Намерете матрицата, противоположна на матрицата. Намиране на обратната матрица: три алгоритъма и примери

Определение 1:матрица се нарича сингулярна, ако нейният детерминант е нула.

Определение 2:матрица се нарича неособена, ако нейният детерминант не е равен на нула.

Матрицата "А" се нарича обратна матрица, ако условието A*A-1 = A-1 *A = E (единична матрица) е изпълнено.

Квадратната матрица е обратима само ако не е сингулярна.

Схема за изчисляване на обратната матрица:

1) Изчислете детерминантата на матрица "A", ако ∆ A = 0, тогава обратната матрица не съществува.

2) Намерете всички алгебрични допълнения на матрица "А".

3) Създайте матрица от алгебрични добавки (Aij)

4) Транспонирайте матрицата на алгебричните допълнения (Aij )T

5) Умножете транспонираната матрица по обратната на детерминантата на тази матрица.

6) Извършете проверка:

На пръв поглед може да изглежда сложно, но всъщност всичко е много просто. Всички решения се основават на прости аритметични операции, основното при решаването е да не се бъркате със знаците „-“ и „+“ и да не ги губите.

Сега нека заедно да решим една практическа задача, като изчислим обратната матрица.

Задача: намерете обратната матрица "А", показана на снимката по-долу:

Решаваме всичко точно както е посочено в плана за изчисляване на обратната матрица.

1. Първото нещо, което трябва да направите, е да намерите детерминантата на матрица "A":

Обяснение:

Опростихме нашия детерминант, използвайки основните му функции. Първо добавихме към 2-ри и 3-ти ред елементите от първия ред, умножени по едно число.

Второ, сменихме 2-ра и 3-та колона на детерминантата и според нейните свойства сменихме знака пред нея.

Трето, извадихме общия множител (-1) на втория ред, като по този начин отново променихме знака и той стана положителен. Също така опростихме ред 3 по същия начин, както в самото начало на примера.

Имаме триъгълен детерминант, чиито елементи под диагонала са равни на нула, а по свойство 7 той е равен на произведението на диагоналните елементи. В крайна сметка получихме ∆ A = 26, следователно обратната матрица съществува.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Следващата стъпка е да се състави матрица от получените добавки:

5. Умножете тази матрица по обратната на детерминантата, т.е. по 1/26:

6. Сега просто трябва да проверим:

По време на теста получихме матрица за идентичност, следователно решението беше изпълнено абсолютно правилно.

2 начин за изчисляване на обратната матрица.

1. Елементарна матрична трансформация

2. Обратна матрица чрез елементарен преобразувател.

Елементарната матрична трансформация включва:

1. Умножение на низ по число, което не е равно на нула.

2. Добавяне към всеки ред на друг ред, умножен по число.

3. Разменете редовете на матрицата.

4. Прилагайки верига от елементарни трансформации, получаваме друга матрица.

А -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.A -1 * A = E

Нека да разгледаме това с помощта на практически пример с реални числа.

Упражнение:Намерете обратната матрица.

Решение:

Да проверим:

Малко пояснение за решението:

Първо пренаредихме редове 1 и 2 на матрицата, след което умножихме първия ред по (-1).

След това умножихме първия ред по (-2) и го добавихме към втория ред на матрицата. След това умножихме ред 2 по 1/4.

Последният етап от трансформацията беше умножаването на втория ред по 2 и добавянето му към първия. В резултат на това имаме матрица за идентичност отляво, следователно обратната матрица е матрицата отдясно.

След проверка се убедихме, че решението е правилно.

Както можете да видите, изчисляването на обратната матрица е много просто.

В края на тази лекция бих искал да отделя малко време и на свойствата на такава матрица.

Намиране на обратната матрица.

В тази статия ще разберем концепцията за обратна матрица, нейните свойства и методи за намиране. Нека се спрем подробно на решаването на примери, в които е необходимо да се изгради обратна матрица за дадена.

Навигация в страницата.

    Обратна матрица - определение.

    Намиране на обратната матрица с помощта на матрица от алгебрични добавки.

    Свойства на обратна матрица.

    Намиране на обратната матрица по метода на Гаус-Джордан.

    Намиране на елементите на обратната матрица чрез решаване на съответните системи от линейни алгебрични уравнения.

Обратна матрица - определение.

Концепцията за обратна матрица се въвежда само за квадратни матрици, чиято детерминанта е различна от нула, т.е. за неособени квадратни матрици.

Определение.

Матрицанаречена обратна на матрица, чийто детерминант е различен от нула, ако равенствата са верни , Където д– матрица за поръчка на единици нНа н.

Намиране на обратната матрица с помощта на матрица от алгебрични добавки.

Как да намерим обратната матрица за дадена?

Първо, имаме нужда от концепциите транспонирана матрица, матричен минор и алгебрично допълнение на матричен елемент.

Определение.

Незначителенkth поръчкаматрици Апоръчка мНа не детерминантата на матрицата на поръчката кНа к, който се получава от матричните елементи Аразположени в избрания клинии и кколони. ( кне надвишава най-малкото число мили н).

Незначителен (n-1)-торед, който е съставен от елементи на всички редове с изключение на i-тои всички колони с изключение на jth, квадратна матрица Апоръчка нНа ннека го обозначим като.

С други думи, минорът се получава от квадратна матрица Апоръчка нНа нчрез зачеркване на елементи i-толинии и jthколона.

Например, нека напишем, минор 2-роред, който се получава от матрицата избиране на елементи от неговия втори, трети ред и първа, трета колона . Ще покажем и минора, който се получава от матрицата като задраскате втория ред и третата колона . Нека илюстрираме конструкцията на тези второстепенни: и .

Определение.

Алгебрично допълнениеелемент на квадратна матрица се нарича второстепенен (n-1)-торед, който се получава от матрицата А, зачертавайки елементи от него i-толинии и jthколона, умножена по .

Алгебричното допълнение на елемент се означава като . По този начин, .

Например за матрицата алгебричното допълнение на елемент е .

Второ, ще ни трябват две свойства на детерминантата, които обсъдихме в раздела изчисляване на детерминанта на матрица:

Въз основа на тези свойства на детерминантата, определението операции за умножение на матрица по числои концепцията за обратна матрица е вярна: , където е транспонирана матрица, чиито елементи са алгебрични допълнения.

Матрица наистина е обратната на матрицата А, тъй като равенствата са изпълнени . Нека го покажем

Да композираме алгоритъм за намиране на обратната матрицаизползвайки равенство .

Нека да разгледаме алгоритъма за намиране на обратната матрица с помощта на пример.

Пример.

Дадена е матрица . Намерете обратната матрица.

Решение.

Нека изчислим детерминантата на матрицата А, разлагайки го на елементите на третата колона:

Детерминантата е различна от нула, така че матрицата Аобратими.

Нека намерим матрица от алгебрични добавки:

Ето защо

Нека транспонираме матрицата от алгебрични добавки:

Сега намираме обратната матрица като :

Да проверим резултата:

Равенства са удовлетворени, следователно обратната матрица е намерена правилно.

Свойства на обратна матрица.

Концепцията за обратна матрица, равенство , дефинициите на операциите върху матрици и свойствата на детерминантата на матрица позволяват да се обоснове следното свойства на обратната матрица:

Намиране на елементите на обратната матрица чрез решаване на съответните системи от линейни алгебрични уравнения.

Нека разгледаме друг начин за намиране на обратната матрица за квадратна матрица Апоръчка нНа н.

Този метод се основава на решението нсистеми от линейни нееднородни алгебрични уравнения с ннеизвестен. Неизвестните променливи в тези системи от уравнения са елементите на обратната матрица.

Идеята е много проста. Нека означим обратната матрица като х, това е, . Тъй като по дефиниция на обратната матрица, тогава

Приравнявайки съответните елементи по колони, получаваме нсистеми от линейни уравнения

Ние ги решаваме по всякакъв начин и формираме обратна матрица от намерените стойности.

Нека разгледаме този метод с пример.

Пример.

Дадена е матрица . Намерете обратната матрица.

Решение.

Да приемем . Равенството ни дава три системи от линейни нехомогенни алгебрични уравнения:

Няма да описваме решението на тези системи; ако е необходимо, вижте раздела решаване на системи от линейни алгебрични уравнения.

От първата система от уравнения имаме, от втората - , от третата - . Следователно търсената обратна матрица има формата . Препоръчваме да го проверите, за да сте сигурни, че резултатът е правилен.

Обобщете.

Разгледахме концепцията за обратна матрица, нейните свойства и три метода за намирането ѝ.

Пример за решения, използващи метода на обратната матрица

Упражнение 1.Решете SLAE, като използвате метода на обратната матрица. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4

Начало на формата

Край на формата

Решение. Нека запишем матрицата във формата: Вектор B: B T = (1,2,3,4) Главен детерминант Малък за (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Малък за (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Малък за (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Малък за (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Детерминант на минор ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Транспонирана матрицаАлгебрични събирания ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4 -5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4,3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Обратна матрица Резултати вектор X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

Вижте също решения на SLAE с помощта на метода на обратната матрицана линия. За целта въведете вашите данни и ще получите решение с подробни коментари.

Задача 2. Напишете системата от уравнения в матрична форма и я решете с помощта на обратната матрица. Проверете получения разтвор. Решение:xml:xls

Пример 2. Напишете системата от уравнения в матрична форма и решете с помощта на обратната матрица. Решение:xml:xls

Пример. Дадена е система от три линейни уравнения с три неизвестни. Задължително: 1) намерете решението му, като използвате Формули на Крамер; 2) напишете системата в матрична форма и я решете с помощта на матрично смятане. Насоки. След решаване по метода на Cramer намерете бутона „Решаване чрез метод на обратна матрица за изходни данни“. Ще получите подходящото решение. Така няма да се налага да попълвате данните отново. Решение. Нека означим с A матрицата на коефициентите за неизвестни; X - матрица-колона с неизвестни; B - матрица-колона на безплатните членове:

Вектор B: B T =(4,-3,-3) Като се вземат предвид тези обозначения, тази система от уравнения приема следната матрична форма: A*X = B. Ако матрицата A е неособена (нейният детерминант е различен от нула , тогава има обратна матрица A -1. Умножавайки двете страни на уравнението по A -1, получаваме: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A=E. матрична нотация на решението на система от линейни уравнения. За да се намери решение на системата от уравнения, е необходимо да се изчисли обратната матрица A -1. Системата ще има решение, ако детерминантата на матрицата A е различна от нула. Нека намерим основната детерминанта. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 И така, детерминанта 14 ≠ 0, така че ние продължи решение. За да направим това, намираме обратната матрица чрез алгебрични добавки. Нека имаме неособена матрица A:

Изчисляваме алгебрични допълнения.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 =-1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Преглед. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 док:xml:xls Отговор: -1,1,2.

Обратната матрица за дадена матрица е такава матрица, умножавайки оригиналната, по която се получава единичната матрица: Задължително и достатъчно условие за наличието на обратна матрица е детерминантата на оригиналната да не е равна до нула (което от своя страна означава, че матрицата трябва да е квадратна). Ако детерминантата на матрица е равна на нула, тогава тя се нарича сингулярна и такава матрица няма обратна. Във висшата математика обратните матрици са важни и се използват за решаване на редица проблеми. Например на намиране на обратната матрицае конструиран матричен метод за решаване на системи от уравнения. Нашият сервизен сайт позволява изчислете обратна матрица онлайндва метода: методът на Гаус-Джордан и използването на матрицата на алгебричните добавки. Първият включва голям брой елементарни трансформации вътре в матрицата, вторият включва изчисляване на детерминанта и алгебрични добавки към всички елементи. За да изчислите детерминанта на матрица онлайн, можете да използвате другата ни услуга - Изчисляване на детерминанта на матрица онлайн

.

Намерете обратната матрица за сайта

уебсайтви позволява да намерите обратна матрица онлайнбързо и безплатно. На сайта се правят изчисления с помощта на нашата услуга и се дава резултатът с подробно решение за намиране обратна матрица. Сървърът винаги дава само точен и правилен отговор. В задачи по определение обратна матрица онлайн, необходимо е детерминантата матрицибеше различно от нула, иначе уебсайтще докладва невъзможността за намиране на обратната матрица поради факта, че детерминантата на оригиналната матрица е равна на нула. Задачата за намиране обратна матрицанамира се в много клонове на математиката, като е една от най-основните концепции на алгебрата и математически инструмент в приложни проблеми. Независим дефиниция на обратна матрицаизисква значителни усилия, много време, изчисления и голямо внимание, за да се избегнат правописни грешки или дребни грешки в изчисленията. Следователно нашата услуга намиране на обратната матрица онлайнще улесни значително задачата ви и ще се превърне в незаменим инструмент за решаване на математически задачи. Дори ако ти намерете обратната матрицасами, препоръчваме да проверите вашето решение на нашия сървър. Въведете оригиналната си матрица в нашето Изчисляване на обратна матрица онлайн и проверете отговора си. Нашата система никога не прави грешки и намира обратна матрицададено измерение в режим на линиямоментално! На сайта уебсайтвписванията на символи са разрешени в елементи матрици, в такъв случай обратна матрица онлайнще бъдат представени в обща символна форма.

Обикновено обратните операции се използват за опростяване на сложни алгебрични изрази. Например, ако проблемът включва операцията за деление на дроб, можете да я замените с операцията за умножение по реципрочната стойност на дроб, което е обратната операция. Освен това матриците не могат да бъдат разделени, така че трябва да умножите по обратната матрица. Изчисляването на обратното на матрица 3x3 е доста досадно, но трябва да можете да го направите ръчно. Можете също да намерите реципрочната стойност, като използвате добър графичен калкулатор.

стъпки

Използване на присъединената матрица

Транспонирайте оригиналната матрица.Транспонирането е замяната на редове с колони спрямо главния диагонал на матрицата, т.е. трябва да размените елементите (i,j) и (j,i). В този случай елементите на главния диагонал (започва в горния ляв ъгъл и завършва в долния десен ъгъл) не се променят.

  • За да промените редовете в колони, напишете елементите от първия ред в първата колона, елементите от втория ред във втората колона и елементите от третия ред в третата колона. Редът за промяна на позицията на елементите е показан на фигурата, в която съответните елементи са оградени с цветни кръгове.

  • Намерете дефиницията на всяка матрица 2x2.Всеки елемент от всяка матрица, включително транспонираната, е свързан със съответна матрица 2x2. За да намерите матрица 2x2, която отговаря на определен елемент, задраскайте реда и колоната, в които се намира дадения елемент, тоест трябва да зачеркнете пет елемента от оригиналната матрица 3x3. Четири елемента ще останат незачертани, които са елементи от съответната матрица 2x2.

    • Например, за да намерите матрица 2x2 за елемента, който се намира в пресечната точка на втория ред и първата колона, зачеркнете петте елемента, които са във втория ред и първата колона. Останалите четири елемента са елементи от съответната матрица 2x2.
    • Намерете детерминантата на всяка матрица 2x2. За да направите това, извадете произведението на елементите на вторичния диагонал от продукта на елементите на главния диагонал (вижте фигурата).
    • Подробна информация за матрици 2x2, съответстващи на конкретни елементи от матрица 3x3, можете да намерите в Интернет.

  • Създайте кофакторна матрица.Запишете резултатите, получени по-рано, под формата на нова кофакторна матрица. За да направите това, запишете намерената детерминанта на всяка матрица 2x2, където се намира съответният елемент от матрицата 3x3. Например, ако обмисляте матрица 2x2 за елемент (1,1), запишете детерминантата му в позиция (1,1). След това сменете знаците на съответните елементи по определена схема, която е показана на фигурата.

    • Схема за промяна на знаците: знакът на първия елемент от първия ред не се променя; знакът на втория елемент от първия ред е обърнат; знакът на третия елемент от първия ред не се променя и така нататък ред по ред. Моля, имайте предвид, че знаците „+“ и „-“, които са показани на диаграмата (вижте фигурата), не означават, че съответният елемент ще бъде положителен или отрицателен. В този случай знакът "+" показва, че знакът на елемента не се променя, а знакът "-" показва промяна в знака на елемента.
    • Подробна информация за кофакторните матрици може да се намери в Интернет.
    • По този начин ще намерите присъединената матрица на оригиналната матрица. Понякога се нарича комплексно спрегната матрица. Такава матрица се обозначава като adj(M).

  • Разделете всеки елемент от присъединената матрица на неговия детерминант.Детерминантата на матрицата M беше изчислена в самото начало, за да се провери съществуването на обратната матрица. Сега разделете всеки елемент от присъединената матрица на този детерминант. Запишете резултата от всяка операция деление, където се намира съответният елемент. По този начин ще намерите матрицата, обратна на оригиналната.

    • Детерминантата на матрицата, която е показана на фигурата, е 1. По този начин тук присъединената матрица е обратната матрица (защото, когато което и да е число е разделено на 1, то не се променя).
    • В някои източници операцията деление се заменя с операцията умножение по 1/det(M). Крайният резултат обаче не се променя.

  • Напишете обратната матрица.Запишете елементите, разположени в дясната половина на голямата матрица, като отделна матрица, която е обратната матрица.

    Въведете оригиналната матрица в паметта на калкулатора.За да направите това, щракнете върху бутона Матрица, ако е наличен. За калкулатор на Texas Instruments може да се наложи да натиснете бутоните 2nd и Matrix.

    Изберете менюто Редактиране.Направете това с помощта на бутоните със стрелки или съответния функционален бутон, разположен в горната част на клавиатурата на калкулатора (местоположението на бутона варира в зависимост от модела на калкулатора).

    Въведете нотацията на матрицата.Повечето графични калкулатори могат да работят с 3-10 матрици, които могат да бъдат обозначени с буквите A-J. Обикновено просто изберете [A], за да обозначите оригиналната матрица. След това натиснете бутона Enter.

    Въведете размера на матрицата.Тази статия говори за 3x3 матрици. Но графичните калкулатори могат да работят с големи матрици. Въведете броя на редовете, натиснете Enter, след това въведете броя на колоните и натиснете Enter отново.

    Въведете всеки матричен елемент.На екрана на калкулатора ще се покаже матрица. Ако преди това сте въвели матрица в калкулатора, тя ще се появи на екрана. Курсорът ще маркира първия елемент от матрицата. Въведете стойността за първия елемент и натиснете Enter. Курсорът автоматично ще се премести до следващия матричен елемент.

    Матрицата $A^(-1)$ се нарича обратна на квадратната матрица $A$, ако е изпълнено условието $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, където $E $ е единичната матрица, чийто ред е равен на реда на матрицата $A$.

    Неособена матрица е матрица, чийто детерминант не е равен на нула. Съответно, сингулярна матрица е тази, чийто детерминант е равен на нула.

    Обратната матрица $A^(-1)$ съществува тогава и само ако матрицата $A$ е неособена. Ако обратната матрица $A^(-1)$ съществува, тогава тя е уникална.

    Има няколко начина да се намери обратното на матрица и ние ще разгледаме два от тях. Тази страница ще обсъди метода на свързаната матрица, който се счита за стандарт в повечето курсове по висша математика. Вторият метод за намиране на обратната матрица (методът на елементарните трансформации), който включва използването на метода на Гаус или метода на Гаус-Джордан, е разгледан във втората част.

    Метод на съединената матрица

    Нека е дадена матрицата $A_(n\times n)$. За да се намери обратната матрица $A^(-1)$, са необходими три стъпки:

    1. Намерете детерминантата на матрицата $A$ и се уверете, че $\Delta A\neq 0$, т.е. че матрица A е неособена.
    2. Съставете алгебрични допълнения $A_(ij)$ на всеки елемент от матрицата $A$ и запишете матрицата $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ от намерената алгебрична допълва.
    3. Напишете обратната матрица, като вземете предвид формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

    Матрицата $(A^(*))^T$ често се нарича съпътстваща (реципрочна, съюзна) на матрицата $A$.

    Ако решението се извършва ръчно, тогава първият метод е добър само за матрици с относително малки поръчки: втори (), трети (), четвърти (). За да се намери обратното на матрица от по-висок ред, се използват други методи. Например методът на Гаус, който е разгледан във втората част.

    Пример №1

    Намерете обратната на матрицата $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

    Тъй като всички елементи от четвъртата колона са равни на нула, тогава $\Delta A=0$ (т.е. матрицата $A$ е сингулярна). Тъй като $\Delta A=0$, няма матрица, обратна на матрицата $A$.

    Пример №2

    Намерете обратната на матрицата $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

    Използваме метода на свързаната матрица. Първо, нека намерим детерминантата на дадената матрица $A$:

    $$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

    Тъй като $\Delta A \neq 0$, тогава обратната матрица съществува, следователно ще продължим решението. Намиране на алгебрични допълнения

    \begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \край (подравнено)

    Ние съставяме матрица от алгебрични събирания: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

    Транспонираме получената матрица: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the получената матрица често се нарича присъединена или свързана матрица към матрицата $A$). Използвайки формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, имаме:

    $$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

    И така, обратната матрица е намерена: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\вдясно) $. За да проверите истинността на резултата, е достатъчно да проверите истинността на едно от равенствата: $A^(-1)\cdot A=E$ или $A\cdot A^(-1)=E$. Нека проверим равенството $A^(-1)\cdot A=E$. За да работим по-малко с дроби, ще заместим матрицата $A^(-1)$ не във формата $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ и във формата $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array )\right)$:

    Отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

    Пример №3

    Намерете обратната матрица за матрицата $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .

    Нека започнем с изчисляване на детерминантата на матрицата $A$. И така, детерминантата на матрицата $A$ е:

    $$ \Delta A=\left| \begin(масив) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(масив) \right| = 18-36+56-12=26. $$

    Тъй като $\Delta A\neq 0$, тогава обратната матрица съществува, следователно ще продължим решението. Намираме алгебричните допълнения на всеки елемент от дадена матрица:

    Съставяме матрица от алгебрични добавки и я транспонираме:

    $$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

    Използвайки формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, получаваме:

    $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(масив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

    Така че $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. За да проверите истинността на резултата, е достатъчно да проверите истинността на едно от равенствата: $A^(-1)\cdot A=E$ или $A\cdot A^(-1)=E$. Нека проверим равенството $A\cdot A^(-1)=E$. За да работим по-малко с дроби, ще заместим матрицата $A^(-1)$ не във формата $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ и във формата $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

    Проверката беше успешна, обратната матрица $A^(-1)$ беше намерена правилно.

    Отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

    Пример №4

    Намерете матрицата, обратна на матрица $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

    За матрица от четвърти ред намирането на обратната матрица с помощта на алгебрични добавки е малко трудно. Такива примери обаче се срещат в тестовите работи.

    За да намерите обратното на матрица, първо трябва да изчислите детерминантата на матрицата $A$. Най-добрият начин да направите това в тази ситуация е да разширите детерминантата по ред (колона). Избираме всеки ред или колона и намираме алгебричните допълнения на всеки елемент от избрания ред или колона.