Нека векторът ( х , при , z ).
Нека обозначим ъглите на наклона на този вектор спрямо осите ох ох И Оз букви съответно ,И.Три числа cos, cosИ cosобикновено се нарича насочващи косинуси на вектора. Вярвайки = (1; 0; 0 ) получаваме от (9)
По същия начин
От формули (11) - (13) следва:
1) cos 2 +cos 2 +cos 2 = 1 ,
тези. сумата от квадратите на насочващите косинуси на всеки ненулев вектор е равна на единица;
тези.насочващите косинуси на този вектор са пропорционални на съответните му проекции.
Забележка. От формули (11)-(13) става ясно, че проекциите на всеки единичен вектор върху координатните оси съответно съвпадат с неговите насочващи косинуси и следователно
Пример. Намерете насочващи косинуси на вектор (1; 2; 2). Съгласно формули (11)-(13) имаме
4. Векторно произведение на два вектора и неговите основни свойства.
Определение. Кръстосаното произведение на два вектораИсе нарича нов вектор, чийто модул е равен на площта на успоредника, конструиран върху вектори и намален до общ произход, и който е перпендикулярен на векторите, които се умножават (с други думи, перпендикулярен на равнината на успоредник, изграден върху тях) и насочен в такава посока, че най-краткото въртене около резултантния вектор изглежда обратно на часовниковата стрелка, когато се гледа от края на вектора (фиг. 40).
Ако векторите са колинеарни, тогава тяхното векторно произведение се счита за равно на нулевия вектор. От това определение следва, че
|| = || || грях
където е ъгълът между векторите( 0 ). Кръстосаното произведение на вектори и се обозначава със символа
x или или [,].
Нека разберем физическия смисъл на векторния продукт. Ако векторът представлява приложен в даден момент Г-цатиня, а векторът идва от определена точка ОТНОСНОточно М,след това векторът = представлява момента на силата около точка ОТНОСНО.
Свойства на кръстосано произведение
1 . При пренареждане на факторите векторното произведение променя знака, т.е.
x = -(x).
()x=x()=(x),където е скалар.
3. Векторното произведение се подчинява на закона за разпределение, т.е.
4. Ако векторното произведение на два вектора е равно на нулевия вектор, то или поне един от умножените вектори е равен на нулевия вектор (тривиален случай), или синусът на ъгъла между тях е равен на нула, т.е. векторите са колинеарни.
Обратно, ако два ненулеви вектора са колинеарни, тогава тяхното кръстосано произведение е равно на нулевия вектор.
По този начин , За да бъдат колинеарни два ненулеви вектора, е необходимо и достатъчно техният векторен продукт да е равен на нулевия вектор.
От тук по-специално следва, че векторното произведение на вектор със себе си е равно на нулевия вектор:
x =0
(Хсъщо наричан вектор квадратен вектор .
5. Смесено произведение на три вектора и неговите основни свойства.
Нека са дадени три вектора и. Нека си представим, че един вектор се умножава векторно по вектор и полученият вектор се умножава скаларно по вектор, като по този начин се определя числото (x). Нарича се или смесена работатри вектора и.
За краткост ще обозначим смесения продукт (x) или ().
Нека разберем геометричното значение на смесения продукт. Нека разглежданите вектори са некомпланарни. Нека построим паралелепипед върху вектори и ръбове.
Напречното произведение x е вектор (=), числено равен на площта на успоредника OADB (основата на построения паралелепипед), изграден върху векторахия, насочена перпендикулярно на равнината на успоредника (фиг. 41).
Скаларното произведение (x) = е произведението на модула на вектора и проекцията на вектора (виж параграф 1, (2)).
Височината на построения паралелепипед е абсолютната стойност на тази проекция.
Следователно продуктът | |по абсолютна стойност е равно на произведението от площта на основата на паралелепипеда и неговата височина, т.е. обемът на паралелепипед, изграден върху вектори, и.
Важно е да се отбележи, че скаларното произведение дава обема на паралелепипеда понякога с положителен, а понякога с отрицателен знак. Положителен знак се получава, ако ъгълът между векторите е остър; отрицателен - ако е глупав. С остър ъгъл между и векторът се намира от една и съща страна на равнината OADB , което е вектор и следователно от края на вектора въртенето от него ще се вижда по същия начин, както от края на вектора, т.е. в положителна посока (обратно на часовниковата стрелка).
При тъп ъгъл между вектора се намира от другата страна на равнината OADB отколкото вектора и следователно от края на вектора въртенето от ще се вижда в отрицателна посока (по часовниковата стрелка). С други думи, продуктът е положителен, ако векторите и образуват едноименна система с главния Oxyz (взаимно разположени по същия начин като осите Ox, Oy, Oz), и е отрицателен, ако векторите образуват система със същото име като основния.
По този начин, смесеното произведение е число,чиято абсолютна стойност изразява обема на паралелепипеда,изградени върху вектори,като на ребрата.
Знакът на произведението е положителен, ако векторите ,,формират система със същото име като главния, и отрицателен в противен случай.
От това следва, че абсолютната стойност на произведението =(x) ще остане същата, без значение в какъв ред вземаме факторите. Що се отнася до знака, той ще бъде положителен в някои случаи, отрицателен в други; зависи от това дали нашите три вектора, взети в определен ред, образуват система със същото име като основната или не. Обърнете внимание, че нашите координатни оси са разположени така, че да следват една друга обратно на часовниковата стрелка, когато гледаме отвътре (фиг. 42). Последователността не се нарушава, ако започнем обхождането от втората или третата ос, стига да се прави в същата посока, т.е. обратно на часовниковата стрелка. В този случай факторите се пренареждат по кръгов начин (циклично). Така получаваме следното свойство:
Смесен продукт не се променя с кръгово (циклично) пренареждане на неговите фактори. Пренареждането на два съседни фактора променя знака на произведението
= ==-()=-()=-().
И накрая, следното твърдение пряко следва от геометричния смисъл на смесен продукт.
Необходимо и достатъчно условие за компланарност на векторите,,е равенството на техния смесен продукт на нула:
Деф. 1.5.6. Насочващи косинусивектор А нека наречем косинусите на ъглите, които този вектор образува с базисните вектори, съответно, аз , й , к .
Насочващи косинуси на вектор А = (х, при, z) се намират по формулите:
Сборът от квадратите на насочващите косинуси е равен на едно:
Насочващи косинуси на вектор а
са координатите на неговия единичен вектор: .
Нека базисните вектори аз , й , к отложено от обща точка ОТНОСНО. Ще приемем, че ортовете определят положителните посоки на осите о, OU, Оз. Комплект точки ОТНОСНО (произход) и ортонормална основа аз , й , к Наречен Декартова правоъгълна координатна система в пространството. Позволявам А– произволна точка в пространството. вектор А = ОА= х аз + г й + z к Наречен радиус векторточки А, координати на този вектор ( х, г, z) се наричат още координати на точки А(обозначаване: А(х, г, z)). Координатни оси о, OU, Ознаричан също, съответно, ос абсцисата, ос ордината, ос прилагам.
Ако един вектор е даден с координатите на началната си точка IN 1 (х 1 , г 1 , z 1) и крайна точка IN 2 (х 2 ,
г 2 , z 2), тогава координатите на вектора са равни на разликата между координатите на края и началото: (тъй като 
).
Декартови правоъгълни координатни системи на равнина и на правасе определят по абсолютно същия начин със съответните количествени (в съответствие с измерението) промени.
Решаване на типични проблеми.
Пример 1.Намерете косинусите на дължината и посоката на вектор А = 6аз – 2й -3к .
Решение.Дължина на вектора: 
. Косинуси на посоката: 
.
Пример 2.Намерете векторни координати А , образуващи равни остри ъгли с координатните оси, ако дължината на този вектор е равна на .
Решение.Тъй като , след това замествайки във формула (1.6), получаваме 
. вектор А
образува остри ъгли с координатните оси, така че орт 
. Следователно намираме координатите на вектора 
.
Пример 3.Дадени са три некомпланарни вектора д 1 = 2аз – к , д 2 = 3аз + 3й , д 3 = 2аз + 3к . Разширяване на вектора д = аз + 5й - 2к по основа д 1 , д 2 , д 3 .
Имот:
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
б) определение на линейните операции
сумата от два неколинеарни вектора е векторът, идващ от общото начало на вектори по диагонала на успоредник, конструиран върху тези вектори
Векторната разлика е сумата от вектор и вектор, противоположен на вектора: 
. Нека свържем началото на векторите и , тогава векторът е насочен от края на вектора към края на вектора. 
Работата вектор от число се нарича вектор с модул , и при и при . Геометрично, умножението по число означава „разтягане“ на вектора с коефициент, запазване на посоката при и промяна на противоположната при .
От горните правила за добавяне на вектори и умножаването им по число следват очевидни твърдения:
1. 
(добавянето е комутативно);
2. 
(добавянето е асоциативно);
3. 
(наличие на нулев вектор);
4. 
(наличие на противоположен вектор);
5. 
(добавянето е асоциативно);
6. (умножението с число е разпределително);
7. 
(векторното добавяне е разпределително);
в) скаларно произведение и неговите основни свойства
Точков продуктдва ненулеви вектора е число, равно на произведението от дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях. Ако поне един от двата вектора е нула, тогава ъгълът между тях не е определен и скаларното произведение се счита за равно на нула. Означава се скаларното произведение на вектори и
, където и са дължините на векторите и съответно, и е ъгълът между векторите и .
Скаларното произведение на вектор със себе си се нарича скаларен квадрат.
Свойства на скаларното произведение.
За всякакви вектори и следните са верни: свойства на точковия продукт:
комутативното свойство на скаларно произведение;
разпределителна собственост 
или 
;
асоциативно свойство 
или 
, където е произволно реално число;
скаларният квадрат на вектор винаги е неотрицателен тогава и само ако векторът е нула.
Г) векторно произведение и неговите свойства
векторен продуктвектор a към вектор b се нарича вектор c, чиято дължина е числено равна на площта на успоредника, изграден върху вектори a и b, перпендикулярни на равнината на тези вектори и насочени така, че най-малкото въртене от a до b около вектор c е обратно на часовниковата стрелка, когато се гледа от крайния вектор c
Формули за изчисляване на векторното произведение на векторите
Векторни произведения на изкуствотодва вектора a = (a x; a y; a z) и b = (b x; b y; b z) в декартовата координатна система е вектор, чиято стойност може да се изчисли с помощта на следните формули:
- Кръстосаното произведение на два ненулеви вектора a и b е равно на нула тогава и само ако векторите са колинеарни.
- Вектор c, равен на кръстосаното произведение на ненулевите вектори a и b, е перпендикулярен на тези вектори.
- a × b = -b × a
- (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
- (a + b) × c = a × c + b × c
Уравнение на права на равнина
А) уравнение на права с ъглов коефициент
Наклон на права линиясе нарича тангенс на ъгъла на наклон на тази права.
Наклонът на права линия обикновено се обозначава с буквата к. Тогава по дефиниция.
Ако правата линия е успоредна на ординатната ос, тогава наклонът не съществува (в този случай също се казва, че наклонът отива до безкрайност).
Положителният наклон на линия показва увеличение на нейната графика на функцията, отрицателният наклон показва намаление. Уравнението на права линия с ъглов коефициент има формата y=kx+b, където k е ъгловият коефициент на правата, b е някакво реално число. Като използвате уравнението на права линия с ъглов коефициент, можете да посочите всяка права линия, която не е успоредна на оста Oy (за права линия, успоредна на ординатната ос, ъгловият коефициент не е дефиниран).
Б) видове уравнения на права линия
Уравнението 
Наречен общо уравнение на праватана повърхността.
Всяко уравнение от първа степен с две променливи хИ гмил , Където А, INИ СЪС– някои реални числа и АИ INне са равни на нула едновременно, определя права линия в правоъгълна координатна система Оксив равнината и всяка права в равнината е дадена от уравнение на формата .
Уравнение на линия от формата , където аИ b– извикват се някои реални числа, различни от нула уравнение на права линия в сегменти. Това име не е случайно, тъй като абсолютните стойности на числата АИ bравни на дължините на отсечките, които правата отрязва по координатните оси волИ Ойсъответно (сегментите се броят от началото).
Уравнение на линия от формата , където хИ г- променливи и кИ b– наричат се някои реални числа уравнение на права линия с наклон (к– наклон)
Канонично уравнение на права върху равнинав правоъгълна декартова координатна система Оксиизглежда като 
, където и са някои реални числа, като същевременно не са равни на нула.
Очевидно правата, определена от каноничното уравнение на правата, минава през точката. От своя страна числата и в знаменателите на дробите представляват координатите на вектора на посоката на тази линия. Така каноничното уравнение на правата в правоъгълна координатна система Оксина равнината съответства на права линия, минаваща през точка и имаща насочващ вектор.
Параметрични уравнения на права върху равнинаизглежда като 
, където и са някои реални числа, и в същото време не са равни на нула, и е параметър, който приема всякакви реални стойности.
Параметричните линейни уравнения установяват имплицитна връзка между абсцисите и ординатите на точки на права линия с помощта на параметър (оттук и името на този тип линейно уравнение).
Двойка числа, които се изчисляват от параметричните уравнения на права за някаква реална стойност на параметъра, представляват координатите на определена точка от правата. Например, когато имаме 
, тоест точката с координати лежи на права линия.
Трябва да се отбележи, че коефициентите и за параметъра в параметричните уравнения на права линия са координатите на вектора на посоката на тази права линия
Уравнение на права, минаваща през две точки
Нека две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) са дадени в пространството, тогава уравнението на правата, минаваща през тези точки, е:
Ако някой от знаменателите е равен на нула, съответният числител трябва да е равен на 0. На равнината уравнението на правата, написана по-горе, е опростено:
ако x 1 ≠ x 2 и x = x 1, ако x 1 = x 2.
Дробта = k се нарича наклонправ.
В) изчисляване на ъгъла между две прави
ако са дадени две прави y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогава острият ъгъл между тези линии ще бъде определен като
.
Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2. Две прави са перпендикулярни, ако k 1 = -1/ k 2.
Теорема.Правите Ax + Bу + C = 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 са успоредни, когато коефициентите A 1 = λA, B 1 = λB са пропорционални. Ако също C 1 = λC, тогава правите съвпадат. Координатите на пресечната точка на две прави се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.
Г) условия за успоредност и перпендикулярност на две прави
Условия за успоредност на две прави:
а) Ако правите са дадени с уравнения с ъглов коефициент, то необходимото и достатъчно условие за тяхната паралелност е равенството на ъгловите им коефициенти:
к 1 = к 2 .
б) За случая, когато линиите са дадени с уравнения в общ вид (6), необходимо и достатъчно условие за тяхната успоредност е коефициентите за съответните текущи координати в техните уравнения да са пропорционални, т.е.
Условия за перпендикулярност на две прави:
а) В случай, когато линиите са дадени с уравнения (4) с ъглов коефициент, необходимо и достатъчно условие за тяхната перпендикулярност е ъгловите им коефициенти да са обратни по големина и противоположни по знак, т.е.
Това условие може да бъде записано и във формуляра
к 1 к 2 = -1.
б) Ако уравненията на правите са дадени в общ вид (6), то условието за тяхната перпендикулярност (необходима и достатъчна) е да отговаря на равенството
А 1 А 2 + б 1 б 2 = 0.
Ограничение на функцията
А) ограничение на последователността
Концепцията за граница е използвана от Нютон през втората половина на 17 век и от математици от 18 век като Ойлер и Лагранж, но те разбират границата интуитивно. Първите строги дефиниции на границата на последователността са дадени от Болцано през 1816 г. и Коши през 1821 г.
Номерът се нарича ограничение на числовата последователност, ако последователността е безкрайно малка, т.е. всички нейни елементи, започвайки от определен, са по-малки по абсолютна стойност от всяко предварително определено положително число.
Ако числова последователност има граница под формата на реално число, тя се извиква конвергентен към този номер. В противен случай се извиква последователността разнопосочни . Ако освен това е неограничен, тогава неговата граница се приема за равна на безкрайност.
Освен това, ако всички елементи на неограничена последователност, започвайки от определено число, имат положителен знак, тогава се казва, че границата на такава последователност е плюс безкрайност .
Ако елементите на неограничена последователност, започвайки от определено число, имат отрицателен знак, тогава те казват, че границата на такава последователност е равна на минус безкрайност .
Б) граница на функцията
Ограничение на функцията (гранична стойност на функцията) в дадена точка, ограничаваща за областта на дефиниране на функция, е стойността, към която клони стойността на разглежданата функция, когато нейният аргумент клони към дадена точка.
Ограничение на функциятае обобщение на концепцията за граница на последователност: първоначално границата на функция в точка се разбираше като граница на последователност от елементи от областта на стойностите на функция, съставена от изображения на точки на a последователност от елементи на областта на дефиниране на функция, сходна към дадена точка (границата, при която се разглежда); ако такава граница съществува, тогава се казва, че функцията се сближава към определената стойност; ако такава граница не съществува, тогава се казва, че функцията се разминава.
Ограничение на функцията- едно от основните понятия на математическия анализ. Стойността се нарича лимит (гранична стойност) на функция в точка, ако за всяка последователност от точки, сходни към, но не съдържащи един от нейните елементи (т.е. в пунктиран квартал), последователността от стойности на функцията се сближава до .
Стойността се нарича лимит (гранична стойност) функционира в точката, ако за всяко положително число, взето предварително, има съответстващо положително число, така че за всички аргументи, удовлетворяващи условието, неравенството е изпълнено.
В) две забележителни граници
· Първото забележително ограничение:
Последствия
· 
· 
· 
· Второто забележително ограничение:
Последствия
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
За ,
6. 
Г) безкрайно малки и безкрайно големи функции
функция y=f(x)Наречен безкрайно малъкпри x→aили кога х→∞, ако или , т.е. безкрайно малка функция е функция, чиято граница в дадена точка е нула.
ако функция y=f(x)представителен с x→aкато сбор от постоянно число bи безкрайно малка величина α(x): f (x)=b+ α(x)Че .
Обратно, ако , тогава f (x)=b+α(x), Където a(x)– безкрайно малък при x→a.
Следствие 1.Ако и, тогава.
Следствие 2.Ако c= const, тогава .
Ако функцията f(x)е безкрайно голям при x→a, след това функция 1 /f(x)е безкрайно малка при x→a.
Ако функцията f(x)- безкрайно малък at x→a(или x→∞)и тогава не изчезва y= 1/f(x)е безкрайно голяма функция. Най-простите свойства на безкрайно малки и безкрайно големи функции могат да бъдат записани с помощта на следните условни отношения: А≠ 0
Г) разкриване на несигурности. Правилото на L'Hopital
основни видове несигурност: нула разделена на нула ( 0 до 0), безкрайност делено на безкрайност, нула умножена по безкрайност, безкрайност минус безкрайност, едно на степен безкрайност, нула на степен нула, безкрайност на степен нула.
Правилото на L'Hopitalмного широко използван за лимитни изчислениякогато има несигурност от формата нула, разделена на нула, безкрайност, разделена на безкрайност.
Тези видове несигурност включват несигурността нула пъти безкрайност и безкрайност минус безкрайност.
Ако и ако функции f(x)И g(x)са диференцируеми в околност на точката , тогава 
В случай, че несигурността не изчезне след прилагане на правилото на L'Hopital, то може да се приложи отново.
Изчисляване на производни
А) правилото за диференциране на сложна функция
Нека бъде сложна функция , където функцията е междинен аргумент. Ще покажем как да намерим производната на сложна функция, като знаем производната на функцията (ще я обозначим с) и производната на функцията.
Теорема 1. Ако една функция има производна в точка х, а функцията има производна в точката (), след това комплексната функция в точката хима производна и = .
В противен случай производната на сложна функция е равна на произведението на производната на дадената функция по отношение на междинния аргумент и производната на междинния аргумент.
Б) диференциране на функция, зададена параметрично
Нека функцията е дадена в параметрична форма, тоест във формата:
където функциите и са дефинирани и непрекъснати в определен интервал на изменение на параметъра. Нека намерим диференциалите на дясната и лявата страна на всяко от равенствата:
За да намерим втората производна, извършваме следните трансформации:
Б) понятието логаритмична производна на функция
Логаритмичната производна на положителна функция се нарича нейна производна. Тъй като , то съгласно правилото за диференциране на комплексна функция получаваме следната връзка за логаритмичната производна:
.
С помощта на логаритмичната производна е удобно да се изчисли обикновената производна в случаите, когато логаритъмът опростява формата на функцията.
Същността на това диференциране е следната: първо се намира логаритъма на дадена функция и едва след това се изчислява нейната производна. Нека се даде някаква функция. Нека вземем логаритми от лявата и дясната страна на този израз:
И тогава, изразявайки желаната производна, резултатът е:
Г) производна на обратната функция
Ако y=f(x) и x=g(y) са двойка взаимно обратни функции и функцията y=f(x) има производна f"(x), тогава производната на обратната функция g"( x)=1/f" (x).
По този начин производните на взаимно обратни функции са реципрочни величини. Формула за производната на обратната функция:
Г) производна на неявна функция
Ако функция на една променлива е описана от уравнението г=f(х), където променливата ге от лявата страна, а дясната зависи само от аргумента х, тогава те казват, че функцията е дадена изрично. Например, следните функции са посочени изрично:
г= грях х,г=х 2+2х+5,г=lncos х.
В много задачи обаче функцията може да бъде уточнена имплицитно, т.е. като уравнение
Е(х,г)=0.
за намиране на производната г′( х) неявно определена функция не е необходимо да се преобразува в изрична форма. За да направите това, знаейки уравнението Е(х,г)=0, просто направете следното:
Първо трябва да разграничите двете страни на уравнението по отношение на променливата х, ако приемем, че г− е диференцируема функция хи използване на правилото за изчисляване на производната на сложна функция. В този случай производната на нула (от дясната страна) също ще бъде равна на нула.
Коментирайте: Ако дясната страна е различна от нула, т.е. имплицитното уравнение е
f(х,г)=ж(х,г),
след това диференцираме лявата и дясната страна на уравнението.
Решете полученото уравнение за производната г′( х).
Понятие за производна
А) дефиниция на производна
Производна на функция диференциация интеграция.
г хх
Дефиниция на производна
Помислете за функцията f(х х 0. Тогава функцията f(х) е диференцируемив точката х 0 и тя производнасе определя по формулата
f′( х 0)=limΔ х→0Δ гΔ х=limΔ х→0f(х 0+Δ х)−f(х 0)Δ х.
Производна на функцияе едно от основните понятия на математиката, а в математическия анализ производната, наред с интеграла, заема централно място. Процесът на намиране на производната се нарича диференциация. Извиква се обратната операция - възстановяване на функция от известна производна интеграция.
Производната на функция в определена точка характеризира скоростта на промяна на функцията в тази точка. Оценка на скоростта на промяната може да се получи чрез изчисляване на съотношението на промяната във функцията Δ гдо съответната промяна в аргумента Δ х. В дефиницията на производната такава връзка се разглежда в границата при условие Δ х→0. Нека да преминем към по-строга формулировка:
Дефиниция на производна
Помислете за функцията f(х), чиято област съдържа някакъв отворен интервал около точката х 0. Тогава функцията f(х) е диференцируемив точката х 0 и тя производнасе определя по формулата
f′( х 0)=limΔ х→0Δ гΔ х=limΔ х→0f(х 0+Δ х)−f(х 0)Δ х.
Б) геометричен смисъл на производната
Производната на функцията, изчислена за дадена стойност, е равна на тангенса на ъгъла, образуван от положителната посока на оста и положителната посока на допирателната, начертана към графиката на тази функция в точката с абсцисата:
Ако функцията има крайна производна в точка, тогава в околността тя може да бъде апроксимирана от линейна функция
Функцията се нарича допирателна към точката Number.
Г) таблица на производните на най-простите елементарни функции
Насочващи косинуси на вектор.
Насочващи косинуси на вектор aса косинусите на ъглите, които векторът образува с положителните полуоси на координатите.
За да се намерят насочващите косинуси на вектор a, е необходимо да се разделят съответните координати на вектора на абсолютната стойност на вектора.
Имот:Сборът от квадратите на насочващите косинуси е равен на едно.
Така в случай на проблем със самолетнасочващите косинуси на вектора a = (ax; ay) се намират по формулите:
Пример за изчисляване на насочващи косинуси на вектор:
Намерете насочващите косинуси на вектора a = (3; 4).
Решение: |a| =
Така че в случай на пространствен проблемнасочващите косинуси на вектора a = (ax; ay; az) се намират по формулите:
Пример за изчисляване на насочващи косинуси на вектор
Намерете насочващите косинуси на вектора a = (2; 4; 4).
Решение: |a| =
|
Посоката на вектора в пространството се определя от ъглите, които векторът образува с координатните оси (фиг. 12). Косинусите на тези ъгли се наричат насочващи косинуси на вектора: , , .
От свойствата на проекциите:, , . следователно Лесно е да се покаже това 2) координатите на всеки единичен вектор съвпадат с неговите насочващи косинуси: . |
„Как да намерим насочващи косинуси на вектор“
Означаваме с алфа, бета и гама ъглите, образувани от вектор a с положителната посока на координатните оси (виж фиг. 1). Косинусите на тези ъгли се наричат насочващи косинуси на вектора a.
Тъй като координатите a в декартовата правоъгълна координатна система са равни на проекциите на вектора върху координатните оси, тогава a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (гама). Следователно: cos (алфа)=a1||a|, cos(бета) =a2||a|, cos(гама)= a3/|a|. В този случай |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Така cos (алфа)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(бета) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(гама)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).
Трябва да се отбележи основното свойство на косинусите на посоката. Сборът от квадратите на насочващите косинуси на вектор е равен на единица. Наистина, cos^2(алфа)+cos^2(бета)+cos^2(гама)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.
Първи начин
Пример: дадено: вектор a=(1, 3, 5). Намерете неговите насочващи косинуси. Решение. В съответствие с това, което намерихме, записваме: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5,91. Така отговорът може да бъде записан в следната форма: (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0,16;0,5;0,84).
Втори начин
Когато намирате косинусите на посоката на вектор a, можете да използвате техниката за определяне на косинусите на ъглите с помощта на скаларния продукт. В този случай имаме предвид ъглите между a и насочващите единични вектори на правоъгълни декартови координати i, j и k. Техните координати са съответно (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Трябва да се припомни, че скаларното произведение на векторите се дефинира по следния начин.
Ако ъгълът между векторите е φ, тогава скаларното произведение на два вятъра (по дефиниция) е число, равно на произведението на модулите на векторите и cosφ. (a, b) = |a||b|cos f. Тогава, ако b=i, тогава (a, i) = |a||i|cos(alpha), или a1 = |a|cos(alpha). Освен това всички действия се извършват подобно на метод 1, като се вземат предвид координатите j и k.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
векторсе нарича подредена двойка точки и (т.е. знае се точно коя от точките в тази двойка е първата).
Първата точка се нарича началото на вектора, а второто е негово край.
Разстоянието между началото и края на вектора се нарича дължинаили векторен модул.
Вектор, чието начало и край съвпадат, се нарича нулаи се означава с ; неговата дължина се счита за нула. В противен случай, ако дължината на вектора е положителна, тогава той се нарича ненулев.
Коментирайте. Ако дължината на вектор е равна на единица, тогава той се нарича ортомили единичен вектори е обозначена.
ПРИМЕР
| Упражнение | Проверете дали векторът е  единичен. |
| Решение | Нека изчислим дължината на даден вектор, тя е равна на корен квадратен от сумата от квадратите на координатите: Тъй като дължината на вектора е равна на единица, това означава, че векторът е орт. |
| Отговор | Единичен вектор. |
Ненулев вектор може да се дефинира и като насочена отсечка.
Коментирайте. Посоката на нулевия вектор не е дефинирана.
Насочващи косинуси на вектор
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Насочващи косинусина определен вектор се наричат косинусите на ъглите, които векторът образува с положителните посоки на координатните оси.
Коментирайте. Посоката на вектора се определя еднозначно от неговите насочващи косинуси.
За да намерите косинусите на посоката на вектор, е необходимо да нормализирате вектора (т.е. да разделите вектора на неговата дължина):
Коментирайте. Координатите на единичен вектор са равни на неговите насочващи косинуси.
ТЕОРЕМА
(Свойство на насочващите косинуси). Сборът от квадратите на насочващите косинуси е равен на едно: