Свойства на права линия в евклидовата геометрия.

Безкрайно много прави линии могат да бъдат начертани през всяка точка.

През всеки две несъвпадащи точки може да се прекара една права линия.

Две различни прави в една равнина се пресичат в една точка или се пресичат

паралелен (следва от предишния).

В триизмерното пространство има три варианта за взаимното разположение на две линии:

• линиите се пресичат;

• линиите са успоредни;

• пресичат се прави линии.

Направо линия— алгебрична крива от първи ред: права линия в декартовата координатна система

се дава на равнината чрез уравнение от първа степен (линейно уравнение).

Общо уравнение на права линия.

Определение. Всяка права линия в равнината може да бъде определена чрез уравнение от първи ред

Ax + Wu + C = 0,

и постоянна А, Бне са равни на нула едновременно. Това уравнение от първи ред се нарича общ

уравнение на права линия.В зависимост от стойностите на константите А, БИ СЪСВъзможни са следните специални случаи:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- права линия минава през началото

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- права линия, успоредна на оста о

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- права линия, успоредна на оста о

. B = C = 0, A ≠0- правата линия съвпада с оста о

. A = C = 0, B ≠0- правата линия съвпада с оста о

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от всяка даденост

начални условия.

Уравнение на права от точка и нормален вектор.

Определение. В декартова правоъгълна координатна система вектор с компоненти (A, B)

перпендикулярна на правата, дадена от уравнението

Ax + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права, минаваща през точка A(1, 2)перпендикулярен на вектора (3, -1).

Решение. При A = 3 и B = -1, нека съставим уравнението на правата линия: 3x - y + C = 0. За да намерим коефициента C

Нека заместим координатите на дадената точка A в получения израз, следователно получаваме: 3 - 2 + C = 0

С = -1. Общо: необходимото уравнение: 3x - y - 1 = 0.

Уравнение на права, минаваща през две точки.

Нека в пространството са дадени две точки M 1 (x 1, y 1, z 1)И M2 (x 2, y 2, z 2),Тогава уравнение на права,

преминавайки през тези точки:

Ако някой от знаменателите е нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула. включено

равнина, уравнението на правата линия, написано по-горе, е опростено:

Ако x 1 ≠ x 2И x = x 1, Ако x 1 = x 2 .

дроб = kнаречен наклон директен.

Пример. Намерете уравнението на правата, минаваща през точки A(1, 2) и B(3, 4).

Решение. Прилагайки формулата, написана по-горе, получаваме:

Уравнение на права линия с помощта на точка и наклон.

Ако общото уравнение на правата Ax + Wu + C = 0водят до:

и посочете , тогава полученото уравнение се нарича

уравнение на права линия с наклон k.

Уравнение на права от точка и насочващ вектор.

По аналогия с точката, разглеждаща уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да въведете задачата

права линия през точка и насочващ вектор на права линия.

Определение. Всеки ненулев вектор (α 1, α 2), чиито компоненти отговарят на условието

Aα 1 + Bα 2 = 0наречен насочващ вектор на права линия.

Ax + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия с насочващ вектор (1, -1) и минаваща през точка A(1, 2).

Решение. Ще търсим уравнението на желаната права във формата: Ax + By + C = 0.Според определението,

коефициентите трябва да отговарят на следните условия:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на правата има формата: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.

при x = 1, y = 2получаваме C/A = -3, т.е. необходимо уравнение:

x + y - 3 = 0

Уравнение на права линия в отсечки.

Ако в общото уравнение на правата Ах + Ву + С = 0 С≠0, тогава, разделяйки на -С, получаваме:

или къде

Геометричният смисъл на коефициентите е, че коефициентът a е координатата на пресечната точка

права с ос оА b- координата на пресечната точка на правата с оста о

Пример. Дадено е общото уравнение на права линия x - y + 1 = 0.Намерете уравнението на тази права в сегменти.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Нормално уравнение на права.

Ако и двете страни на уравнението Ax + Wu + C = 0разделяне на число което се нарича

нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормално уравнение на права.

Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ*C< 0.

r- дължината на перпендикуляра, пуснат от началото до правата линия,

А φ - ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста о

Пример. Дадено е общото уравнение на правата 12x - 5y - 65 = 0. Изисква се за писане на различни видове уравнения

тази права линия.

Уравнението на тази права в сегменти:

Уравнението на тази права с наклона: (разделяне на 5)

Уравнение на права:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена чрез уравнение в сегменти, например прави линии,

успоредни на осите или минаващи през началото.

Ъгълът между прави в равнина.

Определение. Ако са дадени два реда y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогава острия ъгъл между тези прави

ще се определи като

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2. Две линии са перпендикулярни

Ако k 1 = -1/ k 2 .

Теорема.

Директен Ax + Wu + C = 0И A 1 x + B 1 y + C 1 = 0паралелно, когато коефициентите са пропорционални

A 1 = λA, B 1 = λB. Ако също С 1 = λС, тогава линиите съвпадат. Координати на пресечната точка на две прави

се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Уравнението на права, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права.

Определение. Права, минаваща през точка M 1 (x 1, y 1)и перпендикулярна на правата y = kx + b

представено от уравнението:

Разстояние от точка до права.

Теорема. Ако се даде точка M(x 0, y 0),след това разстоянието до правата линия Ax + Wu + C = 0дефиниран като:

Доказателство. Нека точката M 1 (x 1, y 1)- основата на перпендикуляр, пуснат от точка Мза даденост

директен. След това разстоянието между точките МИ М 1:

(1)

Координати х 1И на 1може да се намери като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно

дадена права линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Урок от поредицата "Геометрични алгоритми"

Здравей скъпи читателю!

Днес ще започнем да учим алгоритми, свързани с геометрията. Факт е, че има доста олимпиадни задачи по компютърни науки, свързани с изчислителната геометрия, и решаването на такива задачи често създава трудности.

В течение на няколко урока ще разгледаме редица елементарни подзадачи, на които се основава решаването на повечето задачи в изчислителната геометрия.

В този урок ще създадем програма за намиране на уравнението на права, преминавайки през дадено две точки. За да решаваме геометрични проблеми, се нуждаем от познания по изчислителна геометрия. Ще посветим част от урока на опознаването им.

Прозрения от изчислителната геометрия

Изчислителната геометрия е дял от компютърните науки, който изучава алгоритми за решаване на геометрични проблеми.

Първоначалните данни за такива задачи могат да бъдат набор от точки на равнина, набор от сегменти, многоъгълник (зададен например чрез списък на неговите върхове по посока на часовниковата стрелка) и т.н.

Резултатът може да бъде или отговор на някакъв въпрос (като точка принадлежи ли на отсечка, пресичат ли се две отсечки, ...), или някакъв геометричен обект (например най-малкият изпъкнал многоъгълник, свързващ дадени точки, площта на многоъгълник и т.н.).

Ще разглеждаме проблемите на изчислителната геометрия само на равнината и само в декартовата координатна система.

Вектори и координати

За да се приложат методите на изчислителната геометрия, е необходимо геометричните изображения да се преведат на езика на числата. Ще приемем, че на равнината е дадена декартова координатна система, в която посоката на въртене обратно на часовниковата стрелка се нарича положителна.

Сега геометричните обекти получават аналитичен израз. Така че, за да посочите точка, достатъчно е да посочите нейните координати: двойка числа (x; y). Отсечка може да бъде определена чрез указване на координатите на нейните краища; права линия може да бъде уточнена чрез указване на координатите на двойка нейни точки.

Но основният ни инструмент за решаване на проблеми ще бъдат векторите. Затова нека припомня малко информация за тях.

сегмент AB, което има точка Асе счита за начало (точка на приложение), а точката IN– край, наречен вектор ABи се обозначава например с или или с удебелена малка буква А .

За да обозначим дължината на вектор (т.е. дължината на съответния сегмент), ще използваме символа за модул (например ).

Произволен вектор ще има координати, равни на разликата между съответните координати на неговия край и начало:

,

тук са точките АИ б имат координати съответно.

За изчисления ще използваме концепцията ориентиран ъгъл, тоест ъгъл, който взема предвид относителната позиция на векторите.

Ориентиран ъгъл между векторите а И b положителен, ако въртенето е от вектора а към вектор b се извършва в положителна посока (обратно на часовниковата стрелка) и отрицателна в другия случай. Вижте Фиг.1a, Фиг.1b. Също така се казва, че двойка вектори а И b позитивно (негативно) ориентиран.

По този начин стойността на ориентирания ъгъл зависи от реда, в който са изброени векторите, и може да приема стойности в интервала.

Много проблеми в изчислителната геометрия използват концепцията за векторни (коси или псевдоскаларни) произведения на вектори.

Векторното произведение на векторите a и b е произведението на дължините на тези вектори и синуса на ъгъла между тях:

.

Напречно произведение на вектори в координати:

Изразът вдясно е детерминанта от втори ред:

За разлика от определението, дадено в аналитичната геометрия, това е скалар.

Знакът на векторния продукт определя позицията на векторите един спрямо друг:

а И b позитивно ориентирани.

Ако стойността е , тогава двойка вектори а И b негативно ориентирани.

Кръстосаното произведение на ненулеви вектори е нула тогава и само ако те са колинеарни ( ). Това означава, че те лежат на една права или на успоредни прави.

Нека да разгледаме няколко прости задачи, които са необходими при решаването на по-сложни.

Нека определим уравнението на права линия от координатите на две точки.

Уравнение на права, минаваща през две различни точки, зададени от техните координати.

Нека на права линия са дадени две несъвпадащи точки: с координати (x1; y1) и с координати (x2; y2). Съответно, вектор с начало в точка и край в точка има координати (x2-x1, y2-y1). Ако P(x, y) е произволна точка от нашата права, тогава координатите на вектора са равни на (x-x1, y – y1).

Използвайки векторния продукт, условието за колинеарност на векторите и може да се запише по следния начин:

Тези. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Пренаписваме последното уравнение, както следва:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

И така, правата линия може да бъде определена чрез уравнение от вида (1).

Задача 1. Дадени са координатите на две точки. Намерете неговото представяне във формата ax + by + c = 0.

В този урок научихме малко информация за изчислителната геометрия. Решихме задачата за намиране на уравнението на права от координатите на две точки.

В следващия урок ще създадем програма за намиране на пресечната точка на две прави, дадени от нашите уравнения.

Общо уравнение на права линия:

Специални случаи на общото уравнение на права линия:

а) Ако В= 0, уравнение (2) ще има формата

брадва + от = 0,

и правата линия, определена от това уравнение, минава през началото, тъй като координатите на произхода са х = 0, г= 0 удовлетворяват това уравнение.

б) Ако в общото уравнение на правата (2) б= 0, тогава уравнението приема формата

брадва + СЪС= 0, или .

Уравнението не съдържа променлива г, а правата, определена от това уравнение, е успоредна на оста Ой.

в) Ако в общото уравнение на правата (2) А= 0, тогава това уравнение ще приеме формата

от + СЪС= 0, или ;

уравнението не съдържа променлива х, а правата линия, която определя, е успоредна на оста вол.

Трябва да се помни: ако права линия е успоредна на някаква координатна ос, тогава в нейното уравнение няма член, съдържащ координата със същото име като тази ос.

г) Кога В= 0 и А= 0 уравнение (2) приема формата от= 0, или г = 0.

Това е уравнението на оста вол.

г) Кога В= 0 и б= 0 уравнение (2) ще бъде записано във формата брадва= 0 или х = 0.

Това е уравнението на оста Ой.

Относителното разположение на правите в равнина. Ъгълът между прави в равнина. Условие за успоредни прави. Условие за перпендикулярност на линиите.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Векторите S 1 и S 2 се наричат ​​направляващи за техните линии.

Ъгълът между правите линии l 1 и l 2 се определя от ъгъла между насочващите вектори.
Теорема 1: cos на ъгъла между l 1 и l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Теорема 2:За да бъдат равни 2 реда е необходимо и достатъчно:

Теорема 3:За да са перпендикулярни 2 прави е необходимо и достатъчно:

L 1 l 2 — A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Общо уравнение на равнината и неговите частни случаи. Уравнение на равнина в отсечки.

Общо уравнение на равнината:

Ax + By + Cz + D = 0

Специални случаи:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – равнината минава през началото

2. С=0 Ax+By+D = 0 – равнина || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – равнина || ой

4. A=0 By+Cz+D = 0 – равнина || ОХ

5. A=0 и D=0 By+Cz = 0 – равнината минава през OX

6. B=0 и D=0 Ax+Cz = 0 – равнината минава през OY

7. C=0 и D=0 Ax+By = 0 – равнината минава през OZ

Относителното положение на равнини и прави линии в пространството:

1. Ъгълът между правите линии в пространството е ъгълът между техните насочващи вектори.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Ъгълът между равнините се определя чрез ъгъла между нормалните им вектори.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Косинусът на ъгъла между правата и равнината може да се намери чрез sinus на ъгъла между насочващия вектор на правата и нормалния вектор на равнината.

4. 2 прави || в космоса, когато техните || векторни водачи

5. 2 равнини || когато || нормални вектори

6. По същия начин се въвеждат понятията за перпендикулярност на прави и равнини.

Въпрос No14

Различни видове уравнение на права линия в равнина (уравнение на права линия в сегменти, с ъглов коефициент и др.)

Уравнение на права линия в сегменти:
Да приемем, че в общото уравнение на правата линия:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – правата минава през началото.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Уравнение на права линия с наклон:

Всяка права линия, която не е равна на оста на операционния усилвател (B не = 0), може да бъде записана на следващия ред. форма:

k = tanα α – ъгъл между права и положително насочена линия OX

b – точка на пресичане на правата с оста на операционния усилвател

документ:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

Уравнение на права линия, базирано на две точки:

Въпрос #16

Краен предел на функция в точка и за x→∞

Крайна граница при x0:

Числото A се нарича граница на функцията y = f(x) за x→x 0, ако за всяко E > 0 съществува b > 0, така че за x ≠x 0, удовлетворяващо неравенството |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Границата се обозначава с: = A

Крайна граница в точка +∞:

Числото A се нарича граница на функцията y = f(x) при x → + ∞ , ако за всяко E > 0 съществува C > 0, така че за x > C неравенството |f(x) - A|< Е

Границата се обозначава с: = A

Крайна граница в точка -∞:

Числото A се нарича граница на функцията y = f(x) за x→-∞,ако за някое Е< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Уравнение на права, минаваща през две точки. В статията" " Обещах ви да разгледам втория начин за решаване на представените задачи за намиране на производната, дадена графика на функция и допирателна към тази графика. Ще обсъдим този метод в , не го пропускайте! защов следващия?

Факт е, че там ще се използва формулата за уравнението на права линия. Разбира се, можем просто да покажем тази формула и да ви посъветваме да я научите. Но е по-добре да обясните откъде идва (как се извлича). Това е необходимо! Ако го забравите, можете бързо да го възстановитеняма да е трудно. Всичко е описано подробно по-долу. И така, имаме две точки А на координатната равнина(x 1;y 1) и B(x 2;y 2), през посочените точки се прекарва права линия:

Ето и самата директна формула:

*Тоест, при заместване на конкретни координати на точки, получаваме уравнение от вида y=kx+b.

**Ако просто „наизустите“ тази формула, тогава има голяма вероятност да се объркате с индексите, когато X. Освен това индексите могат да бъдат обозначени по различни начини, например:

Ето защо е важно да разберете смисъла.

Сега извеждането на тази формула. Много е просто!

Триъгълниците ABE и ACF са подобни по остър ъгъл (първият признак за сходство на правоъгълните триъгълници). От това следва, че съотношенията на съответните елементи са равни, т.е.

Сега просто изразяваме тези сегменти чрез разликата в координатите на точките:

Разбира се, няма да има грешка, ако напишете връзките на елементите в различен ред (основното е да поддържате последователност):

Резултатът ще бъде същото уравнение на правата. Това е всичко!

Тоест, без значение как са обозначени самите точки (и техните координати), като разберете тази формула, винаги ще намерите уравнението на права линия.

Формулата може да бъде получена чрез свойствата на векторите, но принципът на извеждане ще бъде същият, тъй като ще говорим за пропорционалността на техните координати. В този случай работи същото подобие на правоъгълни триъгълници. Според мен заключението, описано по-горе, е по-ясно)).

Вижте изхода чрез векторни координати >>>

Нека върху координатната равнина, минаваща през две дадени точки A(x 1;y 1) и B(x 2;y 2), е построена права линия. Нека отбележим произволна точка C на правата с координати ( х; г). Означаваме също два вектора:

Известно е, че за вектори, лежащи на успоредни прави (или на една права), съответните им координати са пропорционални, т.е.

— записваме равенството на съотношенията на съответните координати:

Да разгледаме един пример:

Намерете уравнението на права линия, минаваща през две точки с координати (2;5) и (7:3).

Дори не е нужно да изграждате самата права линия. Прилагаме формулата:

Важно е да разберете кореспонденцията, когато съставяте съотношението. Няма да сгрешите, ако напишете:

Отговор: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

За да сте сигурни, че полученото уравнение е намерено правилно, не забравяйте да проверите - заменете координатите на данните в условието на точките в него. Уравненията трябва да са правилни.

това е всичко Надявам се материалът да ви е бил полезен.

Най-добри пожелания, Александър.

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

Уравнение на права на равнина.
Векторът на посоката е прав. Нормален вектор

Правата линия в равнина е една от най-простите геометрични фигури, позната ви от началното училище и днес ще научим как да се справяме с нея, използвайки методите на аналитичната геометрия. За да овладеете материала, трябва да можете да изградите права линия; знаят какво уравнение определя права линия, по-специално права линия, минаваща през началото на координатите и прави линии, успоредни на координатните оси. Тази информация може да бъде намерена в ръководството Графики и свойства на елементарни функции, създадох го за Matan, но разделът за линейната функция се оказа много сполучлив и подробен. Затова, скъпи чайници, първо се затоплете там. Освен това трябва да имате основни познания за вектори, в противен случай разбирането на материала ще бъде непълно.

В този урок ще разгледаме начини, по които можете да създадете уравнение на права линия в равнина. Препоръчвам да не пренебрегвате практическите примери (дори да изглеждат много прости), тъй като ще им предоставя елементарни и важни факти, технически техники, които ще бъдат необходими в бъдеще, включително в други раздели на висшата математика.

• Как да напиша уравнение на права линия с ъглов коефициент?
• Как?
• Как да намерим вектор на посоката, използвайки общото уравнение на права линия?
• Как да напиша уравнение на права линия, дадена точка и нормален вектор?

и започваме:

Уравнение на права линия с наклон

Известната „училищна“ форма на уравнение на права линия се нарича уравнение на права линия с наклон. Например, ако права линия е дадена от уравнението, тогава нейният наклон е: . Нека разгледаме геометричното значение на този коефициент и как неговата стойност влияе върху местоположението на линията:

В курс по геометрия е доказано, че наклонът на правата е равен на тангенс на ъгъламежду положителната посока на оси тази линия: , а ъгълът се „развива“ обратно на часовниковата стрелка.

За да не претрупвам чертежа, начертах ъгли само за две прави линии. Нека разгледаме "червената" линия и нейния наклон. Съгласно горното: (ъгълът "алфа" е обозначен със зелена дъга). За „синята“ права линия с ъгловия коефициент равенството е вярно („бета“ ъгълът е обозначен с кафява дъга). И ако тангентата на ъгъла е известна, тогава, ако е необходимо, е лесно да се намери и самият ъгълизползвайки обратната функция - арктангенс. Както се казва, тригонометрична таблица или микрокалкулатор в ръцете ви. по този начин ъгловият коефициент характеризира степента на наклона на правата спрямо абсцисната ос.

Възможни са следните случаи:

1) Ако наклонът е отрицателен: тогава линията, грубо казано, върви отгоре надолу. Примери са "сините" и "малиновите" прави линии в чертежа.

2) Ако наклонът е положителен: , тогава линията върви отдолу нагоре. Примери - "черни" и "червени" прави линии в чертежа.

3) Ако наклонът е нула: , тогава уравнението приема формата , а съответната права е успоредна на оста. Пример е "жълтата" права линия.

4) За семейство прави, успоредни на ос (на чертежа няма пример, освен самата ос), ъгловият коефициент не съществува (тангенса от 90 градуса не е дефинирана).

Колкото по-голям е коефициентът на наклон в абсолютна стойност, толкова по-стръмна е графиката на правата линия..

Например, помислете за две прави линии. Следователно тук правата има по-стръмен наклон. Нека ви напомня, че модулът ви позволява да игнорирате знака, който ни интересува само абсолютни стойностиъглови коефициенти.

На свой ред правата линия е по-стръмна от правите линии .

Обратно: колкото по-малък е коефициентът на наклон в абсолютна стойност, толкова по-плоска е правата линия.

За прави линии неравенството е вярно, следователно правата линия е по-плоска. Детска пързалка, за да не си правите синини и подутини.

Защо е необходимо това?

Удължете мъченията си Познаването на горните факти ви позволява незабавно да видите грешките си, по-специално грешките при конструирането на графики - ако чертежът се окаже „очевидно нещо нередно“. Препоръчително е да вие веднагабеше ясно, че например правата е много стръмна и върви отдолу нагоре, а правата е много плоска, притисната близо до оста и върви отгоре надолу.

В геометричните задачи често се появяват няколко прави линии, така че е удобно да ги обозначите по някакъв начин.

Наименования: правите линии се обозначават с малки латински букви: . Популярна опция е да ги обозначите с помощта на една и съща буква с естествени индекси. Например, петте реда, които току-що разгледахме, могат да бъдат обозначени с .

Тъй като всяка права линия се определя еднозначно от две точки, тя може да бъде означена с тези точки: и т.н. Обозначението ясно показва, че точките принадлежат на правата.

Време е да загреем малко:

Как да напиша уравнение на права линия с ъглов коефициент?

Ако са известни точка, принадлежаща на определена линия, и ъгловият коефициент на тази линия, тогава уравнението на тази линия се изразява с формулата:

Пример 1

Напишете уравнение на права линия с ъглов коефициент, ако е известно, че точката принадлежи на тази права линия.

Решение: Нека съставим уравнението на правата, използвайки формулата . В този случай:

отговор:

прегледсе прави просто. Първо, разглеждаме полученото уравнение и се уверяваме, че нашият наклон е на мястото си. Второ, координатите на точката трябва да отговарят на това уравнение. Нека ги включим в уравнението:

Получава се правилното равенство, което означава, че точката удовлетворява полученото уравнение.

Заключение: Уравнението е намерено правилно.

Един по-сложен пример, който да решите сами:

Пример 2

Напишете уравнение за права линия, ако е известно, че нейният ъгъл на наклон спрямо положителната посока на оста е , а точката принадлежи на тази права линия.

Ако имате затруднения, прочетете отново теоретичния материал. По-точно, по-практично, пропускам много доказателства.

Последният звънец удари, абитуриентската церемония приключи, а пред портите на родното училище ни очаква самата аналитична геометрия. Шегите свършиха... Или може би тепърва започват =)

Носталгично размахваме химикалката към познатото и се запознаваме с общото уравнение на права линия. Защото в аналитичната геометрия се използва точно това:

Общото уравнение на права линия има формата: , къде са цифрите. В същото време коефициентите едновременноне са равни на нула, тъй като уравнението губи смисъла си.

Нека се облечем в костюм и да свържем уравнението с коефициента на наклон. Първо, нека преместим всички термини в лявата страна:

Терминът с „X“ трябва да бъде поставен на първо място:

По принцип уравнението вече има формата , но според правилата на математическия етикет коефициентът на първия член (в този случай) трябва да е положителен. Сменящи се знаци:

Запомнете тази техническа характеристика!Правим първия коефициент (най-често) положителен!

В аналитичната геометрия уравнението на права линия почти винаги ще бъде дадено в обща форма. Е, ако е необходимо, тя може лесно да бъде намалена до „училищна“ форма с ъглов коефициент (с изключение на прави линии, успоредни на ординатната ос).

Да се ​​запитаме какво достатъчнознаете ли да построите права линия? Две точки. Но повече за този инцидент от детството, сега правилото със стрелките. Всяка права линия има много специфичен наклон, към който лесно се „приспособява“. вектор.

Вектор, който е успореден на права, се нарича вектор на посоката на тази права. Очевидно е, че всяка права линия има безкрайно много насочващи вектори и всички те ще бъдат колинеарни (съпосочни или не - няма значение).

Ще обознача вектора на посоката, както следва: .

Но един вектор не е достатъчен, за да се построи права линия; векторът е свободен и не е свързан с никоя точка от равнината. Следователно е необходимо допълнително да се знае някаква точка, която принадлежи на правата.

Как да напиша уравнение на права линия с помощта на точка и насочен вектор?

Ако определена точка, принадлежаща на права, и векторът на посоката на тази линия са известни, тогава уравнението на тази права може да се състави по формулата:

Понякога се нарича канонично уравнение на правата .

Какво да правим, когато една от координатитее равно на нула, ще разберем в практическите примери по-долу. Между другото, моля, имайте предвид - и двете наведнъжкоординатите не могат да бъдат равни на нула, тъй като нулевият вектор не определя конкретна посока.

Пример 3

Напишете уравнение за права линия, като използвате точка и вектор на посоката

Решение: Нека съставим уравнението на права линия, използвайки формулата. В този случай:

Използвайки свойствата на пропорцията, ние се отърваваме от дроби:

И ние привеждаме уравнението в неговия общ вид:

отговор:

По правило не е необходимо да се прави чертеж в такива примери, но за разбиране:

На чертежа виждаме началната точка, оригиналния вектор на посоката (може да се начертае от всяка точка на равнината) и построената права линия. Между другото, в много случаи е най-удобно да се конструира права линия с помощта на уравнение с ъглов коефициент. Лесно е да конвертирате нашето уравнение във форма и лесно да изберете друга точка, за да построите права линия.

Както беше отбелязано в началото на параграфа, правата линия има безкраен брой насочващи вектори и всички те са колинеарни. Например, начертах три такива вектора: . Какъвто и вектор на посоката да изберем, резултатът винаги ще бъде едно и също уравнение на права линия.

Нека създадем уравнение на права линия, използвайки точка и вектор на посоката:

Решаване на пропорцията:

Разделете двете страни на –2 и получете познатото уравнение:

Желаещите могат да тестват вектори по същия начин или всеки друг колинеарен вектор.

Сега нека решим обратната задача:

Как да намерим вектор на посоката, използвайки общото уравнение на права линия?

Много просто:

Ако правата е дадена чрез общо уравнение в правоъгълна координатна система, тогава векторът е векторът на посоката на тази права.

Примери за намиране на насочващи вектори на прави линии:

Твърдението ни позволява да намерим само един вектор на посоката от безкраен брой, но нямаме нужда от повече. Въпреки че в някои случаи е препоръчително да се намалят координатите на векторите на посоката:

По този начин уравнението определя права линия, която е успоредна на оста и координатите на резултантния вектор на посоката са удобно разделени на –2, като се получава точно базисният вектор като вектор на посоката. Логично.

По подобен начин уравнението определя права линия, успоредна на оста, и като разделим координатите на вектора на 5, получаваме орт вектора като вектор на посоката.

Сега нека го направим проверка на пример 3. Примерът се повиши, така че ви напомням, че в него съставихме уравнението на права линия, използвайки точка и вектор на посоката

Първо, като използваме уравнението на правата линия, реконструираме нейния вектор на посоката: – всичко е наред, получихме оригиналния вектор (в някои случаи резултатът може да е колинеарен вектор на оригиналния и това обикновено се забелязва лесно по пропорционалността на съответните координати).

Второ, координатите на точката трябва да удовлетворяват уравнението. Заместваме ги в уравнението:

Получи се правилното равенство, за което много се радваме.

Заключение: Задачата е изпълнена правилно.

Пример 4

Напишете уравнение за права линия, като използвате точка и вектор на посоката

Това е пример, който можете да решите сами. Решението и отговорът са в края на урока. Силно препоръчително е да проверите с помощта на току-що обсъдения алгоритъм. Опитайте се винаги (ако е възможно) да проверявате чернова. Глупаво е да се правят грешки там, където могат да бъдат 100% избегнати.

В случай, че една от координатите на вектора на посоката е нула, продължете много просто:

Пример 5

Решение: Формулата не е подходяща, тъй като знаменателят от дясната страна е нула. Има изход! Използвайки свойствата на пропорцията, пренаписваме формулата във формуляра, а останалата част се търкаля по дълбока коловоз:

отговор:

преглед:

1) Възстановете насочващия вектор на правата линия:
– полученият вектор е колинеарен на оригиналния насочващ вектор.

2) Заместете координатите на точката в уравнението:

Получава се правилното равенство

Заключение: задачата е изпълнена правилно

Възниква въпросът защо да се занимаваме с формулата, ако има универсална версия, която ще работи във всеки случай? Причините са две. Първо, формулата е под формата на дроб много по-добре запомнен. И второ, недостатъкът на универсалната формула е, че рискът да се объркате се увеличава значителнопри заместване на координати.

Пример 6

Напишете уравнение за права линия, като използвате точка и вектор на посоката.

Това е пример, който можете да решите сами.

Да се ​​върнем към вездесъщите две точки:

Как да напиша уравнение на права линия с две точки?

Ако са известни две точки, тогава уравнението на права линия, минаваща през тези точки, може да се състави по формулата:

Всъщност това е вид формула и ето защо: ако са известни две точки, тогава векторът ще бъде векторът на посоката на дадената права. В час Вектори за манекениразгледахме най-простия проблем - как да намерим координатите на вектор от две точки. Според тази задача координатите на вектора на посоката са:

Забележка : точките могат да се „разменят“ и да се използва формулата . Такова решение ще бъде еквивалентно.

Пример 7

Напишете уравнение на права линия, като използвате две точки .

Решение: Използваме формулата:

Сресване на знаменателите:

И разбъркайте тестето:

В момента е удобно да се отървете от дробни числа. В този случай трябва да умножите двете страни по 6:

Отворете скобите и си припомнете уравнението:

отговор:

прегледе очевидно - координатите на началните точки трябва да отговарят на полученото уравнение:

1) Заменете координатите на точката:

Истинско равенство.

2) Заменете координатите на точката:

Истинско равенство.

Заключение: Уравнението на правата е написано правилно.

Ако поне единот точките не отговаря на уравнението, потърсете грешка.

Струва си да се отбележи, че графичната проверка в този случай е трудна, тъй като се конструира права линия и се вижда дали точките принадлежат към нея , не е толкова просто.

Ще отбележа още няколко технически аспекта на решението. Може би в този проблем е по-изгодно да се използва огледалната формула и в същите точки направете уравнение:

По-малко дроби. Ако искате, можете да изпълните решението до края, резултатът трябва да е същото уравнение.

Втората точка е да погледнете крайния отговор и да разберете дали може да бъде допълнително опростен? Например, ако получите уравнението, тогава е препоръчително да го намалите с две: – уравнението ще дефинира същата права линия. Това обаче вече е тема за разговор относителна позиция на линиите.

След като получи отговора в пример 7 за всеки случай проверих дали ВСИЧКИ коефициенти на уравнението се делят на 2, 3 или 7. Въпреки че най-често такива редукции се правят по време на решението.

Пример 8

Напишете уравнение за права, минаваща през точките .

Това е пример за независимо решение, което ще ви позволи да разберете и практикувате по-добре техниката на изчисление.

Подобно на предишния параграф: ако във формулата един от знаменателите (координатата на вектора на посоката) става нула, след което го пренаписваме във формата . Отново забележете колко неловко и объркана изглежда тя. Не виждам много смисъл да давам практически примери, тъй като вече сме решили този проблем (вижте № 5, 6).

Директен нормален вектор (нормален вектор)

Какво е нормално? С прости думи, нормалата е перпендикуляр. Тоест нормалният вектор на права е перпендикулярен на дадена права. Очевидно всяка права линия има безкраен брой от тях (както и насочващи вектори) и всички нормални вектори на правата линия ще бъдат колинеарни (съпосочни или не, няма значение).

Справянето с тях ще бъде дори по-лесно, отколкото с водещите вектори:

Ако правата е дадена с общо уравнение в правоъгълна координатна система, тогава векторът е нормалният вектор на тази права.

Ако координатите на вектора на посоката трябва да бъдат внимателно „извадени“ от уравнението, тогава координатите на нормалния вектор могат просто да бъдат „премахнати“.

Нормалният вектор винаги е ортогонален на вектора на посоката на правата. Нека проверим ортогоналността на тези вектори, използвайки точков продукт:

Ще дам примери със същите уравнения като за вектора на посоката:

Възможно ли е да се състави уравнение на права линия, дадена една точка и нормален вектор? Усещам го в червата си, възможно е. Ако нормалният вектор е известен, тогава посоката на самата права линия е ясно дефинирана - това е „твърда конструкция“ с ъгъл от 90 градуса.

Как да напиша уравнение на права линия, дадена точка и нормален вектор?

Ако определена точка, принадлежаща на права, и нормалният вектор на тази права са известни, тогава уравнението на тази права се изразява с формулата:

Тук всичко се получи без дроби и други изненади. Това е нашият нормален вектор. Обичайте го. И уважение =)

Пример 9

Напишете уравнение на права линия, дадена точка и нормален вектор. Намерете вектора на посоката на правата.

Решение: Използваме формулата:

Общото уравнение на линията е получено, нека проверим:

1) „Премахнете“ координатите на нормалния вектор от уравнението: – да, наистина, първоначалният вектор е получен от условието (или трябва да се получи колинеарен вектор).

2) Нека проверим дали точката удовлетворява уравнението:

Истинско равенство.

След като се убедим, че уравнението е съставено правилно, ще изпълним втората по-лесна част от задачата. Изваждаме насочващия вектор на правата линия:

отговор:

На чертежа ситуацията изглежда така:

За целите на обучението подобна задача за самостоятелно решаване:

Пример 10

Напишете уравнение на права линия, дадена точка и нормален вектор. Намерете вектора на посоката на правата.

Последният раздел на урока ще бъде посветен на по-рядко срещаните, но също важни видове уравнения на права в равнина

Уравнение на права линия в отсечки.
Уравнение на права в параметричен вид

Уравнението на права линия в сегменти има формата , където са ненулеви константи. Някои видове уравнения не могат да бъдат представени в тази форма, например пряка пропорционалност (тъй като свободният член е равен на нула и няма начин да се получи едно от дясната страна).

Това е, образно казано, "технически" тип уравнение. Често срещана задача е да се представи общото уравнение на права като уравнение на права в сегменти. Как е удобно? Уравнението на линия в сегменти ви позволява бързо да намерите точките на пресичане на линия с координатни оси, което може да бъде много важно в някои проблеми на висшата математика.

Нека намерим пресечната точка на правата с оста. Нулираме „y“ и уравнението приема формата . Желаната точка се получава автоматично: .

Същото с оста – точката, в която правата пресича ординатната ос.