Ето въпроса: „Обяснете къде са шестте му лица?“ Ако математиците не са успели да ви обяснят ясно конструкцията на паралелепипед, тогава аз ще се опитам да го направя. Ще говорим само за лицата на паралелепипеда, без да навлизаме в други детайли на дизайна на този математически модел, защото не сме в автосалон и аз не съм мениджър, който се опитва да ви продаде остарял модел на паралелепипед.
И така, представете си, че сякаш нищо не се е случило, сте заспали във вашата правоъгълна (това уточнение е много важно) стая. И посред нощ се събуждате в работещ модел на паралелепипед в реален размер! Няма място за паника. Спокойно започваме да броим аспектите на това математическо чудо. Стената с прозореца е първият аспект. Стената срещу прозореца е втората страна. Стените отляво и отдясно на прозореца са третото и четвъртото лице. Полът е петият аспект. Таванът е шестият и последен аспект. Голямо математическо откровение: броят на лицата не зависи от реда, в който са преброени, основното е да не пропуснете нищо.
Ако не сте заспали до този момент, следващият въпрос е: какво да правите по-нататък? Разгънете мислено математическия папирус, наречен „Теория на множествата“, потърсете главата „Безкраен математически набор от овни“ и започнете да броите. Хората казват, че тази математическа процедура е много добра при безсъние.
Искам веднага честно да призная, че малко те излъгах. Не правоъгълна стая е работещ модел на правоъгълен паралелепипед, а точно обратното – тя е математически модел на стая. Това е особено ясно видимо по време на. Площта на стените ще бъде повърхността на страничните повърхности на правоъгълния паралелепипед. Площта на пода или тавана се определя по същия начин като площта на основата в паралелепипед. Разбира се, строителите въведоха свои собствени нюанси в математическите правила за определяне на площите, но сега няма да ги изясняваме.
Между другото, правоъгълността на стаята зависи изцяло от качеството на строителството. Едва в древна Гърция математиката е толкова развита, че известната сграда на Партенона в Атина е построена почти без прави ъгли и прави линии. Там архитектурата на сградата се основава не на математическо съвършенство, а на оптични илюзии. Страхувам се, че съвременните математици вече не са способни на такава задача - те са твърде високо в облаците. Но ние сме малко разсеяни от лицата на паралелепипеда.
Ако искате да преброите страните на паралелепипед през деня, а не през нощта, тогава изваждаме правоъгълна кутия с обувки от гардероба. Дъното на кутията е едно лице, то е и долната основа на паралелепипеда. Капакът на кутията е второто лице, известно още като горна основа. Четирите стени на кутията за обувки са лица от три до шест.
По-горе разгледахме шестте лица на правоъгълен паралелепипед. Ами ако ъглите не са прави, а извити? В този случай имаме работа с обикновен паралелепипед, а не с правоъгълен. Това по никакъв начин не влияе на броя на ръбовете. Е, само си помислете, паралелепипедът беше леко вдлъбнат. Между другото, как математиците огъват правоъгълни паралелепипеди или подравняват обикновените? Интересувам се да разгледам алгебрата на процеса. За математиците обаче всичко е просто: казаха свещеното заклинание „Нека ни дадат паралелепипед“ и сега той вече е бял с тебешир върху черната дъска. Всичко в живота е по-сложно. Има много начини за огъване и изправяне на паралелепипеди - от тежък чук до флиртуващо "Е, моля!" Дори не е нужно да питате за алгебрата на тези методи.
Сериозно казано, алгебрата както на правоъгълния, така и на обикновения паралелепипед е абсолютно еднаква. Паралелепипедът е извит и подравнен с помощта на синусите на ъглите между ръбовете. Правоъгълните паралелепипеди имат всички прави ъгли и техните синуси са равни на единица. Мързеливите математици просто не пишат тези синуси във формули. В обикновените паралелепипеди синусите на ъглите са по-малки от единица, така че волю-неволю математиците трябва да ги записват във формули.
В заключение, както обичат да казват учителите, нека консолидираме преминатия материал. Като фиксатор използваме обикновена детска книжка за оцветяване, върху която рисуваме всичките шест лица на паралелепипеда.
ориз. 1
Тоест: имаме два равни успоредника ABCD и A1 B1 C1 D1 (основи), те лежат в успоредни равнини, така че страничните ръбове AA1, BB1, DD1, CC1 са успоредни. Така повърхност, съставена от паралелограми, се нарича паралелепипед.
Свойства на паралелепипед.
1. Противоположните лица на паралелепипед са успоредни и равни.
(формите са равни, т.е. могат да се комбинират чрез застъпване)
Например:
ABCD = A1 B1 C1 D1 (равни успоредници по дефиниция),
AA1 B1 B = DD1 C1 C (тъй като AA1 B1 B и DD1 C1 C са противоположни лица на паралелепипеда),
AA1 D1 D = BB1 C1 C (тъй като AA1 D1 D и BB1 C1 C са противоположни лица на паралелепипеда).
2. Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се делят на две от тази точка.
Диагоналите AC1, B1 D, A1 C, D1 B се пресичат в една точка O и всеки диагонал се дели наполовина от тази точка (фиг. 2).
ориз. 2
3. Има три четворки от равни и успоредни ръбове: 1 – AB, A1 B1, D1 C1, DC, 2 – AD, A1 D1, B1 C1, BC, 3 – AA1, BB1, CC1, DD1.
Определение . Паралелепипедът се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите.
Нека страничният ръб AA1 е перпендикулярен на основата (фиг. 3). Това означава, че правата AA1 е перпендикулярна на правите AD и AB, които лежат в равнината на основата. Това означава, че страничните лица съдържат правоъгълници. А основите съдържат произволни успоредници. Нека означим ∠BAD = φ, ъгълът φ може да бъде произволен.
ориз. 3
Определение . Паралелепипедът се нарича правоъгълен, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основата. Основите са правоъгълници.
Паралелепипедът ABCDA1 B1 C1 D1 е правоъгълен (фиг. 4), ако:
1. AA1 ⊥ ABCD (страничен ръб, перпендикулярен на равнината на основата, т.е. прав паралелепипед).
2. ∠BAD = 90°, т.е. основата е правоъгълник.
ориз. 4
Правоъгълният паралелепипед има всички свойства на произволен паралелепипед. Но има допълнителни свойства, които се извличат от дефиницията на кубоид.
1. В правоъгълен паралелепипед всичките шест лица са правоъгълници.
ABCD и A1 B1 C1 D1 са правоъгълници по дефиниция.
2. Страничните ребра са перпендикулярни на основата. Това означава, че всички странични лица са правоъгълници.
3. Всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.
Да разгледаме например двустенен ъгъл с ръб AB, т.е. двустенен ъгъл между равнините ABB1 и ABC.
AB е ребро, точка A1 лежи в едната равнина - в равнината ABB1, а точка D в другата - в равнината A1 B1 C1 D1. Тогава разглежданият двустенен ъгъл може да се означи и по следния начин: ∠A1 ABD.
Нека вземем точка А на ръба АВ. AA1 е перпендикулярна на ръба AB в равнината АВВ1, AD е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABC. Това означава, че ∠A1 AD е линейният ъгъл на даден двустенен ъгъл. ∠A1 AD = 90°, което означава, че двустенният ъгъл при ръба AB е 90°.