилна.
При изучаване на вериги със затворен контур могат да възникнат два проблема. Ако проектираната верига трябва да бъде стабилна, тогава е необходимо да има критерий, който въз основа на вида на функциите да позволи да се прецени липсата на корени на характеристичното уравнение в дясната полуравнина Р. Ако обратната връзка се използва за създаване на нестабилна самоосцилираща верига, тогава трябва да се уверите, че корените на уравнение (1.24) са разположени, напротив, в дясната полуравнина. В този случай е необходимо да има такова разположение на корените, при което самовъзбуждането ще се появи с необходимата честота.
Нека разгледаме критерий за стабилност на верига, наречен критерий на Найкуист, който ни позволява да преценим стабилността на верига с обратна връзка въз основа на свойствата на отворена верига (фиг. 1.10).
Трансферната функция на отворена верига или усилването на контура е включена в характеристичното уравнение (1.22):
, (1.26)
Ако има честота w, за която краят на вектора попада в точката с координати (1, й 0), тогава това ще означава, че условието (1.26) е изпълнено, т.е. във веригата ще възникне самовъзбуждане при тази честота. Това означава, че по ходографа може да се определи дали веригата е стабилна или не. За целта се използва критерият на Найкуист, който се формулира по следния начин: ако ходографът на предавателната функция на отворена верига не покрива точката с координати(1, й 0), тогава при затворена верига за обратна връзка веригата е стабилна.В случай, че ходографът покрива точката (1, j X 1 може да се запише под формата на две условия: в стационарен режим. ДА СЕ= 2, крива 1) и нестабилна ( ДА СЕ= 3, крива 2; ДА СЕ= 4, крива 3) на веригата.
Въпроси и задачи за самопроверка
1. Какво е сложна предавателна функция? Какви типове сложни предавателни функции на четириполюсна мрежа са известни?
2. Определете коефициента на предаване на напрежението, честотната характеристика и фазовата характеристика на веригата, показана на фиг. 1.2, А, ако изходното напрежение е напрежението на резистора Р. Постройте графики на честотната характеристика и фазовата характеристика.
Отговор: 
; 
; 90° – арктан w R.C..
3. Определете коефициента на пренос на напрежението при празен ход и коефициента на пренос на ток по време на късо съединение за U-образна четиритерминална мрежа, в която индуктивността е включена в надлъжния клон Л, а в напречните клонове - капацитет СЪС.
Отговор: 
.
4. Определете затихването, въведено от веригата Фиг. 1.2, А, при Р= 31,8 kOhm и = 10 kOhm.
Отговор: 12 dB.
5. Какво представлява функцията за прехвърляне на оператор? Как е свързано със сложната трансферна функция? Как да определим нулите и полюсите на операторната трансферна функция?
6. Определете операторската трансферна функция, комплексния коефициент на трансфер на напрежението, честотната характеристика и квадрата на честотната характеристика на серийния колебателен кръг, показан на фиг. 1,5, А, ако изходното напрежение е напрежението на кондензатора СЪС. Начертайте графика на честотната характеристика на веригата.
Отговор: 
;
.
7. Избройте основните свойства на операторните предавателни функции на пасивни вериги.
8. Как се изчислява предавателната функция на верига със затворен контур?
9. Докажете, че операторната предавателна функция на диференциатора на операционния усилвател е равна на (– pRC). Постройте графика на честотната характеристика на такъв диференциатор.
11. Определете предавателната функция на филтъра, показан на фиг. 1.13.
Отговор:
.
12. Какво представлява ходографът за усилване на контура? Как да определите вида на обратната връзка с помощта на ходограф?
13. Как се формулира критерият за стабилност на Найкуист? За какви вериги се използва?
14. Определете сложната предавателна функция на отворената верига, показана на фиг. 1.13. Изследвайте зависимостта на стабилността на веригата от стойността на усилването ДА СЕ.
Трансформацията на Лаплас на DE позволява да се въведе удобна концепция за трансферна функция, която характеризира динамичните свойства на системата.
Например операторното уравнение
3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)
може да се трансформира чрез изваждане на X(s) и Y(s) извън скоби и разделяне едно на друго:
Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)
Полученият израз се нарича трансферна функция.
Трансферна функция се нарича отношението на изображението на изходния ефект Y(s) към изображението на входа X(s) при нулеви начални условия.
(2.4)
Трансферната функция е дробна рационална функция на комплексна променлива:
,
където B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - числителен полином,
A(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n - полином на знаменателя.
Трансферната функция има ред, който се определя от реда на полинома на знаменателя (n).
От (2.4) следва, че изображението на изходния сигнал може да се намери като
Y(s) = W(s)*X(s).
Тъй като предавателната функция на системата напълно определя нейните динамични свойства, първоначалната задача за изчисляване на ASR се свежда до определяне на нейната трансферна функция.
Примери за типични връзки
Връзка на система е елемент от система, който има определени динамични свойства. Връзките на системите за управление могат да имат различно физическо естество (електрически, пневматични, механични и др. връзки), но се описват от едно и също дистанционно управление, а съотношението на входните и изходните сигнали в връзките се описва от същите трансферни функции .
В TAU се разграничава група от най-прости единици, които обикновено се наричат типични. Статичните и динамичните характеристики на типичните връзки са проучени доста пълно. Стандартните връзки се използват широко при определяне на динамичните характеристики на обектите за управление. Например, знаейки преходния отговор, конструиран с помощта на записващо устройство, често е възможно да се определи към какъв тип връзки принадлежи контролният обект и следователно неговата трансферна функция, диференциално уравнение и т.н., т.е. обектен модел. Типични връзки Всяка сложна връзка може да бъде представена като връзка от по-прости връзки.
Най-простите типични връзки включват:
· засилване,
· инерционни (апериодични от 1-ви ред),
интегриране (реално и идеално),
диференциране (реално и идеално),
· апериодичен 2-ри ред,
· колебателен,
· забавено.
1) Подсилваща връзка.
Връзката усилва входния сигнал с K пъти. Уравнението на връзката y = K*x, предавателна функция W(s) = K. Параметърът K се извиква печалба
.
Изходният сигнал на такава връзка точно повтаря входния сигнал, усилен с K пъти (виж Фигура 1.18).
С поетапно действие h(t) = K.
Примери за такива връзки са: механични трансмисии, сензори, безинерционни усилватели и др.
2) Интегриране.
2.1) Идеално интегриране.
Изходната стойност на идеалната интегрираща връзка е пропорционална на интеграла на входната стойност:
; W(s) =
Когато към входа се приложи стъпково действие x(t) = 1, изходният сигнал непрекъснато се увеличава (вижте Фигура 1.19):
Тази връзка е астатична, т.е. няма стабилно състояние.
Пример за такава връзка е контейнер, пълен с течност. Входният параметър е дебитът на входящата течност, изходният параметър е нивото. Първоначално контейнерът е празен и при липса на поток нивото е нула, но ако включите подаването на течност, нивото започва да се увеличава равномерно.
2.2) Истинско интегриране.
Трансферната функция на тази връзка има формата
Реакцията на прехода, за разлика от идеалната връзка, е крива (виж Фиг. 1.20):
h(t) = K. (t – T) + K . T. e - t / T .
Пример за интегрираща връзка е постояннотоков двигател с независимо възбуждане, ако захранващото напрежение на статора се приема като входен ефект, а ъгълът на въртене на ротора се приема като изходен ефект. Ако към двигателя не се подава напрежение, тогава роторът не се движи и ъгълът му на въртене може да се приеме равен на нула. Когато се приложи напрежение, роторът започва да се върти и неговият ъгъл на въртене е първо бавно поради инерцията, а след това се увеличава по-бързо, докато се достигне определена скорост на въртене.
3) Диференциране.
3.1) Идеален диференциатор.
Изходното количество е пропорционално на времевата производна на входа:
При стъпков входен сигнал изходният сигнал е импулс (d-функция): h(t) = K. d(t).
3.2) Реално диференциране.
Идеалните диференциращи връзки не са физически осъществими. Повечето обекти, които представляват диференциращи връзки, принадлежат към реални диференциращи връзки, чиито трансферни функции имат формата
Характеристика на прехода: .
Пример за връзка: електрически генератор. Входният параметър е ъгълът на въртене на ротора, изходният параметър е напрежението. Ако роторът се завърти под определен ъгъл, на клемите ще се появи напрежение, но ако роторът не се завърти повече, напрежението ще падне до нула. Не може да падне рязко поради наличието на индуктивност в намотката.
4) Апериодични (инерционни).
Тази връзка съответства на DE и PF на формата
; W(s) = .
Нека определим естеството на промяната в изходната стойност на тази връзка, когато стъпаловидно въздействие на стойността x 0 се прилага към входа.
Изображение на стъпков ефект: X(s) = . Тогава изображението на изходното количество е:
Y(s) = W(s) X(s) = = K x 0 .
Нека разделим дробта на прости:
= + = 
= - = -
Оригиналът на първата фракция според таблицата: L -1 ( ) = 1, втората:
Тогава най-накрая получаваме
y(t) = K x 0 (1 -).
Константата Т се нарича времева константа.
Повечето топлинни обекти са апериодични връзки. Например, когато се приложи напрежение към входа на електрическа пещ, температурата му ще се промени по подобен закон (виж Фигура 1.22).
5) Връзки от втори ред
Връзките са с дистанционно управление и PF на формата
,
W(s) = 
.
Когато към входа се приложи стъпков ефект с амплитуда x 0, кривата на прехода ще има един от двата вида: апериодична (при T 1 ³ 2T 2) или осцилаторна (при T 1< 2Т 2).
В тази връзка се разграничават връзки от втори ред:
· апериодичен 2-ри ред (T 1 ³ 2T 2),
· инерционен (T 1< 2Т 2),
· консервативен (T 1 = 0).
6) Забавено.
Ако, когато определен сигнал се приложи към входа на обект, той не реагира на този сигнал моментално, а след известно време, тогава се казва, че обектът има забавяне.
Закъснениее интервалът от време от момента на промяна на входния сигнал до началото на промяната на изхода.
Изоставаща връзка е връзка, в която изходната стойност y точно повтаря входната стойност x с известно забавяне t:
y(t) = x(t - t).
Функция за прехвърляне на връзка:
W(s) = e - t s.
Примери за закъснения: движението на течност по тръбопровода (колко течност е изпомпана в началото на тръбопровода, толкова много ще излезе в края, но след известно време, докато течността се движи през тръбата), движението на товара по конвейер (закъснението се определя от дължината на конвейера и скоростта на лентата) и др. .d.
Линк връзки
Тъй като изследваният обект, за да се опрости анализът на неговото функциониране, е разделен на връзки, тогава след определяне на функциите за прехвърляне за всяка връзка възниква задачата да ги комбинирате в една функция за прехвърляне на обекта. Видът на трансферната функция на обекта зависи от последователността на връзките на връзките:
1) Серийна връзка.
W оборот = W 1. W2. W 3...
Когато връзките са свързани последователно, техните прехвърлящи функции умножават се.
2) Паралелно свързване.
W оборот = W 1 + W 2 + W 3 + …
Когато връзките са свързани паралелно, техните трансферни функции свиеш.
3) Обратна връзка
Трансферна функция чрез справка (x):
„+“ съответства на отрицателна ОС,
"-" - положителен.
За определяне на трансферните функции на обекти с по-сложни връзки на връзки се използва или последователно разширяване на веригата, или те се преобразуват с помощта на формулата на Meson.
Трансферни функции на ASR
За изследване и изчисление структурната диаграма на ASR чрез еквивалентни трансформации се довежда до най-простата стандартна форма „обект - контролер“ (виж Фигура 1.27). Към такава стандартна структура се прилагат почти всички инженерни методи за изчисляване и определяне на настройките на регулаторите.
В общия случай всяка едномерна ASR с основна обратна връзка може да бъде доведена до тази форма чрез постепенно разширяване на връзките.
Ако изходът на системата y не се подава към нейния вход, тогава се получава система за управление с отворен цикъл, чиято трансферна функция се определя като произведението:
W ¥ = W p . W y
(W p - PF на регулатора, W y - PF на обекта за управление).
|
|
|
Тази предавателна функция Фз(s) определя зависимостта на y от x и се нарича предавателна функция на затворена система по канала на еталонното действие (по еталон).
За ASR има и функции за прехвърляне през други канали:
Ф e (s) = = - по погрешка,
Ф в (s) = = - чрез смущение,
където W (s) – предавателна функция на обекта на управление през канала за предаване на смущения.
По отношение на отчитането на смущението са възможни два варианта:
Смущението има адитивен ефект върху управляващото действие (виж Фигура 1.29a);
Смущението влияе върху измерванията на контролирания параметър (вижте Фигура 1.29b).
Пример за първия вариант може да бъде влиянието на колебанията на напрежението в мрежата върху напрежението, подадено от регулатора към нагревателния елемент на обекта. Пример за втория вариант: грешки при измерване на контролиран параметър поради промени в температурата на околната среда. W u.v. – модел на влиянието на околната среда върху измерванията.
Фигура 1.30
Параметри K0 = 1, K1 = 3, K2 = 1.5, K4 = 2, K5 = 0.5.
В блоковата схема на ASR връзките, съответстващи на управляващото устройство, стоят пред връзките на обекта на управление и генерират управляващо въздействие върху обекта u. Диаграмата показва, че веригата на регулатора включва връзки 1, 2 и 3, а веригата на обекта включва връзки 4 и 5.
Като се има предвид, че връзките 1, 2 и 3 са свързани паралелно, получаваме предавателната функция на контролера като сума от предавателните функции на връзките:
Връзки 4 и 5 са свързани последователно, следователно предавателната функция на контролния обект се определя като произведение на предавателните функции на връзките:
Функция за предаване на отворена верига:
от което става ясно, че числителят B(s) = 1,5. s 2 + 3 . s + 1, знаменател (също характерният полином на отворена система) A(s) = 2. s 3 + 3 . s 2 + s. Тогава характеристичният полином на затворената система е равен на:
D(s) = A(s) + B(s) = 2 . s 3 + 3 . s 2 + s + 1,5. s 2 + 3 . s + 1 = 2. s 3 + 4,5. s 2 + 4 . s+1.
Трансферни функции на затворена система:
по задание 
,
по погрешка 
.
При определяне на предавателната функция от смущение се взема W a.v. = Вие. Тогава
. ¨
Ще приемем, че протичащите в САК процеси се описват с линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти. По този начин ще се ограничим до разглеждане на линейни ACS с постоянни параметри, т.е. параметри, които не зависят нито от времето, нито от състоянието на системата.
Нека за динамична система (вижте фигурата)
диференциалното уравнение се записва в операторна форма
където D(P) и M(P) са полиноми в P.
P – оператор на диференциране;
x(t) – изходна координата на системата;
g(t) – входно влияние.
Нека преобразуваме (1) според Лаплас, като приемем нулеви начални условия.
Нека въведем нотацията
;
,
получаваме, като вземем предвид това
Използваме нотацията
, (5)
тогава уравнение (3) ще приеме формата:
. (6)
Уравнение (6) свързва изображението X(S) на изходната координата на системата с изображението G(S) на входното действие. функция Ф(S)характеризира динамичните свойства на системата. Както следва от (4) и (5), тази функция не зависи от въздействието, приложено върху системата, а зависи само от параметрите на системата. Като се вземе предвид (6) функцията F(С) може да се напише по следния начин
функция Ф(S)се нарича предавателна функция на системата. От (7) става ясно, че трансферната функция е отношението на образа на Лаплас на входната координата на системата към образа на Лаплас на входното действие при нулеви начални условия.
Познаване на предавателната функция на системата Ф(S)След като се определи изображението G(S) на влиянието g(t), приложено към системата, може да се намери от (6) изображението X(S) на изходната координата на системата x(t), след което, движейки се от изображение X(S) към оригиналния x(t), получавате процеса на промяна на изходната координата на система, когато към тази система е приложено входно влияние.
Полиномът в знаменателя на предавателната функция се нарича характерен полином, а уравнението
характеристично уравнение.
За система, описана от уравнение от n-ти ред, характеристичното уравнение е алгебрично уравнение от n-та степен и има n корена, S 1 S 2... S n, сред които може да има както реални, така и комплексно спрегнати.
Коренът на многочлена в знаменателя на предавателната функция се нарича полюси на тази предавателна функция, а в числителя - нули.
Нека представим полиномите във формата:
Следователно трансферната функция
. (11)
От това следва, че определянето на нули и полюси определя трансферната функция с точност до постоянен фактор 
.
В случай, че реалните части на всички полюси на предавателната функция са отрицателни, т.е.
, k=1,2…n, системата се нарича стабилна. При него преходният компонент на изходното количество (правилното движение) избледнява с времето.
Системни честотни характеристики
Преобразуване на хармоничен входен сигнал от линейна система
Предавателната функция на автоматичната система по отношение на управляващото действие g(t) е
(1)
Нека въздействието
g(t) = A 1 sin ω 1 t,
И се изисква да се определи промяната в X(t) в постоянен процес, т.е. Намерете конкретно решение на уравнение (1), обсъдено по-рано.
Обърнете внимание, че в резултат на прилагане на влияние в системата възниква преходен процес, който клони към 0 във времето, т.к. системата се приема за стабилна. Не го обмисляме. Такъв преход ни позволява да разглеждаме действието g(t), както е определено на цялата времева ос (началният момент на прилагане на управляващото действие към системата не се взема предвид) и да използваме предварително получения израз за спектралната характеристика на синусоидата .
За да определим x(t) в стационарно състояние, трансформираме двете страни на диференциалното уравнение (1) според Фурие. С това имаме предвид това
;
,
забележи това
предавателна функция, в която S 
Освен това
Тогава спектралната характеристика на принудените трептения на контролираното количество се определя от (3) във формата
В (4) функционалният множител Ф(jω)отчита промяната в спектралната характеристика, когато влиянието g(t) преминава през линейна динамична система.
Нека си представим сложна функция Ф(jω)в демонстративна форма
и намерете x(t), като използвате формулата за обратно преобразуване на Фурие:
използвайки филтриращите свойства на делта функцията и като вземем предвид (5), ще имаме
защото 
,,
(6)
От това следва, че в стационарно състояние реакцията x(t) на линейна автоматична система към синусоидални влияния също е синусоида. Ъгловите честоти на входния и изходния сигнал са еднакви. Амплитудата на изхода на системата е A 1 │ Ф(jω)│, а началната фаза е арг Ф(jω).
Ако входът на линейна система получава периодично влияние във формата
,
тогава, използвайки принципа на суперпозицията, който е валиден за линейна система, откриваме, че в този случай принудителното стабилно движение на системата
(7)
Освен това стойността на ω тук трябва да има дискретни стойности, т.е. приемаме ω=kω 1
Познавайки честотния спектър на входния сигнал, можете лесно да определите честотния спектър на сигнала на входа на системата. Ако, например, амплитудният честотен спектър A k на входния сигнал g(t) е известен, тогава амплитудният честотен спектър на изходния сигнал е A k │ Ф(jkω 1 ) │.
В разглежданите изрази функцията Ф(jω)характеризира динамичните свойства на самата автоматична система и не зависи от характера на въздействията, приложени към системата. Може лесно да се получи от трансферната функция чрез формално заместване на S с jω
функция Ф(jω)от непрекъснатия аргумент ω се нарича амплитудно-фазова характеристика на AFC системата по отношение на управляващото действие g(t), приложено към системата.
Въз основа на (3), AFC може да се определи и като съотношение на спектралните характеристики на сигнала на неговия вход. AF модул Ф(j ) характеризира изменението на амплитудата на хармоничен сигнал при преминаването му през системата, а аргументът му е фазовото отместване на сигнала.
Функция Ф(j ) получи името амплитудно-честотна характеристика (AFC), а функцията arg Ф(j ) – фазово-честотна характеристика (PFC).
Нека влиянието g(t), приложено към автоматичната система, е комплексен хармоник с честота 1, т.е.
Отговорът на системата на такова въздействие в стационарно състояние се определя от равенството
Или използвайки формулата на Ойлер
а също и това
;
Ще намерим интеграла от дясната страна на равенството, като използваме филтриращите свойства на делта функцията.
определя в сложна форма стационарния отговор на системата на въздействие под формата на комплексен хармоник с честота 1.
AFC може да се използва не само за анализиране на стационарни колебания на изхода на автоматична система, но и за определяне на процеса на управление като цяло. В последния случай е удобно да се разглежда моментът от времето t 0 на прилагане към системата за управление като нулев момент от време и да се използват формулите на едностранното преобразуване на Фурие. След определяне на спектралната характеристика 
и намиране на спектралната характеристика на контролираната променлива с помощта на формулата
Промяната в контролираната променлива x(t) след прилагане на влиянието g(t) се намира с помощта на формулата за обратно преобразуване на Фурие.
ЛИНЕЙНИ СИСТЕМИ
АВТОМАТИЧНО УПРАВЛЕНИЕ
Издателство Омски държавен технически университет
Министерство на образованието и науката на Руската федерация
Държавно учебно заведение
висше професионално образование
"Омски държавен технически университет"
ЛИНЕЙНИ СИСТЕМИ
АВТОМАТИЧНО УПРАВЛЕНИЕ
Насоки за практическа работа
Издателство Омски държавен технически университет
Съставен от Е. В. Шендалева, Доцент доктор. техн. науки
Изданието съдържа методически указания за провеждане на практическа работа по теория на автоматичното управление.
Предназначен за студенти от специалност 200503, „Стандартизация и сертификация“, изучаващи дисциплината „Основи на автоматичното управление“.
Публикува се по решение на редакционно-издателския съвет
Омски държавен технически университет
© GOU VPO "Omsk State
Технически университет”, 2011г
Необходимостта от използване на методологията на теорията на управлението за специалистите по стандартизация и сертификация възниква при определяне на:
1) количествени и (или) качествени характеристики на свойствата на изпитвания обект в резултат на въздействието върху него по време на неговата работа, при моделиране на обекта и (или) влияния, чийто закон за промяна трябва да се осигури с помощта на автоматичен контролна система;
2) динамични свойства на обекта за измерване и изпитване;
3) влиянието на динамичните свойства на измервателните уреди върху резултатите от измерванията и изпитванията на обекта.
Методите за изследване на обекти се обсъждат в практическите работи.
Практическа работа 1
Динамични функции
Упражнение 1.1
Намерете тегловната функция w(T) според известната преходна функция
ч(T) = 2(1–e –0,2 T).
Решение
w(T)=ч¢( T), следователно, когато диференцирате оригиналния израз
w(T)=0,4e –0,2 T .
Упражнение 1.2
Намерете предавателната функция на системата, като използвате диференциално уравнение 4 г¢¢( T) + 2г¢( T) + 10г(T) = 5х(T). Началните условия са нула.
Решение
Диференциалното уравнение се преобразува в стандартна форма чрез разделяне на коефициента на члена г(T)
0,4г¢¢( T) + 0,2г¢( T) + г(T) = 0,5х(T).
Полученото уравнение се трансформира според Лаплас
0,4с 2 г(с) + 0,2sy(с) + г(с) = 0,5х(с)
и след това записана като трансферна функция:
Където с= а + аз w е операторът на Лаплас.
Упражнение 1.3
Намерете предавателната функция У(с) системи, използващи известна тегловна функция w(T)=5–T.
Решение
Преобразуване на Лаплас
. (1.1)
Използване на връзката между трансферната функция и тегловната функция У(с) = w(с), получаваме
.
Трансформацията на Лаплас може да бъде получена чрез изчисление (1.1), като се използват таблици за трансформация на Лаплас или чрез софтуерния пакет Matlab. Програмата в Matlab е дадена по-долу.
syms s t
х=5-t% времева функция
y=лаплас(x)% Преобразувана функция на Лаплас.
Упражнение 1.4
Използвайки трансферната функция на системата, намерете нейния отговор на едностъпково действие (преходна функция)
.
Решение
Обратно преобразуване на Лаплас
, (1.2)
където c е абсцисата на конвергенция х(с).
Според принципа на суперпозицията, валиден за линейни системи
ч(T)=ч 1 (T)+ч 2 (T),
Където ч(T) – преходна функция на цялата система;
ч 1 (T) – преходна функция на интегриращата връзка
;
ч 2 (T) – преходна функция на усилвателната секция
.
Известно е, че ч 1 (T)=к 1× T, ч 2 (T)=к 2 ×δ( T), Тогава ч(T)=к 1× T+к 2 ×δ( T).
Обратното преобразуване на Лаплас може да се получи чрез изчисление (1.2), като се използват таблици за преобразуване на Лаплас или с помощта на софтуерния пакет Matlab. Програмата в Matlab е дадена по-долу.
syms s k1 k2% символично обозначение на променливата
y=k1/s+k2% Преобразувана функция на Лаплас
x=ilaplace(y)% времева функция.
Упражнение 1.5
Намерете характеристиките амплитуда-честота и фаза-честота, като използвате известната предавателна функция на системата
.
Решение
За да се определят амплитудно-честотните (AFC) и фазово-честотните характеристики (PFC), е необходимо да се премине от трансферната функция към амплитудно-фазовата характеристика У(аз w), защо да променяте аргумента с → аз w
.
След това представете AFC във формуляра У(аз w)= П(w)+ iQ(w), където П(w) – реална част, Q(w) е въображаемата част от AFC. За да се получат реалните и въображаемите части на AFC, е необходимо да се умножат числителят и знаменателят по комплексното число, спрегнато към израза в знаменателя:
Честотната характеристика и фазовата характеристика се определят съответно по формулите
, 
;
, 
Амплитудно-фазова характеристика У(й w) могат да бъдат представени във формата
.
Упражнение 1.6
Определете сигнал г(T) на изхода на системата въз основа на известен входен сигнал и предавателната функция на системата
х(T)=2sin10 T; 
.
Известно е, че при излагане на входен сигнал х(T)=б sinw Tизходен сигнал към системата г(T) също ще бъде хармоничен, но ще се различава от входната амплитуда и фаза
г(T) = б× А(w) грях
Където А(w) – честотна характеристика на системата; j(w) – фазова характеристика на системата.
Използвайки трансферната функция, ние определяме честотната характеристика и фазовата характеристика
j(w)=–arctg0.1w.
При честота w = 10s –1 А(10) = 4/ = 2 и j(10) = –arctg1=–0,25p.
Тогава г(T) = 2×2 sin(10 T–0,25p) = 4 sin(10 T-0,25p).
Контролни въпроси:
1. Дефинирайте понятието тегловна функция.
2. Дефинирайте понятието преходна функция.
3. За каква цел се използва трансформацията на Лаплас при описване на динамични връзки?
4. Какви уравнения се наричат линейни диференциални?
5. За каква цел, когато се преминава към уравнение в операторна форма, първоначалното диференциално уравнение се трансформира в стандартна форма?
6. Как се елиминира изразът с имагинерно число от знаменателя на амплитудно-фазовата характеристика?
7. Задайте командата за директно преобразуване на Лаплас в софтуерния пакет Matlab.
8. Задайте командата за обратна трансформация на Лаплас в софтуерния пакет Matlab.
Практическа работа 2
Трансферни функции
Упражнение 2.1
Намерете предавателната функция на системата въз основа на нейната структурна диаграма.
Решение
Основните методи за свързване на връзки в блокови схеми са: паралелни, последователни и свързващи връзки с обратна връзка (типични участъци от връзки).
Предавателната функция на система от паралелно свързани връзки е равна на сумата от предавателните функции на отделните връзки (фиг. 2.1)
. (2.1)
Ориз. 2.1. Паралелно свързване на връзки
Трансферната функция на система от последователно свързани връзки е равна на произведението на трансферните функции на отделните връзки (фиг. 2.2)
(2.2)
Ориз. 2.2. Серийно свързване на връзки
Обратната връзка е прехвърлянето на сигнал от изхода на връзката към нейния вход, където сигналът за обратна връзка се сумира алгебрично с външен сигнал (фиг. 2.3).
Ориз. 2.3 Връзка с обратна връзка: а) положителна, б) отрицателна
Предавателна функция на положителна обратна връзка
, (2.3)
предавателна функция на връзка с отрицателна обратна връзка
. (2.4)
Предавателната функция на сложна система за управление се определя на етапи. За да направите това, се идентифицират секции, съдържащи последователни, паралелни връзки и връзки с обратна връзка (типични секции на връзки) (фиг. 2.4)
У 34 (с)=У 3 (с)+У 4 (с); 
.
Ориз. 2.4. Блокова схема на системата за управление
След това избраният типичен участък от връзки се заменя с една връзка с изчислената предавателна функция и процедурата за изчисление се повтаря (фиг. 2.5 - 2.7).
Ориз. 2.5. Замяна на паралелни и затворени връзки с една връзка
Ориз. 2.6. Замяна на обратна връзка с една връзка
Ориз. 2.7. Замяна на серийна връзка с една връзка
(2.5)
Упражнение 2.2
Определете предавателната функция, ако предавателните функции на нейните съставни части са:
Решение
При заместване в (2.5) на предавателните функции на връзките
Преобразуването на блоковата диаграма спрямо входното управляващо действие (фиг. 2.7, 2.11) може да се получи чрез изчисление (2.5) или с помощта на софтуерния пакет Matlab. Програмата в Matlab е дадена по-долу.
W1=tf(,)% Функция на предаване У 1
W2=tf(,)% Функция на предаване У 2
W3=tf(,)% Функция на предаване У 3
W4=tf(,)% Функция на предаване У 4
W5=tf(,)% Функция на предаване У 5
W34=паралелен (W3,W4)% паралелна връзка ( У 3 + У 4)
W25=обратна връзка (W2,W5)
W134=обратна връзка (W1,W34)% негативно мнение
W12345=серия (W134,W25)% серийна връзка ( У 134× У 25)
W=обратна връзка (W12345,1)
Упражнение 2.3.
Намерете предавателната функция на система със затворен контур въз основа на смущения
Решение
За да се определи преносната функция на сложна система от смущаващо влияние, е необходимо тя да се опрости и да се разгледа спрямо смущаващото входно влияние (фиг. 2.8 - 2.12).
Фиг.2.8. Първоначална блокова схема на автоматичната система
Ориз. 2.9. Опростяване на блоковата схема
Ориз. 2.10. Опростена блокова схема
Ориз. 2.11. Блокова диаграма спрямо действието за управление на входа
Ориз. 2.12. Блокова схема на системата спрямо смущаващото влияние
След привеждане на структурната схема към едноконтурна, предавателната функция за смущаващото влияние f(T)
(2.6)
Трансформацията на структурната диаграма по отношение на смущаващото влияние (фиг. 2.12) може да се получи чрез изчисление (2.6) или с помощта на програмния пакет Matlab.
W1=tf(,)% Функция на предаване У 1
W2=tf(,)% Функция на предаване У 2
W3=tf(,)% Функция на предаване У 3
W4=tf(,)% Функция на предаване У 4
W5=tf(,)% Функция на предаване У 5
W34=паралелен (W3,W4)% паралелна връзка
W25=обратна връзка (W2,W5)% негативно мнение
W134=обратна връзка (W1,W34)% негативно мнение
Wf=обратна връзка (W25,W134)% негативно мнение.
Упражнение 2. 4
Определете предавателната функция на затворената система за грешката.
Решение
Блокова схема за определяне на предавателната функция на система със затворен контур за грешка в управлението е показана на фиг. 2.13.
Ориз. 2.13. Блокова схема на системата относно грешката на управление
Функция за предаване на затворена верига за грешка
(2.7)
При заместване на числови стойности
Преобразуването на блоковата диаграма спрямо сигнала за контролна грешка (фиг. 2.13) може да се получи чрез изчисление (2.7) или с помощта на софтуерния пакет Matlab.
W1=tf(,)% Функция на предаване У 1
W2=tf(,)% Функция на предаване У 2
W3=tf(,)% Функция на предаване У 3
W4=tf(,)% Функция на предаване У 4
W5=tf(,)% Функция на предаване У 5
W34=паралелен (W3,W4)% паралелна връзка)
W25=обратна връзка (W2,W5)% негативно мнение
W134=обратна връзка (W1,W34)% негативно мнение
Ние=обратна връзка (1,W134*W25)% негативно мнение
Контролни въпроси:
1. Избройте основните начини за свързване на връзки в блокови диаграми.
2. Определете предавателната функция на система от паралелно свързани връзки.
3. Определете предавателната функция на система от последователно свързани връзки.
4. Дефинирайте предавателната функция на положителната обратна връзка.
5. Дефинирайте предавателната функция на отрицателната обратна връзка.
6. Определете предавателната функция на комуникационната линия.
7. Коя команда на Matlab се използва за определяне на предавателната функция на две паралелно свързани връзки?
8. Коя команда на Matlab се използва за определяне на предавателната функция на две последователно свързани връзки?
9. Коя команда на Matlab се използва за определяне на трансферната функция на връзка, покрита от обратна връзка?
10. Начертайте блокова схема на системата, за да определите предавателната функция за управляващото действие.
11. Напишете предавателната функция за управляващото действие.
12. Начертайте блокова схема на системата, за да определите предавателната функция въз основа на смущаващия параметър.
13. Напишете предавателната функция за смущаващия параметър.
14. Начертайте блокова схема на системата за определяне на предавателната функция за грешката на управление.
15. Напишете предавателната функция за грешката на управление.
Практическа работа 3
Разлагане на сложна предавателна функция
След прости трансформации получаваме
(3.54)
правило:предавателна функция на системата с отрицателенобратната връзка е равна на дроб, чийто числител е предавателната функция на предния канал, а знаменателят е сумата от единица и произведението на предавателните функции на предния и обратния канал на системата.
Кога положителенформулата за обратна връзка (3.54) приема формата
(3.55)
В практиката обикновено се срещат системи с отрицателна обратна връзка, за които предавателната функция се намира по отношение (3.54).
3.3.4. Правило за прехвърляне
В някои случаи, за да се получи общата трансферна функция на системата чрез структурни трансформации, би било по-удобно да се премести точката на прилагане на сигнала през връзка по-близо до изхода или входа. При такава трансформация на структурната диаграма трябва да се придържаме към правила:предавателната функция на системата трябва да остане непроменена.
Нека разгледаме ситуацията, когато точката на приложение на сигнала се прехвърля през връзка, по-близо до изхода. Първоначалната структура на системата е показана на фиг. 3.31. Нека определим получената трансферна функция за него
Нека преместим точката на приложение на сигнала през връзката с предавателната функция, като добавим някаква предавателна функция към този канал. Получаваме блокова схема на трансформираната система (фиг. 3 32).
 |
Ориз. 3.32. Блокова схема на трансформираната система.
За него предавателната функция има формата
Тъй като при трансформиране на структурата на системата нейната предавателна функция не трябва да се променя, чрез приравняване на десните части на изразите (3.56) и (3.57), ние определяме необходимата трансферна функция
По този начин, при преместване на точката на приложение на сигнала по-близо до изхода на системата, към канала трябва да се добави трансферната функция на връзката, през която се предава сигналът.
Подобен правиломоже да се формулира, за да премести точката на приложение на сигнала по-близо до входа на системата: обратната трансферна функция на връзката, през която се предава сигналът, трябва да се добави към съответния канал.
Пример 3.1
Определете общата предавателна функция на системата, чиято блокова диаграма е показана на фиг. 3.33.
Нека първо определим функциите на предаване на типичните връзки на връзката: функция на предаване на връзките на паралелна връзка
и предавателната функция на последователно свързани връзки
 |
Ориз. 3.33.Блокова схема на системата
Като се вземат предвид въведените обозначения, структурата на системата може да бъде намалена до формата, показан на фиг. 3.34.
Използвайки структурни трансформации, записваме общата трансферна функция на системата
Замествайки техните стойности вместо и, най-накрая получаваме
Пример 3.2
Определете предавателната функция на системата за автоматично проследяване на целта на радарната станция, чиято блок-схема е показана на фиг. 3.35.
Ориз. 3.35.Блокова схема на системата за автоматично проследяване на целта
Тук е предавателната функция на системния приемник; - предавателна функция на фазовия детектор; - предавателна функция на усилвателя на мощността; - предавателна функция на двигателя; - предавателна функция на скоростната кутия; - трансферна функция на сензора за скорост на въртене на антената; - предавателна функция на коригиращото устройство.
Използвайки правилата за структурни трансформации, ние пишем
трансферна функция
Нека определим предавателната функция на вътрешния контур
и директна канална система
Нека определим пълната предавателна функция на системата
Замествайки първоначалните стойности вместо междинни трансферни функции, най-накрая получаваме
3.4. Блокови диаграми, съответстващи на диференциални уравнения
Вторият метод за съставяне на блокова диаграма се основава на използването на диференциални уравнения. Нека първо го разгледаме за обект, чието поведение се описва от векторно-матрични уравнения (2.1), (2.2):
(3.59)
Нека интегрираме уравнението на състоянието в (3.59) във времето и дефинираме състоянието и изходните променливи във формата
(3.60)
Уравненията (3.60) са основни за съставянето на диаграмата.
 |
Ориз. 3.36.Блокова диаграма, съответстваща на уравненията
състояние на обекта
По-удобно е да се изобрази блоковата диаграма, съответстваща на уравнения (3.60), като се започне с изходните променливи г, като е препоръчително да поставите входните и изходните променливи на обекта на една и съща хоризонтална линия (фиг. 3.36).
За едноканален обект може да се състави структурна диаграма, като се използва уравнение (2.3), като се разрешава по отношение на най-високата производна
След интегриране (3.61) нведнъж, получаваме
(3.62)
Системата от уравнения (3.62) съответства на блоковата диаграма, показана на фиг. 3.37.
Ориз. 3.37.Блокова диаграма, съответстваща на уравнение (3.61)
Както виждаме, едноканален обект на управление, чието поведение е описано от уравнение (3.61), винаги може да бъде структурно представен като верига от нпоследователно свързани интегратори с обратна връзка.
Пример 3.3
Начертайте блокова диаграма на обект, чийто модел е даден от следната система от диференциални уравнения:
Нека първо интегрираме уравненията на състоянието
 |
Ориз. 3.38.Илюстрация на изготвяне на блокова схема
чрез уравнения на състоянието
В съответствие с интегралните уравнения на фиг. 3.38 изобразяваме блокова схема на системата.
3.5. Преход от трансферна функция към канонично описание
Нека обсъдим най-известните методи за трансформиране на математически модел на обект под формата на произволна трансферна функция към описание в променливи на състоянието. За тази цел използваме подходящи блокови схеми. Имайте предвид, че тази задача е двусмислена, тъй като променливите на състоянието за даден обект могат да бъдат избрани по различни начини (вижте раздел 2.2).
Нека разгледаме два варианта за преход към описание в променливи на състоянието от трансферната функция на обекта
(3.63)
където Нека първо представим (3.63) като произведение на две трансферни функции:
Всяко от тези представяния (3.63) съответства на свой собствен прост модел в променливи на състоянието, който се нарича канонична форма.
3.5.1. Първа канонична форма
Нека разгледаме трансформацията на математическия модел на системата с предавателната функция (3.64). Неговата блокова схема може да бъде представена като две връзки, свързани последователно
(фиг. 3.39).
Ориз. 3.39.Структурно представяне на системата (3.64)
За всяко звено на системата пишем съответното операторно уравнение
(3.66)
Нека определим от първото уравнение (3.66) най-голямата производна на променливата z, което съответства на стойността в операторна форма
Полученият израз ни позволява да представим първото уравнение (3.66) като верига от нинтегратори с обратна връзка (вижте раздел 3.5) и изходната променлива гсе формира в съответствие с второто уравнение (3.66) като сбор от променливата zи тя мпроизводни (фиг. 3.40).
Ориз. 3.40.Схема, съответстваща на уравнения (3.66)
Използвайки структурни трансформации, получаваме блокова диаграма на системата, показана на фиг. 3.41.
Ориз. 3.41.Структурна диаграма, съответстваща на каноничната форма
Обърнете внимание, че блоковата диаграма, съответстваща на трансферната функция (3.64), се състои от верига нинтегратори, където н- ред на системата. Освен това обратната връзка съдържа коефициентите на знаменателя на оригиналната трансферна функция (коефициентите на характеристичния полином), а пряката връзка съдържа коефициентите на полинома на нейния числител.
От получената блокова диаграма е лесно да се премине към модел на системата в променливи на състоянието. За тази цел ние приемаме изхода на всеки интегратор като променлива на състоянието
което ни позволява да запишем диференциалните уравнения на състоянието и изходното уравнение на системата (3.63) във формата
(3.67)
Системата от уравнения (3.67) може да бъде представена във векторно-матрична форма (2.1) със следните матрици:
Ще бъде извикан моделът на системата в променливи на състоянието (3.67). първата канонична форма.
3.5.2. Втора канонична форма
Нека разгледаме втория метод за преход от трансферната функция (3.63) към описанието в променливи на състоянието, за които схематично представяме структурата на системата (3.65) на фиг. 3.42.
Ориз. 3.42.Структурно представяне на трансферната функция (3.65)
Неговите операторни уравнения имат формата
(3.68)
Подобно на предишния случай, нека представим първото уравнение (3.68) като верига от нинтегратори с обратна връзка и влиянието на входа zформираме в съответствие с второто уравнение (3.68) под формата на контролна сума uИ мнеговите производни (фиг. 3.43).
В резултат на структурни трансформации получаваме блокова диаграма на системата, показана на фиг. 3.44. Както виждаме, в този случай блоковата диаграма, съответстваща на трансферната функция (3.65), се състои от верига нинтегратори. Обратната връзка съдържа и коефициентите на характеристичния полином, а пряката връзка съдържа коефициентите на полинома на неговия числител.
Ориз. 3.43.Схема, съответстваща на уравнения (3.68)
Ориз. 3.44.Блокова диаграма, съответстваща на трансферната функция (3.65)
Отново избираме изходните стойности на интеграторите като променливи на състоянието и записваме диференциалните уравнения на състоянието и изходното уравнение за тях
(3.69)
Използвайки уравнения (3.69), определяме матриците
Ще бъде извикан моделът на системата в променливи на състоянието от тип (3.69). втора канонична форма.
Имайте предвид, че матрицата Ае непроменена за първата или втората канонична форма и съдържа коефициентите на знаменателя на оригиналната трансферна функция (3.63). Коефициентите на числителя на предавателната функция (3.63) съдържат матрицата ° С(в случая на първата канонична форма) или матрица б(в случая на втората канонична форма). Следователно уравненията на състоянието, съответстващи на двете канонични представяния на системата, могат да бъдат записани директно с помощта на трансферната функция (3.63), без да се преминава към блоковите диаграми, показани на фиг. 3.40 и 3.43.
Както виждаме, преходът от предавателната функция към описанието в променливи на състоянието е двусмислена задача. Разгледахме варианти за преход към канонично описание, които най-често се използват в теорията на автоматичното управление.
Пример 3.4
Получете две версии на каноничното описание и съответните блокови диаграми за система, чийто модел има формата
Използваме представянето на предавателната функция във формата (3.64) и записваме операторните уравнения за нея
от което преминаваме към блоковата схема, показана на фиг. 3.45.
Ориз. 3.45.Структурна диаграма, съответстваща на първата канонична форма
Въз основа на тази блокова диаграма записваме уравненията на първата канонична форма във формуляра
За да преминем към втората канонична форма, нека представим предавателната функция на системата във формата (3.65) и напишем следните операторни уравнения за нея:
което съответства на блоковата схема, показана на фиг. 3.46.
Ориз. 3.46.Структурна диаграма, съответстваща на втората канонична форма
Нека сега запишем модела на системата под формата на втората канонична форма
3.6. Обхват на приложение на структурния метод
Структурният метод е удобен за изчисляване на линейни автоматични системи, но има своите ограничения. Методът включва използването на трансферни функции, така че може да се използва като правило при нулеви начални условия.
Когато използвате структурния метод, трябва да се придържате към следното правила: по време на всяка трансформация на системата нейният ред не трябва да намалява, т.е. намаляването на еднакви фактори в числителя и знаменателя на трансферната функция е неприемливо. Чрез намаляване на идентични фактори, ние изхвърляме действително съществуващи връзки от системата. Нека илюстрираме това твърдение с пример.
Пример 3.5
Нека разгледаме система, състояща се от интегриращи и диференциращи връзки, които са свързани последователно.
Първата опция за свързване на връзки е показана на фиг. 3.47.
Използвайки структурни трансформации, намираме общата трансферна функция
От това следва, че такова свързване на връзки е еквивалентно на връзка без инерция, т.е. сигналът на изхода на системата повтаря сигнала на нейния вход. Ще покажем това, като разгледаме уравненията на отделните връзки. Изходният сигнал на интегриращата връзка се определя от отношението
където е началното условие на интегратора. Сигналът на изхода на диференциалната връзка и следователно на цялата система има формата
което съответства на извода, направен въз основа на анализа на общата предавателна функция на връзките.
Вторият вариант за свързване на връзките е показан на фиг. 3.48, т.е. връзките са разменени. Трансферната функция на системата е същата като в първия случай,
Сега обаче изходът на системата не следва входния сигнал. Това може да се провери чрез разглеждане на уравненията на връзката. Сигналът на изхода на диференциращия елемент съответства на уравнението
а на изхода на системата се определя от отношението
Както виждаме, във втория случай изходният сигнал се различава от сигнала на изхода на първата система със стойността на първоначалната стойност, въпреки факта, че и двете системи имат една и съща трансферна функция.
Заключение
Този раздел обсъжда динамичните характеристики на типичните връзки, които съставляват системи за управление с произволна конфигурация. Обсъждат се особеностите на структурните диаграми, построени на базата на предавателни функции и диференциални уравнения. Дадени са два метода за преход от предавателната функция на система през структурни диаграми към нейните модели под формата на променливи на състоянието, съответстващи на различни канонични форми.
Трябва да се отбележи, че представянето на система под формата на структурна диаграма позволява в някои случаи да се оцени нейната статика и динамика и по същество дава структурен портрет на системата.
3.1. Начертайте блокова диаграма на система, чието диференциално уравнение има формата:
а) 
V) 
3.2. Начертайте блокова диаграма на системата, чийто модел е представен в променливи на състоянието:
а) 
б) 
V) 
G) 
3.3. Определете предавателните функции на системите, ако техните структурни диаграми имат формата, показана на фиг. 3.49.
Ориз. 3.49.Блокови схеми към задача 3.3
|
|
3.4. Блоковите схеми на системата са известни (фиг. 3.50). Запишете техните модели в променливи на състоянието.
Ориз. 3.50.Блокови схеми към задача 3.4
3.5. Блоковата схема на системата е известна (фиг. 3.51).
Ориз. 3.51.
1. Определете предавателната функция при предположението, че
2. Определете предавателната функция, приемайки
3. Запишете модела на системата в променливи на състоянието.
 |
4. Повторете параграфи. 1 и 2 за системата, чиято блокова схема е показана на фиг. 3.52.
Ориз. 3.52.Блокова схема за задача 3.5
3.6 .
3.7. Начертайте блокова диаграма, съответстваща на първата канонична форма на описание на система с предавателна функция
1. Запишете първата канонична форма.
2. Начертайте блокова схема, съответстваща на втората канонична форма на описание на системата.
3. Запишете втората канонична форма.
3.8. Начертайте блокова диаграма, съответстваща на първата канонична форма на описание на система с предавателна функция
1. Запишете първата канонична форма.
2. Начертайте блокова схема, съответстваща на втората канонична форма на описание на системата.
3. Запишете втората канонична форма.
Литература
1. Андреев Ю.Н.Управление на крайномерни линейни обекти. - М.: Наука, 1978.
2. Бесекерски В.А..,Попов Е.П.. Теория на автоматичното регулиране. - М.: Наука, 1974.
3. Ерофеев А. А.Теория на автоматичното управление. - Санкт Петербург: Политехника, 1998.
4. Иващенко Н.Н.Автоматично регулиране. - М.: Машиностроение, 1978.
5. Первозвански А.А.Курс по теория на автоматичното управление. - М.: Висше. училище, 1986г.
6. Попов Е.П.Теория на линейните системи за автоматично регулиране и управление. - М.: Висше. училище, 1989г.
7. Коновалов Г.Ф.Радиоавтоматика. - М.: Висше. училище, 1990г.
8. Филипс Х.,Харбър Р.Системи за управление с обратна връзка. - М .: Лаборатория за основни знания, 2001.